高等代数北大版多项式
《北大高等代数》最小多项式
3、矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个 因子.
§7.9 最小多项式
例1 数量矩阵 kE的最小多项式是一次多项式 x k; 特别地，单位矩阵的最小多项式是 x 1 ；
零矩阵的最小多项式是 x . 反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则 A一定是数量矩阵.
§7.9 最小多项式
从而 g( x) h( x).
故 g( x)为A的最小多项式.
§7.9 最小多项式
推广
若A是一个准对角矩阵 A1
A2
O
As
且 Ai 的最小多项式为 gi ( x), i 1, 2,..., s 则A的最小多项式是为 [g1( x), g2( x),..., gs ( x)].
特别地，若 g1( x), g2( x),..., gs ( x) 两两互素，即
§7.9 最小多项式
2、（引理2）设 g( x)是矩阵A的最小多项式，则 f ( x) 以A为根 g( x) f ( x).
证：充分性显然，只证必要性 由带余除法，f ( x)可表成 f ( x) q( x)g( x) r( x), 其中 r( x) 0 或 (r( x)) (g( x)). 于是有 f ( A) q( A)g( A) r( A) 0 r( A) 0 由最小多项式的定义， r( x) 0. g( x) f ( x).
即 | E A || E B | . 所以，A与B不相似.
§7.9 最小多项式
5、（引理3）设A是一个准对角矩阵
A
A1 0
0 A2
并设 A1, A2 的最小多项式分别为 g1( x), g2( x).
则A的最小多项式为 g1( x), g2( x)的最小公倍式.
(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。
高等代数北大版(第三版)答案
令(x2+x+1)=0
得 ε1
=
−1+ 2
3i
,ε2
=
−1− 2
3i
∴f(x)与g(x)的公共根为 ε1,ε2 .
P45.16 判断有无重因式
① f (x) = x5 − 5 x4 + 7x3 + 2x2 + 4x − 8 ② f (x) = x4 + 4x2 − 4x − 3
解① f '(x) = 5x4 − 20x3 + 21x 2 − 4x + 4
设
f (x) d ( x)
=
f1 ( x),
g(x) d ( x)
=
g1 ( x),
及
d
(x)
=Байду номын сангаас
u(x)
f
(x)
+
v( x) g ( x).
所以 d (x) = u(x) f1(x)d (x) + v(x)g1(x)d (x).
消去 d (x) ≠ 0 得1 = u(x) f1(x) + v(x)g1(x)
P45.5
(1) g(x) = (x −1)(x2 + 2x +1) = (x −1)(x +1)2 f (x) = (x + 1)(x3 − 3x −1) ∴ ( f (x), g(x)) = x +1
(2) g(x) = x3 − 3x2 +1不可约 f (x) = x4 − 4x3 + 1不可约
3
u = − 1 [(t 2 + t + 3)(t 2 + 2t − 8) + 6t + 24] = −2(t + 4) ∴3
高等代数教案(北大版)第一章 多项式
第一章多项式多项式理论是高等代数研究得基本对象之一，在整个高等代数课程中既相对独立，又贯穿其它章节，换句话说，多项式理论得讨论可以不依赖于高等代数得其他内容而自成体系，却可为其它章节的内容提供范例和理论依据。
本章主要讨论多项式的基本概念和基本性质，包括数域的概念、一元多项式的定义与运算规律、整除性、因式分解及根等概念。
教学目的：通过本章的学习，要使学生了一元多项式及运算、整除、最大公因式、(不)可约多项式、重因式等基本概念，领会因式分解定理的基本内容及复数域和实数域上的因式分解的具体内容，掌握多项式的最大公因式的求法、因式分解的方法、重因式的求法及有理系数多项式的可约性的判定。
教学重点：最大公因式的求法、因式分解定理及其应用教学难点：有理系数多项式教学方法与手段：1. 理论课教学以讲授为主，部分介绍性内容用多媒体。
2．习题课以多媒体教学为主。
教学内容：§1 一元多项式的定义和运算1. 多项式的定义令R是一个数环, 并且R含有数1, 因而R含有全体整数。
在这一章里, 凡是说到数环, 都作这样的约定, 不再每次重复。
先讨论R上一元多项式。
定义1 数环R上一个文字x的多项式或一元多项式指的是形式表达式a0+a1x+ a2x2+…+ a n x n (1)这里n是非负整数而a0, a1, a2, …, a n都是R中的数。
在多项式 (1)中, a0叫做零次项或常数项, a1x叫做一次项, 一般地，a i x i叫做第i次项, a i叫做第i次项的系数。
一元多项式常用符号f(x), g(x), …来表示。
2. 相等多项式:定义2 若是数环R上两个一元多项式f(x)和g(x)有完全相同的项, 或者只差一些系数为零的项, 那么f(x)和g(x)说是相等;f (x)=g(x)定义3a n x n叫做多项式a0+a1x+ a2x2+…+ a n x n, ( a n≠0)的最高次项，非负整数n叫做多项式a0+a1x+…+ a n x n, (a n≠0)的次数。
高等代数(北大版)第一章-多项式1.9
定理13 艾森斯坦因Eisenstein判别法
设 f ( x) an xn an1xn1 a1x a0 , 是一个整系数多项式，若有一个素数 p, 使得
1 p | an 2 p | an1,an2 , ,a0 3 p2 | a0 则 f ( x)在有理数域上是不可约的．
2．Gauss引理 定理10 两个本原多项式的积仍是本原多项式．
证： 设 f ( x) an xn an1xn1 g( x) bm xm bm1xm1
是两个本原多项式．
a0, b0
h( x) f ( x)g( x) dnm xnm dnm1xnm1 d0 反证法．若 h( x)不是本原的，则存在素数 p,
p | dr , r 0,1, , n m. 又 f ( x)是本原多项式，所以 p 不能整除 f ( x)的
每一个系数．
令ai 为 a0 ,a1, ,an 中第一个不能被 p 整除的数，即 p | a1, , p | ai1, p | ai .
