数学建模飞机运输问题
数学建模之运输问题
数学建模之运输问题1. 引言运输问题是指在给定产地到销售地之间有若干个供应点和需求点的情况下，如何安排运输使得总运输成本最低。
这是一个经济管理中的经典问题，也是数学建模中常见的一个研究方向。
2. 问题描述假设有n个供应点和m个需求点，其中每个供应点的供应量和每个需求点的需求量已知，并且每个供应点到每个需求点的运输成本也已知。
我们的目标是确定供应点到需求点的运输量，使得总运输成本最小。
3. 模型建立为了建立数学模型，我们可以引入一个矩阵来表示供应点和需求点之间的运输成本。
设C为一个n行m列的矩阵，其中Cij表示供应点i到需求点j的运输成本。
我们需要引入决策变量X，其中Xij表示从供应点i到需求点j的运输量。
那么，目标函数可以定义为最小化总运输成本，即$$\min \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} C_{ij} X_{ij}$$同时，我们需要保证供应点和需求点的供需平衡，即满足每个供应点的供应量和每个需求点的需求量。
这可以表示为以下约束条件：1. 对于每个供应点i，有 $\sum_{j=1}^{m} X_{ij} = s_i$，其中$s_i$ 表示供应点i的供应量。
2. 对于每个需求点j，有 $\sum_{i=1}^{n} X_{ij} = d_j$，其中$d_j$ 表示需求点j的需求量。
进一步地，我们需要确保运输量的非负性，即$X_{ij} \geq 0$。
4. 求解方法对于较小规模的问题，我们可以使用线性规划方法求解运输问题。
线性规划是一种数学优化方法，可以在满足一定约束条件的前提下，使得目标函数达到最小值。
对于大规模的问题，我们可以使用近似算法或启发式算法进行求解。
这些算法可以快速找到较好的解，但不能保证找到最优解。
常用的算法包括模拟退火算法、遗传算法等。
5. 应用领域运输问题在许多实际应用中都有广泛的应用。
例如，在物流管理中，优化运输方案可以减少运输成本、提高运输效率；在生产计划中，合理安排运输可以确保供应链的稳定性和高效性。
数学建模_大作业1
数学建模大作业姓名1：赵成宏学号：201003728姓名2：吴怡功学号：201003738姓名3：蒲宁宁学号：201004133专业：车辆工程2013年5 月28 日直升机运输公司问题一家运输公司正考虑用直升机从某城市的一摩天大楼运送人员。
你被聘为顾问，现在要确定需要多少架飞机。
按照建模过程仔细分析，建模。
为了简化问题，可以考虑升机运输公司问题。
基本假设如下：假设运载的直升机为统一型号; 假设每架飞机每次载人数相同；假设飞机运送的人员时互不影响；假定人员上了飞机就安全，因此最后一次运输时，只考虑上飞机所花时间。
1、按照数学建模的全过程对本题建立模型，并选用合理的数据进行计算（模型求解）; 2、本问题是否可以抽象为优化模型;除了考虑建立优化模型之外，是否可以采用更简单的方法建立模型。
注意考虑假设条件。
甚至基于不同的假设建立多个模型。
归纳起来，有以下假设：（H1）所有飞机的飞行高度度均为10 000m ，飞行速度均为800km/h 。
(H2)飞机飞行方向角调整幅度不超过6，调整可以立即实现；(H3)飞机不碰撞的标准是任意两架飞机之间的距离大于8km; (H4)刚到达边界的飞机与其他飞机的距离均大于60km; (H5)最多考虑N 架飞机;(H6)不必考虑飞机离开本区域以后的状况. 为方便以后的讨论，我们引进如下记号: D 为飞行管理区域的边长;S 为飞行管理区域取直角坐标系使其为[0,D ]×[0，D]; v 为飞机飞行速度，v=800km/h;（x 0i ，y i）第i 架飞机的初始位置;（)(),(t t y x ii ）为第i 架飞机在t 时刻的位置;θ0i为第i 架飞机的原飞行方向角，即飞行方向与x 轴夹角，0≤θ≤2π;θi ∆第i 架飞机的方向角调整，-6π≤i θ∆≤6π; i θ﹦i 0i θθ∆+为第i 架飞机调整后的飞行方向角;一、两架飞机不碰撞的条件1、两架飞机距离大于8km 的条件设第i 架和第j 架飞机的初始位置为（0i 0i y x ，），（0j 0j y x ，）,飞行方向角分别为错误！未找到引用源。
