高考数学总复习含答案：定积分和微积分基本定理巩固练习

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高中数学之定积分与微积分基本定理含答案

专题06 定积分与微积分基本定理1．由曲线,直线轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．6【答案】A【解析】联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S．故选:A．2．设f（x）=|x﹣1|，则=（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】画出函数的图像如下图所示，根据定积分的几何意义可知，定积分等于阴影部分的面积，故定积分为，故选A.3．曲线与直线围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则，所以曲线围成的封闭图形面积为，故选D4．为函数图象上一点，当直线与函数的图象围成区域的面积等于时，的值为A．B．C．1D．【答案】C【解析】直线与函数的图象围成区域的面积S dx＝∴故选：C5．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( )A．B．1C．D．【答案】B【解析】题目所求封闭图形的面积为定积分，故选B.6．如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意的阴影部分的面积，根据用几何概型概率计算公式有所求概率为，故选A.7．（）A．B．-1C．D．【答案】C【解析】解：．故选：C．8．，则T的值为A．B．C．D．1【答案】A【解析】由题意得表示单位圆面积的四分之一，且圆的面积为π，∴，∴．故选A．9．下列计算错误．．的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在A中，，在B中，根据定积分的几何意义，，在C中，，根据定积分的运算法则与几何意义，易知，故选C.10．定积分的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】表示以为圆心，以为半径的圆，定积分等于该圆的面积的四分之一，定积分，故选A.11．如果曲线与直线所围成的封闭图形的面积为,则以下正确的一个值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】如图，如果，则所围面积为，故，代入，则，矛盾，故A错.如果，则，代入，则，矛盾，故B错.代入，则，矛盾，故C错.代入，则，符合，故D正确.综上，选D.12．一物体以速度v=3t2+2t(v的单位:m/s)做直线运动,则它在t=0 s到t=3 s时间段内的位移是() A．31 m B．36 mC．38 m D．40 m【答案】B【解析】由题意物体在t=0s到t=3s时间段内的位移是：．故选：B．13．由曲线与直线所围成图形的面积等于__________．【答案】【解析】根据定积分的几何意义得到，面积S＝(e x＋x)d x＝故答案为：14．___________【答案】【解析】表示半圆夹在直线部分的面积S。

高考数学考点15 定积分与微积分基本定理必刷题理

考点15 定积分与微积分基本定理1．由曲线围成的封闭图形的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】封闭图形的面积为.选A.2．如图所示，平面直角坐标系中，阴影部分是由抛物线及线段围成的封闭图形，现在在内随机的取一点，则点恰好落在阴影内的概率为A． B． C． D．【答案】D3．用表示，b两个数中的最大数，设，那么山函数的图象与X 轴、直线和直线所围成的封闭图形的面积是（）A． B． C． D．【答案】A4．等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵（x+sinx）′=1+cosx，∴．故选：D．5．如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为.则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为．故答案为：.6．一物体在变力F(x)=5-（F的单位：N,x的单位：m）的作用下，沿与力F成30°的方向作直线运动，则由x=1运动到x=2时力F(x)所做的功为（）A． B． C． D．【答案】D7．如图所示，在椭圆内任取一个点，则恰好取自椭圆的两个端点连线与椭圆围成阴影部分的概率为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】先求椭圆面积的，由知，，而表示与围成的面积，即圆面积的概率，故选：A．8．设＝，则的展开式中常数项是（）A． 160 B．－160 C．－20 D． 20【答案】B9．设，则等于（）A． B． C． 1 D．【答案】D【解析】由题故选：D．10．设，则二项式展开式的常数项是（）A． 160 B． 20 C． -20 D． -160【答案】A11．已知实数满足不等式组其中则的最大值是A． B． 5 C． 20 D． 25【答案】D【解析】，画出表示的可行域如图，表示的可行域内的点到原点距离的平方，由图可知，点到原点距离最大，由，得，的最大值为，故选D.12．已知二项式的展开式中的系数为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B13．设，则等于( )A． B． C． D． 0【答案】C【解析】,故选C. 14．曲线y＝与直线y＝2x－1及x轴所围成的封闭图形的面积为（）A． B． C． D．【答案】A15．如图,在边长为2的正方形ABCD 中,M 是AB 的中点,则过三点的抛物线与CD 围成阴影部分的面积是A ．B ．C ． 2D ．【答案】D16．＝________．【答案】【解析】根据题意得 =.故答案为：.17．设，则=____________.【答案】【解析】. 18．由函数及轴围成的封闭图形的面积是________.【答案】19．若，则的展开式中常数项为______________．【答案】240【解析】展开式的通项公式为令，即.的展开式中，常数项是故答案为240.20．由，，，四条曲线所围成的封闭图形的面积为__________．【答案】【解析】根据余弦函数的对称性可得，直线，，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为故答案为：.21．____________．【答案】22．设，则二项式的展开式中含项的系数为______．【答案】192【解析】的通项公式为令，故含项的系数为故答案为.23．已知函数在上可导，且，则与的大小关系为_______．【答案】24．已知函数f（x）=sin cos+cos2+m的图象过点（，0）．（1）求实数m值以及函数f（x）的单调递减区间；（2）设y=f（x）的图象与x轴、y轴及直线x=t（0＜t＜）所围成的曲边四边形面积为S，求S关于t 的函数S（t）的解析式．【答案】（1），单调递减区间是，k∈Z；（2）．【解析】（1）f（x）=sin cos+cos2+m==．∵f（x）的图象过点（，0），∴，解得．∴f（x）=，由，得，k∈Z．故f（x）的单调递减区间是，k∈Z；（2）由（1）得，f（x）=．∴===．∴（）．25．已知函数，.（1）求函数图象经过点的切线的方程.（2）求函数的图象与直线所围成的封闭图形的面积.【答案】(1) 切线方程为或(2)所以所求的面积为.。

