微积分基本定理的证明

理学院

School of Sciences

微积分基本定理的证明

Proof of the fundamental theorem of calculus

学生姓名：张智

学生学号：201001164

所在班级：数学101

所在专业：数学与应用数学

指导老师：杨志林

摘要

微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，自十七世纪以来，微积分不断完善成为一门学科。而微积分基本定理的则是微积分中最重要的定理，它的建立标志着微积分的完成，成为数学发展史的一个里程碑。因此就有了研究微积分基本定理的必要性。本文从十七世纪到二十世纪以来的科学家如巴罗、牛顿、莱布尼兹、柯西、黎曼、勒贝格等人对微积分基本定理的发展所作出的贡献展开论述。并论述了定理在微积分学理论发展中的应用。如换元公式、分部积分公式、Taylor中值定理的积分证明、连续函数的零点定理的证明，建立了微分中值定理与积分中值定理的联系，在一元函数和多元函数上的推广等等。最后给出定理的几个证明方法。

关键词：微积分基本定理，发展史，定理的应用，定理的证明

ABSTRACT

Calculus the subject in the position of the development of mathematics is very important,since seventeenth Century,calculus constantly improved as a discipline.While the fundamental theorem of calculus is the most important theorems in calculus,which establishment marks the complete of the calculus, become a milepost of the development history of mathematics. So it is necessary to study the fundamental theorem of calculus. In this paper,since seventeenth Century to twentieth Century,launches the elaboration from scientists such as Barrow, Newton, Leibniz, Cauchy, Riemann, Lebesgue and others on made the contribution to the development of the fundamental theorem of calculus. And discusses the application of theorem in the development of the calculus theory.Such as the transform formula, integral formula of integration by parts, proof of the Taylor mean value theorem of continuous function, the zero point theorem proof, established the differential mean value theorem and the integral mean value theorem in contact,a unary function and multivariate function on the promotion and so on.Finally gave several proofs of the theorem.

Keywords:Fundamental Theorem of Calculus,phylogeny,Application,Proof

目录

摘要..................................................................... I ABSTRACT ................................................................. II 第一章微积分基本定理发展历史 (1)

1.1前言 (1)

1.2巴罗的几何形式的微积分基本定理 (1)

1.3牛顿的反流数形式的微积分基本定理 (3)

1.4莱布尼兹的建立在符号基本上的微积分基本定理 (4)

1.5柯西现代形式的微积分基本定理 (5)

1.6黎曼积分下的微积分基本定理 (6)

1.7勒贝格测度积分论下的微积分基本定理 (8)

第二章微积分基本定理的应用 (10)

2.1微积分基本定理在微积分学理论发展中的应用 (10)

2.2微积分基本定理在换元公式和分部积分中的应用 (11)

2.3微积分基本定理在Taylor中值定理的积分证明中的应用 (12)

2.4利用微积分基本定理证明连续函数的零点定理 (13)

2.5一元函数牛顿一莱布尼兹公式的推广 (14)

2.6 二元函数牛顿一莱布尼兹公式的推广 (16)

第三章微积分基本定理的证明 (20)

3.1微积分基本定理的一个证明 (20)

3.2 利用定积分的定义证明微积分基本定理 (21)

3.3 利用微分证明微积分基本定理 (22)

3.4 利用中值定理证明微积分基本定理 (22)

3.5在实变函数中勒贝格对微积分基本定理进行了进一步的探索 (22)

结论 (23)

致谢 (23)

参考文献 (24)

第一章 微积分基本定理发展历史

1.1前言

微积分是经典数学的重要内容，曾引起马克思、恩格斯、列宁的关心和兴趣。他们从哲学家的角度，对微积分及其发展史进行深入地研究，并对微积分的本质进行了广泛的讨论。认为微分和积分是微积分的主要研究对象，它们之间的矛盾是微积分的主要矛盾，明确指出：微积分这门科学，是研究微分和积分这对矛盾的科学。为我们研究微积分及其历史提供了线索。本文以研究反映微分和积分内在联系的微积分基本定理发展为主线，简叙微积分发展历史。

事物是普遍联系的，发现事物的一种联系，是一种创造。从哲学角度来说，事物相距越远，其发现难度就越大，就越能说明事物之间的联系，其发现的意义也就越大。微积分基本定理就是这样一项发现和创造。

微积分基本定理)()()(a F b F dx x f b

a -=?作为微积分的核心定理，一方面，它将求函

数定积分计算化为求函数原函数的计算，从而简化了定积分的计算，为微积分的应用带来了活力。另一方面，它在理论上揭示了微分和积分这对矛盾的内在联系和转化规律。因此，微积分基本定理的确定和完善，成为微积分发展的标志，在微积分发展史上有着重要的意义。

