距离空间泛函分析第四章习题第一部分(1-18)
泛函分析第4章内积空间
泛函分析第4章内积空间第四章介绍的是内积空间，是泛函分析中非常重要的一个概念。
内积空间是在向量空间上赋予了内积运算的结构，它将几何空间的概念引入到向量空间中，从而使得我们能够定义向量的长度、角度等几何概念。
在内积空间中，我们首先需要定义内积的概念。
内积是一个数学结构，它将两个向量映射到一个实数上。
在内积空间中，内积满足一系列性质，如线性性、对称性和正定性等，这些性质保证了内积的合理性和实用性。
比如，线性性保证了内积对于向量的加法和标量乘法是线性的，对称性保证了内积的对换性质。
通过内积，我们能够定义向量的长度和角度。
向量的长度可以通过内积定义一个标准，即向量与自身的内积的平方根。
这个定义与我们熟悉的欧氏几何空间中的向量长度一致。
而向量的角度可以通过内积定义出余弦值，从而表示两个向量之间的夹角。
这个定义使得我们能够对向量的方向进行描述。
内积空间还引入了正交的概念。
在内积空间中，两个向量相互垂直时称为正交。
正交向量在几何空间中有很重要的应用，比如可以作为一组基底，并且正交向量之间的内积为零，这使得我们能够对向量进行分解和投影等操作。
内积空间还引入了内积的连续性概念。
通过内积的连续性，我们可以定义向量的极限、收敛等概念。
这使得内积空间成为了一个完备的空间，即任何一个柯西序列都存在一个极限。
内积空间是泛函分析中非常有用的一个概念。
它不仅能够将几何概念应用到向量空间中，还能够定义向量的长度和角度等概念，从而使得向量空间具有了更强的几何性质。
在泛函分析中，内积空间是研究函数空间、傅里叶变换等问题的基础。
因此，对于内积空间的理解和掌握是非常重要的。
总之，第四章介绍的内积空间是泛函分析中非常重要的一个概念。
它通过引入内积的概念，使得向量空间具有了几何性质，定义了向量的长度、角度等几何概念。
内积空间是泛函分析中非常有用的一个工具，对于研究函数空间、傅里叶变换等问题具有重要的意义。
因此，对于内积空间的理解和掌握是泛函分析学习的重点。
曹广福版实变函数与泛函分析第四章答案
第四章习题参考解答1．设)(x f 是E 上的可积函数，如果对于E 上的任意可测子集A ，有0)(=⎰dx x f A ，试证：)(x f ，].[.E e a证明：因为}1)(|{}0)(|{1k x f x E x f x E k ≥=≠∞= ，而N k ∈∀，}1)(|{kx f x E ≥}1)(|{}1)(|{kx f x E k x f x E -≤≥= .由已知，=+=-≤≥≥⎰⎰⎰kx f x E kx f x E kx f x E dx x f dx x f dx x f 1)(|{1)(|{1|)(|{)()()(000=+.又因为0}1)(|{11)(0}1)(|{}1)(|{≥≥=≥=≥≥⎰⎰kx f x mE k dx k dx x f kx f x E kx f x E ， 0}1)(|{1)1()(0}1)(|{}1)(|{≤-≤-=-≤=≥≥⎰⎰k x f x mE k dx k dx x f kx f x E kx f x E所以，0}1)(|{}1)(|{=-≤=≥k x f x mE k x f x mE .故,0}1)(|{}1)(|{}1|)(|{=-≤+≥=≥kx f x mE k x f x mE k x f x mE ,从而00}1|)(|{}1|)(|{[}0)(|{111==≥≤≥=≠∑∑∞=∞=∞=k k k k x f x mE k x f x E m x f x mE .即，0)(=x f ，].[.E e a .2.设f ，g 都是E 上的非负可测函数，并且对任意常数a ，都有})(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥，试证：)()(x g x f =，从而，=⎰dx x f E )(dx x g E⎰)(.证明：我们证f，g 是同一个简单函数序列∞=1){m m ψ的极限函数.N m ∈∀及12,,1,0-=m m k ，令}21)(2|{,mm k m k x f k x E E +≤≤=，并且 })(|{2,m x f x E E m m m ≥=.则k m E ,是互不相交的可测集，并且k m m k E E m ,21== ，定义简单函数∑==mk m m k E m m x kx 20)(2)(,χψ. 下面证明：)()(lim x f x m m =∞→ψ，E x ∈.E x ∈∀0,若+∞=)(0x f ，则N m ∈∀，m m m E x 2,0∈，所以)()(0∞→∞→=m m x m ψ，即)()(lim 00x f x m n =∞→ψ；若+∞<)(0x f ，则可取正整数)(00x f m >，0m m ≥∀时,}21)(2|{})(0|{1210m m m k k x f k x E m x f x E x m +<≤=<≤∈-= .