数学建模 飞机运输问题
设4个月飞行员中教练为u1, u2, u3, u4人，新 飞行员数量分别为w1, w2, w3, w4人。其它 符号不变。飞行员的数量限制约束为 第1个月：300+u1+v1=330 第2个月：450+u2+v2= u1+v1+w1， w1<=20u1 第3个月：450+u3+v3= u2+v2+240+w2， w2<=20u2 第4个月：600+u4+v4= u3+v3+360+w3， w3<=20u3
优化目标是:
Min
200x1+195x2+190x3+185x4+10u1+9.9 u2+9.8u3+9.7u4+7v1+6.9v2+6.8v3+6.7 v4
新购买的飞机数量：x1, x2, x3, x4 飞行员中教练和新飞行员数量：u1, u2, u3, u4 闲置的的熟练飞行员数量：v1, v2, v3, v4
约束条件
1）飞机数量限制：4个月中执行飞行任务的飞 机分别为100, 150, 150, 200架，但只有80, 120, 120, 160架能够返回供下个月使用。 第1个月：100+ y1=110 第2个月：150+ y2=80+ y1+ x1 第3个月：150+ y3=120+ y2+ x2 第4个月：200+ y4=120+ y3+ x3 闲置的飞机数量：y1, y2, y3, y4 新购买的飞机数量：x1, x2, x3, x4
用LINDO求解得到： VARIABLE VALUE X1 60.000000 X2 30.000000 X3 80.000000 X4 0.000000 U1 460.000000 U2 220.000000 U3 240.000000 U4 0.000000 V1 7.000000 V2 6.000000 V3 4.000000 V4 4.000000 Y1 10.000000 Y2 0.000000 Y3 0.000000 Y4 0.000000
数学建模-(货机装运Lingo)
约束条件
在货机装运问题中，通常需要考虑 多个约束条件，如货机的载重限制、 货物的体积限制、货物的装卸顺序 等。
优化目标
优化目标可以是最大化货机的装载 量、最小化装载成本、最大化利润 等。
数据分析与预处理
数据收集
数据清洗
收集与货机装运问题相关的数据，包括货 物的重量、体积、价值等信息，以及货机 的载重、容积等限制条件。
数据输入输出
介绍如何使用Lingo进行数据输入和 结果输出，包括数据文件的读写、图 形化界面的使用等。
Lingo在货机装运问题中的应用
问题描述
阐述货机装运问题的背景和实际意义，明确问题的目标和约束条件。
建模过程
详细讲解如何使用Lingo对货机装运问题进行数学建模，包括定义变 量、建立目标函数和约束条件等步骤。
货机装运是物流领域的重要问题，涉 及到如何有效利用货机容量，将不同 规格、重量的货物进行合理搭配，以 达到最优的装载方案。
提高运输效率
通过数学建模对货机装运问题进行优 化，可以提高货物的运输效率，减少 运输成本，为企业带来经济效益。
建模的重要性和应用
重要性
数学建模是一种将实际问题抽象化、形式化的方法，通过建立数学模型，可以对问题进行深入分析，找出问题的 本质和规律，为解决问题提供科学依据。
应用
数学建模在物流、交通、金融、工程等领域有着广泛的应用。在货机装运问题中，数学建模可以帮助企业制定最 优的装载方案，提高运输效率，降低成本。同时，数学建模也可以应用于其他类似的问题，如车辆路径问题、背 包问题等。
02 问题描述与数据分析
02 问题描述与数据分析
货机装运问题描述
货机装运问题
货机装运问题是一个经典的优化 问题，涉及到如何有效地将货物 装入货机以最大化利润或最小化
数学建模,线性规划,运输为问题
X31 30.00000 0.000000
X32 20.00000 0.000000
X33 0.000000 3.000000
