泛函分析复习题
泛函分析考试题型及答案
泛函分析考试题型及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设函数空间E为所有连续函数的集合，定义泛函F(u)=∫₀¹u(x)dx，则F(u)是线性的。
A. 正确B. 错误答案：A2. 每一个线性泛函都可以表示为一个内积。
A. 正确B. 错误答案：B3. 泛函分析中的“泛函”一词指的是函数的函数。
A. 正确B. 错误答案：A4. 弱收敛和强收敛是等价的。
A. 正确B. 错误答案：B5. 紧算子总是有界算子。
A. 正确B. 错误答案：A6. 每一个闭算子都是有界的。
A. 正确B. 错误答案：B7. 每一个有界线性算子都是紧算子。
A. 正确B. 错误答案：B8. 每一个线性泛函都可以用Riesz表示定理表示。
A. 正确B. 错误答案：A9. 每一个线性算子都可以分解为一个紧算子和一个有界算子的和。
A. 正确B. 错误答案：B10. 每一个线性算子都可以分解为一个有界算子和一个紧算子的和。
A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设X是赋范线性空间，如果对于X中的每一个序列{x_n}，都有‖x_n‖→0当且仅当x_n→0，则称X是______空间。
答案：完备2. 设T是线性算子，如果T(X)是X的闭子空间，则称T是______算子。
答案：闭3. 设E是Hilbert空间，如果对于每一个x∈E，都有∥Tx∥≥∥x∥，则称T是______算子。
答案：正4. 设E是Banach空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑‖x_n‖<∞当且仅当∑x_n收敛，则称E是______空间。
答案：自反5. 设E是线性空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑x_n收敛当且仅当∑‖x_n‖<∞，则称E是______空间。
答案：序列完备三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述Hahn-Banach定理的内容。
答案：Hahn-Banach定理指出，如果X是一个赋范线性空间，p是X 的一个线性子空间，f是p上的一个线性泛函，并且存在一个常数M使得对于所有x∈p，有|f(x)|≤M‖x‖，则存在X上的一个线性泛函F，使得F|p=f，并且对于所有x∈X，有|F(x)|≤M‖x‖。
泛函分析期中复习题
|K(t, s, ω1(s)) − K(t, s, ω2(s))| ≤ k||ω1 − ω2||.
证明当 |λ| 足够小时, 此方程存在唯一解 x0 ∈ C[a, b].
5. 设 {aij}(i, j = 1, 2, · · · , n) 是一组实数, 满足条件
∑n (aij − δij)2 < 1,
∫1
∫1
1
1
∥x∥1 = ( |x(t)|dt) 2 , ∥x∥2 = ( (1 + t)|x(t)|dt) 2 .
0
0
求证 ∥ · ∥1 和 ∥ · ∥2 是 C[0, 1] 中两个等价的范数.
七. Hölder 不等式和 Minkowski 不等式.
1. 判断正误.
(1) 若 1 ≤ p ≤ q, 则 lp ⊂ lq. (
∑k ∥x∥ = max x(i)(t) ,
a≤t≤b i=0
其中 x(0)(t) 表示 x(t), 求证 Ck[a, b] 成为赋范空间.
4. 设 k 是非负整数, 证明 [a, b] 上次数不超过 k 的多项式全体 Pk[a, b]
是 C[a, b] 的闭子空间.
5. 对 x(t) ∈ C[0, 1], 令
度量.
二. 可分性.
1. 判断正误.
(1) 连续函数空间 C[a, b] 是可分的. (
)
(2) [a, b] 上的多项式函数空间 P [a, b] 在度量 d(x(t), y(t)) = maxt∈[a,b] |x(t)−
y(t)| 下可分. (
)
2. 证明: lp(1 ≤ p < ∞) 是可分空间.
.