定积分与微积分基本定理含答案版

定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎜⎛01(x 2－x )d x B ．S ＝⎠⎜⎛01(x －x 2)d x C ．S ＝⎠⎜⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎜⎛1(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎜⎛01(x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( )A ．2 3B ．2－3[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎜⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π[答案] C[解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案]A[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x，y)|－π4≤x≤π4，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y＝cos2x下方的概率是( )－1[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是( )A ．0 C ．2 D ．－2 [答案] D[解析] 2(cos sin )2x x ππ---＝2(cos sin )2x x ππ---＝－2. 7．⎠⎜⎛2(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3[解析] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎜⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎜⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎜⎛12(3－x )d x ＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3.9．已知a ＝2(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192 [解析] 由已知得a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r6×26－r ×x 3－r，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎜⎛ab[(a ＋b )x －ab －x 2]d x ＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|ba ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )，其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b2，y ＝a 2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎜⎛34x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12[答案] C[解析] 因为S 3＝⎠⎜⎛34x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎜⎛1eln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎜⎛1eln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎜⎛-42[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18. 14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎜⎛0t(e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎜⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x ＝⎠⎜⎛0t(e t －e x )d x ＋⎠⎜⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎜⎛0πcos 2x2d x ； (3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎜⎛1x d x ＝2×12x 2|10＝1. (2)⎠⎜⎛0πcos 2x2d x ＝⎠⎜⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2.(3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．∴S 阴影＝⎠⎜⎛a[0－(－x 3＋ax 2)]d x ＝(14x 4－13ax 3)|0a＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dx ππ-⎰的值，结果是( )＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案] B[解析] 22()f x dx ππ-⎰＝22ππ-⎰sin 5x d x ＋22ππ-⎰1d x ，由于函数y ＝sin 5x是奇函数，所以22ππ-⎰sin 5x d x ＝0，而22ππ-⎰1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x － 1 －1≤x <0，cos x 0≤x <π2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )C ．1[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎜⎛πsin x d x ＝________.[答案] 22[解析] ∵⎠⎜⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎜⎛πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎜⎛1f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案] 33[解析] ⎠⎜⎛01f (x )d x ＝⎠⎜⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a3＋c＝ax 2＋c ，即ax 20＝a3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33. 5．设n ＝⎠⎜⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x)n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40[解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2，∴n ＝⎠⎜⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5. ∴(x －2x)5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r(－2x)r＝(－2)r C r 5x5－3r2 ，令5－3r 2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。

高考数学总复习课时作业(15)定积分与微积分基本定理

课时作业(十五)第15讲定积分与微积分基本定理基础热身1.(1-x)d x=()A.1B.-1C. D.-2.某物体从静止开始自由落下,若速度v(t)=gt(v的单位:m/s,t的单位:s,g为重力加速度),则经过t=10 s后下落的距离为 ()A.50g mB.100g mC.25g mD.75g m3.[2017·孝义质检]定义=ad-bc,如=1×4-2×3=-2,那么=()A.6B.3C. D.04.[2017·安徽宣城二模]|sin x|d x=()A.1B.2C.3D.45.一物体在力F(x)=4x-1(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=1(单位:m)处运动到x=3处,则力F(x)所做的功为.能力提升6.[2017·江淮十校三模](sin x-a cos x)d x=-,则实数a等于()A.1B.C.-1D.-7.d x=()A. B.C.1D.28.已知+=2,若φ∈0,,则(x2-2x)d x=()A. B.-C. D.-9.[2017·辽宁实验中学模拟]如图K15-1所示,正弦曲线y=sin x、余弦曲线y=cos x与两直线x=0,x=π所围成的阴影部分的面积为()图K15-1A.1B.C.2D.210.[2018·齐齐哈尔八中月考]设函数f(x)=x m+ax的导函数f'(x)=2x+1,则f(-x)d x的值等于()A. B.C. D.11.[2017·石家庄三模](+x)d x= .12.[2018·郑州一中模拟]设函数f(x)=ax2+b(a≠0),若f(x)d x=3f(x0),x0>0,则x0= .13.[2017·吉林实验中学模拟]由直线x=e,y=x及曲线y=所围成的封闭图形的面积为.14.曲线y=2sin x(0≤x≤π)与直线y=1围成的封闭图形的面积为.难点突破15.(5分)[2017·青岛三模]已知函数f(x)在R上满足f(π-x)=f(x),若当0≤x≤时,f(x)=cos x-1,则当0≤x≤π时,f(x)的图像与x轴所围成图形的面积为()A.π-2B.2π-4C.3π-6D.4π-816.(5分)[2017·天津南开中学月考]函数f(x)=x3-x2+x+1的图像在点(1,2)处的切线与曲线y=x2围成的图形的面积等于.课时作业(十五)1.C[解析] (1-x)d x=x-x2=.2.A[解析] 下落的距离为gt d t=gt2=50g(m).3.D[解析] x d x=x2=,∴==×2-3×1=0.故选D.4.D[解析] |sin x|d x=2sin x d x=2(-cos x)=2×(1+1)=4.5.14 J[解析] W=(4x-1)d x=(2x2-x)=14(J).6.B[解析] (sin x-a cos x)d x=(-cos x-a sinx)=--a+1,∴--a+1=-,∴a=.7.A[解析] 令y=,则(x-1)2+y2=1(y≥0),表示的是以(1,0)为圆心,半径为1的圆在x 轴上方的半圆,所以d x=π×12=.8.C[解析] 由已知+=2,φ∈0,,得到sin φ=cos φ=,所以tan φ=1,所以(x2-2x)d x=(x2-2x)d x=x3-x2=.9.D[解析] 阴影部分的面积S=(cos x-sin x)d x+(sin x-cos x)d x=(sin x+cosx)+(-cos x-sin x)=-1+1+=2.10.A[解析] ∵f(x)=x m+ax的导函数f'(x)=2x+1,∴f(x)=x2+x,于是f(-x)d x=(x2-x)d x=x3-x2=,故选A.11.π+2[解析] (+x)d x=d x+x d x,令y=,得x2+y2=4(y≥0),圆x2+y2=4的面积为4π,由定积分的几何意义可得,d x=π,又x d x=x2=2,∴(+x)d x=π+2.12.[解析] ∵f(x)=ax2+b,f(x)d x=3f(x0),∴(ax2+b)d x=ax3+bx=9a+3b,则9a+3b=3a+3b,∴=3,又x0>0,∴x0=.13.[解析] 如图所示,图中阴影部分的面积S=x-d x=x2-ln x=.14.2-[解析] 令2sin x=1(0≤x≤π),即sin x=,可得x=或,∴曲线y=2sin x(0≤x≤π)与直线y=1交于点A,1和B,1,因此,围成的封闭图形的面积S=(2sinx-1)d x=(-2cos x-x)=-2cos---2cos-=2-.15.A[解析] ∵当0≤x≤时,f(x)=cos x-1,∴当<x≤π时,0≤π-x<,f(x)=f(π-x)=cos(π-x)-1=-cos x-1,∴f(x)=所以当0≤x≤π时,f(x)的图像与x轴所围成图形的面积S=-(cos x-1)d x-(-cos x-1)d x=(1-cosx)d x+(cos x+1)d x=(x-sin x)+(sin x+x)=π-2.16.[解析] 因为f(x)=x3-x2+x+1,所以f'(x)=3x2-2x+1,f'(1)=2,则函数f(x)=x3-x2+x+1的图像在点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.作出草图(如图所示),则所求阴影部分的面积S=(2x-x2)d x=x2-x3=.。

