永州市2016年高考第一次模拟考试试卷(理科数学)

合集下载

2016届湖南省永州市高考信息卷数学理(二)

俯视图侧视图正视图2016年永州市高考预测卷二数学（理科）命题人：审题人：本试卷满分110分，时量：100分钟．一、小题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.（李毅供题）等比数列{}n a 满足363,81a a ==，数列{}n b 满足1131,log n n b b b a +==，则10b =A ．23B ．19C ．17-D ．18-2．（冯小军供题）在△ABC 中， 2c =，cos sin a C c A =，若当0x a =时的△ABC 有两解，则0x 的取值范围是A ．(1,2) B． C． D．(2, 3．（王勇波供题）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A ．24πB ．36πC ．48πD ．54π4．（左加供题）有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，它们的颜色与号码均不相同的概率是 A ．114 B ．928 C ．328 D ．3565．（王勇波供题）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．3πB ．56π C ．23πD ．π 6．（王勇波供题）《九章算术》"勾股"章有一题:“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？” 大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走十步，后又斜向北偏东合适方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？甲、乙分别走多少步？A ．20、8B ．24、10C ．10.5、24.5D ．24.5、10.57．（左加供题）在平面直角坐标系xoy 中，双曲线22122:1x y C a b -=的渐近线与椭圆()22222:10x y C a b a b+=>>交于第一、二象限内的两点分别为,A B ，若OAB ∆的外接圆的圆心为()，则双曲线C 1的离心率为．俯视图侧视图正视图11222（第3题图）（第5题图）8. （左加供题）已知函数f （x ）=x 2﹣ax ，g （x ）=b +a ln （x ﹣1），存在实数 a （a ≥1），使y=f （x ）的图象与y=g （x ）的图象无公共点，则实数b 的取值范围为．（－∞，3ln 24+）二、解答题（本大题共8小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 9．（左加供题）设数列{}n a 的前项和为n S ，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，已知13a =，32415234S S S ++=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令 22()()2nn n a n Sc n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2.n T10．（本题满分12分）（王勇波供题）如图，ABCD -中, 底面ABCD 是矩形，1AB =，PA ⊥平面PCD , PA =2PD =，E 为线段DP 上的一点.（Ⅰ）求证:平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若二面角P BC E --与二面角E BC D --的大小相等，求DE 的长.11．（申检生供题）某商店每天（开始营业时）以每件150元的价格购入A 商品若干（A 商品在商店的保鲜时间为10小时，该商店的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的A 商品没有售完，则商店对没卖出的A 商品将以每件100元的价格低价处理完毕（根据经验，4小时内完全能够把A 商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进A 商品）．该商店统计了50天A 商品在每天的前6小时内的销售量，由于某种原因销售量频数表中的部分数据被污损而不能看清，制成如下表格（注：视频率为概率）．（Ⅰ）若某天商店购进A 商品6件，在前6个小时中售出4件，若这些产品被6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2个进行服务回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元购买的顾客的概率是多少？（Ⅱ）若商店每天在购进5件A 商品时所获得的平均利润最大，求x 的取值范围．12．（蒋健供题）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），过椭圆的右焦点F 任作一条直线交椭圆C 于A ，B 两点，过椭圆中心任作一条直线交椭圆C 于M ，N 两点．E DCBAP （第10题图）（Ⅰ）求证：AM 与AN 的斜率之积为定值；（Ⅱ）若2a ⋅AB =2MN ，试探究直线AB 与直线MN 的倾斜角之间的关系．13．（左加供题）已知函数1()ln af x x a x x-=+-，a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数；（Ⅱ）如果区间[1，e ]（ 2.71828e = ）上总存在一点0x ，使000011(ln )x a x x x +<+ 成立，求a 的取值范围.请考生在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 14．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲（王勇波供题）如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B 、E 、F 、C 四点共圆．（1）证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；（2）若BE ＝EA ＝2DB ，求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与 △ABC 外接圆面积的比值．15．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程（申检生供题）极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线1C 的极坐标方程为2=4cos ,C ρθ曲线的参数方程为+t cos sinx m t y t αα=⎧⎨=⎩（为参数,απ≤0<），射线θϕ=，π4θϕ=+，π4θϕ=-与曲线1C 交于（不包括极点O ）三点A 、 B 、C.（1）求证：|||||;OB OC OA +=（2）当2π,C .12B C ϕα=、两点在曲线上时，求m 与的值（第14题图）16．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲（左加供题）已知函数f (x )=｜3x +2｜．（I（Ⅱ）已知m + n =1(m ,n >0)a 的取值范围．2016年永州市高考预测卷二数学（理科）答案1．C 2． D 3．A 4．A 5．C 6．D78．（－∞，3ln 24+） 9．解: （Ⅰ）由题意可得33153S ⋅=，所以353S =，所以3(1)1+2n Sn n n=+-=所以n+2)n S n =（………………………3分 2n ≥时121n n n a S S n -=-=+当1=n 时也成立,所以所以21n a n =+ …………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得2122na n +=，2211(2)2n S n n n n ==-++，所以111()2()2n n n c n n n +⎧-⎪=+⎨⎪⎩为奇数为偶数21321242()()n n n T c c c c c c -=+++++++352111111[(1)()()](222)3352121n n n +=-+-++-++++-+18(14)28(41)12114213n n n n n --=-+=++-+ …………………12分.10．解：（Ⅰ）Q PA ⊥面PCD CD ⊂面PCD ∴PA ⊥CD ，又Q ABCD 是矩形 ∴AD ⊥CD ∴ CD ⊥面PAD ，又Q CD ⊂面ABCD ∴平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）解法一：过P 、E 作AD 的垂线交AD 于M 、N ，则知PM ⊥底面ABCD ，PN ⊥底面ABCD ，过M 、N 作AB 的平行线交BC 于G 、H ，连结PG 、EH ，则∠PGM 为二面角P －BC －A 的平面角，∠EHN 为二面角E －BC －A 的平面角，由题意得2PGM EHN ∠=∠，QPM = ，1MG =，tan PMPGM MG∠==，∴tan 1EN EN EHN NH ∠===，EN =， ∴1233DE DP ==．解法二：依据解法一建立如图空间直角坐标系O xyz - 则(3,1,0)B ，(1,1,0)C -，(1,0,0)D -，P ，设DE a =，则1()2E a -，易知平面ABCD 的一个法向量为1(0,0,1)n =u r设平面BCE 、平面BCP 的法向量分别为2111(,,)n x y z =u u r，3222(,,)n x y z =u r，则(4,0,0),BC =-uu ur (3,1,PB =uu r，1(4,1,)2EB a =-uu rQ 2200n BC n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r uu u r u u r uu r∴2,1)n =u u r Q 2200n BC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r uu u r u u r uu r∴3n =u r 由题意得：2321|cos ,||cos ,|n n n n <>=<>u u r u r u u r u r ∴23a = ，即23DE =．11．解：（Ⅰ）设“从这6名顾客中随机选2个进行服务回访，恰好一个顾客是以300元价格购买的，另一个顾客以100元购买”为事件A ，P （A ）＝114226815C C C =；（Ⅱ）y =40－x ,依题知没有一天超过6件，故不必考虑进货6件，只考查进货3件、4件与进货5件即可，若每天进货3件，平均每天的利润为1450v =，若每天进货4件，平均每天的利润为2(315050)1041504062050v ⨯-⨯+⨯⨯==，若每天进货5件，平均每天的利润为3(3150250)10(415050)5150(40)670450x x v x ⨯-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-==-，依题知：32v v >，即6704620x ->，12.5x <，则0,1,,12x = ．H G N MP ABCD E z y x O PABCDE12．证明：（Ⅰ）设00(,)A x y ，11(,)M x y ，则11(,)N x y --，由2200221x y a b +=，2211221x y a b+=，两式相减得：22220101220x x y y a b--+=，即2220122201y y b x x a -=--，而0101AM y y k x x -=-，0101AN y y k x x +=+，∴AM k ⋅ANk =22b a-为定值．（Ⅱ）当弦AB 所在直线的斜率不存在时，22b AB a=，∴2MN b =，∴弦MN 为此椭圆的短轴，此时，MN //AB ；当弦AB ，弦MN 所在直线的斜率均存在时，不妨设弦AB 与弦MN 的斜率分别为1k ，2k ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，44(,)N x y ，则直线AB ，MN 的方程分别为：1()y k x c =-，2y k x =，由1222222()0y k x c b x a y a b =-⎧⎨+-=⎩得：222222222222111()20b a k x a k cy a c k a b +-+-=，∴2211222212a k c x x b a k +=+，222221122221a c k ab x x b a k -⋅=+，2x===2212221(1)2k ab b a k +⋅=+，同理由2222222y k xb x a y a b =⎧⎨+-=⎩得：2222222()0b a k x a b +-=，∴120x x +=，22122222a b x x b a k -⋅=+，4x-==2ab =∵AB =22MNa，即2212221(1)22k ab a b a k +⋅⋅=+2222222214k a b b a k +⋅+，即2122211k b a k +=+2222221k b a k ++，即22222212()()a b k a b k -=-，∵a b >，∴2212k k =，即12k k =±，∴弦AB 与弦MN 所在直线的倾斜角相等或互补．易知弦AB 与弦MN 的斜率有一个存在，一个不存在时不满足题意．13．解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为(0,)+∞,222211(1)[(1)]()1a a x ax a x x a f x x x x x --+----'=--==①如果10a -≤即1a ≤，则()f x '只有一个零点，因为当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>， x =1是唯一的极值点;②如果10a ->，令()0f x '=，得1x =或1x a =-，若11a -=，则()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增，没有极值点；若11a -≠，因()f x '在1x =和1x a =-的两侧附近均异号，故1x =和1x a =-都是极值点综上，当1a ≤时，函数()f x 只有一个极值点；当1a >且2a ≠时函数()f x 有两个极值点，当2a =时，函数没有极值点. （Ⅱ）在[1，e ]上存在点0x ，使得000011(ln )x a x x x +<+，即0001ln 0ax a x x -+-<，即函数1()ln a f x x a x x -=+-在[]1,e 上的最小值小于零. 由（Ⅰ）知2(1)[(1)]()x x a f x x---'=， ①当1a e -≥即1a e ≥+时，()0f x '≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，所以()f x 的最小值为(e)f ，由1(e)e 0e af a -=+-<，解得21+e 1+e a >. 结合1a e ≥+得1a e ≥+； ②当11a -≤即2a ≤时，()0f x '≥，)(x f 在[]1,e 上单调递增，所以()f x 最小值为(1)f ，由(1)20f a =-<，可得2a >，与2a ≤矛盾；③当11a e <-<即21a e <<+时，可得()f x 最小值为(1)2ln(1)f a a a a -=---，令()(1)2ln(1)g a f a a a a =-=---，由1()1ln(1)ln(1)011a g a a a a a '=---=---<--，知()g a 为减函数，()(2)g a g <=0即(1)0f a -<，也即当21a e <<+时()f x 在[]1,e 上的最小值小于零.. 综上讨论可得所求a 的范围是(2,)+∞14．解：（Ⅰ）由CD 为△ABC 外接圆的切线，∠DCB ＝∠A ，又BC ·AE ＝DC ·AF ，△CDB ∽△AEF ，∴∠DBC ＝∠AFE ，又B 、E 、F 、C 四点共圆，∴∠CBE ＝∠AFE ，故∠DBC ＝∠CBA ＝90o ， ∴CA 是△ABC 外接圆的直径；（Ⅱ）RT △ACD 中，CB 是斜边上的高，有CB 2＝DB ·AB ，由BE ＝EA ＝2DB ，不妨设DB ＝1，则BE ＝EA ＝2，CB 2＝4，CB ＝2，过B 、E 、F 、C 四点的圆的直径为CE ＝，△ABC 外接圆的直径为AC ＝2225CE AC =．15．（1）证明：易得(4cos ,),(4cos(),),(4cos(),),4444A B C ππππϕϕϕϕϕϕ++--则4cos()4cos()44OB OC ππϕϕϕ+=++-=ϕ∴||||||OB OC OA +=（2）易得(3,B C 则2C 的方程为：2)y x =-，而2C 是经过点(,0)m ，倾斜角为α的直线，22,3m πα∴==.16．解：（I时，即,4123<+---x x时，即,4123<+-+x x 当1>x 时，即,4123<-++x x 无解，分……… 10分。

