4.1《实数指数幂》
4.1实数指数幂
——毕达哥拉斯
4.1实数指数幂
创设情境，导出新课
观察下图，体会什么叫平方根？联想什么叫立方根？
若 x 2 a (a 0) ，则 x 叫做 a 的平方根。
a 0时，两个平方根： ， a a
a 0时，有一个平方根： a 0时，无平方根 0
③正数a的n次方根叫做a的n次算术根，记作 ④当
n
n
a
a 有意义时，把 n a 叫做根式，其中n叫做根指数
a叫做被开方数。
思考交流：
填空：
（1）（ 3 8 ）3= 、 （2） 8 = （3） 4 5 = 、
4 3 3
； 3 8 ）3= （
3 ； 3 (8) =
。 。
4 ； 4 (5) =
。
布置作业
• 1、课堂作业 • 2、课外作业
Thank you !
这些结果说明了什么？
归纳结论：
观察式子：
题组练习，形成技能：
归纳小结，反思提高
• 同学们，在本节课中你有什么收获与感悟吗？
布置作业
• 1、课堂作业 • 2、课外作业
创设情境，导出新课
• 回顾初中学过的整数指数幂的运算性质：
合作讨论，构建新知
• 请你完成下表：
表达式 第一组 结果 表达式
1 1 2 2
3 3
1 2
1 2
第二组 结果
3
(3 )
1 3 6
3
1 ( 6 ) 3
表达式 第三组 结果
(4 9)
1 2
4 9
1 2
1 2
讨论交流： （1）、指数由整数推广到实数范围以后，整数指数幂的相关 性质在实数范围内适用吗？ （2）、请你仿照整数指数幂运算性质写出实数指数幂的运算 法则：
高教版中职数学(基础模块)上册4.1《实数指数幂》ppt课件1
3
4.1实数指数幂
4.1.2实数指数幂及其运算法则
1 ． a n = a×a×a×…×a ( n 个 a 连乘 )
a 0 = 1（ a ≠ 0 ），
a-n =
1 an （ a ≠ 0 ，n N＋）．
2．运算法则
（1） a m a n = a m＋n；
（2）( a m ) n = a m n ；
4.1实数指数幂
4.a
数
底数 根式
一般地，我们规定：
1
a n = n a（a＞0）；
m
an=
n am（a＞0，m，n N＋，且 mn 为既约分数）．
实数指数幂--参考教案
树立事物之间存在着相互联系又可以相互转化的思想，培养学生的创新思维．
教学
重难点
教学重点：实数指数幂的运算，掌握其运算法.
教学难点：运用实数指数幂的运算法则及分数指数幂和根式之间的互化进行计算.
第1课时
教学过程
教学活动
学生活动
设计思路
一、创设情境
在学习了有理数指数幂的基础上，我们可以将 中指数x的取值范围从有理数拓展到实数,此时 的意义是什么呢？如 、（ ，它们是一个确定的数吗？能否计算出结果呢？其实，指数从有理数推广到实数后，x为无理数时， 也是有意义的， 、（ 都是确定的数，虽然它们的精确值只能用近似值来逼近.
例2化简（式中字母均为正实数）
（1） ；（2） .
分析两个小题我们首先需要将根式转化为分数指数幂，然后再化简运算.
解（1）
（2）
=
=
=
=a
例3计算
分析原代数式中每一项都是前面一项的2倍（除第1项外），可考虑将该代数式中的每项乘2后再与原代数式相减.
解令S= (1)
将(1)式两边同时乘以2，得到
2S= (2)
第七单元4.1《实数指数幂》教案
授课题目
实数指数幂
授课课时
1
课型
讲授
教学
目标
知识与技能：
1.了解实数指数幂的含义.
2.在分数指数幂的基础上，掌握实数指数幂的运算法则.
3.进一步巩固分数指数幂和根式之间的互化进行计算.