故，存在)120(-≤≤mm k k ， }21)(2|{0m m k x f k x E x +<≤∈.即，m m k x f k 21)(20+<≤，m m k E m m k x k x mk m 2)(2)(20,==∑=χψ.所以，0212212)()()(|)()(|00000→=-+<-=-=-mm m m m m k k k x f x x f x x f ψψ，从而， )()(lim 00x f x m n =∞→ψ.同理，N m ∈∀，定义简单函数列∑==mkm m k E m m x kx 20)(2)(*,χψ，其中：}21)(2|{*,mm k m k x g k x E E +<≤=，12,,1,0-=mm k .})(|{*,m x g x E E k m ≥=.同上一样可证明：)()(lim 0x g x m n =∞→ψ，E x ∈.因为R a '∈∀，有})(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥.故R a '∈∀，})(|{b x f a x mE <≤})(|{b x g a x mE <≤=.从而，)120(-≤≤∀mm k k ，有k m m m m m k m mE k x g k x mE k x f k x mE mE ,*,}21)(2|{}21)(2|{=+<≤=+<≤=m m m m m m mE m x g x mE m x f x mE mE 2,*2,})(|{})(|{=≥=≥=.即，N m ∈∀，=)(x m ψ)(x m ϕ.因此)()(lim )(lim )(x g x x x f m m m m ===∞→∞→ϕψ.3.若⎪⎩⎪⎨⎧=为有理数，当为无理数，当x x x x x f 31)(，计算⎰1,0[)(dx x f .解：设x x E |]1,0[{0∈=为有理数}，01]1,0[E E -=，则+=⎰⎰1)()(]1,0[E dx x f dx x f⎰]1,0[)(dx x f ⎰⎰⎰+==111E EE dx xdx xdx x=+==⎰⎰⎰1111E E E dx xdx xdx x2]2[11101]1,0[====⎰⎰x dx xdx x.4.设21,,E E 是]1,0[中n 个可测集，若]1,0[内每一点至少属于n 个集中的q个集，证明：21,,E E 中至少有一个测度不小于nq.证：令∑==ni E x x f i1)()(χ，其中i E χ为i E 上的特征函数]1,0[∈∀x ，有q x x f ni E i≥=∑=1)()(χ，所以q qdx dx x f =≥⎰⎰]1,0]1,0[)(.∑∑⎰∑∑⎰⎰⎰========≤ni ni i E ni E ni E mE dx x dx x dx x f q i i 11111,0]1,0[]1,0[)()()(χχ.如果每个n qmE i <，则∑∑===⋅=>n i n i i q n q n n q mE 11.这与∑=≤ni i mE q 1矛盾.从而，)1(n i i ≤≤∃使得nqmE i ≥. 5.设f ，g 都是E 上的可积函数，试证明：22g f+也是E 上可积函数.证明：（1）先证：设)(x f 与)(x F 都是E 上的可测函数且)()(0x F x f ≤≤ ].[.E e a ，若)(x F 在E 可积，则)(x f 在E 可积.事实上，N m l ∈∀,，因为)()(0x F x f ≤≤ ].[.E e a ，故l l x F x f )}({)}({0≤≤，即+∞<≤≤≤⎰⎰⎰EE llE ldx x f dx x F dx x F dx x f mm)()}({)}({)}({，其中：m mS E E=，}||||{∞<=x x S m .从而∞=⎰1})}({{l l E dx x F m是单调递增有上界⎰Edx x F )(的数列，故：⎰⎰⎰≤=∞→EE ll E dx x F dx x f dx x f mm)()}({lim )(.又因为⎰∞=mE m dx x f 1})({单调递增有上界，所以⎰∞→mE l dx x f )(lim存在，并且⎰⎰⎰+∞<≤=∞→EE ll Edx x F dx x f dx x f m)()}({lim )(，即⎰∞→∞→mE ll m dx x f )}({lim lim+∞<≤⎰dx x f E)(.所以)(x f 在E 可积.（2）再证：22g f+在E 上可积.事实上，因为f ，g 在E 上可积，所以||f 与||g 在E 上可积，从而||f +||g 在E 上可积. 又因为||||22g f g f+≤+，由（1）。
