高等代数北大版教案-第6章线性空间
高等代数【北大版】(26)_OK
2021/9/5
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注：
① 对于有限集来说，两集合之间存在1—1对应 的充要条 件是它们所含元素的个数相同；
② 对于有限集A及其子集B，若B≠A（即B为A 的真子集），则 A、B之间不可能存在1—1对应； 但是对于无限集未必如此.
如例7中的8），σ是1—1对应，但2Z是Z的真子集．
M=Z，M´＝2Z，
证：显然，A ( A B) A ．又 x A, 则x A B，
∴ x A ( A B) ， 从而, A A ( A B)．
故等式成立．
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2、已知 A B，证明： (1)A B A; (2)A B B
证：1）x A, A B x B x A B, 此即， A A B, 又因 A B A，∴ A B A．
x
1）g 是不是R＋到R＋的双射？g 是不是 f 的逆映射？
2）g是不是可逆映射？若是的话，求其逆．
解：1）g是R＋到自身的双射．
∵ x, y R，若
1 x
1 y ，则
x y ，g是单射．
并且x R ,有 1 R ,使g( 1 ) x ，即g是满射．
x
x
又∵ f g(x) f (g(x)) f ( 1) 1 ，
M到M´的一个映射，记作 : : M M '或 M M '
称 a´为 a 在映射σ下的象，而 a´ 称为a在映射σ下的
原象，记作σ(a)＝a´ 或 : a a.
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注
① 设映射 : M M ', 集合
(M ) { (a) a M }
称之为M在映射σ下的象，通常记作 Imσ．
2
引
现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开
高等代数北大三版向量空间
惠州学院数学系
2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质
定义1 设F是一个数域，V是一个非空集合.我们把V中的 元素称为向量，V称为向量空间，如果下列条件成立：
闭合性： (c1) V上有(闭合的)加法运算，即：对任意u,v属于V, 一定有u+v属于 V. (c2) F上的数对V上的向量有 (闭合的)数乘运算，即：对任意F中数 和V中元素v, 一定有： v属于V. 加法的性质： (a1) u+v= v +u，对所有u和v属于V. (a2) u+(v+w)= (u+v)+w, 对所有u、v和w属于V. (a3) V中存在一个向量பைடு நூலகம்记作o, 它满足：v+o= v 对所有V中的v. (a4) 给定V中每一个向量v, V中存在一个向量u满足：
➢ 向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包 括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性非常组解 的结构.
➢ 向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统. 所谓代数 系统，就是带有运算的集合.通过本章的学习，初步熟悉 用公理系统处理代数问题的思维方法、逻辑推理的方法.
惠州学院数学系
§6.1 向量空间的定义和例子
(c1) f(x)+g(x) F[x], 任给f(x),g(x) F[x]. (c2) af(x) F[x]，任给 aF，f(x)F[x]. (a1) f(x)+g(x)= g(x) + f (x), 任给f(x),g(x) F[x].
惠州学院数学系
(a2) [f(x)+g(x)]+h(x)= f(x)+ [g(x) +h(x) ],
高等数学(高教版)第六章线性空间第五节课件
W1
(x,
y, z)R3
|
x 2
y4 1
z 1
3
;
W2 {(x, y, z) R3 | x y 0 且 x y z 0}.
解 先来判断 W1 . 设 = ( x1 , y1 , z1 ) W1 , 则有 x1 y1 4 z1 1 . 又设 k R , 因为
2 1 3
kx1 ky1 4 kz1 1 ,
不难看出 3, 4 两个条件是多余的，它们已经包 含在条件 1 中，作为 k = 0 与 -1 这两个特殊情形. 因此，我们得到
定理 3 如果线性空间 V 的非空子集合 W 对
于 V 的数量乘法和加法两种运算是封闭的，那么W
就是一个子空间.
既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面
我们引入的概念，如维数、基、坐标等，当然也可
任一极大分无必关要组条都件是是由这它两生个成向的量子组空等间价.
