[学习]泛函分析习题答案第十章习题答案

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《实变函数和泛函分析基础》第二版-程其襄--第十章答案-10§1-7-答案

第十章巴拿赫(Banach)空间中的基本定理1. 设X 是赋范线性空间，12,,,k x x x 是X 中K 个线性无关向量，12,,,k ααα是一组数，证明：在X 上存在满足下列两条件：（1）(),1,2,,v v f x v k α==,(2) M f ≤ 的线性连续泛函f 的充要条件为：对任何数12,,,k t t t ，11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑都成立。

证明必要性。

若线性连续泛函f 满足（1）和（2），则1111()kkkkv vv v v vv vv v v v t f t x ft xMt xα=====≤≤∑∑∑∑充分性。

若对任意数12,,,k t t t ，有11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑。

令0X 为12,,,k x x x 张成的线性子空间。

对任意01kv vv t xX =∈∑，定义上线性泛函：0011:()kkv v v v v v f f t x t α===∑∑。

因0111()k kkv v v v v v v v v f t x t Mt x α====≤∑∑∑，故0f是有界的，且0f M ≤。

由泛函延拓定理，存在X 上的线性连续泛函f ，使f 限制在0X 上就是0f 。

f 显然满足条件（1）和（2）。

证毕。

2．设X 是赋范线性空间，Z 是X 的线性子空间，0x X ∈，又0(,)0d x Z >，证明存在'f X ∈，满足条件： 1）当x Z ∈时，()0f x =； 2）00()(,)f x d x Z = ；3）1f = 。

证明记0{,}M x y C y Z λλ=+∈∈。

在M 上定义泛函0f ：000()(,)f x y d x Z λλ+=，则以下三条件成立：1）当y Z ∈时，0()0f y =； 2）00()(,)f x d x Z =；3）0f 在M 上有界，且01Mf =。

其中3）可以这样证明：若0x y M λ+∈，则00000()(,)yf x y d x Z x x y λλλλλ+=≤+=+，所以01Mf ≤。

泛函分析答案

( X , ) 是第二纲集. 故有
14
第一步线索小结
进一步,由 T 的齐次性,
U (" ,r ) TB(" ,n)
U
("
,
r n
)
TB(" ,1)
取
=
r 3n
,即得U
(" ,3
)
TB(" ,1).
15
第二步证 TB(" ,1) U (" , ) .
即 y0 U (" , ), 要证 x0 B (" ,1) , 使得
§3 纲与开映象定理
3.1 纲与纲推理
与定义1.2.2 的稠密概念相联系，
引入疏集的概念.
定义2.3.1 设 ( X , ) 是一个度量
空间，集 E X ，称 E 是
疏的，如果 E 的内点在 X 内是
空的.或 E 不包含任一开球.
命题2.3.3 设 ( X , ) 是一度量空
间.为了 E X 是疏集必
( ) En0 B xn0 , rn0 =
矛盾.
3.2 开映象定理
设 X ,Y 都是 B 空间，算子 T 称
为是单射，是指 T 是1-1的，算子 T
称为是满射，是指 T ( X ) = Y .
如果 T 是一个单射，那么可以定义
T 1 ，它是线性的，但其
定义域却未必是全空间 Y .仅当它
还是一个满射时， T 1 才是 Y
下证 y0 Tw, y0 是 Tw 的内点. 事实上,
y0 Tw, x0 w, 使得 Tx0 = y0 .
因为 w 是开集, 所以 r > 0,
使得
B( x0,r ) W TB( x0,r ) Tw.

