泛函分析第2章 度量空间与赋范线性空间
第2章 度量空间与赋范线性空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念。
事实上，它是n 维欧几里得空间n R 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。
它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。
因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。
2.1 度量空间的基本概念2.1.1 距离（度量）空间的概念在微积分中，我们研究了定义在实数空间R 上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R 上现有的距离函数d ，即对y x y x d R y x -=∈),(,,。
度量是上述距离的一般化：用抽象集合X 代替实数集，并在X 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。
【定义2.1】 设X 是一个非空集合，),(••ρ：[)∞→⨯,0X X 是一个定义在直积X X ⨯上的二元函数，如果满足如下性质：（1） 非负性 y x y x y x X y x =⇔=≥∈0,(,0),(,,ρρ；（2） 对称性 ),(),(,,x y y x X y x ρρ=∈（3） 三角不等式 ),(),(),(,,,y z z x y x X z y x ρρρ+≤∈；则称),(y x ρ是X 中两个元素x 与y 的距离（或度量）。
此时，称X 按),(••ρ成为一个度量空间（或距离空间），记为),(ρX 。
注：X 中的非空子集A ，按照X 中的距离),(••ρ显然也构成一个度量空间，称为X 的子空间。
当不致引起混淆时，),(ρX 可简记为X ,并且常称X 中的元素为点。
例2.1 离散的距离空间设X 是任意非空集合，对X 中任意两点,,x y X ∈令1 (,)0 x y x y x y ρ≠⎧=⎨=⎩显然，这样定义的),(••ρ满足距离的全部条件，我们称(,)X ρ是离散的距离空间。
这种距离是最粗的。
它只能区分X 中任意两个元素是否相同，不能区分元素间的远近程度。
此例说明，在任何非空集合上总可以定义距离，使它成为度量空间。
例2.2 n 维欧几里得空间n R 表示n 维向量()12,,,n x x x x =L 的全体组成的集合，也表示n 个实数12,,,n x x x L 组成的数组()12,,,n x x x L 的全体形成的集合。
对()12,,,n x x x x =L ，()12,,,n n y y y y R =∈L ，定义 1221(,)()n i i i x y x y ρ=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑ （2.1） 下面来证),(••ρ满足度量定义中的条件（1）~（3）。
由式（2.1）不难验证),(••ρ满足条件（1），（2）。
为证满足条件（3），需利用2p =时的离散型Minkowski 不等式（见1.5节）。
取()12,,,n n z z z z R =∈L ，则有[]1122221111222211(,)()()()()()(,)(,)n n i i i i i i i i n n i i i i i i x y x y x z z y x z z y x z z y ρρρ====⎧⎫⎡⎤⎪⎪=-=-+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭⎡⎤⎡⎤≤-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+∑∑∑∑因此，n R 是一距离空间。
(,)n R ρ称为n 维欧氏空间。
注：若在n R 中规定 11(,)max i i i nx y x y ρ≤≤=- （2.1ˊ） 则1(,)n R ρ也是距离空间（读者自己验证）例2.3 所有数列组成的集合S ，对{}{},,n n a b S ξη==∈定义 11(,)21n n n i n na b a b ρξη∞=-=+-∑ （2.2） 那么(,)ρξη是S 上的度量。
式（2.2）通常称为Fr échet 组合。
(,)ρξη显然满足度量条件（1）~（2），我们来证也满足条件（3）。
事实上，对,ξη及{},n c S γ=∈由于函数()(0)1x x x xϕ=>+是单调增函数，因此由 n n n n n n a b a c c b -≤-+-得1111n n n n n n n n n n n n n n n n n n n na b a c c b a c c b a b a c c b a c c b --+---≤≤++-+-+-+-+- 在上市不等式两边同乘12n 再求和，便得 (,)(,)(,)ρξηρξγργη≤+因此(,)S ρ是距离空间。
例2.4 连续函数空间[],,C a b 对[],,,f g C a b ∈定义 (,)max ()()a t bf g f t g t ρ≤≤=- （2.3） 则(,)f g ρ是[],C a b 上的一个度量。
(,)f g ρ显然满足度量条件（1）~（2）。
对另一连续函数[],,h C a b ∈由[]()()()()()()max ()()max ()() =(,)(,),(,)a tb a t hf tg t f th t h t g t f t h t h t g t f h h g t a b ρρ≤≤≤≤-≤-+-≤-+-+∀∈ 所以(,)(,)(,)f g f h h g ρρρ≤+例2.5 函数类()(1)p L E p ≥（参见1.6节）,对,()p f g L E ∈定义 ()1(,)()()p p E f g f t g t dt ρ=-⎰（2.4） 则(,)f g ρ是()p L E 上的一个度量，((),)p L E ρ是度量空间。
由 1(,)0(()())0p pE f g f t g t dt ρ=⇒-=⎰ 根据Lebesgue 积分的性质有()()f t g t a e =⋅。
反之，若()()f t g t a e =⋅， 则(,)0f g ρ=。
所以，(,)f g ρ满足度量定义2.1中条件（1）；条件（2）显然满足；对另一函数()p h L E ∈，根据1.6节Minkowski 不等式有(,)(,)(,)p p p f g f g f h h g f h h g ρρρ=-≤-+-=+即(,)f g ρ满足度量定义条件（3），所以(,)f g ρ是()p L E 上的一个度量，((),)p L E ρ是度量空间。
例2.6 [],L a b ∞是本性有界可测函数的全体，即[],a b 上除某个零测度外，在它的补集上是有界的可测函数全体。
对[],,,f g L a b ∞∈定义[][][]0,,,(,)inf sup ()()var sup ()()mE t a b E t a b E a b f g f t g t i f t g t ρ=∈-∈⊂⎧⎫=-=-⎨⎬⎩⎭ （2.5） 则(,)f g ρ是[],L a b ∞上的一个度量，[](,,)L a b ρ∞是度量空间。
由式（2.5）显然可知，(,)f g ρ满足度量条件（1）~（2）。
现证(,)f g ρ满足度量条件（3），对[],,,f g h L a b ∞∈及0ε∀>存在[][]12,,,E a b E a b ⊂⊂且120,mE mE ==使[][]11,,sup ()()(,)2sup ()()(,)2t a b E t a b E f t h t f h h t g t h g ερερ∈-∈--<+-<+从而有[][]{}[][][][]1212121212,,,,,,(,)sup ()() sup()()()() sup ()()sup ()() sup()()sup ()() t a b E E t a b E E t a b E E t a t E E t a b E t a b E f g f t g t f t h t h t g t f t h t h t g t f t h t h t g t ρ∈-⋃∈-⋃∈-⋃∈-⋃∈-∈-≤-≤-+-≤-+-≤-+- <(,)(,)f h h g ρρε++令0ε→得(,)(,)(,)f g f h h g ρρρ≤+。
所以(,)f g ρ是[],L a b ∞上的一个度量，[](,,)L a b ρ∞是度量空间。
2.1.2 距离空间中点列的收敛性非空集合X 引入距离（度量）后，就可以在其上定义点列的收敛概念。
【定义2.2】设X 是一个度量空间，,,(1,2,)n x x X n ∈=L 称点列{}n x 收敛于x ，是指(,)0(),n x x n x ρ→→∞叫做点列{}n x 的极限，记作lim n n x x →∞=或()n x x x →→∞。
度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处。
【定理2.1】 度量空间(,)X ρ中的收敛点列{}n x 的极限是唯一的，且若{}n x 收敛于,x X ∈则{}n x 的任意子列{}k x x 也收敛于x 。
证明：首先证明定理的第一部分。
设,x y X ∈都是{}n x 的极限，则对,n N ∀∈有 (,)(,)(,)n n x y x x x y ρρρ≤+令n →∞有(,)0,(,)0,n n x x x y ρρ→→必然有(,)0,x y ρ=因此,x y =这说明{}n x 最多有一个极限。
其次证明定理的第二部分。
设{}n x 收敛于x X ∈，于是0ε∀>，存在自然数N ，当n N >时，(,)n x x ρε<。
由于k n N ≥，从而当k n ≥时，也有(,),k n x x ρε<故{}k n x 收敛于x 。
证毕。
下面讨论某些具体空间中点列收敛的具体含义。
例2.7 n R 空间中点列{}(){}(0)()()()12,,,m m m n x x x x =L 按度量式（2.1）收敛于{}(){}(0)(0)(0)(0)12,,,n x x x x =L 的充分必要条件是对每个,(1)i i n ≤≤有()(0)()m i i x x m →→∞，即按坐标收敛。
证明：⇒对(1)i i n ∀≤≤，由于122()(0)()(0)()(0)1(,)n m m m i i k k k x x x x x x ρ=⎧⎫→≤→=⎨⎬⎩⎭∑ 因此，当()(0)()0()m x x m ρ→→→∞时，一定有()(0)0()m i i x x m →→→∞，()(0)()m i i x x m →→∞。
⇐由于122()(0)()(0)()(0)()(0)()(0)11221()n m m m m m k k n n k x x x x x x x x x x ρ=⎧⎫→=→≤→+→++→⎨⎬⎩⎭∑L 所以，对,(1)i i n ≤≤，当()(0)()m i i x x m →→∞时()(0)()0()m x x m ρ→→→∞。
泛函分析第四讲
Tx M x ,
则称 T是 DT Y 中的有界线性算子.