本若请本若请本若请节想本若单请节想本若单请节想本若单内请结节想击本若单内请结节想击本 本若 若单内请 请结节想击本 本容若 若单束内请 请结返节想击本 本容若 若单束内请 请结返节 节想 想击本 本容若 若单 单束内请 请结返节 节已想想本击本容若单单束回内请结返节 节已想想本击本容若单单束回内 内请结 结返节 节已想 想本击 击本容若单 单束回内 内结请结结返堂节已想本击击按本容若单束回内 内结请结结堂返节已想本击击按本容 容若单束 束回内 内结请结 结堂返 返节已想本击 击按容 容束单束束课回内结结堂返返钮节已想本击按容 容束束单束课回内结结堂返返钮节已 已想本 本击按容 容束单束 束课回 回内结结堂返 返钮已 已本本击按,容束束课回回.内结结堂!返钮已 已本本击按,容束束课回回.内结 结结堂 堂!返钮已 已本 本击按 按,容束束课回 回.结 结堂堂!返钮已本按按,容束束课回.结 结堂堂返!钮已本按按,容束 束束课 课回.结 结堂 堂返!钮 钮已本按 按,束 束课课回.结堂!钮钮已本按,束束课课回.结堂!钮钮已本按,,束束课课回..结堂!!钮钮按,,束课..结堂!!钮按,,束课..结堂!!钮按,,束课..!!钮,束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!
线性代数第六章第一节——线性空间的定义与性质
解 (1)不构成子空间. 因为对
1
A B
0
2
有 A B
0
0 0
W1
0 0
0 0
W1 ,
0 0
线性代数
即 W1对矩阵加法不封闭，不构成子空间.
0 0 0
W2 , 即W2非 空.
( 2) 因
0 0 0
对任意
a1 b1 0
定义１ 设 V是一个非空集合，R为实数域．如果
对于任意两个元素 , V，总有唯一的一个元
素 V 与之对应，称为 与 的和，记作
若对于任一数 R 与任一元素 V ，总有唯
一的一个元素 V 与之对应，称为 与 的积，记作
( 3) 在V中存在零元素0, 对任何 V , 都有有零元素
0 ;
(4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使 有负元素
0;
(5) 1 ;
(6) ; 对数乘运算的结合律和分配律
(7) ;
数 乘 : k (a , b) (lg a , bk ), k R
V是不是向量空间
? 为 什 么?
线性代数
解
V不是向量空间
.
显 然,V对 加 法 封 闭,因 为 两 个 正 实 数 的 和 与
积
还 是 正 实 数.
但V对乘法不封闭
.
比如V中的元素(1, b), 对任意实数k ,
k (1, b) (lg 1, bk ) (0, bk ) V .
1 ; 0 0.
4．如果 0 ，则 0 或 0 .
高等代数【北大版】6.2
证:设 α ∈ V , 且 α ≠ 0
k1 , k2 ∈ P , k1 ≠ k2 , 有 k1α , k2α ∈ V
又 k1α-k2α = ( k1 k2 )α ≠ 0
∴ k1α ≠ k2α .
而数域P中有无限多个不同的数,所以V中有无限 而数域 中有无限多个不同的数,所以 中有无限 中有无限多个不同的数 多个不同的向量. 多个不同的向量.
引例 1
在第三章§ 中 我们讨论了数域P上的 上的n维向量 在第三章§2中,我们讨论了数域 上的 维向量
空间P 定义了两个向量的加法和数量乘法: 空间 n,定义了两个向量的加法和数量乘法:
(a1 , a2 , , an ) + (b1 , b2 , , bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn )
3,0α = 0, k 0 = 0, ( 1)α = α , , k (α β ) = kα k β 证明: 证明:∵ 0α + α = (0 + 1)α = α ,
∴两边加上 α 即得 0 α =0; ∵
kα = k (α + 0) = kα + k 0
+ (1α ) = 1α + (1α ) = (1 1)α = 0α = 0
f ( A) + g ( A) = h( A), kf ( A) = d ( A) 其中, 其中,k ∈ R, h( x ), d ( A) ∈ R[ x ]
中含有A的零多项式 的零元素. 又V中含有 的零多项式,即零矩阵 ,为V的零元素 中含有 的零多项式,即零矩阵0, 的零元素 以 f(x)的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为 的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为 有负元素- -f(x) , 则 f(A)有负元素-f(A). 由于矩阵的加法与数 有负元素 乘满足其他各条, 为实数域R上的线性空间 乘满足其他各条,故V为实数域 上的线性空间 为实数域 上的线性空间.
