几种膨胀映射的不动点定理
不动点定理
不动点定理
（Fixed-point theorem ）
举例：头皮的旋儿，指纹，地球表面无风处等，搅动杯中咖啡，两张报纸
三维空间中的情况：如果我们用一个密封的锅子煮水，那么总有一个水分子在煮开前的某一刻和煮开后的某一刻处于同样的位置。
地球绕着它的自转轴自转。
自转轴在自转过程中的不变的，也就是自转运动的不动点。
布劳威尔不动点定理
1. 区间[0,1]到[0,1]的连续映射f . 存在0[0,1]x ∈,使得00()f x x =.
2. 矩形[0,1]⨯[0,1]到自身的连续映射F . 存在00(,)x y ∈[0,1]⨯[0,1]，使得0000(,)(,)F x y x y =。
3. 推广到多维情况: Brouwer 不动点定理断言：从有限维欧氏空间中的紧凸集到自身的任意连续映射具有不动点。
据调查统计90%以上的数学家都能叙述这个定理，但只有不到10%的数学家能够给出证明.
由于价格均衡原理Deberu 获得诺贝尔经济学奖（1983）
Nash 在普林斯顿的博士论文中，证明多人博弈平衡点的存在性时用的正是他重新发现的―Brouwer 不动点原理
巴拿赫压缩映像原理
先介绍压缩的含义
一维情况举例
二维情况举例，地图与真实地域关系。
三位情况举例，占满容器的海绵再压缩。
描述高维情况
庞卡莱-伯克豪夫扭转定理
(Poincare-Birkhoff Twist Theorem)
莫泽扭转定理
(Moser Twist Theorem)。
不动点定理及应用张石生
不动点定理及应用张石生不动点定理是数学分析中的一个重要定理，也是实分析的基础之一。
它是通过将函数与自身的某个值进行比较，来研究函数性质的一个方法。
在实际问题中，不动点定理具有广泛的应用，如经济学、物理学、计算机科学等领域。
不动点定理的基本概念是，对于一个给定的函数f(x)，如果存在一个点c使得f(c)=c，那么c就是f的一个不动点。
换句话说，不动点是指函数f的输入和输出相等的点。
不动点定理的核心思想是通过迭代法逼近不动点。
最著名的不动点定理是Banach不动点定理（也称为完备性原理），它的形式是：在完备度量空间中，任何一个压缩映射都有唯一的不动点。
其中，完备度量空间指的是一个具有一个完整的度量的空间，而压缩映射指的是一个将空间元素映射到自身并保持距离不变的映射。
不动点定理的应用非常广泛。
以下列举一些典型的应用领域。
1. 经济学：在经济学中，不动点定理常常用于证明经济学模型中的均衡存在和稳定性。
例如，通过将供求函数模型转化为一个演化方程，可以证明在某些条件下存在一个不动点，表示市场均衡；而通过分析不动点的稳定性，可以研究市场的长期发展趋势。
2. 物理学：在物理学中，不动点定理常用于分析非线性方程的解的存在性与性质。
例如，在动力系统的研究中，可以将动力学方程表示为一个不动点问题，通过分析不动点的性质来研究系统的稳定性和演化行为。
3. 计算机科学：在计算机科学中，不动点定理常常用于程序的求解和优化。
例如，在编译器优化中，可以将程序转化为一个抽象语法树，通过对抽象语法树的变换来求解程序的不动点，以达到提高程序性能的目的。
4. 几何学：在几何学中，不动点定理常用于证明几何变换的存在性和特性。
例如，在拓扑学中，可以通过不动点定理来研究拓扑空间的连续映射和同胚映射的性质。
综上所述，不动点定理是数学分析中的一个重要定理，它通过引入不动点的概念，研究函数的性质和方程的解的存在性。
在实际应用中，不动点定理被广泛用于经济学、物理学、计算机科学等领域，为解决实际问题提供了有力的工具和方法。
数学分析 Brouwer 不动点定理