微积分基本定理从发现到形成现在的形式，跨度将近二个世纪，大致分为萌芽、创立和完善三个阶段，作出贡献的有巴罗、牛顿、莱布尼兹、柯西、黎曼、勒贝格等人。

1.2巴罗的几何形式的微积分基本定理

微分和积分的概念，古而有之，在古希腊时代，伟大数学家就创立了求抛物线切线的方法。我国古代数学家祖冲之利用无穷小分割的方法，计算出圆周率为3．1415926，创造了中国古代数学的辉煌一章。所有这些，都为微积分创立做了必要的准备。特别从15—16世纪欧洲文艺复兴时代以来，一大批数学家沿着古人的道路，在求切线，求面积和体积这两类微分和积分的基本问题上进行了深入的研究，得到了用无穷小方法求切线和面积的方法，为微积分的诞生做出了贡献，其中有培根、韦达、费马、笛卡尔、开普勒、帕斯卡等人。由于时代的限制，这些研究都是针对个别问题的，并未形成统一的方

法。特别是他们并未看到“求切线”和“求面积”之间的互逆关系。利用这种关系可以将“求面积”这一繁琐的运算化为“求切线”的逆运算这一简便计算的事实，所以他们并未成为微积分学说的创立者。

在历史上，十七世纪英国数学家巴罗是第一个看到这一互逆关系的人。巴罗(1630～1677)，曾任剑桥大学第一任“卢卡斯教授”，三一学院院长和剑桥大学副校长，牛顿的老师。他的代表作有：《数学讲义》(1664～1666)，《光学讲义》(1669)，《几何讲义》(1670)。在数学方面的主要贡献有：给出求曲线切线的方法，引入“微分三角形 的概念，以明确形式给出了求切线和求面积之间的互逆关系。所有这些，对于后人，特别是对于牛顿和莱布尼兹确立微积分体系有着重要的启发，对于后人，巴罗被认为是微积分创立的先驱者。

他在《几何讲义》一书的第10讲和第l1讲中，以几何形式给出了求面积和求切线的互逆关系，这一关系用现代数学语言可以表叙为：

建立坐标系XOY ，使OY 向下，现有增函数)(x f y =在坐标系中表示为曲线BGE(图1)，D(x,0)为OX 上任一点，曲线BGE 和OD 及纵线BO ，ED 所围成的面积(即曲边梯形OBED 的面积)是x 的函数，记作S(x)，为了便于比较，以OY 的反方向为OZ,建立坐标系XOZ ，作出函数Z=S(x)的曲线OIF ，F(x ，S(x ))是ED 延长线与曲线的交点，在OX 上取点T ，使得y

x S ED DF TD )

(=

=

。巴罗断言直线TF 是曲线OIF 在点F 的切线(原话是TF 仅在点F 与OIF 相接触)，并以较为初等方法加以证明。

很容易看出直线TF 是分析意义下面积函数S(x)的切线。若同时适当地定义斜率，则上述结论就相当于

?==

'x

x F du u f dx d x S 0

)()()(。 巴罗的这一结果被认为是微积分基本定理的最早形式，从而对微积分的创立起到了巨大的作用。由于这一结果是甩几何语言叙述的，较难理解，应用也较为困难，再加上巴罗本人对于接近微积分基本定理的重大发现似乎认识不足，因此这一发现在当时影响不大。再加上他的兴趣日益转向神学，1669年，巴罗主动宣布牛顿的才华超过自己，并

将“卢卡斯教授”这一重要职位让给了年仅26岁的牛顿，从而为牛顿在科学研究中显示自己的才华创造了机会。与此同时，揭示微分和积分内在联系，确立微积分基本定理在微积分学中核心地位的重任历史地落在牛顿和莱布尼兹肩上。

1.3牛顿的反流数形式的微积分基本定理

牛顿(1642~1727)是英国最伟大的数学家、物理学家、天文学家，微积分学的奠基人。一般认为牛顿是在前人的工作基础上进行分析和综合的基础上建立他的理论体系的，他将古希腊以来求解无穷小问题的各种技巧统一为两类普遍的算法——微分和积分。以“流数”(导数)为该理论的核心概念，并通过逆过程(反流数)来解决面积等积分问题，是牛顿构建微积分理论的主要特点。

