中值定理
中值定理
M = max { f ( x1 ) , f ( x2 ) ,⋯, f ( xr ) , f ( a ) , f ( b )} , m = min { f ( x1 ) , f ( x2 ) ,⋯, f ( xr ) , f ( a ) , f ( b )}.
渐近线的求法 ⑴水平渐近线 若函数 f ( x ) 满足
移项后即有
f ′ (ξ ) =
f (ξ ) − f ( a ) b −ξ
.
例3
内至少有一个根． 在 ( a, b ) 内至少有一个根．
b 求证： a > 0, b > 0 , 求证：方程 f ( b ) − f ( a ) = x ln f ′ ( x ) a
若函数 f ( x ) 在区间 I 上满足：∀x1 , x2 ∈ I , 上满足：
上的图形是(向上 凸的(或凸弧 向上)凸的 或凸弧)． 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是 向上 凸的 或凸弧 ．
x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) f( )> , 2 2
注：凹弧和凸弧有下面的等价定义
处的曲率为： 在点 ( x, y ) 处的曲率为： y′′ K= 1 + y ′2
(
)
3
.
确定， 若曲线由参数方程 x = x(t ) ，y = y (t ) 确定，其中
x(t ) 和 y (t ) 二阶可导，则 二阶可导，
K=
x′ ( t ) y′′ ( t ) − x′′ ( t ) y′ ( t ) ( x′ 2 + y ′ )
的极值． 则 f ( x0 ) 为 f ( x ) 的极值．若 f ′′ ( x0 ) > 0 ，则 f ( x0 ) 为
第一节中值定理
f (x)
a b 2
证
令 则 在
F (x) e
F (x)
f (x)
与
f (x)
x
[a , b ]
上同号,
0
a 1
2 b
且
F ( a ) F (b ) 0 , F ( a ) F (
F ( a ), F ( b ) 0 ,
ab 2
) 0 a b 2 ,b) ) 0
不妨设
例8
在闭区间 [ a , b ] 上连续; 在开区间 ( a , b ) 内可导,又
f ( x )与 g ( x )
设函数
f ( a ) f (b ) 0
当 x [ a , b ] 时,
( a , b ),
g (x) 0
则至少存在一点
使得
f ( ) g ( ) f ( ) g ( )
在 ( a , b ) 内二阶可导
且 f ( a ) g ( a ),
,
f ( c ) g ( c ),
f ( b ) g ( b ), c ( a , b ),
证明 : 至少存在一点
使得 f ( ) g ( ).
( a , b ),
a
c
证
令 ( x ) f ( x ) g ( x ),
(a
2
b ) f (x)
2
显然 ( x ) 在[ a , b ] 上连续, 在 ( a , b ) 内可导,
且 (a )
[ f ( a ) f ( b )] a
2 2
2
(a
2
b ) f (a )
中值定理
( x) f ( x)e x f ( x)e x , 因此, 在 (a,b) 内至少存在一点 (a,b), 使
( ) 0,
例 5 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导,
且 f (a) f (b) 0.
证明: 存在 (a,b), 使 f ( ) f ( ) 成立.
f ( 2 ) 0,
即 2 是 f ( x) 的一个零点；
又因为 f ( x)为二次多项式，最多只能有两个零点， 故 f ( x) 恰好有两个零点，分别在区间 (1, 2) 和 (2, 3) 内.
例 对函数 f ( x) sin2 x 在区间 [0, ] 上 验证
罗尔定理的正确性.
解 显然 f ( x) 在 [0, ] 上连续, 在 0, 内可
f ( x) x, x [0,1]
函数 f ( x) 虽然满足在闭区间[0,1]上连续, 在开区
间(0,1)内可导的条件, 但
f (0) f (1),
显然也没有水平切线. 如图 (c) 所示.
例 1 不求导数，判断函数
f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)
的导数有几个零点及这些零点所在的范围.
导致矛盾, 故 x0 为唯一实根.
例 5 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导, 且 f (a) f (b) 0.
证明: 存在 (a,b), 使 f ( ) f ( ) 成立.
