Banach空间中二阶Neumann边值问题的一种拟上下解方法

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有序Banach空间中二阶时滞微分方程正周期解的存在性

有序Banach空间中二阶时滞微分方程正周期解的存在性吕娜【摘要】Existence of positiveω-periodic solution was studied for second order differential equation with delays in ordered Banach space E-u″(t)+a(t)u(t) =f(t,u(t-τ1),…,u(t-τn)),t∈R, where a∈C( R) was a positive ω-periodic function,f:R × Kn→K was a continuous function, and f( t,v) wasω-periodic in t, v=(ν1,ν2,…,νn)∈Kn, K was the positive cone,τi≥0,i=1,2,…n were constants. Un-der more general conditions of noncompactness measure and semi-ordering, the existence results of posi-tive ω-periodic solutions were obtained by applying the fixed point fixed theory of condensing mapping.%研究了有序Banach空间E中二阶多时滞微分方程-u″( t)+a( t) u( t)=f( t,u( t-τ1),…,u( t-τn )),t∈R,正ω-周期解的存在性,其中：a∈C( R)是正的ω-周期函数；f：R × Kn→K 连续且 f( t,v)关于 t 为ω-周期函数；v=(ν1,ν2,…,νn)∈Kn；K 为正元锥；τi≥0,i=1,2,…n为常数。

在较一般的非紧性测度条件与有序条件下,应用凝聚映射的不动点指数理论,获得了该问题正ω-周期解的存在性结果。

Banach空间二阶非线性常微分方程周期边值问题的解

＼ＪＪ，
Ｂｎｃ间．令ｃ，］｛：ａａｈ空ＵＥ一ＵＪ— ＥＩ续｝Ｕ连，则ｃｊ，］［Ｅ在范数ＩＩ一ｍａＩ（）ｌｘｌ￡ｌｕ下也是Ｂｎｃａａｈ空间．令ｃ［，一｛：。－Ｅ］ “ Ｊ— 厂
第４６卷２１００年第５期
Ｖ０１４２０Ｎｏ．５．６０１
西
北师范大学
学
报自然科学版）（
１３
ＪｕｎｌｏｒｈｓｏｒａｆＮｏｔｗｅｔＮｏｒａｎｉｅｓｔ（ｔｒｌｃｅｃ）ｍｌＵｖｒｉｙＮａｕａｉｎｅＳ
ｄｉｆｒｎｔａｑａｉｎｗｉｈｄｉｃｎｔｎｏｅｍｓｉｎｃｐａｅｒｂｔｉｄｆｅｅｉｌｅｕｔｏｔｓｏｉｕｓｔｒｎＢａａｈｓｃｓａｅｏａｎｅ．
ｒｓｌｉ；ｎｏｏｔｒｔｖｅｈｎｑＫｅｒｓ：ｉｃｅｓｎｅａｏｙｗｏｄｎｒａｉｇｏｐｒｔｒ；ｆｘｄｐｎｔｕ —ｏｗｅｏｕｔｏｎｓｍｏｔｎｅｉｅａｉｅｔｃｉｕｅｉｅｏｉ；ｐｌ
近年来，非线性常微分方程周期边值问题解的
一
存在性、唯一性和多解性一直是微分方程领域非常引人关注的问题Ｌ］１，但现有文献大都要求非线性
项ｆｔ连续．本文在Ｂｎｃ（，）ａａｈ空间中，就非线性项ｆ（，在较弱的连续性条件下，利用上下解方ｔ）法与增算子不动点定理，讨论二阶非线性常微分方程周期边值问题ｆ一（）一ｆｔ，ｔＪ一［，丁， … ￡（，） ∈ Ｏ２ｃ］