湖南省永州市高三数学第一次模拟考试试题理(扫描版)含答案

湖南省永州市2015届高三数学第一次模拟考试试题理（扫描版）含答案注意事项：1、本试卷分试题卷和答题卷，考试结束后，只交答题卷．2、本试卷满分150分，考试时量120分钟．参考公式：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．如果事件A ，B 互斥，那么P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）；如果事件A ，B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）P （B ）．一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．复数i z 21+=，则z 的模为 A ．21+-B ．3C ．21+D ．52．已知集合},2{2R x x y y A ∈+==，},4{R x x y y B ∈-==，则=B AA ．}6,3{B ．}1,2{-C ．2{}y y ≥D ．R3．22cos xdx ππ-⎰＝A ．0B ．1C ．2D ．34．命题“21[,]x ∀∈-，20x a -≤”为真命题的一个必要不充分条件是 A ．4a ≥B ．1a ≥C ．4a ≤D ．1a ≤5．已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，则下列四个命题中，真命题是 A ．βα⊥⇒m l // B ．m l //⇒⊥βα C ．βα//⇒⊥m lD ．βα⊥⇒⊥m l6．已知函数()y f x x =-是偶函数，且21()f =，则=-)2(f9．已知两定点A (－1，0)和B (1，0),动点P （x ,y ）在直线l :y =x +2左视图俯视图主视图（第8题图）上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为 AC10．定义在区间[0,1]上的函数()f x 的图象如右图所示，以B （1，1()f ），C （x ,()f x ）为顶点的ABC 则函数()S x 的导函数()S x '的大致图象为二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，满分25分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上．）（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如全做则按前两题计分）． 11．极坐标系中，圆223sin ρρθ+=的圆心到直线10sin cos ρθρθ+-=的距离是．12．如图，圆O 的直径8=AB ，C 为圆周上一点，4=BC ，过C 作圆的切线l ，过点A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，则线段DE 的长度为．13．若+∈R c b a ,,，且1121a b c++=，则2a b c ++的最小值为．（二）必做题（14～16题） 14．已知函数())()1ln2,.lg3lg 3f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则．15．设实数,x y 满足621x yy x x -⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥，向量=(2)a x y m -，，=(11)b -，．若a b ，则实数m 的最小值为．16．若0x 是函数23()x f x x =--的零点，则][0x （表示不超过0x 的最大整数）的值为．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ac b c a =-+222．(Ⅰ) 求B ；xO 1S'(x )1S'(x )OxA B C xOS'(x )1（第12题图）lEDC A(Ⅱ) 若2sin 32sin 3)(2xx x f ωω--=（ω＞0）的图象的一个对称中心到其最近的对称轴的距离为π,求()f A 的值域．18．(本小题满分12分)2014年9月4日国务院新闻办公室举行《关于深化考试招生制度改革的实施意见》情况发布会，宣告新的高考制度改革正式拉开帷幕．该《实施意见》提出了“两依据、一参考”，其中一个依据是高考成绩，另一个依据是高中学业水平考试成绩．强调了把高中学业水平考试作为考察学生学业完成情况的一个重要方式．近日，某调研机构在某地区对“在这种情况下学生的课业负担是否会加重？”这一问题随机选择3600人进行问卷调查．调查结果统计如下：会不会不知道在校学生 2100 120 y 社会人士 600xz已知在全体被调查者中随机抽取一人，抽到持“不会”意见的人的概率为05.0． (Ⅰ) 求x 和z y +的值；(Ⅱ) 在持“不会”意见的被调查者中，用分层抽样的方法抽取6个人，然后把他们随机分成两组，每组3人，进行深入交流，求第一组中社会人士人数ξ的分布列及数学期望．19．(本小题满分12分)如图甲，在平面四边形PABC 中，PA ＝AC ＝2，∠P ＝45o，∠B ＝90o，∠PCB ＝105o，现将四边形PABC 沿AC 折起，使平面PAC ⊥平面ABC （如图乙），D ，E 分别是棱PB 和PC 的中点． (Ⅰ) 求证: BC ⊥平面PAB ；(Ⅱ) 求平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．20．(本小题满分13分) 如图，椭圆Γ:13422=+y x ，动直线)02(:11<<-=x x x l ，点A 1，A 2分别为椭圆Γ的左、右顶点，1l 与椭圆Γ相交于A ，B 两点（点A 在第二象限）．(Ⅰ) 求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(Ⅱ) 设动直线),22(:2122x x x x x l ≠<<-=与椭圆Γ相交于C ，D 两点，△OAB 与△OCD 的面积相等．DE A BCPPCA（第19题图甲）（第19题图乙）证明：｜OA ｜2＋｜OD ｜2为定值．21． (本小题满分13分) 正项等比数列{}n a 中，12a =，且2a ，1a ＋2a ，3a 成等差数列．(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 设)11()21(2nn n a a a b ++-=N ()n *∈，若]2,0[∈a ，求数列}{n b 的最小项．22．(本小题满分13分)已知函数2()ln f x x ax =-，a 为常数．(Ⅰ)讨论()f x 的单调性；(Ⅱ)若函数()f x 有两个零点1x 、2x ，试证明：12x x e >．永州市2015年高考第一次模拟考试数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题(每小题5分，共50分)DCCBA ABBCD二、填空题(每小题5分，共25分)(一）选做题（11－13题，考生只能从中选做2题，如果全做则按前两题计分）11 12．2 13．16（二）必做题（14－16题）14．60 15．－2 16．－3或2三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）解：(Ⅰ)由ac b c a =-+222，得212cos 222=-+=ac b c a B ，又∵π<<B 0，∴3π=B ……………………………………………………………6分(Ⅱ) 2sin 32sin 3)(2xx x f ωω--=x x ωωsin cos 3-=)6cos(2πω+=x …………………………………………………………………8分∵)(x f 的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π，∴ωππ24==T ，∴21=ω，即)621cos(2)(π+=x x f ，1226()cos()f A A π=+， ∵3π=B ，∴26216πππ<+<A ……………………………………………………10分 ∴)3,0()621cos(2)(∈+=πA A f ………………………………………………12分18．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)设事件A 表示从全体被调查者中随机抽取一人，则05.03600120)(=+=xA P ，……………………………………………………………2分∴60=x …………………………………………………………………………………3分 ∴72018060021003600=---=+z y …………………………………………4分 (Ⅱ)依题意，用分层抽样的方法从持“不会”意见的被调查者中抽取6个人，则在此6人中，在校学生4人，社会人士2人，……………………………………6分则把他们平均分成两组的所有可能的情况总数为：202236=⋅C ……………………7分则第一组中社会人士人数ξ的所有可能值为：0，1，2．∴5120420)0(34====C P ξ， 53201220)1(2412==⋅==C C P ξ， 5120420)2(1422==⋅==C C P ξ，∴随机变量ξ的分布列为……………………………………………10分∴随机变量ξ的期望值为1512531510=⋅+⋅+⋅=ξE ……………………………………………………………12分19．(本小题满分12分)（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面ABC ，并交于AC ，PA ⊥AC ，有PA ⊥平面ABC ，故PA ⊥BC ，又由图甲知BC ⊥BA ，PA ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面PAB ；…………6分（Ⅱ）方法一：如图所示，以点BBC 为x ,yPA ＝21，BA A 0，0），P 0,2），0，1），E 1），………………………7分 (AD =-1(0,,0)2=，设平面ADE 的法向量为(,,)m x y z =，ξ0 1 2p51 53 51(,(,m AD x y m DE x y ⎧⋅=⎪⋅=z =m =，……………9分平面ABC 的法向量(0,0,1)n =，||3cos ,7||||7m n m nm n ⋅<>===⨯⨯．…11分故所求二面角的余弦值为7．……………………………………………………12分方法二：如图所示，以点A为坐标原点，分别以射线AC ，AP 为x ,z向外方向为y 轴， PA ＝2，则BC ＝1，BA A （0，0，0），P （0，0，2），B 0），C （2，0， 0），D 1），E （1，0，1），……………………7分3(,AD =(1,0,1)AE =，设平面ADE 的法向量为(,,)m x y z =，(,(,m AD x y m AE x y ⎧⋅=⎪⋅=y =，故3(1,3m =分平面ABC 的法向量(0,0,1)n =，||cos ,7||||7m n m n m n ⋅<>===⨯．…11分．…………………………………………………12分说明：过A 作BC 的平行线即为二面角的棱，由几何法作出二面角的平面角从而求出正确结果也可得满分．20．(本小题满分13分)解：设1111(,),(,)A x y B x y -，又)0,2(),0,2(21A A -，则直线1A A 的方程为：)2(211++=x x y y ①直线2A B 的方程为：)2(211---=x x y y ② 由①②得：)4(4221212---=x x yy ③由点()11,A x y 在椭圆Γ上，故可得2211143x y +=，∴2211314()x y =-，代入③得：2212043(,)x y x y -=<-<……………………6分（2）证明：设),(22y x C ，由OAB ∆与OCD ∆的面积相等，得222221212211y x y x y x y x ⋅=⋅⇒=，因为点C A ,均在椭圆上，∴22221212313144()()x x x x -=-由12x x ≠，所以22124x x +=．∴22123y y +=， ∴227OA OD+=为定值 …………………………………………………………13分21．(本小题满分13分)解：（1）由2a ，2S ，3a 成等差，有22S ＝2a ＋3a ，212()a a +＝2a ＋3a ，3a ＝212a a +，21a q ＝211a a q +，220q q --=，1q =-，2q =，由0n a >，2q =．故2nn a = …………………………………………………………………………5分（2）方法一：221(1)(1)22n n n b a =-++，令11111{,,,,,}22482n nt =∈，则2(12)(1)n b t a t =-++＝24(4)1t a t a +-++，对称轴4488a at --==-，……………………………………………………………7分 ①当01a <≤时，对称轴48a t -=＞38，数列{}n b 单调递增，最小项为132b a =；…………………………………………………………………………9分②当1a =时，对称轴48a t -=＝38，恰好位于12与14的中间，则12b b =，故1n >时，数列{}n b 单调递增，最小项为1232b b ==；……………………………………11分③当12a <≤时，对称轴48a t -=13[,)48∈，位于12与14之间而靠近于14，故1n > 时，数列{}n b 单调递增，12b b >，最小项为25144b a =+．……………………13分方法二：由221(1)(1)n n n b a a a =-++221(1)(1)22n n a =-++，则211121(1)(1)22n n n b a +++=-++， 221112121(1)(1)(1)(1)2222n n n n n n b b a a +++-=-++---+＝111222211(2)()()222222n n n n n n a +++---+-111144()(4)2222n n n n a ++=--++，由111022n n +-<，……………………………………………………………………7分 ① 当1444022n n a +-++<，得144422n n a +<--，函数144()422n n f n +=--单调递增，即(1)a f <＝1，10n n b b +->，数列{}n b 单调递增，最小项为132b a =；…………………………………………………………………9分 ②当1a =时，210b b -=，1n >，1144444302222n n n n a ++-++=+-<，10n n b b +->，故1n >时，数列{}n b 单调递增，最小项为1232b b ==； ………………………11分③由3232321144()(4)02222b b a -=--++=，求得52a =，则当5122a <<≤时，132b a =，25144b a =+，1211044b b a -=->，12b b >，1n >，1144444202222n n n n a ++-+++-<≤，得10n n b b +->，故1n >时，数列{}n b 单调递增，最小项为25144b a =+．…………………………………………………13分22．(本小题满分13分)解：（1）定义域为(0,)+∞，2112()2ax f x ax x x'-=-=， ……………………2分当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增； ………………………4分当0a >时，由()0f x '=，得x ==，当0x <<()0f x '>，()f x单调递增，当2x a>()0f x '<，()f x 单调递减．………………………6分（2）设12x x >，211ln 0x ax -=，222ln 0x ax -=，221212ln ln x x ax ax ∴+=+ ，221212ln ln x x ax ax -=-，则122212ln ln x x a x x -=-，欲证明12x x e >，即证12ln ln 1x x +>，因为221212ln ln ()x x a x x +=+， ∴即证22121a x x >+，∴原命题等价于证明1222221212ln ln 1x x x x x x ->-+，即证：2211222212ln x x x x x x ->+()120x x >>，令12=x t x ，则1t >，设()22212ln ln 111t g t t t t t -=-=+-++()1t >，∴()22222214(1)0(1)(1)t t g t t t t t -'=-=++≥，∴()g t 在()1+∞，单调递增，又因为()1=0g ， ∴()()10g t g >=，∴221ln 1t t t ->+，所以12x x e > ．……………………………………………………13分。

