固体物理-04-07能态密度和费密面
4-7能态密度和费米面解析
2V dsdk 3 dZ 2 2V ds N E 态密度的计算
公式：
dZ 2V ds N E dE 2 3 k E
例一、自由电子能态密度Ｎ(E)。
2 2 2 2 kx ky k z 例二、若已知 E ( k ) 2 m1 m 2 m3
EC
EB EA
N(E)
自由电子情况 近自由电子情况
12
例二
2 2 2 2 kx ky k z 例二、若已知 E ( k ) 2 m1 m 2 m3 解：等能面方程：E k E ,即
，求g(E)。
2 2 ky k z2 kx 1 2m1 E 2m 2 E 2m3 E 2 2 2 2m1 E 2 2m 2 E 2 2m3 E 令a 2 ,b ,c ,则 2 2 2 2 2 ky k z2 kx 等 能 面 方 程 可 化 为2 2 2 1 a b c
晶体中电子状态的基本认识
（1）晶体中电子状态由能带描述；
（2）一般情况下，原子能级与能带有一一对应的关系；
（3）能带宽度决定于波函数的重叠程度；
（4）禁带宽度决定于周期势场变化的剧烈程度；
（5）晶体中电子波函数是布洛赫函数，它反映晶体电子 共有化运动和围绕原子核运动两者兼有的特征；
1
§4-7能态密度和费米面
ds
dk
2V Z V等 能 面E和E E之 间 3 2 2V dsdk 3 2
kx
(1)dk表示两等能面之间的垂直距离; (2)ds表示面积元。
4
Ⅱ.关于ΔE
一、能态密度函数
由 k E 的含义（表示沿法线方向能量的改变率）可知：
固体物理学中的费米面与能带结构
固体物理学中的费米面与能带结构在固体物理学中，费米面与能带结构是两个重要的概念。
它们描述了在晶体中的电子行为，对于理解电导、磁性以及其他物质的性质至关重要。
一、费米面费米面是描述电子运动的一个概念。
在凝聚态物理学中，电子遵循泡利不相容原理，即每个量子态只能容纳一个电子。
由于这个原理，电子填满能级时会填充到一定的能量范围内。
费米面是描述这个能量范围边界的一个表面。
费米面实际上是指在零温下，电子填满能级时所占据的最高能级。
费米面上方的电子就是导电带。
费米面的形状可以通过电子的能带结构以及能级的填充情况来决定。
二、能带结构能带结构描述了电子在晶体中能量分布的情况。
在固体中，电子的能量是由晶格结构以及电子相互作用决定的。
晶格会对电子的能量造成影响，从而形成能带。
根据波尔兹曼方程，电子在晶体中的运动可以通过能带结构来描述。
能带结构分为导带和禁带两部分。
导带是指电子可以容纳的能级范围，而禁带则是指电子无法取得的能级范围。
禁带中的能量被称为带隙。
带隙决定了固体的电导性质。
对于导电材料来说，带隙较小，电子可以轻易地跃迁到导带中，而对于绝缘体来说，带隙较大，电子无法跃迁到导带中，因此不能导电。
能带结构可以通过实验技术如X射线衍射和光电子能谱来研究。
通过这些实验，科学家可以测量电子的能量分布，从而揭示晶体的能带结构。
三、费米面与能带结构的关系费米面和能带结构之间有着紧密的联系。
费米面的形状取决于能带结构以及电子的填充情况。
对于导体来说，费米能级与导带重叠，费米面呈现为一个封闭曲面，形状非常复杂。
而对于绝缘体来说，费米能级位于禁带中，费米面是一个简单的球面。
这个球面上的每个点对应着一个电子的量子态。
费米面上的电子数量取决于晶体中电子的填充情况。
费米面附近的电子具有决定导电性质的重要作用。
在固体中的费米面形状和所处位置是非常重要的。
这些特性不仅决定了电子的运动行为，也决定了很多物质的性质，如电导、磁性等。
总结固体物理学中的费米面与能带结构是了解电子行为的重要工具。
复旦课件固体物理之费米面和态密度by车静光
• 从能带结构可以知道，由于周期性势场的作 用，一般的费米面形状可能很复杂，
