高等数学-中值定理证明
高等数学 第5章 第二节 定积分的性质 中值定理
（2）记 f ( x) e x2 x , x 0,2 , 则 f ( x) e x2 x 2x 1 ,
令 f ( x) 0, 得唯一驻点 x 1 ,
2
又
f
(
1
)
e
1 4
,
f (0) 1, f (2) e 2 ,
2
1
所以 m e 4 , M e 2
1
e 4 2 0
y gx
推论1 若 f x gx, x a, b,
y
则
b
a
f xdx
b
a
g
x
dx
a b.
推论 2
b
a
f
xdx
b
a
f xdx
(a b).
性质6 (估值不等式)
y f x
O xa
xbx
设 M max f x, m min f x, 则
x[ a ,b ]
x[ a ,b ]
mb
a
b
a
f
xdx
加性
c
b
c
a f ( x)dx a f ( x)dx b f ( x)dx
b
a
f ( x)dx
c
a
c
f ( x)dx b
f ( x)dx
c
a
b
f ( x)dx c
f ( x)dx
1
性质4
b
b
1dx dx b a
a
a
性质5
若 f x 0, x a,b,
则
b
a
f
xdx
0
a b.
M b
a
a b.
如
高等数学 第3章 第一节 中值定理
（函数
即
6
,
y
5
6
ln sin x
是 y
是初等函数， 且当
x
6
ln sin x 定义域内的一部分；
,
5
6
时，cossixn
y'
sin x
x
0,
cot x.)
且ln s in
lnsin 5
ln 1 .
6
62
令 y' cos x cot x 0, sin x
得 x , 5 .
F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的全部条件，且：
'(x) f '(x) f (b) f (a) F '(x)
F(b) F(a)
Y F , f Fb, f b
C•
•B
由罗尔定理，至少存在一点 ∈（a，b） ，
即：
使
f
'( )
'( ) 0,
f (b) f (a) F '( ) 0
即 1、 2、 3都是方程 f 'x 0 的根。 注意到 f ' x 0 为三次方程， 它最多有三个根。
我们已经找到它的三个实根
1、 2、 3 ,
所以这三个根就是方程
f 'x 0 的全部根。
14
例3 证明当x 0时， x ln1 x x
1 x
证 设f x ln1 x, 显然，函数 f x 在 0, x 上满足
f (b) f (a)
O a
bx
结论等价于： f f b f a
ba
或： f f b f a 0
ba
AB的方程为：
高等数学6讲中值定理
第六讲 中值定理一、罗尔(Rolle)定理1、引理(费马引理) 设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义,若()f x 在点0x 可导,且0()x U x ∀∈有0()()f x f x ≤ (或0()()f x f x ≥).则0()0f x '=.2、定理(罗尔定理) 若函数()f x 满足:(1)在闭区间[,]a b 上连续; (2)在开区间(,)a b 内可导; (3)()()=f a f b , 则至少存在一点(,)∈a b ξ,使()0'=f ξ3、几何意义：例1 验证函数3()3=-f x x x在[内至少存在一点ξ,使得()0'=f ξ,并求出ξ的具体位置例 2 设,,a b c 是任意实数,证明32432ax bx cx a b c ++=++在(0,1)内至少有一个实根.二、拉格朗日(Lagrange)中值定理1、定理(拉格朗日中值定理) 如果函数()f x 满足：(1)在闭区间[,]a b 上连续； (2)在开区间(,)a b 内可导,则至少存在一点(,)∈a b ξ,使得： ()()()-'=-f b f a f b a ξ. 2、几何意义：例3 证明不等式ln --<<b a b b a b a a (0)<<a b . 3. 两个重要推论推论 1 如果函数()f x 在区间(,)a b 内可导,则()f x 在(,)a b 内恒等于常数的充要条件是()0'≡f x .推论2 如果函数()f x 、()g x 在区间(,)a b 内可导,且对任意的(,)∈x a b 有()()''=f x g x ,则在区间(,)a b 内()f x 与()g x 只差一个常数C ,即()()=+f x g x C例4 试证明恒等式:arctan arctan ()2x x e e x π-+=-∞<<+∞课堂练习1. 利用微分中值定理证明下列不等式: (1)sin sin b a b a -≤-;(2)1(0)x x x e xe x <-<>.2. 证明恒等式: arcsin arccos (11)2x x x π+=-≤≤.3. 设()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(1)0f =,证明存在一点(0,1)ξ∈,使 ()()0f f ξξξ'+=.。
高等数学- 中值定理
2
( x (0,1) ) .
