高中数学：定积分与微积分基本定理练习
【高考数学】定积分的概念、基本定理经典习题集22
(1) 令
，注意到 t>0，得 t=10
(2) 因为
的运行的路程可知结论。 解：（ Ⅰ ）令 即经过的时间为 10s;
，注意到 t>0，得 t=10 (6 分 )
（Ⅱ）
即紧急刹车后火车运行的路程为 55ln11 米。 （ 12 分）
10．（本小题满分 12 分）已知：
，证明：
【答案】 见解析
【解析】
1
．
2
2
∵ 函数在（ 0， 1 ）上 S′＜ 0，在（ 1 ， 1）上 S′＞ 0，
2
2
∴t
1
是极小值点，
2
又 S（ 1 ）
1
， S（0）
1
， S（ 1）
2
，
24
3
3
1
1
故 t 时， S＝ S1+S2 最小为 ．
2
4
【点睛】
本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．
3．计算下列定积分．
有所求面积
，
故
的图象与两坐标轴所围成图形的面积为
.
【点睛】 本题主要考査导数的逆运算和定积分在求面积中的应用，属于基础题
. 一般情况下，定
积分
的几何意义是介于 轴、曲线
以及直线
之间的
曲边梯形面积的代数和 ，其中在 轴上方的面积等于该区间上的积分值， 在 轴下方的 面积等于该区间上积分值的相反数 ,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积 与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求 解. 13．已知点 A（﹣ 1，2）是抛物线 C：y＝ 2x2 上的点，直线 l1 过点 A，且与抛物线 C 相 切，直线 l2： x＝ a（ a≠﹣ 1）交抛物线 C 于点 B，交直线 l1 于点 D ． （ 1）求直线 l1 的方程； （ 2）设 △ BAD 的面积为 S1，求 |BD|及 S1 的值； （ 3）设由抛物线 C，直线 l1， l2 所围成的图形的面积为 S2，求证： S1： S2的值为与 a 无关的常数．
高考数学总复习 3-4 定积分与微积分基本定理(理)但因为测试 新人教B版
高考数学总复习 3-4 定积分与微积分基本定理(理)但因为测试新人教B 版1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．(2010·辽宁锦州模拟)如图，阴影部分面积等于( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323 D.353[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为3．(2010·山东烟台模拟)⎠⎛024－x 2d x ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2[答案] C[解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4．已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的封闭区域的面积为92，则k 等于( )A ．2B ．1C ．3D ．4 [答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝kx 消去y 得x 2－kx ＝0，所以x ＝0或x ＝k ， 则所求区域的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3)|k 0＝92. 即12k 3－13k 3＝92，解得k ＝3.故选C. 5．(2011·汕头模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 x ∈[0，1]2－x x ∈1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56 D ．不存在 [答案] C[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x6．( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2[答案] D[解析]7．(2010·惠州模拟)⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3[解析] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] ∵＝(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4，f (x )d x＝2f (a )，∴6a 2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.9．已知则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192[解析]由已知得＝(－cos x ＋sin x) ＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2， (2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r ×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192. 10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ， 则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a 2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x ＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|ba＝16(b －a )3， ∴16(b －a )3＝43， 解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )， 其中⎩⎨⎧x ＝a ＋b 2y ＝a 2＋b22，将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1y ＝a 2＋2a ＋2， 消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.11.(2010·福建莆田市质检)如图，D 是边长为4的正方形区域，E 是区域D 内函数y ＝x 2图象下方的点构成的区域，向区域D 中随机投一点，则该点落入区域E 中的概率为( )A.15B.14C.13D.12 [答案] C[解析] 阴影部分面积S ＝2⎠⎛02x 2d x ＝2×13x 3|20＝163，又正方形面积S ′＝42＝16，∴所求概率P ＝S S ′＝13.12．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.34[答案] A[解析] 方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b 2－4c ≥0，即b 2≥c ， 由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b 2db 1×1＝13. 13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x y ＝4－x 解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y∴S ＝⎠⎛2－4[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18. 14．(2011·潍坊模拟)抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为________．[答案] 23[解析] ∵y ′＝－2x ＋4，∴在点A (1,0)处切线斜率k 1＝2，方程为y ＝2(x －1)， 在点B (3,0)处切线斜率k 2＝－2，方程为y ＝－2(x －3)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2 x －1 y ＝－2 x －3 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2，故所求面积S ＝⎠⎛12[(2x －2)－(－x 2＋4x －3)]d x ＋⎠⎛23[(－2x ＋6)－(－x 2＋4x －3)]d x ＝(13x 3－x 2＋x )|21＋(13x 3－3x 2＋9x )|32＝13＋13＝23. 15．求下列定积分．[解析]16.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R)的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112，∵a <0，∴a ＝－1.1．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π2 D ．π[答案] A [解析] 如右图，S ＝∫2π0(1－cos x )d x ＝(x －sin x )|2π0＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为⎝⎛⎭⎫π6，π，则对称性就无能为力了．2．(2011·龙岩质检)已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0[答案] B [解析]3．(2010·广东佛山顺德区质检)对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案]22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2，∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22.。
定积分及微积分基本定理练习题及答案