泛函分析答案泛函分析解答(张恭庆)
第五章习题第一部分01-151. M 为线性空间X 的子集，证明span( M )是包含M 的最小线性子空间．[证明] 显然span( M )是X 的线性子空间．设N 是X 的线性子空间，且M ⊆ N ． 则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) ⊆ N ． 所以span( M )是包含M 的最小线性子空间．2. 设B 为线性空间X 的子集，证明conv(B ) = {∑=ni i i x a 1| a i ≥ 0,∑=ni ia1= 1, x i ∈B , n 为自然数}．[证明] 设A = {∑=ni i i x a 1| a i ≥ 0,∑=ni ia1= 1, x i ∈B , n 为自然数}．首先容易看出A 为包含B 的凸集，设F 也是包含B 的凸集，则显然有A ⊆ F ，故A 为包含B 的最小凸集．3. 证明[a , b ]上的多项式全体P [a , b ]是无限维线性空间，而E = {1, t , t 2, ..., t n , ...}是它的一个基底．[证明] 首先可以直接证明P [a , b ]按通常的函数加法和数乘构成线性空间， 而P [a , b ]中的任一个元素皆可由E 中有限个元素的线性组合表示． 设c 0, c 1, c 2, ..., c m 是m + 1个实数，其中c m ≠ 0，m ≥ 1． 若∑=mn n n t c 0= 0，由代数学基本定理知c 0 = c 1 = c 2 = ... = c m = 0，所以E 中任意有限个元素线性无关，故P [a , b ]是无限维线性空间，而E 是它的一个基底。
4. 在2中对任意的x = (x 1, x 2)∈2，定义|| x ||1 = | x 1 | + | x 2 |，|| x ||2 = (x 12 + x 22)1/2，|| x ||∞ = max{ | x 1 |, | x 2 | }．证明它们都是2中的范数，并画出各自单位球的图形．[证明] 证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略．5. 设X 为线性赋范空间，L 为它的线性子空间。
泛函分析答案泛函分析解答(张恭庆).doc
精 品 资 料第五章习题第一部分01-151. M 为线性空间X 的子集，证明span( M )是包含M 的最小线性子空间．[证明] 显然span( M )是X 的线性子空间．设N 是X 的线性子空间，且M ⊆ N ． 则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) ⊆ N ． 所以span( M )是包含M 的最小线性子空间．2. 设B 为线性空间X 的子集，证明conv(B ) = {∑=ni i i x a 1| a i ≥ 0,∑=ni ia1= 1, x i ∈B , n 为自然数}．[证明] 设A = {∑=ni i i x a 1| a i ≥ 0,∑=ni ia1= 1, x i ∈B , n 为自然数}．首先容易看出A 为包含B 的凸集，设F 也是包含B 的凸集，则显然有A ⊆ F ，故A 为包含B 的最小凸集．3. 证明[a , b ]上的多项式全体P [a , b ]是无限维线性空间，而E = {1, t , t 2, ..., t n , ...}是它的一个基底．[证明] 首先可以直接证明P [a , b ]按通常的函数加法和数乘构成线性空间， 而P [a , b ]中的任一个元素皆可由E 中有限个元素的线性组合表示． 设c 0, c 1, c 2, ..., c m 是m + 1个实数，其中c m ≠ 0，m ≥ 1． 若∑=mn n n t c 0= 0，由代数学基本定理知c 0 = c 1 = c 2 = ... = c m = 0，所以E 中任意有限个元素线性无关，故P [a , b ]是无限维线性空间，而E 是它的一个基底。
4. 在2中对任意的x = (x 1, x 2)∈2，定义|| x ||1 = | x 1 | + | x 2 |，|| x ||2 = (x 12 + x 22)1/2，|| x ||∞ = max{ | x 1 |, | x 2 | }．证明它们都是2中的范数，并画出各自单位球的图形．[证明] 证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略．5. 设X 为线性赋范空间，L 为它的线性子空间。
泛函分析习题