【VIP专享】2016届湖南省永州市高考一模试卷(理科)数学(解析版)

2015年湖南省永州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数z=1+2i，则z的模为（）A．B．C．D．【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的模的求法求解即可．【解答】解：复数z=1+2i，则z的模为： =．故选：D．【点评】本题考查复数的模的求法．是基础题．2．已知集合A={y|y=x2+2，x∈R}，B={y|y=4﹣x，x∈R}，则A∩B=（）A．{3，6}B．{﹣2，1}C．{y|y≥2}D．R【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算即可．【解答】解：A={y|y=x2+2，x∈R}={y|y≥2}，B={y|y=4﹣x，x∈R}=R，则A∩B={y|y≥2}，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．cosxdx=（）A．0B．1C．2D．3【考点】定积分．【专题】导数的概念及应用．【分析】直接利用定积分的运算法则求法求解即可．【解答】解： cosxdx=sinx=1﹣0=1．故选：B．【点评】本题考查定积分的运算，基本知识的考查．4．命题“∀x∈[﹣2，1]，x2﹣a≤0”为真命题的一个必要不充分条件是（）A．a≥4B．a≥1C．a≤4D．a≤1【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】求出命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若命题“∀x∈[﹣2，1]，x2﹣a≤0”为真命题，则a≥（x2）max=4，则a≥1是a≥4的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．5．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题中，真命题是（）A．l∥m⇒α⊥βB．α⊥β⇒l∥m C．l⊥m⇒α∥βD．l⊥m⇒α⊥β【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断，成立的证明，不成立的可举出反例．【解答】解：∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故A为真命题．若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，又∵m⊂β，∴l与m可能平行也可能相交，也可能异面，故B 为假命题．若l⊥m，l⊥α，则m∥α或m⊂α，又由m⊂β，则α与β可能平行，可能相交，位置不确定，故C为假命题；若l⊥m，l⊥α，则m∥α或m⊂α，又由m⊂β，则α与β可能平行，可能相交，位置不确定，故D为假命题故选A【点评】本题主要考查显现，线面，面面位置关系的判断，属于概念题．6．已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．﹣1B．1C．﹣5D．5【考点】函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数y=f（x）+x是偶函数，可知f（﹣2）+（﹣2）=f（2）+2，而f（2）=1，从而可求出f（﹣2）的值．【解答】解：令y=g（x）=f（x）+x，∵f（2）=1，∴g（2）=f（2）+2=1+2=3，∵函数g（x）=f（x）+x是偶函数，∴g（﹣2）=3=f（﹣2）+（﹣2），解得f（﹣2）=5．故选D．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，以及抽象函数及其应用，同时考查了转化的思想，属于基础题．7．定义运算a⊗b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则的值为（）A．4B．3C．2D．﹣1【考点】程序框图．【专题】三角函数的求值．【分析】由已知的程序框图可知：本程序的功能是：计算并输出分段函数S=的值，由已知计算出a，b的值，代入可得答案．【解答】解：由已知的程序框图可知：本程序的功能是：计算并输出分段函数S=的值∵a==1，b==2∴S=2×（1+1）=4故选A【点评】本题考查的知识点是程序框图，特殊角的三角函数，其中根据已知的程序框图，分析出程序的功能是解答的关键．8．一张桌子上摆放有若干个大小、形状完全相同的碟子，现从三个方向看，三种视图如下所示，则这张桌子上碟子的个数为（）A．11B．12C．13D．14【考点】简单空间图形的三视图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】从俯视图可得：碟子共有3摞，结合主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，相加可得答案．【解答】解：由俯视图可得：碟子共有3摞，由几何体的主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，如下图所示：故这张桌子上碟子的个数为3+4+5=12个，故选：B【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，分析出每摞碟子的个数是解答的关键．9．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】作出直线y=x+2，过A作直线y=x+2的对称点C，2a=|PA|+|PB|≤|CD|+|DB|=|BC|，即可得到a的最大值，由于c=1，由离心率公式即可得到．【解答】解：由题意知c=1，离心率e=，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，∵P在直线l：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A作直线y=x+2的对称点C，设C（m，n），则由，解得，即有C（﹣2，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a有最小值，对应的离心率e有最大值，故选C．【点评】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的离心率的求法，考查直线的对称问题，属于中档题．10．定义在区间[0，1]上的函数f（x）的图象如图所示，以A（0，f（0））、B（1，f（1））、C（x，f（x））为顶点的△ABC的面积记为函数S（x），则函数S（x）的导函数S′（x）的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】导数的综合应用．【分析】连结AB后，AB长为定值，由C点变化得到三角形面积函数的增减性，从而得到面积函数的导数的正负，则答案可求．【解答】解：如图，△ABC的底边AB长一定，在点C由A到B的过程中，△ABC的面积由小到大再减小，然后再增大再减小，对应的面积函数的导数先正后负再正到负．且由原图可知，当C位于AB连线和函数f（x）的图象交点附近时，三角形的面积减或增较慢，故选：D．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，属基础题．二、填空题（本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，满分10分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上．）（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如全做则按前两题计分）．11．极坐标系中，圆ρ2+2ρsinθ=3的圆心到直线ρsinθ+ρcosθ﹣1=0的距离是．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：圆ρ2+2ρsinθ=3化为x2+y2+2y=3，配方为x2+（y+1）2=4，可得圆心C（0，﹣1）．直线ρsinθ+ρcosθ﹣1=0化为x+y﹣1=0，∴圆心到直线ρsinθ+ρcosθ﹣1=0的距离d==．故答案为：．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，属于基础题．　12．如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过点A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段DE的长度为　2　．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】立体几何．【分析】连接BE，OC，OC∩BE=F，证明四边形EFCD是矩形，△OBC是等边三角形，即可得出结论．【解答】解：连接BE，OC，OC∩BE=F，则OC⊥l，∵AD⊥l，∴AD∥OC，∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BE，∵AD⊥l，∴l∥BE，∴四边形EFCD是矩形，∴DE=CF，∵圆O的直径AB=8，BC=4，∴△OBC是等边三角形，∴CF=2，∴DE=2，故答案为：2．【点评】本题考查圆的切线的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．13．若a，b，c∈R+，且，则a+b+2c的最小值为　16　．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】a，b，c∈R+，且，可得a+b+2c=（a+b+2c），展开利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a，b，c∈R+，且，∴a+b+2c=（a+b+2c）=6++++++≥6+2+2+2=16，当且仅当a=b=c=4时取等号．∴a+b+2c的最小值为16．故答案为：16．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．（二）、必做题（共3小题，每小题5分）14．已知函数f（x）=ln（﹣x）+2，则f（lg3）+f（lg）=　4　．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用f（﹣x）+f（x）=+4=4，即可得出．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）=+4=ln1+4=4，∴f（lg3）+f（lg）=f（lg3）+f（﹣lg3）=4．故答案为：4．【点评】本题考查了函数的奇偶性、对数的运算性质，属于基础题．15．设实数x，y满足，向量=（2x﹣y，m），=（﹣1，1），若∥，则实数m的最小值为　﹣2　．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据向量平行的等价条件得到即m=2x﹣y，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数m=2x﹣y的最小值．【解答】解：∵向量=（2x﹣y，m），=（﹣1，1），若∥，∴，即m=﹣2x+y，由m=﹣2x+y，得y=2x+m，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x+m，由平移可知当直线y=2x+m，经过点B时，直线y=2x+m的截距最小，此时m取得最小值，由，解得，即B（2，2）．将B（2，2）坐标代入m=﹣2x+y得z=﹣4+2=﹣2，即目标函数m=﹣2x+y的最小值为﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．16．若x0是函数f（x）=2x﹣x﹣3的零点，则[x0]（表示不超过x0的最大整数）的值为　﹣3或2　．【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】可以看作y=2x与g（x）=3+x交点问题，画出图象判断，利用零点存在性定理，f（﹣3）•f（﹣2）=×（﹣1）＜0，f（2）•f（3）=（﹣1）（2）=﹣2＜0，得出x0∈（﹣3，﹣2）或x0∈（2，3），在判断即可．【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣x﹣3的零点，∴可以看作y=2x与g（x）=3+x交点问题．画出图象判断，利用零点存在性定理∵f（﹣3）•f（﹣2）=×（﹣1）＜0，f（2）•f（3）=（﹣1）（2）=﹣2＜0，∴x0∈（﹣3，﹣2）或x0∈（2，3），∴[x0]的值为﹣3或2，故答案为；﹣3或2【点评】本题考查了函数的图象的运用，零点的存在性定理，属于中档题，关键是估计区间．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b+c）（a﹣b+c）=3ac．（I）求B（Ⅱ）若f（x）=﹣sinωx﹣2sin2的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π，求f（A）的值域．【考点】余弦定理；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】解三角形．【分析】（1）根据已知等式求得cosB，进而求得B．（2）利用二倍角公式对函数解析式进行化简，根据函数的周期求得ω，得到函数解析式，根据A的范围确定f（A）的范围．【解答】解：（1）（a+b+c）（a﹣b+c）=3ac．∴=，∴cosB=，B=．（2）f（x）=﹣sinωx﹣2sin2=﹣sinωx﹣2•=2cos（ωx+），由题意知函数f（x）的周期为4π，∴ω==，∴f（x）=2cos（+），∴f（A）=2cos（+），∵0＜A＜，∴＜+＜，∴0＜cos（+）＜，∴0＜f（A）＜，∴f（A）的值域为（0，）．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生综合运用三角函数知识的能力．18．2014年9月4日国务院新闻办公室举行《关于深化考试招生制度改革的实施意见》情况发布会，宣告新的高考制度改革正式拉开帷幕．该《实施意见》提出了“两依据、一参考”，其中一个依据是高考成绩，另一个依据是高中学业水平考试成绩．强调了把高中学业水平考试作为考察学生学业完成情况的一个重要方式．近日，某调研机构在某地区对“在这种情况下学生的课业负担是否会加重？”这一问题随机选择3600人进行问卷调查．调查结果统计如下：会不会不知道在校学生2100120y社会人士600x z已知在全体被调查者中随机抽取一人，抽到持“不会”意见的人的概率为0.05．（Ⅰ）求x和y+z的值；（Ⅱ）在持“不会”意见的被调查者中，用分层抽样的方法抽取6个人，然后把他们随机分成两组，每组3人，进行深入交流，求第一组中社会人士人数ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）设事件A表示从全体被调查者中随机抽取一人，则，由此能求出x和y+z的值．（Ⅱ）依题意，用分层抽样的方法从持“不会”意见的被调查者中抽取6个人，则在此6人中，在校学生4人，社会人士2人，第一组中社会人士人数ξ的所有可能值为：0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出第一组中社会人士人数ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示从全体被调查者中随机抽取一人，则，∴x=60∴y+z=3600﹣2100﹣600﹣180=720（Ⅱ）依题意，用分层抽样的方法从持“不会”意见的被调查者中抽取6个人，则在此6人中，在校学生4人，社会人士2人，则把他们平均分成两组的所有可能的情况总数为：则第一组中社会人士人数ξ的所有可能值为：0，1，2．∴，，，∴随机变量ξ的分布列为ξ012p∴随机变量ξ的期望值为．【点评】本题考查满足条件的实数值的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．19．如图甲，在平面四边形PABC中，PA=AC=2，∠P=45°，∠B=90°，∠PCB=105°，现将四边形PABC沿AC折起，使平面PAC⊥平面ABC（如图乙），D，E分别是棱PB和PC的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅱ）求平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）由已知得PA⊥AC，PA⊥平面ABC，从而PA⊥BC，又由图甲知BC⊥BA，由此能证明BC⊥平面PAB．（Ⅱ）法一：以点B为坐标原点，分别以射线BA，BC为x，y轴，以垂直平面ABC向上方向为z轴，利用向量法能求出二面角的余弦值．法二：以点A为坐标原点，分别以射线AC，AP为x，z轴，以垂直平面APC向外方向为y轴，利用向量法能求出二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面ABC，并交于AC，PA⊥AC，有PA⊥平面ABC，故PA⊥BC，又由图甲知BC⊥BA，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB；…（Ⅱ）解法一：如图所示，以点B为坐标原点，分别以射线BA，BC为x，y轴，以垂直平面ABC向上方向为z轴，PA=2，则BC=1，BA=，A（，0，0），P（，0，2），C（0，1，0），D（，0，1），E（，，1），…，，设平面ADE的法向量为，则，，y=0，令x=2，则，，…平面ABC的法向量，．…故所求二面角的余弦值为．…解法二：如图所示，以点A为坐标原点，分别以射线AC，AP为x，z轴，以垂直平面APC向外方向为y轴，PA=2，则BC=1，BA=，A（0，0，0），P（0，0，2），B（，，0），C（2，0，0），D（，，1），E（1，0，1），…，，设平面ADE的法向量为，则，，令x=1，则z=﹣1，，故，…平面ABC的法向量，．…故所求锐二面角的余弦值为．…【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20．如图，椭圆Γ：，动直线l1：x=x1（﹣2＜x＜0），点A1，A2分别为椭圆Γ的左、右顶点，l1与椭圆Γ相交于A，B两点（点A在第二象限）．（Ⅰ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；（Ⅱ）设动直线l2：x=x2（﹣2＜x＜2，x1≠x2）与椭圆Γ相交于C，D两点，△OAB与△OCD的面积相等．证明：|OA|2+|OD|2为定值．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出直线A1A的方程、直线A2B的方程，联立，结合点A（x1，y1）在椭圆Γ上，即可求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；（Ⅱ）设C（x2，y2），由△OAB与△OCD的面积相等，得，结合点A，C均在椭圆上，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：设A（x1，y1），B（x1，﹣y1），又A1（﹣2，0），A2（2，0），则直线A1A的方程为：①直线A2B的方程为：②由①②得：③由点A（x1，y1）在椭圆Γ上，故可得，∴，代入③得：（Ⅱ）证明：设C（x2，y2），由△OAB与△OCD的面积相等，得，因为点A，C均在椭圆上，∴由x1≠x2，所以．∴，∴|OA|2+|OD|2=7为定值【点评】本题考查椭圆方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．21．正项等比数列{a n}中，a1=2，且a2，a1+a2，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设（n∈N*），若a∈[0，2]，求数列{b n}的最小项．【考点】数列与不等式的综合；数列的函数特性；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）通过a2，S2，a3成等差，求出q．推出通项公式即可．（Ⅱ）方法一：通过，利用二次函数的对称轴，讨论a的值，通过函数的单调性求出函数的最值，得到数列的最小项．方法二：通过b n+1﹣b n比较大小，判断函数的单调性，讨论a的值，通过函数的单调性求出函数的最值，得到数列的最小项．【解答】解：（Ⅰ）由a2，S2，a3成等差，有2S2=a2+a3，2（a1+a2）=a2+a3，a3=2a1+a2， =2a1+a1q，q2﹣q﹣2=0，q=﹣1，q=2，由a n＞0，q=2．故．（Ⅱ）方法一：，令，则=4t2+（a﹣4）t+a+1，对称轴，①当0≤a＜1时，对称轴＞，数列{b n}单调递增，最小项为；②当a=1时，对称轴=，恰好位于与的中间，则b1=b2，故n＞1时，数列{b n}单调递增，最小项为；③当1＜a≤2时，对称轴，位于与之间而靠近于，故n＞1时，数列{b n}单调递增，b1＞b2，最小项为．方法二：由=，则，==，由，①当，得，函数单调递增，即a＜f（1）=1，b n+1﹣b n＞0，数列{b n}单调递增，最小项为；②当a=1时，b2﹣b1=0，n＞1，，b n+1﹣b n＞0，故n＞1时，数列{b n}单调递增，最小项为；③由，求得，则当时，，，，b1＞b2，n＞1，，得b n+1﹣b n＞0，故n＞1时，数列{b n}单调递增，最小项为．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，老师的函数特征，数列与不等式相结合，求解数列的最小值，考查分析问题解决问题的能力．22．已知函数f（x）=lnx﹣ax2，a为常数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x1、x2，试证明：x1x2＞e．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域，函数的导数，通过a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；a＞0时，求出极值点，然后通过导数的符号，判断函数的单调性．（Ⅱ）设x1＞x2，求出，利用分析法证明x1x2＞e，转化为证明：（x1＞x2＞0），通过令，则t＞1，构造设（t＞1），利用函数的导数求解函数的最小值利用单调性证明即可．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）定义域为（0，+∞），，…当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；…当a＞0时，由f'（x）=0，得，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．…（Ⅱ）证明：设x1＞x2，∵，，∴，，则，欲证明x1x2＞e，即证lnx1+lnx2＞1，因为，∴即证，∴原命题等价于证明，即证：（x1＞x2＞0），令，则t＞1，设（t＞1），∴，∴g（t）在（1，+∞）单调递增，又因为g（1）=0，∴g（t）＞g（1）=0，∴，所以x1x2＞e．…【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最小值以及函数的单调性的应用，构造法分析法证明不等式，考查分析问题解决问题的能力．。