当 DT X时，称 T 是 X Y 中的有界线性算子.
第二章 泛函分析
第二节 赋范线性空间及Banach空间
二、有界线性算子和连续线性泛函
泛函分析
2.2 赋范线性空间及Banach空间
第二章 泛函分析
一、赋范线性空间
1. 赋范线性空间的定义
定义1 设 X 是复（或实）的线性空间，
如果对于 X 中的每个 x ，对应于一个实数 x ，
且满足 (1) x 0，x 0 x 0；
(2) x x ， R 或 C；
（非负性） （齐次性）
第二章 泛函分析
第二节 赋范线性空间及Banach空间
三、线性算子空间和共轭空间
定理5 ƁX Y 按通常的线性运算及算子范数
构成一个赋范线性空间. 证Ax sup Ax
x 1
x 1
x 1
A
（3）A B sup A Bx sup Ax Bx
x D, x 0
第二章 泛函分析
第二节 赋范线性空间及Banach空间
二、有界线性算子和连续线性泛函
定理3 设 X ,Y 是两个赋范线性空间， T : X Y 的线性算子，则T连续的充要条件是 T有界.
证明 必要性 若T连续但无界
xn X，xn 0n 1,2, 使 Txn n xn
令
yn
定理2 设 X ,Y 是两个赋范线性空间，T是定义在 X 的子空间D上而值域含在 Y 中的线性算子，则 T 是有界的充要条件是 T将D中任一有界集映成 Y 中有界集.
证明 必要性
第二章赋范线性空间黎永锦
第2章 赋范线性空间虽然不允许我们看透自然界本质的秘密,从而认识现象的真实原因,但仍可能 发生这样的情形：一定的虚构假设足以解释许多现象.Eurler L . (欧拉) (1707-1783,瑞士数学家)Schmidt E .在1908 年讨论由复数列组成的空间}||:){(12∞<∑∞=i ii zz 时引入记号||||z 来表示211)(∑∞=i i i z z ,||||z 后来就称为z 的范数.赋范空间的公理出现在Riesz F .在 1918年关于],[b a C 上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在 1920到1922年间由 Banach S .（1892—1945）、Hahn H .（1879—1934）、Helly E .（1884—1943）和 Wiener N .（1894—1964）给出的,其中以Banach S .的工作最具影响.2.1赋范空间的基本概念线性空间是Peano Giuseppe 在1888年出版的书Geometrical Calculus 中引进的.Banach S .在1922年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为Banach 空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,第二组定义了范数,第三组给出了空间的完备性.定义 2.1.1 设K 是实数域R 或复数域C ,X 是数域K 上的线性空间,若||||⋅是X 到R 的映射,且满足下列条件：(1) 0||||≥x 且0||||=x 当且仅当0=x ; (2) ||||||||||x x λλ=,对任意X x ∈和任意K ∈λ ;(3) ||||||||||||y x y x +≤+,对任意X y x ∈, .则称||||⋅为X 上的范数,而||||x 称为x 的范数,这时称||)||,(⋅X 为赋范线性空间.明显地,若||)||,(⋅X 为赋范线性空间,则对任意X y x ∈,,定义||||),(y x y x d -=时,),(d X 为度量空间,但对一般的度量空间),(d X ,当X 为线性空间时,若定义)0,(||||x d x =,则||||x 不一定就是X 上的范数.例2.1.1 设s 数列全体,则明显地,s 为线性空间,对任意的s y x ∈,, 定义∑∞=-+-=1|)|1(!||),(i i i i i y x i y x y x d则∑∞=+=1|)|1(!||)0,(i i i x i x x d但)0,(|||)|||1(!||||)0,(1x d x i x x d i i i λλλλ≠+=∑∞=取)0,,0,1(0Λ=x ,210=λ,则 3121121)0,(00=+=x d λ 而412121)0,(||00=⨯=x d λ因此)0,(||)0,(0000x d x d λλ≠所以,)0,(0x d 不是s 上的范数.问题 2.1.1 对于线性空间X 上的度量d , 它满足什么条件时,)0,(||||x d x =才能成为范数？定理2.1.2 设X 是线性空间,d 是X 上的度量,在X 上规定)0,(||||x d x =,则X 成为赋范线性空间的条件是：(1) )0,(),(y x d y x d -=,对任意X y x ∈, ；(2) )0,(||)0,(x d x d λλ=,对任意X x ∈和任意K ∈λ.下面举出赋范线性空间的一些例子.例 2.1.3 对于}||,|){(11∞<∈=∑∞=i ii i xK x x l ,∑∞==1||||||i i x x 是1l 的范数, 即||)||,(1⋅l 是赋范线性空间.例2.1.4 对于∞<≤p 1,}||,|){(1∞<∈=∑∞=i p ii i p xK x x l 在范数pi pi x x 11)||(||||∑∞==下是赋范线性空间.例2.1.5 }||sup ,|){(∞<∈=∞i i i x K x x l 在范数||sup ||||i x x =下是赋范线性空间. 例2.1.6 }0lim ,|){(0=∈=∞→i i i i x K x x c 在范数||sup ||||i x x =下是赋范线性空间.例 2.1.7 }],[)(|)({],[上的连续函数为b a t x t x b a C =,在范数|)(|sup ||||t x x =下是赋范线性空间.由于赋范线性空间在度量||||),(y x y x d -=下是度量空间,因此,在度量所引入的序列收敛,开(闭)集、稠密和紧集等概念都可以在赋范线性空间中使用.定义 2.1.2 设X 是赋范空间X x X x n ∈⊂0,}{, 若n x 依度量||||),(y x y x d -=收敛于0x , 即0||||lim 0=-∞→x x n n ,则称n x 依范数||||⋅收敛于0x ,记为0||||x x n −→−⋅在赋范线性空间中,仍然用}|||||{),(00r x x X x r x U <-∈=记以0x 为球心,r 为半径的开球,用}|||||{),(00r x x X x r x B ≤-∈=记以0x 为球心,r 为半径的闭球. 为了方便,用}1|||||{=∈=x X x S X 记以0为球心,1为半径的闭单位球面. 用}1|||||{≤∈=x X x B X 记以0为球心,1为半径的闭单位球. 用}1|||||{<∈=x X x U X 记以0为球心,1为半径的开单位球.例2.1.8 在Euclid 空间2R 中,对于),(21x x x =可以定义几种不同的范数:||||||||211x x x += 2122212)|||(|||||x x x +=|}||,m ax {|||||213x x x =则对1),0,0(0==r x , 闭球)1,(0x B 在不同范数下的形状为：}1|||||{11≤=x x B}1|||||{22≤=x x B}1|||||{33≤=x x B思考题 2.1.1 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,问开球),(0r x U 的闭包是否一定是闭),(0r x B ?思考题2.1.2 设||)||,(⋅X 是线性空间,问闭球),(0r x B 内部是否一定是开球),(0r x U ?在赋范线性空间中,加法与范数都是连续的.定理2.1.8 若||)||,(⋅X 是赋范空间00,y y x x n n →→,则00y x y x n n +→+. 证明 由||||||||||)()(||0000y y x x y x y x n n n n -+-≤+-+可知定理成立. 定理 2.1.9 若||)||,(⋅X 是赋范空间,0x x n →,则||||||||0x x n →. 证明 由||||||||||||00x x x x n n +-≤和||||||||||||00n n x x x x +-≤,可知||||||||||||||00x x x x n n -≤-,因此||||||||0x x n →.定义2.1.3 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,若),(0||||,}{∞→→-⊂n m x x X x n m n 时, 必有X x ∈,使0||||→-x x n , 则称||)||,(⋅X 为完备的赋范线性空间.根据M.]1928,,,[Paris Villars Gauthier abstraits Espaces Frechet -的建议,完备的赋范线性空间称为Banach 空间.不难证明,∞∞<≤l p l c R p o n),1(,,都是Banach 空间.在数学分析中,曾讨论过数项级数,函数项级数,类似地,在赋范线性空间中,也可定义无穷级数.定义 2.1.4 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,若序列}{}{21n n x x x S +++=ΛΛ收敛于某个X x ∈时,则称级数∑∞=1n nx收敛,记为∑∞==1n nxx .定义2.1.5 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,若数列||}||||||||{||21n x x x +++ΛΛ收敛时, 则称级数∑∞=1n nx绝对收敛.