拉四、格设朗a日 b(La0g，ranng1e，)中证值明定理主要用来证明不等式
nb n1 (a b) a n bn na n1 (a b) .
例五5、证明下列不等式：
1、 arctana arctanb a b ； 2、当x 1时，e x ex .
两个重要结论: (1) 如果函数 f ( x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f (x) 在区间 I 上是一个常数. 即x (a,b),若有 f ( x) 0 f ( x) C
(2) x (a,b),若有 f ( x) g( x) f (x) g(x) C
例3 验证 f (x) arctan x 在[0,1] 上满足 Lagrange中值定理的条件 .
则在 (a,b) 内至少存在一点 ，使 f() =0 .
例1 验证 f (x) x2 2x 3在区间[1,3]上满足 Rolle定理.
几何解释:
y
连续光滑曲线 y f (x)
C
在点 A、B处纵坐标相
等,则弧 AB 上至少有一
点C ,在该点处的切线是
水平的.
o a 1
y f (x)
2 b x
(1) f C[a,b] D(a,b) 且 f (a) f (b)
(a,b) , 使 f ( ) 0 ;
(2) f C[a,b] D(a,b)
(a,b)，使 f (b) f (a) f ( );
ba
f ( x) 在 x0, x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得 f () 0. 但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, x0为唯一实根.
高等数学常见中值定理证明及应用
中值定理首先我们来看看几大定理：1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M ，最小值m,若m ≤C ≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C 。
（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。
此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。
2、 零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得f`(x)=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得 f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得)`()`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
高数大一上知识点总结中值定理
高数大一上知识点总结中值定理高等数学（一）知识点总结：中值定理在大一上学期的高等数学课程中，我们学习了许多重要的数学知识和定理，其中之一就是中值定理。
中值定理是微积分中的重要定理之一，它在分析函数的性质以及解决实际问题中扮演着重要的角色。
本文将对中值定理进行总结和讨论。
一、中值定理概述中值定理是微积分的基本定理之一，它包括三个重要的定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这些定理都是以其创立者的名字命名的，它们在解决函数连续性和导数性质相关问题时非常有用。
二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理中最常见和基础的一个。
它得出的结论是：如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)上至少存在一个点c，使得函数的导数等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。
换句话说，存在c∈(a, b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
三、柯西中值定理柯西中值定理是在拉格朗日中值定理的基础上进行拓展得到的。
柯西中值定理的条件为：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0。
那么在(a, b)上至少存在一点c，使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) = f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理的重要性在于它将一个函数的导数和在另一个函数上的值联系在一起。
这个定理可以用于证明其他重要的数学定理，如罗尔定理和拉格朗日定理的推广形式。
四、罗尔中值定理罗尔中值定理是中值定理中的一个特例，它的前提条件是函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a)=f(b)。
那么在(a, b)上至少存在一个点c，使得f'(c)=0。
罗尔中值定理的直观理解是：如果一个函数在两个端点处取相同的值，那么在函数曲线上至少存在一个点处的切线斜率为零。
高等数学第一节中值定理、罗比塔法则
例 2 lim e x - e-x - 2 x x0 x - sin x
lim e x e-x - 2 x0 1 - cos x
(0) 0
lim e x - e-x lim e x e-x 2
x0 sin x
x0 cos x
注
在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为
未定式，若不是未定式，不可使用法则。
- arctan x
例3
求 lim 2 x
1
.