湖南省永州市高三数学第一次模拟考试试题理湘教版

数学（理科）注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。

考试时间120分钟，满分150分。

答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束时，只交答题卡。

参考公式：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．如果事件A ，B 互斥，那么P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合2{|12},{|1}A x x B x x =-<<=≤，则A B =A ．(1,1]-B ．11(,)-C ．12[,)-D ．12(,)-2． “3x ≠”是“03>-x ”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件3．如图是某几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆，则该几何体的体积是 A ．3πB ．23πCD4．40cos 2xdx π⎰＝ A ．12B ．1C ．2D ．325．甲、乙两人在淘宝网各开一家网店，直销同一厂家的同一种产品，厂家为考察两人的销售业绩，随机选了10天，统计两店销售量，得到如图所示的茎叶图，由图中数据可知A ．甲网店的极差大于乙网店的极差B ．甲网店的中位数是46C ．乙网店的众数是42D ．甲网店的销售业绩好6．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，918S =-，1352S =-，等比数列{}n b 中，55b a =，77b a =，则6b 的值A． B ．2 C．-D ．2或－27．若1sin()33πα-=-，则cos(2)3πα+=A ．79-B ．13-C ．13D ．79乙甲60571213332223457342218158（第5题图）（第3题图）俯视图左视图正视图8．设函数f (x )＝－1x，g (x )＝ax 2＋bx （a ，b ∈R，a ≠0），若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是 A ．当a ＜0时，x 1＋x 2＞0，y 1＋y 2＞0 B ．当a ＜0时，x 1＋x 2＜0，y 1＋y 2＜0 C ．当a ＞0时，x 1＋x 2＞0，y 1＋y 2＜0 D ．当a ＞0时，x 1＋x 2＜0，y 1＋y 2＞0二、填空题（本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，满分35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上．）（一）选做题（请考生在9、10、11三题中任选两题作答，如全做则按前两题计分）． 9．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 与⊙O 相切于点E ，∠C ＝6π，则∠AED ＝_____．10．已知x , y , z ∈R ，且2221x y z ++=，则23x y z ++的最大值是．11．已知在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为2cos 12sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2sin()13πρθ-=，则圆C 截直线l 所得的弦长为．（二）必做题（12～16题）12．二男二女共四个学生站成一排照相，两个女生必须相邻的站法有种．（用数字作答）13．已知A 、B 是圆C (C 为圆心）上的两点，||AB ＝2，则AB AC ⋅＝．14．双曲线C ：22197x y -=的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 右支上一动点，点Q 的坐标是（1，4），则|PF 1|＋|PQ |的最小值为．15．执行如图所示的程序框图，则输出的复数z 是．16．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面至多埋一个雷，如果无雷掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块(至多八个)中雷的个数(0常省略不标)，如图甲中的“3”表示它的周围八个方（第9题图）（第15题图）块中有且仅有3个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有4个方块已确定是雷(方块上标有旗子)，则上方左起八个方块中(方块正上方对应标有字母)，能够确定一定不是雷的有，一定是雷的有．(请填入方块上方对应字母)三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3,a =4,b =2cos 3C =．(1) 求ABC ∆的面积； (2) 求sin()B C -的值． 18．（本小题满分12分）永州市举办科技创新大赛，某县有20件科技创新作品参赛，大赛组委会对这20件作品分别从“创新性”和“实用性”两个方面进行评分，每个方面评分均按等级采用3分制(最低1分，最高3分)，若设“创新性”得分为x ，“实用性”得分为y ，得到统计结果如下表，若从这20件产品中随机抽取1件．（1）求事件A ：“x ≥2且y ≤2”的概率；（2）设ξ为抽中作品的两项得分之和，求ξ的数学期望．创新性1分 2分 3分实用性 1分 2 0 2 2分 1 4 1 3分 2 2 6x y作品数 (甲)A B C D E F G(乙)(第16题图)19．（本小题满分12分）如图所示，直角梯形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90o，AD ＝2，AB ＝3，CD＝4，P 在线段AB 上，BP ＝1，O 在CD 上，且OP ∥AD ，将图甲沿OP 折叠使得平面OCBP ⊥底面ADOP ，得到一个多面体(如图乙)，M 、N 分别是AC 、OP 的中点． (1) 求证：MN ⊥平面ACD ；(2) 求平面ABC 与底面OPAD 所成角（锐角）的余弦值．20． (本小题满分13分)提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x ≤200时，车流速度v 与车流密度x 满足 ()40250k v x x=--，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．(1) 当0<x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2) 当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到个位，参考数据2.236≈）21．（本小题满分13分）在直角坐标系xoy 中，椭圆C 1：22221(0)y x a b ab+=>>的离心率2e =，F 是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点， C 1与C 2交于M ，N 两点(M 在第一象限)，且|MF |＝2． (1) 求点M 的坐标及椭圆C 1的方程；(2) 若过点N 且斜率为k 的直线l 交C 1于另一点P ，交C 2于另一点Q ，且MP ⊥MQ ，求k 的值．22．(本小题满分13分)已知函数()ln(1)f x x =+-(1) 若函数()f x 在定义域内为减函数，求实数p 的取值范围；(2) 如果数列{}n a 满足13a =，12211[1](1)4n n na a n n +=+++，试证明：当2n ≥时，3444n a e ≤<．(乙)(甲) （第19题图）AB CD O P M N OP B C AD永州市2013年高考第一次模拟考试数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(每小题5分，共40分)ACDA DCAB二、填空题(每小题5分，共35分)(一)选做题(9－11题，考生只能从中选做2题，如果多做则按前两题计分)9．3π1011． 4 (二)必做题(12－16题)12． 12 13. 2 14. 1115. 12- 16． (1)A ，C ，E ； (2)B ，D ，F ，G三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)解：(Ⅰ)在△ABC 中，∵2cos 3C =，∴ sin C === ………………………2分∴ 1sin 2ABC S ab C ∆==． ………………………5分(Ⅱ)由余弦定理可得，2222cos 916169c a b ab C =+-=+-=∴ 3c =． …………………………………………7分又由正弦定理得，sin sin c bC B=，∴ 4sin 3sin 3b CB c⋅===． ……………………9分 2221cos 29a cb B ac +-== …………………10分∴ 21sin()sin cos cos sin 39B C B C B C -=-=- ． …………12分18．(本小题满分12分)解：(1) 从表中可以看出，事件A ：“x ≥2且y ≤2”的作品数量为7件，故“x ≥2且y ≤2”的概率为70.3520=．…………5分(2) 方法一：由表可知“创新性”得分y 有1分、2分、3分三个等级，每个等级分别有5件，6件，9件，“创新性”得分x 的分布列为：则“创新性”得分的数学期望为Ex ＝13911123 2.2410205⨯+⨯+⨯==； …………8分“实用性”得分y 有1分、2分、3分三个等级，每个等级分别有4件，6件，10件， “实用性”得分y 的分布列为：故“实用性”得分的数学期望为 Ey ＝13123123 2.3510210⨯+⨯+⨯== …………10分所以ξ数学期望E ξ＝E (x ＋y )＝Ex ＋Ey ＝ 2.2＋ 2.3＝4.5 …………12分方法二：作品的总得分ξ的可能取值为2分，3分，4分，5分，6分，由表中可知对应的作品数量分别为2件，1件，8件，3件，6件， …………8分则作品的总得分ξ的分布列为： …………10分所以ξ数学期望为 E ξ＝11233923456 4.51020520102⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==…………12分19．(本小题满分12分)证明 : (1)取CD 的中点为Q ，连接MQ ，OQ ，OQ ⊥CD ，依题意知：面OCD ⊥底面OPAD ，AD ⊥OD ，AD ⊥平面OCD ，而OQ ⊆面OCD ，AD ⊥OQ ，又CDAD ＝D ，所以OQ ⊥面ACD ， MQ 是∆ACD 的中位线，故MQ 12AD ，NO 12AD ，则MQ NO ，所以MN ∥OQ ，故MN ⊥平面ACD ； …………5分(2) 方法一：如图所示，分别以OP ，OD ，OC 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．B (2，0，1)，A (2，2，0)C (0，0，2)，底面OPAD 的一个法向量(0,0,1)m =，设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =，(0,2,1),(2,0,1)AB CB =-=-， …………7分依题知：020200n AB x y z n CB x y z ⋅=⨯-⨯+=⋅=⨯+⨯-=⎧⎪⎨⎪⎩，Q M N O P BCAD即2020y z x z -+=-=⎧⎨⎩，令x ＝1，则y ＝1，z ＝2，(1,1,2)n =，cos ,3m n <>==，故平面ABC 与底面OPAD所成角的余弦值为3． …………12分方法二：延长CB 交OP 于E ，连接AE ，则AE 是面ABC 与底面OPAD 的交线，过O 作OF ⊥AE 于F ，连CF ，则∠CFO 就是二面角C －AE －O 的平面角，OE AP OF AE ⨯===，CF ==，∠CFO＝OF CF ==，故平面ABC 与底面OPAD3． ………12分20．(本小题满分13分)解：(1) 由题意：当0＜x ≤50时，v (x )＝30；当50≤x ≤200时，由于()40250kv x x=--，再由已知可知，当x ＝200时，v (0)＝0，代入解得k ＝2000. 故函数v (x )的表达式为30050()20004050200250x v x x x<≤=-<≤-⎧⎪⎨⎪⎩ …………5分 (2) 依题意并由(1)可得30050()20004050200250xx f x xx x x<≤=-<≤-⎧⎪⎨⎪⎩ 当0≤x ≤50时，f (x )＝30x ，当x ＝50时取最大值1500. …………8分当50<x≤200时，20002000(250)20002504040(250)4025025025050000012000[40(250)]1200025012000120004000 2.2363056()x x x x xx x xf x --⨯-=--+⨯+--=--+≤--=-≈-⨯==取等号当且仅当50000040(250)250x x-=-，即250138x =-≈时，f (x )取最大值。