Banach空间中二阶脉冲微分方程多个正解的存在性

Banach空间中二阶脉冲微分方程多个正解的存在性陈旭;仲秋艳【摘要】By using the fixed point index theory of completely continuous operators,we investigate the existence of multiple positive solutions for the second order boundary value problem with integral boundary conditions of nonlinear impulsive differential equations on an infinite interval in a Banach space.%利用全连续算子的不动点指数理论,研究了Banach空间中无穷区间上带有积分边值条件的二阶非线性脉冲微分方程多个解的存在性.【期刊名称】《聊城大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(024)004【总页数】9页(P55-63)【关键词】脉冲微分方程;正解;全连续算子;非紧性测度【作者】陈旭;仲秋艳【作者单位】聊城大学数学科学学院,山东聊城252059;聊城大学数学科学学院,山东聊城252059【正文语种】中文【中图分类】O175.81 IntroductionThe theory of impulsive differential equations describes processes whichexperience a sudden change of their state at certain moments.Processes with such a character arise naturally and often，especially in phenomena studied in physics，chemical technology，population dynamics，economics and biotechnology.The theory of impulsive differential equations has been emerging as an important of investigation in recent years［1－3］.Very recently，by using the fixed point index theory of completely continuous operators，Guo［6］obtained the existence of multiple positive solutions for a class of nth－order nonlinear impulsive differential equations in a Banach space.Motivated by Guo＇s work，in this paper，we shall use the cone theory and the fixed point index theory to investigate the multiple positive solutions for a class of second－order nonlinear impulsive differential equations in a Banach space.Let Ebe a real Banach space and Pbe a cone inwhich defined a partial ordering in Eby x≤yif and only if y－x∈p.Pis said to be normal if there exists a positive constant Nsuchthatθ≤x≤yimplies‖x‖≤N‖y‖.whereθdenotes the zero element of E，and the smallest Nis called the normal constant of P（it is clear，N≥1）.Pis called solid if its interior Pis nonempty.If x≤yand x≠y，we write x＜y.If Pis solid and y－x∈p。

Banach空间中非线性积分微分方程周期边值问题的一种拟上下解法

ｉｅｕａｉｙａｓｎｈｅｈｏｆＬ・ｕａｉｕｐｒａｄｌｗｅｏｕｔｏｎｎｄｔｘｅｎｑｌｔｎｄｕｉｇｔｅｍｔｄｏ。ｑｓ・ｐｅｎｏｒｓｌｉｓａｈｅｍｉｄｍｏｎｔｅｉｅａｉｅ。ｏｏｎｔｒｔｖｔｃｉｕｅＭｏｅｖｒｔｅｅｒｓｉｔｔｒｔｖｅｓｑｎｅｏｒｘｉｔｏｎｓｌｔｏｓｇｉｅ．ｅｈｎｑ．ｒｏｅ，ｈｒｏｒｅｔｍａｅｏｆｉｅａｉｅｕｅｃｆｐｏｍａｉｏｕｉｎｓｉｖｎＫｅｒｓ：ｉｔｇｒｄｉｆｒｎｔａｑｔｏｙｗｏｄｎｅｏ— ｆｅｅｉｌｅｕａｉｎ；Ｌ— ｕａｉｕｅｎｏｗｅｏｕｔｏｑｓ — ｐｐｒａｄｌｒｓｌｉｎ；ｍｉｅｏｔｎｅｉｅａｉｅｘｄｍｎｏｏｔｒｔｖ
非线性积分微分方程周期边值问题（Ｂ）ＰＶＰ
・
ｌｅｒ — ｉｔｒｎｉｌｅａｌｎｉｎｃｐｃｓｎｔｇｏｄｔｅｔａｑｕｔｏｎＢａａｈｓａｅｅ
ＬＩＸｉｎｇｆｎａ —ｅｇ
（ｐｒｍｅｔｏａｈｍａｉｓＬｎｄｎｉｅｓｔＱｉｇａｇ７５０ＤｅａｔｎｆＭｔｅｔ，ｏｇｏｇＵｎｖｒｉｃｙ，ｎｙｎ４００，Ｇａｓ，Ｃｈｎ）ｎｕｉａ
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ＡｂｔａｔＴｈｘｓｅｃｎｎｑｅｅｓｏｏｕｉｎｏｅｉｄｃｂｕｄｒａｕｒｂｅｆｎｎｉｅｒｓｒｃ：ｅｅｉｔｎｅａｄｕｉｕｎｓｆｓｌｔｏｓｆｒｐｒｏｉｏｎａｙｖｌｅｐｏｌｍｓｏｏｌａｎｉｔｇｏｄｆｅｅｔｌｅｕｔｎｎＢｎｃｐｃｓａｅｉｖｓｉａｅ，ｂｓａｌｈｎｉｅｅｔｌｉｔｇａｎｅｒ — ｉｆｒｎｉｑａｉｓｉａａｈｓａｅｒｎｅｔｇｔｄａｏｙｅｔｂｉｉｇａｄｆｒｎｉ —ｎｅｒｌｓｆａ

