由三视图还原几何体
2023年高考数学一轮复习点点练26空间几何体的三视图与直观图表面积与体积含解析理
第八单元立体几何考情分析多以两小一大的形式出现，每年必考，分值为17～22分．重点考查几何体的三视图问题、几何体的表面积与体积、空间线面位置关系，用向量法计算空间角，其中与球有关的接(切)问题是考查的难点．对于空间向量的应用，空间直角坐标系的建立是否合理是解决有关问题的关键，有时所给空间图形不规则——没有三条互相垂直的直线，不利于空间直角坐标系的建立，另外，探索性问题中动点坐标的设法及有关计算是难点．点点练26空间几何体的三视图与直观图、表面积与体积一基础小题练透篇1．[2022·山东济宁检测]已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A．3B．22C．32D．342．[2021·江西吉安联考]某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体中，最长的棱的长度为( )A．3B．32C．33D．63．[2022·四川成都七中高三期中]已知一个几何体的三视图如图，则它的表面积为( )A ．3πB ．4πC．5πD．6π4．[2021·衡水模拟]已知正三棱锥S ABC 的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为2，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A ．πB．3πC．6πD．9π5．[2022·云南大理模拟预测]一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A ．43πB．2πC．πD．83π 6．[2021·江苏海安高级月考]三棱锥A BCD 中，∠ABC ＝∠CBD ＝∠DBA ＝60°，BC ＝BD ＝1，△ACD 的面积为114，则此三棱锥外接球的表面积为( ) A ．4πB．16πC．163πD．323π7．[2022·四川省南充市白塔模拟]如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球C 的表面上，则球C 的表面积是( )A ．8πB．12πC．16πD．32π 8.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________．9．[2022·湘豫名校联考]在四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝5，AD ＝BC ＝13，AC ＝BD ＝10，则此四面体的体积为________．二能力小题提升篇1.[2022·深圳市高三调研]已知圆柱的底面半径为2，侧面展开图为面积为8π的矩形，则该圆柱的体积为( )A ．8πB．4πC．83πD．2π2.[2022·浙江省高三测试]如图是用斜二测画法画出的∠AOB 的直观图∠A ′O ′B ′，则∠AOB 是( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．无法判断3．[2022·河南省洛阳市高三调研]大约于东汉初年成书的我国古代数学名著《九章算术》中，“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”实际是知道了球的体积V ，利用球的体积，求其直径d 的一个近似值的公式：d ＝3169V ，而我们知道，若球的半径为r ，则球的体积V ＝43πr 3，则在上述公式d ＝3169V 中，相当于π的取值为( )A.3B ．227C ．278D ．1694.[2021·云南省曲靖市高三二模]如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P 处，则小虫爬行的最短路程为( )A ．123B ．16C ．24D ．24 35．[2022·江西省兴国县高三月考]已知三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，且三棱锥P ABC 外接球的表面积为36π.则PA ＝________．6．[2022·广东七校第二次联考]在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝2a ，若在这个四棱锥内放一个球，则该球半径的最大值为________．三高考小题重现篇1.[2021·山东卷]已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A ．2B.2 2 C ．4D.4 22．[2021·全国甲卷]在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G .该正方体截去三棱锥A EFG 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是( )3．[2021·全国甲卷]已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________．4．[2021·全国甲卷]已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥OABC的体积为( )A．212B．312C．24D．345．[2020·山东卷]已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．6．[2019·全国卷Ⅱ]中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．四经典大题强化篇1.在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且点O 为AC的中点．(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求三棱锥C1ABC的体积．2．已知点P，A，B，C是半径为2的球面上的点，PA＝PB＝PC＝2，∠ABC＝90°，点B 在AC上的射影为D，求三棱锥P－ABD体积的最大值．点点练26 空间几何体的三视图与直观图、表面积与体积一 基础小题练透篇1．答案：A解析：由题图可知原△ABC 的高AO ＝3，BC ＝B ′C ′＝2，∴S △ABC ＝12·BC ·OA ＝12×2×3＝ 3.2．答案：C解析：由三视图还原几何体，可得该几何体可看作如图所示的棱长为3的正方体中，以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥，其最长的棱为BD ，且BD ＝32＋32＋32＝3 3.3．答案：B解析：由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同，底面圆的半径r ＝1，圆锥的母线长l ＝（3）2＋1＝2，记该几何体的表面积为S ，故S ＝12（2πr ）l ＋12×4πr 2＝4π.4．答案：C解析：正三棱锥的外接球即是棱长为2的正方体的外接球，所以外接球的直径2R ＝（2）2＋（2）2＋（2）2＝6，所以4R 2＝6，外接球的表面积4πR 2＝6π.5．答案：A解析：根据三视图可知几何体是由有公共的底面的圆锥和圆柱体的组合体，由三视图可知，圆锥的底面半径为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1，所以组合体的体积为13π×12×1＋π×12×1＝4π3.6．