2016年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学(理)试卷(一)(word版含解析)

2016好题精选模拟卷1 数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M=｛x丨≥0，x∈R｝，N=｛y丨y=3x2+1，x∈R｝，则M∩N为（） A｛x丨x＞1｝ B｛x丨x≥1｝ C｛x丨x＞1或x≤0｝ D｛x丨0≤x≤1｝ 2. 已知是实数，是虚数单位，若是纯实数，则=( ) A. B. C. D. 3. 已知命题p：存在0≤x≤π，cos2x+cosx-m=0为真命题,则实数m的取值范围是（） A[-,-1] B[-,2] C[-1，2] D[-,+∞] 4.如图，若输入n的值为4，则输出A的值为A.3B.-2 C- D 5.函数f（x）=x丨x+a丨+b是奇函数的充要条件为（）A ab=0B a+b=0C a2+b2=0D a=b 6.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足=+λ()，λ∈（0，+)，则动点P的轨迹一定经过△ABC的（）A 重心B 垂心C 外心D 内心 7.若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于( ) ＡＢＣＤ 8.已知函数f（x）=在点（1,2）处的切线与f（x）的切线的图像有三个公共点，则a的范围（） A[-8，-4+2） B（-4-2，-4+2） C （-4+2，8] D（-4-2，-8] 9.等差数列｛a｝的前n项和为S，公差为d，已知（a+1）3+2013（a+1）=1，（a+1）3+2013（a+1）=-1，则下列结论正确的是（）A d＜0，S=2013B d＞0，S=2013C d＜0，S=-2013D d＞0，S=-2013 10. 某校在高二年级开设选修课其中数学选修课开了三个班．选课结束后，有四名选修英语的同学要求改修数学，但数学选修每班至多可再接收两名同学，那么安排好这四名同学的方案有（）A 72种B 54种C 36种 D18种 11.如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为（） B、 C、 D、 12.F是双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于B，若2=，则C的离心率为（） A B 2 C D 第II卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

2016年湖南省永州市高考数学预测卷(理科)(一)