* 从了解自由电子气费米面开始 * 金属电子，接近自由电子，费米面是一畸变球面 * 半导体、绝缘体不用费米面，而用价带顶概念
* 思考：对Bloch电子呢？
kz d Sd k ky
• 因此，在k空间，如图两个 E和E+dE等能面之间的状 kx 态数为
2V Z dS dk 3 2
固体物理学
25
http://10.107.0.68/~jgche/
考虑自旋
• 仿照电子气
E k E (k ) dk
1/ 3
三维 对四价原子 二维 一维
固体物理学
6
1/ 2
4 k F 2 A
1/ 2
2 2 a
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引入二维正方格子空晶格
• 作布里渊区图
* 以费米波矢kF 为半径作圆， 圆内全占据 * 这是广延图
• 第一布里渊区 全部占据 • 费米圆与第二、 三、四 布里渊 区相交 • 第二、三、四 布里渊区部分 占据
• 下面以近自由电子近似的观点看这种畸变
近自由电子费米面——定性描述 * 定量的要通过实验测量或具体计算才能得到
http://10.107.0.68/~jgche/ 固体物理学
10
近自由电子费米面在布区边界畸变的原因
• 布里渊区边界处由 于畸变引起的能量 与k的关系变化
* 对第一能带，同样 的能量(等能)，近 自由电子的k比自 由电子的大；而对 第二能带正好相反 * 所以，靠近边界 时，等能面向外凸 * 离开边界时，等能 面向内缩 * 记住这幅图象畸 变的关系
4-7能态密度和费米面
2mE 2
2π3
VC
4π k 2 d k
dZ 2
2π3
VC
4π k d k
2
E dE
m dE 2mE
ky
VC 2 mE dZ 2 4π 3 2 2π
E
2
kx
2k dE dk m 2mE 2 k 2
4πVC (2 m ) 3 2 E 1 2 dE 3 3 2π
2.画出自由电子费米球(面)(费米面的
广延区图)； 3.将落在各个布里渊区的费米球片断平移适当的倒格矢进 入简约布里渊区中等价部位(费米面的简约区图)。
第一区
=1
第一区
第二区
=2，3
第三区 第四区
=4，5，6
2、近自由电子费米面
根据以上说明，构造费米面应按如下步骤：
1.画出布里渊区的广延区图形；
L2 m L2 m 考虑电子自旋，有 dZ 2 2 dE 2 dE N ( E )dE 2
( 2) N
0 EF
0
N ( E )dE
0 EF
0
L2 m mL2 0 dE 2 E F 2
2 N 0 EF mL2
V N (E) 3 4
ds k E
VC m 4π 2 ( 2π)3 2
2mE
VC m 4π 2 ( 2π)3 2
2mE
dZ dE
( 2m ) 3 2 1 2 4πVC E 3 h
E
CE 1 2
法2. 金属中自由电子的能量
2k 2 E 2m
dZ 2
k2
3 2
Vc 2mE 2 2 3π
费米面上的能态密度
费米面上的能态密度费米面上的能态密度是一个重要的物理概念，它是1926年由美国物理学家爱因斯坦提出的。
它代表了系统里具有恒定能量的粒子的最大密度。
这一概念可以用于研究物理、化学和其他复杂的科学系统，也可以用于理解空间、时间和质量的联系。
费米面上的能态密度的最初定义是，它是指一个平面上一点的能量，该能量能在其上容纳的粒子的最大数量。
水平的，它可以被认为是一个物理限制，它限制了物质体系里的粒子的数量及其能量分布模式。
例如，费米面上的能态密度可以用来解释为什么动能会在费米面上截断，以及加热等运动会使粒子的能量间隔发生变化等现象。
费米面上的能态密度的重要性不容小觑，它为众多科学系统的研究提供了令人满意的解释。
举例来说，它已经被用于研究量子力学模型、热力学体系、摩擦系统等。
此外，它也被广泛应用于物理学领域，如空气动力学、流体力学、激光物理学、电磁学等，从而为现代技术打下坚实基础。
