距离空间 泛函分析第四章习题第一部分(1-18)

第四章习题第一部分(1-18)

1. 在 1中令ρ1(x , y ) = (x - y )2，ρ2(x , y ) = | x - y |1/2，，问ρ1, ρ2是否为 1上的距离？

[解] 显然ρ1, ρ2满足距离空间定义中的非负性和对称性．

但ρ1不满足三角不等式：取点x = -1, y = 0, z = 1，则

ρ1(x , z ) = 4 > 2 = ρ1(x , y ) + ρ1(y , z )，所以ρ1不是 1上的距离。

而∀x , y , z ∈ 1，

ρ2(x , y ) = ||||2||||||||||y z z x y z z x y z z x y x -⋅-+-+-≤-+-≤- ||||)||||(2y z z x y z z x -+-=-+-==ρ2(x , z ) + ρ2(z , y )； 所以ρ2是 1上的距离．

2. 设(X , ρ)是距离空间，令ρ1(x , y ) = n y x ),(ρ，∀x , y ∈X ．证明(X , ρ1)也是距离空

间．

[证明] 显然ρ1满足距离空间定义中的非负性和对称性，

故只需证明ρ1满足三角不等式即可．

实际上∀x , y , z ∈X ，n n y z z x y x y x ),(),(),(),(1ρρρρ+≤=

n n n n n y z z x n z y x M y z z x )),(),((),,,(),(),(ρρρρ+=++≤

),(),(),(),(11y z z x y z z x n n ρρρρ+=+=．

3. 设(X , ρ)是距离空间，证明

| ρ(x , z ) - ρ(y , z ) | ≤ ρ(x , y )，∀x , y , z ∈X ；

| ρ(x , y ) - ρ(z , w ) | ≤ ρ(x , z ) + ρ(y , w )，∀x , y , z , w ∈X ．

[证明] ∀x , y , z , w ∈X ，由三角不等式有

- ρ(x , y ) ≤ ρ(x , z ) - ρ(y , z ) ≤ ρ(x , y )，故第一个不等式成立．

由第一个不等式可直接推出第二个不等式：

| ρ(x , y ) - ρ(z , w ) | ≤ | ρ(x , y ) - ρ(y , z ) | + | ρ(y , z ) - ρ(z , w ) | ≤ ρ(x , z ) + ρ(y , w )．

4. 用Cauchy 不等式证明(| ζ1 | + | ζ1 | + ... + | ζn | )2 ≤ n (| ζ1 |2 + | ζ1 |2 + ... + | ζn |2 )．

[证明] 在P159中的Cauchy 不等式中令a i = | ζi |，b i = 1，∀i = 1, 2, ..., n 即可．

5. 用图形表示C [a , b ]上的S (x 0, 1)．

[注] 我不明白此题意义，建议不做．

6. 设(X , d )是距离空间，A ⊆ X ，int(A )表示A 的全体内点所组成的集合．证明int(A )

是开集．

[证明] 若A = ∅，则int(A ) = ∅，结论显然成立．

若A ≠ ∅，则∀x ∈ A ，∃r > 0使得S (x , r ) ⊆ A ．

对∀y ∈ S (x , r )，令s = r - d (x , y )，则s > 0，并且S (y , s ) ⊆ S (x , r ) ⊆ A ；

所以y ∈ int(A )．故S (x , r ) ⊆ int(A )，从而int(A )是开集．

7. 设(X , d )是距离空间，A ⊆ X ，A ≠ ∅．证明：A 是开集当且仅当A 是开球的并．

[证明] 若A 是开球的并，由于开球是开集，所以A 是开集．

若A 是开集，∀x ∈A ，存在r (x ) > 0，使得S (x , r (x )) ⊆ A ．

显然A = ⋂x ∈A S (x , r (x ))．

8. 举例说明对于一般的距离空间X ，并不是总有),(),(r x S r x S =，∀x ∈X ，r > 0．

[例] 设X = {a , b }，定义d : X ⨯ X → 为d (a , a ) = d (b , b ) = 0，d (a , b ) = 1． 则(X , d )是距离空间．

当r = 1时，不论x 为a 还是b ，总有),(}{),(r x S X x r x S =≠=．

9. 设(X , d )是距离空间，X B A ⊆,．证明：B A B A ⋃=⋃，B A B A ⋂⊆⋂．

[证明] 由于A A ⊆，B B ⊆，故B A B A ⋃⊆⋃． 由于A 和B 都是闭集，所以B A ⋃也是闭集，所以B A B A ⋃⊆⋃．

另一方面，由B A B A ⋃⊆,，得B A B A ⋃⊆,，所以B A B A ⋃⊆⋃； 这样就证明了第一个等式．

由B A B A ,⊆⋂得B A B A ,⊆⋂，所以B A B A ⋂⊆⋂。

10. 证明：距离空间中的闭集必为可列个开集的交，开集必为可列个闭集的并．

[证明] 由开集与闭集的关系，实际上我们只需证明第一部分即可．

设(X , d )是距离空间，A ⊆ X ，A 是闭集．

若A = ∅则结论显然成立，下面设A ≠ ∅．

∀n ∈ +，定义A n = ⋂x ∈A S (x , 1/n )，则A n 是开集，且A ⊆ A n ．因此A ⊆⋃n A n ． 若x ∉ A ，则由于A 是闭集，∃N ∈ +，使得S (x , 1/N )⋃ A = ∅；

即x ∉ A N ，，所以x ∉⋃n A n ．这样就证明了A = ⋃n A n ．

因此距离空间中的闭集必为可列个开集的交．

11. 设(X , d )是距离空间，}{n x 是基本列，且有收敛子列x x k n →．证明x x n →．

[证明] 0>∀ε，由于}{n x 是基本列，存在自然数N ，当N n m >,时2),(ε时，N n k >且2),(ε<

x x d k n ． 当N n >时，因N n K >+1，故2),(1ε<+K n n x x d ，2),(1ε<+x x d K n ，从而ε<),(x x d n ．

12. 设在非空集合X 上定义了两种距离d 和1d ，且存在正数a 和b ，使得对任意

的x , y ∈X 总有a d 1(x , y ) ≤ d (x , y ) ≤ b d 1(x , y )．证明：在距离空间(X , d )和(X , d 1)中，基本列与收敛点列是共同的．并举出这种空间的例子．

[证明] 设{ x n }是(X , d )中的基本列，则

对∀ε > 0，∃N ∈ +，当m , n > N 时d (x m , x n ) < a ε．

此时有d 1(x m , x n ) ≤ d (x m , x n )/a < a ε /a = ε，所以{ x n }也是(X , d 1)中的基本列． 相反方向的证明是类似的．关于收敛点列的证明与关于基本列的证明类似． 一个简单的例子就是在至少两个点的距离空间(X , d )中定义新的距离d 1， 使得d 1 = 2d ．

13. 设X 是正整数集合，令d (x , y ) = | x – y |，，证明(X , d )是完备距离空间．