第六章线性空间
第六章 线性空间§1. 集合与映射一、集合有关集合与子集的概念，集合的交、并运算等相对来说比较熟悉，下面仅补充集合的笛卡尔积的定义。
定义1.1.6 设B A ,是两个非空集合，称下面集合},|),{(B b A a b a ∈∈为B A ,的笛卡尔积，记作B A ⨯，即},|),{(B b A a b a B A ∈∈=⨯。
设B A d c b a ⨯∈),(),,(，称),(b a 与),(d c 相等（记作),(),(d c b a =），如果 d b c a ==,。
注 一般A B B A ⨯≠⨯。
二、映射定义2.1.6 所谓σ是集合M 到集合M '的一个映射，就是σ是一个对应法则，使得M 中的每一个元素a ，都与M '中唯一的一个元素a '对应，即a a ' ，称a '为a 在σ之下的像，a 为a '在σ之下的原像。
以后为方便，记a a M M '='→)(,:σσ。
注 对于一个映射来说，元素的像必须唯一，但元素的原像可以不唯一。
定义3.1.6 集合M 到自身的映射称为M 的一个变换。
例1.1.6判别下列法则是否为映射？（１）P 为数域，n n P M ⨯= （数域P 上n 阶矩阵集合），令 A A :1σ，M A ∈∀和n aE a :2σ，P a ∈∀，则1σ是M 到P 的映射，2σ是P 到M 的映射。
（2）P 为数域，][x P M =，令σ：)()(x f x f ' （)(x f 的一阶微商），][)(x P x f ∈∀，则σ是M 的一个变换。
（3）R 为实数集，R a ∈∀，令σ：)1(≠a a a ，)1(12=b b ，则σ不是映射，因为1的像不唯一（1±都是）。
（4）设M 为任一集合，记a a M →:1，M a ∈∀，则称M 1为的M 恒等映射（变换）。
定义4.1.6 设M M '→:σ，M S ⊆≠φ，记}|)({)(M a a S ∈=σσ，称)(S σ为S 在σ之下的像集合；M S '⊆''≠φ，记})(|{)(1S a M a S '∈∈='-σσ，称)(1S '-σ为S '在σ之下的原像集合，特别记)(})({11a a '='--σσ。
第六章线性空间与线性变换
高等代数第六章 线性空间与线性变换第六章 线性空间与线性变换§6.1 线性空间与简单性质一、线性空间的概念定义 设V 是一个非空集合，F 是一个数域．在V 上定义了一种加法运算“+”，即对V 中任意的两个元素α与β，总存在V 中唯一的元素γ与之对应，记为βαγ+=；在数域F 和V 的元素之间定义了一种运算，称为数乘，即对F 中的任意数k 与V 中任意一个元素α，在V 中存在唯一的一个元素δ与它们对应，记为αδk ＝．如果上述加法和数乘满足下列运算规则，则称V 是数域F 上的一个线性空间．（1） 加法交换律：αββα＋＝+；（2） 加法结合律：()()γβαγβα＋＝+++；（3） 在V 中存在一个元素0，对于V 中的任一元素α，都有αα＝＋0； （4） 对于V 中的任一元素α，存在元素β，使0＝＋βα； （5） α⋅1=α；（6） βαβαk k k ＋＝＋)(，∈k F ； （7） ()∈+l k l k l k ,,ααα＋＝F ； （8） ()()ααkl l k ＝，其中γβα,,是V 中的任意元素，l k ,是数域F 中任意数．V 中适合（3）的元素0称为零元素；适合（4）的元素β称为α的负元素，记为α−．下面我们列举几个线性空间的例子． 例1数域F 上的所有n 维列向量集nF 算规则，它是数域F 上的一个线性空间．特别地，当R F ＝时，n R 称为n 维实向量空间；当C F ＝时，n C 称为n 维复向量空间．例2 数域F 上的全体n m ×矩阵构成一个F 上的线性空间，记为)(F n m M ×． 例3数域F 上的一元多项式全体，记为][x F ，构成数域F 上的一个线性空间．如果只考虑其中次数小于n 的多项式，再添上零多项式也构成数域F 上的一个线性空间，记为n x F ][．高等代数讲义例4实系数的n 元齐次线性方程组0=Ax 的所有解向量构成R 上的一个线性空间．称之为方程组0=Ax 的解空间．例5闭区间],[b a 上的所有连续实函数，构成一个实线性空间，记为],[b a C ．例6 零空间．注：线性空间中的元素仍称为向量．然而其涵义比n 维有序数组向量要广泛的多．二、性质性质1 零向量是唯一的． 性质2 负向量是唯一的．注：利用负向量，我们定义减法为：)(βαβα−+=−．性质3 对V 中任意向量γβα,,，有（1） 加法消去律：从γαβα+=+可推出γβ=；（2） 0=⋅α0，这里左边的0表示数零，右边的0表示零向量； （3） 00=⋅k ； （4） αα−=−)1(；（5） 如果0=αk ，则有0=k 或0=α．注：线性空间上的加法和数乘运算与nF 的一样，都满足八条运算规律，所以第四章 中关于向量组的一些概念以及结论，均可以平行地推广到一般的n 维线性空间中来．在这里不再列举这些概念和结论，以后我们就直接引用，不另加说明．