数学分析(二):多元微积分梅加强副教授南京大学数学系内容提要:内容提要:Brouwer不动点定理;内容提要:Brouwer不动点定理; 鼓包函数与光滑化.数学中的很多问题经常转化为解方程,解方程往往又转化为求不动点.数学中的很多问题经常转化为解方程,解方程往往又转化为求不动点.在多元函数的微分学中,我们用了压缩映像原理找不动点的方法证明了反函数定理.数学中的很多问题经常转化为解方程,解方程往往又转化为求不动点.在多元函数的微分学中,我们用了压缩映像原理找不动点的方法证明了反函数定理.下面我们介绍另一种常用的证明不动点的存在性的结果,它对映射的要求没有压缩映射那么高.数学中的很多问题经常转化为解方程,解方程往往又转化为求不动点.在多元函数的微分学中,我们用了压缩映像原理找不动点的方法证明了反函数定理.下面我们介绍另一种常用的证明不动点的存在性的结果,它对映射的要求没有压缩映射那么高.这儿我们要用鼓包函数进行光滑的技巧,以及Gauss-Green公式.数学中的很多问题经常转化为解方程,解方程往往又转化为求不动点.在多元函数的微分学中,我们用了压缩映像原理找不动点的方法证明了反函数定理.下面我们介绍另一种常用的证明不动点的存在性的结果,它对映射的要求没有压缩映射那么高.这儿我们要用鼓包函数进行光滑的技巧,以及Gauss-Green公式.定理1(Brouwer不动点定理)设D为R n中的闭球,ϕ:D→D为连续映射,则ϕ必有不动点.函数的光滑化不失一般性,我们设D是以原点为中心的单位闭球.不失一般性,我们设D是以原点为中心的单位闭球.在证明定理之前先做一点准备工作.首先,为了利用微分学的手段,我们要对连续函数进行所谓的光滑化.不失一般性,我们设D是以原点为中心的单位闭球.在证明定理之前先做一点准备工作.首先,为了利用微分学的手段,我们要对连续函数进行所谓的光滑化.引理1设ψ:D→R n为连续的向量值函数,且当x∈S n−1=∂D时ψ(x)=x,则任给ε>0,存在光滑向量值函数ρ:D→R n,使得ρ(x)=x,∀x∈S n−1; ρ(x)−ψ(x) <ε,∀x∈D.不失一般性,我们设D是以原点为中心的单位闭球.在证明定理之前先做一点准备工作.首先,为了利用微分学的手段,我们要对连续函数进行所谓的光滑化.引理1设ψ:D→R n为连续的向量值函数,且当x∈S n−1=∂D时ψ(x)=x,则任给ε>0,存在光滑向量值函数ρ:D→R n,使得ρ(x)=x,∀x∈S n−1; ρ(x)−ψ(x) <ε,∀x∈D.证明.记f(x)=ψ(x)−x,则fS n−1≡0.我们先对f做光滑化.因为有界闭集上的连续函数具有一致连续性,任给ε>0,存在δ>0,使得当 x−y ≤δ时 f(x)−f(y) <ε/2.证明(续).取η=δ1+δ,令g (x )= f x 1−η , x ≤1−η,0, x >1−η,则g 连续,且当x ∈D 时 g (x )−f (x ) <ε/2.设φ是我们之前构造的一元鼓包函数,记φη(x )=c −1η−n φ(η−1 x ),其中c 是φ( x )在R n 中的积分.此时φη在R n 的积分为1,且其支集含于B η(0).令h (x )= R n g (y )φη(x −y )d y = R ng (x −y )φη(y )d y ,根据函数参变量积分的性质可知h 是光滑函数,再根据鼓包函数的性质可知h S n −1=0, h (x )−g (x ) ≤ε/2.记ρ(x )=x +h (x ),则ρ是满足要求的光滑函数.引理2设ρ:D→R n为C2的向量值函数,如果当x∈S n−1时ρ(x)=x,则ρ必有零点.引理2设ρ:D→R n为C2的向量值函数,如果当x∈S n−1时ρ(x)=x,则ρ必有零点.证明.(反证法)设ρ没有零点.在R n\{0}中记ω0=ni=1(−1)i−1 x −n x i d x1∧···∧d x i−1∧d x i+1∧···∧d x n,直接的计算表明dω0=0.同理,记ω=ρ∗ω0=ni=1(−1)i−1 ρ −nρi dρ1∧···∧dρi−1∧dρi+1∧···∧dρn其中ρi是ρ的分量,则仍有dω=0.证明(续).