过程与方法：
实数指数幂是分数指数幂的深化，是以后学习指数函数的基础，在具体的运算中，学会用抽象的符号或字母的进行运算，提高运算能力．
2.预习
3.调查实践，探究
中职数学(基础模块)上册第四章《指数函数与对数函数》教学设计
中职数学（基础模块）上册第四章《指数函数与对数函数》教学设计4.1实数指数幂(1)教学目标:⑴复习整数指数幂的知识；⑵了解n次根式的概念；⑶理解分数指数幂的定义.教学重点:分数指数幂的定义．教学难点:根式和分数指数幂的互化．课时安排:2课时．教学过程:120．、且∈Nn+这样就将整数指数幂推广到有理数指数幂．44.1实数指数幂（2）教学目标:⑴掌握实数指数幂的运算法则；⑵通过几个常见的幂函数，了解幂函数的图像特点. 教学重点:有理数指数幂的运算．教学难点:有理数指数幂的运算．课时安排:2课时．5教学过程:0．将下列各根式写成分数指数幂：；20将下列各分数指数幂写成根式：79过 程活动 活动 意图以表中的每组,x y 的值为坐标，描出相应的点),(y x ，再用光滑的曲线依次联结这些点，分别得到函数y =x 3和函数21xy =的图像，如下图所示．总结：这两个函数的定义域不同,在定义域内它们都是增函数．两个函数的图像都经过坐标原点和点(1,1)． 例7 指出幂函数2y x -=的定义域，并作出函数图像．分析 考虑到221x x-=，因此定义域为00-∞+∞（，）（，），由于2211()x x =-，故函数为偶函数．其图像关于y 轴对称，可以先作出区间(0,)+∞内的图像，然后再利用对称性作出函数在区间(,0)-∞内的图像．解 2y x -=的定义域为00-∞+∞（，）（，）．由分析过程知道函数为偶函数．在区间(0,)+∞内，设值列表如下：x 0 41 1 4 9 … y =21x21123…x…121 2 …y… 4 114… 讲解 引领 归纳质疑分析强调 讲解领会 了解 观察 体会 思考 理解 主动 求解特点 引导 学生 掌握 描点 作图 的方 法 突出 数形 结合 的数 学思 想 注意 是否 理解 知识 点 可以 适当10过 程活动 活动 意图以表中的每组,x y 的值为坐标，描出相应的点),(y x ，再用光滑的曲线依次联结各点，得到函数在区间(0,)+∞内的图像．再作出图像关于y 轴对称图形，从而得到函数2-=x y 的图像，如下图所示．总结：这个函数在(0,)+∞内是减函数；函数的图像不经过坐标原点，但是经过点(1,1)． 引领 归纳领会 观察 体会交给 学生 自我 探究 引导 学生 总结 函数 图像 的特点*理论升华 整体建构一般地，幂函数y x α=具有如下特征：(1) 随着指数α取不同值，函数y x α=的定义域、单调性和奇偶性会发生变化；(2) 当α＞0时，函数图像经过原点(0,0)与点(1,1)；当α＜0时，函数图像不经过原点(0,0)，但经过(1,1)点．引领 总结 强调 领会 理解 记忆 及时 总结 例题 中的 规律*运用知识 强化练习 教材练习4.1.31．用描点法作出幂函数4y x =的图像并指出图像具有怎样的对称性?2．用描点法作出幂函数3y x =的图像并指出图像具有怎样的对称性?提问 巡视 指导 动手 求解 交流了解 学生 知识 掌握 情况*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？ 重点和难点各是什么？引导回忆培养 学生 总结114．2指数函数教学目标:⑴ 理解指数函数的图像及性质； ⑵ 了解指数模型，了解指数函数的应用．教学重点:⑴指数函数的概念、图像和性质； ⑵ 指数函数的应用实例．教学难点:指数函数的应用实例．课时安排:2课时．教学过程:13过 程活动 活动 意图归纳观察函数图像发现：1．函数2x y =和y =1()2x 的图像都在x 轴的上方，向上无限伸展，向下无限接近于x 轴；2．函数图像都经过（0，1）点；3．函数y =x 2的图像自左至右呈上升趋势；函数y =1()2x 的图像自左至右呈下降趋势．推广利用软件可以作出a 取不同值时的指数函数的图像． 