泛函分析练习题一名词解释：1.范数与线性赋范空间2.无处稠密子集与第一纲集3.紧集与相对紧集4.开映射5.共轭算子6. 内点、内部：7. 线性算子、线性范函：8. 自然嵌入算子9. 共轭算子10. 内积与内积空间：11. 弱有界集：12. 紧算子：13. 凸集14. 有界集15. 距离16. 可分17. Cauchy列18.自反空间二、定理叙述1、压缩映射原理2. 共鸣定理3.逆算子定理4. 闭图像定理5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理6、Baire 纲定理7、开映射定理8、Riesz 表现定理三证明题：1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ=+也使X 成为度量空间。
证明：,,x y z X ∀∈显然有 （1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。
（2）(,)(,)d x y d y x =（3）由1()111t f t t t ==-++，(0)t >关于t 单调递增，得(,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,)x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++(,)(,)1(,)1(,)x y y z x y y z ρρρρ≤+++(,)(,)d x y d y z =+故d 也是X 上的度量。
2， 设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。
证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-⋅-已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。
故有2|(,)(,)|0n n x y x y -→即 (,)(,)n n x y x y →。
3.考虑[,]C a b 上的非线性积分方程()(,,())()bax t k t s x s ds t λϕ-=⎰其中[,],(,,)C a b k t s ϕω∈是[,][,]a b a b R ⨯⨯上的连续函数，满足1212|(,,)(,,)|||k t s k t s b ωωωω-≤-证明当||λ足够小时，此方程存在唯一解0[,]x C a b ∈。
曹广福版实变函数与泛函分析第四章答案
曹广福版实变函数与泛函分析第四章答案第四章习题参考解答1．设)(x f 是E 上的可积函数，如果对于E 上的任意可测子集A ，有0)(=?dx x f A ，试证：)(x f ，].[.E e a证明：因为}1)(|{}0)(|{1k x f x E x f x E k ≥=≠∞= ，而N k ∈?，}1)(|{kx f x E ≥}1)(|{}1)(|{k x f x E k x f x E -≤≥= .由已知，=+=-≤≥≥kx f x E kx f x E kx f x E dx x f dx x f dx x f 1)(|{1)(|{1|)(|{)()()(000=+.又因为0}1)(|{11)(0}1)(|{}1)(|{≥≥=≥=≥≥??kx f x mE k dx k dx x f kx f x E kx f x E ， 0}1)(|{1)1()(0}1)(|{}1)(|{≤-≤-=-≤=≥≥??k x f x mE k dx k dx x f kx f x E kx f x E所以，0}1)(|{}1)(|{=-≤=≥k x f x mE k x f x mE .故,0}1)(|{}1)(|{}1|)(|{=-≤+≥=≥kx f x mE k x f x mE k x f x mE ,从而00}1|)(|{}1|)(|{[}0)(|{111==≥≤≥=≠∑∑∞=∞=∞=k k k k x f x mE k x f x E m x f x mE .即，0)(=x f ，].[.E e a .2.设f ，g 都是E 上的非负可测函数，并且对任意常数a ，都有})(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥，试证：)()(x g x f =，从而，=?dx x f E )(dx x g E)(.证明：我们证f，g 是同一个简单函数序列∞=1){m m ψ的极限函数.N m ∈?及12,,1,0-=m m k ，令}21)(2|{,mm k m k x f k x E E +≤≤=，并且})(|{2,m x f x E E m m m ≥=.则k m E ,是互不相交的可测集，并且k m m k E E m ,21== ，定义简单函数∑==mk m m k E m m x kx 20)(2)(,χψ. 下面证明：)()(lim x f x m m =∞→ψ，E x ∈.E x ∈?0,若+∞=)(0x f ，则N m ∈?