X34 0.000000 11.00000
X35 0.000000 23.00000
X36 0.000000 8.000000
X41 0.000000 7.000000
Objective value: 1620.000
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 9
Variable Value Reduced Cost
X11 0.000000 14.00000
X12 0.000000 6.000000
X13 0.000000 4.000000
X55 0.000000 8.000000
X56 0.000000 32.00000
X64 30.00000 0.000000
X65 0.000000 3.000000
X66 0.000000 7.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 1620.000 -1.000000
X42 0.000000 0.000000
X43 40.00000 0.000000
X44 0.000000 26.00000
X45 0.000000 16.00000
X46 0.000000 13.00000
X52 30.00000 0.000000
X53 0.000000 0.000000
X54 0.000000 21.00000
供应限制：x11+x12+x13+x14+x15+x16=20
第9章 航空运输问题
第九章
Matlab数学建模案例分析
Variable
Value X1 X2 X3
的利润的变化。
第九章
Matlab数学建模案例分析
在问题三中，针对改造飞机是否将带来公司的利润增加的问 题。在此，只需在满足公司的每天货运能力即约束条件，将改
造飞机后公司的收益和改造前公司的收益进行对比，如果收益
增加便值得改造。得到要改造1.25架飞机使的收益最大；最终 计算可得改造一架旧飞机、改造二架旧飞机、改造三架旧飞机 、改造四架旧飞机均使公司利润提升；而改造五架旧飞机时平 每天均收益为24200美元，和不改造飞机的24218.75美元收益作 对比，可以得到改造五架飞机公司将在原来基础上亏损。故在 假设基础上，可以改装四架旧飞机，公司将盈利。但实际中很
第九章 9.5.2 模型的建立与求解
Matlab数学建模案例分析
max Q1 250x1 250x 2 250x3 s.t x1 x 2 x3 100 550x1 800x 2 400x3 50000 0 x1 30 0 x 2 40 0 x3 50
这是一个实际问题，主要针对一个航空运输公司的营业模型的分析及优化 处理，在此运用数学建模的相关理论知识可求解得到优化的市场营业模型， 以此制定最优化营业方式。 此题中，成本是未知量，我们可以不考虑成本的影响，只求出营业额的最 大值即可，由于净利润=营业额-成本，故净利润也相应的较高，也就是营业 方式的最优化。 对于问题一，主要针对求该运输公司的最大利润，我们只需将三种货物在 运输公司要求的体积和质量等的多重约束下，按照某个比例搭配得到最优化 解，得到利润的最大值，利用线性规划模型便易得到一个数学模型，并利用 LINDO 软件求解此模型。在此模型中，求得当运输货物一为 30 吨，货物二 16.875吨，货物三50吨时取得最大收益24218.75美元。
数学建模
货机装运模型问题重述：一架货机有三个货舱：前舱、中舱和后舱。
三个货舱所能装载的货物的最大重量和体积有限制如下表所示。
并且为了飞机的平衡，三个货舱共装载的货物重量必须与其最大的容许量成比例。
应如何安排装运，使得货机本次飞行获利最大？模型假设：（1）每种货物可以无限细分；（2）每种货物可以分布在一个或者多个货舱内；（3）不同的货物可以放在同一个货舱内，并且可以保证不留空隙。
模型建立：决策变量：每种货物放在每个货舱内的重量。
用xij表示第i种货物放在第j 个货舱内的重量，i =1,2,3,4 分别表示货物1，货物2，货物3 和货物4。
