北京四中初三第一学期数学试卷
2024-2025学年北京四中学九年级数学第一学期开学质量跟踪监视模拟试题【含答案】
学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………2024-2025学年北京四中学九年级数学第一学期开学质量跟踪监视模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）实数a 、b 在数轴上对应的位置如图所示，则22(a 1)(1b)---等于()A ．2a b --B ．a b 2+-C ．a b -D ．b a -2、（4分）若分式23x +有意义，则x 的取值范围为（）A ．3x ≠-B ．3x ≠C ．0x ≠D ．3x ≠±3、（4分）已知点P （a ，m ），Q （b ，n ）是反比例函数y 2x =图象上两个不同的点，则下列说法不正确的是（）A ．am =2B ．若a +b =0，则m +n =0C ．若b =3a ，则n 13=m D ．若a ＜b ，则m ＞n 4、（4分）方程x 2+x ﹣1＝0的一个根是（）A ．1﹣B ．C ．﹣1+D ．5、（4分）用配方法解方程x 2﹣8x+7＝0，配方后可得()A ．(x ﹣4)2＝9B ．(x ﹣4)2＝23C ．(x ﹣4)2＝16D ．(x+4)2＝96、（4分）如图，M 是ABC ∆的边BC 的中点，AN 平分BAC ∠，BN AN ⊥于点N ，延长BN 交AC 于点B ，已知10AB =,15BC =，4MN =，则ABC ∆的周长是（）A ．43B ．42C ．41D ．407、（4分）如图，正方形ABCD ，点E 、F 分别在AD ，CD 上，BG ⊥EF ，点G 为垂足，AB =5，AE =1，CF =2，则BG 的长为（）A B ．5C ．235D ．2158、（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，有一个等腰直角三角形AOB ，∠OAB ＝90°，直角边AO 在x 轴上，且AO ＝1．将Rt △AOB 绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A 1OB 1，且A 1O ＝2AO ，再将Rt △A 1OB 1绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰三角形A 2OB 2，且A 2O ＝2A 1O ……依此规律，得到等腰直角三角形A 22OB 22．则点B 22的坐标（）A ．（222，－222）B ．（22016，－22016）C ．（222，222）D ．（22016，22016）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）若分式1x x 值为0，则x 的值为__________．10、（4分）在矩形纸片ABCD 中，AB=5,AD=13.如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A¢处，折痕为PQ ，当点A¢在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动.若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A¢在BC 边上可移动的最大距离为_________．11、（4分）在平面直角坐标系中有一点()5,12P -，则点P 到原点O 的距离是________．12、（4分）四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若CD ＝3cm ，△BOC 的周长比△AOB 的周长大2cm ，则四边形ABCD 的周长＝______cm ．13、（4分）在反比例函数3k y x -=图象的毎一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是__________.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）解方程：(1)9x 2＝(x ﹣1)2(2)34x 2﹣2x ﹣12＝015、（8分）某单位计划在暑假阴间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的费用，其余游客七五折优惠.设该单位参加旅游的人数是x 人.选择甲旅行社时，所需费用为1y 元，选择乙旅行社时，所需费用为2y 元.（1）写出甲旅行社收费1y （元）与参加旅游的人数x （人）之间的关系式.（2）写出乙旅行社收费2y （元）与参加旅游的人数x （人）之间的关系式.（3）该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？16、（8分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；（2）如图2，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足PA=PB ，PC=PD ，∠APB=∠CPD ，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状．（不必证明）17、（10分）按要求解不等式（组）（1）求不等式2132135+-≤+x x 的非负整数解．（2）解不等式组2(3)45121123x x x x -<⎧⎪-+⎨-≤⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．18、（10分）为了了解江城中学学生的身高情况，随机对该校男生、女生的身高进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表．组别身高(cm )A x<150B 150≤x ＜155C 155≤x ＜160D 160≤x ＜165E x≥165根据图表中提供的信息，回答下列问题：(1)在样本中，男生身高的中位数落在________组(填组别序号)，女生身高在B 组的人数有________人；(2)在样本中，身高在150≤x ＜155之间的人数共有________人，身高人数最多的在________组(填组别序号)；(3)已知该校共有男生500人、女生480人，请估计身高在155≤x ＜165之间的学生有多少人B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）已知一元二次方程x 2－4x －3＝0的两根为m ，n ，则2m －mn ＋2n =．20、（4分）化简226xy x y =______.21、（4分）函数y ＝2x x 中，自变量x 的取值范围是_____．22、（4分）如图，ABC ∆的面积为362cm ,边12BC =cm ，矩形DEFG 的顶点D 、G 分别在AB 、AC 上，EF 在BC 上，若=2EF DE ，则DG =______cm.23、（4分）如图，将平行四边形ABCD 折叠，使顶点D 恰好落在AB 边上的点M 处，折痕为AN ，有以下四个结论①MN ∥BC ；②MN=AM ；③四边形MNCB 是矩形；④四边形MADN 是菱形，以上结论中，你认为正确的有_____________（填序号）．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，四边形中，，，，是边的中点，连接并延长与的延长线相交于点.（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求四边形的面积.25、（10分）如图，在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠>，D 是AC 的中点，过点A 作直线//l BC ，过点D 的直线EF 交BC 的延长线于点E ，交直线l 于点F ，连接AE 、CF ．（1）求证：①ADF ≌CDE △；②AE FC =；（2）若260CDE B ∠=∠=，试判断四边形AFCE 是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）若EF AC ⊥，探索：是否存在这样的B Ð能使四边形AFCE 成为正方形？若能，求出满足条件时的B Ð的度数；若不能，请说明理由．26、（12分）如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC ．设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ．（1）求证：OE ＝OF ；（2）当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A 【解析】直接利用数轴得出10a -<，10b -<，进而化简得出答案．【详解】解：由数轴可得：10a -<，10b -<，则原式()112a b a b =---=--．故选A ．此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各项的符号是解题关键．2、A 【解析】直接利用分式有意义的条件即分母不为零，进而得出答案．【详解】解：∵分式23x +有意义，∴x+1≠0，解得：x≠-1．故选A ．此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．3、D 【解析】根据题意得：am=bn=2，将B ，C 选项代入可判断，根据反比例函数图象的性质可直接判断D 是错误的．【详解】∵点P(a ，m)，Q(b ，n)是反比例函数y 2x =图象上两个不同的点，∴am=bn=2，若a+b=0，则a=﹣b ，∴﹣bm=bn ，∴﹣m=n 即m+n=0，若b=3a ，∴am=3an ，∴n 13 m ，故A ，B ，C 正确，若a ＜0＜b ，则m ＜0，n ＞0，∴m ＜n ，故D 是错误的，故选D ．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是灵活运用反比例函数图象的性质解决问题．4、D 【解析】利用求根公式解方程，然后对各选项进行判断．【详解】∵a ＝1，b ＝﹣1，c ＝﹣1，∴△＝b 2﹣4ac ＝12﹣4×（﹣1）＝5，则x ＝，所以x 1＝，x 2＝．故选：D ．本题考查了解一元二次方程﹣公式法，解题关键在于掌握运算法则．5、A【解析】首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【详解】解：x 2﹣8x+7＝0，x 2﹣8x ＝﹣7，x 2﹣8x+16＝﹣7+16，(x ﹣4)2＝9，故选：A ．本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．6、A 【解析】证明△ABN ≌△ADN ，得到AD=AB=10，BN=DN ，根据三角形中位线定理求出CD ，计算即可．【详解】解：在△ABN 和△ADN 中，12AN AN ANB AND ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△ABN ≌△ADN ，∴AD=AB=10，BN=DN ，∵M 是△ABC 的边BC 的中点，BN=DN ，∴CD=2MN=8，∴△ABC 的周长=AB+BC+CA=43，故选A ．本题考查的是三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．7、C【解析】如图，连接BE 、BF ．首先利用勾股定理求出EF ，再根据S △BEF =12•EF•BG=S 正方形ABCD -S △ABE -S △BCF -S △DEF ，列出方程即可解决问题．【详解】如图，连接BE 、BF ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD=5，∵AE=1，CF=2，∴DE=4，DF=3，∴=5，∵S △BEF =12•EF•BG=S 正方形ABCD -S △ABE -S △BCF -S △DEF ，∴12•5•BG=25-12•5•1-12•5•2-12•3•4，∴BG=235，故选C ．本题考查正方形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用分割法求三角形面积，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．8、A 【解析】∵将Rt △AOB 绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A 1OB 1，且A 1O=2AO ，A 1B 1=OA 1，再将Rt △A 1OB 1绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰三角形A 2OB 2，且A 2O=2A 1O ，A 2B 2=A 2O …，依此规律，∴每4次循环一周，B 1（2，﹣2），B 2（﹣4，-4），B 3（-8，8），B 4（16，16），∵22÷4=504…1，∴点B 22与B 1同在第四象限，∵﹣4=﹣22，8=23，16=24，∴点B 22（222，-222），故选A.【点睛】本题考查了点的坐标变化规律，得出B 点坐标变化规律是解题关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、-1【解析】根据分式值为0的条件进行求解即可.【详解】由题意得，x+1=0，解得x=-1，故答案为：-1.本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0时，分子为0且分母不为0是解题的关键.10、1【解析】如图1，当点D 与点Q 重合时，根据翻折对称性可得A′D=AD=13，在Rt △A′CD 中，A′D 2=A′C 2+CD 2，即132=（13-A′B ）2+52，解得A′B=1，如图2，当点P 与点B 重合时，根据翻折对称性可得A′B=AB=5，∵5-1=1，∴点A′在BC 边上可移动的最大距离为1．11、13【解析】根据点的坐标利用勾股定理，即可求出点P 到原点的距离【详解】解：在平面直角坐标系中，点P 到原点O 13=，故答案为：13.本题主要考查学生对勾股定理和点的坐标的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题.12、16【解析】根据条件可得：四边形ABCD 是平行四边形，得OA OC =，根据△BOC 的周长比△AOB 的周长大2cm ，可得BC 的长，求解即可．【详解】∵四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=BC ∴四边形ABCD 是平行四边形∴OA=OC,AB=CD=3∵△BOC 的周长比△AOB 的周长大2cm ∴OB+OC+BC=OB+OA+AB+2∴BC=AB+2=5∴四边形ABCD 的周长:5+5+3+3=16(cm)故答案为：16本题考查了平行四边形边长的问题，掌握平行四边形的性质是解题的关键．13、3k >【解析】根据反比例函数中，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，可得k-3>0，解可得k 的取值范围．【详解】根据题意,在反比例函数3k y x -=图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，即可得k−3>0，解得k>3.故答案为：k>3此题考查反比例函数的性质，解题关键在于当反比例函数的系数大于0时得到k-3>0三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）112x =-，214x =；（2）143x =，243x -=．【解析】（1）利用因式分解法即可解答（2）先将分数化为整数，再利用判别式进行计算即可【详解】（1）229(1)x x =-229(1)0x x --=，则(31)(31)0x x x x +--+=，故(41)(21)0x x -+=，解得：112x =-，214x =；（2）2312042x x --=则23820x x --=，△246424880b ab =-=+=>，则86x =，解得：1x =，2x =．此题考查解一元二次方程-因式分解法和判别式，掌握运算法则是解题关键15、（1）12000.7140y x x =⨯=；（2）22000.75(1)150(1)y x x =⨯-=-；（3）当人数为15人时，两家均可选择，当人数在1014x 之间时选择乙旅行社，当人数1625x 时，选择甲旅行社，见解析.【解析】（1）根据甲旅行社的优惠方式，可计算出y 1与x 之间的关系．（2）根据乙旅行社的优惠方式，可计算出y 2与x 之间的关系．