高等代数第八章_λ-矩阵(北大版)

2015-6-12§8.1 λ─矩阵
数学与应用数学
“ ” 设 A( ) d 是一个非零常数.
A ( ) 为 A( )的伴随矩阵，则
1 1 A( ) A ( ) A ( ) A( ) E d d
A( ) 可逆.
1 A ( ) A ( ). d
1
( )
1
i行 j行 1
数学与应用数学
② 初等矩阵皆可逆.
p(i , j )1 p(i , j )
p( i (c ))1 p( i ( 1 c ))
p(i , j( ( ))) p(i , j( ( )))
1
③ 对一个 s n 的 ―矩阵 A( )作一次初等行变换 就相当于在 A( ) 在的左边乘上相应的 s s 的初等矩 阵；对 A( ) 作一次初等列变换就相当于在 A( )的右 边乘上相应的 n n的初等矩阵.
A1 ( ).
2015-6-12§8.1 λ─矩阵
数学与应用数学
判定：
（定理1） 一个 n n 的 ―矩阵 A( )可逆
A( ) 是一个非零常数.
证: “ ”
若 A( ) 可逆，则有 B ( )，使
A( ) B( ) E
两边取行列式，得
A( ) B( ) A( ) B( ) E 1 A( ) , B( ) 都是零次多项式，即为非零常数.
( ) 是一个多项式.
2015-6-12§8.2 λ─矩阵的标准形
数学与应用数学
注：
为了书写的方便，我们采用以下记号
[ i , j ]代表 i , j 两行(列)互换； [ i ( c )]代表第 i 行乘以非零数 c ； [i j ( ( ))] 代表把第 j 行(列)的 ( )倍加到第 i
称之 A ( ) 为 的 标准 形.
d r ( )
0
其中 r 1, d i ( ) ( i 1,2,
, r ) 是首项系数为1的
, r 1).
多项式，且
d i ( ) d i 1 ( ) ( i 1,2,
数学与应用数学
2015-6-12§8.2 λ─矩阵的标准形
证: 经行列调动之后，可使 A( ) 的左上角元素
除尽，这种情况的证明i)与类似.
iii) A( )的第一行与第一列中的元素都可以被 a11 ( )
除尽，但 A( ) 中有另一个元素 aij ( ) ( i 1, j 1)
2015-6-12§8.2 λ─矩阵的标准形
数学与应用数学
被 a11 ( ) 除尽. 我们设 ai 1 ( ) a11 ( ) ( ).
―矩阵的各级子式是 的多项式.
2015-6-12§8.1 λ─矩阵
数学与应用数学
二、λ－矩阵的秩
定义：
若 ―矩阵 A( ) 中有一个 r ( r 1) 级子式不为零， 而所有 r 1 级的子式（若有的话）皆为零，则称2015-6-12§8.1 λ─矩阵
行(列).
2015-6-12§8.2 λ─矩阵的标准形
数学与应用数学
二、λ－矩阵的初等矩阵
定义：
将单位矩阵进行一次 ―矩阵的初等变换所得的 矩阵称为 ―矩阵的初等矩阵.
注： ① 全部初等矩阵有三类：
1 1 0 1 1 0 1 i行 j行 1
aij ( ) (1 ( ))a1 j ( )
不能被左上角元素 a11 ( ) 除尽，转为情形 ii) . 证毕.
2015-6-12§8.2 λ─矩阵的标准形
数学与应用数学
2.（定理2）任意一个非零的 s n的 一矩阵 A( ) 都等价于下列形式的矩阵
d1 ( ) d 2 ( ) 0
P (i , j )
2015-6-12§8.2 λ─矩阵的标准形
数学与应用数学
1 p( i (c ))
1
c
1
1
i行
1 p( i , j ( ( )))
2015-6-12§8.2 λ─矩阵的标准形
数学与应用数学