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x2－x)dx B ．S ＝⎠⎛01(x －x2)dxC ．S ＝⎠⎛01(y2－y)dyD ．S ＝⎠⎛01(y －y)dy [答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x2)dx.2．(2010·日照模考)a ＝⎠⎛02xdx ，b ＝⎠⎛02exdx ，c ＝⎠⎛02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b [答案] D[解读] a ＝⎠⎛02xdx ＝12x2|02＝2，b ＝⎠⎛02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝⎠⎛02sinxdx ＝－cosx|02＝1－cos2∈(1,2)，∴c<a<b.3．(2010·理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.712 [答案] A[解读] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x2－x3)dx ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3－14x401＝112.[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010·师大附中)设点P 在曲线y ＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，169 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，157 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，137 [答案] A[解读] 设P(t ，t2)(0≤t ≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S1＝⎠⎛0t (tx －x2)dx ＝t36；S2＝⎠⎛t 2(x2－tx)dx ＝83－2t ＋t36，若S1＝S2，则t ＝43，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.4．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x3所围成的图形的面积为( ) A ．4 B.43C.185D ．6[答案] A[解读] S ＝⎠⎛02x3dx ＝⎪⎪⎪x4402＝4. 5．(2010·省考试院调研)⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos1 [答案] B[解读] ⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx ＝(－cosx ＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.6．曲线y ＝cosx(0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π2D ．π [答案] A [解读] 如右图， S ＝∫02π(1－cosx)dx ＝(x －sinx)|02π＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π，则对称性就无能为力了． 7．函数F(x)＝⎠⎛0xt(t －4)dt 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解读] F ′(x)＝x(x －4)，令F ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， ∵F(－1)＝－73，F(0)＝0，F(4)＝－323，F(5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323. [点评] 一般地，F(x)＝⎠⎛0x φ(t)dt 的导数F ′(x)＝φ(x)．8．已知等差数列{an}的前n 项和Sn ＝2n2＋n ，函数f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ，若f(x)<a3，则x的取值围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫36，＋∞B ．(0，e21) C ．(e －11，e) D ．(0，e11) [答案] D[解读] f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ＝lnt|1x ＝lnx ，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，0<x<e11.9．(2010·一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC ，曲线y ＝sinx(0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 随机投一点(该点落在矩形OABC 任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π4 [答案] A[解读] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsinxdx ＝－cosx|0π＝－(cos π－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S S 矩形OABC ＝22π＝1π.10．(2010·质检)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x<02cosx 0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的图形面积S为( )A.32B ．1 C ．4 D.12 [答案] C[解读] 面积S ＝∫π2－2f(x)dx ＝⎠⎛0－2(x ＋2)dx ＋∫π202cosxdx ＝2＋2＝4.11．(2010·二十中)设函数f(x)＝x －[x]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－x3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g(x)dx 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－76[答案] A[解读] 由题意可得，当0<x<1时，[x]＝0，f(x)＝x ，当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛m n g(x)dx ＝⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 3dx ＝⎪⎪⎪－x2614＝－52.11．(2010·调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.34 [答案] A[解读] 方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c ≥0，即b2≥c ，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b2db 1×1＝13.12．(2010·省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y ＝x2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 的概率是( )A.12B.14C.13D.25 [答案] C[解读] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x2dx＝13x3|01＝13，故所求概率p ＝13.2．如图，阴影部分面积等于( )A ．23B ．2－ 3 C.323D.353 [答案] C[解读] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31 (3－x2－2x)dx ＝(3x －13x3－x2)|1－3＝323.3.⎠⎛024－x2dx ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2[答案] C[解读] 令y＝4－x2，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案] A[解读] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间行驶的路程就是该时间段速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y)|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12 C.π2－1 D.2π [答案] D [解读]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6． (sinx －cosx)dx 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2[答案] D[解读] (sinx －cosx)dx ＝(－cosx －sinx) ＝－2.7．(2010·模拟)⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝________.[答案] 3[解读] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝⎠⎛01(1＋x)dx ＋⎠⎛12(3－x)dx＝(x ＋12x2)|10＋(3x －12x2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解读] ∵⎠⎛1－1f(x)dx ＝⎠⎛1－1(3x2＋2x ＋1)dx ＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)，∴6a2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.9．已知a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x2项的系数是________．[答案] －192[解读] 由已知得a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ＝(－cosx ＋sinx)|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是Tr ＋1＝(－1)r ×Cr 6×26－r ×x3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解读] 设直线与抛物线的两个交点分别为A(a ，a2)，B(b ，b2)，不妨设a<b ， 则直线AB 的方程为y －a2＝b2－a2b －a(x －a)， 即y ＝(a ＋b)x －ab.则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛a b[(a ＋b)x －ab －x2]dx ＝(a ＋b2x2－abx －x33)|b a ＝16(b －a)3，∴16(b －a)3＝43， 解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P(x ，y)，其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x2＋1.