利用Gauss-Green公式以及ρ(x)=x(x∈S n−1)可得0=D dω=S n−1ω=S n−1ω0=S n−1ni=1(−1)i−1x i d x1∧···∧d x i−1∧d x i+1∧···∧d x n =Dn dx1···dx n=nν(D)>0,这就得出了矛盾.Brouwer不动点定理的证明.(反证法)设ϕ没有不动点.用直线段连接ϕ(x)和x,其延长线交球面于ψ(x).容易看出ψ:D→S n−1连续,且当x∈S n−1时ψ(x)=x.根据引理1,存在光滑映射ρ:D→R n,使得ρ(x)=x,∀x∈S n−1; ρ(x)−ψ(x) <1,∀x∈D.根据引理2,ρ有零点,但这与上面的不等式以及 ψ ≡1相矛盾.Brouwer不动点定理的证明.(反证法)设ϕ没有不动点.用直线段连接ϕ(x)和x,其延长线交球面于ψ(x).容易看出ψ:D→S n−1连续,且当x∈S n−1时ψ(x)=x.根据引理1,存在光滑映射ρ:D→R n,使得ρ(x)=x,∀x∈S n−1; ρ(x)−ψ(x) <1,∀x∈D.根据引理2,ρ有零点,但这与上面的不等式以及 ψ ≡1相矛盾.例1设A=a ijn×n为n阶方阵,如果它的每一元素a ij都大于零,则称A为正矩阵.证明:正矩阵必有正特征值.证明.当x=(x1,···x n)∈R n时,记|x|= ni=1|x i|.考虑n−1维单形∆n={x∈R n||x|=1,x i≥0,i=1,···,n}.显然,当x∈∆n时|Ax|>0.考虑连续映射ϕ:∆n→∆n,x→Ax/|Ax|.因为∆n同胚于n−1维单位闭球,可以应用Brouwer不动点定理得到ϕ的不动点,不动点记为ξ,则|Aξ|就是A的正特征值.。
锥度量空间中扩张映射的公共不动点定理
第15卷第2期应用泛函分析学报V01．15。
N o．2 2013年6月A C TAA N A L Y SI S FU N C T I O N A L I S A PPL I C A T A J un．．2013 =================================；===========：==：=：：===：：D O I：10．3724／S P．J．1160．2013．00142文章编号：1009-1327(2013)02．0142—05锥度量空间中扩张映射的公共不动点定理韩艳，，许绍元21．昭通学院数学与统计学院，昭通6570002．湖北师范学院数学与统计学院，黄石435002摘要：在不要求映射的连续性和锥的正规性的条件下，我们得到扩张映射的几个公共不动点定理，所得结果改进和推广了原有的许多重要结论．关键词：锥度量空间；扩张映射；公共不动点文献标志码：A中图分类号：0177．911引言自1976年以来，有关压缩映射公共不动点理论的研究已经被很多作者探讨过了，它不仅有着重要的理论意义，还有着广泛的应用(见文献【3—7】)．最近，黄龙光和张宪【1】推广了度量空间的概念，用B anach空间取代实数空间，成功获得了满足不同压缩条件的压缩映射的不动点定理．随后，许多学者在此基础上作了进一步推广和改进，得到了很多很好的结果．相比之下，对于锥度量空间中扩张映射的不动点，研究的人较少，相应的文献，也要少得多(见文献[5—6】)．2011年，在文献【2】中，作者介绍了几类扩张映射的不动点定理，然而，定理中的映射必须满足连续性．在本文中，我们将去掉连续性，拓展研究两个映射的公共不动点的存在唯—性，且不要求锥的正规性，所得结果改进并推广了原有的结论，更具有一般化．首先，我们介绍锥度量空间中的一些相关定义及性质(见文献[1】)．设E是实B anach空间，0是E中的零元，称P是E中的锥，若(i)。
∈P且入≥0贝ⅡA x∈P；(i i)z∈P且一z∈P，贝0z=0．设P是E中的锥，≤是由P定义的半序，即V z，Y∈E，Y～z∈P，则z≤Y．锥P称为正规锥，如果存在常数K>0，使得0≤z≤y(V x，Y∈E)蕴含忙f f≤gl l yl I，其中K为正规常数．用z《Y 表示Y—z∈i nt P．定义1．1[1]设x是一个非空集．若映射d：x×X—E满足(i)0≤d(x，Y)对一切z，Y∈x．d(x，Y)=0当且仅当。
