人教版初三数学 和圆有关的计算

第23讲和圆有关的计算
(参考用时:40分钟)
A层(基础)
1.(2019绍兴)如图,△ABC内接于☉O,∠B=65°,∠C=70°.若BC=2,则的长为( A )
(A)π (B)π
(C)2π(D)2π
解析:连结OB,OC.
∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-65°-70°=45°,
∴∠BOC=90°,
∵BC=2,
∴OB=OC=2,
∴的长为=π.
故选A.
2.已知圆锥的底面积为9π cm2,母线长为6 cm,则圆锥的侧面积是( A )
(A)18π cm2(B)27π cm2
(C)18 cm2 (D)27 cm2
解析:设圆锥的底面半径为r,
∵圆锥的底面积为9π=πr2,
∴圆锥的底面半径r=3 cm.
∵母线长为R=6 cm,
∴侧面积为S=πrR=18π(cm2).故选A.
3.(2019广安)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,以BC 为直径的半圆O交斜边AB于点D,则图中阴影部分的面积为( A )
(A)π-
(B)π-
(C)π-
(D)π-
解析:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠B=60°,
∴∠COD=120°,
∵BC=4,BC为半圆O的直径,
∴∠CDB=90°,
∴OC=OD=2,
∴CD=BC=2,
过O点作OH⊥CD,交CD于H点(图略),易得OH=1.
S 阴影=S扇形COD-S△COD=-×2×1=-.
故选A.
4.若正方形的外接圆半径为2,则其内切圆半径为( A )
(A) (B)2
(C)(D)1
解析:如图所示,连结OA,OE,
∵AB是小圆的切线,
∴OE⊥AB,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AE=OE,
∴△AOE是等腰直角三角形,
∴OE=OA=.故选A.
5.若一个圆锥的底面积为4π cm2,高为4 cm,则该圆锥的侧面展开图中圆心角为( C )
(A)40°(B)80°(C)120° (D)150°
解析:如图所示,
∵S底=4π,
∴πr2=4π,
∴r=2.
∴在Rt△AOC中,
l===6,
的长为=2πr,
∴n=120.故选C.
6.(2019吉林)如图,在扇形OAB中,∠AOB=90°.D,E分别是半径OA,OB 上的点,以OD,OE为邻边的▱ODCE的顶点C在上.若OD=8,OE=6,则阴影部分图形的面积是25π-48 (结果保留π).
解析:连结OC,
∵∠AOB=90°,四边形ODCE是平行四边形,
∴四边形ODCE是矩形,
∴∠ODC=90°,CD=OE=6,
∴OC==10,
∴S阴影=-8×6=25π-48.
7.如图,点A,B,C在半径为9的☉O上,的长为2π,则∠ACB的大小是20°.
解析:如图,连结OA,OB.设∠AOB=n°.
∵的长为2π,
∴=2π,
∴n=40,
∴∠AOB=40°,
∴∠ACB=∠AOB=20°.
8.(2019贺州)已知圆锥的底面半径是1,高是,则该圆锥的侧面展开图的圆心角是90 度.
解析:根据勾股定理得圆锥的母线长为=4,
设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°,
根据题意得2π·1=,
解得n=90,
即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°.
9.(2019广元)如图,在扇形AOB中,∠AOB=120°,半径OC交弦AB于点D,且OC⊥OA.若OA=2,则阴影部分的面积为+π.
解析:作OE⊥AB于点F,
∵∠AOB=120°,OC⊥OA,
∴∠AOD=90°,∠BOC=30°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=30°,
在Rt△AOD中,OD=OA·tan 30°=2×=2,AD=2OD=4,
在Rt△AOF中,OF=OA=,AF===3,
∴AB=2AF=6,
∴BD=AB-AD=6-4=2,
∴S阴影=S△AOD+S扇形OBC-S△BDO
=+-
=+π.
10.(2019乐山市市中区模拟)如图,四边形ABCD是菱形,∠A=60°, AB=2,扇形EBF的半径为2,圆心角为60°,则图中阴影部分的面积是-.
解析:如图,连结BD.
∵四边形ABCD是菱形,∠A=60°,
∴∠ADC=120°,
∴∠1=∠2=60°,
∴△DAB是等边三角形,易得△DAB的高为,
∵扇形BEF的半径为2,圆心角为60°,
∴∠4+∠5=60°,
又∵∠3+∠5=60°,
∴∠3=∠4,
设AD,BE相交于点G,BF,DC相交于点H,
在△ABG和△DBH中,
∴△ABG≌△DBH(A.S.A),
∴S四边形GBHD=S△ABD,
∴S阴影=S扇形EBF-S△ABD
=-×2×
=-.