，m m m E x 2,0∈，所以)()(0∞→∞→=m m x m ψ，即)()(lim 00x f x m n =∞→ψ；若+∞<)(0x f ，则可取正整数)(00x f m >，0m m ≥?时, }21)(2|{})(0|{1210m m m k k x f k x E m x f x E x m +<≤=<≤∈-= .故，存在)120(-≤≤mm k k ，}21)(2|{0m m k x f k x E x +<≤∈.即，m m k x f k 21)(20+<≤，m m k E m m kx k x mk m 2)(2)(20,==∑=χψ.所以，0212212)()()(|)()(|00000→=-+<-=-=-m m m m m m k k k x f x x f x x f ψψ，从而，)()(lim 00x f x m n =∞→ψ.同理，N m ∈?，定义简单函数列==mkm m k E m m x kx 20)(2)(*,χψ，其中：}21)(2|{*,m m k m k x g k x E E +<≤=，12,,1,0-=m m k .})(|{*,m x g x E E k m ≥=.同上一样可证明：)()(li m 0x g x m n =∞→ψ，E x ∈.因为R a '∈?，有})(|{})(|{a x g x mE a x f x mE≥=≥.故R a '∈?，})(|{b x f a x mE <≤})(|{b x g a x mE <≤=.从而，)120(-≤≤?mm k k ，有k m m m m m k m mE k x g k x mE k x f k x mE mE ,*,}21)(2|{}21)(2|{=+<≤=+<≤=m m m m m m mE m x g x mE m x f x mE mE 2,*2,})(|{})(|{=≥=≥=.即，N m ∈?，=)(x m ψ)(x m ?.因此)()(lim )(lim )(x g x x x f m m m m ===∞→∞→?ψ.3.若=为有理数，当为无理数，当x x x x x f 31)(，计算?1,0[)(dx x f .解：设x x E |]1,0[{0∈=为有理数}，01]1,0[E E -=，则+=1)()(]1,0[E dx x f dx x f]1,0[)(dx x f ?+==111E EE dx xdx xdx x=+==1111E E E dx xdx xdx x2]2[11101]1,0[====x dx xdx x.4.设21,,E E 是]1,0[中n 个可测集，若]1,0[内每一点至少属于n 个集中的q个集，证明：21,,E E 中至少有一个测度不小于nq.证：令∑==ni E x x f i1)()(χ，其中i E χ为i E 上的特征函数]1,0[∈?x ，有q x x f ni E i ≥=∑=1)()(χ，所以q qdx dx x f =≥??]1,0]1,0[)(.∑∑?∑∑??========≤n i ni i E n i E n i E mE dx x dx x dx x f q i i 11111,0]1,0[]1,0[)()()(χχ.如果每个n q mE i <，则∑∑===?=>n i n i i q n qn n q mE 11.这与∑=≤ni i mE q 1矛盾.从而，)1(n i i ≤≤?使得nqmE i ≥. 5.设f ，g 都是E 上的可积函数，试证明：22g f+也是E 上可积函数.证明：（1）先证：设)(x f 与)(x F 都是E 上的可测函数且)()(0x F x f ≤≤ ].[.E e a ，若)(x F 在E 可积，则)(x f 在E 可积.事实上，N m l ∈?,，因为)()(0x F x f ≤≤ ].[.E e a ，故l l x F x f )}({)}({0≤≤，即+∞<≤≤≤EE llE ldx x f dx x F dx x F dx x f mm)()}({)}({)}({，其中：m m S E E =，}||||{∞<=x x S m .从而∞=?1})}({{l l E dx x F m是单调递增有上界?Edx x F )(的数列，故：≤=∞→EE ll E dx x F dx x f dx x f mm)()}({lim )(.又因为?∞=mE m dx x f 1})({单调递增有上界，所以?∞→mE l dx x f )(lim存在，并且+∞<≤=∞→EE ll Edx x F dx x f dx x f m)()}({lim )(，即?∞→∞→mE ll m dx x f )}({lim lim+∞<≤?dx x f E)(.所以)(x f 在E 可积.（2）再证：22g f+在E 上可积.事实上，因为f ，g 在E 上可积，所以||f 与||g 在E 上可积，从而||f +||g 在E 上可积. 又因为||||22g f g f+≤+，由（1）。