（3）根据（1）（2）的表达式，利用不等式的知识可得出人数多少克选择旅行社．【详解】（1）12000.7140y x x =⨯=；（2）根据乙旅行社的优惠方式；22000.75(1)150(1)y x x =⨯-=-；（3）①甲社总费用=乙社总费用的情况，此时140150(1)x x =-，解得：15x =；即当15x =时，两家费用一样．②甲社总费用多于乙社总费用的情况：140150(1)x x >-，解不等式得：15x <，即当1014x 时，乙旅行社费用较低．③甲社总费用少于乙社总费用的情况，此时140150(1)x x <-解得：15x >即当1625x 时，甲旅行社费用较低．答：当人数为15人时，两家均可选择，当人数在1014x 之间时选择乙旅行社，当人数1625x 时，选择甲旅行社．此题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是得出甲乙旅行社收费与人数之间的关系式，利用不等式的知识解答，难度一般．16、（1）证明见解析；（2）四边形EFGH 是菱形，证明见解析；（3）四边形EFGH 是正方形.【解析】（1）如图1中，连接BD ，根据三角形中位线定理只要证明EH ∥FG ，EH=FG 即可．（2）四边形EFGH 是菱形．先证明△APC ≌△BPD ，得到AC=BD ，再证明EF=FG 即可．（3）四边形EFGH 是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC ≌△BPD ，得∠ACP=∠BDP ，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．【详解】（1）证明：如图1中，连接BD ．∵点E ，H 分别为边AB ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，EH=12BD ，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG=12BD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．（2）四边形EFGH是菱形．证明：如图2中，连接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，∴△APC≌△BPD，∴AC=BD．∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF=12AC，FG=12BD，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．（3）四边形EFGH是正方形．证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．考点：平行四边形的判定与性质；中点四边形．17、（1）非负整数解为1、2、3、4；（2）-3＜x≤1，数轴上表示见解析【解析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】（1）5（2x+1）≤3（3x-2）+15，10x+5≤9x-6+15，10x-9x≤-6+15-5，x≤4，则不等式的非负整数解为1、2、3、4；（2）解不等式2（x-3）＜4x ，得：x ＞-3，解不等式，得：x≤1，则不等式组的解集为-3＜x≤1，将不等式组的解集表示在数轴上如下：考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18、（1）D ；12；（2）16；C ；（3）身高在155≤x ＜165之间的学生约有541人．【解析】从频数分布直方图可得到男生的总人数，则中位数是第20、21个人身高的平均数，女生与男生人数相同，由此可得到题（1）的答案；结合上步所得以及各组的人数可求出身高在150≤x ＜155的总人数和身高最多的组别，从而解决（2）；对于（3），可根据两幅统计图得到男女生身高在155≤x ＜165之间的学生的百分率，从而使问题得以解决.【详解】解：（1）因为在样本中，共有男生2+4+8+12+14=40（人），所以中位数是第20、21个人身高的平均数，而2+4+12=18人，所以男生身高的中位数位于D 组，女生身高在B 组的人数有40×(1-30%-20%-15%-5%)=12（人）.（2）在样本中，身高在150≤x ＜155之间的人数共有4+12=16（人），身高人数最多的在C 组；（3）500×121440 ++480×(30%+15%)=541（人），故估计身高在155≤x ＜165之间的学生约有541人.本题主要考查从统计图表中获取信息，中等难度,解题的关键是要读懂统计图.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、1【解析】试题分析：由m 与n 为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n=4，mn=﹣3，将所求式子利用完全平方公式变形后，即2m ﹣mn+2n =()2m n +﹣3mn=16+9=1．故答案为1．考点：根与系数的关系．20、13x .【解析】约去分子与分母的公因式即可.【详解】22216233xyxyx y xy x x ==.故答案为：13x .本题主要考查了分式的约分，主要是约去分式的分子与分母的公因式.21、x ≥1．【解析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．【详解】解：根据题意得，x ﹣1≥0且x ≠0，解得x ≥1且x ≠0，所以，自变量x 的取值范围是x ≥1．故答案为x ≥1．本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．22、6【解析】作AH ⊥BC 于H 点，可得△ADG ∽△ABC ，△BDE ∽△BAH ，根据相似三角形对应边比例等于相似比可解题．【详解】解：作AH ⊥BC 于H 点，∵四边形DEFG 为矩形，∴△ADG ∽△ABC ，△BDE ∽△BAH ，,DE BD DG AD AH AB BC AB ∴==1BD AD AB AB +=1DE DG AH BC ∴+=∵ABC ∆的面积为362cm ,边12BC =cm ∴AH=61162DE DG ∴+=∵EF=2DE ，即DG=2DE 12621DE DE ∴+=解得：DE=3∴DG=6故答案为：6本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质．23、①②④【解析】根据四边形ABCD 是平行四边形，可得∠B=∠D ，再根据折叠可得∠D=∠NMA ，再利用等量代换可得∠B=∠NMA ，然后根据平行线的判定方法可得MN ∥BC ；证明四边形AMND 是平行四边形，再根据折叠可得AM=DA ，进而可证出四边形AMND 为菱形，再根据菱形的性质可得MN=AM ，不能得出∠B=90°；即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B=∠D ，∵根据折叠可得∠D=∠NMA ，∴∠B=∠NMA ，∴MN ∥BC ；①正确；∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DN ∥AM ，AD ∥BC ，∵MN ∥BC ，∴AD ∥MN ，∴四边形AMND 是平行四边形，根据折叠可得AM=DA ，∴四边形AMND 为菱形，∴MN=AM ；②④正确；没有条件证出∠B=90°，④错误；本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握翻折变换的性质、平行四边形和菱形以及矩形的判定是解题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）见解析；（2）四边形的面积.【解析】（1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；（2）利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得．【详解】解：（1）证明：∵，∴，∴，又∵是边的中点，∴，在与中，，∴，∴∴四边形是平行四边形；（2）∵，∴，∴四边形的面积．本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．25、（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）四边形AFCE 是矩形，证明见解析；（3）当EF ⊥AC ，∠B =22.5°时，四边形AFCE 是正方形，证明见解析．【解析】（1）①根据中点和平行即可找出条件证明全等．②由全等的性质可以证明出四边形AFCE 是平行四边形，即可得到AE =FC ．（2）根据260CDE B ∠=∠=和AC BC =可证明出△DCE 为等边三角形，进而得到AC=EF 即可证明出四边形AFCE 是矩形．（3）根据四边形AFCE 是平行四边形，且EF ⊥AC ，得到四边形AFCE 是菱形．由AC=BC ，证出△DCE 是等腰直角三角形即可得到AC=EF ，进而证明出菱形AFCE 是正方形．所以存在这样的B Ð．【详解】（1）①∵AF ∥BE ，∴∠FAD =∠ECD ，∠AFD =∠CED ．∵AD =CD ，∴△ADF ≌△CDE ．②由△ADF ≌△CDE ，∴AF =CE ．∵AF ∥BE ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∴AE =FC ．（2）四边形AFCE 是矩形．∵四边形AFCE 是平行四边形，∴AD =DC ，ED =DF ．∵AC =BC ，∴∠BAC =∠B =30°，∴∠ACE =60°．∵∠CDE =2∠B =60°，∴△DCE 为等边三角形，∴CD =ED ，∴AC =EF ，∴四边形AFCE 是矩形．（3）当EF ⊥AC ，∠B =22.5°时，四边形AFCE 是正方形．∵四边形AFCE 是平行四边形，且EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 是菱形．∵AC =BC ，∴∠BAC =∠B =22.5°，∴∠DCE =2∠B =45°，∴△DCE 是等腰直角三角形，即DC =DE ，∴AC =EF ，∴菱形AFCE 是正方形．即当EF ⊥AC ，∠B =22.5°时，四边形AFCE 是正方形．此题考查三角形全等，特殊平行四边形的判定及性质，难度中等．26、（1）证明见解析；（2）当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形，理由见解析．【解析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，进而得出答案；（2）根据平行四边形的判定先证明AECF 是平行四边形，再由90ECF ∠=︒证明是矩形即可．【详解】（1）证明：如图，∵MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，∵MN ∥BC ，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴EO ＝CO ，FO ＝CO ，∴OE ＝OF ；（2）解：当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．理由是：当O 为AC 的中点时，AO ＝CO ，∵EO ＝FO ，∴四边形AECF 是平行四边形，由题意可知CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACB ，25,46,12456180902∴∠=∠∠=∠∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒即90ECF ∠=︒∴平行四边形AECF 是矩形．本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定等知识，根据已知得出∠ECF＝90°是解题关键.。
2022-2023学年北京四中九年级(上)期中数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年北京四中九年级（上）期中数学试卷1.下列四个图形中，是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2.抛物线y=(x+2)2−1的顶点坐标是( )A. (−1,2)B. (−2,1)C. (−2,−1)D. (−1,−2)3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100∘，则∠A的度数为( )A. 30∘B. 50∘C. 80∘D. 100∘4.下列方程中，有两个相等的实数根的方程是( )A. x2+3x=0B. x2+2x−1=0C. x2+2x+1=0D. x2−x+3=05.若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为( )A. y=5(x−2)2+1B. y=5(x+2)2+1C. y=5(x−2)2−1D. y=5(x+2)2−16.如图，△OAB绕点O逆时针旋转75∘，得到△OCD，若∠AOB=40∘，则∠AOD等于( )A. 115∘B. 75∘C. 40∘D. 35∘7.如图，⊙O的半径是1，点P是直线y=−x+2上一动点，过点P作⊙O的切线，切点为A，连接OA，OP，则AP的最小值为( )A. √2−1B. 1C. √2D. √38.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0).如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为( )A. 4mB. 7mC. 8mD. 10m9.已知某个二次函数的最小值为−1，请你写出一个符合，上述条件的二次函数的表达式为______.10.已知扇形的半径为2cm，圆心角为120∘，则此扇形的弧长是______ cm.11.A(−1,y1)，B(2,y2)在二次函数y=−x2+2x+1的图象上，则y1与y2的大小关系为______.(用“>”，“<”，“=”连接)12.若抛物线y=x2+4x+m与x轴没有公共点，则m的取值范围是______.13.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是__________.14.如图，MA，MB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若∠AMB=60∘，AB=√3，则⊙O的半径等于______.15.为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国．今年6月份盈利12000元，8月份盈利27000元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为______.16.已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=−1，它的图象经过点A(1,y1)，B(−2,y2)，C(−4,0).对于下列四个结论：①y1<y2；②c=−8a；③方程ax2+bx+c=0的解为x1=−4，x2=2；④对于任意实数t，总有a(t2+9)+bt+c≤0.其中正确的结论是______(填写序号).17.解下列方程：(1)x2−5x=0；(2)2x2−x−1=0.18.下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O和⊙O外一点P.求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，①连接OP；OP的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②分别以点O和点P为圆心，大于12③作直线MN，交OP于点C；④以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；⑤作直线PA，PB.直线PA，PB即为所求作⊙O的切线．(1)请根据上述作法完成尺规作图；(2)连接OA，OB，可证∠OAP=∠OBP=90∘，理由是______；(3)直线PA，PB是⊙O的切线，依据是______.19.已知二次函数C：y=−x2+2x+3.(1)将y=−x2+2x+3化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；(2)在图中画出二次函数C的图象；(3)当−1≤x≤2时，利用图象直接写出y的取值范围．