j =1,2,3 分别表示前舱、中舱和后舱。
决策目标：总利润的最大化，目标函数为3100( x11 + x12+ x13) +3800( x21+ x22+ x23) +3500( x31+ x32+ x33) + 2850( x41+ x42+ x43)⎪ 约束条件：（1） 供装载的四种货物的总重量约束，⎧ x 11 + x 12 + x 13 ≤ 18 ⎪x 21 + x 22 + x 23 ≤ 15 ⎨⎪x 31 + x 32 + x 33 ≤ 23 x 41 + x 42 + x 43 ≤ 12（2） 三个货舱的空间限制⎪⎪⎧480x 11 + 650x 21 + 580x 31 + 390x 41 ≤ 6800 ⎪⎨480x 12 + 650x 22 + 580x 32 + 390x 42 ≤ 8700 ⎩480x 13 + 650x 23 + 580x 33 + 390x 43 ≤ 5300（3） 三个货舱的重量限制⎧x 11 + x 21 + x 31 + x 41 ≤ 10 ⎪⎨x 12 + x 22 + x 32 + x 42 ≤ 16 ⎩x 13 + x 23 + x 33 + x 43 ≤ 8（4） 三个货舱装入重量的平衡约束x 11 + x 21 + x 31 + x 41= x 12 + x 22 + x 32 + x 42 = x 13 + x 23 + x 33 + x 4310 16 8模型求解：使用计算软件求解（在 M ATLAB 中，可以使用 l inprog 命令求解） 求解结果为：( x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ) = (0,0,0;10,0,5;0,12.947,3, ;0,3.053,0)MATLAB 实现线性规划的运算为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为minc Txsuch thatAx ≤ b Aeq ⋅ x = beqlb ≤ x ≤ ub其中 c 和 x 为 n 维列向量， A 、 A eq 为适当维数的矩阵， b 、 b eq 为适当维数的列向量。
中学数学建模经典例题
中学数学建模经典例题中学数学建模经典例题包括：1.最大利润问题：某公司生产一种产品，每件成本为3元，售价为10元，年销售量为10万件。
为了扩大销售量，公司计划通过广告宣传来增加销售量。
经调查发现，广告费用与年销售量之间的关系可以近似地用函数y=−0.2x+10来表示，其中x为广告费用（单位：万元）。
问：广告费用为多少时，公司可获得最大年利润？2.最小费用问题：某公司需要将货物从甲地运往乙地，由于路途遥远，需要采用飞机、火车、汽车三种运输方式来完成。
运输方式的费用分别为x万元、y万元、z万元。
三种运输方式的单程运输能力分别为10万吨、15万吨、5万吨，而货物的总重量为35万吨。
为确保运输过程顺利进行，单程运输能力不能超过总重量。
请为该公司设计一个总费用最少的运输方案，并求出最少的总费用。
3.最小路径问题：某城市有若干个居民小区，每个小区有一定数量的居民。
为了方便居民出行，市政府计划修建地铁连接这些小区。
已知任意两个小区之间的距离可以近似地用欧几里得距离来表示，而修建地铁的费用与小区之间的距离成正比。
问：市政府应该如何规划地铁线路，使得总费用最低？4.人口预测问题：某城市的人口数量在过去几年里呈现出指数增长的趋势。
已知该城市的人口数量在过去的几年中每年以10%的速度增长，并且目前该城市的人口数量为50万。
我们要预测未来5年该城市的人口数量。
5.资源分配问题：某公司拥有一定的资源，需要将其分配给若干个项目以获得最大的收益。
每个项目的收益与分配到的资源数量成正比，而不同项目之间的收益增加率是不同的。
问：公司应该如何分配资源，使得总收益最大？这些例题涵盖了中学数学建模的多个方面，包括函数模型、最优化问题、线性规划等。
通过这些例题的解答，可以帮助学生提高数学建模的能力和解题技巧。