能力拓展提升11.(2012·二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝⎠⎛034xdx ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12[答案] C[解读] 因为S3＝⎠⎛034xdx ＝2x2|30＝18，所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．(2012·模拟)已知(xlnx)′＝lnx ＋1，则⎠⎛1elnxdx ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解读] 由(xlnx)′＝lnx ＋1，联想到(xlnx －x)′＝(lnx ＋1)－1＝lnx ，于是⎠⎛1elnxdx ＝(xlnx －x)|e 1＝(elne －e)－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解读] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y)－y22]dy ＝(4y －y22－y36)|2－4＝18.14.已知函数f(x)＝ex －1，直线l1：x ＝1，l2：y ＝et －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y 轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解读] 由题意得S1＋S2＝⎠⎛0t (et －1－ex ＋1)dx ＋⎠⎛t 1(ex －1－et ＋1)dx ＝⎠⎛0t (et －ex)dx＋⎠⎛t 1(ex －et)dx ＝(xet －ex)|t 0＋(ex －xet)|1t ＝(2t －3)et ＋e ＋1，令g(t)＝(2t －3)et ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t)＝2et ＋(2t －3)et ＝(2t －1)et ，令g ′(t)＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t)<0，g(t)是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t)>0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为g(12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2. 15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x|dx 。
2023年高考数学微专题练习专练15定积分与微积分基本定理含解析理
专练15 定积分与微积分基本定理命题范围：积分的概念与运算、微积分基本定理．[基础强化]一、选择题1.⎠⎛12(x －2)d x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－122．若f(x)＝x 2＋2⎠⎛01f(x)d x ，则⎠⎛01f(x)d x ＝( )A .－1B ．－13C ．13D ．13．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．22B ．4 2C ．2D ．44．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b5.⎠⎛－11(1－x 2＋sin x)d x ＝( )A ．π4B ．π2C ．πD ．π2＋26．设k ＝⎠⎛0π(sin x －cos x)d x ，若(1－kx)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 8＝( )A .－1B ．0C ．1D ．2567．设f(x)＝⎩⎨⎧1－x 2，x∈[－1，1），x 2－1，x∈[1，2]，则⎠⎛－12f(x)d x 的值为( )A .π2＋43B ．π2＋3C ．π4＋43D ．π4＋38．如图是函数y ＝cos (2x －5π6)在一个周期内的图像，则阴影部分的面积是( )A ．34B ．54C ．32D ．32－349．已知等差数列{a n }中，a 5＋a 7＝⎠⎛0πsin x d x ，则a 4＋2a 6＋a 8的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2二、填空题10．[2022·安徽滁州二模]设f(x)＝e x，则⎠⎛01[f′(x)＋2x]d x________．11．曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________.12．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a ，b∈R )的图像如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为274，则a 的值为________.13．[2022·西藏拉萨中学月考]由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的平面图形的面积为________．14．[2022·甘肃张掖期末]如图，在矩形ABDC 中，AB ＝1，AC ＝2，O 为AC 中点，抛物线的一部分在矩形内，点O 为抛物线顶点，点B ，D 在抛物线上，在矩形内随机地放一点，则此点落在阴影部分的概率为________．15．[2022·宁夏石嘴山一模]⎠⎛－11(e x＋|x|)d x ＝________．16．[2022·黑龙江一模]在棱长为2的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的侧面ABB 1A 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则在侧面ABB 1A 1上动点P 的轨迹与棱AB 、BB 1所围成的图形面积是________．专练15 定积分与微积分基本定理1．D ⎠⎛12(x －2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x |21 ＝12×22－2×2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝－12.2．B 令⎠⎛01f(x)d x ＝m ，则f(x)＝x 2＋2m ，∴⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛012m d x ＝(13x 2＋2mx)|10＝m ，得m ＝－13.3．D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3，得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)， ∴S＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4|20 ＝4.4．D a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3|20 ＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4|20 ＝4，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x )|20 ＝1－cos2，∵1－cos2<83<4，∴c <a <b .5．B ⎠⎛－11(1－x 2＋sin x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x ，∵y ＝sin x 为奇函数，∴⎠⎛－11sin x d x ＝0，又⎠⎛－111－x 2d x 表示以坐标原点为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，∴⎠⎛－111－x 2d x＝π2， ∴⎠⎛－11( 1－x 2＋sin x )d x ＝π2.6．B 因为k ＝⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ＝－cos x |π0 －sin x |π0 ＝2，所以(1－kx )8＝(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8.令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝(1－2)8＝1，令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 8＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8)－a 0＝1－1＝0.故选B.7．A ⎠⎛－12f(x)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝12π×12＋(13x 3－x)|21 ＝π2＋43.故选A .8．B S ＝－∫π60cos (2x －5π6)d x ＋∫2π3π6cos (2x －5π6)d x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin （2x －5π6）|π60＋[12sin (2x －5π6)]|2π3π6＝－[12sin (－π2)－12sin (－5π6)]＋[12sin π2－12sin (－π2)]＝14＋1＝54.故选B .9．C ∵a 5＋a 7＝⎠⎛0πsin x d x ＝(－cos x)|π0 ＝－(cosπ－cos 0)＝2，又{a n }为等差数列， ∴a 5＋a 7＝2a 6＝2，∴a 6＝1， ∴a 4＋2a 6＋a 8＝4a 6＝4. 10．e解析：因为f(x)＝e x， 所以错误!错误!0＝e ＋1－1＝e . 11.16解析：如图，阴影部分的面积即为所求．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则A(1，1). 故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝(12x 2－13x 3)|10 ＝16.12．－3解析：由已知得f′(0)＝0，因为f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，所以b ＝0，则f(x)＝x 3＋ax 2，令f(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝－a.