答案：A解析：∵BC ＝BD ＝1，∠CBD ＝60°，∴CD ＝1，又AB ＝AB ，∠ABC ＝∠DBA ＝60°，BC ＝BD ，∴△ABC ≌△ABD ，则AC ＝AD ，取CD 中点E ，连接AE ，又由△ACD 的面积为114，可得△ACD 的高AE ＝112，则可得AC ＝AD ＝3，在△ABC 中，由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos60°，∴3＝AB 2＋1－2×AB ×1×12，解得AB ＝2，则AC 2＋BC 2＝AB 2，可得∠ACB ＝90°，∴∠ADB＝90°，∴AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，根据球的性质可得AB 为三棱锥外接球的直径，则半径为1， 故外接球的表面积为4π×12＝4π.7．答案：A解析：由三视图可还原几何体为从长、宽均为2，高为2的长方体中截得的四棱锥S ABCD ，则四棱锥S ABCD 的外接球即为长方体的外接球， ∴球C 的半径R ＝122＋2＋4＝2，∴球C 的表面积S ＝4πR 2＝8π. 8．答案：2＋22解析：如图1，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E .在Rt△ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝22.又四边形AECD 为矩形，AD ＝EC ＝1，∴BC ＝BE ＋EC ＝22＋1，由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形A ′B ′C ′D ′.在梯形A ′B ′C ′D ′中，A ′D ′＝1，B ′C ′＝22＋1，A ′B ′＝2. ∴这块菜地的面积S ＝12（A ′D ′＋B ′C ′）·A ′B ′＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.9．答案：2解析：设四面体ABCD 所在的长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，a 2＋c 2＝13，b 2＋c 2＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以四面体ABCD 的体积V ＝abc －13×12abc ×4＝13abc ＝2.二 能力小题提升篇1．答案：A解析：设圆柱的高为h ，则2π×2×h ＝8π⇒h ＝2，所以圆柱的体积为π×22×2＝8π.2．答案：C解析：根据斜二测画法规则知，把直观图∠A ′O ′B ′还原为平面图，如图所示：所以∠AOB 是钝角． 3．答案：C解析：由d ＝3169V 得V ＝916·（2r ）3＝43·278r 3，比较V ＝43πr 3，相当于π的取值为278. 4．答案：A解析：如图，设圆锥侧面展开扇形的圆心角为θ，则由题可得2π×4＝12θ，则θ＝2π3，在Rt△POP ′中，OP ＝OP ′＝12，则小虫爬行的最短路程为PP ′＝122＋122－2×12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12 3.5．答案：27解析：由PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，∵三棱锥外接球的表面积为36π，设外接球的半径为R ，则4πR 2＝36π，解得R ＝3∴三棱锥外接球的半径为3，直径为6，∵AB ＝AC ＝2，∴22＋22＋PA 2＝62，∴PA ＝27.6．答案：（2－2）a解析：方法一 由题意知，球内切于四棱锥P ABCD 时半径最大．设该四棱锥的内切球的球心为O ，半径为r ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OP ，则V P －ABCD ＝V O －ABCD ＋V O －PAD ＋V O －PAB ＋V O －PBC ＋V O －PCD ，即13×2a ×2a ×2a ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 2＋2×12×2a ×2a ＋2×12×2a ×22a ×r ，解得r ＝（2－2）a .方法二 易知当球内切于四棱锥P －ABCD ，即与四棱锥P －ABCD 各个面均相切时，球的半径最大．作出相切时的侧视图如图所示，设四棱锥P －ABCD 内切球的半径为r ，则12×2a ×2a＝12×（2a ＋2a ＋22a ）×r ，解得r ＝（2－2）a . 三 高考小题重现篇1．答案：B解析：设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则πl ＝2π×2，解得l ＝2 2.2．答案：D解析：根据题目条件以及正视图可以得到该几何体的直观图，如图，结合选项可知该几何体的侧视图为D.3．答案：39π解析：设该圆锥的高为h ，则由已知条件可得13×π×62×h ＝30π，解得h ＝52，则圆锥的母线长为h 2＋62＝254＋36＝132，故该圆锥的侧面积为π×6×132＝39π. 4．答案：A解析：如图所示，因为AC ⊥BC ，且AC ＝BC ＝1，所以AB 为截面圆O 1的直径，且AB ＝ 2.连接OO 1，则OO 1⊥面ABC ，OO 1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22，所以三棱锥O ABC 的体积V ＝13S △ABC ×OO 1＝13×12×1×1×22＝212. 5．答案：2π2解析：如图，连接B 1D 1，易知△B 1C 1D 1为正三角形，所以B 1D 1＝C 1D 1＝2.分别取B 1C 1，BB 1，CC 1的中点M ，G ，H ，连接D 1M ，D 1G ，D 1H ，则易得D 1G ＝D 1H ＝22＋12＝5，D 1M ⊥B 1C 1，且D 1M ＝ 3.由题意知G ，H 分别是BB 1，CC 1与球面的交点．在侧面BCC 1B 1内任取一点P ，使MP ＝2，连接D 1P ，则D 1P ＝D 1M 2＋MP 2＝（3）2＋（2）2＝5，连接MG ，MH ，易得MG ＝MH ＝2，故可知以M 为圆心，2为半径的圆弧GH 为球面与侧面BCC 1B 1的交线．由∠B 1MG ＝∠C 1MH ＝45°知∠GMH ＝90°，所以GH 的长为14×2π×2＝2π2. 6．答案：26 2－1 解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x ，则22x ＋x ＋22x ＝1，解得x ＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1. 四 经典大题强化篇1．解析：（1）证明：因为AA 1＝A 1C ，且O 为AC 的中点，所以A 1O ⊥AC ，又平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，∴A 1O ⊥平面ABC .（2）∵A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴A 1C 1∥平面ABC ，即C 1到平面ABC 的距离等于A 1到平面ABC 的距离．由（1）知A 1O ⊥平面ABC ，且A 1O ＝AA 21 －AO 2＝3，∴VC 1－ABC ＝VA 1－ABC ＝13S △ABC ·A 1O ＝13×12×2×3×3＝1. 2.解析：设点P 在平面ABC 上的射影为G ，如图，由PA ＝PB ＝PC ＝2，∠ABC ＝90°，知点P 在平面ABC 上的射影G 为△ABC 的外心，即AC 的中点．设球的球心为O ，连接PG ，则O 在PG 的延长线上．连接OB ，BG ，设PG ＝h ，则OG ＝2－h ，所以OB 2－OG 2＝PB 2－PG 2，即4－（2－h ）2＝4－h 2，解得h ＝1，则AG ＝CG ＝ 3.设AD ＝x ，则GD ＝x －AG ＝x －3，BG ＝3，所以BD ＝BG 2－GD 2＝－x 2＋23x ，所以S △ABD ＝12AD ·BD ＝12－x 4＋23x 3. 令f （x ）＝－x 4＋23x 3，则f ′（x ）＝－4x 3＋63x 2.由f ′（x ）＝0，得x ＝0或x ＝332，易知当x ＝332时，函数f （x ）取得最大值24316，所以（S △ABD ）max ＝12×934＝938.又PG ＝1，所以三棱锥P －ABD 体积的最大值为13×938×1＝338.。