在数学分析中绝对收敛的级数一定是收敛的,但在赋范空间上却不一定成立,先来看看下面一个定理.定理 2.1.10 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,则||)||,(⋅X 是Banach 空间的充要条件为X 的每一绝对收敛级数都收敛.证明 设||)||,(⋅X 是Banach 空间,且∑∞=1n nx绝对收敛,则由∞<∑∞=1||||n nx可知,对于n n x x x S +++=ΛΛ21,有)(0||||||||||||||||11∞→→++≤++=-+++++n x x x x S S p n n p n n n p n ΛΛ,因此n S 是X 的Cauchy 列,由||)||,(⋅X 的完备性可知,存在X x ∈使x S n n =∞→lim ,即x xn n=∑∞=1反之,设X 的每一个绝对收敛级数都收敛,则对于X 的Cauchy 列n x ,对kk 21=ε,有 ΛΛ<<<<<+121k k n n n n , 使得),2,1(21||||1Λ=<-+k x x kn n k k因而+∞<-∑∞=+1||||1n n n k k x x.由假设可知+∞<-∑∞=+1)(1n n n k k x x收敛于某个X x ∈,即}{k n x 收敛x ,所以n x 必收敛于x ,从而||)||,(⋅X 完备.事实上,在实数空间R 中,正是由于R 的完备性才保证了绝对收敛级数一定是收敛的.定义 2.1.6 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,若X M ⊂是X 的线性子空间,则称||)||,(⋅M 为||)||,(⋅X 的子空间,若M 还是||)||,(⋅X 的闭集, 则称||)||,(⋅M 为||)||,(⋅X 的闭子空间.明显地,若||)||,(⋅X 是Banach 空间,M 为||)||,(⋅X 的闭子空间,则||)||,(⋅M 是Banach 空间,反之亦然.定理 2.1.11 设||)||,(⋅X 是Banach 空间,M 为||)||,(⋅X 的子空间,则||)||,(⋅M 是Banach 空间当且仅当M 是X 的闭集.证明 设||)||,(⋅X 是Banach 空间,当M x n ∈,且x x n →时,则}{n x 为M 的Cauchy 列,因而}{n x 收敛于 M 上的一点,故M x ∈,即M M ∈',所以M 是闭集.反之,设M x n ⊂}{为Cauchy 列,则}{n x 为 ||)||,(⋅X 的Cauchy 列,由于||)||,(⋅X 是Banach 空间,因此}{n x 是收敛列, 即存在X x ∈使x x n →,又由于M 是||)||,(⋅X 的闭子空间,因此M x ∈,即n x 在M 中收敛于x ,所以||)||,(⋅M 是Banach 空间.定义2.1.7 设X 是线性空间,p 为X 上的一个实值函数,且满足： （1） 0)0(=p ；（2） )()()(y p x p y x p +≤+,对任意X y x ∈,； （3） )(||)(x p x p λλ=,对任意X x ∈,任意K ∈λ.则称p 为X 上的半范数.明显地,X 上的范数一定是半范数,但对X 上的半范数p ,由于0)(=x p 时不一定有0=x ,因此半范数不一定是范数.例2.1.9 在∞l 中,定义||)(11x x p =,易证)(1x p 是∞l 中的半范数,但对于),,,,0(2ΛΛn x x x =,都有0)(1=x p ,因此p 不是∞l 的范数.有什么办法能使),(p X 中的问题转化为赋范空间中来解决呢？定义 2.1.8 设X 是线性空间,M 是X 的线性子空间,若M x x ∈-21,则称1x 与2x 关于M 等价,记为)(~21M x x易知,等价具有下面的三个性质（1） x x ~（反射性）；（2） y x ~推出 x y ~（对称性）； （3） y x ~, z y ~ 推出z x ~（传递性）.明显地,若M 是线性空间X 的线性子空间,记}),(~|{~M y M x y y x ∈=, 则~x 的全体在加法~~~y x y x +=+和数乘~~x x αα=下是线性空间,称为X 对模M 的商空间,记为M X /.在商空间M X /中,对M X =∈~0,0, 即0是M X /的零元,而对M X /的每一元素~x ,~x 都是唯一确定的,并且对于加法和数乘都是唯一确定的.例2.1.10 对于}||sup |){(+∞<=∞i i x x l ,取}||sup ,0|){(1+∞<==i i x x x M , 则M 为∞l 的子空间,对M l y x /,∞∈,当~~y x =时有M y x ∈-,即011=-y x , 这时R M l ~/∞当||)||,(⋅X 为赋范线性空间,M 为X 的闭线性子空间时,在M X /商空间中还可以定义范数,使M X /成为赋范线性空间.定理 2.1.14 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,M 为X 的闭线性子空间,在M X /上定义范数}|||inf{||||||~~x y y x ∈=,则||)||,/(⋅M X 是赋范线性空间.利用上面的技巧,不难证明,当)(x p 为X 上的一个半范数时,取}|||inf{||||||},0)(|{~~x y y x x p x M ∈===,则||)||,/(⋅M X 是一个赋范线性空间,且对任意X x ∈有, )(||||~x p x =.当X 是空备赋范线性空间,M 为X 的闭子空间的,M X /还具有完备性.定理2.1.15 设X 是Banach 空间,M 为X 的闭子空间,则M X /是Banach 空间.2.2 范数的等价性与有限维赋范空间在同一线性空间上,可以定义几种不同的范数,使之成为不同的赋泛线性空间,但有时X 上的几种不同范数诱导出的拓扑空间是一样的,有时却很不相同,这主要是X 上的序列依范数收敛的不同引起的.定义 2.2.1 设X 是线性空间,1||||⋅和|2||||⋅是X 上的两个不同范数,若对X 中的序列}{n x ,当0||||10→-x x n 时,必有0||||20→-x x n ,则称范数1||||⋅比范数2||||⋅强,亦称2||||⋅比1||||⋅弱.若对X 中的序列}{n x ,0||||10→-x x n 当且仅当0||||20→-x x n 则称范数1||||⋅与2||||⋅等价.定理 2.2.1 设1||||⋅和2||||⋅是线性空间X 上的两个不同范数,则范数1||||⋅比2||||⋅强当且仅当存在常数0>C ,使得对任意X x ∈都有12||||||||x C x ≤.证明 若存在0>C ,使12||||||||x C x ≤,则明显地0||||1→-x x n 时,有0||||||||12→-≤-x x C x x n n ,因而1||||⋅比2||||⋅强.反过来,若范数1||||⋅比2||||⋅强,则必有0>C ,使12||||||||x C x ≤. 若不然,则对任意自然数n ,存在X x n ∈,使12||||||||n n x n x >. 令2||||n nn x x y =,则nx x y n n n 1||||||||||||211<=故0||0||1→-n y ,因而0||0||2→-n y ,但这与1||||||||||0||222==-n n n x x y 矛盾,所以必存在0>C ,使12||||||||x C x ≤,对任意X x ∈成立.推论 2.2.2 设1||||⋅与2||||⋅是线性空间X 上的两个不同范数,则范数1||||⋅与2||||⋅等价当且仅当存在常数0,021>>C C ,使得对任意X x ∈,有12211||||||||||||x C x x C ≤≤推论 2.2.3 设1||||⋅与2||||⋅是线性空间X 上的两个等价范数,则)||||,(1⋅X 是Banach 空间当且仅当)||||,(2⋅X 是Banach 空间.思考题 2.2.1 若1||||⋅与2||||⋅是线性空间X 上的两个不同范数,且)||||,(1⋅X 和)||||,(2⋅X 都是Banach 空间,是否就一定有1||||⋅与2||||⋅等价呢？定义2.2.2 设X 是n 维线性空间,||||⋅是X 上的范数,则称||)||,(⋅X 为n 维赋范线性空间.有限维赋范线性空间是Minkowski 在1896年引入的,因此有限维赋范线性空间也称为Minkowski 空间.若||)||,(⋅X 为n 维线性空间,n e e e ,,,21Λ为X 的一组线性无关组,则称n e e e ,,,21Λ为||)||,(⋅X 的Hamel 基,此时对任意X x ∈,x 都可以唯一地表示成∑==nn i i e x 1α定理 2.2.4 设||)||,(⋅X 是n 维线性空间n e e e ,,,21Λ是X 的Hamel 基,则存在常数1C 及02>C 使得2112221121)||(||||)||(∑∑==≤≤ni i ni i C x C αα对任意∑==nn i i e x 1α都成立.证明 对于任意ni K ∈=)(αα,定义函数||||)(1∑==nn i i e f αα则对任意n i K ∈=)(αα,ni K ∈=)(ββ,有21122112211211111)||()||||()||(|||||||||||||||||||||)()(|∑∑∑∑∑∑∑∑========-=-≤-≤-≤-=-n i iin i in i iini i i ini ni ii ii ni ii n n ii M ee e e e ef f βαβαβαβαβαβα这里2121)||||(∑==nn ieM ,因此f 是n K 到R 的连续函数.