刘炳初等《泛函分析》第二版课后习题答案

刘炳初等《泛函分析》第二版课后习题答案习题二1.设(,)X 是赋范空间. 对于,,x y X ∈令10,,1,,x y d x y x y =⎧=⎨-+≠⎩证明：1d 是X 上的距离但不是由范数诱导的距离.证明：显然1d 满足距离公理1)、2). 若x y =，显然有111(,)0(,)(,)d x y d x z d z y =≤+；若x y ≠，则当,x z z y ≠≠时，111(,)112(,)(,)d x y x y x z z y x z z y d x z d z y =-+≤-+-+≤-+-+≤+；当,x z z y =≠时，1111(,)11(,)(,)(,)d x y x y z y d z y d x z d z y =-+=-+==+；当,x z z y ≠=时，1111(,)11(,)(,)(,)d x y x y x z d x z d x z d z y =-+=-+==+；因此，1(,)d x y 满足距离公理3).但10,,(,)1,,x d x x x θθθ=⎧=⎨+≠⎩显然不满足11(,)(,)d x d x αθαθ=，因此1d 不是由范数诱导的距离.2.在l ∞中，按坐标定义线性运算且对,k x l x ξ∞∈=定义sup n nx ξ=，证明l ∞是一个赋范空间.证明：显然这是一个范数.3.设M 是空间l ∞中除有穷个坐标之外为0的元之全体构成的子空间. 证明M 不是闭子空间.证明：令01111111,,,,,0,0,,1,,,,,2323n x x n n ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则显然我们有n x M ∈，且01110,0,,,,0()121n x x n n n n ⎛⎫-==→→∞ ⎪+++⎝⎭ ，但0x M ∉，因此M 不是l ∞得闭子空间.4.试举例说明，在赋范空间中，由1n n x ∞=<∞∑，一般地不能推出1n n x ∞=∑收敛.例：5. 设(,)X 是赋范空间，0X 是X 中的稠密子集，证明：对于每一x X ∈,存在{}0n x X ⊂，使得1n n x x ∞==∑，并且1n n x ∞=<∞∑.证明：取10x X ∈，使得112x x -<，则112x x ≤+；0X X = ，∴可取20x X ∈，使得12212x x x --<，则2121211122x x x x x x ≤--+-<+<；同理可取30x X ∈，使得123312x x x x ---<，则31231223111222x x x x x x x x ≤---+--<+<；继续此法，可得{}0n x X ⊂，使得112ni ni x x =-<∑，且21(2,3,)2nn x n -<= ，由此知1n n x x ∞==∑，并且1n n x ∞=<∞∑11112n n x ∞-=⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭∑.6. 设(,)X 是赋范空间，{}0X ≠，证明：X 是Banach 空间，当且仅当，X 中的单位球面{}:1S x X x =∈=是完备的.证明：必要性是显然的(S 为X 中闭集)，下证充分性.若S 是完备的，设{}n x 为X 中的Cauchy 列，由于m n m n x x x x -≤-，从而lim n n x →∞存在，不妨设lim n n x a →∞=. 若0a =，则显然0()n x n →→∞.若0a ≠，不妨设0n x ≠，则n n x S x ⎧⎫⎪⎪⊂⎨⎬⎪⎪⎩⎭，因为11()0m n n m m n n m n m nn m nm nm nx xx x x x x x x x x x x x x x x x -=-≤-+-→也即n n x x ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭为S 中的Cauchy 列，由S 的完备性，lim n n n x x →∞存在，不妨设limn n n x x S x →∞=∈，从而有1lim0n n n nn n x a ax ax x x x x x x a →∞-=-→-=，故 lim 0n n x ax →∞-=，即{}n x 收敛，从而证得X 是Banach 空间.7. 证明0c 是可分的Banach 空间. 证明：分以下三步来证明：1). 证明0c 是l ∞的线性子空间. 事实上收敛列必有界，从而显然0c l ∞∈，且设()()12120,,,,,,,,,n n x y c ξξξηηη==∈ ，则()1122,,,,n n x y αβαξβηαξβηαξβη+=+++ ，由于lim 0n x y αβ→∞+=，从而我们有0x y c αβ+∈，即0c 是l ∞的线性子空间.2). 证明0c 是l ∞的闭子空间. 事实上，设()()()()120,,,,,k k k k n x c ξξξ=∈()(0)(0)(0)012,,,,n x ξξξ= ，并且()(0)0sup 0()k k n n nx x k ξξ-=-→→∞，因此0ε∀>，1N ∃，使得当1k N >时，()(0)0sup 2k k n n nx x εξξ-=-<. 由于(0)()()(0)()1()2k k k n n n n n k N εξξξξξ≤+-<+>，又因0k x c ∈，()0()k n n ξ→→∞，故存在()1N N ≥，使得当n N >时恒有()2k n εξ<，从而(0)n ξε<，n N ∀>，即00x c ∈，由此知0c 是l ∞的闭子空间.3). 由于l ∞为Banach 空间，而0c 是l ∞的闭子空间，从而0c 是Banach 空间，下证0c 是可分的. 设M 为一切有限有理数列全体，即()12,,,,n n x M ξξξξ=∈⇔ 全为有理数，且存在x N ，使得当x n N >时，0n ξ=. 显然1n n M Q ∞= ，可知M 可数.()1200,,,,,n y c εηηη∀>=∈ ，由于0n η→，故存在N ，使得当n N >时，n ηε<. 对()12,,,N N R ηηη∈ ，存在()12,,,N N Q ξξξ∈ ，使得1sup n n n Nηξε≤≤-<，从而存在()012,,,,0,0,N x M ξξξ=∈ ，使得0y x ε-<，即M 在0c 中稠密. 综上可知0c 是可分的Banach 空间.8. 设(,)n n X 是一列赋范空间，{}(),1,2,n n n x x x X n =∈= 且满足条件1pkk x ∞=<∞∑，用X 表示所有x 的全体，按坐标定义线性运算构成的线性空间，在X 中定义11(1)ppkk x x p ∞=⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭∑，证明(,)X 是一个赋范空间.证明：只需证明是一个范数即可. 事实上，显然0x ≥，且0x =，即10pkk x ∞==∑，从而有0(1,2,)kkx k == ，又k X 是赋范空间，故(1,2,k x k θ== ，从而可得x θ=，即证明了范数公理的条件1)成立，而条件2)显然成立，下证条件3)成立. 设{}{}(),,,1,2,n n n n n x x y y x y X n ==∈= ，由离散情形的Minkowski 不等式，我们有111111ppppp p kk kk k k k x y x yx y x y ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+≤+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑,从而证得是一个范数，从而(,)X 是一个赋范空间.9. 证明：1) 离散情形的Hölder 不等式与Minkowski 不等式；2) ()1p l p ≥是可分的Banach 空间.证明：1). 首先证明离散情形的Hölder 不等式，即证明下列不等式成立：11111pqp q k k k k k k k ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，其中111,1p p q ≥+=. 