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(−1,1)，B(−4,2)，C(−3,3).(1)将△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1；(2)将△ABC绕点A顺时针旋转90∘得到△AB2C2，请在图中画出△AB2C2；(3)连接A1C2，线段A1C2的长等于______.21. 已知关于x 的方程kx 2+(k −2)x −2=0(k ≠0).(1)求证：此方程总有实数根；(2)若k 为整数，且此方程有两个不相等的整数根，求k 的值．22. 如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，CD =8，BE =2.求⊙O 的半径.23. 如图，有一农户要建一个矩形菜地，菜地的一边利用长为12m 的墙(AD ≤12m)，另外三边用26m 长的篱笆围成．求当矩形的边长BC 为多少m 时，菜地面积为80m 2？24. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，CD 平分∠ACB ，交AB 于点E ，交⊙O 于点D ，延长BA 到点P ，使得PE =PC.(1)求证：PC 与⊙O 相切；(2)若⊙O 的半径5，AC =6，求CD 的长．25. 已知函数y =x 2+bx +c(x ≥2)的图象过点A(2,1)，B(5,4).(1)直接写出y =x 2+bx +c(x ≥2)的解析式；(2)如图，请补全分段函数y ={−x 2+2x +1(x <2)x 2+bx +c(x ≥2)的图象(不要求列表). 并回答以下问题：①写出此分段函数的一条性质：______；②若此分段函数的图象与直线y =m 有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m 的取值范围；(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记(2)中函数的图象与直线y =12x −1围成的封闭区域(不含边界)为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标．26.已知，抛物线C1：y=−x2+bx+c经过点A(2,1)，B(0,1).(1)求抛物线C1的对称轴；(2)平移抛物线C1：y=−x2+bx+c，使其顶点在直线y=−2x+1上，设平移后的抛物线C2的顶点的横坐标为m.求抛物线C2与y轴交点的纵坐标的最大值．(3)在(2)的条件下，抛物线C2与y轴交于点M，将其向左平移2个单位得到点N，若抛物线C2与线段BN只有1个公共点，直接写出m的取值范围．27.如图，在正方形ABCD中，点E在线段CB的延长线上，连接AE，并将线段AE绕点E顺时针旋转90∘，得到线段FE，连接AF，BD，CF，线段AF与线段BD相交于点M.(1)请写出∠ECF的度数，并给出证明；(2)求证：点M是线段AF的中点；(3)直接写出线段CF，BM和AD的数量关系．28.在平面直角坐标系xOy中，已知点A和B，对于点P定义如下：以点A为对称中心作点P 的对称点，再将对称点绕点B逆时针旋转90∘，得到点Q，称点Q为点P的反转点．已知⊙O的半径为1.(1)如图，点A(2,1)，B(3,2)，点P在⊙O上，点Q为点P的反转点．①当点P的坐标为(−1,0)时，在图中画出点Q；②当点P在⊙O上运动时，求线段AQ长的最大值；(2)已知点A是⊙O上一点，点B和P是⊙O外两个点，点Q为点P的反转点．若点P在第一象限内，点B在第四象限内，当点A在⊙O上运动时，直接写出线段PQ长的最大值和最小值的差．答案和解析1.【答案】B【解析】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：B.根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2.【答案】C【解析】解：∵y=(x+2)2−1，∴抛物线顶点坐标为(−2,−1)，故选：C.由二次函数顶点式求解．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．3.【答案】B【解析】解：∵∠BOC=100∘，∴∠A=12∠BOC=50∘.故选：B.直接根据圆周角定理即可得出结论．本题考查的是三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．4.【答案】C【解析】解：A、Δ=9−4×1×0=9>0，故A不符合题意．B、Δ=4−4×1×(−1)=8>0，故B不符合题意．C、Δ=4−4×1×1=0，故C符合题意．D、Δ=1−4×1×3=−11<0，故D不符合题意．故选：C.根据根的判别式即可求出答案．本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．5.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据平移规律，可得答案．【解答】解：y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为y=5(x−2)2+1，故选A.6.【答案】D【解析】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转75∘到△OCD的位置，∴∠BOD=75∘，∴∠AOD=∠BOD−∠AOB=75∘−40∘=35∘.故选：D.首先根据旋转角定义可以知道∠BOD=75∘，而∠AOB=40∘，然后根据图形即可求出∠AOD.此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识．7.【答案】B【解析】解：∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA，且OA=1，∴当OP最小时，PA最小，∴当OP与直线y=−x+2垂直时，OP最小，如图，设直线y=−x+2交x轴、y轴于点B、C，则B(2,0)，C(0,2)，∴OB=OC=2，∴BC=2√2，∴OP=1BC=√2，即OP的最小值为√2，2∴PA的最小值=√OP2−OA2=1，故选：B.连接OA、OP，由切线性质可知OA⊥PA，且OA=1，则当OP最小时，PA最小，故当OP与直线y=−x+2垂直时，PA最小，再利用等腰直角三角形的性质可求得OP的值，可求得答案．本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．8.【答案】C【解析】解：设运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系为y =ax 2+bx +c ，把图中数据(0,20)，(5,22.75)，(14,21,40)代入解析式，得{25a +5b +c =22.75196a +14b +c =21.40c =20，解得{a =−0.05b =0.80c =20.00，∴y =−0.05x 2+0.80x +20.00=−0.05(x −8)2+23.20，∵−0.05<0，∴当x =8时，y 最大，故选：C.根据图中数据用待定系数法求函数解析式，再根据函数的性质求y 最大时x 的值即可．本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题关键是求出函数解析式．9.【答案】y =x 2−1(答案不唯一)【解析】解：∵抛物线y =x 2−1开口向上，顶点坐标为(0,−1)，∴函数最小值为−1，故答案为：y =x 2−1.(答案不唯一)根据二次函数顶点纵坐标为函数最值求解．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．10.【答案】43π【解析】解：扇形的弧长=120⋅π⋅2180=43πcm.故答案为4π3.直接利用弧长公式计算．本题考查了弧长的计算：记住弧长公式：l =nπR 180(弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R)，在弧长的计算公式中，n 是表示1∘的圆心角的倍数，n 和180都不要带单位．11.【答案】<【解析】解：当x=−1时，y1=−x2+2x+1=−1−2+1=−2，当x=2时，y2=−x2+2x+1=−4+4+1=1，所以y1<y2.故答案为：<.分别计算出自变量为−2和1对应的函数值即可得到y1与y2的大小关系．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．12.【答案】m>4【解析】解：∵若抛物线y=x2+4x+m与x轴没有公共点，∴Δ=b2−4ac=42−4×1×m<0.即16−4m<0，解得：m>4，故答案为：m>4.根据抛物线与x轴的没有交点，即Δ=b2−4ac<0，即可求出m的取值范围．本题主要考查抛物线与x轴的交点．熟记抛物线与x轴的交点个数与系数的关系是解决此题的关键．13.【答案】(2,1)【解析】【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理．【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是(2,1).故答案为：(2,1).14.【答案】1【解析】解：∵MA、MB是⊙O的两条切线，A、B为切点，∠AMB=30∘，∠OAM=90∘，∴AM=BM，∠OMA=12∵OA=OB，∴OM是AB的垂直平分线，∵AB=√3，∴AC =√32，Rt △OAM 中，∠AOM =60∘，∵∠ACO =90∘，∴sin60∘=AC OA ，∴OA =√32√32=1，∴⊙O 的半径等于1，故答案为：1.根据切线长定理可得：AM =BM ，∠OMA =12∠AMB =30∘，∠OAM =90∘，由同圆的半径相等可知：OA =OB ，所以根据线段垂直平分线的逆定理可知：OM 是AB 的中垂线，由∠AOM =60∘，利用特殊的三角函数值或直角三角形30度的性质可得圆的半径的长．本题考查了切线长定理、线段垂直平分线的性质、三角函数等知识，熟练掌握切线长定理是关键．15.【答案】12000(1+x)2=27000【解析】解：依题意得12000(1+x)2=27000，故答案为：12000(1+x)2=27000.利用今年8月份的盈利=今年6月份的盈利×(1+6月份到8月份盈利的月平均增长率)2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16.【答案】②③【解析】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线x =−1，1−(−1)>−1−(−2)，∴点A 与对称轴的距离大于点B 与对称轴的距离，∴y 1>y 2.①错误．∵抛物线经过C(−4,0)，对称轴为直线x =−1，∴抛物线经过(2,0)，∴方程ax 2+bx +c =0的解为x 1=−4，x 2=2，③正确．∵−b 2a =−1，∴b =2a ，由抛物线经过(2,0)可得4a +2b +c =8a +c =0，∴c =−8a ，②正确．∵抛物线开口向上，4ac−b 24a =−32a 2−4a 24a =−9a ，∴函数最小值为y=−9a，∴at2+bt+c≥−9a，即a(t2+9)+bt+c≥0，④错误．故答案为：②③．根据抛物线开口方向及点A，B与对称轴距离的大小关系可判断①，由抛物线对称轴可得a与b 的关系，由抛物线经过(−4,0)可得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而判断②③，由b与a，c与a的关系可得抛物线顶点纵坐标，从而判断④．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．17.【答案】解：(1)x2−5x=0，x(x−5)=0，x=0或x−5=0，所以x1=0，x2=5；(2)2x2−x−1=0，(2x+1)(x−1)=0，2x+1=0或x−1=0，，x2=1.所以x1=−12【解析】(1)利用因式分解法把方程转化为x=0或x−5=0，然后解一次方程即可；(2)利用因式分解法把方程转化为2x+1=0或x−1=0，然后解一次方程即可．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．18.【答案】直径所对的圆周角为直角过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线【解析】解；(1)如图，PA、PB为所作；(2)∵OP为直径，∴∠OAP=∠OBP=90∘；故答案为：直径所对的圆周角为直角；(3)∵∠OAP=∠OBP=90∘，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∵OA、OB为⊙O的半径，∴直线PA，PB是⊙O的切线．故答案为：过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．(1)根据几何语言画出对应的几何图形即可；(2)根据圆周角求解；(3)根据切线的判定定理求解．本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质、圆周角定理和切线的判定．19.【答案】解：(1)y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4；(2)由y=−(x−1)2+4得顶点坐标为(1,4)，开口向下，当x=0时，y=3，当x=3或−1时，y=0，作出函数图象如下图所示，(3)由图象可知，当x=1时，y最大值=4；当x=−1时，y最小值=0，∴当−1≤x≤2时，y的取值范围为0≤y≤4.【解析】(1)由完全平方公式化为顶点式；(2)由顶点式得到顶点坐标，再画出几个点，然后用平滑的曲线连接，从而得到二次函数的图象；(3)结合函数图象求出y的取值范围．本题考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象和二次函数的性质，解题的关键是准确画出二次函数的图象．20.【答案】5【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；(2)如图，△AB2C2即为所求；(3)线段A1C2的长=√32+42=5.故答案为：5.(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；(2)利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B2，C2即可；(3)利用勾股定理求解即可．本题考查作图-旋转变换，平移变换，勾股定理等知识，解题的关键是周围旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．21.【答案】(1)证明：∵k≠0，Δ=(k−2)2−4k×(−2)=(k+2)2≥0，∴方程总有两个实数根；(2)解：kx2+(k−2)x−2=0(k≠0)，(kx−2)(x+1)=0，，x2=−1，解得x1=2k因为该方程的两根均整数，所以2为整数，k∵方程有两个不相等的整数根，∴Δ=(k−2)2−4k×(−2)=(k+2)2>0，∴k≠−2，∴整数k为±1或2.【解析】(1)先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程总有两个实数根；(2)先利用因式分解法求得kx2+(k−2)x−2=0(k≠0)的解为x1=2，x2=−1，然后根据整数k的整除性可确定整数k的值．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．22.【答案】解：连接OC，设⊙O的半径为x.∵直径AB⊥弦CD，CD=4，∴CE=12在Rt△OEC中，由勾股定理可得x2=(x−2)2+42，解得x=5，∴⊙O的半径为5.【解析】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出CE是解此题的关键.连接OC，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可.23.【答案】解：设矩形菜地AB的长为x m，则BC的长为(26−2x)m，由题意得：x(26−2x)=80，化简得：x2−13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，当x=5时，26−2x=16>12(不合题意舍去)，当x=8时，26−2x=10，∴BC的长为10m，答：当矩形的边长BC为10m时，菜地面积为80m2.【解析】设矩形菜地AB的长为x m，则BC的长为(26−2x)m，由矩形的面积公式建立方程，解方程即可．