数值分析拉格朗日插值法上机实验报告
数值分析上机报告(1)
一．上机目的1. 通过上机编程，复习巩固以前所学程序设计语言及上机操作指令；2. 通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性；3. 熟悉并掌握拉格朗日插值多项式、牛顿插值多项式和分段低次插值，注意其不同特点；4. 了解最小二乘法的基本原理，能通过计算机解决实际问题。
二．上机环境MATLAB 软件等。
三．上机内容1.数值算法稳定性实验；2.插值法实验：拉格朗日插值、牛顿插值以及分段低次插值；3.曲线拟合实验：最小二乘法。
四．实验内容1、数值稳定性实验对n=0,1,2,…20计算定积分dx x x y n n ⎰+=105算法1 利用递推公式151--=n n y ny n=1,2,…,20 取182322.05ln 6ln 51100≈-=+-⎰dx x y 代码：y(1)=log(6)-log(5);for i=1:20y(i+1)=1/i-5*y(i);endk=ones(7,3);for i=1:7for j=1:3k(i,j)=y(3*(i-1)+j);endenddigits(6)vpa(k)结果：[ 0.182322, 0.0883922, 0.0580389][ 0.0431387, 0.0343063, 0.0284684][ 0.0243249, 0.0212326, 0.0188369][ 0.0169265, 0.0153676, 0.0140713][ 0.0129767, 0.0120398, 0.0112295][ 0.0105192, 0.00990388, 0.00930414][ 0.00903483, 0.00745741, 0.012713]算法2 利用递推公式n n y n y 51511-=- n=20,19,.…,1 注意到105151561126110200201020=≤+≤=⎰⎰⎰dx x dx x x dx x 取008730.0)12611051(2120≈+≈y 代码： y(21)=0.008730;for i=2:21j=22-i;y(j)=1/(5*j)-1/5*y(j+1);endk=ones(7,3);for i=1:7for j=1:3k(i,j)=y(3*(i-1)+j);endenddigits(6) ;vpa(k)结果：[ 0.182322, 0.0883922, 0.0580389][ 0.0431387, 0.0343063, 0.0284684][ 0.0243249, 0.0212326, 0.0188369][ 0.0169265, 0.0153676, 0.0140713][ 0.0129766, 0.0120399, 0.0112292][ 0.0105205, 0.0098975, 0.00933601][ 0.00887552, 0.008254, 0.00873]说明：从计算结果可以看出，算法1是不稳定的，而算法2是稳定的。
数值分析实验报告--实验2--插值法
1 / 21数值分析实验二：插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。
设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。
实验要求：(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ，画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。
(2) 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。
(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析2 / 21原因。
1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上，根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本，其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数，方便调用。
1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20，画出原函数和拉格朗日插值函数的图像，如图1所示。
Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。
可以看出，当n 较小时，拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x)，即插值效果越来越好。
数值分析实验报告
实验一：拉格朗日插值法实验目的1学习和掌握拉格朗日插值多项式。
2.运用拉格朗日插值多项式进行计算。
2.实验过程作出插值点（1.00，0.00），（-1.00，-3.00），（2.00，4.00）算法步骤已知：某些点的坐标以及点数。
输入：条件点数以及这些点的坐标。
输出：根据给定的点求出其对应的拉格朗日插值多项式的值。
程序流程：（1）输入已知点的个数；（2）分别输入已知点的X 坐标；（3）分别输入已知点的Y 坐标；程序如下：#include <iostream>#include <conio.h>#include <malloc.h>float lagrange(float *x,float *y,float xx,int n){ int i,j; float *a,yy=0.0; /*a a=(float*)malloc(n*sizeof(float));for(i=0;i<=n-1;i++){ a[i]=y[i]; for(j=0;j<=n-1;j++)if(j!=i) a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]); yy+=a[i];}free(a); return yy; }int main(){ int i; int n; float x[20],y[20],xx,yy;printf("Input n:");scanf("%d",&n);if(n<=0) { printf("Error! getch();return 1; }for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("x[%d]:",i); scanf("%f",&x[i]); }printf("\n"); for(i=0;i<=n-1;i++) { } The value of n must in (0,20).");printf("y[%d]:",i);scanf("%f",&y[i]); printf("\n"); printf("Input xx:"); scanf("%f",&xx); yy=lagrange(x,y,xx,n); printf("x=%f,y=%f\n",xx,yy); getch(); }举例如下：已知当x=1，-1,2 时f(x)=0，-3,4，求f(1.5)的值。