费米面上的能态密度还可以用于探测温度及能量之间的关系。
研究表明，费米面上的能态密度与温度之间存在一种恒定的关系，即费米能态密度的大小越高，温度越高。
由此可以间接测量温度，在某些情况下可以代替温度计。
同时，费米面上的能态密度还可以用于探测质量和时间之间的关系，这是研究物质空间结构和动态行为的基础。
此外，费米面上的能态密度在研究粒子物理学中也发挥着重要的作用。
它可以帮助人们更好地理解粒子的行为及其物理性质，为物质的宏观结构和小观性质的研究提供依据。
费米面上的能态密度还可以为研究粒子的相互作用提供参考，从而有助于弄清他们的行为特征。
总之，费米面上的能态密度是一个重要的物理概念，它在众多科学领域均发挥着重要作用，无论是探测温度、能量、质量、时间或研究粒子物理学，它都提供了有价值的参考。
此外，费米面上的能态密度也为现代技术打下了坚实的基础，它使科学研究成为可能，并且有助于人类更好地理解自然界的物质世界。
固体物理 04-07能态密度和费密面
费米速度 vFpF/m
西
南
科 技
费米温度 TF EF /kB
大
学
Solid State Physics
固 体
费米能量的估算
物
理 —— 自由电子球半径
V N
1 n
43rs3
—— 电子密度
n
—— 费米半径
3
4 rs3
rs
(3
4 n
1
)3
kF
2(3n)1/3 8
西
kF
1 .9 2 rs
vF
pF m
南
—— 费米速度
N2(2V)3 43kF3
球的半径
kF
2( 3)1/3(N)1/3 8 V
n N 电子密度 V
西
南 科 技 大
kF
2(3n)1/3 8
学
Solid State Physics
固
体 物
费米波矢 费米动量 费米速度 费米温度
理
费米能量 EF 2kF 2/2m
费米球半径 kF 2mEF / 费米动量 p Fk F
V
Z (2)3 dSdk
西
南 应用关系
科
技
大 学
dk kE E
Solid State Physics
固
体
物 理
Z
V
(2)3
dSdk
dk kE E
Z(2V)3
dS kE
E
dk E kE
能态密度
N(E)(2V)3
dS kE
西 南
考虑到电子的自旋，能态密度
科 技 大 学
N(E)2(2V)3
—— 晶体中8N个电子全部填充成键态的4个能带形成 满带
能带理论(4)(费米面和能态密度)
• 能量态密度就是表示这种密集程度的量
• 能态密度的定义： • 能量在E~E+dE的状态数
• 如果dZ表示状态数目，则态密度为
D(E )
dZ dE
能带与态密度的关系
• 在k空间(也称状态空间)， 状态分布是均匀的，密度为 V/(2pi)3。 • 因此，在k空间，等能面 E~E+dE之间的状态数目为
• 费米面上的尖角钝化
• 费米面所包围的总体积仅仅依赖于电子浓度，
而不依赖于点阵相互作用细节
步骤（Harrison方法）
• 倒格子——画Brillouin区
•
• •
自由电子：画半径与电子浓度有关的球
将处在第二、三、… Brillouin区的费米面碎
片分别移到第一Brillouin区
变形费米面，使满足
• 在球面上
k E k
dE dk
k m
2
• 球面面积为
dS
• 所以
4 k
2
D E
2
3
2V
dS k E k m
2
2V
2
3
k
4 k
2
C
E
考虑自旋
dZ
dSdk 2
3
2V
• 另一方面
dE k E ( k ) d k
dk
dE k E (k )
• 于是 • 所以
dZ
dSdk 2
3
2V
2V 2 3
dS
dE k E k dS
4 / a
6 / a 8 / a
固体物理学：第四章 第七节 能态密度
§4.7 能态密度
固体中能级分布是准连续的，我们可以类似声子态密 度，来定义能量E附近单位能量间隔中的状态数，即能 态密度。