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(定积分与微积分基本定理)练习(附答案)

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（定积分与微积分基本定理）练习一、基础小题练透篇1．若a ＝⎠⎛02 x 2d x ，b ＝⎠⎛02 x 3d x ，c ＝⎠⎛02 sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b2．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为( )A ．329 B ．2－ln 3 C ．4＋ln 3 D ．4－ln 33．[2023ꞏ甘肃省兰州市第一次月考]求由抛物线y ＝2x 2与直线x ＝0，x ＝t(t ＞0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n 个小区间，则第i －1个区间为( )A ．⎣⎡⎦⎤i －1n ，i nB ．⎣⎡⎦⎤i n ，i ＋1n C ．⎣⎡t （i －1）n ，ti n D ．⎣⎡t （i －2）n ，t （i －1）n4．若数列{a n }是公比不为1的等比数列，且a 2 018＋a 2 020＝⎠⎛024－x 2 d x ，则a 2 017(a 2 019＋2a 2 021＋a 2 023)＝( )A ．4π2B ．2π2C ．π2D ．3π25．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m /s )行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln 5 D ．4＋50ln 26．已知分段函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2，x ≤0，e －x，x>0，则⎠⎛13 f(x －2)d x ＝( ) A ．3＋1e B ．2－e C ．73 －1e D ．2－1e7．设函数f(x)＝ax 2＋b(a ≠0)，若⎠⎛03 f(x)d x ＝3f(x 0)，x 0>0，则x 0＝________．8．[2023ꞏ河南省信阳考试]⎠⎛12 (1x ＋1－（x －2）2 )d x ＝________．二、能力小题提升篇1．[2023ꞏ兰州检测]曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14 所围成的图形(如图中阴影部分所示)的面积为( )A ．23B ．13C ．12D ．142．[2023ꞏ河北唐山联考]曲线y ＝x －1x ＋1与其在点(0，－1)处的切线及直线x ＝1所围成的封闭图形的面积为( )A ．1－ln 2B ．2－2ln 2C ．2ln 2－1D ．ln 23．[2023ꞏ河南商丘检测]已知不等式1－3x ＋a <0的解集为(－1，2)，则⎠⎛0a (2e 2x ＋x)d x＝( )A ．e ＋12B ．e －12 C ．e 2＋12 D ．e 2－124．[2023ꞏ河南省洛阳市考试]由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点M(0，－3)和点N(3，0)处的两条切线所围成的图形的面积为( )A ．94B ．92C ．74 D ．25．[2023ꞏ江西省新余市第一中学考试]函数的图象f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，－4≤x<0，4cos x ，0≤x ≤π2 与x 轴所围成的封闭图形的面积为________．6．[2023ꞏ吉林省东北师范大学模拟]设y ＝f(x)为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分⎠⎛01 f(x)d x ，先产生两组(每组n 个)区间[0，1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n ，由此得到n 个点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n)，再数出其中满足y i >f(x i )(i ＝1，2，…，n)的点有m 个，那么由随机模拟方法可得积分⎠⎛01f(x)d x 的近似值为________．7．[2023ꞏ吉林省实验中学检测]若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x －4），x>0，2x＋∫π60cos 3x d x ，x ≤0，则f(2 018)＝________．三、高考小题重现篇1.[湖南卷]由直线x ＝－π3 ，x ＝π3 ，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A ．12B ．1C ．32 D ．32．[湖北卷]若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f （x ）g （x ）d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin 12 x ，g(x)＝cos 12 x ②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1 ③f(x)＝x ，g(x)＝x 2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．[江西卷]若f(x)＝x 2＋2⎠⎛01 f(x)d x ，则⎠⎛01 f(x)d x ＝( )A ．－1B ．－13C ．13 D ．14．[湖北卷]已知二次函数y ＝f(x)的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A ．2π5 B ．43 C ．32 D ．π2 5．[湖南卷]⎠⎛02 (x －1)d x ＝________．6．[福建卷]如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.四、经典大题强化篇1.[2023ꞏ四川绵阳模拟]A ，B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 站恰好停车，试求：(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离．