Banach空间分数阶微分方程边值问题的一种拟上下解方法

Ｂａｎａｃｈ空问分数阶微分方程边值问题的种拟上下解方法
一
ห้องสมุดไป่ตู้
李永祥，梁秋燕
（西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州７３００７０）
摘要：考虑有序Ｂａｎａｃｈ空间Ｅ中分数阶微分方程边值问题
ＬＩＹｏｎｇ — ｘｉａｎｇ，ＬＩＡＮＧＱｉｕ — ｙａｎ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＮｏｒｔｈｗｅｓｔＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ７３００７０，Ｇａｎｓｕ，Ｃｈｉｎａ）
第４９卷２０１３年第５期
Ｖｏ１．４９２Ｏ１３Ｎｏ．５
西
北
师
范
大
学
学
报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮｏｒｔｈｗｅｓｔＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）
ｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｆｒａｃｔｉｏｎａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｕｎｄｅｒｍｏｒｅｇｅｎｅｒａｌｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙａｎｄｎｏｎｃｏｍｐａｃｔｎｅｓｓｍｅａｓｕｒｅ，ｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｍｏｎｏｔｏｎｅｉｔｅｒａｔｉｏｎｓｃｈｅｍｅｗｉｔｈＬ— ｑｕａｓｉ — ｕｐｐｅｒａｎｄｌｏｗｅｒｓｏｌｕｔｉｏｎｓ，ｔｈｅｍｉｎｉｍｕｍａｎｄｍａｘｉｍｕｍＬ— ｑｕａｓｉ — ｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｓａｒｅｄｅｒｉｖｅｄａｎｄｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆ

二阶变系数常微分方程Neumann边值问题的正解

[ 1]
在 a( t) = M 为常数时, 获
[ 2 3]
得了 BVP ( 1) 在超线性或次线性增长条件下至少有 1 个正解的存在性定理. Sun 等在 a( t ) = M 为常数时, 利用 Krasnoselskii 不动点定理获得了 BVP ( 1) 至少有 2 个正解的存在性定理 ; 在 a( t ) = M 为常数时, 利用 Leg gett Willians 不动点定理获得了 BVP( 1) 至少有 3 个正解的存在性定理. 但这些结论都是在 a( t ) = M 为常数时获得的 , 并且不允许非线性项 f ( t, u) 有奇性 . 本文将在非常一般的情况下 , 利用锥上的不动点指数理论证明 BVP( 1) 至少有 1 个正解的存在性定理 , 即定理 1. 该定理表明只要非线性项 f ( t , u) 在其定义域的某些有界集合上的增长速度是适当的, 则 BVP( 1) 必然具有至少 n 个正解 , 其中 n 为任意
a( t ) u 0 ( t ) + f ( t, u 0 ( t ) ) ) , u0 ' ( 0) = u 0 ( ' 1) = 0. 由 u0 !K b 1 可得 0< b1 =
∃ u0 ∃ ∀ u0 ( t ) ∀ ∃ I.
u0 ∃ b1 , 由条件( C1 ) , 有 f ( t , u0 ( t) ) < a( t) u0 ( t) , t ( 1) = 0, 可得将方程( 5) 两边从 0 到 1 积分并注意到 u 0 ' ( 0) = u '0
!K r , 0< ∀∀ 1, 则 i( A , K r , K ) = 1.
%
1
G( t , s) d s = 0