固体中能带都可以在简约布里渊区中表示，并且在k空 间均匀分布，波矢密度（考虑到自旋简并度）为 2V/(2pi)^3。定义能态密度为：
类似前面声子态密度，考虑到等能面，得到另一种更 实用的形式:
积分沿着一个能量为E的等能面进行。总态密度是对 所有能带求和：
这样就可以通过能带结构来计算能态密度。 对于不同纬度，有：
在一维情况下，能带的等能面成为两个等能点，二维情况下， 退化为等能线。
一、自由电子的能态密度
自由电子的能谱： 其等能面是一个球面，并且沿着等能面： 因此
因此自由电子气的能态密度与系统的维度密切相关：
能态密度是固体电子能谱分布的重要特征。特别是 低激发态的能态密度，因为这部分状态对配分函数 贡献最大。
低能激发态被热运动激发的概Fra bibliotek大于高能激发态。
如果低能激发态的态密度大，则体系因为热运动而 产生的涨落就强，其有序度就低，以至消失，不容 易出现有序相。
因而低能态密度的大小决定了体系的有序度和相变。
从上面的可以看到，不同维度的自由电子气的能态密度 有决定性的差异。
对于3维体系，低能态密度随E的减小而趋于0，因为低温 下热运动引起的涨落小，体系在低温下有长程序。
对于1维体系，低能态密度随E的减小而趋于无穷，因为 即使在低温下，热涨落仍然很强，所以1维体系不能具有 长程序。
而2维体态密度是常数，介于1维和3维之间，可具有准长 程序，并会有一些特殊相变。
实际问题中，常把一些长链分子聚合物当做准一维 链状分子。在这些体系中会出现如派尔斯 (Peierls) 失稳， 孔氏（Kohn）反常等物理效应。
5.8 能态密度和费米面
5.8 能态密度和费米面：一. 能态密度二. 费米面见黄昆书4.7节与孤立原子中的本征能态形成一系列的分立能级不同，固体中电子的能级是非常密集的，形成准连续的分布，和孤立原子那样去标注每个能级是没有意义的，为了概括晶体中电子能级的状况，我们引入“能态密度”的概念，这个函数在讨论晶体电子的各种过程时特别在输运现象的分析中是非常重要的。
费米面是固体物理中最重要的概念之一。
在自由电子论中费米面的重要性在于：只有费米面附近的电子才能参与热跃迁或输运过程，决定着晶体的各种物理性质。
这里费米面的含义不变，只是晶体势场的影响使费米面的形状变得复杂，从而对性质的影响变得复杂罢了，自由电子气模型受周期场的微弱影响，近自由电子的等能面偏离自由电子的球形。
并受到布里渊区界面影响和自由电子态密度相比近自由电子的能态密度发生了明显变化。
E A原因是明显的：在4.2节已经指出，周期场的微扰使布里渊区附近界面内的能量下降，而等能面的凸出正意味着达到同样的能量E ，需要更大的k 值，当能量E 超过边界上A 点的能量E A ，一直到E 接近于在顶角C 点的能量E C （即达到第一能带的顶点）时，等能面将不再是完整的闭合面，而成为分割在各个顶角附近的曲面。
由此我们给出对近自由电子能态密度的估计：在能量没有接近E A 时，N (E)和自由电子的结果相差不多，随着能量的增加，等能面一个比一个更加强烈地向外突出，态密度也超过自由电子，在E A 处达到极大值，之后，等能面开始残破，面积开始下降，态密度下降，直到E C 时为零。
所以近自由电子近似下的N (E)如图所示。
BCC LiFermi surface[100][010]Fermi surface is distortedfrom a spherenear the zone boundary.A cusp is caused by interactionN (E )N (E )E B E BE CE C EE 。
能态密度和费米面
，求g(E)。
例三、简立方晶格的s带对应的能态密度N(E)。
6
例一、自由电子能态密度Ｎ(E)
2 k 解：自由电子的能量本征值： E k 2m
2
2 2 k k E 2m