本题考查了一元二次方程的应用、矩形的面积公式等知识，解答时寻找题目的等量关系是关键．24.【答案】(1)证明：如图，连接OC、OD，则OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∵AB是⊙的直径，∴∠ACB=90∘，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=1∠ACB=45∘，2∴∠AOD=2∠ACD=90∘，∵PE=PC，∴∠PCE=∠PEC，∵∠PEC=∠OED，∴∠PCE=∠OED，∴∠OCP=∠PCE+∠OCD=∠OED+∠ODC=90∘，∴PC⊥OC，∵OC是⊙O的半径，∴PC与⊙O相切．(2)解：如图，连接BD，在Rt△ABC中，AC=6，AB=10，∴BC=√AB2−AC2=8，∵∠PCA+∠OCA=90∘，∠B+∠OAC=90∘，∠OCA=∠OAC，∴∠PCA=∠B，∵∠P=∠P，∴△PAC∽△PCB，∴AP CP =CP BP =AC BC =68=34，∴CP 2=PA ⋅PB ，CP =43AP ，∴CP 2=AP(AP +10)，∴169AP 2=AP 2+10AP ，∴AP =907或AP =0(不符合题意，舍去)，∴CP =PE =1207，∴AE =PE −PA =1207−907=307，∵∠BOD =2∠BCD =90∘，OB =OD =5，∴BD =√OB 2+OD 2=√52+52=5√2，∵∠BCD =∠ECA ，∠CDB =∠CAE ，∴△CDB ∽△CAE ，∴CD AC =BD AE， ∴CD =AC⋅BD AE =6×5√2307=7√2，∴CD 的长是7√2.【解析】(1)连接OC 、OD ，先证明∠AOD =2∠ACD =90∘，再证明OCP =∠PCE +∠OCD =∠OED +∠ODC =90∘，即可证明PC 与⊙O 相切；(2)连接BD ，根据勾股定理求出BC =8，先证明△PAC ∽△PCB ，得AP CP =CP BP =AC BC =34，所以PC 2=PA ⋅PB ，即可求得AP =907，CP =PE =1207，AE =307，再由勾股定理求得BD =5√2，然后证明△CDB ∽△CAE ，即可根据相似三角形的对应边成比例求得CD =7√2.此题重点考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．25.【答案】抛物线关于点(2,1)成中心对称【解析】解：(1)把A(2,1)，B(5,4)代入解析式得：{4+2b +c =125+5b +c =4， 解得{b =−6c =9， ∴y =x 2+bx +c(x ≥2)的解析式为y =x 2−6x +9；(2)如图所示：①性质：抛物线关于点(2,1)成中心对称，故答案为：抛物线关于点(2,1)成中心对称；②由图象可得：实数m的取值范围为0<m<2；(3)如图：由函数图象可得：“W区域“内所有整点的坐标为(0,0)，(1,1).(1)用待定系数法求函数解析式即可；(2)①根据函数图象写出性质即可；②由图象可求出m的取值范围；(3)根据图象求整点坐标即可．本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，关键是对函数性质的掌握和运用．26.【答案】解：(1)∵抛物线C1：y=−x2+bx+c经过点A(2,1)，B(0,1)，∴{−4+2b+c=1c=1，解得{b =2c =1， ∴抛物线C 1：y =−x 2+2x +1，∴抛物线C 1的对称轴为直线x =−22×(−1)=1；(2)∵抛物线C 2的顶点的横坐标为m ，抛物线顶点在直线y =−2x +1上， ∴抛物线顶点纵坐标为−2m +1，∴抛物线C 2的解析式为y =−(x −m)2−2m +1，将x =0代入y =−(x −m)2−2m +1得y =−m 2−2m +1， ∴抛物线与y 轴交点的纵坐标为−m 2−2m +1，∵−m 2−2m +1=−(m +1)2+2，∴抛物线C 2与y 轴交点的纵坐标的最大值为2.(3)由(2)得抛物线与y 轴交点M 坐标为(0,−m 2−2m +1)， ∴点N 坐标为(−2,−m 2−2m +1)，当m =0时，抛物线顶点坐标为M(0,1)，与点B 重合，符合题意，当m >0时，抛物线延直线y =−2x +1向下移动，不符合题意，当m <0时，抛物线延直线y =−2x +1向上移动，当点N落在抛物线上时，由点M，N的对称性可得抛物线对称轴为直线x=−1，∴m=−1，∴−1≤m≤0符合题意，当m减小，点M与点B重合时，−m2−2m+1=1，解得m=0(舍)或m=−2，∵−m2−2m+1=−(m−1)2+2，∴m<−2时，点M向下移动，∴m≤−2符合题意．综上所述，−1≤m≤0或m≤−2.【解析】(1)通过待定系数法求解．(2)由C2的顶点的横坐标为m，顶点在直线y=−2x+1上，可得抛物线C2的顶点式，将x=0代入解析式求出抛物线与y轴交点纵坐标，再通过配方法求解．(3)由点M坐标可得点N坐标，由抛物线C2的顶点在直线y=−2x+1上可得抛物线的运动轨迹，结合图象求解．本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．27.【答案】(1)解：∠ECF=45∘，理由如下：如图1，过点F作FG⊥CB于G，由旋转得：AE=EF，∠AEF=90∘，∴∠AEB+∠FEG=90∘，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ABE=90∘，AB=BC，∴∠BAE+∠AEB=90∘，∴∠BAE=∠FEG，∵∠ABE=∠EGF=90∘，∴△ABE≌△EGF(AAS)，∴AB=EG，BE=FG，∴EG=BC，∴BE=CG，∴FG=CG，∵∠CGF=90∘，∴∠ECF=45∘；(2)证明：如图2，过点F作FH//CD，交BD于H，交BC于G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB//CD，AB=CD，∠DBC=45∘，∵∠ECF=45∘，∴∠ECF=∠DBC，∴BD//CF，∴四边形DHFC是平行四边形，∴FH=CD，∵AB=CD，∴AB=FH，∵AB//CD，CD//FH，∴AB//FH，∴∠ABM=∠FHM，∵∠AMB=∠FMH，∴△ABM≌△FHM(AAS)，∴AM=FM，∴点M是线段AF的中点；(3)解：√2AD=2BM+FC，理由如下：∵△ABD是等腰直角三角形，∴BD=√2AD，由(2)知：△ABM≌△FHM，四边形DHFC是平行四边形，∴BM=MH，HD=FC，∵BD=BM+MH+HD，∴√2AD=2BM+CF.【解析】(1)如图1，过点F作FG⊥CB于G，证明△ABE≌△EGF(AAS)，可得△CGF是等腰直角三角形，即可解答；(2)如图2，过点F作FH//CD，交BD于H，交BC于G，证明四边形DHFC是平行四边形，得FH=CD，再证明△ABM≌△FHM(AAS)，可得结论；(3)根据(2)中的结论可解答．本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型．28.【答案】解：(1)①如图，当P(−1,0)时，点P关于点A的对称点P′(5,2)，把点P′绕点B逆时针旋转90∘得到Q(3,4).图形如图所示．②当点P在⊙O上运动时，点P关于点A的对称点P″在以T(4,2)为圆心，半径为1的圆上运动，此时点P关于点B的旋转对称点Q在圆J(3,3)为圆心，半径为1是圆上运动到，连接AJ.∵AJ=√12+22=√5，∴AQ的最大值=√5+1；(2)如图，作直径PD，连接P′D，AO.∵PA=AP′，OP=OD，∴DP′=2AO=2，∴当点P确定时，点P′的运动轨迹是以D为圆心，2为半径的圆，连接BD，将线段BD绕点B顺时针旋转90∘，得到BG，连接GQ.∵∠P′BQ=∠DBG=90∘，∴∠P′BD=∠GBQ，∵BP′=BQ，BD=BG，∴△P′BD≌△QBG(SAS)，∴DP′=BG=2，∴此时点Q的运动轨迹是以G为圆心，2为半径的圆，∴PQ的最大值与最小值的差是2.【解析】(1)①如图，当P(−1,0)时，点P关于点A的对称点P′(5,2)，把点P′绕点B逆时针旋转90∘得到Q(3,4).图形如图所示．②判断出的Q的运动轨迹，可得结论；(2)如图，作直径PD，连接P′D，AO.证明DP′=2AO=2，推出当点P确定时，点P′的运动轨迹是以D为圆心，2为半径的圆，连接BD，将线段BD绕点B顺时针旋转90∘，得到BG，连接GQ.证明△P′BD≌△QBG(SAS)，推出DP′=BG=2，推出此时点Q的运动轨迹是以G为圆心，2为半径的圆，由此可得结论．本题属于几何变换综合题，中心对称变换，旋转变换，全等三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。
2024北京四中初三(上)开学考数学
数学练习一、选择题（共20分，每小题2分）1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）． AB CD2．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）．A ．2，3，4BC ．5，6，7D ．5，12，13 3．如图，在平行四边形ABCD 中，由尺规作图的痕迹，下列结论中不一定成立的是（ ）． A ．DAE BAE ∠=∠ B ．AD DE = C ．DE BE =D ．BC DE = 4．某运动品牌专营店店主对上一周新进的某款T 恤衫销售情况统计如下：（ ）． A ．中位数 B ．平均数C ．方差D ．众数5．已知关于x 的一次函数(2)3y m x =−+，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ ）．A ．2m <B ．2m >C ．0m >D ．0m < 6．如图所示，DE 为ABC ∆的中位线，点F 在DE 上，且90AFB ∠=︒，若6AB =，8BC =，则EF 的长为（ ）．A ．1B ．2C ．1.5D ．2.57．如图，正比例函数11y k x =和反比例函数22ky x=的图象交于(1,2)A −、(1,2)B −两点，若12y y <，则x 的取值范围是（ ）．A ．1x <−，或1x >B ．1x <−，或01x <<C ．10x −<<，或1x >D ．10x −<<，或01x <<8．若关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有实数根，则k 的取值范围是（ ）． A ．1k < B ．1k C ．1k <，且0k ≠ D ．1k ，且0k ≠9．保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松．某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民能得到高产、易发芽的种子．该农科实验基地两年前有81种农作物种子，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子．若这两年培育新品种数量的平均年增长率为x ，则根据题意列出的方程是（ ）．A ．100(12)81x −=B ．100(12)81x +=C ．281(1)100x −=D ．281(1)100x +=10．把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I 与使用电器的总功率P 的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q 与I 的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）．A ．当P ＝440W 时，I ＝2AB ．Q 随I 的增大而增大C ．I 每增加1A ，Q 的增加量相同D ．P 越大，插线板电源线产生的热量Q 越多二、填空题（共16分，每小题2分）11．一次函数(0)y kx b k =+≠中两个变量x ，y 的部分对应值如下表所示：537b 的解集是 ． 12．若反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(,2)A a 和(,2)B b −，则a b +的值为 ．13．某招聘考试分笔试和面试两部分，按笔试成绩占80%，面试成绩占20%计算应聘者的总成绩．小明笔试成绩为80分，面试成绩为85分，那么小明的总成绩为 分．14．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点是坐标原点O ，固定点A ，B ，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y 轴正半轴上点D '处，则点C 的对应点C '的坐标为 ． 15．如图，正方形ABCD 的中心在原点O 上，且正方形ABCD 的四个顶点分别位于两个反比例函数3y x=和ny x=的图象上的四个分支上，则n = ． 16．已知实数x ，y 满足2330x x y ++−=．则x y +的最大值为 ．17．如图，四边形ABHK 是边长为12的正方形，点C 、D 在边AB 上，且2AC DB ==，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长等于 ．18．甲乙两人玩一个游戏：将(n n 为奇数）个数排成一列，记作1[a ，2a ，⋯，]n a ，甲，乙轮流从这一列数中删除两个相邻的数，剩余的数成为一列新的数．甲先开始操作，直至这列数被删到只剩下一个数．每次操作时，甲的原则是使最后剩下的数最大化，乙的原则是使最后剩下的数最小化．（1）对于[1，2，3，4，5]，被删除一次后可以成为[3，4，5]或[1，4，5]以及一些其他情况，写出未列举的其他情况 ；（写出一种即可） （2）对于[2，9，1，7，3，4，5，8，6]，最后剩下的数为 ．三、解答题（共64分，第19、20题每题6分，第21、22、24、26、27题每题8分，第23题7分，第25题5分） 19．解方程：（1）2610x x +−=； （2）2(2)3(2)x x −=−．20．某数学兴趣小组同学定期进行课外扩展讨论，并发现了一些有趣的结论．其中他们发现，任意一个ABC ∆（三边均不相等），以一边的端点B 为顶点在三角形外作角CBF ∠，使其等于这条边另一端点C 为顶点的三角形的内角ACB ∠，射线BF 与这条边上的中线AD 的延长线相交于一点E ，则以A 、B 、C 、E 四个点为顶点的四边形是平行四边形．基本思路就是利用三角形全等、平行四边形以及平行线的判定加以解决．请根据这个思路完成作图和填空．如图，在ABC ∆中，点D 为BC 边上的中点，连接AD ．（1）尺规作图：在BC 下方作射线BF ，使得CBF ACB ∠=∠，且射线BF 交AD 的延长线于点E （不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，连接CE ，求证：四边形ABEC 是平行四边形．（请补全下面的证明过程）证明：点D 为BC 边上的中点，DC DB ∴=.在ADC ∆和EDB ∆中，ACD EBDDC DBADC EDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ADC ∴∆≌ ()ASA ， AC ∴= ． CBF ACB ∠=∠，∴ ．∴四边形ABEC 是平行四边形．兴趣小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题：以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，则以该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形是 ．21．如图，在ABC ∆中，90CAB ∠=︒，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点．连接DE 并延长至点F ，使得EF DE =．连接AF ，CF ，AD ． （1）求证：四边形ADCF 是菱形；（2）连接BF ，若60ACB ∠=︒，2AF =，求BF 的长．22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b=+的图象与x轴交于点(3,0)A−，与y轴交于点B，且与正比例函数43y x=的图象交点为(,4)C a．（1）求a的值与一次函数y kx b=+的解析式；（2）在y轴上求一点P，使POC∆为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．23．在平面直角坐标系xOy中，函数(0)y kx b k=+≠的图象经过点(1,3)A和(1,1)B−−，与过点(2,0)−且平行于y轴的直线交于点C．