插值运算实验报告
#### 一、实验目的1. 理解插值运算的基本概念和原理。
2. 掌握几种常见的插值方法，如拉格朗日插值、牛顿插值等。
3. 通过实验，验证插值方法在数值计算中的应用效果。
4. 培养动手能力和分析问题的能力。
#### 二、实验原理插值运算是指根据已知数据点，构造一个近似函数来描述这些数据点之间的变化规律。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值等。
#### 三、实验内容1. 数据准备准备一组数据点，例如：```x: [1, 2, 3, 4, 5]y: [2, 4, 6, 8, 10]```2. 拉格朗日插值根据给定的数据点，构造拉格朗日插值多项式。
以三次拉格朗日插值为例，其公式如下：```L(x) = y0 ((x - x1) (x - x2) (x - x3)) / ((x0 - x1) (x0 - x2) (x0 - x3))+ y1 ((x - x0) (x - x2) (x - x3)) / ((x1 - x0) (x1 - x2) (x1 - x3))+ y2 ((x - x0) (x - x1) (x - x3)) / ((x2 - x0) (x2 - x1) (x2 - x3))+ y3 ((x - x0) (x - x1) (x - x2)) / ((x3 - x0) (x3 - x1)(x3 - x2))```将数据点代入上述公式，得到拉格朗日插值多项式。
3. 牛顿插值根据给定的数据点，构造牛顿插值多项式。
以三次牛顿插值为例，其公式如下：```N(x) = y0 + (x - x0) (y1 - y0) / (x1 - x0) + (x - x0) (x - x1) (y2 - y1) / ((x1 - x0) (x2 - x1)) + (x - x0) (x - x1) (x - x2) (y3 - y2) / ((x1 - x0) (x2 - x1) (x3 - x2))```将数据点代入上述公式，得到牛顿插值多项式。
插值数值实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。
2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。
3. 分析不同插值方法的优缺点，并比较其精度和效率。
4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。
二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。
它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。
常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等，并且满足一定的差商条件。
三、实验内容1. 拉格朗日插值法（1）给定一组数据点，如：$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$（2）根据拉格朗日插值公式，构造插值多项式：$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$（3）计算插值多项式在不同点的函数值，并与实际值进行比较。
数值分析实验报告(插值法)
武汉理工大学学生实验报告书实验课程名称数值分析开课学院计算机科学与技术学院指导老师姓名学生姓名学生专业班级2010—2010学年第一学期实验课程名称：数值分析第二部分：实验调试与结果分析（可加页）一、调试过程（包括调试方法描述、实验数据记录，实验现象记录，实验过程发现的问题等）（1）用拉格朗日插值法计算时，输入及运行结果如下：拉格朗日插值法牛顿插值法（2）利用二次插值计算时，输入及运行结果如下：拉格朗日插值法牛顿插值法（3）用艾尔米特插值法计算时,f(x)的插值多项式H5(x)=(1+4*x)*(x-0.5)*(x-0.5)*(x-2)*(x-2)+(3.90807-6.03838*x)*(x-2)*(x-2)*x*x+(2.34573-4.16674*x)*x*x*(x-0.5)*(x-0.5)（4）各插值算法的精度差异比较经过比较，拉格朗日插值法要比牛顿插值法算法的计算量多一些，拉格朗日插值法后一次计算时用到了前一次计算的结果，提高了运算的效率，但拉格朗日插值法在构造艾尔米特插值法时很方便，将坐标点和对应的导数结合起来的精度比线性插值的精度又要高一些。
但从实验数据来看，在坐标不是很多的情况下，已知的点越多精度也就相对较高。
对于实验要求的第二组数据用拉格朗日插值法（或者牛顿插值法）实验结果如下：一下分别是二阶、三阶、四阶、五阶插值得到的结果以上只是实验结果的一部分，改变插值的位置时，得到的实验结果精度也是有所不同的。
由以上结果分析可知，插值次数并不是越多越好，多了反而会让结果更加偏离真实结果，这充分说明了高次插值存在“病态性质”，在已知点很多的情况下应该采用分段低次插值，将拉格朗日插值法和牛顿插值法运用到分段低次插值法当中，这样得到的结果可能胡更加精确。
数值积分上机报告拉格朗日差值法
图一：线性插值图解
Lagrange 抛物线插值法算法：
假定插值节点为 x0 , x1 , x2 ，要求二次插值多项式 L2 ( x) ，使它满足 L2 ( xi ) yi , (i 0,1,2) ， 几何上 y L2 ( x) 就是通过三点 ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 的抛物线。为了求出 L2 ( x) 的表达式， 可 采用基函数方法。 l0 ( x) 可 表 示 为 l0 ( x) A( x x1 )( x x2 ) ， 由 l0 ( x0 ) 1 可 得 A
1 ，于是 ( x0 x1 )( x0 x2 )
l0 ( x )