2．[2023ꞏ江西省赣州市赣县月考]已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R ).(1)若a ＝2，求导函数曲线y ＝f ′(x )与直线x ＝1，x ＝e 及x 轴所围成的面积； (2)求f (x )的单调区间．参考答案一基础小题练透篇1．答案：D答案解析：a ＝⎠⎛02x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3 ⎪⎪ 2 0＝83 ，b＝⎠⎛02 x 3d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4 ⎪⎪20＝4，c ＝⎠⎛02 sin x d x ＝（－cos x ）⎪⎪20＝1－cos 2.∵cos 2∈[－1，1]，∴1－cos 2∈[0，2]，∴1－cos 2<83<4，故c<a<b.2．答案：D答案解析：S ＝＝4－ln 3. 3．答案：D答案解析：在[0，t]上等间隔插入（n －1）个分点，把区间[0，t]等分成n 个小区间，每个小区间长度均为t n ，故第i －1个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ()i －2n ，t ()i －1n .本题选择D 选项． 4．答案：C答案解析：根据定积分的几何意义，⎠⎛02 4－x 2d x 表示以原点为圆心，以2为半径的四分之一圆的面积，所以⎠⎛02 4－x 2d x ＝π.所以a 2 018＋a 2 020＝π，设a 2 018＝a ，公比为q ，则a ＋aq 2＝π，所以a 2 017（a 2 019＋2a 2 021＋a 2 023）＝a q（aq ＋2aq 3＋aq 5）＝a 2（1＋2q 2＋q 4）＝a 2（1＋q 2）2＝[a （1＋q 2）]2＝π2.5．答案：C答案解析：令v （t ）＝7－3t ＋251＋t ＝0，又t>0，则t ＝4，汽车刹车的距离是⎠⎛04 ⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝4＋25ln 5.6．答案：C答案解析：⎠⎛13 f （x －2）d x ＝⎠⎛12 f （x －2）d x ＋⎠⎛23 f （x －2）d x ＝⎠⎛12 （x 2－4x ＋5）d x＋⎠⎛23 e－x ＋2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2x 2＋5x ⎪⎪21＋（－e －x ＋2）⎪⎪ 32＝[⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－2×22＋5×2 －⎝ ⎛⎭⎪⎫13×13－2×12＋5×1 ]＋[（－e －3＋2）－（－e －2＋2）]＝73 －1e.7．答案： 3答案解析：依题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋bx ⎪⎪⎪3＝3（ax 20 ＋b ），即3ax 20 ＝9a （a≠0），x 20 ＝3（x 0>0），由此解得x 0＝ 3 .8．答案：ln 2＋π4答案解析：由题意得，⎠⎛12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1－（x －2）2 d x ＝⎠⎛12 1x d x ＋⎠⎛12 1－（x －2）2 d x＝ln x|21 ＋⎠⎛12 1－（x －2）2 d x ＝ln 2＋⎠⎛12 1－（x －2）2d x .根据定积分的几何意义可知，⎠⎛121－（x －2）2 d x 表示圆（x －2）2＋y 2＝1满足1≤x≤2，y≥0的这一部分面积，即圆面积的14 ，故⎠⎛12 1－（x －2）2d x ＝π4 .因此⎠⎛12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1－（x －2）2 d x ＝ln 2＋⎠⎛12 1－（x －2）2 d x ＝ln 2＋π4 .二能力小题提升篇1．答案：D答案解析：令x 2＝14 ，得x ＝12 或x ＝－12 （舍去），所以所求的阴影部分的面积为∫120⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x 2 d x ＋∫112⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14 d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －x 33 ⎪⎪⎪120 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－14x ⎪⎪⎪112 ＝14 .2．答案：C答案解析：因为y ＝x －1x ＋1 ，所以y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1 ′＝2（x ＋1）2 ，则曲线y ＝x －1x ＋1 在（0，－1）处的切线的斜率k ＝2，切线方程为y ＝2x －1，则曲线y ＝x －1x ＋1 与其在点（0，－1）处的切线及直线x ＝1所围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛01 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1－x －1x ＋1 d x ＝⎠⎛01 （2x －1－1＋2x ＋1 ）d x ＝[x 2－2x ＋2ln （x ＋1）]⎪⎪⎪1＝2ln 2－1. 3．答案：D答案解析：∵不等式1－3x ＋a <0，∴x ＋a －3x ＋a<0，∴（x ＋a ）（x ＋a －3）<0，∴－a<x<－a ＋3，由于1－3x ＋a <0的解集为（－1，2），∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝－1－a ＋3＝2，解得a ＝1，∴⎠⎛0a（2e 2x＋x ）d x ＝⎠⎛01（2e 2x＋x ）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋x 22 ⎪⎪⎪10 ＝e 2－12 .4．