三视图还原几何体-学生用卷
三视图还原几何体一、选择题（本大题共51小题，共255.0分）1.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. 108B. 100C. 92D. 84生松基左规留2. 一个几何体的三视图如上右图所示，则几何体的体积是（）A. 5B. 10C. 5D. 23.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 4B. 373 + 12C. 21 + 43D. 3^3+1224.若某几何体的三视图如上右图所示，则此几何体的体积是（）A.7B. 232C. 6D. 205.已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）A. 6兀+ 12B. 6兀+ 24C. 12兀+ 12D. 24兀+ 126.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 8B. 672C. 472D. 47 .如图，三视图中正视图与左视图均是边长为2的正方形，俯视图为等腰直角三角形，那么这个几何体表面积为（）__A. 8 + 4V2 + V6B. 7 + 4V2 + V6C. 8 + 6V2D. 8 + 272 + 768 .已知某几何体的三视图如上右图所示，则该几何体的表面积为（）A. 20 + 1272 + 2714B. 20 + 672 + 2714C. 20 + 672 + 2734D. 20 + 12夜 + 27349 .某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A. 4兀+ 1B.?+1C.学+8D. 4兀+ 811 . 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）12 .某几何体的三视图如上右图所示，则该几何体的表面积为（） A. 8 + 2兀 B. 8 + 3兀 C. 10 + 2兀 D. 10 + 3兀A. 2兀+ 273 B . 4兀+ 273 10. 一个几何体的三视图如上右图所示，则该几何体的体积为（ D. 18C. 2兀 + 273D . 4兀 + 2733 3正视因 便视能啊祝闻13 .如图所示某物体的三视图，则求该物体的体积为（）如上右图，在各小正方形边长为1的网格上依次为某几何体的正视图.侧视图与俯视 图，其中正视图为等边三角形，则此几何体的体积为（）B.4+ 如 C. 2v3+ 皿 D. 2v3+ 建8-也D. 8-也如上右图，网格纸上正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）C. 15D. 16某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，则该此几何体的体积为（18 .已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 8-宛12B. 8-江3D. 8-Z1214. 15. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（） A. 1+2^316. 17. D.4 + 132俯祝困正视图B. V2K + 1C.为+ 1A. 4B. 8C. 4D. 819 .某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. 60B. 30C. 20D. 1020 .某四棱锥的三视图如上右图所示，则该四棱锥的底面的面积是（）A. 2B. 3C. 1D. 321 .如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长勺棱长为（）A. 4V3B. 4V2C. 6D. 2V522 .如上右图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（） A. 48B. 16C. 32D. 167523 . 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）24 . 一个空间几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则它的外接球的表面积为 （）A. 4兀B.音C. 28^D. 16兀•降怩EB A. 8B. 4C. 8D. 43 3 9 9俯视图锥的体积为（）26 .如上右图，网格纸上小正方形的边长为1,下图画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的最短棱长为（） _ _A. 4B. 5C. 4夜D. V4127 .如图，虚线小方格是边长为l 的正方形，粗实（虚）线为某几何体的三视图，则该几 何体的体积为（）A. 8B. 16C. 32D. 6428 .如上右图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、 直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积（）A.四325.如图，网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱A. 3B. 16C. 32D. 16D. V329 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） _A. 3V3B. V3C.生百3D. 5遮330. 一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何 体的体积为（）A.益3B. 28,23C. 28D. 22 + 6^331 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A. 4V3B. 573C. 6V332 .某几何体的三视图如上右图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）D. 87320"左视图W 展用附视图俯视图A. 136TTB. 1447TC. 367rD. 347r33 .已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,那么这个几何体的表面积是（） A. （1 +夜）cm2B. （3 + V2）cm2 c. （7 + V5）CTH 2D. （8 + V2）cm234 .已知某几何体的三视图如上右图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两点，它们 之间的距离不可能为（） A. V6 B. y/3 C. 2 D. ,5□I Z7I' IT35.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形， 一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合 而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为四面体的体积为A. 64B. 23V2C. 32D.163 33338.