令11,pqp q k kk k A B ξη∞∞====∑∑，由不等式pqa b ab p q ≤+可得11p qk k k k AB p A q Bξηξη≤+ 从而有1111111111pqpq pqk kk kkk k k k k k A B AB p A q Bpqp qξηξηξη--∞∞∞∞∞=====≤+=+=+=∑∑∑∑∑，所以11111pqp q k k k k k k k AB ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 由离散情形的Hölder 不等式，我们可以推导相应的Minkowski 不等式：111111pppp p p k k k k k k k ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑事实上，由Hölder 不等式，我们得到111111111(1)(1)1111111111,pp p k k k k kk k kk k k pqpqp q p p q p k k k k k k k k k k qp p p p p k k k k k k k ξηξξηηξηξξηηξηξηξη∞∞∞--===∞∞∞∞--====∞∞∞===+≤+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑由此即可得到111111pppp p p k k k k k k k ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑.2). 首先，由于(){}12,,,,,1,2,,n n i Q r r r r r Q i n ==∈= 为n R 中全体有理点集，它是n R 中稠密的可数集，因此n R 是可分空间.令(){}12,,,,;,,1,2,,n i M r r r r n N r Q i n ==∈∈= ，易知M 为p l 的可数子集，下证p M l =. 事实上，设()12,,,,,0,p n x l ξξξε=∈∀> 存在()N ε，使得12ppi i N εξ∞=+<∑，从而有()12,,,,0,N y r r r M =∈ ，使得111122p ppNpp p i i i pi i N x yr εεξξε∞==+⎛⎫⎛⎫-=-+<+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，因此p M l =，即()1p l p ≥是可分的Banach 空间.10. 证明任意线性空间中存在Hamel 基.证明：设E 是线性空间X 中的线性无关集，令集合M 为包含E 的所有线性无关集全体，在M 上定义偏序关系为''''⊂,显然M 的全序子集都有上界(所有集合的并集)，由Zorn 引理，M 有极大元，不妨设为B ,下证B 即为X 的Hamel 基，如若不然，则存在y X ∈，但y B ∉，即y 与B 中任何元素都线性无关，从而{}y B M ∈ ，这与B 的极大性矛盾.11. 设A 是线性空间X 中的子集. 证明：111():,01.nn n k k k k Co A x x X n x A αααα=⎧⎫=++∈∈≥=⎨⎬⎩⎭∑ 是任意自然数，且证明：若令S 表示上式右端，则A S ⊂而且S 是凸集，从而()Co A S ⊂. 反之，设F 是包含A 的任一凸集，那么(1,2,,)i x F i n ∈= ，从而1ni i i x F α=∈∑，即得S F ⊂，从而()S Co A ⊂.12. 设E 是直线上的Lebesgue 可测集，且mE <∞，用p 表示()(1)p L E p ≥的范数，∞ 表示()L E ∞的范数. 证明：对于每一()x L E ∞∈，lim pp xx ∞→∞=.证明：设x M ∞=，若0mE =或0M =，显然成立，下设0,0mE M ≠≠：i). 根据本性上确界的可达性，即存在0E E ⊂，使得00mE =，并且0\sup ()E E M x t =，所以0\\()d ()d d ppp pEE E E E x t t x t t M t M mE =≤=*⎰⎰⎰，所以()1ppx M mE ≤*. 因为当p →∞时，()11pmE →，即lim pp xM x ∞→∞≤=；ii). 对任意的0ε>，令{}1:()E t E x t M ε=∈>-，由上确界定义易知10mE >，从而11()d ()d ()p pp EE x t t x t t M mE ε≥≥-*⎰⎰，令p →∞，则lim pp xM ω→∞≥-，由ε的任意性，知lim pp xM →∞≥.从而lim pp xM x ∞→∞==.13. 设()11,X ，()22,X 是赋范空间，在乘积线性空间12X X ⨯中定义()1212112212,max ,z x x zx x =+=，其中()1212,,z X X z x x ∈⨯=.证明1z ，2z 是12X X ⨯上的等价范数.证明：显然2122z z z ≤≤，从而它们是等价范数.14．设X 是区间[],a b 上所有连续函数全体按通常方式定义线性运算所成的线性空间，对于x X ∈定义1sup ();()d ba a t bx x t x x t t ≤≤==⎰.证明：和1 是X 上两个不等价的范数.证明：显然和1 是X 上的两个范数，且1()x b a x ≤-，要证两个范数不等价，则只需证明不存在0c >，使得1x c x ≥，即证明存在[]C ,n x a b ∈，使得1n n x x →∞.令()()(),,2()2,,20,,n b aa n t a a t a nb a nbb ax t a b a t a b a n nb a a t b n-⎧+-≤≤+⎪⎪--⎪=--++≤≤+⎨-⎪⎪-+≤≤⎪⎩则()()12,,2n n b a b a x x b n-+==()()122n nx nx b b a b a =→∞-+.15. 设Banach 空间(,)X 具有Schauder 基{}n e ，用M 表示所有使得1k k k e ξ∞=∑在X中收敛的数列{}k ξ的全体，按通常方式定义线性运算构成的线性空间，对于每一{}k x M ξ=∈，定义11supnk knk x eξ==∑，证明(,)M 是Banach 空间.证明：首先易知1 是范数.设{}()m x M ∈是Cauchy 列，()()()()()12,,,,m m m m n x ξξξ=16. 设(,)X 是赋范空间，Y 是X 的子空间，对于x X ∈，令(),inf y Yd x Y x y δ∈==-.如果存在0y Y ∈，使得0x y δ-=，称0y 是x 的最佳逼近.1) 证明：如果Y 是X 的有穷维子空间，则对每一x X ∈，存在最佳逼近. 2) 试举例说明，当Y 不是有穷维空间时，1)的结论不成立. 3) 试举例说明，一般地，最佳逼近不惟一.4) 证明对于每一点x X ∈，x 关于子空间Y 的最佳逼近点集是凸集.证明：1).有下确界定义，0,n y Y ε∀>∃∈，使得n x y δδε≤-<+.因为Y 是有穷维子空间，从而存在子列{}{}k n n y y ⊂，使得0k n y y →，将上面不等式中的n 改为k n ，并令k →∞，便有0x y δδε≤-<+，由ε的任意性即可得到0x y δ-=，即0y 就是x 的最佳逼近元.2).例：在0c 空间中，令{}011:02n n nn n M x c ξξ∞∞==⎧⎫==∈=⎨⎬⎩⎭∑，则易证M 是0c 的闭子空间. 设()02,0,,0,x = ，下面说明对此0x ，M 中不存在最佳逼近元. 事实上，N m ∀∈，令()111,1,,1,0,0,2m m m x M -⎛⎫⎪=---∈ ⎪ ⎪⎝⎭个，则()00111(,)12m m m x x d x M →∞--=+⇒≤.下证0,1y M x y ∀∈->.用反证法.假设存在()12,,,,k y M ξξξ=∈ ，使得01x y -≤，则()0122,,,,k x y ξξξ-=--- ，011,2,12 1.k k x y ξξ⎧≤≥-≤⇒⎨-≤⎩又由()12211,21222kkk kkk k k ξξξξ∞∞==≤≥⇒≤<⇒<∑∑.这与121ξ-≤矛盾.所以0,1y M x y ∀∈->.两边取下确界，得到0(,)1d x M ≥，从而我们可以得到0(,)1d x M =，即在M 上找不到一点，使得该点是0x 的最佳逼近. 3).例：在2R 中，对()212,x x x R ∀=∈，定义范数12max(,)x x x =，并设()00,1x =,()11,0e =，a R ∈，则(){}01,1max ,1x ae a a -=-=，从而01min 1a Rx ae ∈-=，但最佳逼近元{}11a ae ≤不惟一.4).设M 为x 关于子空间Y 的最佳逼近点集，则对[]12,,0,1y y M λ∀∈∈，12(,)x y x y d x Y -=-=，从而()()()121212(1)(1)(1)(,)x y y x y x y x y x y d x Y λλλλλλ-+-=-+--≤-+--=又显然()12(1)(,)x y y d x Y λλ-+-≥，从而()12(1)(,)x y y d x Y λλ-+-=，即12(1)y y M λ+-∈，所以M 是凸集.17. 设(,)X 是赋范空间，如果对任意,,x y X x y ∈≠且1x y ==必有2x y +<，称(,)X 是严格凸赋范空间.1) 证明赋范空间(,)X 是严格凸的，当且仅当，对任意,x y X ∈，x y x y +=+必有(0)x y αα=>.2) 证明在严格凸赋范空间中，对于每一个x X ∈，x 关于任意子空间Y 的最佳逼近是惟一的.