微积分基本定理综合测试题(有答案)

微积分基本定理综合测试题（有答案）

选修2-2 1.6 微积分基本定理

一、选择题 1．下列积分正确的是( ) [答案] A A.214

B.54

C.338

D.218 [答案] A [解析] 2－2x2＋

1x4dx＝2－2x2dx＋2－21x4dx ＝13x32－2＋－13x－32－2 ＝13(x3－x－3)2－2 ＝138－18－13－8＋18＝214. 故应选A. 3.1－1|x|dx 等于( ) A.1－1xdx B.1－1dx C.0－1(－x)dx＋01xdx D.0－1xdx ＋01(－x)dx [答案] C [解析] ∵|x|＝x (x≥0)－x (x<0) ∴1－1|x|dx＝0－1|x|dx＋01|x|dx ＝0－1(－x)dx＋01xdx，故应选C. 4．设f(x)＝x2 (0≤x<1)2－x (1≤x≤2)，则02f(x)dx等于( ) A.34 B.45 C.56 D．不存在 [答案] C [解析] 02f(x)dx ＝01x2dx＋12(2－x)dx 取F1(x)＝13x3，F2(x)＝2x－12x2，则

F′1(x)＝x2，F′2(x)＝2－x ∴02f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)

－F2(1) ＝13－0＋2×2－12×22－2×1－12×12＝56.故应选C. 5.abf′(3x)dx＝( ) A．f(b)－f(a) B．f(3b)－f(3a) C.13[f(3b)－f(3a)] D．3[f(3b)－f(3a)] [答案] C [解析] ∵13f(3x)′＝f′(3x) ∴取F(x)＝13f(3x)，则abf′(3x)dx＝F(b)－F(a)＝

13[f(3b)－f(3a)]．故应选C. 6.03|x2－4|dx＝( ) A.213

B.223

C.233

D.253 [答案] C [解析] 03|x2－4|dx ＝02(4－x2)dx＋23(x2－4)dx ＝4x－13x320＋13x3－4x32＝233. A．－32 B．－12 C.12 D.32 [答案] D [解析] ∵1－2sin2θ2＝cosθ8．函数F(x)＝0xcostdt的导数是( ) A．cosx B．sinx C．－cosx D．－sinx [答案] A [解析] F(x)＝0xcostdt＝sintx0＝sinx －sin0＝sinx. 所以F′(x)＝cosx，故应选A. 9．若0k(2x－3x2)dx ＝0，则k＝( ) A．0 B．1 C．0或1 D．以上都不对 [答案] C [解析] 0k(2x－3x2)dx＝(x2－x3)k0＝k2－k3＝0，∴k＝0或1. 10．函数F(x)＝0xt(t－4)dt在[－1,5]上( ) A．有最大值0，无最小值 B．有最大值0和最小值－323 C．有最小值－323，无最大值 D．既无最大值也无最小值 [答案] B [解析] F(x)＝0x(t2－

4t)dt＝13t3－2t2x0＝13x3－2x2(－1≤x≤5)．F′(x)＝x2－4x，由F′(x)＝0得x＝0或x＝4，列表如下： x (－1,0) 0 (0,4) 4 (4,5)

F′(x) ＋ 0 － 0 ＋ F(x) ��极大值极小值��可见极大值F(0)＝0，极小值F(4)＝－323. 又F(－1)＝－73，F(5)＝－253 ∴最大值为0，最小值为－323. 二、填空题 11．计算定积分：①1－1x2dx＝________ ②233x－2x2dx＝________ ③02|x2－1|dx＝

________ ④0－π2|sinx|dx＝________ [答案] 23；436；2；1 [解析] ①1－1x2dx＝13x31－1＝23. ②233x－2x2dx＝32x2＋2x32＝436. ③02|x2－1|dx＝01(1－x2)dx＋12(x2－1)dx ＝x－13x310＋13x3－x21＝2. [答案] 1＋π2 13．(2010•陕西理，13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________． [答案] 13 [解析] 长方形的面积为S1＝3，S阴＝013x2dx＝x310＝1，则P＝S1S阴＝13. 14．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若1－1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________. [答案] －1或13 [解析] 由已知F(x)＝x3＋x2＋x，F(1)＝3，F(－1)＝－1，∴1－

1f(x)dx＝F(1)－F(－1)＝4，∴2f(a)＝4，∴f(a)＝2. 即3a2＋2a ＋1＝2.解得a＝－1或13. 三、解答题 15．计算下列定积分：(1)052xdx；(2)01(x2－2x)dx； (3)02(4－2x)(4－x2)dx；(4)12x2＋2x－3xdx. [解析] (1)052xdx＝x250＝25－0＝25. (2)01(x2－2x)dx＝01x2dx－012xdx ＝13x310－x210＝13－1＝－23. (3)02(4－2x)(4－x2)dx＝02(16－8x－4x2＋2x3)dx ＝16x－4x2－43x3＋12x420 ＝32－16－323＋8＝403. (4)12x2＋2x－3xdx＝12x＋2－

3xdx ＝12x2＋2x－3lnx21＝72－3ln2. 16．计算下列定积分： [解析] (1)取F(x)＝12sin2x，则F′(x)＝cos2x ＝121－32＝14(2－3)． (2)取F(x)＝x22＋lnx＋2x，则F′(x)＝x＋1x＋2. ∴23x＋1x2dx＝23x＋1x＋2dx ＝F(3)－F(2) ＝92＋ln3＋6－12×4＋ln2＋4 ＝92＋ln32. (3)取F(x)＝32x2－cosx，则F′(x)＝3x＋sinx 17．计算下列定积分： (1)0－4|x＋2|dx； (2)已知f(x)＝，求3－1f(x)dx的值． [解析] (1)∵f(x)＝|x＋2|＝∴0－4|x＋2|dx ＝－－4－2(x＋2)dx＋0－2(x＋2)dx ＝－12x2＋2x－2－4＋12x2＋2x0－2 ＝2＋2＝4. (2)∵f(x)＝∴3－1f(x)dx＝0－1f(x)dx＋

01f(x)dx＋12f(x)dx＋23f(x)dx＝01(1－x)dx＋12(x－1)dx ＝x－x2210＋x22－x21 ＝12＋12＝1. 18．(1)已知f(a)＝01(2ax2－