答案：A答案解析：∵y ＝－x 2＋4x －3，则y′＝－2x ＋4，在点M （0，－3）的切线斜率k 1＝y′|x ＝0＝4，切线方程y ＝4x －3，在点N （3，0）的切线斜率k 2＝y′|x ＝3＝－2，切线方程y ＝－2()x －3 ，联立方程⎩⎨⎧y ＝4x －3y ＝－2()x －3 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝3，即两切线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 ，所围成的图形的面积为S ＝∫32[]()4x －3－()－x 2＋4x －3 d x ＋∫332[]－2()x －3－()－x 2＋4x －3 d x＝∫320x 2d x ＋∫332 ()x 2－6x ＋9 d x ＝13 x 3|32 0＋（13 x 3－3x 2＋9x ）|332＝94 .故选A .5．答案：12答案解析：由题意可得：围成的封闭图形的面积为：S ＝⎠⎛－4（x ＋4）d x ＋∫π2 04cos x d x ＝（12 x 2＋4x ）|0－4 ＋4sin x|π2 0＝0－()8－16 ＋4sin π2－0＝12.6．答案：1－mn答案解析：由题意得满足y i ≤f （x i ）（i ＝1，2，…，n ）的点有n －m 个，故n －m n ≈⎠⎛01f （x ）d x 1 ，即⎠⎛01 f （x ）d x≈1－mn ，故积分⎠⎛01 f （x ）d x 的近似值为1－mn .7．答案：712答案解析：当x≤0时，f （x ）＝2x＋∫π60cos 3x d x ＝2x＋sin 3x 3⎪⎪⎪π6＝2x＋13，所以f （2 018）＝f （2）＝f （－2）＝14 ＋13 ＝712.三高考小题重现篇1．答案：D答案解析：如图可得，∫π3－π3 cos x d x ＝sin x|π3 －π3＝2sin π3 ＝ 3 .2．答案：C答案解析：由题意，要满足f （x ），g （x ）是区间[－1，1]上的一组正交函数，即需满足⎠⎛－11 f （x ）g （x ）d x ＝0.①⎠⎛－11 f （x ）g （x ）d x ＝⎠⎛－11 sin 12 x cos 12 x d x ＝12 ⎠⎛－11 sin x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos x |1－1 ＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数；②⎠⎛－11 f （x ）·g （x ）d x ＝⎠⎛－11（x ＋1）（x －1）d x ＝ ⎠⎛－11（x 2－1）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x |1－1 ＝－43 ≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③⎠⎛－11 f （x ）g （x ）d x ＝⎠⎛－11 x·x 2d x ＝⎠⎛－11 x 3d x ＝x 44 |1－1 ＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数．综上，其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是2.3．答案：B答案解析：不妨设⎠⎛01 f （x ）d x ＝k ，则f （x ）＝x 2＋2⎠⎛01 f （x ）d x ＝x 2＋2k ，所以⎠⎛01 f（x ）d x ＝⎠⎛01 （x 2＋2k ）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2kx |10 ＝13 ＋2k ＝k ，得k ＝－13 ，即⎠⎛01 f （x ）d x ＝－13. 4．答案：B答案解析：容易求得二次函数的答案解析式为f （x ）＝1－x 2，所以S ＝⎠⎛－11 （1－x 2）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33 |1－1 ＝43 .5．答案：0答案解析：⎠⎛02 （x －1）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |20 ＝12 ×22－2＝0.6．答案：2e2答案解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，y ＝e ，解得x ＝1，因为y ＝e x与y ＝ln x 互为反函数，故所求阴影部分面积S ＝2⎠⎛01 （e －e x）d x ＝2，故所求概率P ＝2e2 .四经典大题强化篇1．答案解析：（1）设A 到C 的时间为t 1 s ，则1.2t 1＝24，解得：t 1＝20，则AC ＝⎠⎛0201.2t d t ＝0.6t 2|200 ＝240（m ）.即A 、C 间的距离为240 m ．（2）设D 到B 的时间为t 2 s ，则24－1.2t 2＝0，解得t 2＝20，则BD ＝⎠⎛020 （24－1.2t ）d t ＝（24t －0.6t 2）|200 ＝240（m ），即B 、D 间的距离为240 m ． 2．答案解析：（1）由已知，当a ＝2时，f （x ）＝2x ＋ln x ， ∴导函数曲线y ＝f′（x ）与直线x ＝1，x ＝e 及坐标轴所围成的面积为：S ＝⎠⎛1e f′（x ）d x ＝()2x ＋ln x |e1 ＝2e －1.（2）由题得f′（x ）＝a ＋1x＝ax ＋1x （x>0）， ①当a≥0时，由于x>0，则ax ＋1>0恒成立，即f′（x ）>0当x>0时恒成立，∴函数f （x ）的单调递增区间为（0，＋∞）；②当a<0时，令f′（x ）＝0可得x ＝－1a>0，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 时，f′（x ）>0；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞ 时，f′（x ）<0， ∴函数f （x ）的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞ . 综上，当a≥0时，函数f （x ）的单调递增区间为()0，＋∞ ；当a<0时，函数f （x ）的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞ .。