证明：1). 必要性. 设x y x y +=+，则11x y x y xy x y x y x x yy +=⇒+=+++，由严格凸性，x yc x y=，即c x x y y=，令c x yα=，即可得到x y α=.充分性.用反证法，如果存在,,x y X x y ∈≠且1x y ==，使得(1)1x y ββ+-=，即(1)(1)x y x y ββββ+-=+-，由假设，必存在α，使得(1)x y βαβ=-，又因为1x y ==，从而可得x y =，矛盾.2).用反证法.事实上，若(),0d x Y >,并有12(,)x y x y d x Y -=-=，则对[]0,1α∀∈，由严格凸性有()()()12121211(1)(1)(,)(,)(1)1(,)(,)x y y x y x y d x Y d x Y x y x y d x Y d x Y αααααα-+-=-+--⎛⎫⎛⎫--=+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()12(1)(,)x y y d x Y αα-+-<，这显然与(,)d x Y 的定义矛盾.但若(),0d x Y =，12,y y 是相应的最佳逼近元，则必有12y x y ==，从而最佳逼近元必是惟一的. 18．设(,)X 是赋范空间，如果对任意0ε>，存在0δ>，当x y ε-≥，1x y ==时必有2x y δ-≤-，称(,)X 是一致凸的. 证明： 1) 一致凸赋范空间必是严格凸的. 2) [],C a b 不是一致凸的. 3) []1,L a b 不是一致凸的.证明：设X 是一致凸的赋范空间，,,x y X x y ∈≠且1x y ==，则必存在00ε>，使得0x y ε-≥(若不然，对0ε∀>，都有x y x y ε-<⇒=，矛盾). 由一致凸性，对此00ε>，必存在0δ>，使得22x y δ-≤-<，从而X 是严格凸的. 2). 由1),只需证明[],C a b 不是严格凸的即可.以[]0,1C 为例.取()1,()x t y t t ≡= 都满足1x y ==，但2x y +=.从而不是严格凸的.3). 同理. 取()1,()2x t y t t ≡=，都满足1x y ==，但2x y +=.从而不是严格凸的.习题三1. 设1sup n n α≥<∞，在1l 上定义算子:T y Tx =，其中{}{},k k x y ξη==，k k k ηαξ=(1,2,)k = . 证明T 是1l 上的有界线性算子并且1sup n n T α≥=.证明：111,sup k k k k k k k k k k x ηαξηαξα∞∞≥====≤∑∑ ，()112,,,,,k x l ξξξ∀=∈()112,,,,k y l ηηη∴=∈ ，且1sup k k Tx x α≥≤ ，1sup k k T α≥∴≤.另一方面，由上确界定义，对任意的n ，存在k n ，使得11sup k n k k n αα≥>-. 取()010,0,,1,0,k n x = 第项为,则显然01x =，且00k n Tx T x T α=≤=，从而11sup k k T nα≥-<. 令n →∞，则有1sup k k T α≥≤. 所以1sup k k T α≥=.3. 证明Banach 空间X 是自反的，当且仅当*X 是自反的.证明：必要性. 设X 是自反的，:**()J X X J X →=为典型映射，现证*X 也自反. 任取****:x x J X =→ k ，显然**x X ∈. 因为()****()()(*)x Jx x x Jx x ==，及X 的自反性得()**R J X =，因此对任意的****x X ∈，()*******(*)x x x x =，由此知1****J x x =，其中1:****J X X →为典型映射，且()1***R J X =，从而*X 是自反的.充分性. 设*X 自反，假设X 不是自反的，即0()J X X =为**X 的真闭子空间(因为J 是X 到0X 上的等距同构映射，且X 完备)，由Hann —Banach 定理，存在0******x X ∈，满足0***1x =，且()**x J X ∀∈，()0*****0x x =. 因为()1****J X X =，故存在*0*x X ∈，使得********001001,()x x J x x ===，********001001,()x x J x x ===，因而对任意的****x X ∈，()****00(**)**x x x x =，但()()*****000()0,x x x x Jx x X ===∀∈，因此*0*x X θ=∈，这与*01x =矛盾，从而设X 是自反的. 20. 设X 是一致凸赋范空间，()0,1,2,n x x X n ∈= . 证明如果()0Wn x x n −−→→∞且()0n x x n →→∞，则()0n x x n →→∞.证明：不妨设00,n x x θ≠≠，用反证法. 为简单起见，设01n x x ==，且n x 不按范数收敛于0，那么可设00ε∃>，使得00n x x ε-≥，由空间的一致凸性，0δ∃>，使得02n x x δ+≤-. 由于0Wn x x −−→，故*f X ∀∈，且1f =有()()0n f x f x →，从而有()()002n f x x f x +→. 由于()002n n f x x f x x δ+≤+≤-及()()0001112sup sup lim22n n f fx f x f x x δ→∞==-==+≤知01x <，这与01x =矛盾，从而必有()0n x x n →→∞.22. 证明空间(1)pl p <<∞上的有界线性泛函的一般形式为()1k kk f x αξ∞==∑，其中{}pk x l ξ=∈，{}111qk y l p q α⎛⎫=∈+= ⎪⎝⎭并且11q k k f q α∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，()*p q l l =.证明：令()0,,0,1,0,n e = ，显然()12,,,,pn x l ξξξ∀=∈ ，有1i ii x eξ∞==∑. 设()1i i i f x ξη∞==∑，其中()12,,,,qn y l ηηη=∈ ，则由Hölder 不等式，我们可以得到 ()11111qpqpi i i i i i i f x y x ξηηξ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，从而可知()*pf l ∈，且f y ≤.反之，对任一()*p f l ∈，()()1,2,i i f e i η== ，()12,,,,n y ηηη= ，下证q y l ∈且()1i i i f x ξη∞==∑及f y =. 事实上，令11sgn nq p n ii i i x e l ηη-==∈∑，则()()111sgn nnq qn ii i i n i i f x f e f x ηηη-====≤∑∑. 由于()11111nnppp q q n ii i i x ηη-==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，因此()111,2,nqq i i fn η=⎛⎫≤= ⎪⎝⎭∑ ，令n →∞得11nqq i i y fη=⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭∑，令(),:*p q Tf y T l l =→，则y T f f =≤，从而y T f f ==. 又显然T 是线性算子，且为满射，故为()*p l 到q l 上的等距同构映射，从而()*p q l l =.习题四1. 设12,,,,n H H H 是一列内积空间，令{}21:,.n n n nn H x x H x ∞=⎧⎫=∈<∞⎨⎬⎩⎭∑对于{}{},n n x y H ∈，定义{}{}{}(,)n n n n x y x y αβαβαβ+=+∈k ，{}{}(),n n x y ()1,n n n x y ∞==∑.证明H 是内积空间，并且当每一个n H 都是Hilbert 空间时，H 是Hilbert 空间. 证明：先证H 是内积空间. 因为()()11222211111,,n n n n n n n n n n n n n x y x y x y x y ∞∞∞∞∞=====⎛⎫⎛⎫≤≤≤<∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑，故定义{}{}(),nnx y ()1,nnn x y ∞==∑是有意义的. 