由于nK 的单位球面}1)||(|){(2112=∈=∑=ni in i K S αα是紧集,因此f 在S 上达到上下确界,即存在S i i ∈==)(),()0(0)0(0ββαα,使得10}|)(inf{)(C S f f =∈=ααα 20}|)(sup{)(C S f f =∈=ααβ因此对任ni K ∈=)(αα,有S ni iK n∈=∑=2112)||(||||αααα故21)||||(C f C nK≤≤αα即211221121121)||(||||)||(∑∑==≤++≤ni i n n ni i C e e C ααααΛ下面证明01>C ,容易知道02>C 的证法是类似的.假设01=C ,则有0||||)(1)0(0==∑=nn i ie f αα,故01)0(=∑=nn i ie α由}{i e 是X 的Hamel 基可知,0)0(=i α,从而00=α,但这与S ∈0α矛盾.定理 2.2.5 设X 是有限维线性空间,1||||⋅与2||||⋅是X 上的两个范数,则存在常数01>C , 02>C 使得12211||||||||||||x C x x C ≤≤定理 2.2.6 有限维的赋范线性空间一定是Banach 空间.证明 若}{m x 为n 维赋范线性空间||)||,(⋅X 的Cauchy 列,则对于X 的Hamel 基n e e e ,,,21Λ有i ni m im e x ∑==1)(α,由2112221121)||(||||)||(∑∑==≤≤ni i ni i C x C αα可知}{)(m iα亦为Cauchy 列,故存在R i ∈α,使得i m i αα→)(,因而有)(i αα=,使得0)||(2112)(→-∑=ni i m iαα令i ni ie x ∑==1α,则0||||→-x x m ,因此}{m x 是收敛序列,所以X 是完备的.在nR 中,M 是列紧的当且仅当M 是有界闭集,在有限维赋范空间中是否成立呢？下面就来讨论有限维赋范线性空间||)||,(⋅X 中紧集与有界闭集的关系.定理2.2.7 设||)||,(⋅X 是有限维的赋范线性空间,则X M ⊂是紧的当且仅当M 是有界闭集.证明 设n e e e ,,,21Λ为||)||,(⋅X 的Hamel 基,则对任意X x ∈,有i ni ie x ∑==1α定义nK 到X 的算子T :i ni i e T ∑==1)(αα则存在0,021>>C C ,使得2112221121)||(||)(||)||(∑∑==≤≤ni i i ni i C T C ααα从而T 是n K 到X 的连续算子,且是一一对应的. 由||)(||)||(21121ααT C ni i≤∑=可知1-T 是X 到n K 的连续算子, 因此T 是n K 到X 的拓扑同构.所以M 的紧集当且仅当 )(1M T -为n K 的紧集,从而M 是X 的紧集当且仅当M是有界闭集.问题2.2.1 若赋范线性空间||)||,(⋅X 的每个有界闭集都是紧集,则X 是否一定为有限维的赋范线性空间？为了回答上面的问题,先来讨论Riesz 引理,这是Riesz F .在1918年得到的一个很漂亮的结果.引理 2.2.8 （Riesz 引理）设M 是赋范线性空间||)||,(⋅X 的闭真子空间,则对任意10<<ε,存在1,=∈εεx X x ,使得εε≥-x x对任意M x ∈成立.证明 由于M 是X 的闭真子空间,因此≠M X \φ,故存在M X y \0∈,令}|||inf{||),(00M x x y M y d d ∈-==,则0>d .对任意10<<ε,由d 的定义可知,存在M x ∈0,使得εdx y d ≤-≤||||00令||||0000x y x y x --=ε,则1||||=εx ,且对任意M x ∈,有||)||||(||||||1||||||||||||0000000000x x y x y x y x y x y x x x -+--=---=-ε由M x ∈0,M x ∈和M 是线性子空间,可知M x x y x ∈-+||||000因此d x x y x y ≥-+-||)||||(||0000故εεε=≥-≥-ddx y d x x ||||||||00由Riesz 引理,容易得到有限维赋范线性空间特征的刻画.定理 2.2.9 赋范线性空间||)||,(⋅X 是有限维的当且仅当X 的闭单位球}1|||||{≤=x x B X 是紧的.证明 明显地,只须证明X B 是紧的时候,X 一定是有限维的.反证法,假设X B 是紧的,但X 不是有限维赋范线性空间,对于任意固定的,1X x ∈1||||1=x ,令}|{}{111K x x span M ∈==λλ,则1M 是一维闭真子空间,取21=ε,由Riesz 引理可知,存在1||||,22=∈x X x 且21||||2≥-x x 对任意1M x ∈成立,从而21||||12≥-x x . 同样地,令},{212x x span M =,则2M 是二维闭真空子空间,因而存在1||||,33=∈x X x ,使21||||3≥-x x 对任意2M x ∈成立,从而21||||13≥-x x 且21||||23≥-x x . 利用归纳法,可得一个序列X n B x ⊂}{,对任意n m ≠,有21||||≥-n m x x 因而}{n x 不存在任何收敛子序列,但这与X B 是紧集矛盾,由反证法原理可知X 是有限维赋范线性空间.推论2.2.10 赋范线性空间X 是有限维当且仅当X 的每个有界闭集是紧的.对于无穷维赋范线性空间X 的紧集的刻画,就比较困难.在]1,0[C 中,容易看出]1,0[}1|)(||)({C x f x f A ⊂≤=是]1,0[C 的有界闭集,但不是紧集.为了讨论]1,0[C 子集的紧性,需要等度连续的概念,它是由Ascoli 和Arzelà同时引入的.定义 2.2.3 设]1,0[C A ⊂,若对任意的0>ε,都存在0>δ,使得对任意的A f ∈,任意的]1,0[,∈y x ,δ<-||y x 时,一定有ε<-|)()(|y f x f ,则称A 是等度连续的.Ascoli 给出了]1,0[C A ⊂是紧的充分条件, Arzelà在1895年给出了]1,0[C A ⊂是紧的必要条件,并给出了清楚的表达.定理 2.2.11 (Arzel à-Ascoli 定理) 设]1,0[C A ⊂,则是紧的当且仅当A 是有界闭集, 且A 是等度连续的.2.3 Schauder 基与可分性一个Banach 空间,如果想把它看作序列空间来处理,最好的办法是引入坐标系,常用的方法是引入基的概念, Schauder 基是-Fun in stetiger Theorie Zur Schauder J [..]6547.)1927(26,,-pp t Zeitschrif che Mathematis men ktionalrau 引入的.定义 2.3.1 Banach 空间||)||,(⋅X 中的序列}{n x 称为X 的Schauder 基,若存在对于任意X x ∈,都存在唯一数列K a n ⊂}{,使得nn n x x ∑∞==1α容易看到,有限维赋范线性空间一定具有Schauder 基.例2.3.1 在1l 中令),0,1,0,,0(ΛΛ=n e ,则}{n e 为1l 的Schauder 基,明显地,在)01(,,0∞<<p l c c 中,}{n e 都是Schauder 基.Schauder J .在1928年还在]1,0[C 中构造一组基,因而]1,0[C 也具有Schauder 基. 具有Schauder 基的Banach 空间具有许多较好的性质,它与Banach 空间的可分性有着密切联系.定义 2.3.2 ||)||,(⋅X 是赋范线性空间,若存在可数集X M ⊂,使得X M =,即可数集在X 中稠密,则称X 是可分的.若||)||,(⋅X 可分,则存在可数集X x n ⊂}{,使得对任意X x ∈及任意0>ε,都有某个}{n n x x ∈ε,满足εε<-||||x x n .例2.3.2 由于有理数集Q 是可数集,且R Q =,因此R 是可分的.类似地,n R 也是可分的赋范空间.例2.3.3 对于p l p ,1+∞<≤都是可分的,因为取时，使得存在N i N x M i >=,|){(},,0都是有理数时并且i i x N i x <=,则M 是可数集,并且p l M =.实际上,对任意p l x ∈,由+∞<∑∞=pi pi x 11)||(可知,对任意0>ε,存在N ,使得2||1pN i pix ε<∑∞+=, 取有理数N q q q Λ,,21,使2||1pNi pi i x q ε<-∑=,则M q q q x N ∈=)00,,,(21ΛΛε,且εε<+-≤-∑∑∞+==pN i p iNi p i i xx q x x 111)||||(,因此p l M =,所以p l 是可分的.例 2.3.4 由Weierstrass 逼近定理可知对任意],[b a C x ∈,必有多项式0→-x p n ,取M 为],[b a 上有理系数的多项式全体,则M 是可数集,且],[b a C M =,因而],[b a C 是可分的赋范线性空间.定理2.3.5 若||)||,(⋅X 赋范空间有Schauder 基,则X 一定可分的. 证明 为了简明些,这里只证明||)||,(⋅X 为实的情形.设}{i e 为X 的Schauder 基,则任意X x ∈有∑∞==1i ii ea x ,这里R a i ∈.令},|{1Q q N n eq M i ni ii ∈∈=∑=,则M 是可数集,且对任意X x ∈及任意0>ε,存在M x ∈ε,使得εε<-x x ,因此X M =,所以M 为可分的赋范空间.