证 从结论倒推分析知, 可引进辅助函数
( x) f ( x)e x , 由于 (a) (b) 0, 易知 ( x) 在 [a,b] 上满足
f ( x) C (常数)，x I;
(2) 若 f ( x) g( x)
2.3.1 中值定理
0, 即 [ xf ( x ) ]
x( x ), 则 F ( x ) 在[0, 1]上连续， 在 (0,1)内可导, 且F(0) = F(1) =0， 因此由罗尔定理， 在(0, 1) 内至少存在一点 , 使 即
11
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
C
y = f (x)
A
O a
B
b
6
若函数 f ( x ) 满足： (1) 在闭区间 [a , b ]上连续； (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导； (3) f (a ) f (b), 则在开区间 (a , b) 内至少存在一点 , 使得 f ( ) 0. 证 f ( x ) 在 [a , b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m. (1) 若 M m . 则 f ( x ) M .
又已知 f ( x ) 在点 x0 处可导， 则
0 f ( x0 ) f ( x0 ) f +( x0 ) 0
故 f ( x0 ) 0.
5
罗尔(Rolle)定理 若函数 f ( x ) 满足： (1) 在闭区间 [a , b ]上连续； (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导； (3) f (a ) f (b), 则在开区间 (a , b) 内至少存在一点 , 使得 f ( ) 0. 几何解释： 如果曲线 y=f (x) 满足以上三 个条件. 那么，在曲线弧上 至少有一点 C(, f())，曲线 在 C点的切线是水平的. y
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0.
设另有 x1 (0,1), x1 x 0 , 使 f ( x1 ) 0. 不妨设 x1 x0 ,
f ( x ) 在 [ x0 , x1 ] 满足罗尔定理的条件, 至少存在一个 ( x0 , x1 ), 使得 f ( ) 0.
中值定理
F ( b ) F (a ) = b a , F ′( x ) = 1,
f (b ) f (a ) = f ′(ξ ). ba
f ( b ) f ( a ) f ′( ξ ) = F ( b ) F ( a ) F ′( ξ )
例4 设函数 f ( x )在[0,1]上连续 , 在( 0,1)内可导, 证明 :
则在(a , b )内至少存在一点 ξ, 使得 ′(ξ ) = 0.
即 f ′( ξ ) f (b) f (a ) F ′ ( ξ ) = 0, F (b ) F (a )
f ( b ) f ( a ) f ′( ξ ) . ∴ = F ( b ) F ( a ) F ′( ξ )
当 F ( x) = x,
y
C
y = f ( x)
M
N
D
B
A
o a
ξ1
x
ξ2 b
x
证 分析 条件中与罗尔定理相差 f (a ) = f (b ). 分析:
f (b) f (a ) 弦AB方程为 y = f (a ) + 方程为 ( x a ). ba 曲线 f ( x ) 减去弦 AB ,
所得曲线 a , b两端点的函数值相等 .
一、罗尔(Rolle)定理 罗尔 定理
尔 Rolle） 定 罗 （ olle） 理 如 函 f (x)在 区 [a, b] 果 数 闭 间 (2) (3) ( 上连续, 内可导, 上连续,在开区间 a, b) 内可导,且在区间端点的函数 ( 值相等， 值相等，即 f (a) = f (b),那末在 a, b) 内至少有一点 ξ(a < ξ < b),使 函 f (x)在 点 导 等 得 数 该 的 数 于零 ，
中值定理简介
法2：原命题等价于 a ex ex 在R+上恒成立 x
由罗比塔法则得……
端点效应法与中值定理法比较： ①均运用了高数知识，均属超纲…… ②罗比塔法则的后续工作量大……
(2).(2007年全国I简化)已知 f x ex ex
当x ＞0时，都有 f x ax ,求a的取值范围 初等数学法3：设 g x f x ax
即当 x＞0时,g(x)≥0恒成立 ⅰ:当a≤2时, …… ⅱ:当a＞2时，……
该法的“坑”如下： ①分类讨论的标准“a 2”，从何而来？
“幕后玩家”还是高数知识嘛！
②第二类，解方程 g/ (x) 0的工作量较大……
(3).(2008年全国Ⅱ简化)设函数 f (x) sin x
cos x 2 若对∀x＞0都有 f(x)≤ax , 求a的取值范围
揭示了，导数的局部性与函数的整体性之间的关系
一、中值定理简述
1.罗尔中值定理 2.拉格朗日中值定理 3.柯西中值定理
微分中值定理是研究函数的有力工具 是微积分学的理论基础 其中最重要的内容是拉格朗日定理 可以说其他中值定理是拉氏定理的特例或推广
微分中值定理关联图
罗尔定理
推 特例 广 f(a)=f(b)
微分中值定理在高数中的主要应用
1. 研究函数或导数的性态 2. 证明恒等式或不等式 3. 证明有关中值问题的结论
我们，只是简单介绍一下： 中值定理在初等数学中的应用： 解证不等式
利用微积分、解证不等式的常用方法
(1) 利用导数定义 (2) 利用函数的单调性 (3) 利用函数的极值和最值 (4) 利用函数的凹凸性 (5) 利用微分中值定理 (6) 利用泰勒公式 (7) 利用定积分的几何意义
高等数学- 中值定理
2
( x (0,1) ) .