又由{}{}{}()()()(){}{}(){}{}()111,,,,,,nnnnn n n n n n n n n n n n n x y z xy z x z y z x z y z αβαβαβαβ∞∞∞===+=+=+=+∑∑∑及{}{}()()()(){}{}()111,,,,,nnnnnnnnnnn n n x y x y y x y x y x ∞∞∞=======∑∑∑，而且{}{}()()1,,0nnnnn x x x x ∞==≥∑及{}{}()()(),0,01,2,n n n n x x x x n =⇔==⇔(){}1,2,n n x n x θθ==⇔= ，由内积定义可知H 是内积空间.再证H 是完备的. 设{}()1i i x ∞=是H 中的Cauchy 列，其中()()()()()12,,,,i i i i n x x x x = .由定义00,i ε∀>∃，使得当0,i j i >时，有()()i j x x ε-<，即122()()1i jn nn x x ε∞=⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑，于是()()i j n n x x ε-<，所以{}()1i n n x ∞=是n H 中的Cauchy 列(n 固定)，设()(0)i n n x x →，并令()(0)(0)(0)12,,,,n x x x x = ，由前证122()()1i j n n n x x ε∞=⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑，0,i j i ∀>，故对固定的k 使得2()()21ki j n nn x x ε=-<∑. 令j →∞，则2()(0)21ki n nn x x ε=-≤∑，再令k →∞，就有2()(0)21i n nn x x ε∞=-≤<∞∑，即()i x x H -∈. 因为H 是线性空间，于是有()()()i i x x x x H =--∈，故点列()()1,2,i x i = 按H 中范数收敛于x ，于是H 是完备的，即是Hilbert 空间.2. 设H 是Hilbert 空间，M 是H 的闭子空间. 证明M 是H 上某个非零连续线性泛函的零空间，当且仅当M ⊥是一维子空间.证明：必要性. 若M 是H 上某个非零连续线性泛函的零空间，由Riesz 表示定理知存在f y H ∈，使得()(),,f f x x y x H =∀∈，于是()(){}{}:,0,f f f M x f x x y y H y ⊥===∈=，由本节题4知.{}(){}span f f M y y ⊥⊥⊥==是一维子空间.充分性. 若M ⊥是非零元y 生成的一维子空间，,x H ∀∈令()(),f x x y =，则显然有()0f x x y =⇔⊥，即()x M M ⊥⊥∈=，所以M 是非零连续线性泛函f 的零空间.4. 设M 是Hilbert 空间H 上的非空子集，证明()M ⊥⊥是包含M 的最小闭子空间.证明：记span Y M =，则Y 是包含M 的最小闭子空间，故只需证()M Y ⊥⊥=.事实上，x Y ∀∈，有s p a n n x M ∈，使得n x x →. y M ⊥∀∈有()(),lim ,0n n x y x y →∞==,故()x M ⊥⊥∈，即有()Y M ⊥⊥⊂. 又因为Y 是闭子空间，故有()Y Y ⊥⊥=(证明见指南P63例5). 于是由M Y ⊂可得Y M ⊥⊥⊂，进而可得()()M Y Y ⊥⊥⊥⊥⊂=，所以可得()span M Y M ⊥⊥==.5. 设H 是内积空间，M 是H 的线性子空间. 证明如果对于每一个x H ∈，它在M 上的正交投影存在，则M 必是闭子空间.证明：x M ∀∈，存在{}n x M ⊂，使得lim n n x x →∞=. 由条件0101,,x x x x M x M ⊥=+∈∈, 于是001n x x x x x M ⊥-→-=∈. 注意到0n x x M -∈，故有()()1101,lim ,0n n x x x x x →∞=-=即1x θ=，从而0x x M =∈，从而M 是闭子空间.6. 证明在可分内积空间中，任一标准正交系最多为一可数集.证明：设H 为可分的内积空间，{}1n n x ∞=为H 的可数稠密子集，又设{}:e λλ∈Λ为H 中任意一簇标准正交系，则,n x λ∀∈Λ∃，使得2n x e λ-<. 若Λ不可数，则必有{}1k n n x x ∞=∈以及,','λλλλ∈Λ≠，使得',22k k x e x e λλ-<-<，于是''k k e e x e x e λλλλ-≤-+-<但由勾股定理，有222''2e e e e λλλλ-=+=，即'e e λλ-=H 中的任一标准正交系最多为可数集. 7. 设{}e I αα∈是内积空间H 中的标准正交系. 证明对于每一个x H ∈，x 关于这个标准正交系的Fourier 系数(){},:x e I αα∈中最多有可数个不为零.证明：记{}:F e I αα=∈，由Bessel 不等式， x X ∀∈，若取n 个F 中元素e λ排成一列，不妨设为12,,,n e e e ，则有()221,ni i x e x =≤∑，于是在F 中使(),x e λ≥得e λ只能为有限个，记():,,n F e x e λλλ⎧=∈Λ≥⎨⎩及1ˆnn F F ∞== . 显然ˆF 为可数集，且当ˆe F F λ∈-时，(),0x e λ=，即x 的Fourier 系数(){},:x e I αα∈中最多有可数个不为零.8. 设H 为Hilbert 空间，()0,1,2,n x x H n ∈= .当n →∞时，0Wn x x −−→，且0n x x →，证明()0n x x n →→∞.证明：由()()()()()2,,,,,n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x -=--=--+，故当n →∞时，()2222,0n x x x x x -→-=，即()0n x x n →→∞.11. 设T 是Hilbert 空间H 上的线性算子且对所有,x y H ∈，()(),,Tx y x Ty =.证明T 是有界算子.证明：只需证明T 是H 上的闭线性算子. 设n x H ∈，且满足00,n n x x Tx y →→，则y H ∀∈，由条件()(),,n n Tx y x Ty =. 令n →∞，则有()()()000,,,y y x Ty Tx y ==，故00y Tx =，即T 是闭线性算子，从而由闭图像定理可知T 有界.13. 设H 是Hilbert 空间，(),x y ϕ是定义在H H ⨯上的泛函且关于x 是线性的，关于y 是共轭线性的并且存在常数C ，使得()(),,x y C x y x y H ϕ≤∈.证明：存在惟一算子()A B H ∈，使得对所有,x y H ∈，()(),,x y Ax y ϕ=且A ϕ=，其中()11sup ,x y x y ϕϕ===.证明：因(),x y ϕ关于y 是共轭线性的，故(),x y ϕ关于y 是线性的，固定x H ∈，则(),x y ϕ为H 上的有界线性泛函，由Riesz 表示定理，存在惟一*x H ∈，使得()(),,*x y y x ϕ=，即()(),*,x y x y ϕ=. 作映射:*A x x ，有()()(),*,,x y x y Ax y ϕ==由于()()()()()()()()1212121212,,,,,,,A x x y x x y x y x y Ax y Ax y Ax Ax y αβϕαβαϕβϕαβαβ+=+=+=+=+，即()1212A x x Ax Ax αβαβ+=+又因为()()2,,Ax Ax Ax x Ax x y ϕϕ==≤，即A ϕ≤，所以()A B H ∈.再由Schwartz 不等式，有()(),,x y Ax y Ax y A x y ϕ=≤≤，故A ϕ≤，于是 A ϕ=. 若设()T B H ∈，且满足()(),,x y Tx y ϕ=，则()(),,,,A xy T x y xy H =∀∈，即()(),0,,A T x y x y H -=∀∈. 特别地，令()y A T x =-，得()20A T x -=，因此(),A T x x H θ-=∀∈，故0A T -=，所以A T =.14. 设{}n T 是Hilbert 空间H 上的有界自共轭算子列且()0n T T n -→→∞. 证明T 也是自共轭的.证明：由()()***0n n n T T T T T T n -=-=-→→∞，即可得**n T T →，由n T 的自共轭性即可得T 也是自共轭的.2011年博士研究生第二次公开招考报考须知发布时间：2011-02-24 08:37 来源：本站点击量：303一、报名2011博士研究生第二次公开招考网上报名时间：2011年3月4日-13日，网址：/hityzb/zs.jsp?cla=2。