由切线y ＝0与函数图像所围区域(题图中阴影部分)的面积为274，得 －⎠⎛0－a f(x)d x ＝274，即－⎠⎛0－a (x 3＋ax 2)d x ＝274，即－(14x 4＋a 3x 3)－a 0 ＝274，所以－⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 44＋a3×（－a ）3＝274，即a 412＝274，解得a ＝±3，由题图可知a<0，∴a＝－3. 13.163解析：由定积分知 S ＝⎠⎛4x －(x －2)d x ＝(23x 32－12x 2＋2x)|1＝(23×8－8＋8)－0＝163. 14.13解析：由题可知矩形面积为2，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线方程为y 2＝2x(0≤x≤1)， 抛物线及BD 围成的面积为2(1－⎠⎛01x d x)＝23，点落在阴影部分的概率为232＝13.15．e －1e＋1解析：⎠⎛－11(e x＋|x|)d x ＝⎠⎛－1(e x－x)d x ＋⎠⎛01(e x＋x)d x ＝(e x－x 22)|0－1 ＋(e x ＋x 22)|10 ＝(e－0)[e －1－（－1）22]＋(e 1＋122)－[e 0＋0]＝1－1e ＋12＋e ＋12－1＝e －1e ＋1.16.43解析：以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设点P(x ，0，z)，则0≤x≤2，0≤z≤2，则点P 到直线A 1B 1的距离为2－z ， 因为BC⊥平面AA 1B 1B ，BP ⊂平面AA 1B 1B ， 所以，BC⊥BP，所以，点P 到直线BC 的距离为|BP →|＝（x －2）2＋z 2， 由已知可得（z －2）2＋z 2＝2－z ，化简可得z ＝x －x24，当x ＝2时，z ＝1，即点P 的轨迹交棱BB 1于点(2，0，1)，因此，在侧面ABB 1A 1上动点P 的轨迹与棱AB 、BB 1所围成的图形面积是⎠⎛02(x －x 24)d x ＝(12x 2－x 312)|20 ＝43.。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(定积分与微积分基本定理)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（定积分与微积分基本定理）练习一、 基础小题练透篇1．若a ＝⎠⎛02 x 2d x ，b ＝⎠⎛02 x 3d x ，c ＝⎠⎛02 sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b2．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为( )A ．329 B ．2－ln 3 C ．4＋ln 3 D ．4－ln 33．[2023ꞏ甘肃省兰州市第一次月考]求由抛物线y ＝2x 2与直线x ＝0，x ＝t(t ＞0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n 个小区间，则第i －1个区间为( )A ．⎣⎡⎦⎤i －1n ，i nB ．⎣⎡⎦⎤i n ，i ＋1n C ．⎣⎡t （i －1）n ，ti n D ．⎣⎡t （i －2）n ，t （i －1）n4．若数列{a n }是公比不为1的等比数列，且a 2 018＋a 2 020＝⎠⎛024－x 2 d x ，则a 2 017(a 2 019＋2a 2 021＋a 2 023)＝( )A ．4π2B ．2π2C ．π2D ．3π25．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m /s )行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln 5 D ．4＋50ln 26．已知分段函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2，x ≤0，e －x，x>0，则⎠⎛13 f(x －2)d x ＝( ) A ．3＋1e B ．2－e C ．73 －1e D ．2－1e7．设函数f(x)＝ax 2＋b(a ≠0)，若⎠⎛03 f(x)d x ＝3f(x 0)，x 0>0，则x 0＝________．8．[2023ꞏ河南省信阳考试]⎠⎛12 (1x ＋1－（x －2）2 )d x ＝________．二、能力小题提升篇1．[2023ꞏ兰州检测]曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14 所围成的图形(如图中阴影部分所示)的面积为( )A ．23B ．13C ．12D ．142．[2023ꞏ河北唐山联考]曲线y ＝x －1x ＋1与其在点(0，－1)处的切线及直线x ＝1所围成的封闭图形的面积为( )A ．1－ln 2B ．2－2ln 2C ．2ln 2－1D ．ln 23．[2023ꞏ河南商丘检测]已知不等式1－3x ＋a <0的解集为(－1，2)，则⎠⎛0a (2e 2x ＋x)d x＝( )A ．e ＋12B ．e －12 C ．e 2＋12 D ．e 2－124．[2023ꞏ河南省洛阳市考试]由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点M(0，－3)和点N(3，0)处的两条切线所围成的图形的面积为( )A ．94B ．92C ．74 D ．25．[2023ꞏ江西省新余市第一中学考试]函数的图象f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，－4≤x<0，4cos x ，0≤x ≤π2 与x 轴所围成的封闭图形的面积为________．6．[2023ꞏ吉林省东北师范大学模拟]设y ＝f(x)为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分⎠⎛01 f(x)d x ，先产生两组(每组n 个)区间[0，1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n ，由此得到n 个点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n)，再数出其中满足y i >f(x i )(i ＝1，2，…，n)的点有m 个，那么由随机模拟方法可得积分⎠⎛01f(x)d x 的近似值为________．7．[2023ꞏ吉林省实验中学检测]若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x －4），x>0，2x＋∫π60cos 3x d x ，x ≤0， 则f(2 018)＝________．三、高考小题重现篇1.[湖南卷]由直线x ＝－π3 ，x ＝π3 ，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A ．12B ．1C ．32 D ．32．[湖北卷]若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f （x ）g （x ）d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin 12 x ，g(x)＝cos 12 x ②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1 ③f(x)＝x ，g(x)＝x 2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．[江西卷]若f(x)＝x 2＋2⎠⎛01 f(x)d x ，则⎠⎛01 f(x)d x ＝( )A ．－1B ．－13C ．13 D ．14．[湖北卷]已知二次函数y ＝f(x)的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A ．2π5 B ．43 C ．32 D ．π2 5．[湖南卷]⎠⎛02 (x －1)d x ＝________．6．[福建卷]如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.四、经典大题强化篇1.[2023ꞏ四川绵阳模拟]A ，B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 站恰好停车，试求：(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离．2．[2023ꞏ江西省赣州市赣县月考]已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R ).(1)若a ＝2，求导函数曲线y ＝f ′(x )与直线x ＝1，x ＝e 及x 轴所围成的面积； (2)求f (x )的单调区间．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：a ＝⎠⎛02x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3 ⎪⎪ 2 0＝83 ，b＝⎠⎛02 x 3d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4 ⎪⎪20＝4，c ＝⎠⎛02 sin x d x ＝（－cos x ）⎪⎪20＝1－cos 2.∵cos 2∈[－1，1]，∴1－cos 2∈[0，2]，∴1－cos 2<83<4，故c<a<b.2．答案：D答案解析：S ＝＝4－ln 3. 3．答案：D答案解析：在[0，t]上等间隔插入（n －1）个分点，把区间[0，t]等分成n 个小区间，每个小区间长度均为t n ，故第i －1个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ()i －2n ，t ()i －1n .本题选择D 选项． 4．答案：C答案解析：根据定积分的几何意义，⎠⎛02 4－x 2d x 表示以原点为圆心，以2为半径的四分之一圆的面积，所以⎠⎛02 4－x 2d x ＝π.所以a 2 018＋a 2 020＝π，设a 2 018＝a ，公比为q ，则a ＋aq 2＝π，所以a 2 017（a 2 019＋2a 2 021＋a 2 023）＝a q（aq ＋2aq 3＋aq 5）＝a 2（1＋2q 2＋q 4）＝a 2（1＋q 2）2＝[a （1＋q 2）]2＝π2.5．答案：C答案解析：令v （t ）＝7－3t ＋251＋t ＝0，又t>0，则t ＝4，汽车刹车的距离是⎠⎛04 ⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝4＋25ln 5.6．答案：C答案解析：⎠⎛13 f （x －2）d x ＝⎠⎛12 f （x －2）d x ＋⎠⎛23 f （x －2）d x ＝⎠⎛12 （x 2－4x ＋5）d x＋⎠⎛23 e－x ＋2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2x 2＋5x ⎪⎪21＋（－e －x ＋2）⎪⎪ 32＝[⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－2×22＋5×2 －⎝ ⎛⎭⎪⎫13×13－2×12＋5×1 ]＋[（－e －3＋2）－（－e －2＋2）]＝73 －1e.7．