（1）求该函数的表达式及点C的坐标；（2）当2x<−时，对于x的每一个值，函数(0)y nx n=≠的值大于函数y kx b=+ (0)k≠的值且小于2−，直接写出n的取值范围．24．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料．（1）当矩形花园的面积为300平方米时，求AB的长；（2）能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明）25．商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息：a ．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为：售价涨跌幅100%−=⨯当周售价前周售价前周售价，成本涨跌幅100%−=⨯当周成本前周成本前周成本；b ．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半；c ．甲、乙两种商品成本与售价信息如下：甲商品的成本与售价信息表根据以上信息，回答下列问题：（1）甲商品这五周成本的平均数为 ，中位数为 ；（2）表中m 的值为 ，从第三周到第五周，甲商品第 周的售价最高； （3）记乙商品这40周售价的方差为21s ，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这40周新售价的方差为22s ，则21s 22s （填“>”，“ =”，或“<” )．26．如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的．向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下：（1）描出以表中各组已知对应值为坐标的点； （2）当t = s 时，杯中水位最高，是 cm ；（3）在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为 /cm s； （4）求停止注水时t 的值；（5）从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时 s ．27．如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BCA =α，点D为线段BC的延长线上一点，将线段BD 绕点D 顺时针旋转2α得到线段ED ．图1 图2（1） 如图1，当α=30°，且点B 与点D 关于点C 对称时，求证：EC ⊥BD ； （2） 如图2，若点C 关于点D 的对称点为点F ，连结EF ，依题意补全图形，求证：AE ⊥EF ．BA附加题（共10分）28．（3分）有如下的一列等式：00T a =，110T a x a =−，22210T a x a x a =−+，3233210T a x a x a x a =−+−，……， 若将0123n T T T T T +++++记为n A ，其中n 为正整数，n T 的各项系数均不为0．那么以下说法正确的是 ． ①若1x =，则4420A a a a =++；②若44(21)T x =−，那么4T 的所有系数之和为1；③若2221(21)nn n A A x −−=−，那么当5n =时，101086420132a a a a a a ++++++=．29．（7分）对于平面直角坐标系xOy 中的点11()P x y ，和22()Q x y ，，我们称01212(,)||||d P Q x x y y =−+−为P 和Q 两点的“亚距离”．进一步，对于平面中的点R 和图形Ф，Ψ，我们给出如下定义：点R 到图形 Ф上各点的最短亚距离为d ，点R 到图形Ψ上各点的最短亚距离为d '，若d =d '，则称点R 为图形Ф，Ψ 的一个“亚等距点”．如图，已知(4,4),(8,0),(4,4),(2,0)A B C D −−−−−，点A 、C 、D 关于y 轴的对称点分别为点A '、C '、D '，将正方形OABC 向上平移4个单位得到正方形AEFG ． （1）① 0(,)d A B = ；②在点1234(2,2),(2,2),(7,8),(5,1)P P P P −−−中，哪个点是点A 和点C '的亚等距点____________； （2）在坐标系中，画出正方形OABC 和正方形AEFG 的亚等距点所组成的图形； （3）已知线段(04)y kx b y =+≤≤上恰好存在3个线段AA '和线段DD '的亚等距点，直接写出k 的取值范围．备用图。
北京四中2021~2021学年度九年级上期中考试数学试卷
北京四中2021~2021学年度九年级上期中考试数学试卷（时刻：120分钟 满分：120分）姓名： 班级： 成绩: ____________一．选择题（每题4分，共32分） 1.抛物线y =(x +1)2-4的顶点坐标是（ ）A ．（1,4） B.(-1,4) C.(1,-4) D.(-1,-4) 2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，则cosB 的值等于（ ） A ．53 B.54 C. 43D. 553.如图，在 ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ， 且AE 、BD 交于点F ，DE ：EC=2:3，则S △DEF :S △ABF =（ ） A. 2：3 B. 4：9 C. 2：5 D. 4：254.在平面直角坐标系中，已知点E （﹣4，2），F （﹣2，﹣2），以原点O 为位似 中心，相似比为2，把△EFO 放大，则点E 的对应点E′的坐标是（ ） A.(-2,1) B.(-8,4) C.(-8,4)或(8,-4) D.(-2,1)或(2,-1)5.二次函数y=ax 2+bx +c （a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 y125﹣3﹣4﹣3512给出了结论：（1）二次函数y=ax 2+bx +c 有最小值，最小值为﹣3； （2）当时，y ＜0；（3）二次函数y=ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧． 则其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ． 3个D ．0个 6.如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，已知AB=4，AD=2． ∠DAC=∠B，若△ABD 的面积为a ，则△ACD 的面积为（ ） A ．a B ．12a C ．13a D ．23a7.若定义变换：(,)(,)f a b a b =-，(,)(,)g m n m n =-，如：(1,2)(1,2)f =-，(4,5)(4,5)g --=-， 则((2,3))g f -=（ ）A ．(2,3)-B ．(2,3)-C ．(2,3)D ．(2,3)--8.小明从如图所示的二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象中， 观看得出了下面五条信息：①ab ＞0；②a +b +c ＜0；③b +2c ＞0；④a ﹣2b +4c ＞0；⑤．你认为其中正确信息的个数有（ ） A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二．填空题（每题4分共16分） 9.在△ABC 中，∠C =90°，3cos ,32B a == ，则b= ． 10.已知(-3，m ）、(1，m )是抛物线y=2x 2+bx +3的两点，则b =____. 11.如图，是二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 和一次函数y 2＝mx ＋n 的图象，观看图象写出y 2>y 1时，x 的取值范畴__________．12. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分如图，则a 的取值范畴是____ __． 三．解答题（本题共30分） 13.运算：.14.如图，正△ABC 中，∠ADE=60°，(1)求证：△ABD ∽△DCE ；（2）若BD=2，CD=4，求AE 的长．xyO15.如图，为了测量某建筑物AB 的高度，在平地上C 处测得建筑物顶端A 的仰角为30°，沿CB 方向前进（9m 到达D 处，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为45°，求该建筑物AB 的高度16. 已知抛物线y ＝x 2－2kx ＋3k ＋4．(1)顶点在y 轴上时，k 的值为_________. (2)顶点在x 轴上时，k 的值为_________. (3)抛物线通过原点时，k 的值为_______.17.已知二次函数y =- 12x 2 - x + 32.（1）在给定的直角坐标系中，画出那个函数的图象； （2）依照图象，写出当y ＜ 0时，x 的取值范畴； （3）若将此图象沿x 轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．18.已知：如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，E 为边AC 的中点，BC ＝14，AD ＝12，⋅=54sin B 求：(1)线段DC 的长；(2)tan ∠EDC 的值．四、解答题（本题共20分，19、20每小题5分21题6分22题4分） 19.如图，直角ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =5sin B =，点P 为边BC 上一动点，PD ∥AB ，PD 交AC 于点D ，连结AP ．（1）求AC 、BC 的长；（2）设PC 的长为x ，ADP ∆的面积为y ．当x 为何值时，y 最大并求出最大值．20.如图，直线y ＝3x 和y ＝2x 分别与直线x ＝2相交于点A 、B ，将抛物线y ＝x 2沿线段OB 移动，使其顶点始终在线段OB 上，抛物线与直线x ＝2相交于点C ，设△AOC 的面积为S ，求S 的取值范畴．21.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；假如每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直截了当写出自变量x的取值范畴；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？依照以上结论，请你直截了当写出售价在什么范畴时，每个月的利润不低于2200元？22、当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化. 例如：由抛物线y=x2－2mx+m2+2m－1①有y=(x－m)2+2m－1②，因此抛物线顶点坐标为（m，2m－1），即x = m③, y = 2m－1④.当m的值变化时，x，y的值也随之变化，因而y的值也随x值的变化而变化.将③代入④，得y=2x－1⑤. 可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式：y=2x－1；(1)依照上述阅读材料提供的方法，确定点（－2m, m－1）满足的函数关系式为_______.(2)依照阅读材料提供的方法，确定抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式.五、解答题（本题共22分，第23题6分，第24题7分，第25题9分） 23. 已知二次函数22-++=a ax x y（1）求证：不论a 为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点．（2）设a <0，当此函数图象与x 轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式．（3）在（2）的条件下，若此二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点，在函数图象上是否存在点P ，使得△PAB 的面积为2133，若存在求出P 点坐标，若不存在请说明理由。
北京四中初三上册期中考试数学(含解析).docx
北京四中初三上期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．抛物线2(1)2y x =-+的对称轴为（ ）． A ．直线1x = B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =-2．已知反比例数ky x=的图象过点(2,1)，下列各点也在反比例函数图象上的点是（ ）． A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．1(2,)2D ．1(4,)23．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，半径OD 过AB 的中点C ，则OC 的长为（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．把二次函数23y x =的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数解析式为（ ）． A ．23(2)1y x =-+ B ．23(2)1y x =+- C ．23(2)1y x =--D ．23(2)1y x =++5．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若35ABC ∠=︒，则AOC ∠的度数为（ ）． A ．20︒ B ．40︒ C ．60︒ D ．70︒6．在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =+和二次函数2y ax c =+的图象可能为下列中的（ ）．A ．B ．C ．D ．7．如图，P 是反比例函数图象上的一点，过点P 向x 轴作垂线，垂足为A ，若PAO △的面积为4，则这个反比例函数的解析式为（ ）． A ．4y x = B ．4y x =-C ．8y x=D ．8y x=-xOyxOyxO yxO yOCABO DC BAPA xOy8．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）．A ．0a >B ．不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<C ．0a b c -+>D ．当2x >时，y 随x 的增大而增大9．若抛物线243y x x t =-+-（t 为实数）在1032x <<的范围内与x 轴有公共点，则t 的取值范围为（ ）．A ．13t -<<B ．13t -<≤C ．534t << D ．1t -≥ 10．如图，ACB △中，60B ∠=︒，75ACB ∠=︒，点D 是BC 边上一动点，以AD 为直径作⊙O ，分别交AB 、BC 于点E 、F ，若弦EF 的最小值为1，则AB 的长为（ ）．A ．22B ．263 C ．1.5D ．433二、填空题（每空4分，共24分）11．已知双曲线3y x=，如果1(1,)A b -，2(2,)B b 两点在该双曲线上，那么1b __________2b ．（比较大小）12．将抛物线21y x =+绕原点旋转180︒，则旋转后抛物线的解析式为__________．13．二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：x … 2- 1- 0 1 2 3 … y…5 03-4-3-…当函数值0y <时，x 的数值范围是__________．14．已知：如图，⊙O 是的内切圆，分别切BC 、AB 、AC 于点D 、E 、F ，ABC △的周长为24cm ，10cm BC =，则AE =__________cm ．15．已知：如图，AB 是半圆O 的直径，E 是弧BC 的中点，OE 交弦BC 于点D ，已知8cm BC =，2cm DE =，则AD 的长为__________cm ．52OxyFE OCDABFEDCB A OCAE D B16．已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(1,0)和1(,0)x ，其中121x -<<-，与y 轴交于正半轴上一点，下列结论：①0b >；②214ac b <；③a b >；④2a c a -<<-．其正确结论的序号是__________．三、解答题（本题共18分，每题6分）17．若二次函数23y ax bx =++的图象经过(1,0)A 、(2,1)B -两点，求此二次函数的解析式．18．