泛函分析习题及参考答案

p
对于 n = 1, 2,
∞
N1 ，存在 N 2 > 0 ，
i = N 2 +1
∑
∞
ξi( n ) < ε p 。取 N = max { N1 , N 2 } ，则
p
i = N +1
∑
ξi( n ) < ε p 对任何 n 自然数成立。
p
充分性证明，由条件可知， ∀ε > 0 ，存在 K > 0 ，使得
p
由积分的等度绝对连续性可知，对任何 ε > 0 ，存在 δ > 0 ，使得 e ⊂ E ， me < δ 时，
∫x
e
n
(t ) dt ) <
p
1 p
ε
2
，
∫ x(t )
e
p
dt ) <
1 p
ε
2
。
p
对上述 δ > 0 ，存在 N > 0 ，使得 n > N 时， mE n (ε ) < δ ，此时（ x n − x dt） ≤ε 。
i =1
= ∑ ξi( n ) − ξi +
p i =1
K
i = K +1
∑
∞
ξi( n ) − ξi
p
≤∑ξ
i =1
K
(n) i
− ξi
p
∞ p 1 ⎛ ∞ p 1 ⎞ + ⎜ ( ∑ ξi( n ) ) p + ( ∑ ξi ) p ⎟ < 2ε p 。 i = K +1 ⎝ i = K +1 ⎠
X 上的连续函数。
证明：任取 x0 ∈ X ，对于 x ∈ X ，有

泛函分析习题解答

因为P, Q, P Q 是投影, 所以KerP = (ranP )⊥ , KerQ = (ranQ)⊥ , KerP Q = (ranP Q)⊥ , ∴ KerP Q ⊃ KerP ∩ KerQ. 其次证明KerP Q ⊂ KerP ∩ KerQ. 对∀x ∈ KerP Q, ∵ P 是投影, ∴ P 是幂等的, ∴ H = KerP + ranP, h = (h − P h) + P h, ∀h ∈ H. ∴ x = (x − P x) + P x, 其中x − P x ∈ KerP. 注意到, P Q(x − P x) = P Qx − P QP x = P Qx − P P Qx(∵ P Q 是投影⇐⇒ P Q = QP ) = P Qx − P 2 Qx = P Qx − P Qx = 0, ∴ x − P x ∈ KerP Q. ∵ KerP Q 是线性空间, ∴ P x = x − (x − P x) ∈ KerP Q, (∵ x ∈ KerP Q, x − P x ∈ KerP Q), ∴ P Q(P x) = 0, ∴ Q(P x) = QP x = QP (P x) = P Q(P x) = 0, 这表明P x ∈ KerQ. ∴ x = (x − P x) + P x ∈ KerP + KerQ, ∴ KerP Q ⊂ KerP + KerQ. 综上所述:KerP Q = KerP ∩ KerQ.
2
0, ∀h ∈ H,
= 0 =⇒ QP (h) = 0, and < QP h, P h >= 0.
(B)P + Q 是投影=⇒ ranP + ranQ = ran(P + Q), Ker(P + Q) = KerP ∩ KerQ. 证明：I)P + Q 是投影=⇒ ranP + ranQ = ran(P + Q) 1.如果P = 0 or Q = 0 ，显然。 2.如果P = 0 and Q = 0,这时可以证明P + Q = 0.（上面已证）首先，ran(P + Q) ⊂ ranP + ranQ ，显然。下证ran(P + Q) ⊃ ranP + ranQ，即∀h, g ∈ H, P h + Qg ∈ ran(P + Q). ∵ P + Q = 0 是投影， ∴ P + Q : H −→ ran(P + Q)是正交投影，而(P + Q)(P h + Qg ) = P (P h + Qg ) + Q(P h + Qg ) = P 2 h + P Qg + QP h + Q2 g = P h + Qg ，(这是因为由（A）知P + Q 是投影⇐⇒ ranP ⊥ranQ ⇐⇒ ranP ⊂ (ranQ)⊥ = KerQ(Q 是投影),ranQ ⊂ (ranP )⊥ = KerP (P 是投影), ∵ QP h ∈ ranP ⊂ KerQ,∴ QP h = 0.同理，P Qg = 0.) ∴ P h + Qg ∈ ran(P + Q), ∴ ranP + ranQ ⊂ ran(P + Q). 2