展示 引导 分析 说明观察 体会 理解可以 由学 生独 立完 成 引导学生仔细观察函数图象的特点数形结合*动脑思考 明确新知 一般地，指数函数xy a =()01a a >≠且具有下列性质：(1) 函数的定义域是(),-∞+∞．值域为(0,)+∞；(2) 函数图像经过点(0,1)，即当0x =时，函数值1y =； (3) 当>1a 时，函数在(),-∞+∞内是增函数；当0<<1a 时，函数在(),-∞+∞内是减函数． 归纳强调体会 记忆结合 图形 由学 生自 我归 纳强 调关 键点*巩固知识 典型例题例1 判断下列函数在(),-∞+∞内的单调性： (1) 4xy =； （2）3xy -=； （3）32xy =． 说明观察通过 例题 进一 步理14x．10)年该市国内生产总值为（亿元）．年该市国民生产总值为（亿元）．164．3 对数教学目标:⑴理解对数的概念，理解常用对数和自然对数的概念；⑵掌握利用计算器求对数值的方法；⑶了解积、商、幂的对数．教学重点:指数式与对数式的关系．教学难点:17对数的概念．课时安排:2课时．教学过程:19204．4 对数函数教学目标:（1）了解对数函数的图像及性质特征；（2）了解对数函数的实际应用.教学重点:对数函数的图像及性质.教学难点:对数函数的应用中实际问题的题意分析．课时安排:2课时．教学过程:2224过 程活动 活动 意图(,)x y ，用光滑曲线依次联结各点，得到函数12log y x =的图像，如下图所示：观察函数图像发现：1．函数2log y x =和12log y x =的图像都在x 轴的右边；2．图像都经过点()1,0；3．函数2log y x =的图像自左至右呈上升趋势；函数12log y x =的图像自左至右呈下降趋势．展示 分析观察 体会引导 学生 细观 函数 象的 特点*动脑思考 探索新知一般地，对数函数log a y x =( a >0且a ≠1)具有下列性质：（1）函数的定义域是(0,)+∞，值域为R ；（2）当1x =时，函数值0y =；（3）当a >1时，函数在(0,)+∞内是增函数；当0<a <1时，函数在(0,)+∞内是减函数． 引导 总结 强调体会 理解 记忆结合 图形 自我 归纳*运用知识 强化练习 例1 求下列函数的定义域：（1）2log (4)y x =+； （2）ln y x =． 分析 要依据“对数的真数大于零”求函数的定义域． 解 （1）由x +4>0得4x >-，所以函数2log (4)y x =+的定义域为(4,)-+∞；说明 强调 引领观察 思考 主动通过 例题 进一 步理 解对 数函0, 0. >得1,0.xx⎧⎨>⎩，ln x的定义域为[1,强化练习252627。
4.1.2中职数学-实数指数幂的运算法则
4.1.2 实数指数幂及其运算法则一、教材分析本节课是新课标职业高中数学基础模块上册第四章实数指数幂第二课时，也是指数函数的入门课程。
指数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。
而实数指数幂的运算是指数函数的基础，是认识指数函数的先遣队。
我们通过初中学习整数指数幂的运算，进一步推广到实数指数幂的运算，为我们的指数函数铺路搭桥。
实数指数幂的运算是高中数学中的一类重要运算，需要理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，是培养学生具备运算能力的重要载体。
通过本节课的学习，可以让学生重新认识幂运算，为指数函数做铺垫。
从而更清晰，深刻地认识和理解指数函数模型，培养学生的逻辑思维能力。
二、学情分析学生进入高中学习时间短，运算能力，逻辑思维能力，探究能力，合作学习能力还不够成熟。
需要在我们的教学过程中继续强化，引导。
初中已经学习《整数指数幂及其运算法则》。
本节课是在初中学习基础上继续深入学习，将幂指数的限定由整数推广到实数，运算法则不变，所以学生有前面的基础，我们的探究过程会显得更加从容，学生能够通过合作交流完成猜想与探究。