( x x0 )( x x2 ) 。 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) ， l2 ( x ) 。 ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
k
式为： L( x) : y j l j ( x) ，其中每个 l j ( x) 为 Lagrange 基本多项式（或称插值基函数），其表
j 0
k
达式为： l j ( x) :
i 0 ,i j
Байду номын сангаас
( x x j 1 ) ( x x j 1 ) x xi ( x x0 ) ( x xk ) 。Lagrange x j xi ( x j x0 ) ( x j x j 1 ) ( x j x j 1 ) ( x j xk )
六、计算中出现的问题，解决方法及体会
问题 1.在做第一题的时候我们没有使用 for 循环语句，每进行一次二次、三次 Lagrange 插 值多项式的时候都会需要重新编程，导致计算过程累赘并且不明了。 2.由于受 C 语言的影响，在写不等于的时候我们常常写成（！=） ，Matlab 软件无法识 别。
拉格朗日和牛顿插值法的C 方法实现(数值分析上机实验)
数值分析上机实验实验一一．上机题目：已知： 4 =2,9 =3,16 =4分别用二次Lagrange和Newton插值法求7 的近似值。
二．解题方法：1．lagrange方法：设x0=4，y0=2，x1=9，y1=3，x2=16，y2=4代入方程:(x1-X)(x2-X)/(x1-x0)(x2-x0)*y0+(x0-X)(x2-X)/(x0-x1)(x2-x1)*y1+(x1-X)(x0-X)/(x1-x2)(x0-x2)*y2令X=7代入方程得 Y=2.628572．Newton方法：设x0=4，y0=2，x1=9，y1=3，x2=16，y2=4建表4 29 3 0.216 4 0.14286 -0.00476f(x)=f(x0)+f[x0,x1](X-x0)+f[x0,x1,x2](X-x0)(X-x1)(X-x2)令X=7代入方程得Y=2.62857三．算法公式步骤：grange方法：通过公式写出算法并得出最后的值Y：for(b=0;b<m;b++)//完成公式f(Xn)外层嵌套循环f[b]=i//{double l=1;//保证每次跳出内层循环将L置1 不会将第一项的值带入下一项//for(a=0;a<m;a++)//完成公式f(Xn)内层嵌套循环f[a]=j//{if(a!=b)//完成定义i=1,i!=j//l=(f[a]-F)/(f[a]-f[b])*l;//完成(j-m)/(j-i)//la=l*g[b];//完成公式的F(X0)=f(X0)*Y0并累乘输出结果// }Y=la+Y;//累加x0y0+x1y1+...得最后结果//}2．Newton方法：先建表，通过二维数组的思想建表for(l=2;l<m+2;l++)//外层循环控制y阶数//{for(k=1;k<m+1;k++)//内层循环控制x个数//{a[k][l]=(a[k][l-1]-a[k-1][l-1])/(a[k][0]-a[k-l+1][0]);//完成f(x0,x1,...,xn)并存表//}}填表。
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课题一：拉格朗日插值法
1.实验目的
1．学习和掌握拉格朗日插值多项式。
2.运用拉格朗日插值多项式进行计算。
2.实验过程
作出插值点（1.00，0.00），（-1.00，-3.00），（2.00，4.00）二、算法步骤
已知：某些点的坐标以及点数。
输入：条件点数以及这些点的坐标。
输出：根据给定的点求出其对应的拉格朗日插值多项式的值。
3.程序流程：
（1）输入已知点的个数；
（2）分别输入已知点的X坐标；
（3）分别输入已知点的Y坐标；
程序如下：
#include <iostream>
#include <conio.h>
#include <malloc.h>
float lagrange(float *x,float *y,float xx,int n) /*拉格朗日
插值算法*/
{
int i,j;
float *a,yy=0.0; /*a作为临时变量，记录拉格朗日插值多项*/ a=(float*)malloc(n*sizeof(float));
for(i=0;i<=n-1;i++)
{
a[i]=y[i];
for(j=0;j<=n-1;j++)
if(j!=i)
a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]);
yy+=a[i];
}
free(a);
return yy;
}
int main()
{
int i;
int n;
float x[20],y[20],xx,yy;
printf("Input n:");
scanf("%d",&n);
if(n<=0)
{
printf("Error! The value of n must in (0,20).");
getch();return 1;
}
for(i=0;i<=n-1;i++)
{
printf("x[%d]:",i);
scanf("%f",&x[i]);
}
printf("\n");
for(i=0;i<=n-1;i++) {
printf("y[%d]:",i);scanf("%f",&y[i]); } printf("\n");
printf("Input xx:");
scanf("%f",&xx);
yy=lagrange(x,y,xx,n);
printf("x=%f,y=%f\n",xx,yy);
getch();
}
举例如下：已知当x=1，-1,2时f(x)=0，-3,4，求f(1.5)的值。
运行结果如下：
Input n:3
x[0]:1
x[1]:-1
x[2]:2
y[0]:0
y[1]:-3
y[2]:4
Input xx:1.5
x=1.500000,y=1.791667
3、实验总结
拉格朗日插值模型简单，结构紧凑，是经典的插值法。
但是由于拉格朗日的插值多项式和每个节点都有关，当改变节点个数时，需要重新计算。
且当增大插值阶数时容易出现龙格现象。
在物理化学，资产价值鉴定工作和计算某一时刻的卫星坐标和钟差等这些方面可以应用Lagrange插值。
采用拉格朗日插值法计算设备等功能重置成本，计算精度较高，方法快捷。
但是这方法只能针对可比性较强的标准设备，方法本身也只考虑了单一功能参数，它的应用范围因此受到了一定的限制。
作为一种探索，我们可以将此算法以及其它算法集成与计算机评估分析系统中，作为传统评估分析方法的辅助参考工具，以提高资产价值鉴定工作的科学性和准确性。