(2) 对于每个有界序列 (αn), 定义线性算子 T : lp → lp 为
泛函分析(含答案)
山东师范大学试题（时间：120分钟 共100分）课程编号： 4081331 课程名称：数学分析方法 适用年级： 2004学制: 四 适用专业：数学与应用数学 试题类别： 补考考生注意事项1、全题三个大题，22个小题。
判断正确（√）与错误（×）（本题10个小题，每题3分，共30分）：1、 （ ）距离空间X 中的序列{}n x 收敛于X x ∈*的充要条件是{}n x 的任意子列收敛于*x ；t P311 22、 （ ）任一离散空间必是完备的；t 311 93、 （ ）全有界集不一定可分；f 312 214、 （ ）相对紧集的闭包是紧集； t 313 345、 （ ）完备距离空间的闭子空间可能是完备的；f 313 296、 （)X 是完备距离空间，闭X F F T ⊂→:，如果存在[)1,0∈α，使()()F y x y x Ty Tx ∈∀<,,,,ρρ，则 F x ∈∃*!使得**x Tx =；f 280 Th17、 （ ）有界数列空间m 不是可分的；t 292 7.6.5 8、 （ ）函相对紧集未必是有界的；f 294 系19、 （ ）紧有界线性算子T 连续⇔T 有界； t318 Th210、 （ ）在空间[)[]3,21,0 =X ，()y x y x -=,ρ中，[)1,0=F 是相对紧集。
f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n 11不收敛（本题共五个小题，每小题14分，共70分）：1、证明：连续函数空间[]b a C ,在范数()x f f bx a ≤≤=max 下构成一Banach 空间。
证1 显然[]b a C ,为一线性空间；2 ()()()00max 0;0max ≡⇔=⇔=≥=≤≤≤≤x f x f f x f f bx a bx a ；()()f x f x f f bx a bx a αααα===≤≤≤≤max max()()()()g f x g x f x g x f g f bx a bx a bx a +=+≤+=+≤≤≤≤≤≤max max max因而[]b a C ,为一赋范线性空间3 下证[]b a C ,的完备性设{}n f 是[]b a C ,的一基本列，及0>∀ε，0>∃N ，使得N n m >,时，有()ερ<-=n m n m f f f f ,。
泛函分析期末试题及答案
泛函分析期末试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是泛函分析的主要研究对象？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 点集答案：D2. 泛函是指将一个向量空间的元素映射到一个标量的函数。
以下哪个选项是泛函的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 函数空间的对偶空间答案：C3. 在泛函分析中，范数是一种度量向量空间中向量大小的方法。
以下哪个选项是范数的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 函数空间的对偶范数答案：B4. 下列哪个不是泛函分析中的基本定理？A. 嵌入定理B. 开铃定理C. Hahn-Banach定理D. Banach-Steinhaus定理答案：B5. 泛函分析中的内积是指满足一定条件的映射。
以下哪个选项是内积的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 内积空间答案：D二、填空题1. 完成下列范数的定义：范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
2. 填写完整的Hahn-Banach定理的表述：设X是一个实或复数的线性空间，Y是X的一个线性子空间，f是定义在Y上的线性泛函，对于所有的y∈Y，有f(y) ≤ p(y)，其中p是X上的一个次线性泛函，且满足p(y) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，则存在一个定义在整个X上的线性泛函F，满足F(x) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，并且在Y上，F和f的限制是相等的。
三、计算题1. 对于给定的函数空间C[0,1]，计算函数f(x) = x^2在C[0,1]上的范数。
解答：根据范数的定义，范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
(完整word版)理工大泛函分析复习题
一、（10分）设(,)d x y 为空间X 上的距离。
证明(,)(,)1(,)d x y d x y d x y =+ 也是X 上的距离。
1、 求证 为 空间。
（其中 为 空间, 为 空间）2、 S 是由一切序列 组成的集合, 在S 中定义距离为3、 , 求证S 是一个完备的距离空间。
4、 Hilbert 空间X 中的正交投影算子为线性有界算子。
5、 附加题开映射定理( ) 设 都是 空间, 若 是一个满射, 则 是开映射。