对于复赋范空间||)||,(⋅X ,可令},,|)({1Q pq N n e ip q M iini iii∈∈+=∑=,证明是类似的.问题2.3.1 是否每个赋范空间都具有Schauder 基？ 例2.3.6 赋范空间∞l 没有Schauder 基.由于∞l 不可分,因而一定没有Schauder 基.事实上,假设∞l 可分,则存在∞∈=l x x m im )()(,使得}{m x X =.令=)0(ix ⎪⎩⎪⎨⎧>≤+. 1|| 0；1|x | ,1)((i)i )(时当时当i i i i x ，x 则211||sup )0(=+≤i x ,即∞∈=l x x i)()0(0,并且1||||sup ||||)0()()0()(10≥-≥-=-∞<≤m m m i m i i m x x x x x x所以}{m x 不存在任何收敛子列收敛于0x ,故}{0m x x ∉,从而}{m x X ≠,但这与假设}{m x l =∞矛盾,因此∞l 不可分.另外,还再进一考虑下面的问题：问题2.3.2 是否每个可分的赋范空间都具有Schauder 基？上面问题自从S. Banach 在1932年提出后,很多数学家为解决这一问题做了很多的努力,由于常见的可分Banach 空间,如10,l c 等都具有Schauder 基，因此大家都以为问题的答案是肯定的,但所有的努力都失败了,大家才倾向于问题的答案是否定的.Enflo P .在1972年举出了一个例子,它是可分的赋范空间,但不具有Schauder 基[A counterexample to the approximation problem in Banach spaces. Acta Math. 130(1973), 309-317.]2.4 线性连续泛函与Banach Hahn -定理Banach S .1929年引进共轭空间这一重要概念,这也就是赋范线性空间上的全体有界线性泛函组成的线性空间,在这个线性空间上取泛函在单位球面的上界为范数,则共轭空间是完备的赋范线性空间. Banach S .还证明了每一连续线性泛函是有界的,但最重要的是Banach S .和Hahn H .各自独立得到的一个定理,这就是泛函分析中最著名的基本定理,即Banach Hahn -定理,它保证了赋范线性空间上一定有足够多的连续线性泛函.泛函这名称属于Hadamard ,他是由于变分问题上的原因研究泛函.定义 2.4.1 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,f 为X 到K 的映射,且对于任意X y x ∈,及K ∈βα,,有)()()(y f x f y x f βαβα+=+则称f 为X 的线性泛函.例2.4.1 在∞l 上,若定义1)(x x f =,则f 为∞l 上的线性泛函.由于线性泛函具有可加性,因此,线性泛函的连续性比较容易刻画.定理2.4.2 设f 是赋范线性空间||)||,(⋅X 上的线性泛函,且f 在某一点X x ∈0上连续,则f 在X 上每一点都连续.证明 对于任意X x ∈,若x x n →,则00x x x x n →+-由f 在0x 点的连续性,因此)()(00x f x x x f n →+-所以)()(x f x f n →,即f 在x 点连续.这个定理说明,要验证泛函f 的连续性,只须验证f 在X 上某一点（例如零点）的连续性就行了.问题2.4.1 是否存在一个赋范线性空间X ,X 上任意线性泛函都连续？例2.4.3 n R 上任意线性泛函都是连续的.事实上令)0,0,1,0,0(ΛΛ=i e ,则任意nR x ∈,有∑==ni ii ex x 1,设0,→∈m nm x R x ,则∑==ni i m im e x x 1)(,且0)(→m ix 对任意i 都成立.因此)0(0)()()(1)(1)(f e f x e x f x f ni i m ini i m i m =→==∑∑==,所以f 在0点连续,从而f 在n R 上任意点都连续.定义 2.4.2 若X 上的线性泛函把X 的任意有界集都映为K 的有界集,则称f 为有界线性泛函,否则f 为无界线性泛函.定理 2.4.4 设f 为赋范线性空间||)||,(⋅X 上的线性泛函,则f 是有界的当且仅当存在0>M ,使|||||)(|x M x f ≤.证明 若存在0>M ,使得对任意|||||)(|,x M x f X x ≤∈,则对于X 中的任意有界集F ,有0>r ,使得对任意F x ∈,有r x ≤||||,因此,Mr x M x f ≤≤|||||)(|对所有F x ∈成立,所以)(F f 为K 的有界集,即f 为有界线性泛函.反之,若f 为有界线性泛函,则f 把X 的单位球面}1|||||{)(==x x X S 映为K 的有界集,因此存在0>M ,使得对一切1||||=x ,有M x f ≤|)(|故对任意X x ∈,有M x xf ≤|)||||(| 所以|||||)(|x M x f ≤例2.4.5 对)(|){(i i x x c =为收敛序列},范数||sup ||||i x x =,若定义f 为i i x x f ∞→=lim )(,则f 为c 上的线性泛函,由于||sup ||||i x x =,因此|||||lim ||)(|x x x f i i ≤=∞→所以f 为c 上的有界线性泛函.对于赋范线性空间的线性泛函而言,有界性与连续性是等价的,Banach S .在1929年证明了每一个连续可加泛函（线性连续泛函）都是有界的.定理2.4.6 设X 是赋范线性空间,则X 上的线性泛函是连续的当且仅当f 是有界的. 证明 若f 是有界的,则由上面定理可知存在0>M ,使得|||||)(|x M x f ≤,因此当x x n →时,有)()(x f x f n →,即f 为连续的.反之,假设f 为连续线性泛函,但f 是无界的,则对任意自然数n ,存在X x n ∈,使得|||||)(|n n x n x f >令0,||||0==y x n x y n nn ,则01||||0→=-n y y n ,由f 的连续性可知)()(0y f y f n →,但1||||)()(>=n n n x n x f y f ,0)(0=y f ,从而 1|)()(|0>-y f y f n ,但这与)()(0y f y f n →矛盾.所以f 为连续线性泛函时,f 一定是有界的.线性泛函的连续性还可以利用f 的零空间是闭集来刻画.定理 2.4.7 设X 是赋范线性空间,则X 上的线性泛函是连续的当且仅当}0)(|{)(==x f x f N 为X 的闭线性子空间.证明 明显地)(f N 为线性子空间,因此只须证)(f N 是闭的.若f 是连续线性泛函,则当x x f N x n n →∈),(时,必有)()(x f x f n →,因而0)(=x f ,即)(f N x ∈,所以)(f N 是闭子空间.反之,若)(f N 是闭的,但f 不是有界的,则对于任意正整数n ,有X x n ∈,使|||||)(|n n x n x f >令||||n nn x x y =,则1||||=n y ,且n y f n >|)(|. 取)(,)()(11011y f yz y f y y f y z n n n -=-=, 由于01|)(|||||||)(||||||0→<==-ny f y y f y z z n n n n n 因而0z z n →,且0))()(()(11=-=y f yy f y f z f n n n ,即)(f N z n ∈,从而由)(f N 是闭集可知)(0f N z ∈,但这与1)(0-=z f 矛盾,因此当)(f N 是闭子空间时,f 一定是连续的. 从上面的讨论容易看出,X 上的全体连续线性泛函是一个线性空间,在这个线性空间上还可以定义其范数.定义2.4.3 设f 为X 上的线性连续泛函,则称|||||)(|sup||||0x x f f x ≠= 为f 的范数.明显地,若记X 上的全体线性连续泛函为*X ,则在范数||||f 下是一赋范空间,称之为X 的共轭空间.虽然Hahn H .在1927年就引起了共轭空间的概念,但Banach S .在1929年的工作更为完全些.容易看出,对于任意X f ∈,还有|)(|sup |)(|sup ||||1||||1||||x f x f f x x ≤===.但对于具体的赋范空间X ,要求出X 上的连续线性泛函的范数,有时是比较困难.例 2.4.8 设f 为1l 的连续线性泛函,若取}{i e 为1l 上的Schauder 基,则对任意)(i x x =,有∑∞==1i ii ex x , 故∑∞==1)()(i i ie f xx f ,因而)||(|)(|sup |)(||||)(||)(|111∑∑∑∞=∞=∞=≤≤=i iii iii iix e f e f x e f x x f从而|)(|sup ||||i e f f ≤. 取1)0,0,1,0,0(l e i ∈=ΛΛ, 则1||||=i e , 且|)(|||||||||||||i i e f e f f ≥=, 故|)(|sup ||||i e f f ≥,所以|)(|sup ||||i e f f =.设M 是赋范线性空间X 的子空间,f 为M 上的连续线性泛函,且存在0>C ,使得|||||)(|x C x f ≤对任意M x ∈成立,则f 是否可以延拓到整个范空间X 上？这一问题起源于n 维欧氏空间n R 上的矩量问题. Banach S . 在1920年提交的博士论文中,用几何语言将它推广到无限维空间．1922年,Hahn H .发表的论文也独立地得出类似结果． Hahn H . 