泛函分析讲义张恭庆答案
泛函分析讲义张恭庆答案【篇一：《泛函分析》课程标准】>英文名称：functional analysis课程编号：407012010 适用专业：数学与应用数学学分数：4一、课程性质泛函分析属于数学一级科下的基础数学二级学科，在数学与应用数学专业培养方案中学科专业教育平台中专业方向课程系列的一门限选课程。
二、课程理念1、培育理性精神，提高数学文化素养基础数学研究数学本身的内在规律，是整个数学学科的基础，它在数学学科其他领域、物理学、工程及社会科学中都有着广泛的应用。
《泛函分析》课程是数学与应用数学本科学生的专业课程之一，是数学分析、高等代数、实变函数等基础课程的后继课程，是研究生学习的基础，。
它不仅在数学学科占有十分重要的地位，而且在其他学科领域也有广泛的应用，掌握泛函分析的方法对学生更好地理解基础课程的理论将有很大的益处。
该课程培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力，体现知识、能力和素质的统一，符合应用型人才培养的目标要求。
2、良好的学习状态，提高综合解题能力本课程面对的是数学与应用数学专业四年级的学生。
学生刚刚结束教育实习，准备考研的学生进入紧张复习阶段，另一部分学生开始准备找工作。
《泛函分析》这门课内容比较抽象，课时又少，所以，如何让学生安保持良好的学习状态，是本门课要面对的一个重要问题，也是学生要面对的一个具体问题。
需要师生共同努力去正确面对才能顺利完成本门课的教学任务。
为学习研究生课程和现代数学打下必要的基础；进一步提高学生的数学素养。
3、内容由浅入深本课程的框架结构是根据教学对象和教学任务来安排的：“度量空间”泛函分析的基本概念之一，十分重要。
首先，引入度量空间的概念，并在引入度量的基础上定义了度量空间中的极限、稠密集、可分空间、连续映照、柯西点列、完备度量空间，对于一般的度量空间，给出了度量空间的完备化定理，并证明了压缩映照原理。
然后，在度量空间上定义线性运算并引入范数，就得到线性赋范空间以及巴拿赫空间。
实变函数与泛函分析基础第四章习题答案
k→∞
n
E0 = E2[sup | fn |≤ k0], c = k0. E0
n
k0
Å mE2 − mE2[sup | fn |≤ k0] < ǫ.
¦ ±n n, | fn(x) |≤ c,
m(E − E0) = m(E − E2) + m(E2 − E0) < ǫ.
6. f (x) (−∞, ∞)
¯À¡
∞
E − En
n=0
Í ¾ 10. « Â fn(x)
E fn(x) ⇒ f (x), f (x).
fn(x) ≤ fn+1(x)
¯À n = 1, 2, · · · ,
¾
³ ¬¨Ù ¡ ¨ fni(x)
fn(x) ⇒ f (x), f (x)
{fni} ⊂ {fn}, fni (x) E a.e. En = E[fn < fn+1], mE0 = 0, mEn = 0.
n=1
» Ã ¤ 9.
{fn} E
¾ ¯À¡ f(x) ≤ g(x) E
Â Í f , fn(x) ≤ g(x)a.e. E,n = 1, 2, · · · .
³ ¨Ù fn(x) ⇒ f(x),
 {fni } ⊂ {fn}, fni(x) E a.e.
f (x). E0
¬ Â fni(x)
4. E [0, 1]
Ù ¢ E[ lim fn n→∞
=
+∞]
∪
E[ lim
n→∞
fn
=
−∞]
∪
E[ lim
n→∞
fn
>
lim
n→∞
fn]
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第四章习题第一部分(1-18)1. 在1中令1(x , y ) = (x y )2，2(x , y ) = | x y |1/2，，问1, 2是否为1上的距离[解] 显然1, 2满足距离空间定义中的非负性和对称性． 但1不满足三角不等式：取点x = 1, y = 0, z = 1，则1(x , z ) = 4 > 2 = 1(x , y ) + 1(y , z )，所以1不是1上的距离。