同理，g( x) 本原，令 bj为 b0 , ,bm 中第一个不能被
p 整除的数，即 p | b0, p | b1, , p | bj1, p | bj .
又 di j aibj ai1bj1 , 在这里 p | di j , p | aibj , p | ai1bj1, 故 h( x)是本原的．
矛盾．
二、整系数多项式的因式分解
定理11 若一非零的整系数多项式可分解成两 个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解 成两个次数较低的整系数多项式的乘积．
于是有， a f1( x) g( x)ch1( x) cg( x)h1( x)
高等代数北大版1-4ppt课件
f ( x),g( x)的最大公因式.
§1.4 最大公因式
11
如: f ( x)=x2 1, g( x)=1 ，则 ( f ( x)、g( x))=1. 取 u( x)= 1, v( x)=x2 ，有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取 u( x)=0, v( x)=1 ，也有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取u( x)= 2, v( x)=2x2 1 ,也有u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1.
用 g( x) 除 f ( x) 得：
f ( x) q1( x)g( x) r1( x) 其中 (r1( x)) ( g( x)) 或 r1( x) 0 .
若 r1( x) 0 ，用 r1( x) 除 g( x)，得：
g( x) q2( x)r1( x) r2( x)
§1.4 最大公因式
辗转相除法．
② 定理２中最大公因式 d( x)=u( x) f ( x)+v( x)g( x) 中的 u( x)、v( x) 不唯一.
③ 对于 d( x), f ( x),g( x) P[x], u( x),v( x) P[x]，
使 d(x)=u( x) f ( x) v( x)g( x) ,但是 d(x)未必是
若 f ( x), g( x)不全为零，则( f ( x), g( x)) 0.
④ 最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大
公因式是唯一的. 若 d1( x)、d为2( x) f ( x)、g( x)
的最大公因式，则 d1( x)=c，d2(cx为) 非零常数．
§1.4 最大公因式
4
二、最大公因式的存在性与求法
高等代数北大编 第1章习题参考答案
第一章 多项式一 、习题及参考解答1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+L 的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
北大教材《高等代数》第一章多项式习题31的简易新解法与推广
25c3 − 60c2 + 36c − 40 − 5f (c)
=
=
25c
25c
−30c2 + c
1 − 30c
61
631 1
1679
=
=
=
−c =
·f
=− .
(1)
25c
25
5 30
5 5 30
625
评论: 此法仅用到韦达定理与因式定理, 可称为“因式定理应用解法”.
§ 3. 推广
31C.
计算
L3 =
CO.
Ŵ
参考文献
[1] 吴 康. 北大教材《高等代数》第一章多项式习题 31 新解与推广 [J].“数学风”公众号, 2023-02-16;“鲲鹏 图南教育科技”公众号, 2023-02-16.
[2] 北京大学数学系前代数小组编, 王萼芳、石生明修订. 高等代数 [M]. 第五版. 北京: 高等教育出版社, 2019 年 5 月. (1978 年 3 月第 1 版, 2013 年 8 月第 4 版) P26 ∼ 30.
[3] 王萼芳、石生明编. 高等代数辅导与习题解答 [M]. 北大 · 第五版. 北京: 高等教育出版社, 2019 年 10 月. P17 ∼ 18.
第2页
55 5 5
5
5
√
√
1 2 4 + 34i
= − 53 × 5 ×
25
4 − 34i = − 4 .
25
15625
(2)
评论: 若使用前两种解法, 计算量较大.