通过对不等式的学习，已有一定的运算基础，同时对相互转化的思想，探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。
因此，学生已具备了探索发现研究新知的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、团结协作、大胆猜测和灵活运用类比、转化、归纳等学习方法。
三、教学设计0．，且a≠时，规定四、板书设计：五、课后反思学生是教学的主体,为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进与启发式的教学原则，本节课给学生提供各种参与机会。
为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。
本节课我采用学生独立完成加小组合作交流，分享小组成果等方式调动学生主动参与的积极性。
在教学重难点上，循序渐进、启发学生的思维,通过课堂练习、学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率。
让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。
4.1实数指数幂(1)
【课题】4.1实数指数幂(1)
【教学目标】
知识目标：
⑴复习整数指数幂的知识；
⑵了解n次根式的概念；
⑶理解分数指数幂的定义.
能力目标：
⑴掌握根式与分数指数幂之间的转化；
⑵会利用计算器求根式和分数指数幂的值；
⑶培养计算工具使用技能.
情感目标：
⑴体验计算器带来的便利，享受成功的快乐；
⑵经历合作学习的过程，树立团队合作意识.
【教学重点】
分数指数幂的定义．
【教学难点】
根式和分数指数幂的互化．
【教学设计】
⑴通过复习二次根式而拓展到n次根式，为分数指数幂的介绍做好知识铺垫；
⑵复习整数指数幂知识以做好衔接；
⑶利用课件介绍分数指数幂的概念，字母动感闪耀强化位置关系；
⑷加大学生动手计算的练习，巩固知识；
⑸小组讨论、学习计算器的使用，培养计算工具使用技能．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】。
实数指数幂知识点总结
实数指数幂知识点总结一、实数指数幂的定义实数指数幂是指数运算的一种特殊形式，它是指数和幂的运算。
在数学中，我们知道一个数的乘方是指这个数连乘多次自己，而指数运算是一种简便的表示连乘的方法。
当指数为实数时，就形成了实数指数幂。
其定义如下：对于任意实数a和b，其中a称为底数，b称为指数，实数指数幂定义为\[a^b = e^{b\ln a}\]其中e为自然对数的底，ln表示自然对数。
这个定义其实是一个转换的过程，将实数指数幂转化为自然指数幂来表示，e是一个常数，取值约为2.71828。
二、实数指数幂的性质实数指数幂具有很多重要的性质，包括但不限于以下几点：1. 底数为正实数时，指数运算仍然满足指数运算的基本性质，如相同底数相乘，指数相加，指数相减等。
2. 底数为负实数时，指数运算中需要考虑符号，具体运算时需要注意。
3. 底数为0时，指数为正数时结果为0，指数为负数时结果不存在，需要注意0的指数运算的特殊性。
4. 底数为1时，任何指数幂的结果都是1。
5. 底数为自然对数e时，实数指数幂的运算比较简便，易于计算。
6. 实数指数幂的值域是正实数，即结果大于0。
以上是实数指数幂的一些基本性质，这些性质在实际运算中有很大的帮助，可以简化计算，提高计算效率。
三、实数指数幂的运算规则实数指数幂的运算规则也是实数指数幂的重要内容，在实际应用中需要灵活运用这些规则进行计算。
实数指数幂的运算规则主要包括以下几点：1. 底数相同、指数相加：\[a^m \cdot a^n = a^{m+n}\]2. 底数相同、指数相减：\[a^m / a^n = a^{m-n}，a!=0\]3. 底数不同、指数相同：\[a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m\]4. 底数不同、指数相同：\[a^m / b^m = (a / b)^m，b!=0\]5. 底数相同、指数相乘：\[(a^m)^n = a^{m \cdot n}\]6. 底数相同、指数相除：\[(a / b)^m = a^m / b^m，b!=0\]实数指数幂的运算规则在实际运算中非常有用，可以简化运算，减少出错的可能性。