2016年湖南省永州市高考数学预测卷（理科）（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共7小题，共35.0分)1.一袋中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球．若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：摸出的2个球为异色球的不同摸法种数为C71+C31C41=19种，从8个球中摸出2个球的不同摸法种数为C82=28，故所求概率为，故选：D．根据排列组合求出，所有的基本事件，再求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．本题考查了古典概率问题，关键是利用排列组合，属于基础题．2.已知等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=（x+1）4+b1（x+1）3+b2（x+1）2+b3（x+1）+b4，定义映射f（a1，a2，a3，a4）=b1-b2+b3-b4，则f（2，0，1，6）等于（）A.-3B.3C.9D.2016【答案】A【解析】解：由x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=（x+1）4+b1（x+1）3+b2（x+1）2+b3（x+1）+b4，得f（2，0，1，6）=x4+2x3+x+6=（x+1）4+b1（x+1）3+b2（x+1）2+b3（x+1）+b4，在等式两边分别取x=-2，得b1-b2+b3-b4=-3．故选：A．在已知等式中分别以2，0，1，6替换a1，a2，a3，a4，得到x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=（x+1）4+b1（x+1）3+b2（x+1）2+b3（x+1）+b4，取x=-2求得b1-b2+b3-b4，则答案可求．本题考查映射的概念，关键是对题意的理解，是中档题．3.某多面体是一个四棱锥被一平面截去一部分后得到，它的三视图如图所示，此多面体的体积是（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】解：根据三视图得，该几何体是过BD且平行于PA的平面截四棱锥P-ABCD所得的几何体，且PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=3、AB=AD=2，E是PC的中点，则EF=PA=，∴截取的部分为三棱锥E-BCD的体积为：V三棱锥E-BCD==1，∴多面体的体积V=V四棱锥P-ABCD-V三棱锥E-BCD==3，故选：B．根据三视图画出几何体，由三视图求出几何元素的长度，由分割法和锥体的体积公式求出几何体的体积．本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．4.将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数g （x）的图象．若对满足|f（x1）-g（x2）|=4的x1、x2，有|x1-x2|的最小值为，则φ=（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】解：将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位后，得到函数g（x）=2sin[2（x-φ）+]=2sin（2x+-2φ）的图象，故f（x）、g（x）的最小正周期都是T=π．若对满足|f（x1）-g（x2）|=4的x1、x2，有|x1-x2|min=-φ=-φ=，则φ=，故选：A．由题意可得|x1-x2|的最小值为-φ=，由此求得φ的值．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，判断|x1-x2|的最小值为-φ，是解题的关键，属于中档题．5.四面体ABCD中，AB⊥BC，AD⊥面ABC，AD=，AB=3，BC=4，此四面体的外接球的表面积为（）A.28πB.32πC.36πD.48π【答案】B【解析】解：由题意，由AB⊥BC，AB=3，BC=4，可得△ABC外接圆的半径为，∵AD⊥平面ABC，AD=，∴四面体ABCD的外接球的半径为DC==2，∴球O的表面积为4π×8=32π．故选：B．由正弦定理可得△ABC外接圆的半径，利用勾股定理可得四面体ABCD的外接球的半径，即可求出球O的表面积．本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，确定四面体ABCD的外接球的半径是关键．6.已知函数f（x）=，＜，，若对于正数k n（n∈N*），关于x的函数g（x）=f（x）-k n x的零点个数恰好为2n+1个，则k12+k22+…+k n2=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数g（x）=f（x）-k n x的零点个数可化为函数f（x）与y=k n x的图象的交点的个数；作函数f（x）与y=k n x的图象如下，，∵关于x的函数g（x）=f（x）-k n x的零点个数恰好为2n+1个，∴y=k n x的图象与y=的图象相切，∴=，∴x=，∴k n===，∴k n2==（-），∴k12+k22+…+k n2=（1-）+（-）+（-）+…+（-）=（1-）=，故选C．函数g（x）=f（x）-k n x的零点个数可化为函数f（x）与y=k n x的图象的交点的个数；作函数f（x）与y=k n x的图象，结合图象可得y=k n x的图象与y=的图象相切，从而可得=，从而解得k n==，从而可得k n2=（-），从而利用裂项求和法解得．本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想方法应用，同时考查了数列的性质与应用及裂项求和法的应用．7.已知抛物线y2=8x的准线与双曲线-=1相交于A，B两点，如果抛物线的焦点F总在以AB为直径的圆的内部，则双曲线的离心率取值范围是（）A.（3，+∞）B.（1，3）C.（2，+∞）D.（1，）【答案】A【解析】解：抛物线y2=8x，则其准线方程为x=-2，焦点f（2，0），∴焦点到准线的距离为p=4，将准线方程为x=-2代入双曲线方程得y=±，∴以AB为直径的圆的半径为r=，∵抛物线的焦点F总在以AB为直径的圆的内部，∴＞4，，∴＞解得0＜a＜∴e===＞=3，∴e＞3，故选：A．先根据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得y，根据抛物线的焦点F总在以AB为直径的圆的内部得到＞4，求出a的范围，利用a，b和c的关系求得c，则双曲线的离心率范围可得．本题主要考查了抛物线和双曲线的简单性质．解题的关键是通过其性质求出a的范围，属于中档题．二、填空题(本大题共2小题，共10.0分)8.三棱锥P-ABC，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=PC=，此三棱锥的内切球的半径为______ ．【答案】【解析】解：由题意，设三棱锥P-ABC的内切球的半径为r，球心为O，则由等体积V B-PAC=V O-PAB+V O-PAC+V O-ABC可得=3×+，∴r=．故答案为：．利用三棱锥P-ABC的内切球的球心，将三棱锥分割成4个三棱锥，利用等体积，即可求得结论．本题考查三棱锥P-ABC的内切球，考查学生分析转化问题的能力，正确求体积是关键．9.我国古代数学名著《九章算术》中有一问题“今有垣厚五尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”问相逢时大鼠穿墙______ 尺．【答案】3【解析】解：因为前两天大小老鼠共穿1+2+1+0.5=4.5尺，所以第三天需要穿5-4.5=0.5尺就可以碰面．第三天大老鼠穿4尺，小老鼠穿尺，设大老鼠打了x尺，小老鼠则打了（0.5-x）尺，所以x÷4=（0.5-x）÷，所以x=，所以三天总的来说：大老鼠打了1+2+=3（尺），故答案为：3．因为大老鼠第一天挖1尺，小老鼠第一天也挖1尺，则第二天大老鼠挖2尺，小老鼠挖0.5尺，所以前两天大小老鼠共穿1+2+1+0.5=4.5尺，第三天需要穿0.5尺．第三天大老鼠穿4尺，小老鼠穿尺，此时设大老鼠打了x尺，小老鼠则打了（0.5-x）尺根据打洞时间相等：x÷4=（0.5-x）÷，由此求出x的值，进而求出两只老鼠打通洞各挖的米数．关键是根据题意得出第三天需要穿0.5尺就利用碰面，再根据打洞时间相等：列出方程x÷4=（0.5-x）÷进行解答．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)10.如图，△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC边上，点E在AD上．（l）若点D是CB的中点，∠CED=30°，DE=1，CE=求△ACE的面积；（2）若AE=2CD，∠CAE=15°，∠CED=45°，求∠DAB的余弦值．【答案】解：（1）在△CDE中，CD=∠=，解得CD=1，在直角三角形ABD中，∠ADB=60°，AD=2，AE=1，S△ACE=∠=°=；（2）设CD=a，在△ACE中，∠=∠，CE=°°=（）a，在△CED中，∠=∠，sin∠CDE=∠==-1，则cos∠DAB=cos（∠CDE-90°）=sin∠CDE=-1．【解析】（1）运用余弦定理，解出CD=1，再解直角三角形ADB，得到AE=1，再由面积公式，即可得到△ACE的面积；（2）在△ACE和△CDE中，分别运用正弦定理，求出CE，及sin∠CDE，再由诱导公式，即可得到∠DAB的余弦值．本题考查解三角形的运用，考查正弦定理和余弦定理，及面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．11.如图，四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=1，SD=．（Ⅰ）求证：CD⊥SD；（Ⅱ）求SB与面SCD成的线面角的正弦值．【答案】证明：（I）取AB的中点E，连结SE，DE．∵CD∥AB，CD==BE，BC⊥CD，∴四边形BCDE是矩形，∴CD⊥DE．∵SA=SB，E是AB的中点，∴SE⊥AB．∴SE⊥CD．又DE，SE⊂平面SDE，DE∩SE=E，∴CD⊥平面SDE，∵SD⊂平面SDE，∴CD⊥SD．（II）∵△SAB是边长为2的等边三角形，∴BE=1，SE=，∵四边形BCDE是矩形，∴DE=BC=2，∴SE2+DE2=SD2，∴SE⊥DE，∴SE⊥平面ABCD．以E为原点，以ED，EB，ES为坐标轴建立空间直角坐标系E-xyz，如图所示：则S（0，0，），B（0，1，0），C（2，1，0），D（2，0，0）．∴=（0，1，-），=（0，-1，0），=（2，0，-）．设平面SCD的法向量为=（x，y，z），则，．∴，令z=2，得=（，0，2），∴=-2，||=，||=2，∴cos＜＞==-，∴SB与面SCD成的线面角的正弦值为．【解析】（I）取AB的中点E，连结SE，DE，则四边形BCDE是矩形，于是CD⊥DE，由等边三角形得SE⊥AB，故SE⊥CD，于是CD⊥平面SDE，得出CD⊥SD；（II）利用勾股定理的逆定理可证SE⊥DE，故而SE⊥平面BCDE，以E为原点建立空间直角坐标系，求出和平面SCD的法向量，则|cos＜，＞|即为所求．本题考查了线面垂直的判定与性质，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．12.某省去年高三100000名考生英语成绩服从正态公布N（85，225），现随机抽取50名考生的成绩，发现全部介于[30，150]之间，将成绩按如下方式分成6组：第一组[30，50），第二组[50，70），…第6组[130，150]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）估算该50名考生成绩的众数和中位数．（Ⅱ）求这50名考生成绩在[110，150]内的人中分数在130分以上的人数．（Ⅲ）从这50名考生成绩在[110，150]的人中任意抽取2人，该2人成绩排名（从高到后）在全省前130名的人数记为X．求X的数学期望（参考数据：若X～N（u，δ2）则P（u-δ＜X≤u+δ）=0.6826P（u-2δ＜X≤u+2δ）=0.9544P（u-3δ＜X≤u+3δ）=0.9974）【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知该50名考生成绩的众数为：=80，中位数为：70+=83.75．（Ⅱ）由频率分布直方图知后两组频率为：（0.006+0.004）×20=0.2，人数为0.2×50=10，则成绩在[110，150]的人数为10人，P（85-3×15＜x＜85+3×15）=0.9974，∴P（x≥130）==0.0013．∴0.0013×105=130人，则该省前功尽弃30名的成绩在130分以上，∴该50人中，130分以上的有0.08×50=4人．∴这50名考生成绩在[110，150]内的人130分以上的人数有4人．（Ⅲ）∵从这50名考生成绩在[110，150]的人中任意抽取2人，该2人成绩排名（从高到后）在全省前130名的人数记为X，∴X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：E（X）=+2×=．【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图能求出该50名考生成绩的众数和中位数．（Ⅱ）由频率分布直方图求出后两组频率及人数，从而成绩在[110，150]的人数为10人，P（x≥130）=0.0013．由此能求出这50名考生成绩在[110，150]内的人130分以上的人数．（Ⅲ）由题意X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．本题考查频率分布直方图的应用，考查正态分布的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．13.已知点P（2，0），抛物线y2=4x，过P作斜率分别为k1，k2的两条直线交抛物线于A，B，C，D四点，且M，N分别是线段AB，CD的中点．（Ⅰ）若k1•k2=-1，求△PMN的面积的最小值；（Ⅱ）若k1+k2=1，求证：直线MN过定点．【答案】解：（Ⅰ）∵k1•k2=-1，∴两直线互相垂直，设AB：x=my+2，则CD：x=-y+2，x=my+2代入y2=4x，得y2-4my-8=0，则y1+y2=4m，y1y2=-8，∴M（2m2+2，2m）．同理N（+2，-），∴|PM|=2|m|•，|PN|=•，∴S△PMN=|PM||PN|=（m2+1）=2（|m|+）≥4，当且仅当m=±1时取等号，∴△PMN面积的最小值为4；（Ⅱ）证明：由题意知，k1+k2=1，不妨设AB的斜率k1=k，则CD的斜率k2=1-k，所以AB的直线方程是：y=k（x-2），CD的直线方程是y=（1-k）（x-2），设A（x1′，y1′），B（x2′，y2′），由得，k2x2-（4k2+4）x+4k2=0，则x1′+x2′=4+，x1′x2′=m2，所以y1′+y2′=k（x1′-2）+k（x2′-2）=k（4+）-4k=，因为M是AB的中点，所以点M（2+，），同理可得，点N（2+，），所以直线MN的方程是：y-=（x-2-），化简得，y=（k-k2）（x-2）+2，令x=2，得y=2，所以直线MN过定点（2，2）．【解析】（Ⅰ）若k1•k2=-1，两直线互相垂直，求出M，N的坐标，可得|PM|，|PN|，即可求△PMN 面积的最小值；（Ⅱ）不妨设AB的斜率k1=k，求出CD的斜率k2=1-k，利用点斜式方程求出直线AB、CD的方程，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得中点M、N的坐标，利用点斜式方程求出直线MN的方程，化简后求出直线过的定点坐标．本题主要考查抛物线的几何性质，直线方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．14.已知函数f（x）=e x（sinx+-ax2），其中a∈R．（1）如果a=0，当x∈[0，π]时，求f（x）的取值范围；（2）如果≤a≤1，求证：对任意的x∈[0，+∞），恒有f（x）＜0．【答案】解：（1）当a=0时，f（x）=e x（sinx-），则f′（x）=e x（sinx-）+e x cosx=e x（sinx-+cosx），∵sinx+cosx=sin（x+）≤＜，∴sinx+cosx-＜0，故f′（x）＜0，则f（x）在R上单调递减，∴f（x）max=f（0）=-，f（x）min=f（π）=-，∴f（x）∈[-，-]；（2）证明：当x≥0时，y=e x≥1，要证明对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．则只需要证明对任意的x∈[0，+∞），sinx-ax2+-＜0．设g（a）=sinx-ax2+-=（-x2+）a+sinx-，看作以a为变量的一次函数，要使sinx-ax2+-＜0，则＜＜，即＜，＜，，∵sinx＜x2+恒成立，∴ 恒成立，对于，令h（x）=sinx-x2-，则h′（x）=cosx-2x，设x=t时，h′（x）=0，即cost-2t=0．∴t=＜，sint＜sin=，∴h（x）在（0，t）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，在（t，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，则当x=t时，函数h（x）取得最大值，h（t）=sint-t2-=sint-（）2-=sint--=sin2t+sint-1=（+1）2-2≤（）2-2＜0，故式成立，综上对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．【解析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可．（2）对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0转化为证明对任意的x∈[0，+∞），sinx-ax2+-＜0，即可，构造函数，求函数的导数，利用导数进行研究即可．本题主要考查函数单调性与导数的应用，求函数的导数，构造函数，利用导数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．15.如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【答案】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【解析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16.已知直线l的参数方程为（t为参数）．曲线（α为参数）．曲线C2（φ为参数）．以点O为原点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l，曲线C1，曲线C2的极坐标方程；（2）射线θ=与曲线C1交于O、A两点，与曲线C2交于O、B两点，射线θ=与直线l交于点C，求△CAB的面积．【答案】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），化为普通方程：x+y=4，化为极坐标方程：ρcosθ+ρsinθ=4．曲线（α为参数），化为普通方程：（x-1）2+y2=1，展开为x2+y2-2x=0，化为极坐标方程：ρ2-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．曲线C2（φ为参数），化为普通方程：（x-2）2+y2=4，展开为x2+y2-4x=0，化为极坐标方程：ρ2-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．（2）射线θ=即直线y=x（x≥0），联立，解得A，．联立，解得B，．∴|AB|=．射线θ=即直线（x≤0）．联立，解得C，．点C到直线y=x的距离d==6+2．∴S△ABC=|AB|d==3+．【解析】（1）首先将参数方程化为普通方程，再利用及其ρ2=x2+y2即可化为极坐标方程．（2）把射线方程分别与曲线C1，C2的方程联立解得点A，B的坐标，可得|AB|，再求出点C到直线AB的距离，利用三角形面积计算公式即可得出．本题考查了直角坐标化为极坐标及其极坐标方程的方法、直线与圆相交问题、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.设函数f（x）=|x+|+|x-a|（a≠0）．（1）证明：f（x）≥2；（2）如果a＞0且f（3）＜6，求实数a的取值范围．【答案】（1）证明：∵f（x）=|x+|+|x-a|≥|（x+）-（x-a）|=|a+|=|a|+||≥2，故f（x）≥2成立．（2）解：f（3）＜6，即|3+|+|3-a|＜6，当a＞时，可得3++|a-3|＜6，即|a-3|＜3-，即-3＜a-3＜3-，可得＞＞＜，求得＜a＜3+．a=时，可得|3+3|+|3-|＜6不成立，故a≠．0＜a＜时，可得|a-3|＜3-不成立，即a∈∅．综上可得，＜a＜3+．【解析】（1）由条件利用绝对值三角不等式求得f（x）≥|a|+||，再利用基本不等式证得|a|+||≥2，从而证得结论．（2）f（3）＜6，即|3+|+|3-a|＜6，再分类讨论求得a的范围，综合可得结论．本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2016年湖南省永州市高考数学一模试卷与解析word(理科)