牛顿研究微积分的代表怍有三本：《论流数》写于1666年；《无穷多项方程的分析》写于1669年，发表于1711年；《流数法和无穷级数》写于1671年，发表于1736年。 牛顿被认为是完全继承了费马和瓦里斯的无穷小算法，实际上他的发展远大于继承。他从瓦里斯的整数幂有限项级数得到启发，发现了无穷级数的二项式定理。使无穷小更富于活力，并使他可以从函数关系中自变量的无穷小量变化和相应的函数变化量之闯的比例关系加以考虑，从而得到人类有史以来最有力的数学工具——微分方法及其思想，牛顿称之为“流数法” 。进而，他发现反流数法，可以由切线求出曲线，由流数求出函数，更加神奇地是利用反流数法，可以轻松求出曲线所围图形的面积，而不必借助复杂的穷竭法求面积。

牛顿将求曲线切线和求面积之间的互逆关系从巴罗的纯几何形式推广到代数形式的互逆运算形式，这是历史上第一次以明确形式给出了微积分基本定理。 以下是牛顿在《论流数》中首次给出的微积分基本定理：

设y 为曲线)(x f g =下图形abc 的面积，作de//ab ，ad ⊥ab ，ce ⊥de ，be=1，当垂直线cbe 以单位速度向右移动时，cb 扫出面积abe=y ，其流数

q dt dy =??? ??，be 扫出adeb=x ，其流数1==??

?

??p dt dx 。因此，)(x f q p

q

dt dx dt dy dx dy ===?

??? ??=??? ??,于是面积y

可以通过面积

的变化率)(x f dx dy =??

?

??，经过反流数求得(如图2)。

这里，牛顿虽未以命题形式叙述和证明微积分基本定理，但他确实很清楚地看到这个事实，并应用它使许多动力学、运动学的问题到牛顿手里变为简单问题，从而使牛顿在经典物理学做了开创性的工作。牛顿在以后的著作中，如《流效法和无穷级数》中将微积分分为二个基本问题：已知流量关系，求流数比；已知含流致的方程，求流量的关系，从而确定这两个问题的互逆关系，进而建构起系统的微分法和反微分法。

1.4莱布尼兹的建立在符号基本上的微积分基本定理

莱布尼兹(1646~1716)，德国伟大的哲学家、数学家、微积分的奠基人之一。 他开始研究数学的时间比牛顿要晚，在十七世纪七十年代，他开始了解到笛卡尔、瓦里斯、巴罗在研究做积分的初期工作，并萌发了与做积分有关的思想。做为一位哲学家，他是从发现和揭示做积分基本原理入手发展他的学说的，独立的微分dx 和dy 作为他的体系基本概念，面积和体积被看成为若干个微分之和。

巴罗的微分三角形对莱布尼兹有着重要启发，对微分三角形的研究，使他意识到：曲线切线依赖于纵坐标的差值与横坐标差值之比，求面积依赖于横坐标的无穷小区间的纵坐标之和，再加上他对整数平方和序列中“和”与 差”关系的研究，使他意识到求切线和求积问题是一对互逆的问题，从而促使他去研究“?”的运算(积分)和“d ”的运算(微分)之间的关系。在他研究了积分和微分的运算之后，注意到这样一个事实：

“对于xdx pdx =，转换成和式就变为??=xdx pdx ，而从我们所建立的求切线方法中，明显地有xdx x d

=221，所以反过来?=xdx x 22

1

．因此作为普通运算的幂和根式，和与差，“?”和“d ”是互逆的。”

通过以上不充分的论证，莱布尼兹第一次表达出微分和积分之间的互逆关系。 1675~1676年间，他给出微积分基本定理

A dx x f a f b f dx

df

b

a

=-=??

)(),()(， 其中A 为曲线，所围图形的面积。1693年，他给出了上述定理的一个证明．以上这些都发表在《教师学报》上。

将微分和积分统一起来，是微积分理论得以建立的一个重要标志。牛顿和莱布尼兹

在前人研究的基础上，各自独立地将微分和积分真正地沟通。通过微积分基本定理将两种运算统一起来，明确这对矛盾是可以转化的，是一对互逆的运算，这是建立微积分的关键所在，只有确定了这一基本关系，才能构建系统的微积分理论，并从对各种微分和求积公式中，归纳出共同的算法，从而为微积分应用提供了有力武器。这就是牛顿、莱布尼兹做为微积分理论奠基人的主要功绩。

1.5柯西现代形式的微积分基本定理

牛顿和莱布尼兹的做积分体积中，总是将积分看成微分的逆运算，并且他们的积分概念也是含糊不清的，有时指为定积分，有时又为不定积分、特别是将积分定义为微分的逆命题，从某种意义上影响了积分学做为相对独立数学分枝的发展，造成了微积分发展的曲折，这种情况到微积分进行严格化尝试时才有所变化。