4.1实数指数
课堂小结：
m
1.分数指数幂的定义：a
n m
a
n
n
am 1
m
an
2、实数指数幂的运算则
(a 0, m,n N 且 n 1）
求值
2
27 3
，
100
-
1 2
，（14 ）-3
，
（16 ）-43 81
2
27 3
2
（33 } 3
3 2
3 3
32
9
100－12＝（102）－12＝102（－12）＝10－1＝ 1 ； 10
4.1 实数指数
回顾复习
1．正整指数幂
an＝a1 4a2 43 a.an 叫做 a 的 n次幂，a 叫做幂的 底数
n个
，n 叫做幂的 指数 ，并规定 a1＝a.
正整数指数幂的概念:
指数
幂
an a a ......a (nN)
底数
n个a
a的n次幂，也叫a的n次方
规定：
a0 1
an
1 an
1
(
8
2
)3
27
32
（3） 85 85
（4） 3 3 3 3 6 3
2
2
解 (1)83 (23) 3
3 2
23
22
=4
(2)(
8
2
)3
27
(
2 3
)3
2 3
(
2
3(
)
2 3
)
3
( 2)2 9
3
4
32
(3)85 8 5
3 2
85 5
81 8
(4)3
33 36 3
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练习2、3
鼓励学生用各种方法求出各式的值，使学生能更好地掌握实数指数幂的运算性质。
有理数指数幂的运算、实数指数幂的综合运算
教学难点
有理数指数幂的运算、实数指数幂的综合运算
更新、补
充、删减
内容
无
课外作业
1．P 96习题。
授课主要内容或板书设计
实数指数幂
概念思考交流例题课堂小结
问题解决练习
教学后记
主要教学内容及步骤
教学过程师生活动设计意图等
一、复习导入：
二、新课：
探究（见课本90页）
当 有意义时，把 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数。
性质：
（1）
（2）当n为奇数时， ；
当n为偶数时，
（3） ；
（4）
例1将下列各分数指数幂写成根式的形式：
(1) ；(2) ．
例2将下列各根式写成分数指数幂的形式：
(1) ；(2) ．
思考交流
1. 0的正分数指数幂是。
2. 0的负分数指数幂。
1．概念
一般地，如果 ,则称x为a的n次方根。
例如：
当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。这时，a的n次方根只有一个，记作 。
例如：
当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，记作± 的形式。
例如：
负数没有偶次方根。
0的任何次方根都是0.
正数a的正的n次方根叫做a的n次算式根。记作 。
课题名称
4.1实数指数幂
授课班级
授课时间
13机电1
课题序号
授课课时
第到
授课形式
启发、类比
使用教具
课件
教学目的
1.识记n次方根的概念，能区分奇次方根、偶次方根和n次根算式根。
2.能描述分数指数幂的定义，会进行根式与分数指数幂的互化。
3.识记有理数指数幂的运算性质，会进行简单的有理数指数幂的运算。
教学重点
2．实数指数幂及其运算法则
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） .
例3 求下列各式的值：
（1） ；（2） ； （3） .
例4化简下列各式：
（1）． ； （2）
解：
问题解决
(见课本95页)
三、练习：
四、小结：
五、作业：第107页1.
引导学生回顾初中学过的平方根、立方根的桂梅概念，启发学生思考当指数分别取4,5，…时，x的名称确定问题，发现指数分别取奇数和偶数时底数的异同。