§6.2 基与维数本节讨论线性空间的结构一、定义与例子定义1 设V 是数域F 上的一个线性空间，如果V 中的n 个向量n εεε,,,21L 满足 （1）n εεε,,,21L 线性无关；（2）V 中的任意向量都可由n εεε,,,21L 线性表示，则称n εεε,,,21L 为线性空间V 的一组基，n 称为V 的维数，记为n V =dim ，并称V 为数域F 上的n 维线性空间．注1：零空间没有基，其维数规定为0．注2：如果在线性空间V 中存在无穷多个线性无关的向量，则称V 为无限维线性空间，第六章 线性空间与线性变换例：连续函数空间],[b a C 就是一个无限维空间．推论1 n 维线性空间中的任意1+n 个向量必线性相关．注3： 将线性空间V 看成一个向量组，那么它的任意一个极大线性无关组就是V 的一组基，其秩就是维数．推论2 n 维线性空间V 中的任意n 个线性无关的向量组成V 的一组基．定义2 设n εεε,,,21L 是n 维线性空间V 的一组基，则对V 中的任意向量α，存在唯一数组n x x x ,,,21L ，使得n n x x x εεεα+++=L 2211，我们称n x x x ,,,21L 为向量α在基n εεε,,,21L 下的坐标，记作()Tn x x x ,,,21L ．例1 在n 维向量空间nF 中，显然⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=100,,010,00121ML M M n εεε,是nF 的一组基．对任一向量Tn a a a ),,,(21L =α都可表示成n n a a a εεεα+++=L 2211，所以Tn a a a ),,,(21L 就是向量α在这组基下的坐标．选取另一组基：⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=111,,011,00121ML M M n ηηη，对于向量Tn a a a ),,,(21L =α，有()()()n n n n n a a a a a a a ηηηηα+−++−+−=−−11232121L ，所以α在这组基下的坐标为()Tn n n a a a a a a a ,,,,13221−−−−L ．例2 在线性空间n x F ][中，容易验证121,,,1−===n n x x αααL高等代数讲义是n x F ][的一组基．在这组基下，多项式1110)(−−+++=n n x a x a a x f L 的坐标就是它的系数()Tn a a a 110,,,−L ．考虑n x F ][中的另一组基()121,,,1−−=−==n n a x a x βββL ．由泰勒(Taylor)公式，多项式)(x f 可表示为()1)1()(!1)())((')()(−−−−++−+=n n a x n a fa x a f a f x f L ，因此，)(x f 在基n βββ,,,21L 下的坐标为()Tn n a f a f a f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−!1)(,),('),()1(L ． 例3 在所有二阶实矩阵构成的线性空间)(22R ×M 中，考虑向量组⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1000,0100,0010,000122211211E E E E ． 首先这是一组线性无关组．事实上，若有实数4321,,,k k k k ，使=+++224213122111E k E k E k E k O k k k k =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛4321， 则有04321====k k k k ，这就说明了22211211,,,E E E E 线性无关．其次，对于任意二阶实矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=22211211a aa a A , 可表示为2222212112121111E a E a E a E a A +++=，因此22211211,,,E E E E 是22×M 的一组基，22×M 是4维实线性空间，并且A 在这组基下的 坐标为()Ta a a a 22211211,,,．第六章 线性空间与线性变换二、同构关系1．映射设M,N 是两个集合．如果给定一个法则ϕ，使M 中的每个元素a 都有N 中的一个唯一确定的元素'a 与之对应，则称ϕ是集合M 到集合N 的一个映射．'a ∈N 称为a 在映射ϕ下的像，而a 称为'a 在映射ϕ下的原像．记作')(a a =ϕ．M 中元素在ϕ下像的全体构成N 的一个子集，记之为ϕIm 或)(M ϕ。
线性代数课件_第六章_线性空间和线性变换——习题课
课件
7
２ 线性空间的性质
(1)零元素是唯一; 的
(2)任一元素的负元素一是的唯 ,的负元素记 作;
(3)0 0;(1) ;00; (4)如果0,则 0或 0.