在1927年将结果更一般化,在完备的赋范线性空间研究了这一问题,并证明了在X 上f 存在连续延拓F ,使得|||||)(|x C x F ≤对一切M x ∈成立,且对一切M x ∈,有)()(x f x F =. 1929年,Banach S .独立地发表了与Hahn H .相近的定理和证明,并把一定理推广为一般的情形,这就是下面的Banach Hahn -延拓定理.定理 2.4.9 设M 是实线性空间X 的线性子空间,f 为M 上的实线性泛函,且存在X 上的半范数)(x p 使得)(|)(|x p x f ≤, 对任意M x ∈成立则存在f 在X 上的延拓F ,使得(1) )(|)(|x p x F ≤, 对任意X x ∈成立; (2) )()(x f x F =, 对任意M x ∈成立.Bohnehbius F H ..与Sobczyk A . 在 1938 年还把Banach Hahn -定理推广到复线性空间.定理 2.4.10 设M 是复线性空间X 的复线性子空间,f 为M 上的线性泛函,p 是X 上半范数且满足)(|)(|x p x f ≤, 对任意M x ∈成立则存在f 在X 上的延拓F ,使得(1) )(|)(|x p x F ≤, 对任意X x ∈成立; (2) )()(x f x F =, 对任意M x ∈成立.利用线性空间的Banach Hahn -延拓定理,可以建立赋范线性空间上的保范延拓定理,它是Banach 空间理论的基本定理.定理 2.4.11 设M 是赋范线性空间X 的线性子空间,f 为M 上的连续线性泛函,则存在X 上线性连续泛函F ,使得(1) **=M X f F |||||||| ;(2) )()(x f x F =, 对任意M x ∈成立.这里*X F ||||表示F 在*X 的范数, *M f ||||表示f 在*M 的范数.证明 由于f 为M 上的连续线性泛函,因此对任意M x ∈,有|||||||||)(|x f x f M *≤. 定义半范数||||||||)(x f x p M *=,则有)(|)(|x p x f ≤,对任意M x ∈.由线性空间的Banach Hahn -定理可知存在F ,使得)()(x f x F =, 对任意M x ∈且)(|)(|x p x F ≤, 对任意X x ∈因此对于任意X x ∈,有|||||||||)(|x f x F M *≤,故F 为X 上的连续线性泛函,且**≤M X f F ||||||||.反过来,由**==≥=≠∈≠∈≠∈M x M x x M x x X x X f x x f x x F x x F F |||||||||)(|sup |||||)(|sup |||||)(|sup||||0,0,0,可知**=M X f F ||||||||, 且)()(x f x F =对任意M x ∈成立.在上面定理中,若X 是复赋范线性空间,则M 必须是复线性子空间.很有意思的是Bohnehbius F H ..和Sobczyk A .在1938年证明在任意无穷维复Banach 空间X 中,一定存在实线性子空间M ,在M 上有一复连续线性泛函不能保范延拓到X 上.问题2.4.2 在Banach Hahn -定理中,什么条件下保范延拓是唯一的？例2.4.12 在},|),{(2121R x x x x X ∈=上,定义范数||||||),(||||||2121x x x x x +==. 令}|)0,{(11R x x M ∈=, 明显地，M 是赋线性空间X 的线性子空间,对M x y ∈=)0,(1,定义1)(x y f =,则|||||||)(|1y x y f ==故1||||≤*M f ,且对)0,1(0=x ,有1|)(|,1||||00==x f x ,因而1||||=*M f ,但对X 上的线性泛函211)(x x x F +=212)(x x x F -=这里X x x x ∈=),(21 在M 上,都有)()(1y f y F = )()(2y f y F =对任意的M x y ∈=)0,(1成立. 在M 上有f F f F ==21,,且***==M X X f F F ||||||||||||21,因此21,F F 是f 的两个不同的保范延拓.定理2.4.13 设||)||,(⋅X 是赋范空间,M 是X 的子空间,X x ∈0,),(0M x d d =0}|||inf{||0>∈-=M y y x ,则存在*∈X f ,使得（1）对任意0)(,=∈x f M x ； （2）d x f =)(0； （3）1||||=f .证明 令}}{{0x M span E ⋃=∆,则对任意E x ∈,x 有唯一的表达式0'tx x x +=,这里M x K t ∈∈',.在E 上定义泛函g ：td x g =)(则g 为E 上的线性泛函,且 （1）d x g =)(0；（2）对任意0)(,=∈x g M x .对0'tx x x +=,不妨假设0≠t .由}||inf{||,|||)'(||)(|00M y x y d d t tx x g x g ∈-==+=可知||||||'||||'||||||'|||||||)(|000x tx x x tx t x t x t d t x g =+=+=--≤=. 因此g 是E 上的线性连续泛函,且1||||≤*M g .根据Banach Hahn -定理,有连续线性泛函*∈X f ,使得 （1）对任意)()(,x g x f E x =∈； （2）||||||||g f =.由0}|||inf{||0>∈-=M y y x d ,可知存在M x n ∈,使得d x x n →-||||0. 故df x x f x f x f x f d n n |||||||||||||)()(||)(|000→-⋅≤-==因此1||||≥f ,所以1||||=f ,且对所有M x ∈,有0)(=x f .特别地,当}0{=M 时,对任意00≠x ,有||||),(00x M x d =,因此由上面定理可知下面推论成立.推论 2.4.14 设X 是赋范线性空间,则对任意0,00≠∈x X x ,有*∈X f ,使得||||)(00x x f =,且1||||=f .该结论的重要意义在于它指出了任意赋范线性空间X 上都存在足够多的线性连续泛函.由下面推论还可知道X 中两个元素y x ,,若对所有*∈X f ,都有)()(y f x f =,则一定有y x =.推论 2.4.15 设X 是赋范线性空间,X y x ∈,则y x ≠当且仅当对存在*∈X f 使得)()(y f x f ≠.证明 假设y x ≠,则对y x z -=,有0||||≠z ,因此Banach Hahn -定理的推论可知存在1||||=f ,使得0||||)(≠=z z f ,从而)()(y f x f ≠.例题2.4.1 设X 是赋范线性空间,试证明对任意X x ∈0,有|)(|sup||||0,1||||0x f x Xf f *∈==证明 对任意*∈X f ,1||||=f ,有|||||||||||||)(|000x x f x f =≤因此|)(|sup||||0,1||||0x f x X f f *∈=≥另外, 但对0,00≠∈x X x ,存在*∈X f ,1||||=f ,使得 ||||)(00x x f =, 故|)(|sup||||0,1||||0x f x Xf f *∈=≤, 所以|)(|sup||||0,1||||0x f x Xf f *∈==.例题 2.4.2 设||)||,(⋅X 是赋范空间,若对于任意1||||,1||||,,==∈y x X y x 且y x ≠都有2||||<+y x ,试证明对于任意)1,0(∈α,有1||)1(||<-+y x αα.证明 反证法. 假设存在1||||||||00==y x 和)1,0(0∈α,使得1||)1(||0000=-+y x αα由Banach Hahn -定理的推论,可知存在*∈X f , 1||||=f ,使得||)1(||))1((00000000y x y x f αααα-+=-+即1)()1()(0000=-+y f x f αα这时一定有1)()(00==y f x f . 否则的话,若1)(0<x f 或1)(0<y f ,则1)1()()1()(000000=-+<-+ααααy f x f ,矛盾.因此2)(|)(|sup||||0000,1||||00=+≥+=+*∈=y x f y x f y x X f f ,又由2|||||||||||0000=+≤+y x y x可知2||||00=+y x ,但这与2||||00<+y x 的题设矛盾,因此由反证法原理可知对于任意)1,0(∈α,有1||)1(||<-+y x αα.2.5 严格凸空间Clarkson A J ..在1936年引入了一致凸的Banach 空间的概念,证明了取值一致凸的Banach 空间的向量测度Nikodym Radon -的定理成立,从而开创了从单位球的几何结构来研究Banach 空间性质的方法.Clarkson A J ..和Gkrein M . 独立地引进了严格凸空间,严格凸空间在最佳逼近和不动点理论上有着广泛的应用.定义 2.5.1 赋范空间X 称为严格凸的,若对任意1||||,1||||,,==∈y x X y x ,y x ≠,都有1||2||<+yx严格凸的几何意义是指单位球面X S 上任意两点y x ,的中点2yx +一定在开单位球}1|||||{<=x x U X 内.例2.5.1 Banach 空间0c 不是严格凸的. 取000),0,0,1,0(),,0,1,1(c y x ∈==ΛΛ,则1||||||||00==y x ,且对),0,0,1,21(200Λ=+y x ,明显地有 1||2||00=+y x .类似地,易验证,Banach 空间 ∞l l c ,,1都不是严格凸空间.