(0) 0
x
解
原式
lim
x
-
1 -
1
x 1 x2
2
x2
lim x1
x2
1.
例4 求 lim ln cot x . x0 ln x
()
1 (-x
x0
1
lim - x0 sin x cosx
（3）本节定理给出的是求未定式的一种方法。当定理 条件满足时，所求的极限当然存在(或为)，但定理条件 不满足时，所求极限却不一定不存在。
3.其它类型的不定式
(1)"0 "型
1
例6
lim
x0
x ln x
ln x
lim
x0
1
x
lim
x0
-
x 1
x2
- lim x x0
0
1. 0型不定式
0
定理2(洛必达法则1) 设函数 f (x)、j(x) 在点
x0 的左右近旁有定义，若有
（1） lim f ( x) = lim j( x) = 0;
x → x0
x → x0
高数中值定理
高数中值定理，语句通顺顺畅中值定理是高等数学中的一个重要定理，它指的是一个多项式的极值点（最大值点或最小值点）必须是位于它的表达式和它的一阶导数之间的根点（即零点）。
它建立在极值定理的基础上，是几何分析学的一项重要基础理论。
中值定理的主要应用在几何分析学中，即，如果一个函数f(x)在一段区间上经过最大值点，或者在另一段区间上经过最小值点，那么这两个区间之间，必然存在一个极点，它是函数f(x)和它的一阶导数f'(x)的零点，也就是说，当函数f(x)的值等于f'(x)的值时，函数f(x)在此点取到最大值，或者最小值。
中值定理的原理可以用一个例子简单地表述，假设有一个函数f(x)，它满足条件f(x) >= 0和f'(x) = 0这样的关系，那么说明函数f(x)在点x处取到最大值，这就是中值定理的基本原理。
因此，中值定理为几何学研究者提供了参数估计、函数研究、函数优化和曲线研究等等实用的技术手段，其中，最基本的应用有两个。
一是采用中值定理的思路，可以轻松地求出一个下限，数学上叫最小值；二是采用中值定理的思路，可以求出一个上限，数学上叫最大值。
中值定理的对象也比较广泛，其函数不仅可以是二元函数（一般情况下，指多项式函数），也可以是n元函数（一般情况下，指函数组）。
不管哪种函数，在经过极值点后，它们都可以使用中值定理去验证它们是否达到极值点。
此外，中值定理也可以用于数学研究中求解积分。
例如，当估算函数f(x)在（a,b）内的最小值时，可以使用中值定理求解积分。
总之，中值定理是一个非常有用的定理，它不仅可以用于几何分析，而且可以应用于数学的普遍性研究。
学习和使用中值定理，非常有必要，能使我们更加深入地理解几何学和数学，并有效解决实际问题。
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若结论是
f '' 0
1.在不同区间用
罗尔找到 1,2
2.在 1,2 用一
次罗尔
柯西中值 定理
1.同一字母同一 侧，分别积分， 找原函数 F,G 2.对 F,G 用柯西
泰勒定理
1.在 题 目 出 现 的
某点泰勒展开
2.带入其他点，寻
找与结论之间的
1
关系（有时会结合
介值定理）
1.闭区间上连续函数定理 ① ② ③ ④ 2.微分中值定理 ①
（1） 存在（0，1）内两个不同的点 , ，使得 f ' ( ) f ' () 2 .
（2）
存在（0，1）内两个不同的点 , ，使得
1 f ' ( )
1 f ' ()
2 .