《泛函分析》习题解答(不完全版)

( x1 , y) ( x1 , x2 ) ( x2 , y) , ( x2 , y ) (x2 , x1 ) (x1 , y ).
对两端关于 y A 取下确界, 可以得到 . inf ( x1 , y) ( x1 , x2 ) inf ( x2 , y) , inf (x2 , y ) (x2 , x1 ) inf (x1 ,y )
1 1
f ( x) L1 ([a, b]) , 需要证明: 对于任意的 0 , 存在 g ( x) C[a, b] , 使得
( f , g)
[ a ,b ]
| f ( x ) g ( x) | dx .
事实上, 首先根据积分的绝对连续性, 存在 0 , 使得当 E [a, b] , 只要 mE , 就有
x n , 0 x 1, f n ( x ) : 1, 1 x 2.
则 { f n ( x )} C ([0,2]) 在本题所定义的距离的意义下是 Cauchy 列, 因为
( f n , f m ) | f n ( x) f m ( x) | dx

因此, 根据 Lebesgue 有界收敛定理, 可以得到
( f n , g ) | f n ( x ) g ( x ) | dx
0
1
| x n 0 | dx x n dx
0 0
1
1
1 0. n 1
但 g ( x) C ([0,2]) . (2) C ([a, b]) 的完备化空间是 L ([a, b]) . 因为 (i) 在距离的意义下, C ([a, b]) 是 L ([a, b]) 的稠密子集. 事实上, 任意取定一个

实变函数与泛函分析基础习题答案

n=0
n=0
xn+p ln
1 x
≥
0,
1 xp 1
∞
0
1 − x ln x dx = −
n=0
1 0
xn+p ln xdx
=
∞ n=0
(n +
1 p+
1)2
=
∞ n=1
1 (n + p)2 .
ßÎ 15. { fn} E
¨
¹ Ö lim
n→∞
fn(x)
=
f (x)a.e.
E,
¿ f (x) Î ¡ ÆÃ ¶¸²³
E −
Ç¯± ¡
ÝÌ [0, 1] ÙÄß ℄Ï ¨
¤¤ f
(x)
=
1, 0,
x x
[0,1] [0,1]
· ¨, ¨.
´
¨ ÙÄ n, [0,1]
¿ max 1≤i≤n
mEin
=
1 n
→
0(n
→
∞).
¾
Ó Dn = {Ein},
Ein =
i−1 n
,
i n
, i = 1, 2, · · · , n − 1, Enn =
0.
¨ª
mE[| f |= ∞] = 0.
1
¶¹ | f(x) | Î ¶ ¾ Ê´
´¹Ü° ¾ Ö ǫ > 0, δ > 0, e ⊂ E me < δ
´ ¾ ¡ δ > 0,
N,
n>N
| f (x) | dx < ǫ.
e
men < δ,
n · men ≤ | f (x) | dx < ǫ.

泛函分析习题答案第十章习题答案

则由 xnk ynk Aznk y * z知：xnk 收敛，记y * z x *，
因为xnk M，M为闭集，故x* M，现在I A是连续的，
故
(I
A)x* lim(I k
A) xnk
lim
k
ynk
y *，
所以y* (I A)(M )，故(I A)(M )是闭集.
结合上述的结果即知： ( A) [0,1].
17. 设A：复C[0,2 ] 复C[0,2 ] : ( Ax)(t) eit x(t)证明： ( A) { | 1}
首先证明A没有特征值.
若Ax x，则eit x(t ) x(t )，于是： (eit )x(t ) 0，当eit 时，x(t ) 0，因为x(t )连续，故x(t ) 0，所以不是A的 t 1
) x
(t
)
max
a t b
(t
) x
(t
)
由 (0, 1 )的任意性，即知上式与(1)矛盾，所以是A的谱点.
2
16.
再证当 [0,1]时，是A的正则值，因为不是A的特征值，故只须证明：A I : C[0,1] C[0,1]是满映射.
K ( x, y) f ( y)dy
f ( x) L2( , )
问A是否L2( , )上的全连续线性算子.
记I n
[n, n]，令Kn ( x,
y)
K ( x,
0
y)
(x, y) In In (x, y) In In