答案： 3答案解析：依题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋bx ⎪⎪⎪3＝3（ax 20 ＋b ），即3ax 20 ＝9a （a≠0），x 20 ＝3（x 0>0），由此解得x 0＝ 3 .8．答案：ln 2＋π4答案解析：由题意得，⎠⎛12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1－（x －2）2 d x ＝⎠⎛12 1x d x ＋⎠⎛12 1－（x －2）2 d x＝ln x|21 ＋⎠⎛12 1－（x －2）2 d x ＝ln 2＋⎠⎛12 1－（x －2）2d x .根据定积分的几何意义可知，⎠⎛121－（x －2）2 d x 表示圆（x －2）2＋y 2＝1满足1≤x≤2，y≥0的这一部分面积，即圆面积的14 ，故⎠⎛12 1－（x －2）2d x ＝π4 .因此⎠⎛12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1－（x －2）2 d x ＝ln 2＋⎠⎛12 1－（x －2）2 d x ＝ln 2＋π4 .二 能力小题提升篇1．答案：D答案解析：令x 2＝14 ，得x ＝12 或x ＝－12 （舍去），所以所求的阴影部分的面积为∫120⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x 2 d x ＋∫112⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14 d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －x 33 ⎪⎪⎪120 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－14x ⎪⎪⎪112 ＝14 .2．答案：C答案解析：因为y ＝x －1x ＋1 ，所以y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1 ′＝2（x ＋1）2 ，则曲线y ＝x －1x ＋1 在（0，－1）处的切线的斜率k ＝2，切线方程为y ＝2x －1，则曲线y ＝x －1x ＋1 与其在点（0，－1）处的切线及直线x ＝1所围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛01 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1－x －1x ＋1 d x ＝⎠⎛01 （2x －1－1＋2x ＋1 ）d x ＝[x 2－2x ＋2ln （x ＋1）]⎪⎪⎪1＝2ln 2－1. 3．答案：D答案解析：∵不等式1－3x ＋a <0，∴x ＋a －3x ＋a<0，∴（x ＋a ）（x ＋a －3）<0，∴－a<x<－a ＋3，由于1－3x ＋a <0的解集为（－1，2），∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝－1－a ＋3＝2，解得a ＝1，∴⎠⎛0a（2e 2x＋x ）d x ＝⎠⎛01（2e 2x＋x ）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋x 22 ⎪⎪⎪10 ＝e 2－12 .4．答案：A答案解析：∵y ＝－x 2＋4x －3，则y′＝－2x ＋4，在点M （0，－3）的切线斜率k 1＝y′|x ＝0＝4，切线方程y ＝4x －3，在点N （3，0）的切线斜率k 2＝y′|x ＝3＝－2，切线方程y ＝－2()x －3 ，联立方程⎩⎨⎧y ＝4x －3y ＝－2()x －3 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝3， 即两切线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 ， 所围成的图形的面积为S ＝∫32[]()4x －3－()－x 2＋4x －3 d x ＋∫332[]－2()x －3－()－x 2＋4x －3 d x＝∫320x 2d x ＋∫332 ()x 2－6x ＋9 d x ＝13 x 3|32 0＋（13 x 3－3x 2＋9x ）|332＝94 .故选A .5．答案：12答案解析：由题意可得：围成的封闭图形的面积为：S ＝⎠⎛－4（x ＋4）d x ＋∫π2 04cos x d x ＝（12 x 2＋4x ）|0－4 ＋4sin x|π2 0＝0－()8－16 ＋4sin π2－0＝12.6．答案：1－mn答案解析：由题意得满足y i ≤f （x i ）（i ＝1，2，…，n ）的点有n －m 个，故n －m n ≈⎠⎛01f （x ）d x 1 ，即⎠⎛01 f （x ）d x≈1－mn ，故积分⎠⎛01 f （x ）d x 的近似值为1－mn .7．答案：712答案解析：当x≤0时，f （x ）＝2x＋∫π60cos 3x d x ＝2x＋sin 3x 3⎪⎪⎪π6＝2x＋13，所以f （2 018）＝f （2）＝f （－2）＝14 ＋13 ＝712.三 高考小题重现篇1．答案：D答案解析：如图可得，∫π3－π3 cos x d x ＝sin x|π3 －π3＝2sin π3 ＝ 3 .2．答案：C答案解析：由题意，要满足f （x ），g （x ）是区间[－1，1]上的一组正交函数，即需满足⎠⎛－11 f （x ）g （x ）d x ＝0.①⎠⎛－11 f （x ）g （x ）d x ＝⎠⎛－11 sin 12 x cos 12 x d x ＝12 ⎠⎛－11 sin x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos x |1－1 ＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数；②⎠⎛－11 f （x ）·g （x ）d x ＝⎠⎛－11（x ＋1）（x －1）d x ＝ ⎠⎛－11（x 2－1）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x |1－1 ＝－43 ≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③⎠⎛－11 f （x ）g （x ）d x ＝⎠⎛－11 x·x 2d x ＝⎠⎛－11 x 3d x ＝x 44 |1－1 ＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数．综上，其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是2.3．答案：B答案解析：不妨设⎠⎛01 f （x ）d x ＝k ，则f （x ）＝x 2＋2⎠⎛01 f （x ）d x ＝x 2＋2k ，所以⎠⎛01 f（x ）d x ＝⎠⎛01 （x 2＋2k ）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2kx |10 ＝13 ＋2k ＝k ，得k ＝－13 ，即⎠⎛01 f （x ）d x ＝－13. 4．答案：B答案解析：容易求得二次函数的答案解析式为f （x ）＝1－x 2，所以S ＝⎠⎛－11 （1－x 2）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33 |1－1 ＝43 .5．答案：0答案解析：⎠⎛02 （x －1）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |20 ＝12 ×22－2＝0.6．答案：2e2答案解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，y ＝e ， 解得x ＝1，因为y ＝e x与y ＝ln x 互为反函数，故所求阴影部分面积S ＝2⎠⎛01 （e －e x）d x ＝2，故所求概率P ＝2e2 .四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）设A 到C 的时间为t 1 s ，则1.2t 1＝24，解得：t 1＝20，则AC ＝⎠⎛0201.2t d t ＝0.6t 2|200 ＝240（m ）.即A 、C 间的距离为240 m ． （2）设D 到B 的时间为t 2 s ，则24－1.2t 2＝0，解得t 2＝20，则BD ＝⎠⎛020 （24－1.2t ）d t ＝（24t －0.6t 2）|200 ＝240（m ），即B 、D 间的距离为240 m ． 2．答案解析：（1）由已知，当a ＝2时，f （x ）＝2x ＋ln x ， ∴导函数曲线y ＝f′（x ）与直线x ＝1，x ＝e 及坐标轴所围成的面积为：S ＝⎠⎛1e f′（x ）d x ＝()2x ＋ln x |e1 ＝2e －1.（2）由题得f′（x ）＝a ＋1x＝ax ＋1x （x>0）， ①当a≥0时，由于x>0，则ax ＋1>0恒成立， 即f′（x ）>0当x>0时恒成立，∴函数f （x ）的单调递增区间为（0，＋∞）；②当a<0时，令f′（x ）＝0可得x ＝－1a>0，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 时，f′（x ）>0；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞ 时，f′（x ）<0， ∴函数f （x ）的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞ . 综上，当a≥0时，函数f （x ）的单调递增区间为()0，＋∞ ；当a<0时，函数f （x ）的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞ .。
高考数新人教A一轮复习专题练习 3.3 定积分与微积分基本定理