如上右图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线和虚线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体最长的棱为（） A. V5 B. 2V2 C. 3 D. 2V3视图，则该四棱锥各个侧面中，最大的侧面面积为（）A. 2B. V5C. 3D. 441 .如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）C. 2V3336.如上右图，网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某四面体的三视图，则该37.如图是某几何体的三视图， 则该几何体的体积为（）C. 12D. 18A. 4^3B. 5V3的阻圉39. 一个三棱锥的三视图如图所示，则该几何体最长的棱长等于40.如上右图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三42. 一个几何体的三视图如上右图所示，则该几何体的体积为（）.A. 5^3B.旬C. 5^3D. V3 3 3 643.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）44.图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（）A. 2B. 4C. 8D. 23 3 345.如图，网格纸上小正方形的边长为1,图中画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的棱长不可能为46.如上右图，网格纸小正方形的边长为1,粗线是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A. 1B. 2C. 3D. 347.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为A. ■.+-布B. 7 3C.T48 .已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为A. B.53 .某几何体的三视图如上右图所示，则该几何体的体积 ____ . 54 .如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是 ____ ，体积为积是（A. ) B」C. 149. C.D. 48 + 87250. 如图，某几何体的三视图由半径相同的圆和扇形构成, 若俯视图中扇形的面积为3m 则该几何体的体积A. B. C. D.16几 351. 的三视图，则这个几何体的体积为（）A. 1B.2C. 3D. 4 二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）52. 一个棱长为4的正方体，被一个平面截去如图网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体部分后，所得几何体的三视图如图所示，正视图 侧视图俯视图 明主理田恻（左｝视俯视图正网医 则就图俯视图55 .上右图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则 该几何体的体积为56 .57 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ____ .58 .某几何体的三视图如上右图所示，其中俯视图中的弧线是半径为1的四分之一个圆 弧，则该几何体的表面积为.59 .如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 cm 3,表面积为 cm 2. 61.如下图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 _____________一个空间几何体的三视图如图所示，其中主视图和侧视图都是半径为1的圆，且这一几何体的三视图如上右图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的体积62. 63. 个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为 64. 60.如上右图是某四面体的三视图，则该四面体的体积为 _____.。
2019专题 通过三视图找几何体原图的方法 Word版含解析
2019专题通过三视图找几何体原图的方法方法一:直接法【例1】【2017课标II，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A. 90πB．63πC．42πD．36π【点评】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．由三视图还原几何体的方法:方法二:拼凑法【例2】【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A. 60B.30C.20D.10解题步骤:第一步：画出正视图，第二步：平移俯视图到恰当的位置（长对正，高平齐），使它和正视图在一起，第三步：把侧视图顺时针旋转090再平移到恰当的位置（高平齐，宽相等），使它和正视图、俯视图在一起，第四步：调整它们的位置，找到顶点，找到原图.【点评】利用拼凑法找原图时，关键是第四步，结合三视图从那些顶点里找到原几何体的顶点. 这需要有空间观察力和分析能力.【例3】【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）A.32B.23C.22D.2【解析】如下图所示，按照拼凑法得到三视图对应的原图是图中的四棱锥P ABCD -.该四棱锥的最长棱的长度为PC ,22222222(22)223PA PC =+==+=，故选B.方法三:模型法:三视图不容易观察出原图时使用.第一步：画出一个长方体或正方体或其他几何体；第二步：补点；第三步：结合三视图排除某些点；第四步：确定那些排除的点附近的点是否是几何体的顶点；第五步：结合实线虚线和确定的点找到几何体的顶点，从而找到符合三视图的原图. ①三视图基础【例4】. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A. 16πB. 228π+C. 12πD. 14π 【答案】D【例5】 如图所示， 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是283π， 则它的表面积是（ ）A. 17πB. 18πC. 20πD. 28π 【答案】A【解析】由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉18后的几何体，如图： 可得： 37428,2833R R ππ⨯==它的表面积是： 22734221784πππ⨯⋅+⨯⋅=【例6】. 如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为（ ）A. 3:1B. 2:1C. 1:1D. 1:2②组合体的三视图问题【例7】.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A.172π B. 9π C. 192πD. 10π 【解析】由三视图可知几何体为圆柱与14球的组合体。
由三视图想象立体图形3
课堂练习： 由三视图想象实物的形状：
由物知图——利用正方体组合提升空间想象力 如图都是由7个小立方体搭成的几何体，从不 同方向看几何体，分别画出它们的主视图、左视 图与俯视图，并在小正方形内填上表示该位置的 小正方体的个数.