Hahn —Banach 延拓定理( ) 设 是 空间, 是 的线性子空间, 是定义在 上的有界线性泛函, 则在 上必有有界线性泛函 满足：()()()()()()()000012f x f x x X f f =∀∈=延拓条件；保范条件，其中00f 表示0f 在0X 上的范数。
闭图像定理( ) 设 都是 空间, 若 是 的闭线性算子, 并且 是闭的, 则 是连续的。
共鸣定理( ) 设 是 空间, 是 空间, 如果, 那么存在常数 , 使得()A M A W ≤∀∈。
五、（10分）在 上定义内积:（1）如果21(),6f x x x =-+求||||f ； （2）证明任一函数()g x a bx =+都正交于21()6f x x x =-+。
六、（10分）设 为Hilbert 空间 的闭子空间, 证明对每个 必存在唯一的 有0inf y Mx x x y ∈-=- 七、（15分）设 , 求证: 。
八、（15分）简答题1.试说明 与 中函数的差异；一、2.泛函分析也称无穷维分析, 为什么要研究无穷维分析, 试举例说明；3.Hilbert 空间是最接近有限维Euclid 空间的空间，请做简要说明。
二、在 上定义内积 ,若记 为 中奇函数全体, 为 中偶函数全体, 求证： 且。
三、设 为内积空间 中的一个稠密子集, 且 , 证明 。
在 中赋予距离 问 是完备空间吗？ 为什么？设 若 是从 的算子, 计算 若 是从 的算子再求 。
泛函分析总复习
泛函分析总复习（按与课本先后顺序排列）1、设M 是n R 中的有界闭集，映射M M T →:满足),(),(y x Ty Tx ρρ<()y x M y x ≠∈∀,,。
求证T 在M 中存在唯一的不动点。
证明： 因为),(),(00x x Tx Tx ρρ<，所以0),(0),(00→⇒→Tx Tx x x ρρ。
再由三角不等式，得到),(),(),(),(0000Tx Tx x x Tx x Tx x ρρρρ+≤-。
由此可见，),()(Tx x x f defρ==在M 上连续。
因为M 是n R 中的有界闭集，所以Mx ∈∃0，使得),(m i n )(m i n )(),(000Tx x x f x f Tx x Mx Mx ρρ∈∈===。
如果0),(00=Tx x ρ，那么0x 就是不动点。
今假设0),(00>Tx x ρ。
根据假设，我们有),(min ),(),(00020Tx x Tx x x T Tx Mx ρρρ∈=<。
但是M x T Tx ∈020,，这与),(00Tx x ρ是最小值矛盾。
故0),(00=Tx x ρ，即存在不动点0x 。
不动点的唯一性是显然的。
事实上，如果存在两个不动点1x ，2x ，则从),(),(),(212121x x Tx Tx x x ρρρ<<即得矛盾。
2、对于积分方程)()()(1t y ds s x e t x s t =∈⎰-λ，其中]1,0[)(C t y ∈为一给定函数，λ为常数，1<λ，求证存在唯一解]1,0[)(C t x ∈。
证明： 考虑由)()()(1t y ds s x e t x s t =∈⎰-λ),()()(10t y e ds s x e t x e tst---=-⇒⎰λ),()(),()(t y e t t x e t z t t def--===ζ则原方程等价于ds s z t t z ⎰+=1)()()(λζ。
泛函分析习题
泛函分析复习资料一、判断题（每小题4分，共20分）1、设X 是线性赋范空间，X 中的单位球是列紧集，则X 必为有限维。
( )2、 距离空间中的列紧集都是可分的。
( )3、 若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。
( )4、 任何一个Hilbert 空间都有正交基。
( )5、设X 是线性赋范空间，T 是X X 的有界线性算子，若T 既是单射又是满射，则T 有逆算子。
( )二、选择题（每小题5分，共25分）1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）.A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty TxD.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）. A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤3、下列关于距离空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）.A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列4、巴拿赫空间X的子集空间Y为完备的充要条件是（）. A．集X是开的 B.集Y是开的C.集X是闭的D.集Y是闭的5、设(1)pl p<<+∞的共轭空间为q l，则有11p q+的值为（）.A．1- B.12C.1 D.12-三、填空题（每小题5分，共25分）1、距离空间中的每一个收敛点列都是（）。
2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。
3、1l的共轭空间是（）。
4、设X按内积空间<x,y>成为内积空间，则对于X中任意向量x,y 成立不等式（）当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。