2mE 自由电子等能面为球面，其半径为： k
2V ds 2V 4k 2 V 2m N E 3 3 2 2 2 2 k E 2 2 k 2 2m
VA +++ + + A VB --B VA VB
+ + + + -
+ + + +
-
A
B
功函数：WA，WB；
27
0 EF
WA
WB EF 接触电势差： VA-VB=(WB-WA)/q -eVB
EF
WA
-eVA
WB
EF
28
例：自由电子费米能级EF
V 2m N E 2 2 2
2V dsdk 3 dZ 2 2V ds N E dE dk k E 2 3 k E
5
关于能态密度的计算
公式：
dZ 2V ds N E dE 2 3 k E
例一、自由电子能态密度Ｎ(E)。
2 2 2 2 kx ky k z 例二、若已知 E ( k ) 2 m1 m 2 m3
ds
dk
2V Z V等 能 面E和E E之 间 3 2 2V dsdk 3 2
kx
(1)dk表示两等能面之间的垂直距离; (2)ds表示面积元。
4
Ⅱ.关于ΔE
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技 大
2）接近布里渊区边界时，等能面将向边界凸出。
学
Solid State Physics
固 体 物
理 原因：
微扰作用，
使第一布里渊区边 界的电子能量下降； 等能面凸出意味着 要达到同样的E需
要更大的 k 值
西 南 科 技 大 学
Solid State Physics
固
体 物
根据以上分析，对能态密度N(E)可以做如下估算：
Z
V
(2
)3
dSdk
西
南 应用关系
科
技
大 学
dk kE E
Solid State Physics
固
体
物 理
Z
V
(2
)3
dSdk
dk kE E
Z
V
(2 )3
dS k E
E
dk E k E
能态密度
N
(E)
V
(2
)3
dS k E
西 南
考虑到电子的自旋，能态密度
科 技 大 学
N
(
E
)
大
学
Solid State Physics
固
体
物 理
k E 2aJ1 (sin 2 kxa sin2 kya sin2 kza)
N (E) V
dS
8 3aJ1 等能面 (sin2 kxa sin2 k ya sin2 kza)
出现微商不连续的奇点 —— 等能面与布里渊区相交
西 南
(0, 0, ) ( , , 0)
Solid State Physics
固 体
固体物理
物 理
Solid State Physics
第四章 能带理论
§4.7 能态密度和费米面
西 南 科 技 大 学
Solid State Physics
固
体 物
04_07 能态密度和费密面
理
1 能态密度函数
—— 孤立原子：
电子的本征态形成一系列的分立能级，可以具体的 标明各能级的能量，说明它们的分布情况。
从B点开始能态密度由零迅速增大
能带不重叠
西 南 科 技 大 学
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固 体
物 第二布里渊区能态密度
理
—— 能量E越过第一布里渊区边界A点 从B点开始能态密度由零迅速增大
西
南
能带重叠
科
技
大
学
Solid State Physics
固
体 物
3) 紧束缚模型的电子能态密度
按照泡利原理它们基态
—— N个电子由低到高填充的N个量子态
电子的能级
E(k )
2k 2
2m
西
—— 电子填充k空间半径为kF的球
南
科 技 大
—— 球内的状态数
N
2
V
(2
)3
4 3
k
3 F
学
Solid State Physics
固 体 物
理 —— 球内的状态数
N
2
V
(2 )3
4 3
固
体
物 理
Es (k) E0 2J1(coskxa coskya coskza)