1.设连续函数f(x)>0,则当a<b 时,定积分∫()b a f x dx 的符号( ) A.一定是正的 B.一定是负的C.当0<a<b 时是正的,当a<b<0时是负的D.以上结论都不对 【答案】 A【解析】 由∫()b a f x dx 的几何意义及f(x)>0,可知∫()ba f x 表示x=a,x=b,y=0与y=f(x)围成的曲边梯形的面积. ∴∫()b a f x dx>0.2. ∫22ππ- (1+cosx)dx 等于( )A.πB.2C.π-2D.π+2【答案】 D【解析】 ∫22ππ-(1+cosx)dx=(x+sinx)|22ππ-2(π=+sin 22)[ππ--+sin 2()]2π-=+π. 3.用S 表示图中阴影部分的面积,则S 的值是( )A. ∫()c a f x dxB.| ∫()c a f x dx|C. ∫()b a f x dx+∫()cb f x dxD. ∫()cb f x dx-∫()b a f x dx【答案】 D【解析】 由定积分的几何意义知选项D 正确.4.(2012山东荷泽模拟)设函数()mf x x ax =+的导函数则∫21()f x -dx 的值等于( ) A.56 B.12 C.23 D.16【答案】 A【解析】 由于()m f x x ax =+的导函数为f′(x)=2x+1,所以2()f x x x =+,于是∫21()f x -dx=∫221()x x -313(x -212)x |2516=.5.直线y=2x+3与抛物线2y x =所围成的图形面积为 . 【答案】323【解析】 由 223y x y x =+,⎧⎨=,⎩得1213x x =-,=. ∴面积S=∫31(23)x -+dx-∫321x -dx 2(3)x x =+|33113x --|33213-=. 1. ∫412x dx 等于( )A.-2ln2B.2ln2C.-ln2D.ln2【答案】 D【解析】 ∫412x dx=lnx |42=ln4-ln2=ln2.2.(2011福建高考,理5) ∫10(e 2)xx +dx 等于( ) A.1B.e-1 C.e D.e+1【答案】 C【解析】 ∵被积函数e 2x x +的一个原函数为e 2xx +,∴∫10(e 2)x x +dx=(e 2)x x +|10(=e 121)(+-e 0+3.已知f(x)= 210101x x x ⎧,-≤≤,⎨,<<,⎩则∫11()f x -dx 的值为 ( )A.32B.23-C.23D.43【答案】 D【解析】 ∫11()f x -dx=∫021x -dx+∫101dx 313x=|01x -+|10 14331=+=.4.函数f(x)= 2110cosx 0x x x π+,-≤<,⎧⎨,≤≤⎩ 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.32B.1C.2D.12【答案】 A【解析】 根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积为1211S =⨯⨯+∫20πcosxdx 12=+sinx |2π12=+sin 2π-sin032=.5.函数y=∫(x x -cos 22)t t ++dt( )A.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数D.以上都不正确【答案】 A【解析】 y=(sin 332)t t t ++|2xx -=sin 3234x x x ++,为奇函数6.(2011湖南高考,理6)由直线330x x y ππ=-,=,=与曲线y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( ) A.12 B.1【答案】 D【解析】 结合图形可得:S=∫33ππ-cosxdx=sin x |33ππ-3π-3()π-=7.由曲线32y x y x =,=围成的封闭图形的面积为( )A.112B.14C.13D.712【答案】 A【解析】 因为2y x =与3y x =的交点为(0,0),(1,1), 故所求封闭图形的面积为∫102x dx-∫103x d 313x x =|10414x -|101113412=-=,选A.8.曲线1x y =与直线y=x,x=2所围成的图形面积为 . 【答案】32-ln2【解析】 S=∫211()x x -d 212(x x =-lnx)|2312=-ln2. 9.如果∫10()f x dx=1, ∫20()f x dx=-1,则∫21()f x dx= .【答案】 -2【解析】 ∵∫20()f x dx=∫10()f x dx+∫21()f x dx, ∴∫21()f x dx=∫20()f x dx-∫10()f x dx=-1-1=-2.10.由曲线2y x =和直线2(01)t t ,∈,所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为 .【答案】14【解析】 围成图形的阴影部分的面积3S t =-∫20t x dx+∫12t x dx 2324133(1)t t t t --=-+.令S′2420t t =-=,解得12t =或t=0(舍去).可判断当12t =时S 最小1min 4S ,=.11.计算下列定积分.(1) ∫2211(2)x x -dx;(2) ∫322dx;(3) ∫30π(sinx-sin2x)dx.【解】 (1) ∫2211(2)x x -d 323(x x =-lnx)|21 163=-ln 214332-=-ln2.(2) ∫322dx=∫312(2)x x ++dx212(x =+lnx+2x)|32 92(=+ln3+6)-(2+ln2+4)=ln 3922+.(3) ∫30π(sinx-sin2x)dx=(-cos 12x +cos2x)|30π11112424()(1)=----+=-.12.已知f(x)为二次函数,且f(-∫10()f x -2.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.【解】 (1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠,则f′(x)=2ax+b. 由f(-1)=2,f′(0)=0,得 20a b c b -+=,⎧⎨=⎩即20c a b =-,⎧⎨=.⎩∴2()(2)f x ax a =+-.又∫10()f x dx=∫120[(2)]ax a +-dx 313[(2)]ax a x =+-|120322a =-=-. ∴a=6,c=-4.从而2()64f x x =-. (2)∵2()64[11]f x x x =-,∈-,, ∴当x=0时min ()4f x ,=-; 当1x =±时max()2f x =.13.如图所示,直线y=kx 分抛物线2y x x =-与x 轴所围图形为面积相等的两部分,求k 的值.【解】 抛物线2y x x =-与x 轴两交点的横坐标为1201x x =,=, 所以,抛物线与x 轴所围图形的面积S=∫120()x x -d 23123()x x x =-|1106=.又由 2y x x y kx ⎧=-,⎨=,⎩ 可得抛物线2y x x =-与y=kx 两交点的横坐标为3401x x k =,=-,所以,2S =∫120()k x x kx ---d 231123()k x x x -=-|13106(1)k k -=-.又知16S =,所以312(1)k -=,于是11k ==14.一条水渠横断面为抛物线型,如图,渠宽AB=4米,渠深CO=2米,当水面距地面0.5米时,求水的横断面的面积.【解】 如图,建立直角坐标系,设抛物线方程为22x py =,代入(2,2)得2p=2,∴22x y =.将点(x,1.5)代入22x y =得x =∴水的横断面的面积为S=(1.2125)x -dx=(1.3165)x x -|.∴水的横断面的面积为平方米.。
1_定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d x B ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案]B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析]两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于( )A ．23B ．2－ 3 C.323D.353 [答案]C[解析]图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 3.⎠⎛024－x 2d x ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2 [答案]C[解析]令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案]A[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间行驶的路程就是该时间段速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以与时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积，因此，在t 0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t 1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12C.π2－1D.2π [答案]D[解析]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2 [答案]D[解析]2(cos sin )2x x ππ---＝2(cos sin )2x x ππ---＝－2. 7．⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案]3[解析]∵y ＝⎩⎨⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3. 9．已知a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案]－192 [解析]由已知得a ＝2(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析]设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a 2b －a (x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|ba ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )， 其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b 22.