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多变量有约束最优化问题
摘要
本文以一家运输航空公司的一架飞机运载能力100吨和运载货物的容量50000立方英尺有限的情况下，有三种货物（即x1、x2、x3）需要运输，公司规定每吨货物收取一定的费用，而要运输的每种货物的吨数都有规定的上限（最多不超过30吨、40吨、50吨），并且公司规定由于飞机需要保养与维护，飞机须停飞115天，因此每年只有250天的工作时间。
在此情况下每天怎样安排运输三种货物使公司每年获得最大利润w。
对于此问题只用线性规划的一般方法建立相应的数学模型，在用数学软件求出在给定限行区域内的最优解（w、x1、x2、x3），在对这些最优解进行分析与讨论，确定其为有效最优解。
并以此作为公司对三种货物运输安排方式。
对于问题一，求使得运输航空公司获得最大利润w的x1、x2、x3三种货物的吨数，建立相应的数学模型。
再根据运输能力最多100吨和运载货物容积的最大50000立方英尺，还有每天公司规定的每种货物的运输上限即x1种货物最多运输30吨，x2种货物最多运输40吨，x3种货物最多50吨，建立约束条件。
并用数学软件mathematica进行求解，即为所求的最优解（也就是w=21875，x1=30，x2=7.5，x3=50）。
对于问题二中，要求计算每个约束的影子价格。
我们将利用问题一中建立的目标函数和约束条件，将其编写成源程序输入到Lindo软件中进行求解。
再将得到的界进行讨论与和模型的稳健性分析并且通过其在题意的理解，解释其含义。
问题三中，对于公司将耗资改装飞机以扩大运货区来增加运输能力，且旧飞机使用寿命为5年，每架飞机的改造要花费200000美元，可以增加2000立方英尺的容积。
重量限制仍保持不变。
假设飞机每年飞行250天，这些旧飞机剩余的使用寿命约为5年。
根据此问题我们将建立数学规划模型，利用Lindo软件计算其影子价格和利润并且与前面进行比较，进行分析。
关键词：线性规划、mathematica软件的应用、Lindo的软件应用。
一、提出问题
一个运输公司每天有100吨的航空运输能力。
公司每吨收空运费250美元。
除了重量的限制外，由于飞机货场容积有限，公司每天只能运50000立方英尺的货物。
每天要运送的货物数量如下：
（1）求使得利润最大的每天航空运输的各种货物的吨数。
（2）计算每个约束的影子价格，解释它们的含义。
（3）公司有能力对它的一些旧的飞机进行改装来增大货运区域的空间。
每架飞机的改造要花费200000美元，可以增加2000立方
英尺的容积。
重量限制仍保持不变。
假设飞机每年飞行250天，这些旧飞机剩余的使用寿命约为5年。
在这种情况下，是否值
得改装？有多少架飞机时才值得改装？
二、提出假设
假设1：飞机每天最多只能运输50000立方英尺的货物。
假设2：飞机每天最多只能运:100吨货物。
假设3：货物1每天都有30吨要运。
假设4：货物2每天都有40吨要运。
假设5：货物3每天都有50吨要运。
四、符号说明
五、模型的建立与求解
第一部分
5.1问题一的模型的建立。
5．1.1问题一的分析。
结合题意，计算航空公司获得的利润，必须将运输航空公司里的飞机的燃料费用及修理维护费用忽略不计，还有每吨货物的运费始终保持不变。
在这种情况下，3种货物总运输吨数不超过100吨，容积不超过50000立方英尺，且3种货物有各自运输上限，建立目标函数和约束条件。
5.1.2问题一模型的建立。
通过对原问题的分析，我们可以建立如下的数学线性规划模型：Max W=250x1+250x2+250x3
550x1+1800x2+400x3<=50000
x1+x2+x3<=100
x1<=30
x2<=40
x3<=50
5.1.3模型的求解
将编写的程序输入到mathematica软件中得到结果
5.1.4结果的分析
由结果可以得到当运输航空公司每天运输x1货物30吨、x2货物7.5吨、
x3货物50，每年得到的利润最大w=21875美元。