brouwer不动点定理的证明
brouwer不动点定理的证明Brouwer不动点定理的证明Brouwer不动点定理是数学中的一项重要定理，它由荷兰数学家L.E.J. Brouwer于1910年首次提出并证明。
该定理是拓扑学中的基本结果，它描述了连续映射在拓扑空间上的固定点存在性。
不动点是指一个映射将某个元素映射为其本身的点，而Brouwer不动点定理则告诉我们，对于某些特定条件下的连续映射，总能够找到至少一个不动点。
为了更好地理解Brouwer不动点定理的证明过程，我们首先需要了解一些相关的概念。
在拓扑学中，一个拓扑空间是由一组集合及其上的拓扑结构组成的，其中拓扑结构描述了集合中的点之间的邻近关系。
而连续映射则是保持拓扑空间中邻近关系的映射。
Brouwer不动点定理的证明思路是通过反证法来进行的。
假设存在一个连续映射f，它在拓扑空间X上没有不动点，即对于任意的x∈X，都有f(x)≠x。
我们将通过构造一个矛盾来证明这个假设是错误的。
我们定义一个闭球B，它是X中所有与中心点x相距小于等于r的点的集合，即B={y∈X∣d(x,y)≤r}，其中d(x,y)表示x与y之间的距离，r是一个正数。
由于X是一个拓扑空间，我们可以将闭球B 看作一个紧致的子集，即它是有界且闭合的。
接下来，我们考虑由映射f作用在闭球B上得到的映射f(B)。
根据连续映射的定义，f(B)也是一个紧致的子集。
然而，根据我们的假设，映射f在X上没有不动点，所以f(B)中的任意一个点都不可能与原始闭球B中的点重合。
换句话说，f(B)中的每个点都与B中的点距离至少为r。
现在，我们将在X中构造一系列的闭球B1、B2、B3...，其中Bi+1是Bi的子集，且每个闭球Bi的半径为r/i，i是一个正整数。
由于每个Bi都是紧致的，所以根据Cantor定理，存在一个点x∗，它同时属于闭球B1、B2、B3...。
换句话说，x∗是X中的一个聚点。
接下来，我们考虑f(x∗)。
根据我们之前的假设，f(x∗)≠x∗，所以根据连续映射的定义，f(x∗)与x∗之间的距离至少为r。
1-5 不动点定理
有不动点y，则 T y= y。
推论：设 C 是 B* 空间中的紧凸子集， 映射
T：C C 连续，则 T 有不动点 x C。
不妨考虑 0 为 C 的内点的情形。 否则考虑映射 T1x=T(x+x0)-x0 考虑 C 张成的子空间 X=span{C}，由 C
紧知 X 的单位球面紧，必有 dim X< 。
即 E 中任意两点 x，y 的连线仍然在 E 中。 命题：若{E ： 集，则 } 是线性空间 X 中的一族凸
E 也是凸集。
凸包：包含 E 的最小凸集，记作 co(E)。
命题：co(E) 是 E 的任意凸组合的全体，即
co( E )
n i 1 i
xi |
n i 1 i
1，
i
0，xi
X
Brouwer 不动点定理：记 B 是 Rn 中的闭单位
可得
(z) 1
mi ( z )
i 1
其中
mi ( z ) z 0， yi ，
yi yi
z z
Nn为 T(C) 的有限 -网，必有 z 某 B(yi， )，
此时 mi(z)>0，可知 (z) 有意义，并且连续。 于是，这样定义的 i(z) 非负、连续、和=1， 且有 ||Inz - z|| =1/n 0， (n )
集，映射 T=T1+T2：C X ，满足
T1x+T2y C， x，y C； T1 是一个压缩映射，T2 是一个紧映射。 则 T 在 C 上有不动点。
提示：先利用压缩映射原理，再利用 Schauder
不动点定理。
应满足：(1) 连续、(2) 非负、(3) 和=1。
rn rn i i 1 rn i i 1 rn i i 1
泛函分析中的不动点定理及应用
泛函分析中的不动点定理及应用泛函分析是数学中的一个重要分支，研究的是函数的空间以及变换等概念。