柯西(1779～1857)，十九世纪法国著名的数学家，他在分析基础、单复变函数、常微分方程方面作出巨大贡献。他是微积分的真正理论基础——极限理论的缔造者。我们今天看到极限、连续性定义、把导数看成差商的极限、把定积分看成和的极限、微积分基本定理现代形式和证明，事实上都是柯西给出的。

柯西在他的《无穷小计算概念}(1823)中对定积分作了最系统的开创性工作，首先他恢复了把积分作为和的特征。

他对连续函数f(x)给出了定积分作为和的特征，他指出；如果f(x)是定义在区间[]x x ,0上连续函数，区间[]x x ,0为x 的值121,-?n x x x ，，所分割，那么f(x)在[]x x ,0上的积分是指特征和式

).())(())((1121010--+?+-+-n n x x f x x x f x x x f

当i i x x -+1无限地减小时的极限。柯西证明了“这个极限仅仅依赖于函数f(x)的形式以及变量x 的两端值X x 和0” ，因此他称这个极限为定积分，记作?X

x dx x f 0)(。用以代替高

斯对反微分法经常使用的记号??

?

????==a x b x dx x f )(。 接着柯西定义，?=x x dx x f x F 0

)()(，利用推理证明了F(x)在[]X x ,0上连续，并且设

.)(1)()(?+=-+h

x x

dx x f h h x F h x F

利用积分中值定理证明了)()(0x f dx x f x

x ='??

?????，即f(x)在区间[]x x ,0上的定积分的导数就是f(x)的本身。这就是微积分基本定理的现代形式，所给的证明也是微积分基本定理第一个严格的证明。

柯西接着证明了：给定函数f(x)的全体原函数彼此只差一个常数之后，定义了不定积分

?

?+=x

a

c dx x f dx x f )()(。

在这一著作中，柯西指出，若)(x f '连续，则)()()(a f b f dx x f b a

-='?。从而完成了揭示微

积分基本定理的全部任务。

1.6黎曼积分下的微积分基本定理

黎曼（1826~1866），19世纪最富有创造性的德国数学家、数学物理学家。是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。对l9世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡献。 18世纪末到l9世纪初，数学界开始关心数学最庞大的分支——微积分在概念和证明中表现出的不严密性。波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱进而到维尔斯特拉斯，都以全力的投入到分析的严密化工作中。黎曼由于在柏林大学从师狄利克莱研究数学，且对柯西和阿贝尔的工作有深入的了解，因而对微积分理论有其独到的见解。

1854年黎曼为取得哥廷根大学编外讲师的资格，需要他递交一篇反映他学术水平的论文。他交出的是《关于利用三角级数表示一个函数的可能性的》文章。这是一篇内容丰富、思想深刻的杰作，对完善分析理论产生深远的影响。

柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于连续与可微性的关系上，柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信，而且在后来50年中许多教科书都“证明”连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例，最终讲清连续与可微的关系。

黎曼建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分存在的必要充分条件。（即柯西-黎曼方程）

设函数),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 内，并且在D 内一点iy x z +=可导。所以对于充分小的0>?+?=?y i x z ，有

z z z z f z f z z f ??+?'=-?+)()()()(ρ，

其中 .0)(l i m

=?→?z z ρ 令v i u z f z z f ?+?=-?+)()(，ib a z f +=')(，21)(ρρρi z +=?。 由上式得

))(())((21y i x i y i x ib a v i u ?+?++?+?+=?+?ρρ ).()(1221y x y a x b i y x y b x a ?+?+?+?+?-?+?-?=ρρρρ

从而就有

.

,1221y x y a x b v y x y b x a u ?+?+?+?=??-?+?-?=?ρρρρ

由于0)(lim 0

=?→?z z ρ，所以.0lim ,0lim 20

10

==→?→?→?→?ρρy x y x 因此得知),(y x u 和),(y x v 在),(y x 可微，而

且满足方程

y v x u a ??=??=

，.x

v

y u b ??-=??=-

这就是函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内一点iy x z +=可导的必要充分条件。 方程

y v x u ??=??，x

v

y u ??-=?? 即为柯西-黎曼方程。

黎曼积分下的微积分基本定理为：若)(x f 在[]b a ,上可微，)(x f '在[]b a ,上黎曼可积，则).()()()(a f b f dx x f R b

a -='?

黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。多年以后，当黎曼的想法在物理界完全成熟、开花结果时，爱因斯坦曾经写道：“惟有黎曼这个孤独而不被世人了解的天才，在上个世纪中叶便发现了空间的新概念———空间不再一成不变，空间参与物理事件的可能性才开始显现。”对于他的贡献，人们是这样评价的：“黎曼把数学向前推进了几代人的时间”。

随着微积分学的发展，人们在利用黎曼积分时，感到它有很大的局限性，这要从黎曼积分的起源说起，我们知道黎曼积分的思想方法是“分割，近似求和，取极限”。黎曼积分在处理逐段连续的函数以及一致收敛的级数来说是足够的。然而随着集合论的一系列工作的创始，出现一些函数，在研究它们的可积性时，黎曼积分理论面临了新的挑战。特别是考虑微积分基本定理方面。在微积分基本定理中，()x f 必须可积的，但我们知道存在着可微且导数有界的函数，但其导数不是黎曼可积的。因此限制了微积分基本定理的应用范围。

1.7勒贝格测度积分论下的微积分基本定理

亨利·勒贝格（1875~1941）法国数学家，对数学的主要贡献属于积分论领域，这是实变函数理论的中心课题。19世纪以来，微积分开始进入严密化的阶段。1854年B ．黎曼(Riemann)引入了以他的名字命名的积分，这一理论的应用范围主要是连续的函数。随着K ．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)和G ．康托尔(Cantor)工作的问世，在数学中出现了许多“奇怪”的函数与现象，致使黎曼积分理论暴露出较大的局限性。几乎与这一理论发展的同时(1870~1880年)，人们就已经开展了对积分理论的改造工作当时，关于积分论的工作主要集中于无穷集合性质的探讨，而无处稠密的集合具有正的外“容度”性质的发现，使集合的测度概念在积分论的研究中占有重要地位。积分的几何意义是曲线围成的面积，黎曼积分的定义是建立在对区间长度的分割的基础上的。因此，人们自然会考虑到如何把长度、面积等概念扩充到更广泛的集合类上，从而把积分概念置于集合测度理论的框架之中。这一思想的重要性在于使人们认识到：集合的测度与可测性的推广将意味着函数的积分与可积性的推广。勒贝格积分正是建立在勒贝格测度理论的基础上的，它是黎曼积分的扩充。

勒贝格给出了集合测度的分析定义： 设n R E ?，若对于任意的n

R T ?有

)()(c E T m E T m T m *+*=*

则称E 为lebesgue 可测集，简称E 可测或称E 为可测集。在此基础上，勒贝格引入了新的积分定义：

设)(x f y =是在[]b a ,上定义的非负有界函数，即.)(0M x f m <≤≤对[]M m ,作任意的分法 M y y y y m n =

考虑点集[]{}i i i y x f y b a x E <≤∈=-)(,1，这时曲线上点的纵坐标在1-i y 与i y 之间的这一部分小“曲边梯形”的面积近似地等于底乘高。这时高可取作1-i y ，底应是集合i E 的“长度”。但一般来说，i E 不是区间，因此不见得有长度，故我们需要把“长度”的概念推广到i E ，记为)(i E m es 。这样，小“曲边梯形”的面积就近似地为)(1i i E mes y -。作和

∑=-n

i i i E m es y

1

1

)(，它便是)(x f y =在[]b a ,上的曲边梯形面积的近似值。令

0)(max 11→-=-≤≤i i n

i y y δ，如果上述和的极限存在，便定义这极限值为)(x f 在[]b a ,上的积

分：

[]

)(lim )()(11,0

i n

i i b a E mes y dx x f L ∑?

=-→=δ

Lebesgue 本人曾用生动的譬喻来解释他的方法并说明其优越性。他写道“在Cauchy 的方法（指Riemann 积分）中，是这样的操作的，就像没有经验的店员清点硬币和纸币那样，捡到那个就点那个。然而，我们在操作时就像老练并且有条理的店员那样，嘴里说着：我有)(1E mes 个一法郎的硬币，价值)(11E mes ?，我有)(2E mes 个二法郎的硬币，价值)(22E m es ?，我有)(5E m es 个五法郎的硬币，价值)(55E mes ?，…。我总共有)(11E mes ?+)(22E mes ?+)(55E mes ?+…法郎。

当然，这两个店员得到同样的结果，可是，在这些和数不清的时候，即硬币的总数为吴琼师，两种方法的差别就大了。”

在1878~1881年间，U ．迪尼(Dini)和V ．沃尔泰拉(V olterra)曾构造了这样的函数，它们具有有界的导函数，但是导函数不是黎曼可积的，从而基本定理对此是不适用的。此后，联系到黎曼积分对无界函数的推广也发现了类似的困难。然而，在新的积分理论中，勒贝格指出，对有界函数来说，这一困难是不存在的。在f'是有限值但无界的情形，只要是可积的，基本定理仍是成立的，而且这正相当于f 是有界变差函数。同时，逆向问题也被人们提出来了：何时一个连续函数是某个函数的积分？为此，A ．哈纳克(Harnack)曾导入了后来叫做绝对连续的函数。约在1890年期间，绝对连续函数就被当作绝对收敛的积分的特征性质来研究，虽然还没有人能真正证明任何绝对连续函数都是一个积分。然而，勒贝格通过对于导数几乎处处为零但函数本身并非常数的函数的考察，认识到在他的积分意义下，上述结论是正确的．从而得出了积分与原函数之间的一个完