（3） 存在（0，1）内两个不同的点 , ，使得 f ' ( ) f ' () 1 .
f ' ( ) （4） 存在（0，1）内两个不同的点 , 及大于零的常数 ，使得 f ' () （5） 对于任意的正整数 n，存在（0，1）内两个不同的点 , 及常数 0 ，
3
5.若 f (x) 在[0,1] 上可导，且当 x [0,1] 时有 0 f (x) 1，且 f (x) 1，证明：在 (0,1) 内有且仅有一个点 使得 f ( )
6.设 f (x) 在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且 f (0) = f (1) =0， f (1 ) =1。试证 2
②
③
④
3.积分中值定理 ① ②
不等式证明思路 构造函数（利用极值） 拉格朗日中值定理 函数凹凸性定义
2
1.若 f (x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 上可导， f (a) f (b) 0 ，证明： R ， (a,b) 使得： f ( ) f ( ) 0
2.设 a,b 0 ，证明： (a,b) ，使得 aeb bea (1 )e (a b)
至少存在一个 (0，1)，使 f ¢(x) =1
7.设 f (x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 f (0) f (1) 试证存在 和 .满足 0 1，使 f ( ) f () 0 .
8.设 f (x) 在[a,b] 上连续, (a,b) 内可导 (0 a b), f (a) f (b),
第三章 中值定理证明
题目类型
定 理
结论只包含
f , f ',
结论包含
1. f , f ', a,b, , 2. f ', g ', a, b, ,
结论包含 反对幂指三
+ f , f ', g, g',,
结论包含
f ', f '', f ''', a, b,
等式或不等式
罗尔定理
1.移项=0 2.构造函数 常微分方程 （C=F(x)） 不定积分 3.验证 F(a)=F(b) （结合零点/介值 /积分中值）
13.设 f x在-1,1具有三阶连续导数，且 f -1 0，f 1 1, f '0 0, 证明：在 -1,1 至少存在一点 ，使得 f ''' 3
14.设 f x 在 a,b，0 a b 上连续，在 a,b 内可导， 试证 , a,b ，使得 f ' 2 f '
ab
15.设 f x 在 0,1，上连续，在 0,1内可导，且
3.设 f (x) 在 (0,1) 内有二阶导数，且 f (1) 0 ，有 F (x) x2 f (x) 证明：在 (0,1) 内 至少存在一点 ，使得： F( ) 0
4.设 f (x) 在[0，2a]上连续， f (0) f (2a) ，证明在[0,a]上存在 使得 f (a ) f ( ) .
4
证明: , (a, b) 使
f
(
)
ab 2
f
( ).
9. 已知函数 f (x) 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导， 0 a b ，证明存在 , (a, b) ，使 3 2 f / ( ) (a 2 ab b2 ) f / ()
10. 设 f (x) 在[0，1]上连续（0，1）内可导， f (0) 0 ， f (1) 1，试分别证明：
f ' ( ) 使得 f () = n( 1) .
5
11.设
f xLeabharlann 在0,1 上 连 续 ， 且
1 0
f xdx
0
，证明：至少存在一点
，使得
0
f
t dt
f
12.设 f x 在 a,b上连续，在 a,b内可导，且 f 'x 0, 试证 , a,b ，使得
f f
' '
eb b
ea a
e
6
f 1 0,
2
e f x
arctan
xdx
1
,
试证
0,1 ，使得
1 2
arc tan
f
'
1
0
2
7
16.设 f x 在 [a,) 上连续，在 (a,) 内可导，且方程 f x 0 在上有根，又
f a 0 ，证明方程 f x 0 在 a, a f x 内有唯一的实根.
k
17.设函数在 0，1上连续，并且对 0，1任意一点 x 有： 0 f x 1 ,求证：在上必 存在一点 ，使得 f .
18.设函数 f (x) 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导， f (0) 0 ， f (1) 1.证明： (1)在(0,1)内存在 ，使得 f ( ) 1 ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点 ，使得f / ( ) f / () 1
8
拉格朗日 中值定理
一．
1.目 标 是 寻 找 区 间 里某点 C 2.在 两 个 区 间 分 别 用拉格朗日定理,带 入结论，找到确定 C 点的方法（零点或者 介值定理）
1.一柯 2.一拉+一拉 3.一拉+一柯
二． , 没有大小关
系 1.同一字母同一侧， 分别积分，找到 F,G 2.对 F,G 用拉格朗日 定理 3.比 较 跟 结 论 的 关 系