已知；如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于(1,2)A -、(2,)B n 两点． （1）求出上述反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据函数图象，直接写出当m kx b x+≥时x的取值范围．19．已知抛物线212(2)2y x m x m =+++-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），对称轴为直线1x =-． （1）m 的值为__________；在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x … … 1y……（2）若直线2y kx b =+过点B 且与抛物线交于点(2,3)P --，根据图象直接写出当x 取什么值时，21y y ≤．yxOBA1221yxO20．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，O 点在D ∠的内部，四边形OABC 为平行四边形． 求OAD OCD ∠+∠的度数．21．如图，PB 切⊙O 于点B ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 交⊙O 于点C ，连结BC 、AF ． （1）求证：直线PA 为⊙O 的切线；（2）若6BC =，:1:2AD FD =，求⊙O 的半径r 的长．22．已知21(2)y x kx k k =-+->．（1）求证：抛物线21(2)y x kx k k =-+->与x 轴必有两个交点；（2）抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，若tan 3OAC ∠=，求此抛物线的解析式；（3）以（2）中的抛物线上一点(,)P m n 为圆心，1为半径作圆，直接写出：当m 分别取何值时，x 轴与⊙P 相离、相切、相交．xy O –1–21234–1–2123423．对于二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+，把2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t 是不为零的实数，其图象记作抛物线E ．现有点(2,0)A 和抛物线E 上的点(1,)B n -，请完成下列任务： 【尝试】（1）当2t =时，抛物线2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+的顶点坐标为__________． （2）点A __________（填在或不在）在抛物线E 上； （3）n 的值为__________．【发现】通过（2）或（3）的演算可知，对于t 取任何不为零的实数，抛物线E 总过定点，坐标为__________． 【应用】二次函数2352y x x =-++是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t 的值；如果不是，说明理由．24．如图，ABC △外接圆⊙O 半径为r ，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，AD 、BE 交于点K ，AK r =．求BAC ∠的度数．K E OCADB25．如图，在平面直角坐标系中有Rt ABC △，90A ∠=︒，AB AC =，(2,0)A -、(0,1)B 、(,2)C d ． （1）求d 的值；（2）将ABC △沿x 轴的正方向平移，在第一象限内B 、C 两点的对应点B '、C '正好落在某反比例函数图象上，请求出这个反比例函数和此时的直线B C ''的解析式；（3）在（2）的条件下，直线B C ''交y 轴于点G ．问是否存在x 轴上的点M 和反比例函数图象上的点P ，使得P 、G 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由．C'B'A'GBCAyOx北京四中初三上期中数学试卷答案一、选择题（每小题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ADBDDBDBBB二、填空题（每空4分，共24分）题号 1112 13 14 15 16 答案 <21y x =--13x -<<2213②④三、解答题（本题共18分，每题6分）17．解：二次函数23y ax bx =++的图象经过(1,0)A 、(2,1)B -两点， ∴031423a b a b =++⎧⎨-=++⎩，解得14a b =⎧⎨=-⎩． ∴二次函数的解析式为243y x x =-+．18．解：（1）∵(1,2)A -在my x=上， ∴2m =-．∴反比例函数的解析式是2y x =-． ∵点(2,)B n 在2y x=-上， ∴212n =-=-，即(2,1)B -．∵(1,2)A -，(2,1)B -在y kx b =+上， ∴221k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得11k b =-⎧⎨=⎩．∴一次函数的解析式是1y x =-+．（2）由函数图象可知，x 的范围为1x -≤或02x <≤．19．解：（1）由题意得12b a -=-，即2(2)12m +-=-， ∴1m =-．∴抛物线解析式为：2123y x x =+-． 令10y =，得13x =-，21x =． 列表如下：x … 3- 2-1- 0 1 … 1y…3-4-3-…描点画图如图所示：（2）如图所示，易知，当2x -≤或1x ≥时，21y y ≤．1221y xOPB1221y xO20．解：∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴180B D ∠+∠=︒．∵四边形OABC 为平行四边形， ∴AOC B ∠=∠． 又∵2AOC D ∠=∠， ∴60D ∠=︒．连结OD ，可得AO OD =，CO OD =． ∴OAD ODA ∠=∠，OCD ODC ∠=∠．∴60OAD OCD ODA ODC D ∠+∠=∠+∠=∠=︒．21．（1）证明：如图，连接OB ． ∵PB 是⊙O 的切线， ∴90PBO ∠=︒．∵OA OB =，BA PO ⊥于D ， ∴AD BD =，POA POB ∠=∠． 又∵PO PO =， ∴PAO △≌PBO △． ∴90PAO PBO ∠=∠=︒． ∴直线PA 为⊙O 的切线．（2）解：∵OA OC =，AD BD =，6BC =， ∴132OD BC ==． 设AD x =．∵:1:2AD FD =，∴2FD x =，23OA OF x ==-．在Rt AOD △中，由勾股定理，得222(3)23x x -=+． 解之得，14x =，20x =（不合题意，舍去）． ∴4AD =，235OA x =-=． 即⊙O 的半径的长5．22．（1）证明：∵22()41(1)(2)k k k ∆=--⨯⨯-=-， 又∵2k >， ∴20k ->．∴2(2)0k ->，即0∆>．∴抛物线21y x kx k =-+-与x 轴必有两个交点．（2）解：∵抛物线21y x kx k =-+-与x 轴交于A 、B 两点， ∴令0y =，有210x kx k -+-=． 解得：1x k =-或1x =． ∵2k >，点A 在点B 的左侧， ∴(1,0)A ，(1,0)B k -． ∵抛物线与y 轴交于点C ， ∴(0,1)C k -．∵在Rt AOC △中，tan 3OAC ∠=，∴tan 311OAC OC k OA ∠=-==，解得4k =． ∴抛物线的表达式为243y x x =-+．（3）解：当22m <-或22m >+时，x 轴与⊙P 相离． 当22m =-或2m =或22m =+时，x 轴与⊙P 相切． 当222m -<<或222m <<+时，x 轴与⊙P 相交．23．解：（1）将2t =代入抛物线E 中，得：2222(32)(12)(24)242(1)2y x x x x x x =-++--+=-=--， ∴此时抛物线的顶点坐标为：(1,2)-； （2）点A 在抛物线E 上，理由如下：∵将2x =代入2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+，得0y =， ∴点(2,0)A 在抛物线E 上． （3）∵点(1,)B n -在抛物线E 上，∴将1x =-代入抛物线E 的解析式中，得：(132)(1)(24)6n t t =+++-+=． 【发现】∵将抛物线E 的解析式展开，得：2(32)(1)(24)(2)(1)24y t x x t x t x x x =-++--+=-+-+， ∴抛物线E 必过定点(2,0)、(1,6)-． 【应用】不是，理由如下：∵将1x =-代入2352y x x =-++，得66y =-≠， ∴二次函数2352y x x =-++的图象不经过点B ．∴二次函数2352y x x =-++不是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的“再生二次函数”．24．解法一：如图1，连接CO 并延长，交⊙O 于点N ，连接AN ，BN ． ∵CN 为⊙O 直径， ∴90NAC NBC ∠=∠=︒， ∵AD BC ⊥，BE AC ⊥， ∴AN BE ∥，NB AD ∥． ∴四边形ANBK 为平行四边形． ∴NB AK r ==，在Rt NBC △中，2NC r =， ∴1cos 2NB NBC NC ∠==， ∴60BNC ∠=︒， ∴60BAC BNC ∠=∠=︒．解法二：如图2，连接OA ，过点O 作OF AB ⊥于点F ． ∵90AOF OAF ∠+∠=︒，90KAE C ∠+∠=︒， 且AOF C ∠=∠， ∴OAF KAE ∠=∠．又∵OA KA r ==，90AEK AFO ∠=∠=︒， ∴AFO △≌AEK △． ∴AF AE =， ∴2AB AE =．图1NK E O CADB F图2K E O CADB∴在Rt ABE △中，60BAC ∠=︒．25．解：（1）作CN x ⊥轴于点N ． 在Rt CNA △和Rt AOB △中， ∵2NC OA ==，AC AB =， ∴Rt CNA △≌Rt AOB △（HL ）．∴1AN BO ==，3NO NA AO =+= 又∵点C 在第二象限， ∴3d =-．（2）设反比例函数为ky x=，点C '和B '在该比例函数图像上， 设(,2)C m '，则(3,1)B m '+． 把点C '和B '的坐标分别代入ky x=，得2k m =；3k m =+， ∴23m m =+，3m =，则6k =， ∴反比例函数解析式为6y x=. ∴点(3,2)C '，(6,1)B '．∴直线B C ''的解析式为133y x =-+．（3）设点M 的坐标为(,0)m ，点P 的坐标为6(,)p p． 当以MP 为平行四边形对角线时，03m p +=-，6032p +=+，解得215m =-； 当以MG 为平行四边形对角线时，03m p +=-，6032p+=+，解得3m =； 当以MC 为平行四边形对角线时，30m p -=+，6023p+=+，解得3m =-． 综上所述，存在点121(,0)5M -，2(3,0)M ，3(3,0)M -，使得P 、G 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形．N C'B'A'GBCAyOx北京四中初三上期中数学试卷部分答案解析一、选择题1．【答案】A【解析】抛物线2(1)2y x =-+的对称轴为直线1x =．故选A ．2．【答案】D 【解析】∵反比例数k y x =的图象过点(2,1)，∴2k =，易知点1(4,)2在2y x =的图象上．故选D ．3．【答案】B【解析】∵半径OD 过AB 的中点C ，弦AB 的长为8，∴4BC =，90OCB ∠=︒，在Rt OCB △中，2222543OC OB BC =-=-=．故选B ．4．【答案】D【解析】根据“上加下减，左加右减”可得，所求二次函数的解析式为23(2)1y x =++．故选D ．5．【答案】D【解析】由圆周角定理可得，270AOC ABC ∠=∠=︒．故选D ．6．【答案】B【解析】由解析式可知，两个函数均过点(0,)c ；当0a >时，一次函数单调递增，二次函数开口向上；当0a <时，一次函数单调递减，二次函数开口向下．故选B ．7．【答案】D【解析】由k 得几何意义，可知142PAO S k ==△， 又∵反比例函数的图象在第二、四象限，∴0k <， ∴8k =-，∴反比例函数的解析式为8y x=-．故选D ．8．【答案】B【解析】由二次函数的图象可知，开口向下，∴0a <；抛物线的对称轴为直线2x =，与x 轴的一个交点为(5,0)，故另一个交点为(1,0)-，∴不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<；又∵抛物线经过点(1,0)-，∴0a b c -+=；当2x >时，y 随x 的增大而减小．故选B ．9．【答案】B【解析】抛物线的对称轴为直线2x =，开口向上，∵抛物线243y x x t =-+-（t 为实数）在1032x <<的范围内与x 轴有公共点，∴当2x =时，48310y t t =-+-=--≤，当0x =时，30y t =->，∴13t -<≤．故选B ．10．【答案】B【解析】连接OE ，OF ．∵60B ∠=︒，75ACB ∠=︒，∴45BAC ∠=︒，∴90EOF ∠=︒． ∴222EF OE AD ==． ∵弦EF 的最小值为1， ∴AD 的最小值为2，即当AD BC ⊥时，2AD =．在Rt ABD △中，60B ∠=︒，∴26cos603AD AB ==︒．故选B ． 二、填空题11．【答案】<【解析】易得13b =-，232b =，∴12b b <．故答案为<．12．【答案】21y x =--【解析】抛物线21y x =+绕原点旋转180︒，顶点由(0,1)变为(0,1)-，开口方向由向上变为向下，故旋转后抛物线的解析式为21y x =--．故答案为21y x =--．13．【答案】13x -<<【解析】由表格中数据已知，当函数值0y <时，x 的数值范围是13x -<<．故答案为13x -<<．14．【答案】2【解析】设AE x =，则AF x =，又∵CD CF =，BD BE =，∴22024x +=，解得2x =．故2cm AE =．故答案为2．15．【答案】213【解析】设半圆O 的半径为r ．∵AB 是半圆O 的直径，∴90C ∠=︒，∵E 为BC 弧中点，∴OE BC ⊥，∴OE AC ∥，∴22(2)AC OD r ==-，在Rt ABC △中，222AC BC AB +=，∴2224(2)84r r -+=，解得5r =．∴6AC =，142CD BC ==， F EO C D A B∴22213AD AC CD =+=．故答案 为213．16．【答案】②④【解析】由题意可知，二次函数的图象大致如图所示： 由图可知，0b <，①错误；240b ac ∆=->，∴214ac b <，②正确； ∵1122x b a +-=，121x -<<-， ∴1211222ba --<-<，即01ba <<，∵0a <，∴a b <，③错误． 又∵11c x a ⋅=，121x -<<-， ∴21ca -<<-，∵0a <，∴2a c a -<<-，④正确．故答案为②④．-1-21y x。
北京市北京四中九年级上册期末数学试题(含答案)
A． B．
C． D．
4．如图，已知 的内接正方形边长为2，则 的半径是（）
A．1B．2C． D．
5．下列说法中，不正确的是（ ）
A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形B．圆有无数条对称轴
C．圆的每一条直径都是它的对称轴D．圆的对称中心是它的圆心
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径.
32．(1)问题提出：苏科版《数学》九年级(上册)习题2.1有这样一道练习题：如图①，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点，点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？
在解决此题时，若想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”，在连接MD、ME的基础上，只需证明．
25．将正整数按照图示方式排列，请写出“2020”在第_____行左起第_____个数．
26．方程 的根是________．
27．已知圆锥的侧面积为20πcm2，母线长为5cm，则圆锥底面半径为______cm．
28．一元二次方程x2﹣3x+2＝0
18． 的半径为4，圆心 到直线 的距离为2，则直线 与 的位置关系是______.