例2.5.2 若1||||,1||||,,2==∈y x l y x 且y x ≠,则4||||2||||2)||2()||2()||()||(||||||||221212121222=+=+=-++=-++∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=y x y x y x y x y x y x i i i i i i i i i i从而4||||4||||22<--=+y x y x ,即1||2||<+yx . 所以2l 是严格凸的.类似地,容易证明Banach 空间)1(∞<<p l p 是严格凸的.定理2.5.3 若X 是严格凸赋范空间,则对任意非零线性泛函*∈X f , f 最多只能在X S 上的一点达到它的范数||||f .证明 反证法.假设存在1||||||||,0000==≠y x y x ,使得||||)()(00f y f x f ==由于||||)]()([21)2(0000f y f x f y x f =+=+ 因此||2||||||)2(||||0000y x f y x f f +≤+= 从而1||2||0≥+y x 明显地,12||||||||||2||0000=+≤+y x y x .因此 1||2||00=+y x ,但这与X 的严格凸假设矛盾,所以由反证法原理可知定理成立.设X 是赋范空间,M 是X 的子空间,对*∈X f , f 在X 上可能有不同的保范延拓,不过,*X 的严格凸性能保证保范延拓的唯一性.Taylor A .在1939年证明了以下结果-function linear of extension The Taylor A ,.[ ].547538),1959(5..,-J Math Duke als .定理 2.5.4 若*X 是严格凸,M 是X 的子空间,则对任意*∈M f ,f 在X 上有唯一的保范延拓.证明 反证法. 假设对*∈M f ,f 在X 上有两个不同的保范延拓1F 及2F ,即对任意M x ∈,都有)()()(21x F x F x f ==,且||||||||21F F =,则1||2/)||||||||(||21≤+f Ff F 由于2|)()(|sup 2||sup ||2||21,1||||21,1||||21x F x F F F F F Mx x X x x +≥+=+∈=∈= ||||2|)()(|sup,1||||f x f x f M x x ≥+=∈=因此1||2/)||||||||(||21=+f Ff F ,但这与*X 是严格凸矛盾. 所以f 在X 上只有唯一的保范延拓.思考题2.5.1 若对X 的任意子空间M ,任意的*∈M f ,f 在X 上都只有唯一的保范延拓,则*X 是否一定为严格凸的？严格凸性还保证了最佳逼近元的唯一性.定义2.5.2 设X 是赋范线性空间X x X M ∈⊂,,若存在M y ∈0,使得||||inf ||||0y x y x My -=-∈则称0y 为M 中对x 的最佳逼近元.定理2.5.5 设M 为赋范线性空间X 上的有限维子空间,则对任意X x ∈,存在M y ∈0,使得||||inf ||||0y x y x My -=-∈证明 令||||inf y x d My -=∈,由下确界的定义,存在M y n ∈,使得d y x n →-||||因而}{n y 是有界序列,即存在0>C ,使得C y n ≤||||,对任意n 成立.事实上,若}{n y 不是有界序列,则对任意N k ∈有}{n n y y k ∈,使得k y k n >||||,故)(||||||||||||||||∞→∞→-≥-≥-k x k x y y x k k n n .但这与d y x k n →-||||矛盾,所以}{n y 为有界序列.由于M 是有限维,且}{n y 为M 中有界序列,因此}{n y 存在收敛子列0y y k n →,且M y ∈0.故d y x y x k n k =-=-∞→||||lim ||||0,所以存在M y ∈0.且||||inf ||||0y x y x My -=-∈.问题2.5.1 上述定理中的最佳逼近元是否一定唯一？例 2.5.6 在2R 中,取范数|}||,max{|||||21x x x =,}|)0,{(11R x x M ∈=,则M 为2R 的一维子空间,取20)1,0(R x ∈=,对于任意M x x ∈=)0,(1,有1}1||,max{||||)0,()1,0(||||||110≥=-=-x x x x故1}|||inf{||),(00≥∈-=M x x x M x d对于)0,1(0=w ,有1||||00=-w x .因此1}|||inf{||),(00=∈-=M x x x M x d . 但对于)0,0(=u 及)0,1(-=v ,都有1||||||||00=-=-v x u x ,因此0x 在M 的最佳逼 元不唯一.既然上述定理中的最佳逼近元不唯一,那么什么时候才能保证唯一呢？定理2.5.7 设X 是严格凸空间,M 为X 的有限维子空间,X x ∈,则在M 中存在唯一的最佳逼近元,即存在M y ∈0,使得||||inf ||||0y x y x My -=-∈证明 令||||inf y x d My -=∈,假设存在M y y ∈21,, 使得d y x d y x =-=-|||||,||||21则由M y y ∈+221,可知d y y x ≥+-||2||21. 由于d y x y x y y x =-+-≤+-||2||||2||||2||2121,从而d y y x =+-||2||21. 因此1||||,1||||21=-=-d y x d y x ,且1||2/)(||21=-+-dy x d y x .但这与X 的严格凸性。
泛函分析第2章度量空间与赋范线性空间
泛函分析第2章度量空间与赋范线性空间泛函分析是数学中的一个重要分支，研究函数空间上的函数和运算的性质。
在泛函分析中，度量空间和赋范线性空间是两个基本的概念。
本文将介绍这两个概念以及它们的性质。
度量空间是一个集合X，其中定义了一个度量函数d：X×X→R，满足以下条件：1.非负性：对于任意的x，y∈X，有d(x,y)≥0，且当且仅当x=y时，d(x,y)=0；2.对称性：对于任意的x，y∈X，有d(x,y)=d(y,x)；3.三角不等式：对于任意的x，y，z∈X，有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)。
度量函数d可以看作是度量空间X中点之间的距离，由其性质可以推导出许多重要结论。
例如，由三角不等式的性质可以得出X中点列的收敛性质，即对于度量空间X中的点列{x_n}，如果存在x∈X，使得对于任意的ε>0，存在正整数N，当n≥N时，有d(x_n,x)<ε，那么称{x_n}收敛于x。
赋范线性空间是一个向量空间V，其中定义了一个范数函数∥·∥：V→R，满足以下条件：1.非负性：对于任意的x∈V，有∥x∥≥0，且当且仅当x=0时，∥x∥=0；2. 齐次性：对于任意的x∈V和实数a，有∥ax∥=，a，∥x∥；3.三角不等式：对于任意的x，y∈V，有∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥。
范数函数∥·∥可以看作是赋范线性空间V中向量的长度或大小，具有度量空间的部分性质，如非负性和齐次性。
范数函数还满足一条重要的性质，即∥x+y∥≥，∥x∥-∥y∥，这被称为三角不等式强化定理。
度量空间和赋范线性空间都具有一些不同的性质和概念。
例如，度量空间中存在序列的收敛性质，而赋范线性空间中存在序列的收敛性质以及序列的Cauchy性质。
同时，度量空间和赋范线性空间都可以构建拓扑结构，使其成为一个拓扑空间。
在拓扑空间中，点列的收敛性质和序列的Cauchy性质是等价的。
此外，度量空间和赋范线性空间都是完备的，即满足序列的Cauchy 性质的序列都收敛于空间中的一些点。
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
第二章 泛函分析
d (x，y) min x(t) y(t) 并非距离。因它不满足第 a t b
一个条件。即当min x(t) y(t) ＝0时，并不能说明 a t b
x(t)＝y(t)。我们可以通过下图来说明这个问题。
a
b
2、距离空间的完备性
（1）距离空间中的收敛列与柯西列
n
由此可设 x ＝ i i 1
(2)算子空间B( X，Y )
B(X，Y ) T | T : X Y为有界线性算子，则可证B(X，Y )
关于算子加：(T1 T2 )x T1x T2x，算子数乘(T )x Tx，是
线性空间。其中的零元即零算子：把任意的x映射成0。
定义（X 有限维）Q X 有限维，可设其基为x1……xn，
则对任意x X，有x 1x1 …… n xn Tx T (1x1 …… n xn )
T线性 1Tx1 …… nTxn
1 Tx1 …… n Txn C( 1 …… n )
收敛
柯西列
完备性
距离 空间
lim
n
d
(
xn，x)
0
lim
n，m
d
( xn，xm
)
0
任意柯 西列均
赋范 空间
lim
n
xn x
0
lim
n，m
xn xm
0
收敛
二、有界线性算子与泛函 1、有界性算子与算子空间 （1）有界性算子 # 算子：即映射T : X Y，其中X 和Y是实线性空间。
n
1 n
0。
一般的，在距离( X，d )中，设点列xn X，若有x X，
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泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