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1 2
2
,
,
1 n
n ,
)
试证：A是全连续的.
令An : l 2 l 2：(1 ,2 , )
(1 ,
1 2
2
,
,
1 n
n
,0,
)，
则An : l 2 l 2是有限维的，故是全连续的，
又x (i ) l 2
Ax An x
(0,
,0,
n
1
1
n1
,
n
1
2
n2
取E l 2，A I，则N l 2不是有限维的.
16. 设( Ax)(t) tx(t)，A为C[0,1]上的线性算子，它是有界的，
证明： ( A) [0,1]，且A没有特征值.
若Ax x，则tx(t) x(t)，故(t )x(t) 0，从而当t 时，恒有
x(t) 0，但x(t)是连续函数，故x(t) 0 (t [0,1])，所以A没有特征值.
从而 ( A I )x ( A I )1 1 x
(1)
任取
(0,
1 2
)，
记I
[
,
]
[0,1]，I的两个端点为a，b，即I
[a , b ]，
令
x
(t
)
b
a
0 2t b
a
b a
当t I 当t I ，则x (t ) C[0,1]，且 x 1，
( A I )x
则由 xnk ynk Aznk y * z知：xnk 收敛，记y * z x *，
因为xnk M，M为闭集，故x* M，现在I A是连续的，
故
(I
A)x* lim(I k
A) xnk
lim
k
ynk
y *，
所以y* (I A)(M )，故(I A)(M )是闭集.
tx (t ) x (t )
max(t
0 t 1
) x
(t
)
max
a t b
(t
) x
(t
)
由 (0, 1 )的任意性，即知上式与(1)矛盾，所以是A的谱点.
2பைடு நூலகம்
16.
再证当 [0,1]时，是A的正则值，因为不是A的特征值，故只须证明：A I : C[0,1] C[0,1]是满映射.
第十章全连续线性算子
1. 设E1、E2是赋范线性空间，T : E1 E2为有界线性算子，试证：如果 E1、E2中有一个是有限维的，则T必是全连续的.
设E2是有限维的，M为E1中的有界集，因为T有界，所以T(M )是 E2中的有界集，从而是列紧集，所以T是全连续的.
)上的线
性算子是全连续的，从而作为L2 (In ) L2 ( , )的线性算子也是全连续的，
所以An作为L2 ( , ) L2 ( , )的线性算子是全连续的. 又
A An
|
K ( x,
y)
K n ( x,
y)
|2
1/ 2
对此 0，可取连续函数x (t)满足：x 1，且当t [t0 , t0 ]时，x (t ) 0，
于是 ( A I )x
,
)
1 n1
(0,
,0,n1 ,n2 , )
1 n1
x
所以
A An
1 0 n1
(n )
所以A是全连续的.
7. 试求题5中A的共轭线性算子A* .
因为l 2的共轭空间是l 2，x (i )，y (i ) l 2
由
i 1
j1 aij j i
aij j i
i 1,2,
则An (l 2 )是l 2的有限维子空间，故An是全连续算子，又x (i ) l 2
5.
则An (l 2 )是l 2的有限维子空间，故An是全连续算子，又x (i ) l 2
Ax An x 2 n aij j 2 aij j 2
设x(t) C[0,1]，取y(t) 1 x(t)，则y(t) C[0,1]，且
t ( A I ) y(t) (t ) y(t) x(t) 所以( A I )(C[0,1]) C[0,1]，由逆算子定理，A I存在有界逆，所以是A的正则值.
当
1时
，x(
t
)
C[0,2
]，
则
e
it
1
x(t) C[0,2 ]，
且( A
I )
1
eit
x(t )
x(t)，所以A I是C[0,2 ]上的1－1映射，
由逆算子定理，A I有有界逆，所以是A的正则值.
当 1时，设 eit0 (t0 [0,2 ))，任取 0使t0 2，
4. 设E为自反Banach 空间，A : E E为有界线性算子，且A把E中弱收敛序列映成强收敛序列，则A是全连续的.
因为E是自反空间，E是局部弱列紧的，即对E中任一有界点列{ xn } 都有弱收敛子列{ xnk }，依条件{ Axnk }在E中收敛，这说明对E中任一有界点列{ xn }，{ Axn }都有收敛子列，故A是全连续的.
K ( x, y) f ( y)dy
f ( x) L2( , )
问A是否L2( , )上的全连续线性算子.
记I n
[n, n]，令Kn ( x,
y)
K ( x,
0
y)
(x, y) In In (x, y) In In
考虑Kn ( x, y)所定义的线性算子An : L2 ( , ) L2 ( , )，
j1 i 1
故A的共轭算子A* : l 2 l 2由（ j ) ( aij j ) 确定. i 1
8. 设K ( x, y)是全平面上Lebesgue可积函数，且 | K ( x, y) |2 dxdy M 2 ，
作L2( , )上的线性算子A：( Af )(x)
5. 设 aij 2 A：x (i ) (i ) x l 2，其中i aij j
i , j1
j 1
证明A是全连续的.
i 1,2,
设x (i ) l 2，y (i ) Ax，则
2
Ax 2
i2
aij j
aij 2 j 2
aij 2 x 2，
设T1是全连续的，则对于E1中有界点列{ xn }，{T1 xn }有收敛子列{T1 xnk }，设T1 xnk y，再由T2是连续的，故T2T1 xnk T2 y，故T2T1是全连续的
当T2是全连续时，对于E1中有界点列{ xn }，{T1 xn }是E2中有界点列，故{T2T1 xn }有收敛子列，所以T2T1是全连续的.
f ( x) L2 ( , )
( An f )(x) Kn ( x, y) f ( y)dy
In K n ( x, y) f ( y)dy In K n ( x, y) xn ( y) f ( y)dy
因为K n (
x,
y )是I n
I
上
n
的
平
方
可
积
函
数
，
故An作
为L2
(
I
n
)
L2 ( In
仿照第5题.
10.
在l 2中取ek如上题，U是l 2上的线性算子，Uek
1 k
ek1
证明U是l 2上的全连续线性算子.
k 1,2,
仿照第6题.
11. 设E1、E2为两个Banach空间，T1、T2：E1 E2为全连续线性算子
证明T1 T2也是全连续的，其中、是数.
设{ xn }为E1中有界点列，则{T1 xn }中有收敛子列{T1 xnk }，{T2 xnk }中也有
13. 设E是无穷维的赋范线性空间，T : E E为全连续线性算子，证明：如果T有逆算子T 1 : T(E) E，则T 1是无界的.
如果T 1有界，则T 1T : E E是全连续的，但T 1T I，而E是无穷维的 I不可能是全连续的，因此T 1是无界的.
14.举例说明，在命题“设A : E E为全连续算子，则N { x E | Ax x} 是E的有限维子空间”中，A是全连续的假定是必不可少的.
下证 ( A) [0,1]，先证 [0,1]，不是A的正则值. 如果 [0,1]是A的正则值，则( A I )1 : C[0,1] C[0,1]是非零的有界线性算子，
所以x C[0,1]有：x ( A I )1( A I )x ( A I )1 ( A I )x
结合上述的结果即知： ( A) [0,1].
17. 设A：复C[0,2 ] 复C[0,2 ] : ( Ax)(t) eit x(t)证明： ( A) { | 1}
首先证明A没有特征值.
若Ax x，则eit x(t ) x(t )，于是： (eit )x(t ) 0，当eit 时，x(t ) 0，因为x(t )连续，故x(t ) 0，所以不是A的特征值.
由 x Ax x Ax 可知：(I A)(M )是E中有界集.