整结果：公式(1)成立的充分且必要条件是：()x f 是[]b a ,上的绝对连续函数。 勒贝格积分下的微积分基本定理：若)(x f 为[]b a ,上的绝对连续函数，则

?-='b

a

a f

b f dx x f L )()()()(

第二章 微积分基本定理的应用

2.1微积分基本定理在微积分学理论发展中的应用

微积分主要由微分学与积分学两部分组成。历史上，微分学的中心问题是切线问题，积分学的中心问题是求积问题。微分同积分本质上是平行发展的、互不相干的两个概念，直到十七世纪后期，微积分基本定理建立之后，才在微分与积分之间架起了一座桥梁。这个定理不仅给出了计算积分的一套有效方法，而且在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分才真正成为一门学科。

（1）定理揭示了定积分与不定积分（即原函数）之间的联系，把定积分的计算归为求原函数，从而为计算定积分提供了一个十分有效的方法。

（2）定理揭示了微分与积分之间的本质联系——微分与积分是互逆运算。第一基本定理表明，对函数)(x f 取（变上限）积分之后，再取导数；或对表达式dx x f )(取积分之后，再取微分，则完全恢复原状，犹如先后进行的两种运算互相“抵消”，因此可认为微分（或导数）与积分是互相运算，第二基本定理则从另一角度对这种关系做了进一步揭示，我们用分点b x x x x a n n =<<<<=-110 对区间[]b a ,进行分割，则

()()()()[]()()[]()()[]()()[].

1111201∑=---=-++-+-=-n

i i i n n x F x F x F x F x F x F x F x F a F b F

由微分中值定理知()()()()()i i i i i i i x f x x F x F x F ?=-'=---ξξ11 其中i i i x x <<-ξ1，

1--=?i i i x x x ，n i ,,2,1 =。

于是， ()()()∑=?=-n

i i i x f a F b F 1ξ

令{}0max →?=→i n

i x λ，对上式两边取极限，得

()()()()?∑=?=-=→b

a

n

i i i dx x f x f a F b F 1

lim ξλ。

式子()()∑∑==?'=?n

i i i n i i i x F x f 1

1

ξξ可粗略理解为函数()x F 在点110,,,-n x x x 处的微分之和。

而式子()∑=→?n

i i i x f 1

lim ξλ，即积分()?b

a

dx x f 可以理解为()x F 在[]b a ,上各点处的微分“总和”。

又由于()()1--=?≈i i i i x F x F F dF ，所以()()a F b F F dF n

i i n i i -=?≈∑∑==1

1

这就从理论上揭示了

积分与微分分别是同一变量（原函数增量）的整体形式和局部形式，积分()?b

a

dx x f 是微

分i dF 的无限积累；微分i dF 是积分()?b

a

dx x f 的无限细分，这就从“和”“差”角度进一

步阐明了微分与积分之间的互逆关系。

导数、微分、不定积分与定积分是微积分学中的最重要的概念，其中微分与不定积分都是由导数定义的，三者之间的联系是明显的，但定积分同这三个概念间的联系却不能从定义中看出，正式微积分基本定理从理论上揭示了定积分与微分间的互逆关系，使微积分的四个重要概念得到了完全沟通，从而使微积分学与积分学形成一个有机整体。至此便可以看出，将定理冠以“微积分基本定理”是理所当然的了。

2.2微积分基本定理在换元公式和分部积分中的应用

微积分基本定理是微积分学的重要思想基础，如定积分的换元公式、分部积分公式的证明都用到它。

（分部积分公式）定理：设)(x u ，)(x v 在区间[]b a ,上有连续导数，则

()()()()[]()()??'-='b

a b

a dx x u x v a

b x v x u dx x v x u

上式也能写成下列形式

()()()()[]()()??-=b a

b

a

x du x v a b x v x u x dv x u

（换元公式）定理：设()x f 在区间[]b a ,上连续，()t x ?=在区间[]βα,（或区间[]αβ,）上有连续导数，其值域包含于[]b a ,，且满足()a =α?和()b =β?，则

()()()()??'=β

α??dt t t f dx x f b a

。

证 因为()x f 连续，所以必有原函数。设()x F 为()x f 的某个原函数，由复合函数求导法则，可知()()t F ?是()()()t t f ??'的一个原函数。按Leibniz Newton -公式，则有