（1）
（2）
（3）
（4）
做一做：由几个相同的小立方块搭成的几何体的 俯视图如图所示。方格中的数字表示该位置的小 方块的个数.请画出这个几何体的三视图。
2.锥体——有两个视图是三角形. 3.台体
圆台——有两个视图是等腰梯形
棱台——有两个视图是梯形 4.球——三个视图都是圆
上节课我们讨论了由立体图形(实物)画出三视图， 下面我们讨论由三视图想象出立体图形(实物)。
分析：由三视图想象立体图形时，要分别根据主视图、俯视图 和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起 来考虑整体图形。
5.一个几何体的主视图和左视图如图所示,它是什么 几何体?请补画这个几何体的俯视图.
(第5题)
直三棱柱
(第6题)
6.一个直棱柱的主视图和俯视图如图所示.描述这 个直棱柱的形状,并补画它的左视图.
直五棱柱,底面是五边形
7、右图是由一些相同的小正方体构成的几何 体的 三视图，则构成这个几何体的小正方体 的个数是【 】 A.5 B.6 C.7 D.8
由三视图想象几何体 下面是一些立体图形的三视图，请根据视 图说出立体图形的名称:
正视图
侧视图
俯视图
四棱柱
由三视图想象几何体 下面是一些立体图形的三视图，请根据视 图说出立体图形的名称:
正视图
左视图
圆锥 俯视图
由三视图想象几何体 一个几何体的三视图如下,你能说出它是 什么立体图形吗?
三视图还原几何体的方法
三视图还原——xyz 定位法一、首先要掌握简单几何体的三视图。
正方体、长方体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥、圆柱、圆锥、圆台和球的三视图分别是什么要熟悉掌握。
二、掌握简单组合体的组合形式。
简单组合体主要有拼接和挖去两种形式。
三、三视图之间的关系。
几何体的长：正视图、俯视图的长；几何体的宽：俯视图的高、侧视图的长；几何体的高：正视图、侧视图的高。
（口诀：主俯定长，俯左定宽，主左定高）（下面）左视左侧（后面）正视左侧（左面）正视右侧（右面）左视右侧（前面）（下面）四、清楚三视图各个线段说表示几何体位置，如上图所表示。
五、由三视图画出直观图的步骤和思考方法。
1、组合类题型，往往很简单，基本可以通过简单想象直接还原；2、有两个视角为三角形，为椎体特征。
选择底面还原（求体积可不用还原）；3、凡是想不出来的，可用xyz 坐标定位法还原。
前面俯视左侧（左面）【类型一】：（三线交汇）例2：【类型二】：例3：连接这五个点的四棱锥，不满足俯视图。
而顶点又必须在这五点交点中，所以当点数超过4个，可能不需要全部连接，则这些点有所取舍。
第一法：俯视图看到的面不可以为上面四个点构成的整个四边形，而是中间有一条折痕，故只能说左半边三角形乡下折。
即舍弃前面左上方的点。
故得，第二：唯一法：正视图看，已标记下面的点必不可少；从俯视图看，上面有3个点必不可少；故只能舍弃前面左上方的点。
第三：口诀：实线两端的点保留，虚线两端的点待定。
从俯视图一看，便知道答案了。
取舍关键：墙角点是取舍的备选。
练习【类型三】：（八点齐飞，直观图不唯一）例4此题八点齐飞，通过类型二中的第三取舍法，我们很容易就能还原出来。
答案：然而，我们发现这个三视图也可以看成，是上图中的三棱锥与另外一个三棱锥组合而成。
如下图所示：M为顶点的三棱锥（四种）与上图的组合。
同理，还有其他两种形式，此处就不一一画图了。
由此得出，上题中的三视图至少有5种不同的直观图。
【三视图题目几点技巧】1，部分椎体求体积，直接用公式（可以不还原）2，斜二测画法与原图面积比例为定值（可以不还原）3，三视图中，和视线垂直的线段，长度不变。
太原高考数学王康民老师怎样把三视图又快又准还原成几何体
高考在考查三视图方面出题有两个方向，一是给出三视图及相关数据，求几何体的体积、表面积、内切球体积或外接球体积等；二是给出几何体，确定其中一个视图的图形.由于第二点比较简单，所以高考中考查的较少.高考中对给出三视图求相关体积、面积等题型考查较多，一般以小题形式出现，分值为5分，该类型题的本质是考查三视图还原几何体，所以能快速准确的将三视图还原几何体，是解决这类问题的关键.王康民老师给大家介绍几种快速还原几何体的方法.先来复习一下三视图的相关知识：位置主在上，俯在下，左在右大小长对正，高平齐，宽相等虚实看的见的为实线，看不见的为虚线我来介绍两种快速又好用的三视图还原方法.当然，我默认大家已经掌握了基本几何体的三视图形状，这一点很重要，没有掌握的同学请麻利的自己去翻课本或者小册子.一．升点升线法1.升点法题目特征：当主视图和侧视图的顶部都是点时，采用升点法.如：还原如图所示的三视图的直观图.分析：观察三视图知主视图和侧视图的顶部都是点，则该图形可由俯视图的一个点升高形成，升的高度为主、侧视图的高2.用斜二测法画出俯视图，如下图所示：再根据其主视图为直角三角形，且直角在左侧，所以确定上升的点只能是点A，上升高度为2，三视图还原为下图所示.方法总结主、侧视图顶为点，上升点法1、俯视画图；2、主、侧找最高点；3、在俯视图上将找到的点上升（上升高度为主视图的高）2.升线法当主视图和侧视图的顶部为一点一线时，采用升线法.如：分析观察三视图知主视图和侧视图的顶部为一点一线，则该图形可由俯视图的一条线升高形成，升的高度为主、侧视图的高.用斜二测法画出俯视图，如下图所示.根据其主视图为正方形，左视图为直角三角形，且顶点在其左侧，所以确定上升的直线为线段AB，上升高度为主视图的高，如下图（左）所示.连接上顶点和下底面对应点，三视图还原为上图（右）所示.方法总结主、侧视图顶为一点一线，以点为基准升线.1、俯视画图；2、主、侧找升高线；3、升高直线（上升高度为主视图的高），连接对应点即可二．长方体中找点找面法我们所学的立体图形中，有锥、柱、台、球及组合体，像柱体和球的三视图还原就靠你自己了，简单到我都不想说.好，那就不说吧.我们通过研究锥体和台体的三视图还原来介绍这种方法.1.锥体的三视图还原锥体的三视图的特点是三个视图中有两个三角形.也就是说，我们在看到三视图的时候，如果其中有两个是三角形，我们能确定其为锥体.并且你要去还原它的主观图，这两个三角形就是关键！如：三视图如图所示.分析:首先三视图中有三个三角形，所以可以确定该几何体是一个椎体.俯视图就是该椎体的底面，大家要知道，一个椎体，如果底面确定了，再确定了顶点，则这个锥体就确定了.这个顶点是由主视图和侧视图的上顶点确定的，确定这个点是关键.第一步，我们取三个视图的长、宽、高分别为长、宽、高做出一个长方体，本题画出的正好是一个正方体，如图1所示.图1 图2 图3第二步：把主视图放到立方体正对着我们的这个面上，如图2所示.主视图的上顶点为图2中的顶点A，但该点不一定是锥体的顶点，由于主视图是由正前方看过去的，所以锥体的顶点应该在直线AA1上；再把侧视图放到立方体的右侧面上，如图3所示（注意侧视图是从左往右看的，不要画反了哦）侧视图的上顶点为图3中的顶点B，同理，锥体的顶点应该在直线AB上.所以直线AA1与直线AB的交点A即为锥体的顶点.第三步：将俯视图画在立方体中，由确定的底面和顶点，连接顶点与底面的各个顶点，锥体就确定了，如下图所示.直观图还原完成.步骤:1.三视图中有两个视图为三角形，确定该几何体为锥体，剩下的视图为该锥体的底面.2.将主视图和侧视图画在对应的立方体中，根据各自上顶点的投影线找其交点，确定锥体的顶点.3.俯视图作为底面，连接各顶点，锥体便还原出来了.方法:两个三角形→锥体.1、确定底面；2、确定顶点（主、侧视图上顶点的投影线交点）.3、各顶点连线.【变式训练】三视图如图所示，还原几何体的主观图.【提示】将侧视图作为锥体的底面，利用主视图和俯视图寻找顶点即可.【答案】如下图所示.2.台体的三视图还原台的特点是三视图中有两个梯形，剩下的视图作为台的下底面，还原时找上底面是关键。