k E 2aJ1 (sin 2 kxa sin2 kya sin2 kza)
能态密度
N(E)
V
4 3
dS k E
西 南 科 技
N
(E)
V
8 3aJ1
等能面
dS (sin2 kxa sin2 k ya sin2 kza)
科 技
得到如图所示的抛物
大线
学
E aN 2 (E)
Solid State Physics
固 体 物 理
周期场
2) 近自由电子的能态密度
在布里渊区的边界附近产生 较大影响
在其它的地方只对自由电子 的情形有较小的修正。
因此，在考虑第一布里渊区 的等能面的情况下，可以认为：
西
南 科
1）从原点向外，等能面应基本上保持为球面；
理
a）当能量没有接近EA时， N(E) 和 自 由 电 子 的 结 果 接 近。
b ） 当 E 接 近 EA 时 ， 随 E↑ ， 等能面一个比一个更加强
烈的向外凸出，使他们之
西 间的体积由愈来愈大的增
南 科 技
长，E→EA时，N(E)>自由 电子的N(E)。
大
学
Solid State Physics
科
a
aa
技
R
大
学
Solid State Physics
固
体 物 理
E s (k) E0 2J1(cos kxa cosk ya coskza)
E X E0 2J1 的等能面
E E0 的等能面
西 南 科 技 大 学
Solid State Physics
固
体
物
2 费米面
理
—— 固体中有N个自由电子
—— 固 体：
电子的能级是异常密集的，形成准连续的分布，去
西
标明其中每个能级是没有意义的，为了概括这种情
南 科
况下能级的状态d State Physics
固 体
物 —— 能态密度定义
理
若在能量在E ~ E+E之间范围内，能态数目 Z，则能态密度N(E)定义为：
N (E) lim Z E0 E
西
若在 k空间中，根据 E k 为常数作出等能
南 科
面，那么在等能面E ~ E+E的状态数目就是Z
技
大
学
Solid State Physics
固
体 物
等能面 —— E(k ) constant
理
—— 状态在k空间是均匀分布的
状态密度 V
(2 )3
—— E~E+E之间的能态数目
固
体
物
理
c）当E>EA时，等能面
开始残破，面积不断下降。
E=EC时，等能面缩成n 个顶角点。
西
∴E→EC时， N(E) ↓→0。
南
科
技
因此，对近自由电子近似的情况，得到如
大 学
图所示的N(E)曲线
Solid State Physics
固
体 物
第二布里渊区能态密度
理
—— 能量E越过第一布里渊区边界A点
理
—— 简单立方格子的s带
E s (k) E0 2J1(cos kxa cosk ya coskza)
—— k=0附近
E(k)
Emin
2 2m*
(k
2 x
k
2 y
k
2 z
)
西 —— 等能面为球面
南 科
技 —— 随着E的增大，等能面与近自由电子的情况类似
大 学
Solid State Physics
k
2mE
2
dS 4 k 2
能态密度
N(E)
V
4 3
dS k E
西
南 科 技 大
N(E)
2V
(2 )2
(
2m
2
)3
/
2
E
学
Solid State Physics
固
体 物 理
N(E)
2V
(2 )2
(
2m
2
)3/
2
E
E aN 2 (E)
6 4
a 2V 2m3
西 南
若以 N(E)为横坐 标， E为纵坐标，就
2
V
(2
)3
dS k E
Solid State Physics
固
体
物 理
1) 自由电子的能态密度
电子的能量 E(k ) 2k 2 2m
k空间, 等能面是半径为
西
k
2mE
2
的球面
南
科
技
大
学
Solid State Physics
固
体
物 理
E(k ) 2k2
2m
在球面上
k E
dE 2k dk m