19．设x1、x2是关于x的方程x2＋3x－5＝0的两个根，则x1＋x2－x1•x2＝________．
20．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是____________．
21．如图，用一张半径为10 cm的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的高为8 cm，那么这张扇形纸板的弧长是________cm．
22．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，则tanA等于．
2022-2023学年北京市西城区第四中学九年级上学期开学数学试卷含答案
北京四中2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷（含答案解析）一.选择题（每题2分，共16分）1．（2分）下列是最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．（2分）下列三边能构成直角三角形的是（）A．1，1，2B．1，2，3C．1，2，D．1，1，3．（2分）一次函数y＝﹣2x+1的图象经过（）A．一、二、三象限B．二、三、四象限C．一、三、四象限D．一、二、四象限4．（2分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ADB＝30°，DC＝3，则AC等于（）A．4B．5C．6D．75．（2分）若关于x的一元二次方程x2+6x﹣a＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≤﹣9B．a＞﹣9C．a≥﹣9D．a≥96．（2分）为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学七年级一班的美术老师特地给学生们开了一节手工课，教同学们编织“中国结”，为了了解同学们的学习情况，便随机抽取了20名学生，对他们的编织数量进行统计，统计结果如表：编织数量/个23456人数/人36542请根据上表，判断下列说法正确的是（）A．平均数是3.8B．样本为20名学生C．中位数是3D．众数是67．（2分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝kx+2k（k＞0）图象上不同的两点，若t＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则（）A．t＜0B．t＝0C．t≤0D．t＞08．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论：①；②BG＝FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE+∠BGF＝180°．其中正确的所有选项是（）A．①②B．③C．②④D．②③④二.填空题（每题2分，共16分）9．（2分）函数的自变量x的取值范围是．10．（2分）比较二次根式的大小：23．11．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点．若∠A＝35°，则∠BDC ＝°．12．（2分）若一次函数的图象过点（0，3），请写出一个符合条件的函数解析式．13．（2分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC ＝8，则四边形BDEF的周长是．14．（2分）如图，直线y＝kx+b经过点A（2，2），点B（6，0），直线y＝x过点A，则不等式x＜kx+b的解集为．15．（2分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝120°，点E是AD边的中点，P是AC边上一动点，则PE+PD的最小值是．16．（2分）某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目，规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记a分，第二名的班级记b分，第三名的班级记c分（a＞b＞c，a、b、c均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和．该年级共有四个班，若这四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，则a+b+c＝，a的值为．三.解答题（17、22、25每题5分，18、19、23、24每题6分，20、21每题4分，26、27、28每题7分，共68分）17．（5分）计算：．18．（6分）用适当的方法解方程：（1）x2＝7x；（2）x2+4x﹣5＝0．19．（6分）已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：不论m取何值，方程都有实数根；（2）若方程有两个整数根，求整数m的值．20．（4分）下面是小明设计的“作菱形ABCD”的尺规作图过程．求作：菱形ABCD．作法：①作线段AC；②作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；③在直线l上取点B，以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线l于点D（点B与点D不重合）；④连接AB、BC、CD、DA．所以四边形ABCD为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹，用2B铅笔作图！）（2）完成下面的证明．证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是．（填推理的依据）．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形（填推理的依据）．21．（4分）直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上一点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C坐标．22．（5分）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且AB＝（400+400）千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据≈1.41，≈1.73，≈2.24）23．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥AC，且，连接EC、ED．（1）求证：四边形BECO是矩形；（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的长．24．（6分）某市各中小学为落实教育部政策，全面开展课后延时服务．市教育局为了解该市中学延时服务情况，随机抽查甲、乙两所中学各100名家长进行问卷调查．家长对延时服务的综合评分记为x，将所得数据分为5组（“很满意”：90≤x≤100；“满意”：80≤x＜90；“比较满意”：70≤x＜80；“不太满意”：60≤x＜70；“不满意”：0≤x＜60），市教育局对数据进行了分析．部分信息如下：c．甲、乙两所中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如表：学校平均数中位数众数甲85n83乙817980d．甲中学“满意组”的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是：83，83，83，83，82，81，81，81，80，80．请你根据以上信息，回答下列问题：（1）直接写出m和n的值；（2）根据以上数据，你认为哪所中学的延时服务开展得更好？并说明理由（一条即可）；（3）市教育局指出：延时服务综合得分在70分及以上才算合格，请你估计乙中学1000名家长中认为该校延时服务合格的人数．25．（5分）阅读下面的材料，回答问题：（1）将关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0变形为x2＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知x2﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出x4﹣3x+2020的值是．（2）解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 （1），解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．请你用（2）中的方法求出方程（x2+x）2﹣2x2﹣2x＝8的实数解．26．（7分）已知一次函数y1＝（k+1）x﹣2k+3，其中k≠﹣1．（1）若点（﹣1，2）在y1的图象上，则k的值是．（2）当﹣2≤x≤3时，若函数有最大值9，求y1的函数表达式；（3）对于一次函数y2＝m（x﹣1）+6，其中m≠0，若对一切实数x，y1＜y2都成立，求k的取值范围．27．（7分）在正方形ABCD中，点P是线段CB延长线上一点，连接AP，将线段P A绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．过点E作EF⊥BC于F．（1）在图1中补全图形；（2）①求证：EF＝CF．②猜测CE，CP，CD三条线段的数量关系并证明；（3）若将线段P A绕点P逆时针旋转90°，其它条件不变，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x1，y1），给出如下定义：当点Q（x2，y2）满足x1•x2＝y1•y2时，称点Q是点P的等积点．已知点P（1，4）．（1）在Q1（2，1），Q2（﹣4，﹣1），Q3（8，2）中，点P的等积点是．（2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．（3）已知点和点M（4，m），点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，对于线段BN上的每一点A，在线段PB上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m的取值范围．北京四中2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每题2分，共16分）1．（2分）下列是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2．（2分）下列三边能构成直角三角形的是（）A．1，1，2B．1，2，3C．1，2，D．1，1，【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．【解答】解：A、∵1+1＝2，∴1，1，2三边不能构成直角三角形，故A不符合题意；B、∵1+2＝3，∴1，2，3三边不能构成直角三角形，故B不符合题意；C、∵12+（）2＝3，22＝4，∴12+（）2≠22，∴1，，2不能作为直角三角形三条边，故C不符合题意；D、∵12+12＝2，（）2＝2，∴12+12＝（）2，∴1，1，能作为直角三角形三条边，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．3．（2分）一次函数y＝﹣2x+1的图象经过（）A．一、二、三象限B．二、三、四象限C．一、三、四象限D．一、二、四象限【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，即可得到图象经过的象限．【解答】解：∵k＝﹣2＜0，∴一次函数的图象经过第二四象限，∵b＝1＞0，∴一次函数y＝﹣2x+1的图象与y轴正半轴相交，经过第一象限，∴一次函数y＝﹣2x+1的图象经过第一二四象限，故选：D．【点评】本题考查一次函数的性质，对一次函数y＝kx+b（k≠0），k＞0时，函数图象经过第一三象限，k＜0时，函数图象经过第二四象限，b＞0时，函数图象与y轴正半轴相交，b＜0时，函数图象与y轴负半轴相交．4．（2分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ADB＝30°，DC＝3，则AC等于（）A．4B．5C．6D．7【分析】由矩形的性质得出AC＝BD，OA＝OC，∠BAD＝90°，由直角三角形的性质得出AC＝BD＝2DC＝6即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC，∠BAD＝90°，∵∠ADB＝30°，∴AC＝BD＝2CD＝6，故选：C．【点评】此题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握矩形的性质，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2分）若关于x的一元二次方程x2+6x﹣a＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≤﹣9B．a＞﹣9C．a≥﹣9D．a≥9【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到Δ＝62﹣4×1×（﹣a）≥0，然后求出不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得Δ＝62﹣4×1×（﹣a）≥0，解得a≥﹣9．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．6．（2分）为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学七年级一班的美术老师特地给学生们开了一节手工课，教同学们编织“中国结”，为了了解同学们的学习情况，便随机抽取了20名学生，对他们的编织数量进行统计，统计结果如表：编织数量/个23456人数/人36542请根据上表，判断下列说法正确的是（）A．平均数是3.8B．样本为20名学生C．中位数是3D．众数是6【分析】根据样本的概念、众数、中位数及加权平均数的定义分别求解即可．【解答】解：A．平均数为×（2×3+3×6+4×5+5×4+6×2）＝3.8（个），此选项说法正确，符合题意；B．样本为20名学生的编织数量，此选项说法错误，不符合题意；C．共20个数据，从小到大排列后位于第10个和第11个的数据分别是4和4，∴中位数为＝4，此选项说法错误，不符合题意；D．众数是3，此选项说法错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查众数、中位数、加权平均数，解题的关键是掌握众数、中位数及加权平均数的定义．7．（2分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝kx+2k（k＞0）图象上不同的两点，若t＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则（）A．t＜0B．t＝0C．t≤0D．t＞0【分析】由k＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合点A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝kx+2k图象上不同的两点，可得出（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，即t＞0．【解答】解：∵k＞0，∴y随x的增大而增大，又∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝kx+2k图象上不同的两点，∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，即t＞0．故选：D．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x 的增大而减小”是解题的关键．8．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论：①；②BG＝FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE+∠BGF＝180°．其中正确的所有选项是（）A．①②B．③C．②④D．②③④【分析】构造全等三角形，应用三角形中位线定理，即可求解．【解答】解：延长EF交AC于M，作GN⊥AB于N，∵BD＝AB，DB＜DC，∴CD＞AB，故①不符合题意；∵EF∥NG∥BC，EG＝CG，∴FN＝NB，∵GN⊥AB，∴FG＝GB，故②符合题意；∵∠EAF＝∠MAF，AF＝AF，∠AFE＝∠AFM，∴△AEF≌△AMF，∴FE＝FM，∵EG＝GC，∴FG∥AC，∴∠GFB＝∠CAB，∴∠GBF＝∠EAB，∴EA∥BG，∵∠EAD＝∠DBG，AD＝BD，∠ADE＝∠BDG，∴△AED≌△BGD（ASA），∴AE＝BG，∴四边形AEBG是平行四边形，故③符合题意；∵∠BFG+∠FBG+∠FGB＝180°，∠EAF＝∠MAF＝∠BFG＝∠GBF，∴∠EAC+∠FGB＝180°，故④符合题意，故选：D．【点评】本题考查三角形全等，三角形中位线定理，平行四边形的判定，关键是灵活应用这些知识点．二.填空题（每题2分，共16分）9．（2分）函数的自变量x的取值范围是x≥3．【分析】根据被开方数非负列式求解即可．【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．10．（2分）比较二次根式的大小：2＜3．【分析】把根号外的因式平方后移入根号内，根据此时被开方数的大小比较即可．【解答】解：∵2＝＝，3＝＝，∴2＜3，故答案为：＜．【点评】本题考查了实数的大小比较和二次根式的性质，注意：当m≥0时，m＝．11．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点．若∠A＝35°，则∠BDC ＝70°．【分析】根据直角三角形斜边上的中线可AD＝CD＝AB，然后利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠DCA＝35°，最后利用三角形的外角进行计算即可解答．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴AD＝CD＝AB，∴∠A＝∠DCA＝35°，∵∠BDC是△ADC的一个外角，∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝70°，故答案为：70．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线是解题的关键．12．（2分）若一次函数的图象过点（0，3），请写出一个符合条件的函数解析式y＝x+3（答案不唯一）．【分析】可设x的系数为1或其他不为0的数都可以，把点的坐标代入求b的值即可．【解答】解：设一次函数的解析式为：y＝x+b，把（0，3）代入得b＝3．∴一次函数的解析式为：y＝x+3，故答案为：y＝x+3（答案不唯一）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，需注意应先确定x的系数，然后把适合的点代入求得常数项．13．（2分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC ＝8，则四边形BDEF的周长是14．【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，∴DE＝BF＝AB＝＝3，∵E、F分别为AC、AB中点，∴EF＝BD＝BC＝8＝4，∴四边形BDEF的周长为：2×（3+4）＝14，故答案为：14．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．14．（2分）如图，直线y＝kx+b经过点A（2，2），点B（6，0），直线y＝x过点A，则不等式x＜kx+b的解集为x＜2．【分析】根据函数图象的上下解不等式．【解答】解：∵x＜kx+b，∴直线y＝x在直线y＝kx+b的下方，即在点A的左边的图象符合要求，∴x＜2．故答案为：x＜2．【点评】本题考查一次函数图象与一元一次不等式，将不等式转化为函数图象的上下关系是求解本题的关键．15．（2分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝120°，点E是AD边的中点，P是AC边上一动点，则PE+PD的最小值是．【分析】如图，连接BD，BE，PB．由PE+PD＝PB+PE≥BE，求出BE的值，可得结论．【解答】解：如图，连接BD，BE，PB．∵四边形ABCD是菱形，∴B，D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PE+PD＝PE+PB≥BE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥CB，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∵AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∵AE＝DE，∴BE⊥AD，∴BE＝AB•sin60°＝，∴PE+PD≥，∴PE+PD的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查菱形的性质，轴对称最短问题，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．