2022年初中数学《由三视图还原几何体》精品教案(公开课)
第2课时由三视图复原几何体1．进一步明确三视图的意义，由三视图想象出原型；(重点)2．由三视图得出实物原型并进行简单计算．(重点)一、情境导入同学们独立完成以下几个问题：1．画三视图的三条规律，即______视图、______视图长对正；______视图、______视图高平齐；______视图、______视图宽相等．2．如下列图，分别是由假设干个完全相同的小正方形组成的一个几何体的主视图和俯视图，那么组成这个几何体的小正方体的个数是多少？二、合作探究探究点一：由三视图描述几何体【类型一】由三视图确定几何体根据图①②的三视图，说出相应的几何体．解析：根据三视图想象几何体的形状，关键要熟练掌握直棱柱、圆锥、球等几何体的根本三视图．解：图①是直三棱柱，图②是圆锥和圆柱的组合体．方法总结：先根据各个视图想象从各个方向看到的几何体形状，再来确定几何体的形状．变式训练：见《》本课时练习“课堂达标训练〞第1题【类型二】由三视图确定正方体的个数一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，其主视图、左视图如下列图，要摆成这样的图形，最少需用________个小正方体．解析：根据主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形，结合此题进行分析即可．根据三视图可得第二层有2个小正方体，根据主视图和左视图可得第一层最少有4个小正方体，故最少需用7个小正方体．故答案为7.方法总结：由三视图判断几何体由多少个立方体组成时，先由俯视图判断底面的行列组成；再从主视图判断每列的高度(有几个立方体)，并在俯视图中按照左、中、右的顺序用数字标出来；然后由左视图判断行的高度，在俯视图中按照上、中、下的顺序用数字标出来；最后把俯视图中的数字加起来．变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞 第5题 探究点二：三视图的相关计算如图是某工件的三视图，其中圆的半径是10cm ，等腰三角形的高是30cm ，那么此工件的体积是( )A ．1500πcm 3B ．500πcm 3C ．1000πcm 3D ．2000πcm 3解析：由三视图可知该几何体是圆锥，底面半径和高．解：∵底面半径为10cm ，高为30cm.∴体积V ＝13π×102×30＝1000π(cm 3)．应选C.方法总结：依据三视图“长对正，高平齐，宽相等〞的原那么，正确识别几何体，再进行有关计算．变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞第8题 三、板书设计本节课是在学习了简单几何体的三视图的根底上，反过来几何体的三视图想象出几何体，既是对三视图知识的完善，又是三视图知识的简单应用，培养了学生的空间想象能力，使学生初步体会到由平面图形到立体图形的转化也是一种数学方法.1．4 二次函数与一元二次方程的联系1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；(重点)2．通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用．(难点)一、情境导入小唐画y ＝x 2－6x ＋c 的图象时，发现其顶点在x 轴上，请你帮小唐确定字母c 的值是多少？二、合作探究探究点一：二次函数与一元二次方程的联系【类型一】 二次函数图象与x 轴交点情况的判断以下函数的图象与x 轴只有一个交点的是( ) A ．y ＝x 2＋2x －3 B ．y ＝x 2＋2x ＋3 C ．y ＝x 2－2x ＋3 D ．y ＝x 2－2x ＋1解析：选项A 中b 2－4ac ＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B 中b 2－4ac ＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C 中b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D 中b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D 的函数图象与x 轴只有一个交点．应选D.变式训练：见《 》本课时练习“课后稳固提升〞第1题【类型二】 利用函数图象与x 轴交点情况确定字母的取值范围(2021·武汉模拟)二次函数y ＝kx 2－6x ＋3的图象与x 轴有交点，那么k 的取值范围是( )A ．k <3B ．k <3且k ≠0C ．k ≤3D ．k ≤3且k ≠0解析：∵二次函数y ＝kx 2－6x ＋3的图象与x 轴有交点，∴方程kx 2－6x ＋3＝0(k ≠0)有实数根，即Δ＝36－12k ≥0，k ≤3.由于是二次函数，故k ≠0，那么k 的取值范围是k ≤3且k ≠0.应选D.方法总结：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点；当b 2－4ac ＝0时，图象与x 轴有一个交点；当b 2－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点．变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞第4题【类型三】利用抛物线与x 轴交点坐标确定一元二次方程的解(2021·苏州中考)假设二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，那么关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，x 2＝4B.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝5C.