将b －a ＝2代入得⎩⎨⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12 [答案]C [解析]因为S 3＝⎠⎛034x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案]A[解析]由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案]18[解析]由方程组⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案](e －1)2[解析]由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分． (1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎛πcos 2x2d x ；(3)∫e ＋121x －1d x . [解析](1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛1x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析]f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dx ππ-⎰的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案]B[解析]22()f x dx ππ-⎰＝22ππ-⎰sin 5x d x ＋22ππ-⎰1d x ，由于函数y ＝sin 5x 是奇函数，所以22ππ-⎰sin 5x d x ＝0，而22ππ-⎰1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1 (－1≤x <0)，cos x (0≤x <π2)，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )A.2＋π4B.12 C ．1 D.32 [答案]D[解析]由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案]22[解析]∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． [答案]33[解析]⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33. 5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x)n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案]40[解析]∵(x 3－2x )′＝3x 2－2， ∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r (－2x)r ＝(－2)r C r 5x 5－3r 2 ，令5－3r2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。
高考数学定积分与微积分基本定理选择题
高考数学定积分与微积分基本定理选择题1. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值2. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法错误的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值3. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法错误的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值4. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值5. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值6. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值7. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值8. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值9. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值10. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值11. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值12. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值13. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值14. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值15. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值16. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值17. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值18. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值19. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值20. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值21. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值22. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值23. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值24. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值25. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值26. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值27. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值28. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值29. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值30. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值31. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值32. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值33. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值34. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值35. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值36. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值37. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值38. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值39. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值40. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值41. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值42. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值43. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值44. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值45. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值46. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值47. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值48. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值49. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值50. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值。
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高中数学:定积分与微积分基本定理练习
1．定积分⎠⎛01(3x ＋e x )d x 的值为( D )
A ．e ＋1
B ．e
C ．e －1
2
D ．e ＋1
2
解析:⎠⎛0
1(3x ＋e x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
32x 2＋e x |10＝32＋e －1＝e ＋12. 2.(河南郑州一模)汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 做变速运动时,在第1 s 至第2 s 之间的1 s 内经过的路程是( D )
A ．5 m
B ．11
2 m C ．6 m
D ．132 m
解析:根据题意,汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 做变速运动时,汽车在第1 s 至第2 s 之间的1 s 内经过的路程s ＝⎠⎛
1
2(3t ＋2)d t ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫3t 22＋2t |21＝13
2m,故选D ．
3.若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
lgx ，x ＞0，
x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1,则a 的值为( A )
A ．1
B ．2
C ．－1
D ．－2
解析:因为f (1)＝lg 1＝0,f (0)＝⎠⎛0
a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3,所以由f (f (1))＝1得a 3
＝1,所以a ＝1.