拉四、格设朗a日 b(La0g，ranng1e，)中证值明定理主要用来证明不等式
nb n1 (a b) a n bn na n1 (a b) .
例五5、证明下列不等式：
1、 arctana arctanb a b ； 2、当x 1时，e x ex .
两个重要结论: (1) 如果函数 f ( x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f (x) 在区间 I 上是一个常数. 即x (a,b),若有 f ( x) 0 f ( x) C
(2) x (a,b),若有 f ( x) g( x) f (x) g(x) C
例3 验证 f (x) arctan x 在[0,1] 上满足 Lagrange中值定理的条件 .
则在 (a,b) 内至少存在一点 ，使 f() =0 .
例1 验证 f (x) x2 2x 3在区间[1,3]上满足 Rolle定理.
几何解释:
y
连续光滑曲线 y f (x)
C
在点 A、B处纵坐标相
等,则弧 AB 上至少有一
点C ,在该点处的切线是
水平的.
o a 1
y f (x)
2 b x
(1) f C[a,b] D(a,b) 且 f (a) f (b)
(a,b) , 使 f ( ) 0 ;
(2) f C[a,b] D(a,b)
(a,b)，使 f (b) f (a) f ( );
ba
f ( x) 在 x0, x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得 f () 0. 但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, x0为唯一实根.
数学分析第六章中值定理
在求函数零点中的应用
总结词
中值定理在求函数零点的问题中也有应用，通过分析函数的单调性和中值定理的关系， 可以找到函数的零点。
详细描述
在寻找函数的零点时，中值定理可以提供一些有用的线索。通过分析函数的单调性和中 值定理的关系，我们可以确定函数在某一点的导数是否为零，进而判断该点是否为函数
的零点。这种方法在一些数学问题中非常有用，例如求解微分方程和积分方程的根。
总结词
柯西中值定理是数学分析中的一个定理，它指出如果两个函数在同一个点处的导数相等，那么在这两个函数之间 至少存在一点，该点的中值等于该点的导数值。
详细描述
柯西中值定理的表述如下：如果两个连续函数$f(x)$和$g(x)$在闭区间$[a, b]$上可导，且$g'(x) neq 0$，那么 在开区间$(a, b)$内至少存在一点$xi$，使得$frac{f'(xi)}{g'(xi)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。这个定理的证 明可以通过构造辅助函数并利用零点定理来完成。
柯西中值定理的证明
要点一
总结词
利用拉格朗日中值定理证明柯西中值定理。
要点二
详细描述
首先，根据拉格朗日中值定理，如果函数$f(x)$和$g(x)$在 闭区间$[a, b]$上连续，且在开区间$(a, b)$上可导，且$g'(x) neq 0$，则存在至少一点$xi in (a, b)$使得$frac{f'(x)}{g'(x)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。然后，由于函数$f(x)$和 $g(x)$在开区间$(a, b)$上可导，根据可导函数的性质，我们 知道存在至少一点$eta in (a, b)$使得$frac{f'(x)}{g'(x)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。因此，根据柯西中值定理， 存在至少一点$xi in (a, eta)$和至少一点$eta in (xi, b)$满足 $frac{f'(x)}{g'(x)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。
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第三章 中值定理与导数的应用从第二章第一节的前言中已经知道,导致微分学产生的第三类问题是“求最大值和最小值”. 此类问题在当时的生产实践中具有深刻的应用背景,例如,求炮弹从炮管里射出后运行的水平距离(即射程),其依赖于炮筒对地面的倾斜角(即发射角). 又如,在天文学中,求行星离开太阳的最远和最近距离等. 一直以来,导数作为函数的变化率,在研究函数变化的性态中有着十分重要的意义,因而在自然科学、工程技术以及社会科学等领域中得到广泛的应用.在第二章中,我们介绍了微分学的两个基本概念—导数与微分及其计算方法. 本章以微分学基本定理—微分中值定理为基础,进一步介绍利用导数研究函数的性态,例如判断函数的单调性和凹凸性,求函数的极限、极值、最大(小)值以及函数作图的方法,最后还讨论了导数在经济学中的应用.第一节 中值定理中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系,因而称为中值定理. 中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础,又是解决微分学自身发展的一种理论性模型, 因而称为微分中值定理.