16．（2分）某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目，规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记a分，第二名的班级记b分，第三名的班级记c分（a＞b＞c，a、b、c均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和．该年级共有四个班，若这四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，则a+b+c＝8，a的值为5．【分析】根据五个比赛项目设定前三名的记分总和＝最后参加比赛的所有班级总成绩的和，得出a+b+c的值，再结合a＞b＞c，a、b、c均为正整数的条件，列举出可能的值，再根据各班级的总成绩排除不符合题意的值．【解答】解：设本次“体育节”五个比赛项目的记分总和为m，则m＝5（a+b+c），∵四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，∴m＝21+6+9+4＝40．∴5（a+b+c）＝40，∴a+b+c＝8．∵a＞b＞c，a、b、c均为正整数，∴当c＝1时，b＝2，则a＝5；当c＝1时，b＝3，则a＝4，此时，第一名的班级五个比赛项目都是第一，总得分为20＜21分，不符合题意舍去；当c＝2时，b＝3，则a＝3，不满足a＞b，舍去；当c＝3时，b＝4，则a＝1，不满足a＞b，舍去．综上所得：a＝5，b＝2，c＝1．故答案为：a+b+c＝8，a＝5．【点评】本题考查有理数的运算，从整体上考虑这次“体育节”设定的记分总和＝四个班总成绩的和，是解决本题的关键．三.解答题（17、22、25每题5分，18、19、23、24每题6分，20、21每题4分，26、27、28每题7分，共68分）17．（5分）计算：．【分析】首先计算二次根式乘法、化简二次根式和去绝对值，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：＝++﹣2+＝3+3+﹣2+4＝6+5﹣2．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．18．（6分）用适当的方法解方程：（1）x2＝7x；（2）x2+4x﹣5＝0．【分析】（1）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一步求解即可；（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．【解答】解：（1）∵x2＝7x，∴x2﹣7x＝0，∴x（x﹣7）＝0，则x＝0或x﹣7＝0，解得x1＝0，x2＝7；（2）∵x2+4x﹣5＝0，∴（x+5）（x﹣1）＝0，则x+5＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣5，x2＝1．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．19．（6分）已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：不论m取何值，方程都有实数根；（2）若方程有两个整数根，求整数m的值．【分析】（1）分类讨论m＝0和m≠0两种情况下方程根的个数；（2）把mx2+（3m+1）x+3＝0因式分解得到x1＝﹣，x2＝﹣3，根据题意可知﹣是整数，据此求出正整数m的值．【解答】（1）证明：当m＝0时，原方程可化为x+3＝0，方程有实根x＝﹣3；当m≠0时，mx2+（3m+1）x+3＝0是关于x的一元二次方程．∵Δ＝（3m+1）2﹣4m×3＝9m2+6m+1﹣12m＝（3m﹣1）2≥0，∴此方程总有两个实数根．综上所述，不论m取何值，方程都有实数根．（2）解：∵（mx+1）（x+3）＝0，∴x1＝﹣，x2＝﹣3．∵方程有两个整数根且m是整数，∴m＝﹣1或m＝1．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0时，方程没有实数根．20．（4分）下面是小明设计的“作菱形ABCD”的尺规作图过程．求作：菱形ABCD．作法：①作线段AC；②作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；③在直线l上取点B，以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线l于点D（点B与点D不重合）；④连接AB、BC、CD、DA．所以四边形ABCD为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹，用2B铅笔作图！）（2）完成下面的证明．证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．对角线互相平分的四边形为平行四边形（填推理的依据）．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形对角线互相垂直的平行四边形为菱形（填推理的依据）．【分析】（1）根据作图过程补全图形即可．（2）根据平行四边形和菱形的判定定理可得出答案．【解答】（1）解：补全图形如图．（2）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．（对角线互相平分的四边形为平行四边形）∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形．（对角线互相垂直的平行四边形为菱形）故答案为：平行四边形；对角线互相平分的四边形为平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形为菱形．【点评】本题考查尺规作图、平行四边形和菱形的判定，熟练掌握平行四边形和菱形的判定定理是解答本题的关键．21．（4分）直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上一点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C坐标．【分析】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式；（2）设点C的横坐标为x，根据三角形面积公式以及S△BOC＝2求出C的横坐标，再代入直线即可求出纵坐标的值，从而得到其坐标．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2．（2）设点C的横坐标为x，∵S△BOC＝2，∴•2•|x|＝2，解得x＝±2，∵直线AB上一点C在第一象限，∴x＝2，∴y＝2×2﹣2＝2，∴点C的坐标是（2，2）．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式．22．（5分）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且AB＝（400+400）千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据≈1.41，≈1.73，≈2.24）【分析】（1）利用等腰直角三角形和含30度的直角三角形的性质得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠CAD＝45°，∴∠ACD＝45°，∴AD＝CD，∵∠DBC＝30°，∴BD＝CD，∵AB＝（400+400）千米，∴AB＝AD+BD＝CD+CD＝400+400，∴CD＝400千米，∵以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（2）当EC＝600km，FC＝600km时，正好影响C港口，∵ED＝＝200（km），∴EF＝400km，∵台风的速度为20千米/小时，∴400÷20≈45（小时）．答：台风影响该海港持续的时间大约为45小时．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．23．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥AC，且，连接EC、ED．（1）求证：四边形BECO是矩形；（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的长．【分析】（1）由菱形的性质得∠BOC＝90°，OC＝AC，推出BE＝OC，即可得出四边形BECO是平行四边形，又由∠BOC＝90°，即可得出结论；（2）由菱形的性质得AC⊥BD，OB＝BD，OC＝AC＝1，AB＝BC，易证△ABC是等边三角形，得出BC＝AC＝2，由勾股定理求出OB＝，则BD＝2，由矩形的性质得出BE＝OC＝1，∠DBE＝90°，再由勾股定理即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BOC＝90°，OC＝OA＝AC，∵BE＝AC，∴BE＝OC，∵BE∥AC，∴四边形BECO是平行四边形，∵∠BOC＝90°，∴四边形BECO是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD，OC＝AC＝1，AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝2，在Rt△BOC中，由勾股定理得：OB＝＝＝，∴BD＝2OB＝2，由（1）得：四边形BECO是矩形，∴BE＝OC＝1，∠DBE＝90°，在Rt△DBE中，由勾股定理得：DE＝＝＝．【点评】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．24．（6分）某市各中小学为落实教育部政策，全面开展课后延时服务．市教育局为了解该市中学延时服务情况，随机抽查甲、乙两所中学各100名家长进行问卷调查．家长对延时服务的综合评分记为x，将所得数据分为5组（“很满意”：90≤x≤100；“满意”：80≤x＜90；“比较满意”：70≤x＜80；“不太满意”：60≤x＜70；“不满意”：0≤x＜60），市教育局对数据进行了分析．部分信息如下：c．甲、乙两所中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如表：学校平均数中位数众数甲85n83乙817980d．甲中学“满意组”的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是：83，83，83，83，82，81，81，81，80，80．请你根据以上信息，回答下列问题：（1）直接写出m和n的值；（2）根据以上数据，你认为哪所中学的延时服务开展得更好？并说明理由（一条即可）；（3）市教育局指出：延时服务综合得分在70分及以上才算合格，请你估计乙中学1000名家长中认为该校延时服务合格的人数．【分析】（1）根据扇形统计图的意义，各组频率之和为1即可求出m的值，利用中位数的意义可求出甲中学得分的中位数，即n的值；（2）根据平均数、中位数的大小进行判断即可；（3）求出乙中学延时服务合格所占的百分比即可．【解答】解：（1）乙中学“比较满意”所占的百分比为1﹣40%﹣7%﹣18%﹣10%＝25%，即m＝25，∵甲中学“满意组”的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是：83，83，83，83，82，81，81，81，80，80．∴将甲中学的满意度得分从高到低排列后，处在中间位置的两个数的平均数为＝81.5，因此中位数是81.5，即n＝81.5，答：m＝25，n＝81.5；（2）甲中学的延时服务开展得更好，理由如下：因为甲中学延时服务得分的平均数、中位数均比乙中学的高，所以甲中学的延时服务开展得更好；（3）1000×（1﹣7%﹣18%）＝750（人）．答：估计乙中学1000名家长中认为该校延时服务合格的人数为750人．【点评】本题考查扇形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均数的意义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是解决问题的前提．25．（5分）阅读下面的材料，回答问题：（1）将关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0变形为x2＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知x2﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出x4﹣3x+2020的值是2022．（2）解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常。
北京市四中2024-2025年初三10月月考数学试卷
数学练习班级 __________ 姓名 ___________ 学号 ___________一、选择题（共16分，每小题2分） 1．一元二次方程x 2+2x ＝0的解为（ ）．A ．x ＝ 2B ．x ＝2C ．x 1＝0，x 2＝ 2D ．x 1＝0，x 2＝2 2．抛物线2(1)2y x ＝的顶点坐标是（ ）．A ．( 1，2)B ．(1， 2)C ．(1，2)D ．( 1， 2) 3．若关于x 的方程x 2+6x +c ＝0有两个相等的实数根，则c 的值是（ ）．A ．36B ．9C ． 9D ． 36 4．设A 123(2,),(1,),(2,)y B y C y 是抛物线2(1)y x 上的三点，则123,,y y y 的大小 关系为（ ）．A ．123y y yB ．132y y yC ．321y y yD ．213y y y 5．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，则当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）．A ．x ＜3B ．x ＞ 1C ． 1＜x ＜3D ．x ＜ 1 或 x ＞3（第5题图） （第7题图）6．已知AB ＝10cm ，以AB 为直径作圆，那么在此圆上到AB 的距离等于5cm 的点共有（ ）．A ．无数个B ．1个C ．2个D ．4个 7．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x ＝1，下列结论正确的是（ ）．A ．a ＞0B ．b ＝2aC ．b 2＜4acD ．8a +c ＜08．若二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，且x 1＜x 2，图象上有一点M (x 0，y 0)在x 轴下方，则下列判断正确的是（ ）．A ．a ＞0B ．(x 0 x 1)(x 0 x 2)＜0C ．x 1＜x 0＜x 2D ．a (x 0 x 1)(x 0 x 2)＜0 二、填空题（共16分，每小题2分）9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线245y x x 与y 轴交于点C ，则点C 的坐标为 ．10．如图，已知⊙O 的半径OA ＝5，弦AB 的弦心距OC ＝3，那么AB ＝ ．（第10题图） （第13题图）11．若m 是关于x 的方程x 2 2x 1＝0的解，则代数式6m 3m 2+2的值是 ． 12．若抛物线y ＝x 2 2x +m 与x 轴的一个交点是( 2，0)，则另一个交点的坐标是 ．13．如图，一次函数y 1＝kx +n (k ≠0)与二次函数y 2＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象相交于A ( 1，4)，B (6，2)两点，则关于x 的不等式kx +n ＞ax 2+bx +c 的解集为 ． 14．平面上一点P 到⊙O 上一点的距离最长为6cm ，最短为2cm ，则⊙O 的半径为 ．15．二次函数y ＝ax 2+bx 的图象如图所示，若关于x 的一元二次方程 ax 2+bx m ＝0有实数根，则m 的取值范围是 ．（第15题图） （第16题图）16．如图，一条抛物线与x 轴相交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动．若点A 、B 的坐标分别为( 2，3)、(1，3)，点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为 ．三、解答题（共68分，第17题10分，第18、22题5分，第19、20、21、23、24、25题7分，第26题6分） 17．用适当的方法解方程（1）x 2 2x 8＝0； （2）2x (x 3) 5(3 x )＝0．18．如图，已知：在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，E 为垂足，AE ＝4，CE ＝6，求⊙O的半径．19．已知二次函数y ＝ x 2 2x +2．（1）填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）结合函数图象，直接写出方程 x 2 2x +2＝0的近似解（精确到0.1）．20．已知关于x 的方程kx 2+(2k +1)x +2＝0．（1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y ＝kx 2+(2k +1)x +2（k 为正整数）图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，求此抛物线的解析式；（3）已知抛物线y ＝kx 2+(2k +1)x +2恒过定点，求出定点坐标．A21．已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为( 3，0)，与y轴交于点C，点D( 2， 3)在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出P A+PD的最小值；（3）若抛物线上有一动点Q，使三角形ABQ的面积为24，求Q点坐标．22．掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度y（单位：)m与水平距离x（单位：)m近似满足函数关系2．某位同学进行了两次投掷．y a x h k a()(0)（1）第一次投掷时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式：2y a x h k a；()(0)（2）第二次投掷时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系2．记实心球第一次着地点到原点的距离为0.09( 3.8) 2.97y xd，第二次着1地点到原点的距离为d，则1d2d（填“ ”“ ”或“ ” )．223．阅读以下材料：利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题， 如a 2+2a 4＝a 2+2a +12 12 4＝(a +1)2 5. ∵(a +1)2≥0，∴a 2+2a 4＝(a +1)2 5≥ 5， 因此，代数式a 2+2a 4有最小值 5． 根据以上材料，解决下列问题：（1）代数式a 2 2a +2的最小值为 ；（2）试比较a 2+b 2+11与6a 2b 的大小关系，并说明理由； （3）已知：a b ＝2，ab +c 2 4c +5＝0，求代数式a +b +c 的值．24. 在平面直角坐标系xOy 中，()()p q A p y B q y ，，，和2()3t C t y ，是抛物线223y x tx 上三个不同的点.（1）当1p q t y y ，时，求抛物线对称轴，以及p ，q 之间的等量关系； （2）当1p 时，若对于任意的32t q t ，都有p q t y y y ，求t 的取值范围.25. 如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，BE ＝CF ，AE ，BF 交于点G ．（1）在线段AG 上截取MG ＝BG ，连接DM ，∠AGF 的角平分线交DM 于点N ．①依题意补全图形；②用等式表示线段MN 与ND 的数量关系，并证明；（2）在（1）条件下，若正方形ABCD 边长为1，求线段DN 的最小值.26. 【阅读材料】（1）抛物线上的任意一点都具有如下性质：抛物线C 上任意一点A 到抛物线对称轴上一点F 的距离和到垂直于抛物线对称轴的一条直线l 的距离相等.例如：已知抛物线y =x 2，点F (0，14)，直线l :14y ，抛物线上一点Q (a ，a 2).作QP l 于点P , 连结QF .则QP =a 2+14, 214QF a QP .点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.（2）抛物线上两点连成的线段叫做抛物线的弦，过焦点的弦叫做焦点弦.与抛物线对称轴垂直的焦点弦叫做通径. 【解决问题】请你仿照（1）中的方法，解决以下问题： ①已知抛物线213y x ，焦点3(0)4，，请计算出准线的解析式； ②已知抛物线218y x，准线2y ，请计算出焦点坐标； ③综合以上几问的结果，请直接写出抛物线212y x p的焦点坐标与准线解析式（用含p 的式子表示）.。