2016年湖南省永州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i是虚数单位，复数的值为（）A．1﹣i B．1+i C．i D．2﹣i2．（5分）有下列四个命题，其中假命题是（）A．∃x0＞0，x02≤x0B．∀x∈R，3x＞0C．∃x0∈R，sinx0+cosx0=2 D．∃x0∈R，lgx0=03．（5分）如图，OABC是矩形，B在抛物线y=x2上，A为（1，0），现从OABC 内任取一点，则该点来自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）某种定点投篮游戏的规则如下：每人投篮10次，如果某同学某次没有投进，则罚该同学做俯卧撑2个．现有一同学参加该游戏，已知该同学在该点投篮的命中率为0.6，设该同学参加本次比赛被罚做俯卧撑的总个数记为X，则X 的数学期望为（）A．4 B．6 C．8 D．125．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=5，则输出的结果是（）A．B．C．D．6．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值为（）A．﹣6 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣27．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．24πB．12πC．8πD．6π8．（5分）已知f（x+1）在偶函数，且f（x）在[1，+∞）单调递减，若f（2）=0，则f（x）＞0的解集为（）A．（﹣1，1）B．（0，1） C．（1，2） D．（0，2）9．（5分）若f（x）=2015sinx﹣2016cosx的一个对称中心为（a，0），则a的值所在区间可以是（）A．（0，）B．（，） C．（，）D．（，）10．（5分）设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x11．（5分）函数f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]12．（5分）若数列{a n}满足：对任意正整数n，{a n+1﹣a n}为递减数列，则称数列{a n}为“差递减数列”．给出下列数列{a n}（n∈N*）：①a n=3n，②a n=n2+1，③a n=，④a n=2n﹣n，⑤a n=ln其中是“差递减数列”的有（）A．③⑤B．①②④C．③④⑤D．②③二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=．14．（5分）已知当t=n时，f（t）=t+（t＞0）取得最小值，则二项式（x﹣）n的展开式中x2的系数为．15．（5分）已知{a n}是等差数列，a1=2，公差d≠0，S n为其前n项和，若a1、a2、a5成等比数列，则S5=．16．（5分）如图，椭圆的方程为=1，A是其右顶点，B是该椭圆在第一象限部分上的一点，且∠AOB=．若点C是椭圆上的动点，则的取值范围为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC中，三条边a，b，c所对的角分别为A、B、C，且a2+b2﹣c2=ab（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若f（x）=sinxcosx+cos2x，求f（B）的最大值，并判断此时△ABC的形状．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB和△PAC均为边长是的正三角形，且∠BAC=90°，O为BC的中点．（Ⅰ）证明：PO⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值．19．（12分）某校数学兴趣小组在研究本地的城市道路与汽车保有量之间的关系（即某地区道路的总里程数和该地区拥有的汽车数量之间的关系）时，得到了近8年的城市道路总里程x（单位：百公里）和汽车保有量y（单位：百辆）的数据如下表：（Ⅰ）若某年的两个值都不小于170时，我们将该年称为“出行便捷年”．现从这8年中任取5年，求恰有2年为“出行便捷年”的概率（请用分数作答）．（Ⅱ）根据上表数据，用变量y和x的相关系数说明y与x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关关系，请说明理由．参考公式：相关系数；回归直线的方程是：，其中，，是与x i对应的回归估计值．参考数据：，，，，，，．20．（12分）已知抛物线C：y2=4x，过焦点且与坐标轴不平行的直线与该抛物线相交于A、B两点，记线段AB中点为P（x0，y0）．（Ⅰ）若x0=2，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设线段AB的垂直平分线与x轴，y轴分别相交于点D、E．当直线AB的斜率大于时，求的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=1n（x+a）﹣（1）求此函数的单调区间及最小值；（2）当a=2时，过点A（﹣1，﹣1）作直线上与函数y=f（x）的图象相切，这样的直线有多少条？证明你的结论．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）已知AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，CD是半圆的切线，AC 平分∠BAD，AD交半圆于点E．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=5，DE=1，求AE的长．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），过点P（3，3）的直线l的参数方程（t为参数）．（Ⅰ）求原点（0，0）到直线l的距离；（Ⅱ）设直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=a|x+1|﹣|x﹣1|，a≥1．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜1；（Ⅱ）若实数a的取值范围是[3，4]，求f（x）的图象与直线y=2所围成的三角形的面积的取值范围．2016年湖南省永州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i是虚数单位，复数的值为（）A．1﹣i B．1+i C．i D．2﹣i【解答】解：∵i是虚数单位，∴====1+i．故选：B．2．（5分）有下列四个命题，其中假命题是（）A．∃x0＞0，x02≤x0B．∀x∈R，3x＞0C．∃x0∈R，sinx0+cosx0=2 D．∃x0∈R，lgx0=0【解答】解：对于A，不等式x02≤x0有实数解，故正确；对于B，由指数函数y=3x的值域可知，正确；对于C，sinx0+cosx0=，故错；对于D，x0=1时，lgx0=0，故正确．故选：C．3．（5分）如图，OABC是矩形，B在抛物线y=x2上，A为（1，0），现从OABC 内任取一点，则该点来自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：阴影部分面积S=∫01x2dx=，阴影=1，矩形部分面积S矩形∴所投的点落在阴影部分的概率P=故选：B．4．（5分）某种定点投篮游戏的规则如下：每人投篮10次，如果某同学某次没有投进，则罚该同学做俯卧撑2个．现有一同学参加该游戏，已知该同学在该点投篮的命中率为0.6，设该同学参加本次比赛被罚做俯卧撑的总个数记为X，则X 的数学期望为（）A．4 B．6 C．8 D．12【解答】解：设该同学没有投进的次数为ξ，则ξ～B（10，0.4），Eξ=10×0.4=4，则X=2ξ．∴EX=2Eξ=2×4=8．故选：C．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=5，则输出的结果是（）A．B．C．D．【解答】解：由程序框图可知，k=1，S=，k=2，S=，k=3，S=，k=4，S=，k=5，S=，退出循环，输出S=．故选：A．6．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值为（）A．﹣6 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2【解答】解：由约束条件得到可行域如图：z=2x﹣3y变形为y=x﹣，当此直线经过图中B（1，2）时，在y轴的截距最大，z最小，所以z的最小值为2×1﹣3×2=﹣4；故选：B．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．24πB．12πC．8πD．6π【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何合格是四棱锥，且有一条侧棱与底面垂直，故其外接球，相当于一个长，宽，高分别为1，1，2的棱柱的外接球，故该几何体的外接球的表面积（12+12+22）π=6π，故选：D．8．（5分）已知f（x+1）在偶函数，且f（x）在[1，+∞）单调递减，若f（2）=0，则f（x）＞0的解集为（）A．（﹣1，1）B．（0，1） C．（1，2） D．（0，2）【解答】解：∵f（x+1）在R上是偶函数，∴f（﹣x+1）=f（x+1），则函数f（x）关于直线x=1对称，∵f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（2）=0，∴f（x）在（﹣∞，1]上单调递增，f（0）=0，画出函数的示意图：由图得，f（x）＞0的解集是（0，2），故选：D．9．（5分）若f（x）=2015sinx﹣2016cosx的一个对称中心为（a，0），则a的值所在区间可以是（）A．（0，）B．（，） C．（，）D．（，）【解答】解：∵f（x）=2015sinx﹣2016cosx的一个对称中心为（a，0），∴令f（a）=2015sina﹣2016cosa=0，求得tana=∈（1，），∴a∈（，），故选：B．10．（5分）设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．11．（5分）函数f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]【解答】解：函数f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，可得a≥0．可得f（0）=a2+1，∴x2+≥a2+1，即x2+≥a2﹣a+1，x＞0时恒成立．x2+=x2+≥3=3，当且仅当x=1时取等号．可得3≥a2﹣a+1，a2﹣a﹣2≤0，解得a∈[﹣1，2]．综上a∈[0，2]．故选：D．12．（5分）若数列{a n}满足：对任意正整数n，{a n+1﹣a n}为递减数列，则称数列{a n}为“差递减数列”．给出下列数列{a n}（n∈N*）：①a n=3n，②a n=n2+1，③a n=，④a n=2n﹣n，⑤a n=ln其中是“差递减数列”的有（）A．③⑤B．①②④C．③④⑤D．②③﹣a n=3（n+1）﹣3n=3，∴数列{a n}不为“差递减数列”．【解答】解：①∵a n+1同理可得：②④不为“差递减数列”．﹣a n==，∴数列{a n}为“差递减数列”．③∵a n+1同理可得：⑤为“差递减数列”．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q={0，1，3} ．【解答】解：∵P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，∴log2a=0，即a=1，∴b=0，∴P={3，0}，Q={1，0}，则P∪Q={0，1，3}．故答案为：{0，1，3}14．（5分）已知当t=n时，f（t）=t+（t＞0）取得最小值，则二项式（x﹣）n的展开式中x2的系数为15．【解答】解：函数f（t）=t+≥12，当且仅当t=6时取等号，故f（x）的最小值12，此时n=6，则二项式二项式（x﹣）6展开式的通项公式为T r=•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣+12r=2，求得r=2，故二项式（x﹣）6展开式中x2项的系数为=15，故答案为：15．15．（5分）已知{a n}是等差数列，a1=2，公差d≠0，S n为其前n项和，若a1、a2、a5成等比数列，则S5=50．【解答】解：由题意设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，∵a1，a2，a5成等比数列，∴a22=a1•a5，∴（2+d）2=2（2+4d），解得d=4，或d=0（舍去）∴S5=5a1+d=5×2+10×4=50．故答案为：50．16．（5分）如图，椭圆的方程为=1，A是其右顶点，B是该椭圆在第一象限部分上的一点，且∠AOB=．若点C是椭圆上的动点，则的取值范围为[﹣9，3] ．【解答】解：由椭圆的方程为=1焦点在x轴上，A点坐标为（，0），∵∠AOB=，∴直线OB所在的直线为：y=x，设B点坐标为（x，x），将B点坐标代入到椭圆方程里，有：解得：x2=，x=∴B点坐标为（，）设C点坐标为（cosθ，sinθ）=（，0）•（cosθ﹣，sinθ﹣）=6cosθ﹣3，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴当cosθ=﹣1时，取最小值，最小值为﹣6﹣3=﹣9，当cosθ=1时，取最大值，最大值为6﹣3=3，的取值范围[﹣9，3]．故答案为：[﹣9，3]．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC中，三条边a，b，c所对的角分别为A、B、C，且a2+b2﹣c2=ab（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若f（x）=sinxcosx+cos2x，求f（B）的最大值，并判断此时△ABC的形状．【解答】解：（Ⅰ）∵a2+b2﹣c2=ab，∴由余弦定理可得：cosC===，∵C∈（0，π），∴C=．（Ⅱ）∵f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，又∵C=，可得：B∈（0，），可得：2B+∈（，），∴f（B）=sin（2B+）+≤1+=，当且仅当2B+=，即B=时，等号成立，∴A=π﹣B﹣C=，∴f（B）的最大值为，此时△ABC为直角三角形．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB和△PAC均为边长是的正三角形，且∠BAC=90°，O为BC的中点．（Ⅰ）证明：PO⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵△PAB和△PAC均为边长是的正三角形，∴PB=PC，又∵O为BC的中点，∴PO⊥BC，①∵∠BAC=90°，且AB=AC=，∴BC=2，即BO=CO=AO=1，∴PO=，在△POA中，PA=2，PO=，AO=1，∴PO⊥OA，②又∵OA∩BC=O，由①②③，得PO⊥平面ABC．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知OA，OB，OP为三条两两垂直的直线，∴建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0，1），A（0，1，0），B（1，0，0），C（﹣1，0，0），∴，=（0，1，﹣1），=（1，1，0），设平面PAC的法向量=（x，y，z），则，取y=﹣1，得=（1，﹣1，﹣1），设直线PB与平面PAC所成角为θ，则sinθ===，∴直线PB与平面PAC所成角的正弦值为．19．（12分）某校数学兴趣小组在研究本地的城市道路与汽车保有量之间的关系（即某地区道路的总里程数和该地区拥有的汽车数量之间的关系）时，得到了近8年的城市道路总里程x（单位：百公里）和汽车保有量y（单位：百辆）的数据如下表：（Ⅰ）若某年的两个值都不小于170时，我们将该年称为“出行便捷年”．现从这8年中任取5年，求恰有2年为“出行便捷年”的概率（请用分数作答）．（Ⅱ）根据上表数据，用变量y和x的相关系数说明y与x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关关系，请说明理由．参考公式：相关系数；回归直线的方程是：，其中，，是与x i对应的回归估计值．参考数据：，，，，，，．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：某年的两个值都在170或以上的所有的可能情况总数为：3，从这8年中任取5年的所有情况总数为：，早任取的5年中，恰有2年为“出行便捷年”的所有情况的总数为•，∴X表示恰有2年为“出行便捷年”的事件，P（X）==；（Ⅱ）根据参考公式，变量y和x的相关系数：r====0.99，即变量y和x的线性相关系数非常接近1，∴两变量的线性相关性强，设线性回归方程为：=x+a，由==0.65，由道路里程数x的平均数==155，汽车保有量y的平均数==169.75，由线性回归方程过样本中心点（，），a=﹣0.65=69.00，∴线性回归方程：=0.65x+69．20．（12分）已知抛物线C：y2=4x，过焦点且与坐标轴不平行的直线与该抛物线相交于A、B两点，记线段AB中点为P（x0，y0）．（Ⅰ）若x0=2，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设线段AB的垂直平分线与x轴，y轴分别相交于点D、E．当直线AB的斜率大于时，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设直线方程为y=k（x﹣1），代入y2=4x，整理得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，∴x0==2，∴k=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知x0=，y0=，线段AB的垂直平分线方程为y﹣=﹣（x﹣）．令y=0，可得x=，令x=0，y=，∴|DE|=•，|AB|=x1+x2+p=，∴=，设t=3k2+2（t＞3），则=∈（，）．21．（12分）已知函数f（x）=1n（x+a）﹣（1）求此函数的单调区间及最小值；（2）当a=2时，过点A（﹣1，﹣1）作直线上与函数y=f（x）的图象相切，这样的直线有多少条？证明你的结论．【解答】解：（1）f′（x）=当a＞1时：x∈（﹣a，1）时，f′（x）＜0，f（x）递减；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增；f（x）的最小值为f（1）=lna﹣．当a≤1时，f′（x）恒大于零，f（x）递增，函数无最小值；（2）当a=2时，f（x）=ln（x+2）﹣（x＞﹣2），设切点为T（x0，ln（x0+2）﹣），∴切线的斜率k=，∴切线的方程为y﹣ln（x0+2）+=（x﹣x0），（﹣1，﹣1）代入可得﹣1﹣ln（x0+2）+=（﹣1﹣x0），①设g（x）=ln（x+2）+，∴g′（x）=，令g′（x）=0，解得x=﹣1或0．∵x＞﹣2，∴g（x）在区间（﹣2，﹣1），（0，+∞）是增函数，（﹣1，0）上是减函数，∵g（0）＞0，注意到g（x）在其定义域上的单调性，知g（x）=0仅在（﹣2，﹣1）内有且仅有一根，所以方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）已知AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，CD是半圆的切线，AC 平分∠BAD，AD交半圆于点E．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=5，DE=1，求AE的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，则OC⊥CD．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，又∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∴AD⊥CD．（Ⅱ）连接CE，∵AC平分∠BAD，∴EC=CB，∵∠DEC=∠CBA，∴△DEC～△CBA，∴，∴EC=，∴DC==2，∵DC2=DE•DA，∴DA=4，∴EA=3．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），过点P（3，3）的直线l的参数方程（t为参数）．（Ⅰ）求原点（0，0）到直线l的距离；（Ⅱ）设直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【解答】解：（I）直线l的参数方程（t为参数），消去参数化为：3x﹣4y+3=0，∴原点（0，0）到直线l的距离d=．（II）圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），即x2+y2=1．把直线l的方程代入化为：5t2+42t+85=0，∴t1t2=17．∴|PA|•|PB|=|t1t2|=17．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=a|x+1|﹣|x﹣1|，a≥1．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜1；（Ⅱ）若实数a的取值范围是[3，4]，求f（x）的图象与直线y=2所围成的三角形的面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=a|x+1|﹣|x﹣1|=|x+1|﹣|x﹣1|，f（x）=，∴不等式f（x）＜1的解集是{x|x＜}；（Ⅱ）∵f（x）=，由（1﹣a）x﹣a﹣1=2，解得：x=，∴A（，2），同理B（，2）；∵＜0，∴y=2与f（x）的图象的两个交点都在y轴的左侧，而y=（1+a）x+a﹣1与y=（a﹣1）x+a+1的交点的横坐标为1，∴y=2只与f（x）的前2支相交，∴|AB|=﹣=，∵a∈[3，4]，∴|AB|∈[，3]，而|CD|=4，∴S=|AB|•|CD|∈[，6]．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