内容分布图示★ 费马引理 ★ 罗尔定理★ 例1 ★ 例2★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 例6 ★ 拉格朗日中值定理 ★ 例7★ 例8 ★ 例9★ 例10 ★ 柯西中值定理 ★ 例11★ 例12★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题3-1★ 返回内容要点：一、罗尔定理：在闭区间[a , b ]上连续；在开区间(a , b )内可导；在区间端点的函数值相等, 即).()(b f a f = 结论：在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ使得 .0)(='ξf注：罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立. 分别举例说明之.罗尔定理中)()(b f a f =这个条件是相当特殊的,它使罗尔定理的应用受到限制. 拉格朗日在罗尔定理的基础上作了进一步的研究,取消了罗尔定理中这个条件的限制,但仍保留了其余两个条件,得到了在微分学中具有重要地位的拉格朗日中值定理.二、拉格朗日中值定理：在闭区间[a , b ]上连续；在开区间(a , b )内可导. 结论：在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ 使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ拉格朗日中值公式反映了可导函数在],[b a 上整体平均变化率与在),(b a 内某点ξ处函数的局部变化率的关系. 若从力学角度看,公式表示整体上的平均速度等于某一内点处的瞬时速度. 因此,拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.拉格朗日终值定理可改写为).10()(0<<∆⋅∆+'=∆θθx x x f y 称为有限增量公式.拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位,有时也称这个定理为微分中值定理. 在某些问题中,当自变量x 取得有限增量x ∆而需要函数增量的准确表达式时,拉格朗日中值定理就突显出其重要价值.推论1 如果函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零, 那末)(x f 在区间I 上是一个常数.三、柯西中值定理：在闭区间[a , b ]上连续；在开区间(a , b )内可导；在(a , b )内每一点处, 0)(≠'x g . 结论：在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ 使得)()()()()()(ξξg f b g a g b f a f ''=-- 显然, 若取,)(x x g =则,1)(,)()(='-=-x g a b a g b g 因而柯西中值定理就变成拉格朗日中值定理(微分中值定理)了. 所以柯西中值定理又称为广义中值定理.例题选讲：罗尔定理的应用例1 对函数x x f 2sin )(=在区间],0[π上验证罗尔定理的正确性.例2 (讲义例1) 不求导数, 判断函数)3)(2)(1()(---=x x x x f 的导数有几个零点及这些零点所在的范围..例3 (讲义例2) 证明方程0155=+-x x 有且仅有一个小于1的正实根.例 4 设 n a a a a ,,,,321Λ为满足012)1(3121=--++--n a a a n n Λ的实数, 试证明方程 ,0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n Λ在)2/,0(π内至少存在一个实根.例 5 设)(x f 在],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 且.0)()(==b f a f 证明: 存在),(b a ∈ξ, 使)()(ξξf f ='成立.拉格朗日中值定理的应用例6 (讲义例3) 证明 ).11(2arccos arcsin ≤≤-=+x x x π 例7 (讲义例4) 证明当0>x 时, .)1ln(1x x xx <+<+ 例8 设)(x f 是在],0[c 上可导的函数, 且)(x f '单调减少, .0)(=x f 试证: 对于,0c b a b a ≤+≤≤≤ 恒有 ).()()(b f a f b a f +≤+例9 验证柯西中值定理对函数23)(,1)(x x g x x f =+=在区间]2,1[上的正确性.柯西中值定理的应应用例10 (讲义例5) 设函数)(x f 在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点)1,0(∈ξ, 使)].0()1([2)(f f f -='ξξ课堂练习1. 试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.2. 若)(x f 是[a , b ]上的正值可微函数, 则有点)1,0(∈ξ使().)()()()(lna b f f a f b f -'=ξξ罗尔（Rolle ，1652~1719）简介：罗尔是法国数学家。