(完整版)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

定积分与微积分基本定理习题一、选择题1． a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e x d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )练习、设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫43，169B.⎝⎛⎭⎫45，169C.⎝⎛⎭⎫43，157 D.⎝⎛⎭⎫45，1373．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4B.43C.185D ．64． ⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos15．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2πB ．3π C.3π2D ．π6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e ) D ．(0，e 11) 8．如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π49．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(－2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( ) A.32B ．1C ．4D.1210．设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－7611．甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.3412．已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12B.14C.13D.25二、填空题13．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．16．抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．17．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．三、解答题18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小．1、 [答案] D[解析] a ＝⎠⎛02x d x ＝12x 2|02＝2，b ＝⎠⎛02e x d x ＝e x |02＝e 2－1>2，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝－cos x |02＝1－cos2∈(1,2)，∴c <a <b .A.112B.14C.13D.7122、[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝x 3得交点为(0,0)，(1,1)． ∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 401＝112.练习； [答案] A[解析] 设P (t ，t 2)(0≤t ≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S 1＝⎠⎛t (tx －x 2)d x ＝t 36；S 2＝⎠⎛t2(x 2－tx )d x ＝83－2t ＋t 36，若S 1＝S 2，则t ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，169. 3、[答案] A[解析] S ＝⎠⎛2x 3d x ＝⎪⎪x 4402＝4.4、[答案] B[解析] ⎠⎛1(sin x ＋1)d x ＝(－cos x ＋x )|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.5、[答案] A[解析] 如右图，S ＝∫02π(1－cos x )d x ＝(x －sin x )|02π＝2π.6、[答案] B[解析] F ′(x )＝x (x －4)，令F ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4， ∵F (－1)＝－73，F (0)＝0，F (4)＝－323，F (5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323. 7、[答案] D ；[解析] f (x )＝⎠⎛1x 1td t ＝ln t |1x ＝ln x ，a 3＝S 3－S 2＝21－10＝11，由ln x <11得，0<x <e 11.8、[答案] A[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsin x d x＝－cos x |0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S S 矩形OABC ＝22π＝1π.9、[答案] C[解析] 面积S ＝∫π2－2f (x )d x ＝⎠⎛0－2(x ＋2)d x ＋∫π202cos x d x ＝2＋2＝4.10、 [答案] A[解析] 由题意可得，当0<x <1时，[x ]＝0，f (x )＝x ，当1≤x <2时，[x ]＝1，f (x )＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f (x )有一个零点，由函数f (x )与g (x )的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛mn g (x )d x ＝⎠⎛14⎝⎛⎭⎫－x 3d x ＝⎪⎪－x 2614＝－52.11、[答案] A ；[解析] 方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b 2－4c ≥0，即b 2≥c ，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b 2db 1×1＝13.12、[答案] C ；[解析] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x 2d x ＝13x 3|01＝13，故所求概率p ＝13.13、 [答案] －1或13；[解析] ∵⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛1－1(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|－11＝4，⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )，∴6a 2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.14、 [答案] －192；[解析] 由已知得a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C 6r ×26－r ×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 61×25＝－192.15、[答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x y ＝4－x解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y∴S ＝⎠⎛2－4[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|－42＝18.16、 [答案] 16x －8y ＋1＝0[解析] 由题意知⎠⎛01ax d x ＝23，∴a ＝1，设l ：y ＝2x ＋b 代入y 2＝x 中，消去y 得，4x 2＋(4b －1)x ＋b 2＝0，由Δ＝0得，b ＝18，∴l 方程为16x －8y ＋1＝0. 17、 [答案] －1[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0，∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，∴a ＝－1.18、 [解析] 由题意得S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3，S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13，所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．又S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12，令S ′(t )＝0，得t ＝12或t ＝0. 因为当0<t <12时，S ′(t )<0；当12<t ≤1时，S ′(t )>0.所以S (t )在区间⎣⎡⎦⎤0，12上单调递减，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增．所以，当t ＝12时，S min ＝14.。

高中数学定积分与微积分基本定理练习题

定积分与微积分基本定理自我检测：1.设连续函数f(x)>0,则当a<b 时,定积分∫()ba f x dx 的符号( )A.一定是正的B.一定是负的C.当0<a<b 时是正的,当a<b<0时是负的D.以上结论都不对 2. ∫22ππ- (1+cosx)dx 等于( )A.πB.2C.π-2D.π+23.用S 表示图中阴影部分的面积,则S 的值是( )A. ∫()c a f x dxB.| ∫()c a f x dx|C. ∫()b a f x dx+∫()c b f x dxD. ∫()c b f x dx-∫()ba f x dx4.设函数()m f x x ax =+的导函数f′(x)=2x+1,则∫21()f x -dx 的值等于( )A.56 B.12 C.23 D.165.直线y=2x+3与抛物线2y x =所围成的图形面积为 .巩固练习：1. ∫412x dx 等于( )A.-2ln2B.2ln2C.-ln2D.ln22. ∫10(e 2)xx +dx 等于( )A.1B.e-1C.eD.e+13.已知f(x)= 210101x x x ⎧,-≤≤,⎨,<<,⎩则∫11()f x -dx 的值为 ( )A.32B.23-C.23 D.434.函数f(x)= 2110cosx 0x x x π+,-≤<,⎧⎨,≤≤⎩ 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32 B.1 C.2 D.125.函数y=∫(x x -cos 22)t t ++dt( )A.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数D.以上都不正确6.由直线330x x y ππ=-,=,=与曲线y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B.1 C.32 D.3 7.由曲线32y x y x =,=围成的封闭图形的面积为( )A.112B.14 C.13 D.7128.曲线1x y =与直线y=x,x=2所围成的图形面积为 .9.如果∫10()f x dx=1, ∫20()f x dx=-1,则∫21()f x dx= .10.由曲线2y x =和直线x=0,x=1,y=2(01)t t ,∈,所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为 .11.计算下列定积分.(1) ∫2211(2)x x -dx; (2) ∫3212()x x +dx; (3) ∫30π (sinx-sin2x)dx.12.已知f(x)为二次函数,且f(-1)=2,f′(0)=0,∫10()f x dx=-2.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.。