2019/9/24
课件
8
３ 子空间
定义 设 V是一个线性空间，L是 V的一个非空子 集，如果 L对于V中所定义的加法和乘数两种运算 也构成一个线性空间，则称 L为 V的子空间．
2019/9/24
课件
24
记 T ( 1 , 2 , , n) (T ( 1), T ( 2), ,T ( n)), 上
式可表示为
T ( 1 , 2 , , n) ( 1 , 2 , , n) A,
其中
a 11 a 12 a 1n
A
a 21
线性空间的结构完全被它的维数所决定． 任何 n维线性空间都与 R n同构，即维数相等 的线性空间都同构．
2019/9/24
课件
12
５ 基变换
设 1 ,, n 及 1 ,, n是线性空间V n中的两
个基,
1 p11 1 p21 2 pn1 n ,
(7)( ) ;
(8)( ) ,
那么，V就称为（实数域 R上的）向量空间（ 或线性空间），V中的元素不论其本来的性质如 何，统称为（实）向量．
简言之，凡满足八条规律的加法及乘数运算， 就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就 称为向量空间．
2019/9/24
(1,2,,n)(1,2,,n)P.
2019/9/24
课件
16
７ 线性变换的定义
设有两个非空集 A, B合,如果对于 A中的任一
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第六章线性空间§1 集合映射一授课内容：§1 集合映射二教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算，求和号与乘积号的定义.三教学重点:集合映射的有关定义。
四教学难点:集合映射的有关定义.五教学过程：1。
集合的运算，集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念定义：(集合的交、并、差）设是集合,与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集,记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集,记做。
定义:（集合的映射) 设、为集合。
如果存在法则,使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素(记做),则称是到的一个映射，记为如果，则称为在下的像，称为在下的原像。
的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做,即.若都有则称为单射.若都存在,使得，则称为满射.如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应.2.求和号与求积号(1）求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.设给定某个数域上个数,我们使用如下记号:，。
当然也可以写成，。
（2）求和号的性质容易证明,,，.事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：分别先按行和列求和,再求总和即可。
§2 线性空间的定义与简单性质一授课内容：§2 线性空间的定义与简单性质二教学目的:通过本节的学习，掌握线性空间的定义与简单性质.三教学重点：线性空间的定义与简单性质。
四教学难点：线性空间的定义与简单性质.五教学过程:1。
线性空间的定义(1)定义4.1(线性空间) 设V是一个非空集合，且V上有一个二元运算“+”，又设K为数域，V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“”,且“+”与“”满足如下性质：1、加法交换律，有；2、加法结合律 ,有；3、存在“零元”，即存在，使得;4、存在负元，即，存在，使得;5、“1律”；6、数乘结合律 ,都有；7、分配律 ,都有；8、分配律，都有，则称V为K上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“”的定义，不光与集合V有关。