1652年4月21日生于昂贝尔特，1719年11月8日卒于巴黎。
罗尔出生于小店家庭，只受过初等教育，且结婚过早，年轻时贫困潦倒，靠充当公证人与律师抄录员的微薄收入养家糊口，他利用业余时间刻苦自学代数与丢番图的著作，并很有心得。
1682年，他解决了数学家奥扎南提出一个数论难题，受到了学术界的好评，从而名身雀起，也使他的生活有了转机，此后担任初等数学教师和陆军部行征官员。
1685年进入法国科学院，担任低级职务，到1690年才获得科学院发给的固定薪水。
此后他一直在科学院供职，1719年因中风去世。
罗尔在数学上的成就主要是在代数方面，专长于丢番图方程的研究。
罗尔所处的时代正当牛顿、莱布尼兹的微积分诞生不久，由于这一新生事物不存在逻辑上的缺陷，从而遭受多方面的非议，其中也包括罗尔，并且他是反对派中最直言不讳的一员。
1700年，在法国科学院发生了一场有关无穷小方法是否真实的论战。
在这场论战中，罗尔认为无穷小方法由于缺乏理论基础将导致谬误，并说：“微积分是巧妙的谬论的汇集”。
瓦里格农、索弗尔等人之间，展开了异常激烈的争论。
约翰.贝努利还讽刺罗尔不懂微积分。
由于罗尔对此问题表现得异常激动，致使科学院不得不屡次出面干预。
直到1706年秋天，罗尔才向瓦里格农、索弗尔等人承认他已经放弃了自己的观点，并且充分认识到无穷小分析新方法价值。
罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中指出了：在多项式方程0)(=x f 的两个相邻的实根之间，方程0)(=x f 至少有一个根。
一百多年后，即1846年，尤斯托.伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理。
拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange ，1736~1813）简介：据拉格朗日本人回忆，幼年家境富裕，可能不会作数学研究，但到青年时代，在数学家F.A.雷维里（R-evelli ）指导下学几何学后，萌发了他的数学天才。
17岁开始专攻当时迅速发展的数学分析。
他的学术生涯可分为三个时期：都灵时期（1766年以前）、柏林时期（1766—1786）、巴黎时期（1787—1813）。
拉格朗日在数学、力学和天文学三个学科中都有重大历史性的贡献，但他主要是数学家，研究力学和天文学的目的是表明数学分析的威力。
全部著作、论文、学术报告记录、学术通讯超过500篇。
拉格朗日的学术生涯主要在18世纪后半期。
当时数学、物理学和天文学是自然科学主体。
数学的主流是由微积分发展起来的数学分析，以欧洲大陆为中心；物理学了主流是力学；天文学的主流是天体力学。
数学分析的发展使力学和天体力学深化，而力学和天体力学的课题又成为数学分析发展的动力。
当时的自然科学代表人物都在此三个学科做出了历史性重大贡献。
下面就拉格朗日的主要贡献介绍如下：数学分析的开拓者1．变分法 这是拉格朗日最早研究的领域，以欧拉的思路和结果为依据，但从纯分析方法出发，得到更完善的结果。
他的第一篇论文“极大和极小的方法研究”是他研究变分法的序幕；1760年发表的“关于确定不定积分式的极大极小的一种新方法”是用分析方法建立变分法制代表作。
发表前写信给欧拉，称此文中的方法为“变分方法”。
欧拉肯定了，并在他自己的论文中正式将此方法命名为“变分法”。
变分法这个分支才真正建立起来。
2．微分方程早在都灵时期，拉格朗日就对变系数微分方程研究做工出了重大成果。
他在降阶过程中提出了以后所称的伴随方程，并证明了非齐次线性变系数方程的伴随方程，就是原方程的齐次方程。
在柏林期，他对常微分方程的奇解和特解做出历史性贡献，在1774年完成的“关于微分方程特解的研究”中系统地研究了奇解和通解的关系，明确提出由通解及其对积分常数的偏导数消去常数求出奇解的方法；还指出奇解为原方程积分曲线族的包络线。
当然，他的奇解理论还不完善，现代奇解理论的形式是由G.达布等人完成的。
除此之外，他还是一阶偏微分方程理论的建立者。
3．方程论拉格朗日在柏林的前十年，大量时间花在代数方程和超越方程的解法上。
他把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，而且还分析出一般三、四次方程能用代数方法解出的原因。
拉格朗日的想法已蕴含了置换群的概念，他的思想为后来的N.H.阿贝尔和E.伽罗瓦采用并发展,终于解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题.此外,他还提出了一种格朗日极数.4.数论著拉格朗日在1772年把欧拉40多年没有解决的费马另一猜想“一个正整数能表示为最多四个平方数的和”证明出来。
后来还证明了著名的定理：n是质数的充要条件为（n-1）!+1能被n整除。
5．函数和无穷级数同18世纪的其他数学家一样，拉格朗日也认为函数可以展开为无穷级数，而无穷级数同是多项式的推广。
泰勒级数中的拉格朗日余项就是他在这方面的代表作之一。