永州市2016年高考第一次模拟考试试卷
数学（理科）
命题人：左加（永州一中）蒋健（道县一中）张小局（永州三中）审题人：唐作明（永州市教科院）注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，只交答题卡．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，复数
21i
i
+的值为 A ．1i - B ．1i + C ．i
D ．2i -
2．有下列四个命题，其中假．命题．．
是 A ．20000,x x x ∃>≤
B ．,30x x R ∀∈>
C ．000,sin cos 2x R x x ∃∈+=
D ．00,lg 0x R x ∃∈=
3．如图，OABC 是矩形，B 在抛物线2y x =上，A 为(1,0)，现从OABC 内任取一点，则该点来自阴影部分的概率为
A ．12
B ．13
C ．14
D ．16
4．某种定点投篮游戏的规则如下：每人投篮10次，如果某同学某次没有投进，则罚该同学做俯卧撑2个．现有一同学参加该
游戏，已知该同学在该点投篮的命中率为0.6，设该同学参加本次比赛被罚做俯卧撑的总个数记为X ，则X 的数学期望为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 5．执行如图所示的程序框图，若输入5n =，则输出的结果是
A ．
56
B ．
67 C ．45 D ．130 6．已知x ，y 满足约束条件102202x y x y y -+≥⎧⎪
-+≤⎨⎪≤⎩
，则23z x y =-的
最小值为 A ．6- B ．4- C ．3- D ．2- 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为
A ．24π
B ．12π
C ．8π
D ．6π
（第7题图）
侧视图
A
O （第3题图）（第5题图）
8．已知(1)f x +为偶函数，且()f x 在[1,)+∞单调递减，若(2)0f =，则()0f x >的解集为
A ．(1,1)-
B ．(0,1)
C ．(0,2)
D ．(1,2) 9．若()2015sin 2016cos f x x x =-的一个对称中心为(,0)a ，则实数a 所在区间可能是
A ．(0,
)4
π
B ．(
,)43ππ C ．(,)32ππ D ．3(,)24ππ
10．设点P 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上的一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右
焦点，已知12PF PF ⊥，且122PF PF =，则双曲线的一条渐近线方程是
A
．y =
B
．y = C ．2y x = D ．4y x = 11．函数22()10()20
x a x f x x a x x ⎧-+≤⎪
=⎨++>⎪⎩
，，，若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为
A ．[1,2]-
B ．[1,0]-
C ．[1,2]
D ．[0,2] 12．若数列{}n a 满足：对任意正整数n ，{}1n n a a +-为递减数列，则称数列{}n a 为“差递
减数列”．给出下列数列{}n a (*
n N ∈)：
①3n a n =，②21n a n =+
，③n a =2n n a n =-，⑤ln 1
n n a n =+ 其中是“差递减数列”的有
A ．③⑤
B ．①②④
C ．③④⑤
D ．②③
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．设集合2{3,log }P a =，{,}Q a b =，若{0}P Q = ，则P Q = ． 14．已知当t n =时，36()(0)f t t t t =+
>取得最小值，则二项式1()n x x
-的展开式中2
x 的系数为．
15．已知{}n a 是等差数列，12a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若521a a a 、、成等比
数列，则5S = ．
16．如图，椭圆的方程为22162
x y +=，A 是其右顶点，B 是该椭圆在第一象限部分上的一点，且4
AOB π
∠=．若点C 是椭圆
上的动点，则OA BC ⋅
的取值范围为．
（第16题图）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，三条边a b c 、、所对的角分别为A 、B 、C ，且
222a b c ab +-=．（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）
若2()cos cos f x x x x +，求()f B 的最大值，并判断此时ABC ∆的形状．
18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PAB ∆和PAC ∆均为边长是2的
正三角形，且
90=∠BAC ，O 为BC 的中点．
（Ⅰ）证明：⊥PO 平面ABC ；
（Ⅱ）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值．
19．（本小题满分12分）某校数学兴趣小组在研究本地的城市道路与汽车保有量之间的关
系（即某地区道路的总里程数和该地区拥有的汽车数量之间的关系）时，得到了近8
年
中任取5年，求恰有2年为“出行便捷年”的概率（请用分数作答）．（Ⅱ）根据上表数据，用变量y 和x 的相关系数说明y 与x 之间线性相关关系的强弱．如
果具有较强的线性相关关系，求y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关关系，请说明理由．
参考公式：相关系数∑∑∑===----=
8
1
2
8
1
28
1
)()()
)((i i i i
i i
i
y y x x
y y x x
r ；回归直线的方程是：ˆˆy bx a =+，
其中1
2
1
()()
ˆ()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑，ˆa y bx
=-，i y ˆ是与i x 对应的回归估计值．参考数据：155=x ，75.169=y ，
4200)(8
1
2
=-∑=i i
x x
，5.1827)(8
1
2=-∑=i i y y ，
2750))((8
1
=--∑=i i i
y y x x
64.80≈42.75≈．
（第18题图） P
C A O
20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：2
4y x =，过焦点且与坐标轴不平行的直线与该
抛物线相交于A 、B 两点，记线段AB 中点为00(,)P x y ．（Ⅰ）若02x =，求直线AB 的斜率;
（Ⅱ）设线段AB 的垂直平分线与x 轴，y 轴分别相交于点D 、E ．当直线AB 的斜率
大于
3时，求||
||
AB DE 的取值范围．
21．（本小题满分12分）已知函数1
()ln()x f x x a x a
+=+-
+．（Ⅰ）求此函数的单调区间及最小值；
（Ⅱ）当a ＝2时，过点(1,1)A --作直线l 与函数()y f x =的图象相切，这样的的直
线有多少条？证明你的结论．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．注意：只能选做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
已知AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上一点，CD 是半圆的切线，AC 平分BAD ∠，AD 交半圆于点E ．（Ⅰ）求证：AD CD ⊥；（Ⅱ）若5AB =，1DE =，求AE 的长． 23．(本小题满分10分) 选修4—4：极坐标与参数方程
已知在直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为⎩
⎨⎧==θθ
sin cos y x （θ为参数），过点
(3,3)P 的直线l 的参数方程⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=+=t
y t x 5335
43 (t 为参数)．
（Ⅰ）求原点(0,0)到直线l 的距离；
（Ⅱ）设直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值．
24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数11)(--+=x x a x f ，1≥a ．（Ⅰ）当1=a 时，解不等式1)(<x f ；
（Ⅱ）若实数a 的取值范围是]4,3[，求)(x f 的图象与直线2=y 所围成的三角形的
面积的取值范围．
（第22题图）。

永州市2016年高考第一次模拟考试试卷(理科数学)

2016届湖南省永州市高考信息卷 数学理(二)

最新2016年全国统一高考数学模拟试卷(理科)

湖南省永州市高三数学第一次模拟考试试题 理(扫描版)含答案