而x , y , z 1，2(x , y ) = ||||2||||||||||y z z x y z z x y z z x y x -⋅-+-+-≤-+-≤-||||)||||(2y z z x y z z x -+-=-+-==2(x , z ) +2(z , y )；所以2是1上的距离．2. 设(X , )是距离空间，令1(x , y ) = n y x ),(ρ，x , y X ．证明(X ,1)也是距离空间．[证明] 显然1满足距离空间定义中的非负性和对称性， 故只需证明1满足三角不等式即可．实际上x , y , z X ，n n y z z x y x y x ),(),(),(),(1ρρρρ+≤= n n n n n y z z x n z y x M y z z x )),(),((),,,(),(),(ρρρρ+=++≤),(),(),(),(11y z z x y z z x n n ρρρρ+=+=．3. 设(X , )是距离空间，证明| (x , z ) (y , z ) | (x , y )，x , y , z X ；| (x , y ) (z , w ) | (x , z ) + (y , w )，x , y , z , w X ． [证明] x , y , z , w X ，由三角不等式有(x , y ) (x , z ) (y , z ) (x , y )，故第一个不等式成立． 由第一个不等式可直接推出第二个不等式：| (x , y ) (z , w ) | | (x , y ) (y , z ) | + | (y , z ) (z , w ) | (x , z ) + (y , w )．4. 用Cauchy 不等式证明(| 1 | + | 1 | + ... + | n | )2 n (| 1 |2 + |1 |2 + ... + | n |2 )．[证明] 在P159中的Cauchy 不等式中令a i = | i |，b i = 1，i = 1, 2, ..., n 即可．5. 用图形表示C [a , b ]上的S (x 0, 1)． [注] 我不明白此题意义，建议不做．6. 设(X , d )是距离空间，A X ，int(A )表示A 的全体内点所组成的集合．证明int(A )是开集．[证明] 若A = ，则int(A ) = ，结论显然成立． 若A ，则x A ，r > 0使得S (x , r ) A ．对y S (x , r )，令s = r d (x , y )，则s > 0，并且S (y , s ) S (x , r )A ；所以y int(A )．故S (x , r ) int(A )，从而int(A )是开集．7. 设(X , d )是距离空间，A X ，A ．证明：A 是开集当且仅当A 是开球的并．[证明] 若A 是开球的并，由于开球是开集，所以A 是开集． 若A 是开集，x A ，存在r (x ) > 0，使得S (x , r (x )) A ． 显然A = x A S (x , r (x ))．8. 举例说明对于一般的距离空间X ，并不是总有),(),(r x S r x S =，x X ，r > 0． [例] 设X = {a , b }，定义d : X X 为d (a , a ) = d (b , b ) = 0，d (a , b ) = 1．则(X , d )是距离空间．当r = 1时，不论x 为a 还是b ，总有),(}{),(r x S X x r x S =≠=．9. 设(X , d )是距离空间，X B A ⊆,．证明：B A B A ⋃=⋃，B A B A ⋂⊆⋂． [证明] 由于A A ⊆，B B ⊆，故B A B A ⋃⊆⋃．由于A 和B 都是闭集，所以B A ⋃也是闭集，所以B A B A ⋃⊆⋃．另一方面，由B A B A ⋃⊆,，得B A B A ⋃⊆,，所以B A B A ⋃⊆⋃； 这样就证明了第一个等式．由B A B A ,⊆⋂得B A B A ,⊆⋂，所以B A B A ⋂⊆⋂。
10.证明：距离空间中的闭集必为可列个开集的交，开集必为可列个闭集的并． [证明] 由开集与闭集的关系，实际上我们只需证明第一部分即可． 设(X , d )是距离空间，A X ，A 是闭集．若A = 则结论显然成立，下面设A ．n +，定义A n = x A S (x , 1/n )，则A n 是开集，且A A n ．因此A n A n ．若x A ，则由于A 是闭集，N +，使得S (x , 1/N ) A = ； 即x A N ，，所以x n A n ．这样就证明了A = n A n ． 因此距离空间中的闭集必为可列个开集的交．11.设(X , d )是距离空间，}{n x 是基本列，且有收敛子列x x k n →．证明x x n →． [证明] 0>∀ε，由于}{n x 是基本列，存在自然数N ，当N n m >,时2),(ε<n m x x d ．由于子列x x k n →，存在自然数K ，当K k >时，N n k >且2),(ε<x x d k n ．当N n >时，因N n K >+1，故2),(1ε<+K n n x x d ，2),(1ε<+x x d K n ，从而ε<),(x x d n ．12.设在非空集合X 上定义了两种距离d 和1d ，且存在正数a 和b ，使得对任意的x , y X 总有a d 1(x , y ) d (x , y ) b d 1(x , y )．