高中数学高考总复习计划定积分及微积分基本定理习题及详解

定积分与微积分根本定理习题一、选择题1．a＝2xdx，b＝2e x dx，c＝2sinxdx，那么a、b、c的大小关系是()000 A．<<B．<<C．<<a D．<<acb abc cb cab2．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()练习、设点P在曲线y＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP，直线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记作1，2.如下列图，当1＝2时，点P的坐标是()S S S S3．由三条直线x＝0、x＝2、y＝0和曲线y＝x3所围成的图形的面积为() A．4D．64．1－1(sin x＋1)dx的值为()A．0B．2C ．2＋2cos1D．2－2cos15．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是()A．2πB．3πD．π6．函数F(x)＝x t(t－4)dt在[－1,5]上()32A．有最大值0，无最小值B．有最大值0和最小值－332C．有最小值－3，无最大值D．既无最大值也无最小值7．等差数列2＋n，函数f(x)＝x1{a}的前n项和S＝2nt dt，假设f(x)<a，那么x的取值范围是()n n31B．(0，21)C．(－11，)D．(0，11)e e e e8．如下列图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如下列图的阴影局部，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，那么所投的点落在阴影局部的概率是()x＋2－2≤x<09．函数f(x)＝π的图象与x轴所围成的图形面积S为()2cosx0≤x≤2B．1 C．410．设函数f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－]＝－2，[]＝1，[1]＝1.又函数x ng(x)＝－3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n，那么g(x)dx的m值是()54C．－57A．－B．－D．－234611．甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规那么如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b、c可以相等)，假设关于x的方程x2＋2bx＋c＝0有实根，那么甲获胜，否那么乙获胜，那么在一场比赛中甲获胜的概率为()12．正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1) ，曲线y＝x2(x≥0)与x轴，直线x＝1构成区域M，现将一个质点随机地投入正方形中，那么质点落在区域 M内的概率是( )二、填空题13．函数f(x)＝3x2＋2x＋1，假设1－1f(x)dx＝2f(a)成立，那么a＝________.14．＝∫π0(sinx＋cos)dx，那么二项式(a x－1)6的展开式中含x2项的系数是________．a2xx15．抛物线y 2＝2与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________．x16．抛物线y 2＝(>0)与直线x＝1围成的封闭图形的面积为4，假设直线l与抛物线相切且平行于直线axa32x－y＋6＝0，那么l 的方程为______．17．函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如下列图，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数1图象所围成区域(图中阴影局部)的面积为12，那么a的值为________．三、解答题18．如下列图，在区间[0,1]上给定曲线2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影局部的面积1 y＝x S＋S2最小．122xx2221、[答案]D[解析]a＝2xdx＝2x|0＝2，b＝2edx＝e|0＝e－1>2，c＝2sinxdx＝－cosx|0＝1000－cos2∈(1,2)，∴c<a<b.y＝x22、[答案]A[解析]由y＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴＝1(23＝131411 x－x)dxx－x0＝.S3412 0练习；[答案]A[解析]设P(t，t2≤t≤2)，那么直线OP：y＝tx，∴S＝t2t32 )(0(tx－x)dx＝6；S＝120t8t 34416212，(x －tx)dx＝3－2t＋6，假设S＝S，那么t＝3，∴P39.3x423、[答案]A[解析]S＝2xdx＝40＝4.4、[答案]B[解析]1(sinx＋1)dx＝(－cosx＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.5、[答案]A[解析]2π2π＝2π.如右图，S＝∫0(1－cosx)dx＝(x－sinx)|06、[答案]B[解析]F′(x)＝x(x－4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4，7322532∵F(－1)＝－3，F(0)＝0，F(4)＝－3，F(5)＝－3.∴最大值为0，最小值为－3.7、[答案]D；[解析]f(x)＝x1|x＝lnx，a＝S－S＝2111t dt＝lnt1－10＝11，由lnx<11得，0<x<e.33218、[答案]A[解析]由图可知阴影局部是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得＝πSsinxdx＝－cosx|πP＝S2＝1.0＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率＝πS矩形OABC2π9、[答案]C[解析]面积＝∫πf()dx＝0－2(x＋2)dxπ02cosxd＝2＋2＝4.－2＋∫S2x2x10、[答案]A[解析]由题意可得，当0<x<1时，[x]＝0，f(x)＝x，当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x－1，所以当x∈(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，n4x x245所以m＝1，n＝4，那么g(x)dx＝－3dx＝－61＝－2.m111、[答案]A；[解析]方程x2＋2bx＋c＝0有实根的充要条件为＝4b2－4c≥0，即b2≥c，1b2db01由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p＝1×1＝3.12、[答案]C ；[解析]如图，正方形面积213|111 1，区域M的面积为S＝1x dx＝x＝，故所求概率p＝.3331232113、[答案]－1或3；[解析]∵1－1f(x)dx＝1－1(3x ＋2x＋1)dx＝(x＋x＋x)|－1＝4，1－211f(x)dx＝2f(a)，∴6a＋4a＋2＝4，∴a＝－1或.14、[答案]－192；[解析]由得aπ0(sinx＋cos)dx＝(－cosxπ0＝(sinπ＝∫＋sin)|－2x x22π16的展开式中第r＋1项是T ＝(－1)r r6－r×x3－r，令3－r＝cos2)－(sin0－cos0)＝2，(2x－x)×C×2r＋162得，r＝1，故其系数为115(－1)×C6×2＝－192.15、[答案]18[解析]由方程组y2＝2x 解得两交点(2,2)、(8，－4)，选y作为积分变量x＝y2、y＝4－x A B2x＝4－y∴S＝y2y2y322－4[(4－y)－]dy＝(4y－－)|－4＝18.22616、[答案]16－8y ＋1＝0[解析]由题意知1x2axdx＝3，∴a＝1，2221设l：y＝2x＋b代入y ＝x中，消去y得，4x＋(4b－1)x＋b＝0，由＝0得，b＝8，∴l方程为16x－8y＋1＝0.17、[答案]－1[解析]f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．S＝－0(32141阴影－x＋ax)dx＝12a＝12，∴a＝－1.a2t22318、[解析]由题意得S1＝t·t－xdx＝3t，2＝12d－t 2(1－)＝23－t2＋1，所以S x x t3t3t＝1＋2＝43－21≤≤1)．3t t＋(0SSS3t又′(＝4t 2－2t＝4tt－1，令′(＝，得t＝1或t＝.St)2St)021 1因为当0<t<2时，S′(t)<0；当2<t≤1时，S′(t)>0.所以()在区间，1上单调递减，在区间1t11，1上单调递增．所以，当＝时，min＝.St222S4。