第1页
UNAN 南
ED 教
UC 育
ATI 科
O
N
T
TE
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d(x) f (x), d(x) g(x)
f ( x)、g( x)与 g( x)、r( x)有相同的公因式,从而 ( f ( x),g( x)) (g( x),r( x)) ．
§1.4 2020/7/12 最大公因式
数学与计算科学学院
定理2 对 f ( x)、g( x) P[x]，在 P[x]中存在 一个最大公因式 d( x)，且 d( x)可表成 f ( x)、g( x) 的一个组合，即 u( x)、v( x) P[x] ，使
④ 最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大
公因式是唯一的. 若 d1( x)、d为2( x) f ( x)、g( x)
的最大公因式，则 d1( x)=c，d2(cx为) 非零常数．
§1.4 2020/7/12 最大公因式
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二、最大公因式的存在性与求法
引理：若等式 f ( x) q( x)g( x) r( x)成立，则
用 g( x) 除 f ( x) 得：
f ( x) q1( x)g( x) r1( x) 其中 (r1( x)) ( g( x)) 或 r1( x) 0 .
若 r1( x) 0 ，用 r1( x) 除 g( x)，得：
g( x) q2( x)r1( x) r2( x)
§1.4 2020/7/12 最大公因式
d( x)=u( x) f ( x) v．( x)g( x).
§1.4 2020/7/12 最大公因式
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证：若 f ( x)、g( x)有一为0，如 g( x) 0，则 f ( x)
就是一个最大公因式．且 f ( x) 1 f ( x) 0 g( x).
考虑一般情形： f ( x) 0, g( x) 0,
=…
x),0)
再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去
rs1( x), , r1( x) 再并项就得到 rs( x)=u( x) f ( x) v( x)g( x).
§1.4 2020/7/12 最大公因式
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说明:
① 定理２中用来求最大公因式的方法，通常称为
rs1( x) 0.
于是我们有一串等式
§1.4 2020/7/12 最大公因式
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f ( x) q1( x)g( x) r1( x)
g( x) q2( x)r1( x) r2( x)
r1( x) q3( x)r2( x) r3( x) ………………
ri2( x) qi ( x)ri-1( x) ri ( x) ………………
2．最大公因式: f ( x)、g( x) P[x], 若 d( x) P[x]
满足： i) d( x) f ( x), d( x) g( x) ;
ii) 若 ( x) P[x]，( x) f ( x)且( x) g( x) ，则
(x) d(x) .
则称 d( x) 为 f ( x)、g( x) 的最大公因式．
f ( x),g( x)的最大公因式.
§1.4 2020/7/12 最大公因式
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如: f ( x)=x2 1, g( x)=1 ，则 ( f ( x)、g( x))=1. 取 u( x)= 1, v( x)=x2 ，有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取 u( x)=0, v( x)=1 ，也有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取u( x)= 2, v( x)=2x2 1 ,也有u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1.
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其中 (r2( x)) (r1( x)) 或 r2( x) 0 ．
若 r2( x) 0 ，用 r2( x) 除 r1( x) ，得
r1( x) q3( x)r2( x) r3( x),
……
如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低，
即 ( g( x)) (r1( x)) (r2( x)) …… 因此，有限次后，必然有余式为0．设
事实上,若 u( x) f ( x)+v( x)则g(对x)=d( x，), h( x)
[u( x) h( x)g( x)]f ( x) [v( x)+h( x) f ( x)]g( x)=d( x) 成立．
§1.4 2020/7/12 最大公因式
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④ 若 d( x)=u( x) f ( x) v( x)g( x) ，且
辗转相除法．
② 定理２中最大公因式 d( x)=u( x) f ( x)+v( x)g( x) 中的 u( x)、v( x) 不唯一.
③ 对于 d( x), f ( x),g( x) P[x], u( x),v( x) P[x]，
使 d(x)=u( x) f ( x) v( x)g( x) ,但是 d(x)未必是
§1.4 2020/7/12 最大公因式
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注：① f ( x)、g( x)的首项系数为1的最大公因式记作:
( f ( x)、g( x)) . ② f ( x) P[x] ，f ( x) 是 f ( x) 与零多项式0的最 大公因式． ③ 两个零多项式的最大公因式为0．
若 f ( x), g( x) 不全为零，则( f ( x), g( x)) 0.
一、公因式 最大公式 二、最大公因式的存在性与求法 三、互素 四、多个多项式的最大公因式
2020/7/12
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一、公因式 最大公因式
1．公因式: f ( x)、g( x) P[x], 若 ( x) P[x],
满足: ( x) f ( x) 且 ( x) g( x), 则称 ( x)为 f ( x)、g( x) 的公因式．
rs3( x) qs1( x)rs2( x) rs1( x)
rs2( x) qs ( x)rs1( x) rs ( x) rs1( x) qs1( x)rs ( x) 0
§1.4 2020/7/12 最大公因式
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从而有 ( f ( x),g( x))=( g( x),r1( x)) =(r1( x),r2( x))