证明：在距离空间(X , d )和(X , d 1)中，基本列与收敛点列是共同的．并举出这种空间的例子．[证明] 设{ x n }是(X , d )中的基本列，则对 > 0，N +，当m , n > N 时d (x m , x n ) < a ．此时有d 1(x m , x n ) d (x m , x n )/a < a /a = ，所以{ x n }也是(X , d 1)中的基本列．相反方向的证明是类似的．关于收敛点列的证明与关于基本列的证明类似． 一个简单的例子就是在至少两个点的距离空间(X , d )中定义新的距离d 1， 使得d 1 = 2d ．13.设X 是正整数集合，令d (x , y ) = | x – y |，，证明(X , d )是完备距离空间．[证明] 首先从距离定义看，(X , d )实际上是1的子空间，当然是距离空间．因1是完备的，而X 又是1中闭集，所以(X , d )是完备距离空间．14.设X 是正整数集合，令d (x , y ) = | 1/x – 1/y |，证明(X , d )不是完备距离空间．[证明] 首先直接验证可知(X , d )是距离空间．n +，设x n = n ．则{ x n }是(X , d )中的基本列．若{ x n }收敛于x X ，则d (x n , x ) 0，即| 1/x n – 1/x | 0 (当n 时)．由此推出1/x = 0，而这是不可能的．所以基本列{ x n }不收敛，因此(X , d )不是完备距离空间．15.证明：离散距离空间(X , d )是完备距离空间． [证明] 设}{n x 是(X , d )中的基本列，则存在自然数N ，当N n m >,时1),(<n m x x d ．由离散距离空间定义知，0),(=n m x x d ，所以应有n m x x =； 即从1+N 项开始}{n x 为常序列，因此}{n x 必为收敛列．所以(X , d )是完备距离空间。
16. 证明：c 是可分的完备距离空间． [证明] 首先证明c 是完备距离空间．设}{n x 是基本列，0>∀ε，存在自然数N ，当N n m >,时ε<),(n m x x d ． 记)()(n i n x ξ=，则εξξ<-||)()(m i n i ，（1≥∀i ）． 可见对1≥∀i ，数列}1|{)(≥n n i ξ是1R 中的基本列，因此设i nn i ξξ−−→−∞→)(，并记)(i x ξ=． 显然当N n >时，1≥∀i 有εξξ≤-||)(i n i ，取1+=N n 则1≥∀i 有εξξ≤-+||)1(i N i ． 由于)()1(1++=N i N x ξ是收敛列，存在N M >使得当M n m >,时，εξξ<-++||)1()1(N m N n ．此时εξξξξξξξξ3||||||||)1()1()1()1(<-+-+-≤-++++m N m N mN n N n n m n ． 故)(i x ξ=是1R 中的基本列，所以c x ∈．由前面可见，0>∀ε，存在自然数N ，当N n >时1≥∀i 有εξξ≤-||)(i n i ，故有εξξ≤-≥||sup )(1i n i i ，即ε≤),(x x d n ，所以基本列}{n x 是收敛的．下面证明c 是可分的．在c 中，令}|)({N i i i N i N x A ξξξξ=≥∀==有使得为有理数，存在自然数． 则A 显然为可数集，且A 在c 中稠密，所以c 是可分的．17.证明：s 是可分的完备距离空间． [证明] 首先证明s 是完备距离空间．设}{n x 是基本列，0>∀ε，存在自然数N ，当N n m >,时ε<),(n m x x d ． 记)()(n i n x ξ=，容易看出1≥∀i ，数列}1|{)(≥n n i ξ是1R 中的基本列，因此设i nn i ξξ−−→−∞→)(，并记)(i x ξ=． 注意εξξξξ<-+-⋅∑∞=1)()()()(||1||21i m i n i m i n i i ，故εξξξξ<-+-⋅∑=Mi m i n i m i n i i 1)()()()(||1||21 (对任意自然数M )． 令∞→m 得到εξξξξ≤-+-⋅∑=Mi in i i n i i 1)()(||1||21，(对任意自然数M )． 所以有ε≤),(x x d n ．即基本列}{n x 是收敛的． 下面证明s 是可分的．在s 中构造A 如下：}0|)({不为为有理数，只有有限项i i x A ξξ==．显然A 为可数集，且A 在s 中中稠密，所以s 是可分的．18.从集合的角度看，m s ，但s 是可分的而m 不是可分的，这能给我们什么启迪[答] 距离空间的可分性除了依赖于集合本身外，更重要的是依赖于集合上所给出的距离，仅对集合而言是谈不到什么可分不可分的．。