Banach空间二阶积分-微分方程初值问题的唯一解

维普资讯
第２卷第６４期
２０年１月０７２
工
程
数
学
学
报
Ｖ１２ｏ６ｏ４．．Ｎ
Ｄｅ・２０ｃ０７
ＣＨＩＮＥＳＪＥＯＵＲＮＡＬＯＦＥＮＧＩＮＥＥＲＩＧＡＴＨＥＭＡＴＩＮＭＣＳ
摘要：文在～般Ｂｎｃ本ａａｈ空间中利用半序方法和一个新的比较结果，研究了二阶积分一微分方程初值
问题的唯一解。仅使用了一个上解或下解，在比较广泛的上控制条件下得到了显形式表达的逼近
解的迭代序列及误差估计，本文没有使用任何紧性条件，改进并推广了最近的一些结果。关键词：积分一微分方程；唯一解；单调迭代方法；Ｂｎｃａａｈ空间
为一Ｂｎｃａａｈ空间。令Ｐ＝｛ｃｕ∈ｖｉＥｌ（ ≥０ｔ）ｉ】ｔ，ｕ）， ∈ ，则易知Ｐ是ｖｉＥ中的一ｃｉ】，个锥；显然，当Ｐ是Ｅ中的正规锥时，Ｐｃ是ｖｉＥ中的正规锥，且正规常数也为 Ⅳ 。ｉ】，０
记Ｅ为Ｅ的共轭空间，Ｐ为Ｐ的共轭锥。
２预备知识和引理
设（ｌ１是一实ＢｎｃＥ，．１Ｊ）ａａｈ空间，Ｐ是Ｅ中的一个锥，于是Ｐ在Ｅ中诱导了半序： ≤ ｙ甘ｙ ∈Ｐ；称Ｐ是一个正规锥，若存在常数Ｎ＞０ — ，对任给，Ｙ∈Ｅ，当０Ｙ时，
有ｌｇｌｌＪｌｌｙ；称使前式成立的最小正常数为锥Ｐ的正规常数，设为 Ⅳ 。令ＶＩＥ＝０Ｉ】，｛Ｕ：－ｕｌＩ－连续，＋Ｅ，ｃｆＥ１＝｛Ｕ：Ｉ— Ｅ连续可微，１＝｛Ｕ：Ｉ— ｕｌ，ｃｆＥｕｌＥ二阶连续可微）。对Ｕ＝ｕｔ ∈ｖｉＥ，令ｌｌ＝（）ｉ】，ｌｌｌ（ｌｕ。ｌｔｌｕ），则易知ｖｉＥ在ｌｌ下ｉ】１ｌ，・。

Banach空间含间断项的二阶非线性脉冲微分方程终值问题

ｗｉｔｈＤｉｓｃｏｎｉｎｔｕｏｕｓＴｅｒｍｓｉｎＢａｇｓｈｅｎｇＤａｉＢｉｎｘｉａｎｇ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＣｅｎｔｒａｌＳｏｕｔｈＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ，Ｈｕｎａｎ４１００７５，Ｃｈｉｎａ）
ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｍｐｕｌｓｉｖｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａ［ｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｔｅｍｓｒｉｎＢａｎａｃｈｓｐａｃｅｒｅａｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ，ａｎｄｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅ
国家自然科学基金（Ｎｏｌ１２７１３７１）资助项目收稿日期：２０１３年８月２５日
２
数学理论与应用
” （ｔ）＝ｔ，，），ｔ∈．，，ｔ ≠ｔＺｉｘＩＺｉｘＩ＝Ｉｋ（（ｔ）），ｋ＝１，２， …
一
（１）
＝Ｉｋ（ｘ（ｔ），（ｔｋ）），ｋ：１，２， …
，（ ∞）＝：
（ｏ。）＝
其中，： ∈ Ｅ，Ｊ＝［０， ∞），０＜ｔ１＜ｔ２＜ … ＜ｔ＾＜… ＜＋。。，ｋ＝１，２，・・：．，×ＥＸＥ－＋Ｅ，：ＥＥ，：ＥＸＥ— Ｅ，（不假定，厶，，连续），Ｉ＝（￡）一（ｔ一）．