5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是（）。
泛函分析试题及答案
泛函分析试题及答案一、选择题1. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数对于输入变量的敏感程度？A. 泛函B. 导数C. 凸函数D. 可测函数答案：B. 导数2. 设X和Y是两个Banach空间，f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是可逆的B. f是连续的C. f是紧致的D. f是自共轭的答案：B. f是连续的3. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数在每个点上的局部模式与全局模式之间的一致性？A. 可微性B. 凸性C. 全纯性D. 一致连续性答案：B. 凸性4. 设X和Y是两个赋范空间，f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤C||x||B. 对于每个有界集A ⊂ X，f(A)是有界集C. f是连续的D. f是满射答案：A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤ C||x||二、填空题1. 在Hilbert空间中，内积运算满足线性性和_____________性。
答案：共轭对称性2. 设X是一个有界完备度量空间，那么X是一个____________空间。
答案：Banach空间3. 在泛函分析中，将一个函数的导数定义为其_____________。
答案：弱导数4. 设X是一个线性空间，D是X上的一个有界线性算子。
如果对于所有x和y都有⟨Dx, y⟩ = ⟨x, Dy⟩，那么D被称为______________。
答案：自伴算子三、解答题1. 请简要说明什么是范数，并给出一些范数的例子。
范数是定义在一个线性空间上的一种函数，用于衡量该空间中的向量的大小。
它满足以下三个性质：- 非负性：对于任意向量x，其范数必须大于等于0，即||x|| ≥ 0，并且当且仅当x为零向量时，范数等于0。
- 齐次性：对于任意向量x和任意实数α，有||αx|| = |α| ||x||，其中|α|表示α的绝对值。
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泛函分析期末复习题（2005-2006年度）
（1）所有n
n 矩阵可以构成一个线性空间。
试问这个线性空间中的零元素是什么？
（2）什么是线性空间的子空间？子空间是否一定包含零元素？为什么？
（3）什么是线性流形？（4）什么是线性空间中的凸集？
（5）如果一个度量能够成为一个线性空间上定义的距离，那么这个度量必须满足什么条件？试给出几个在n维欧几里德空间上常用的距离定义
（6）距离空间)
X上的收敛是如何定义的？
(d
,
（7）线性空间上定义的范数必须满足哪些条件？（8）什么是巴拿赫空间？赋范空间中的基本列一定收敛吗？（9）有限维的线性赋范空间都是巴拿赫空间吗？
（10）什么是希尔伯特空间？
（11）),(2b
L空间是如何构成的？在怎样的内积定义下其可以成为a
一个希尔伯特空间？（12）什么是算子？为什么要求算子T的定义域)
D是一个子空
(T
间？（13）算子的范数是如何定义的？从直观角度谈谈对算子范数定义
的理解。
（14） 线性算子的零空间一定是值域空间中的子空间吗？
（15） 什么是有界算子？举一个无界算子的例子。
（16） 算子的强收敛是如何定义的？
（17） 设X 为一个线性赋范空间，而Y 为一个Banach 空间。
那么从
X 到Y 的线性算子所构成的空间),(Y X L 是否构成一个Banach 空间？
（18） 什么是压缩映像原理？它在力学中有什么重要应用？
（19） 什么是泛函？什么是泛函的范数？
（20） 什么是线性赋泛空间X 的共轭空间？线性赋泛空间X 的共轭
空间是否总是完备的？
（21） 什么是弱收敛？弱收敛与强收敛之间是什么关系？
（22） 什么是的Gateaux 微分？
（23） 什么是泛函的（一阶）变分？它是如何定义的？
（24） 形如dt t x t x t g t x J b
a ))(),(,())(('⎰=的泛函，其对应的Euler-Lagrange 方程是什么？
（25） 什么是结构的应变能密度？什么是余能密度？二者关系如
何？试画图说明。
（26）有限元方法的本质是什么？瑞兹＋具有局部紧支集的分片插值函数
（27）什么是最小势能原理？最小势能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得势能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的位移场。
（28）什么是最小余能原理？最小余能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的应力场。
（29）什么是Hellinger-Reissner混合变分原理？推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数和应力函数对应结构真实的位移场和应力场。