（2)零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义，线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质命题4。
1零元素唯一,任意元素的负元素唯一.证明:设与均是零元素，则由零元素的性质,有；，设都是的负向量，则,于是命题得证。
由于负向量唯一，我们用代表的负向量.定义4。
2(减法）我们定义二元运算减法“-”如下:定义为。
命题4。
2线性空间中的加法和数乘满足如下性质:1、加法满足消去律 ;2、可移项；3、可以消因子且，则；4、。
(3）线性空间的例子例4。
1令V表示在上可微的函数所构成的集合,令,V中加法的定义就是函数的加法,关于K的数乘就是实数遇函数的乘法，V构成K上的线性空间.4。
1.2线性空间中线性组合和线性表出的定义，向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述,向量组的秩，向量组的线性等价;极大线性无关组。
定义4.3（线性组合）给定V内一个向量组，又给定数域K内s个数，称为向量组的一个线性组合.定义4.4(线性表出) 给定V内一个向量组,设是V内的一个向量，如果存在K内s个数，使得，则称向量可以被向量组线性表出.定义4.5（向量组的线性相关与线性无关) 给定V内一个向量组，如果对V内某一个向量，存在数域K内不全为零的数，使得，则称向量组线性相关；若由方程必定推出,则称向量组线性无关。
命题4。
3设，则下述两条等价:1)线性相关；2）某个可被其余向量线性表示.证明同向量空间。
定义4。
6（线性等价）给定V内两个向量组（Ⅰ）,（Ⅱ）,如果（Ⅰ）中任一向量都能被（Ⅱ）线性表示,反过来，(Ⅱ)中任一向量都能被(Ⅰ)线性表示,则称两向量组线性等价.定义4。
7（极大线性无关部分组) 给定V内一个向量组，如果它有一个部分组满足如下条件：（i）、线性无关；（ii）、原向量组中任一向量都能被线性表示，则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组。
由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到的一些特有的性质，于是那些命题在线性空间中依然成立。
定义4.8（向量组的秩）一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量,其向量数目成为该向量组的秩.例4.2求证：向量组的秩等于2(其中).证明：方法一：设∈R，满足,则,假若不全为零，不妨设，则有,而由于，等号左边为严格单调函数,矛盾于等号右边为常数.于是.所以线性无关,向量组的秩等于2.证毕。
方法二：若在上，两端求导数，得，以代入，有而,于是.证毕.§3 维数、基与坐标一授课内容：§3 维数、基与坐标二教学目的：通过本节的学习，掌握线性空间的基与维数，向量的坐标的有关定义及性质。
三教学重点：基与维数、向量坐标的有关定义。
四教学难点:基与维数、向量坐标的有关定义.五教学过程：1.线性空间的基与维数，向量的坐标设V是数域K上的线性空间，则有:定义4。
9(基和维数) 如果在V中存在n个向量,满足：1)线性无关；2）V中任一向量在K上可表成的线性组合，则称为V的一组基。
基即是V的一个极大线性无关部分组.基的个数定义为线性空间的维数.命题4。
4设V是数域K上的n维线性空间,而.若V中任一向量皆可被线性表出,则是V的一组基。
证明：由与V的一组基线性等价可以推出它们的秩相等.命题4。
5设V为K上的n维线性空间,，则下述两条等价：1）线性无关；2)V中任一向量可被线性表出。
定义4。
10（向量的坐标）设V为K上的n维线性空间,是它的一组基.任给,由命题4。
4,可唯一表示为的线性组合，即，使得,于是我们称为在基下的坐标。
易见,在某组基下的坐标与V/K中的向量是一一对应的关系。
§4 基变换与坐标变换一授课内容:§4 基变换与坐标变换二教学目的：通过本节的学习,掌握基变换与过渡矩阵的定义、运算, 坐标变换公式。
三教学重点：基变换与过渡矩阵的定义、运算, 坐标变换公式。
四教学难点:坐标变换公式的应用。
五教学过程：1。
线性空间的基变换，基的过渡矩阵设V/K是n维线性空间,设和是两组基,且将其写成矩阵形式.定义4。
11我们称矩阵为从到的过渡矩阵.命题4。
6设在n维线性空间V/K中给定一组基。