()()()()()()()()()().??=-=-='b

a

dx x f a F b F F F dt t t f α?β???β

α

证毕 它还建立了微分中值定理与积分中值定理的联系：

假使函数()x f 在区间[]b a ,上联系，且存在原函数()x F ，利用微积分基本定理，可由关于()x F 的微分中值定理导出关于()x f 的积分中值定理，反之亦然。

()()()()()()()b a a b f a b F a F b F dx x f b

a

<<-=-'=-=?ξξξ,。

微积分基本定理还揭示了一个事实：定积分可归结为一个只与被积函数和积分区间端点有关的量，并且这一思想也可以推广到多元函数的积分，如格林公式、高斯公式、斯托克斯公式就表明多元函数在某个区域上的积分可归结为一个只与被积函数和积分区域的边界有关的量。（积分区间为区间时，其边界为区间的端点；积分区域为平面区域或曲面区域时，其边界为一条封闭曲线）

2.3微积分基本定理在Taylor 中值定理的积分证明中的应用

Taylor 中值定理是说，若)(x f 在()d c ,中有1+n 阶连续导数。则对),(,d c b a ∈?有

()()()11)(2!1)()(!)()(!2)())(()()(++-++

-++-''+-'+=n n n

n a b n f a b n a f a b a f a b a f a f b f ξ 其中，ξ介于a 、b 之间。

对此定理，大多都是通过构造辅助函数借助Cauchy 中值定理或Rolle 定理来证明的。也可用积分手段来证明，则较简明。Taylor 中值定理等价于

()()()()()()().!1!

)()(1

11∑

=++-++-=-n

k n n k

k a b n f a b k a f a f b f ξ

而此式可经由牛顿—莱布尼茨公式变形，然后直接计算得到（差的积分化+分部积分法）；

()()[]()()()()()

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()().

!1!

11!1!!1!!1!!

1!!2!

31221021))((21))(())((0

)()()()(111

111!111

012032

0220

2

000

++=++=+=+=-+-------=--++-=??

????-++-=--?+-=--+-=-+-++-''+-'=+-'''+-''+

-'=-''--??

????-''+-'=-''+-'=-''+-'=-'---'=-'=-'-='=-∑

∑

?∑

?∑???????

?

?

n n n

k k k n n n

k k k a b n n n

k k

k a b n n n k k k a b n

n n n a b a b a

b a b a

b a

b a

b t

x b b

a

a b n f a b k a f b a

x b n f n a b k a f x b d x b f n a b k a f x b d x b x f n a b k a f dt t t b f n a b n a f a b a f a b a f dt t b f a b a f a b a f t b f d t a b t b f t a b a f dt t b f a b a f dt

t b f t a b a f t b f td a b t b f t dt

t b f dt t b f dx x f a f b f ξξξ由积分第一中值定理

其中ξ介于b a 、之间。这样我们便得到

()()()()()()()().!1!

)(111

++=-++-+=∑

n n n

k k

k a b n f a b k a f a f b f ξ

2.4利用微积分基本定理证明连续函数的零点定理

若)(x f 在[]b a ,上连续，且.0)()(

形式()()x g dt t g x

a ='??? ???及微分学中的Fermat 定理来给出它的一个 微积分证明。不失普遍性。令()0>a f ，()0<

b f .令()()?=x

a dt t f x F ，则()x F 在[]

b a ,上可导（在a 处有右导数

()

+'a F ，在b 处有左导数)(-'b F ），且).()(x f x F ='由于()()()()0lim >--='=+

→+a x a F x F a F a f a x ，

由极限性质知道，[)[]

b a m a ,,??满足：()()()0,

,>--∈?a

x a F x F m a x 即()()()()a F x F a F x F >?>-0.这表明()a F 不是连续函数()x F 在[]b a ,上的最大值。同理，

()b F 也不是最大值。故()x f 在[]b a ,上的最大值只能在()b a ,中某一点c 处取到。此时c 也

是极大点。由Fermat 定理知()0='c F ，即()0=c f 。

2.5一元函数牛顿一莱布尼兹公式的推广

定理1 ：若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上可积，且存在函数)(x F 使得 (1))(x F 在[]b a ,上连续；

(2))(x F 在),(b a 内可导，且)()(x f x F ='， 则有

?