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝－5D.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，x 2＝5解析：∵对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，∴－b2＝2，解得b ＝－4.解方程x 2－4x ＝5，解得x 1＝－1，x 2＝5.应选D.方法总结：此题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解．变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞第1题 探究点二：用二次函数的图象求一元二次方程的近似解利用二次函数的图象求一元二次方程－x 2＋2x －3＝－8的实数根(精确到0.1)． 解析：对于y ＝－x 2＋2x －3，当函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x 2＋2x －3＝－8的实数根，故可通过作出函数图象来求方程的实数根．解：在平面直角坐标系内作出函数y ＝－x 2＋2x －3的图象，如图．由图象可知方程－x 2＋2x －3＝－8的根是抛物线y ＝－x 2＋2x －3与直线y ＝－8的交点的横坐标，左边的交点横坐标在－1与－2之间，另一个交点的横坐标在3与4之间．(1)先求在－2和－1之间的根，利用计算器进行探索：x － － － － － y－－－－－因此x ≈－是方程的一个实数根． (2)另一个根可以类似地求出：x y－－－－－x ≈是方程的另一个实数根．方法总结：用二次函数的图象求一元二次方程满足精确度的实数根的方法：(1)作出函数的图象，并由图象确定方程解的个数；(2)由图象与y ＝h 的交点的位置确定交点横坐标的取值范围；(3)利用计算器求方程的实数根．变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞第8题 探究点三：二次函数与一元二次方程在运动轨迹中的应用某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，球出手时距地面209米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米．(1)建立如下列图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，假设对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，乙的最大摸高为米，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮框的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的关键就是判断代表篮框的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高米的大小．解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A (0，209)，B (4，4)，C (7，3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－19(x －4)2＋4.将点C 的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝－19(7－4)2＋4＝3，左边＝右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能投中；(2)将x ＝1代入函数关系式，得y ＝3.因为＞3，所以盖帽能获得成功． 变式训练：见《 》本课时练习“课后稳固提升〞第7题 三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，体会知识间的相互转化和相互联系.。
高三数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析
高三数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析1.已知某锥体的三视图（单位：cm）如图所示，则该锥体的体积为．【答案】２．【解析】由已知几何体的视图可知，几何体为四棱锥，其中SA垂直于平面ABCD，SA=2，四边形ABCD为直角梯形，AD=1，BC=2，AB=2，所以四棱锥的体积为【考点】三视图求几何体的体积.2.右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为【答案】【解析】由三视图知，该几何体是底面半径为1，高为1的圆柱与半径为1的球体组成的组合体，其体积为=．【考点】简单几何体的三视图，圆柱的体积公式，球的体积公式3.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥P-ABC，它是一个正四棱锥P-ABCD 的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高PE=4．设其外接球的球心为O，O点必在高线PE上，外接球半径为R，则在直角三角形BOE中，BO2=OE2+BE2=（PE-EO）2+BE2，即R2=（4-R）2+（3）2，解得：R=，故选C.【考点】三视图，球与多面体的切接问题，空间想象能力4.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积是____________【答案】28＋12【解析】这是一个侧放的直三棱柱，底面是等腰直角三角形，侧棱长为6故表面积为2×(×2×2)＋(2＋2＋2)×6＝28＋12.【考点】三视图，几何体的表面积.5.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于.【答案】24【解析】由题意割去的两个小长方体的体积为.【考点】三视图，几何体的体积..6.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）圆柱圆锥四面体三棱柱【答案】A【解析】由于圆柱的三视图不可能是三角形所以选A.【考点】三视图.7.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是________．【答案】2(π＋)【解析】由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积为2；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π．