11.(2019扬州)如图,AB是☉O的弦,过点O作OC⊥OA,OC交AB于P, CP=BC.
(1)求证:BC是☉O的切线;
(2)已知∠BAO=25°,点Q是上的一点.
①求∠AQB的度数;
②若OA=18,求的长.
(1)证明:
连结OB,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA,
∵PC=CB,
∴∠CPB=∠PBC,
∵∠APO=∠CPB,
∴∠APO=∠CBP,
∵OC⊥OA,
∴∠AOP=90°,
∴∠OAP+∠APO=90°,
∴∠CBP+∠ABO=90°,
∴∠CBO=90°,
∴BC是☉O的切线.
(2)解:①∵∠BAO=25°,
∴∠ABO=25°,∠APO=65°,
∴∠POB=∠APO-∠ABO=40°,
∴∠AQB=(∠AOP+∠POB)
=×130°
=65°.
②∵OA=18,所对的圆心角为360°-130°=230°, ∴的长为=23π.
12.(2019滨州)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.
(1)求证:直线DF是☉O的切线;
(2)求证:BC2=4CF·AC;
(3)若☉O的半径为4,∠CDF=15°,求阴影部分的面积.
(1)证明:如图所示,连结OD,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,而OB=OD,
∴∠ODB=∠ABC=∠C,
∵DF⊥AC,
∴∠CDF+∠C=90°,
∴∠CDF+∠ODB=90°,
∴∠ODF=90°,
∴直线DF是☉O的切线.
(2)解:连结AD,则AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴DB=DC=BC,
∵∠CDF+∠C=90°,∠C+∠DAC=90°,
∴∠CDF=∠DAC,
而∠DFC=∠ADC=90°,
∴△CFD∽△CDA,
∴CD2=CF·AC,即BC2=4CF·AC.
(3)解:连结OE,
∵∠CDF=15°,
∴∠C=75°,∠DAC=90°-∠C=15°,
∴∠OAE=30°=∠OEA,
∴∠AOE=120°,
作OH⊥AE于点H,∵AO=4,
∴AH=HE=AO·cos 30°=2,
OH=AO·sin 30°=2,
∴AE=4,
∴S阴影=S扇形OAE-S△OAE
=×π×42-×4×2
=-4.
B层(能力)
13.(2019临沂)如图,☉O中,=,∠ACB=75°,BC=2,则阴影部分的面积是( A )
(A)2+π
(B)2++π
(C)4+π
(D)2+π
解析:连结OA,OB,OC,作AD⊥BC交BC于点D.
∵=,
∴AB=AC,
∵∠ACB=75°,
∴∠ABC=∠ACB=75°,
∴∠BAC=30°,
∴∠BOC=60°,
∵OB=OC,
∴△BOC是等边三角形,
∴OA=OB=OC=BC=2,
∵AB=AC,
∴BD=CD,
∴AD经过圆心O,
∴OD=OB=,
∴AD=2+,
∴S △ABC=BC·AD=2+,
S △BOC=BC·OD=,
∴S阴影=S△ABC+S扇形BOC-S△BOC
=2++-
=2+π.
故选A.
14.在Rt△ABC中,AB=1,∠A=60°,∠ABC=90°,如图所示,将Rt△ABC 沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF位置,则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为+.(结果不取近似值)
解析:在Rt△ABC中,AB=1,∠A=60°,
∴BC=,∠ACB=30°,
如图,则∠BCB′=150°,∠B′A′E=120°,
将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF位置,点B经过的路径分两部分:第一部分以点C为圆心,CB为半径,圆心角为∠BCB′= 150°的弧,第二部分以点A′为圆心,A′B′为半径,圆心角为∠B′A′E=120°的弧,
∴点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为
S=S 扇形BCB′+S△CB′A′+S扇形B′A′E=×()2+×1×+×12=+.
15.如图①②③…,M,N分别是☉O的内接正三角形ABC,正方形ABCD,正五边形ABCDE…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连结OM,ON.
(1)求图①中∠MON的度数;
(2)图②中∠MON的度数是,图③中∠MON的度数是;
(3)试探究∠MON的度数与正n边形(n≥3)的边数n的关系式(直接写出答案).
解:(1)如图①,连结OB,OC,
则∠BOC==120°,
∠OBM=∠OCN=30°.
∵BM=CN,OB=OC,
∴△OBM≌△OCN.
∴∠BOM=∠CON.
∴∠BON+∠BOM=∠BON+∠CON.
∴∠MON=∠BOC=120°.
(2)用解(1)中类似方法可求得图②和③中的∠MON分别为90°和72°.
(3)∠MON=(n≥3).。