泛函分析第2章 度量空间与赋范线性空间
第2章度量空间与赋范线性空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念。
事实上，它是n 维欧几里得空间n R 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。
它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。
因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。
度量空间的基本概念距离（度量）空间的概念在微积分中，我们研究了定义在实数空间R 上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R 上现有的距离函数d ，即对y x y x d R y x -=∈),(,,。
度量是上述距离的一般化：用抽象集合X 代替实数集，并在X 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。
【定义】 设X 是一个非空集合，),(••ρ：[)∞→⨯,0X X 是一个定义在直积X X ⨯上的二元函数，如果满足如下性质：（1） 非负性 y x y x y x X y x =⇔=≥∈0,(,0),(,,ρρ； （2） 对称性 ),(),(,,x y y x X y x ρρ=∈（3） 三角不等式 ),(),(),(,,,y z z x y x X z y x ρρρ+≤∈；则称),(y x ρ是X 中两个元素x 与y 的距离（或度量）。
此时，称X 按),(••ρ成为一个度量空间（或距离空间），记为),(ρX 。
`注：X 中的非空子集A ，按照X 中的距离),(••ρ显然也构成一个度量空间，称为X 的子空间。
当不致引起混淆时，),(ρX 可简记为X ,并且常称X 中的元素为点。
例 离散的距离空间设X 是任意非空集合，对X 中任意两点,,x y X ∈令1 (,)0 x yx y x y ρ≠⎧=⎨=⎩显然，这样定义的),(••ρ满足距离的全部条件，我们称(,)X ρ是离散的距离空间。
这种距离是最粗的。
它只能区分X 中任意两个元素是否相同，不能区分元素间的远近程度。
泛函分析知识点
泛函分析知识点 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-泛函分析知识点知识体系概述（一）、度量空间和赋范线性空间第一节度量空间的进一步例子1.距离空间的定义：设X是非空集合，若存在一个映射d：X×X→R，使得∀x,y,z∈X,下列距离公理成立：（1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0⇔x=y;（2）对称性：d(x,y)=d(y,x);（3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x与y的距离，X为以d为距离的距离空间，记作（X，d）2.几类空间例1离散的度量空间例2序列空间S例3有界函数空间B(A)例4可测函数空M(X)例5C[a,b]空间即连续函数空间例6l2第二节度量空间中的极限，稠密集，可分空间1.开球定义设（X,d）为度量空间，d是距离，定义U(x0,ε)＝{x∈X|d(x,x0)<ε}为x0的以ε为半径的开球，亦称为x0的ε一领域.2. 极限定义若{x n }⊂X,∃x ∈X,s.t.()lim ,0n n d x x →∞=则称x 是点列{x n }的极限. 3. 有界集定义若()(),sup ,x y Ad A d x y ∀∈=<∞，则称A 有界4. 稠密集定义设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M 表示M 的闭包，如果E M ⊂,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。
5. 可分空间定义如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。
第三节连续映射1.定义设X=(X,d),Y=(Y,~d )是两个度量空间，T 是X 到Y 中映射，x0X ∈,如果对于任意给定的正数ε，存在正数0δ>，使对X 中一切满足()0,d x x δ< 的x ，有()~0,d Tx Tx ε<，则称T 在0x 连续.2.定理1设T 是度量空间（X,d ）到度量空间~Y,d ⎛⎫ ⎪⎝⎭中的映射，那么T 在0x X ∈连续的充要条件为当()0n x x n →→∞时，必有()0n Tx Tx n →→∞3.定理2度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像1T M -是X 中的开集.第四节柯西（cauchy ）点列和完备度量空间1.定义设X=(X,d)是度量空间，{}n x 是X 中点列，如果对任意给定的正数0ε>，存在正整数()N N ε=,使当n,m>N 时，必有(),n m d x x ε<，则称{}n x 是X 中的柯西点列或基本点列。
泛函中四大空间
泛函中四大空间的认识第一部分我们将讨论线性空间，在线性空间的基础上引入长度和距离的概念，进而建立了赋范线性空间和度量空间。
在线性空间中赋以“范数”，然后在范数的基础上导出距离，即赋范线性空间，完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。
范数可以看出长度，赋范线性空间相当于定义了长度的空间，所有的赋范线性空间都是距离空间。
在距离空间中通过距离的概念引入了点列的极限，但是只有距离结构、没有代数结构的空间，在应用过程中受到限制。
赋范线性空间和内积空间就是距离结构与代数结构相结合的产物，较距离空间有很大的优越性。
赋范线性空间是其中每个向量赋予了范数的线性空间，而且由范数诱导出的拓扑结构与代数结构具有自然的联系。
完备的赋范线性空间是Banach 空间。
赋范线性空间的性质类似于熟悉的n R ，但相比于距离空间，赋范线性空间在结构上更接近于n R 。
赋范线性空间就是在线性空间中，给向量赋予范数，即规定了向量的长度，而没有给出向量的夹角。
在内积空间中，向量不仅有长度，两个向量之间还有夹角。
特别是定义了正交的概念，有无正交性概念是赋范线性空间与内积空间的本质区别。
任何内积空间都赋范线性空间，但赋范线性空间未必是内积空间。
距离空间和赋范线性空间在不同程度上都具有类似于n R 的空间结构。
事实上，n R 上还具有向量的内积，利用内积可以定义向量的模和向量的正交。
但是在一般的赋范线性空间中没有定义内积，因此不能定义向量的正交。
内积空间实际上是定义了内积的线性空间。
在内积空间上不仅可以利用内积导出一个范数，还可以利用内积定义向量的正交，从而讨论诸如正交投影、正交系等与正交相关的性质。
Hilbert 空间是完备的内积空间。
与一般的Banach 空间相比较，Hilbert 空间上的理论更加丰富、更加细致。
1 线性空间（1）定义：设X 是非空集合，K 是数域，X 称为数域上K 上的线性空间，若,x y X ∀∈，都有唯一的一个元素z X ∈与之对应，称为x y 与的和，记作z x y =+,x X K α∀∈∈，都会有唯一的一个元素u X ∈与之对应，称为x α与的积，记作u x α=且,,x y z X ∀∈，,K αβ∈，上述的加法与数乘运算，满足下列8条运算规律：10 x y y x +=+20 ()()x y z x y z ++=++30 在X 中存在零元素θ，使得x X ∀∈，有x x θ+=40 x X ∀∈，存在负元素x X ∀-∈，使得()x x θ+-=50 1x x ⋅=60 ()()x x αβαβ=70 ()+x x x αβαβ+=80 ()x y x y ααα+=+当K R =时，称X 为实线性空间；当K C =时，称X 为复线性空间（2）维数：10 设X 为线性空间，12,,,n x x x X ∈ 若不存在全为0的数12,,,n K ααα∈ ，使得11220n n x x x ααα+++=则称向量组12,,,n x x x 是线性相关的，否则称为线性无关。
泛函分析第二章
( i ) d ( x , y ) x y 0; d ( x , y ) 0 x y 0 x y;
( ii ) d ( x , y ) x y y x d ( y , x ); ( iii ) d ( x , y ) x y x z z y d ( x , z ) d ( z , y ). 所以d 是X 上的距离.
n 1
xn1 xn p ε . S n p S n ε .
从而
{ Sn }是Cauchy列, 而X 完备,故 xk收敛.在
k 1
x
k 1
n
k
xk
k 1
n
中令n ，得
x
k 1
k
xk .
k 1
反之，设X中, 任意级数(2)收敛必有(1)收敛, 且{ xn } 是X中任一Cauchy列. 1 因{ xn }是Cauchy列, 故对ε , n1 , 当m , n n1时,有 2 1 xm xn , 2 特别地，当m n1时 1 xm xn1 . 2
k 1
必收敛，其前k项的部分和是xnk , 设xnk s ( k ).
因{ xn }是Cauchy列, 故ε 0, N , 当m, n N时，
xn xm ε .
特别地，当n, nk N时，有 xn xnk ε .
令k , 则当n N时，
x { n } l , 定义 ξ
x supξ
n1 n
,
则l 是不可分的Banach空间.
注：若1 p2 p1 ,并且0 mE ，则
L (E) L (E) L (E) .