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Ｂｎｃ问中二阶Ｎｕｎａａｈ空ｅｍａｎ边值问题的种拟上下解方法
一
杨和
（西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃兰州７０７）３００
摘
要：利用比较原理，通过构造Ｌ拟上下解单调迭代过程，在Ｌ拟上下解反向取定的情况下，研究了Ｂｎｃ一一ａａｈ空间
考虑Ｅ中非线性边值问题
厂 “（一厂（）“￡）￡￡）（￡，（， ∈ ）
１ｏ “（）一 “（Ｔ）一０。
— Ｅ连续．
ｆ１１
…
解的存在性，其中一［，，ｔｚ，） ×Ｅ×ＥＯＴ３厂（，Ｙ：
近年来，二阶非线性Ｎｅｍａｎ边值问题受到ｕｎ
ｏｄｒＮｅｍａｏｎｄｒａｕｏｌｍｓｉｎｃｐｃｒｅｕｎｎｂｕａｙｖｌｅｐｒｂｅｎＢａａｈｓａｅ
ＹＡＮＧｅＨ
（ｌｅｅｏａｈｍａｉｓａｎｏｍａｉｎＳｃｅｃＣｏｌｇｆＭｔｅｔｃｎｄＩｆｒｔｏｉｎｅ，ＮｏｒｈｗｅｔＮｏｍａｎｉｅｓｔｔｓｒｌＵｖｒｉｙ，Ｌａｈｕ７００７ｎｚｏ３０，Ｇａｕ，Ｃｈｎ）ｎｓｉａ
果都是当Ｅ— Ｉｑ时获得的，在抽象空间中关于
，Ｕ（）一『ｔ “ ￡，（），一Ｈ￡ｒ，（） “ ￡）（
ｌ
பைடு நூலகம்
中二阶Ｎｅｍａｎ边值问题ｕｎ
１ｏ “（）一 “（）一０Ｔ
解的存在性，获得了该问题解的存在唯一性定理，并给出了唯一解近似序列的误差估计．
关键词：二阶Ｎｅｍａｎ边值问题；Ｌ一上下解对；反向极大值原理ｕｎ拟
中图分类号：０１５１７．５
文献标识码：Ａ
文章编号：１０ —８２０）１０６００１９８Ｘ（０８０ — ０ —４０
● ｉ — ｒａ一＇ｏｒｓ１ ‘ ｅｏ一一ｕｔｏｏＴｈｅｍｅｈｄｏｕａｓｕｐｐｅｎｄｌｗｅｏｌｉｎｆｒｓｃｎｄｔｏｆｑ
件下讨论的（如文献［）４］，但如果（）拟上下解在反序条件下给出，单调迭代方法一般是无效的．例
如，考虑问题
，一（）一 “（）一ｃｓ，￡￡。￡
人们的广泛关注，详见文献［１～［３，但这些结］］
ＡｂｔａｔＵｓｎｔｃｍｐａｉｏｎｓｒｃ：ｉｇｈｅｏｒｓｐｒｎｉｌａｍｏｎｔｎｅｔｒｔｖｔｃｉｃｐｅｎｄｏｏｉｅａｉｅｅｈｎｉｅ，ｔｅｓｅｃｏｆｑｕｈｅｘｉｔｎｅｕｎｑｉｕｅｓｌｉｎｆｈｅｓｃｎｄｏｒｅｕｍａｎｂｎｄｒａｕｅｐｒｂｌｍｏｕｔｏｏｒｔｅｏｄｒＮｅｎｏｕａｙｖｌｏｅ
，一（）一ｆｔｕｔ，（），￡（，（）ｕｔ）
１０一Ｕ（ “（）ｐＴ）一０
ｉｎａｈｓｃｓｉｂｔｉｄ，ａｄｔｒｏｒｅｔｍａｅｏｆｉｅａｉｅｓｑｎｃｓｏｆｕｎｑｏｕｔｏｓａｓｖｎ，ｎＢａｃｐａｅｓｏａｎｅｎｈｅｅｒｓｉｔｔｒｔｖｅｕｅｅｉｕｅｓｌｉｎｉｌｏｇｉｅｗｈｅｅｔｒｂｌｍｓｈａｅＬ— ｕｓ— ｐｐｒａｄｌｒｈｅｐｏｅｖｑａｉｕｅｎｏｗｅｏｕｉｓｉｅｅｓｄｏｄｒｒｓｌｔｏｎｎｒｖｒｅｒｅ．Ｋｅｒｓｓｃｎｄｏｄｒｅｙｗｏｄ：ｅｏｒｅＮｕｍａｎｂｎｄｒａｕｏｅ；Ｌ — ａｉｕｅｎｄｌｅｓｌｉｎｓ；ａｔ — ｎｏｕａｙｖｌｅｐｒｂｌｍｑｕｓ — ｐｐｒａｏｗｒｏｕｔｏｎｉｍａｍｕｒｎｃｐｅｘｉｍｐｉｉｌ
维普资讯
西
６
北
师
范
大
学
学
报（自然科学版）
第４４卷２００８年第１期
Ｖｏ１４２０Ｎｏ．１．４０８
ＪｕｎｌｆＮｏｔｗｅｔＮｏｍａｉｅｓｔ（ｔｒｌｃｅｃ）ｏｒａｏｒｈｓｒｌＵｎｖｒｉｙＮａｕａｉｎｅＳ
设Ｅ为Ｂｎｃａａｈ空间，其正元锥Ｐ为正规锥，
Ｎｅｍａｎ边值问题的结果却并不多见．在抽象空ｕｎ间中研究问题（１），可以采用拓扑度或不动点方法、（）拟上下解单调迭代方法等．在通常情况下，（上下解单调迭代方法是在（）拟）拟上下解正常序条