r ( ) B( ). [1,i ] a11 ( ) B ( ) 的左上角元素 r ( ) 符合引理的要求，
故 B ( ) 为所求的矩阵. ii) 在 A( ) 的第一行中有一个元素 a1i ( )不能被 a11 ( )
1
2015-6-12§8.1 λ─矩阵
数学与应用数学
§8.2 λ─矩阵的标准形
一、λ－矩阵的初等变换 二、λ－矩阵的初等矩阵
三、等价λ－矩阵 四、λ－矩阵的对角化
2015-6-12§8.2 λ─矩阵的标准形
数学与应用数学
一、λ－矩阵的初等变换
定义：
λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换: ① 矩阵两行（列）互换位置； ② 矩阵的某一行（列）乘以非零常数 c ； ③ 矩阵的某一行（列）加另一行（列）的 ( ) 倍，
其中余式 r ( ) 0 ，且 r ( x ) a11 ( )
对 A( ) 作下列初等行变换:
a11 ( ) A( ) ai 1 ( )
2015-6-12§8.2 λ─矩阵的标准形
a11 ( ) [ i 1( q )] r ( )
第八章 λ─矩阵
§1 λ－矩阵 §2 λ－矩阵的标准形
§3 不变因子 §4 矩阵相似的条件 §5 初等因子 §6 若当(Jordan)标准形的理论推导 小结与习题
2015-6-12 数学与应用数学
§8.1 λ─矩阵
一、λ－矩阵的概念 二、λ－矩阵的秩 三、可逆λ－矩阵
2015-6-12§8.1 λ─矩阵
数学与应用数学
三、可逆λ－矩阵
定义：
一个n n 的 ―矩阵 A( ) 称为可逆的，如果有一 一个 n n的 ―矩阵 B ( ) ，使
A( ) B( ) B( ) A( ) E
这里E是n级单位矩阵. 称 B ( ) 为 A( ) 的逆矩阵(它是唯一的)，记作
数学与应用数学
2015-6-12§8.2 λ─矩阵的标准形
1 i
a11 ( ) 0
A1 ( )
aij ( ) (1 ( ))a1 j ( ) aij ( ) a1 j ( ) ( )

矩阵 A1 ( ) 的第一行中，有一个元素：
其中 d1 ( ) 与 d 2 ( ) 都是首1多项式( d1 ( ) 与 bs ( ) 只差一个常数倍数），而且 能除尽 A2 ( ) 的全部元素. 如此下去， A( ) 最后就化成了标准形.
2015-6-12§8.2 λ─矩阵的标准形
数学与应用数学
d1 ( ) | d 2 ( ),
数学与应用数学
一、λ－矩阵的概念
定义：
设P是一个数域， 是一个文字， P[ ]是多项式环， 若矩阵A的元素是 的多项式，即 P[ ] 的元素，则 称A为 ―矩阵，并把A写成 A( ).
注：
①
P P[ ], ∴ 数域P上的矩阵—数字矩阵也
是 ―矩阵.
2015-6-12§8.1 λ─矩阵
传递性: A( ) 与 B ( ) 等价, B ( ) 与 C ( ) 等价
A( ) 与C ( ) 等价.
2015-6-12§8.2 λ─矩阵的标准形
数学与应用数学
2) A( )与 B ( ) 等价 存在一系列初等矩阵
P1
PS , Q1
Qt 使 A( ) P1
B2 ( ) 左上角元素 b2 ( ) 0， b2 ( ) b1 ( ) .
如此下去，将得到一系列彼此等价的λ－ 矩阵：
2015-6-12§8.2 λ─矩阵的标准形
数学与应用数学
A( ), B1 ( ), B2 ( ),
.
它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低. 但次数是非负整数，不可能无止境地降低. 因此在有限步以后，将终止于一个λ－矩阵 Bs ( ) 它的左上角元素 bs ( ) 0 ，而且可以除尽 Bs ( ) 的全部元素 bij ( ), 即
数学与应用数学
② ―矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算， 其定义与运算规律与数字矩阵相同. ③ 对于 n n 的 ―矩阵，同样有行列式 | A( ) |, 它是一个 的多项式，且有
| A( ) B( ) || A( ) || B( ) | .
这里 A( ), B( ) 为同级 ―矩阵. ④ 与数字矩阵一样， ―矩阵也有子式的概念.
对 A( ) 作下述初等行变换:
a11 ( ) A( ) ai 1 ( )
a1 j ( ) aij ( )

i 1( )
a1 j ( ) a11 ( ) 0 ... aij ( ) a1 j ( ) ( ) ...
bij ( ) bs ( )qij ( j ),
对 Bs ( ) 作初等变换:
2015-6-12§8.2 λ─矩阵的标准形
i 1,2,
, s; j 1,2,
, n.
数学与应用数学
bs ( ) 0 0 [21( q21 )],[3 1( q31 )], B( ) [21( q21 )],[31( q13 )], A1 ( ) 0
0
A1 ( ) 中的全部元素都是可以被 bs ( ) 除尽的，
因为它们都是 Bs ( ) 中元素的组合. 如果 A1 ( ) 0 ，则对于 A1 ( ) 可以重复上述过程，