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【巩固练习】
1.如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为（）
A ．
14
B ．
15
C ．
16
D ．
17
2．若函数f (x )，g (x )满足1-1⎰f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：
①()1sin
2f x x =， ()1
cos 2
g x x =； ②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1； ③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.
其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
3．1
0x m e dx =
⎰与11
e
n dx x
=⎰
的大小关系是（） A.m n > B.m n < C.m n = D.无法确定
4．下列结论中错误的是（） A ．[()()]b
a f x g x dx ±=
⎰()b
a
f x dx ⎰
±
()b
a
g x dx ⎰
B ．()()b
b a a
kf x dx k f x dx =⎰⎰
C ．
()b
a f x dx ⎰
＝()c
a
f x dx ⎰＋()b
c
f x dx ⎰（其中)a c b <<
D ．[]2
()b
a f x dx ⎰＝2
()b
a f x dx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
⎰
5．下列定积分值为0的有（） A.
⎰
-2
2
sin xdx x B. ⎰-2
22cos xdx x
C.
⎰
-+2
2
52)(dx x x D. ⎰-++2
2
53)15(2dx x x
6．已知)(x f 为偶函数且
8)(6
=⎰
dx x f ，则=⎰-6
6
)(dx x f （）
A.0
B.4
C.8
D.16
7．定积分=---⎰
dx x x 1
2))1(1(（）
A.
42
-π B.
12-π C.
41-π D. 2
1
-π 8．曲线]2
3
,0[,cos π∈=x x y 与坐标轴围成的面积（）
A ．4 .2
B
C ．2
5
D ．3
9．一辆汽车以速度2
3t v =的速度行驶，这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为（） A.
3
1
B.1
C.3
D.27 10．已知自由落体运动的速度gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为（）
A ．3
2
0gt 2
0.B gt
C ．2
2
0gt
D ．6
2
0gt
11．（2016 河北邯郸模拟）
2
1
1
(-)x dx x
=⎰
.
12．(2015合肥模拟)设函数f (x )＝(x －1)x (x ＋1)，则满足⎠⎛0a
f ′(x )d x ＝0的实数a ＝________.
13．设2,01()2,12
x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩，则20
()f x dx ⎰＝；
14．（2016 江西师大模拟）已知2
(sin cos )a x x dx π
=+⎰
，在（1+ax ）6（1+y ）4的展开式中，xy 2项
的系数为．
15．求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积． 16.（2015春长春校级月考）
已知由曲线y =
4y x =-以及x 轴所围成的图形的面积为
S .
(1)画出图象 (2)求面积S. 【参考答案与解析】
1.C
【解析】31
22
01211)(),1326
0S x dx x x S ==-==⎰Q 正阴影,故16P =, 2．【答案】C
【解析】对于①，1-1⎰sin
12x cos 12x d x ＝1-1⎰1
2
sin x d x ＝0，所以①是一组正交函数；对于②，1-1⎰ (x ＋1)(x －1)d x ＝1-1⎰ (x 2－1)d x ≠0，所以②不是一组正交函数；对于③，1-1⎰x ·x 2d x ＝1-1⎰x 3d x ＝0，所以③是一
组正交函数．选C.
3．A 【解析】1
110
x x
m e dx e
e ===-⎰，1
1
ln 11e
e n dx x x
=
==⎰
4．D 5．D
【解析】设35
12()2(5),()2f x x x f x =+=
则3535
12()2(51)2(5)2()()f x x x x x f x f x =++=++=+
∵12(),()f x f x 在区间[]2,2-上是奇函数， ∴
2
22
35122
2
2
2(51)()()0x x dx f x dx f x dx ---++=+=⎰
⎰⎰
6. D
【解析】)(x f 为偶函数，则6
6
6
()2()16f x dx f x dx -==⎰
⎰
7. D
【解析】0
⎰
中的被积函数1)y x =≤≤恰是一个位于x 轴上方的半圆，
其面积为
2
π，故2π=⎰，又1012xdx =⎰
∴=---⎰dx x x 102
))1(1(2
1-π
8．D 9．D
【解析】这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为：3
3
23
33270
vdt t dt t
===⎰
⎰
10．C
11. 【答案】1﹣ln2 【解析】
2
2
11
1()(ln )2ln 21ln11ln 2x dx x x x
-=-=--+=-⎰
12.【答案】1 【解析】()()'0
0a f x dx f a ==⎰
，得a ＝0或1或－1，又由积分性质知a >0，故a ＝1.
13．
56
14．【答案】72 【解析】2
20
(sin cos )(cos sin )
112a x x dx x x π
π
=
+=-+=+=⎰
所以在（1+2x ）6（1+y ）4的展开式中，xy 2项为1222(2)726
4
C x C y xy =，所以系数为72．
15．【解析】首先求出函数x x x y 223++-=的零点：11-=x ，02=x ，23=x .
又易判断出在)0 , 1(-内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，图形在x 轴上方，所以所求面积为dx x x x A ⎰
-++--
=0
1
23)2(dx x x x ⎰
++-+
2
23)2(12
37=
16.【解析】（1）图象如图所示：
（2）曲线2y x =
4y x =-的交点坐标()2,2A ，
32
200
12214222|2233
S xdx x ∴=+⨯⨯=+=⎰。