-=b

a

a F

b F dx x f )()()(。

证明：在区间[]b a ,中插入1-n 个点1121,,,,,,--??n i i x x x x x ，将区间[]b a ,n 等分，其中

()1,,2,1,,0-?=-+

===n i i n

a

b a x b x a x i n ，记1--=?i i i x x x 。 因为)(x F 在[]b a ,上连续，故有

[][]∑∑=-∞

→=--=-=-n

i i i n n

i i i x F x F x F x F a F b F 1

11

1)()(lim )()()()(。

又因为)(x F 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，且)()(x f x F ='，于是)(x F 在各个小区间[]i i x x ,1-条件，故有 ),2,1)(,(1n i x x i i i ，?=∈-ξ使得

i i i i i i i x f x x F x F x F ?=-'=---)())(()()(11ξξ。

所以 ∑=∞

→?=-n

i i i n x f a F b F 1)(l i m )()(ξ。

又因为)(x f 在闭区间[]b a ,上可积，所以无论对区间),(b a 怎样划分，以及区间

[]i i x x ,1-上的任意一点，∑=∞

→?n

i i i n x f 1

)(lim ξ皆存在并等同于同一个常数?b

a

dx x f )(，故按照将

[]b a ,等分并i ξ取上述这些i ξ的方法也有

?∑=?=-=∞

→b

a

n

i i i n dx x f x f a F b F )()(lim )()(1

ξ

定理 2：函数)(x f 在[]b a ,闭区间上可积，若存在函数)(x F 满足条件 （1）)(x F 在[]b a ,上连续；

（2）),(b a 内除有限个点外有)()(x f x F ='恒成立，则有

?

-=b

a

a F

b F dx x f )()()(。

证明：假设点))(,(,,,1210121b x x x x x a b a x x x m m m =<

[]?

∑?

∑==---=-==b

a

m

i x x m

i i i i

i a F b F x F x F dx x f dx x f 1

1

11

)()()()()()(

定理3：函数)(x f 在闭区间[]b a ,上可积，若存在函数)(x F 满足条件

)(x F 在[]b a ,上连续；在),(b a 内除点集

[]{}

为任意小正数为有限数，且εεξξξN N i b a U b a E i i i .,,2,1,),();(,0?=Φ≠∈= 外，均有

)()(x f x F ='，则

?

-=b

a

a F

b F dx x f )()()(。

证明：（1）先设E 有一个点ξ且a =ξ，因为)(x f 在[]b a ,上可积，从而)(x f 在[]b a ,上有界，即存在常数0>M ，使得[]b a x ,∈?有M x f ≤)(。又)(x F 在[]b a ,上连续，从而)

(x F 在[]b a ,上一致连续，故对0,0>?>?δε，且可要求??????

-

[]b a x x ,,∈'''?只要δ<''-'x x ，便有2

)()(ε

<

''-'x F x F 。

由于ξ为E 中的唯一点，且Φ≠),();(0b a U i εξ从而在)2

,(δ

+a a 内几乎含有E 的全

部点，而在),2

(b a δ

+内至多含有E 中有限多个点。

又由于δδ

δ

<=

-+

22

a a ，从而有2

)()2(ε

ε<-+a F a F 。 显然，)(x f 在??????+b a ,2δ上可积，)(x F 在???

???+b a ,2δ上连续且在),2(b a δ+内含有E 中

有限个点，从而除去这有限多个点之外均有)()(x f x F ='。根据定理2，有

?

+

+-=b

a a F

b F dx x f 2

)2

()()(δ

δ

。

于是

[][]?

?

?

+

+

--+=

--2

2

)()()()()()()(δ

δ

a a

b

a b

a

a F

b F dx x f dx x f a F b F dx x f

)()()2

()()(2

a F

b F a F b F dx x f a a

+-+-+=

?

+

δ

δ

εε

ε

δ

δ

=?+

<

+-+≤?+

M M

dx x f a F a F a a 22

)()()2

(2

。

由ε的任意性可知，?-=b a

a F

b F dx x f )()()(。

(2)设E 有有限个点，总可在[]b a ,中插入有限个点b c c c c c a k k =<

[]i i c c ,1-中至多有E 的一个聚点，则由(1)的证明可知

),2,1)(()()(11

k i c F c F dx x f i i c c i

i ?=-=-?

-

于是

[][][])

()()()()()()()()()()()(11211

2

1

1a F b F c F b F c F c F a F c F dx

x f dx x f dx x f dx x f k b

c c c c a

b

a

k -=-+?+-+-=+?++=-?

???

-

2.6 二元函数牛顿一莱布尼兹公式的推广

通常牛顿—莱布尼兹公式只适用于求定积分，而对于多元函数积分的计算，则是将其化为定积分来进行。事实上，在一定的条件下，可以建立多元函数的牛顿—莱布尼兹公式，从而将多元函数积分直接化为相应函数的函数值计算。这就要建立多元函数的牛