即当x1为30吨、x2为8吨、x3为50吨的时候，货物体积超出了飞机的运载体积50000立方英尺。
所以公司应按照以上的x1为30吨，x2为7.5吨，x3为50吨的运输安排运输货物。
第二部分
5.2问题二的模型的建立
5.2.1问题二的分析与建立
Max W=250x1+250x2+250x3
550x1+1800x2+400x3<=50000
x1+x2+x3<=100
x1<=30
x2<=40
x3<=50求解见附录二。
5.2.2 模型的求解
将应用程序输入到Lindo软件中，得到的部分结果为：
最优解下资源增加1“单位”时“效益”的增量：
飞机运载空间每增加1立方英尺时，利润增加0.138889美元，飞机运载能力的增加对利润不影响，
X1种货物每增运1吨时，利润增加173.611115美元，
X2种货物的增运对利润不影响，
X3种货物每增运1吨时，利润增加194.444443美元。
5.2.3结果的分析
部分输出结果（灵敏度分析）（输入程序见附录2）
最优解不变时目标函数系数允许的变化范围（约束条件不变）：x1的系数变化范围（173.61,250）
x2的系数变化范围（0,818.2）
x3的系数变化范围（55.6,250）
飞机的运输货物体积最多增加222500立方英尺，
x1货物最多每增运18吨
x3货物最多每增运16吨
第三部分
5.3问题三的模型建立与分析
5.3.1问题的分析
由2问知道每增加1立方英尺，利润就增加0.138889；当增加2000立方英尺时每天增加利润20000.138889*=277.778美元；每架飞机增加的利润277.782505**=347225美元
因为一架飞机改装后所能获得的利润大于改装费，且能赚147225美元；所以有一架飞机就可以改装了。
5.3.2模型的建立
通过对问题的分析，我们建的数学模型为：
max 250125022503
55018002400352000123100130240350
w x x x x x x x x x x x x =++++≤++≤≤≤≤
5.3.3模型的求解
输出部分结果为(输入的程序见附录3)：
所以由于对结果的检验航空运输公司应该值得改装，应该改装1架飞
机。
六、模型的评价与推广
6.1模型评价
在运输货物领域中，人们常会遇到这样的问题，例如：如何从一切可能的方案中选择最好的、最优的方案。
在我们数学上把这类问题称为最优化问题，如何解决这类问题，在当今商品经济的环境下，是关系到企业生存以及国计民生的问题。
在解决上述如何空运货物能使公司利润最高的问题上，我们采用的是线性规划的方法。
线性规划的理论和方法都比较成熟，并且是一个有广泛应用价值的统筹学分支，如果一个问题的限制条件可以写出某些决策变量的线性方程组或线性不等式组，那我们就可以应用lingo软件将该线性规划方程解出来得到最优解。
应用数学知识中的线性规划在解决这类最优化问题上既简单又精确，在最优解的求解过程中是个很好的选择。
对于我们提出的5个假设，我们都做了灵敏性分析，数据的改变对于最优的结果没有太大的影响。
但是我们的模型还是存在一些缺点，比如我们认定运输每种货物的难易程度是一样的，不会增加其成本。
6.2模型推广
以上建立的模型，在解决最优化问题上方便简单快捷，不仅适用于货物的运输问题上，也适用于钢管的下料问题，接力队的选拔问题，奶产品的生产与销售等一系列问题等。
编程运用LINDO软件，节约计算时间。
七、参考文献
八、附录
附录1：求解问题一的Mathematica 程序 附录2：求解问题二的LINDO 程序
max 250125022503..
123100
55018002400350000130
240
350w x x x S t x x x x x x x x x =++++<=++<=<=<=<=
附录3：求解问题三的LINDO程序解法一：
Max 250x1+250x2+250x3
st
550x1+1800x2+400x3<=52000
x1+x2+x3<=100
x1<=30 x2<=40 x3<=50 end。