4．(孝义质检)定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc ,如⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
13 24＝1×4－2×3＝－2,那么⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎠⎛12
x d x 1 3 2)＝
( D )
A ．6
B ．3
C ．3
2
D ．0
5．(福建省师大附中等校联考)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b x (a ,b ∈R )的图象如图所示,它与x 轴相切于原点,且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为1
12,则a 的值为( C )
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．－2
解析:f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ． 由题意得f ′(0)＝0,得b ＝0, ∴f (x )＝－x 2(x －a )． 由⎠⎛a
0(x 3－ax 2)d x ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫14x 4－13ax 3|0a ＝0－a 44＋a 43＝a 412＝1
12,得a ＝±1.
函数f (x )与x 轴的交点的横坐标一个为0,另一个为A ．,根据图形可知a ＜0,即a ＝－1. 6.已知函数y ＝f (x )的图象为如图所示的折线ABC,则, ⎠⎛-1
1 [(x ＋1)f (x )]d x 等于( D )
A ．2
B ．－2,
C ．1
D ．－1
解析:由题图易知,f (x )＝⎩⎨⎧
－x －1，－1≤x ≤0，
x －1，0＜x ≤1，
所以⎠⎛-1
1 [(x ＋1)f (x )]d x
＝⎠⎛-10 (x ＋1)(－x －1)d x ＋⎠⎛01(x ＋1)(x －1)d x ＝⎠⎛-10
(－x 2
－2x －1)d x ＋⎠⎛0
1(x 2－1)d x ＝⎝
⎛⎭⎪⎫－
13x 3－x 2－x |0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x |1
＝－13－23＝－1,故选D ．
7.(新疆第一次适应性检测)由曲线y ＝x 2＋1,直线y ＝－x ＋3,x 轴正半轴与y 轴正半轴所围成图形的面积为( B )
A ．3
B ．103
C ．7
3
D ．83
解析:由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示,
由⎩⎨⎧ y ＝x 2＋1，y ＝－x ＋3，解得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝5(舍去)或⎩⎨⎧
x ＝1，y ＝2，
即A(1,2),
结合图形可知,所求的面积为⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋12×22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
13x 3＋x |10＋2＝103. 8.(呼和浩特质检)若S 1＝⎠⎛
12x 2d x ,S
2＝⎠⎛12
1x d x ,S 3＝⎠⎛1
2e x
d x ,则S 1,S 2,S 3的大小关系为( B ) A ．S 1＜S 2＜S 3 B ．S 2＜S 1＜S 3 C ．S 2＜S 3＜S 1
D ．S 3＜S 2＜S 1
解析:方法一 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73
,,S 2＝ln x |2
1＝ln2＜lne ＝1, S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59,
所以S 2＜S 1＜S 3.
方法二 S 1,S 2,S 3分别表示曲线y ＝x 2,y ＝1
x ,y ＝e x 与直线x ＝1,x ＝2及x 轴围成的图形的面积,通过作图易知S 2＜S 1＜S 3.
9.若函数f (x )在R 上可导,f (x )＝x 3＋x 2f ′(1),则⎠⎛02f (x )d x ＝－4__.
解析:因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1),
所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．,所以f ′(1)＝3＋2f ′(1),解得f ′(1)＝－3. 所以f (x )＝x 3
－3x 2
.,故⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛0
2(x 3
－3x 2
)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 4
4－x 3|20＝－4. 10.一物体作变速直线运动,其v －t 曲线如图所示,则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为494m ．
解析:由题图可知,v (t )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2t ，0≤t ＜1，2，1≤t ≤3，
13t ＋1，3＜t ≤6.
由变速直线运动的路程公式,可得
s ＝⎠⎜⎛126v (t
)d t ＝⎠
⎜⎛12
12t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝ ⎛⎭⎪⎫13t ＋1d t
＝t 2⎪⎪⎪⎪
1
12＋2t |31＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫16t 2
＋t |63＝494(m)． 所以物体在12 s ～6 s 间的运动路程是49
4 m ．
11.设M ,m 分别是f (x )在区间[a ,b]上的最大值和最小值,则m (b －a )≤⎠⎛a b f (x )d x ≤M (b －a )．根
据上述估值定理可知定积分⎠⎛-1
2
2
－x 2
d x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
316，3.
解析:因为当－1≤x ≤2时,0≤x 2≤4, 所以1
16≤2－x 2≤1.
根据估值定理得1
16×[2－(－1)]≤⎠
⎛-1
22－x 2d x ≤1×[2－(－1)],
即3
16≤⎠⎛-1
22－x 2d x ≤3.
12．如图,由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0＜t ＜1),x ＝1,x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是1
4 .
解析:设图中阴影部分的面积为S (t ),
则S (t )＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t
1(x 2－t 2)d x ＝43t 3－t 2＋1
3.
由S ′(t )＝2t (2t －1)＝0,得t ＝1
2为S (t )在区间(0,1)上的最小值点,
此时S (t )m in ＝S ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝1
4.
13．(青岛模拟)已知函数f(x)在R 上满足f (π－x )＝f (x ),若当0≤x ≤π
2时,f (x )＝cos x －1,则当0≤x ≤π时,f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积为( A )
A ．π－2
B ．2π－4
C ．3π－6
D ．4π－8
解析:∵当0≤x ≤π
2时, f (x )＝cos x －1,
∴当π2＜x ≤π时,0≤π－x ＜π
2,f (x )＝f (π－x )＝cos(π－x )－1＝－cos x －1, ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
cos x －1，0≤x ≤π
2，
－cos x －1，π
2＜x ≤π.
所以当0≤x ≤π时,f (x )的图象与x 轴所围成图形的面
14.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为1.2__.
解析:建立如图所示的平面直角坐标系,
由抛物线过点(0,－2),(－5,0),(5,0)得抛物线的函数表达式为y ＝2
25x 2－2,抛物线与x 轴围成的面积S 1＝
15.(郑州调研) ⎠⎛-1
1 (1－x 2＋e x －1)d x ＝π2＋e －1
e －2.
16.(安徽六安第一中学模拟)已知a ＞0,⎝ ⎛⎭⎪⎫
a x －x 6展开式的常数项为240,则⎠⎛－a a (x 2＋x cos x ＋
4－x 2)d x ＝16
3＋2π.。