在泛函分析中，不动点定理是一项极为重要的结果，它在许多领域都具有广泛的应用。
本文将介绍不动点定理的概念、证明以及在泛函分析中的应用实例。
一、不动点定理概述不动点定理是泛函分析的基础定理之一，它指出在一定条件下，对于某个变换，总存在至少一个点在变换之后保持不变。
换句话说，就是存在一个点，该点在经过变换后仍然等于它自身。
不动点定理有多种形式，其中最著名的定理之一是巴拿赫不动点定理(Banach Fixed-Point Theorem)，该定理也被称为压缩映像原理(Contraction Mapping Principle)。
二、巴拿赫不动点定理及其证明巴拿赫不动点定理是泛函分析中最为经典的不动点定理之一，它具体表述为：若给定一个完备的度量空间，并且在该度量空间上定义了一个压缩映像，那么该压缩映像至少存在一个不动点。
压缩映像的定义如下：对于给定的度量空间(X, d)，若存在一个常数0 < k < 1，对于任意的 x, y ∈ X，满足d(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y)，则称映像 f 是一个压缩映像。
巴拿赫不动点定理的证明基于完备性和收敛性的概念。
具体的证明过程略显复杂，在此不展开叙述，但是通过巴拿赫不动点定理的证明，我们可以得出一个重要结论：在完备的度量空间上，压缩映像的不动点是唯一的。
三、不动点定理的应用实例不动点定理在许多领域中都有着广泛的应用，以下是其中两个典型的应用实例：1. 应用于微分方程不动点定理在微分方程的研究中扮演着重要角色。
许多微分方程可以转化为积分方程，然后利用不动点定理证明解的存在性和唯一性。
例如，在实数轴上关于初始值问题的微分方程中，可以通过构造合适的算子和空间，将微分方程转化为一个算子方程，然后运用不动点定理证明方程存在解。
2. 应用于经济学模型在经济学领域中，不动点定理也有着广泛的应用。
不动点定理和Banach压缩映像定理的应用
不动点定理和Banach压缩映像定理的应用一、引言在数学中，不动点定理和Banach压缩映像定理是两个非常重要的定理。
不动点定理是一个基本定理，它能够帮助我们证明很多问题。
而Banach压缩映像定理则是一个实用定理，它能够帮助我们求解很多实际问题。
本文将重点讨论这两个定理的应用。
二、不动点定理不动点定理（Fixed point theorem）是数学中一种基本的定理，也是一个非常重要的定理。
它的实质是给定一个运算，能够保证这个运算至少有一个不变点。
例如，在一维空间中，一条直线与 x 轴的交点就是一个不动点。
不动点定理的常用形式有 Banach定理，Brouwer定理和Kakutani定理等。
这三种定理都是确保在一定条件下，给定一个映射，必定存在一个不动点。
其中，Banach定理是应用最广泛的一种不动点定理。
三、Banach压缩映像定理Banach压缩映像定理（Banach contraction mapping theorem）是应用最广泛的不动点定理之一。
它是一种强化的不动点定理，能够给出一个更加精确的结论。
该定理的实质是，给定一个映射，如果它能够将任意两个点映射到更靠近一起的两个点，那么这个映射一定存在不动点。
具体来说，设 (X,d) 是一个非空完备度量空间，f:X → X是一个压缩映像，即存在常数0≤s<1，使得对于任意x,y∈ X，有：$d(f(x),f(y))≤s\times d(x,y)$则 f 存在唯一的不动点 z，即 f(z)=z。
在实际中，Banach压缩映像定理被广泛应用于求解非线性方程组的根。
例如，对于一个形如 f(x)=0 的方程组，可以通过适当的转化，将它表示成 g(x)=x 的形式，然后应用Banach压缩映像定理求解。
此外，Banach压缩映像定理还在优化算法、控制论等领域得到广泛应用。
四、应用举例下面我们通过两个具体的例子来说明不动点定理和Banach压缩映像定理的应用。