T是K上一个n阶方阵.命则有是V/K的一组基，当且仅当T可逆。
证明:若是线性空间V/K的一组基，则线性无关。
考察同构映射,构造方程, 其中,，线性无关.构成了过渡矩阵的列向量，所以过渡矩阵可逆；反过来，若过渡矩阵可逆，则构造方程,其中,两边用作用,得到,.证毕。
2.向量的坐标变换公式;中的两组基的过渡矩阵(1)向量的坐标变换公式设V/K有两组基为和，又设在下的坐标为，即,在下的坐标为，即.现在设两组基之间的过渡矩阵为T，即记，，于是。
于是,由坐标的唯一性，可以知道,这就是坐标变换公式.(2)中两组基的过渡矩阵的求法我们设中两组基分别为和而按定义,T的第i个列向量分别是在基下的坐标.将和看作列向量分别排成矩阵;，则有，将A和B拼成分块矩阵，利用初等行变换将左边矩阵A化为单位矩阵E，则右边出来的就是过渡矩阵T,示意如下:。
§5 线性子空间一授课内容:§5 线性子空间二教学目的：通过本节的学习，掌握线性子空间的定义、判别定理. 三教学重点：线性子空间的定义、判别定理。
四教学难点：线性子空间的判别定理.五教学过程:1。
线性空间的子空间的定义定义4.12（子空间) 设V是数域K上的一个线性空间,M时V的一个非空子集。
如果M关于V内的加法与数乘运算也组成数域K上的一个线性空间，则称为V的一个子空间.命题4。
7设V是K上的线性空间,又设一个非空集合，则是子空间当且仅当下述两条成立:i）对减法封闭； ii)对于K中元素作数乘封闭.证明:必要性由定义直接得出;充分性:各运算律在V中已有,所以W满足运算律的条件.只需要证明且对于任意,，且对加法封闭即可。
事实上，由于关于数乘封闭，则；,于是对于，，W关于加法封闭.于是W是V的一个子空间. 证毕.事实上,W关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论。
命题4。
8设W是V的一个有限维子空间,则W的任一组基可以扩充为V的一组基.证明：设,，，若，则命题为真；若，对作归纳:设为W的一组基,取,则线性无关.于是令,易见,W’是V的一个子空间,且,此时，对其用归纳假设即可。
§6 子空间的交与和一授课内容：§6子空间的交与和二教学目的:通过本节的学习,掌握子空间的交与和的定义、性质及维数公式。
三教学重点：子空间的交与和的定义及维数公式。
四教学难点:子空间的交与和的性质及维数公式.。
五教学过程：1。
子空间的交与和，生成元集定义4。
13设,则是V的一个子空间,称为由生成的子空间,记为.易见，生成的子空间的维数等于的秩。
定义4。
14（子空间的交与和）设为线性空间V/K的子空间，定义,称为子空间的交；，称为子空间的和。
命题4.9和都是V的子空间.证明:由命题4。
7，只需要证明和关于加法与数乘封闭即可.事实上,,则，.由于均是V的子空间，则,于是，关于加法封闭；,,，于是,关于数乘封闭.，则由的定义，，使得，而,则，关于加法封闭；,，使得,由于,则，关于数乘封闭.证毕.命题4。
10设是V的子空间,则和均为V的子空间。
2.维数公式.定理4.1设V为有限维线性空间,为子空间,则.这个定理中的公式被称为维数公式.证明:设,,，，取的一组基（若=0，则,基为空集）,将此基分别扩充为的基,，只需要证明是的一组基即可。
首先，易见中的任一向量都可以被线性表出。
事实上,,则,其中,而于是可被线性表出.只要再证明向量组线性无关即可.设，其中。
则(＊)于是，，于是,记为。
则可被线性表示，设，代入（＊)，有,由于是的一组基,所以线性无关,则，代回（*)，又有,于是向量组线性无关.证毕。
推论2.1设都是有限为线性空间V的子空间,则:.证明：对t作归纳.§7 子空间的直和一授课内容：§7 子空间的直和二教学目的:通过本节的学习,掌握子空间的直和与补空间的定义及性质。
三教学重点:子空间的直和的四个等价定义。
四教学难点:子空间的直和的四个等价定义.五教学过程:1.子空间的直和与直和的四个等价定义定义设V是数域K上的线性空间,是V的有限为子空间。
若对于中任一向量,表达式.是唯一的，则称为直和，记为或。
定理设为数域K上的线性空间V上的有限为子空间,则下述四条等价:1）是直和；2)零向量表示法唯一；3);4）。
证明:显然.设则。
由2)知，零向量的表示法唯一，于是,即的表示法唯一.由直和的定义可知,是直和.假若存在某个，使得,则存在向量且，于是存在，使得。