两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π＋)．8.一个锥体的主(正)视图和左(侧)视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()【答案】C【解析】俯视图是选项C的锥体的正视图不可能是直角三角形．另外直观图如图1的三棱锥(OP⊥面OEF，OE⊥EF，OP＝OE＝EF＝1)的俯视图是选项A，直观图如图2的三棱锥(其中OP，OE，OF两两垂直，且长度都是1)的俯视图是选项B，直观图如图3的四棱锥(其中OP⊥平面OEGF，底面是边长为1的正方形，OP＝1)的俯视图是选项D．9.如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A．6B．8C．2＋3D．2＋2【答案】B【解析】如图，OB＝2，OA＝1，则AB＝3．∴周长为8．10.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是2，则正(主)视图的面积等于()A．2B．C．D．3【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是一个四棱锥，其底面积就是俯视图的面积S＝(1＋2)×2＝3，其高就是正(主)视图以及侧(左)视图的高x，因此有×3×x＝2，解得x＝2，于是正(主)视图的面积S＝×2×2＝2．11.如图，三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥底面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为( )A. C.4 D.【答案】A【解析】侧视图也为矩形，底宽为原底等边三角形的高，侧视图的高为侧棱长，所以侧视图的面积为,故选B.【考点】三视图12.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体内切球的体积为 .【答案】【解析】依题意可得该几何体是一个正三棱柱，底面边长为2，高为.由球的对称性可得内切球的半径为.由已知计算得底面内切圆的半径也为.所以内切球的体积为.【考点】1.三视图.2.几何体内切球的对称性.3.球的体积公式.4.空间想象力.13.已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的左视图面积的最小值是________．【答案】【解析】如图，正三棱柱中，分别是的中点，则当面与侧面平行时，左视图面积最小，且面积为.【考点】三视图.14.某几何体的三视图如图3所示，则其体积为________．【答案】【解析】原几何体可视为圆锥的一半，其底面半径为1，高为2，∴其体积为×π×12×2×＝.15.已知正△ABC的边长为2，那么用斜二测画法得到的△ABC的直观图△A′B′C′的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵正△ABC的边长为2，故正△ABC的面积S==设△ABC的直观图△A′B′C′的面积为S′则S′=S=•=故选D16.一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意可得三棱柱的底面是边长为4正三角形.又由体积为.所以可得三棱柱的高为3.所以侧面积为.故选A.【考点】1.三视图的知识.2.棱柱的体积公式.3.空间想象力.17.某几何体的三视图如题（6）所示，其侧视图是一个边长为1的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何体的体积为（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】这是由两个三棱锥拼成的几何体，其体积为.选C.【考点】三视图及几何体的体积.18.一个四面体的顶点在空间直角坐系O－xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设O(0，0，0)，A(1，0，1)，B(1，1，0)，C(0，1，1)，将以O，A，B，C为顶点的四面体补成一正方体后，因为OA⊥BC，所以补成的几何体以zOx平面为投影面的正视图为A．19.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几体的体积为（）A．6B．9C．12D．18【答案】B【解析】由三视图可知，此几何体为如图所示的三棱锥，其底面△ABC为等腰三角形且AB=BC，AC=6，AC边上的高为3，SB⊥底面ABC，且SB=3，因此此几体的体积为V=××6×3×3=920.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为 .【答案】【解析】由三视图知，该几何体是一个圆柱，其表面积为.【考点】三视图及几何体的表面积.21.在三棱锥中，，平面ABC,.若其主视图，俯视图如图所示，则其左视图的面积为【答案】【解析】左视图是一个直角三角形，其直角边分别是2与.所以面积为.【考点】1.三视图知识.2.三角形面积的计算.22.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是_________.【答案】【解析】由三视图还原几何体，该几何体为底面半径为，高为的圆柱，去掉底面半径为，高为的圆锥的剩余部分，则其体积为．【考点】1、三视图；2、几何体的体积.23.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是( ).A．B．4C．D．3【答案】B【解析】如图，红色虚线表示截面，可见这个截面将正方体分为完全相同的两个几何体，则所求几何体的体积即是原正方体的体积的一半，.【考点】1.三视图；2.正方体的体积24.如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为（）A．1B．2C．3D．4【答案】Ｂ【解析】由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为的正方形，故其底面积为，由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形，由于此侧棱长为，对角线长为，故棱锥的高为，此棱锥的体积为，故选B．【考点】由三视图求面积、体积．25.已知某几何体的三视图如右图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知的三视图可知原几何体是上方是三棱锥,下方是半球,∴，故选C.【考点】1.三视图；2.几何体的体积.26.如图是一个组合几何体的三视图,则该几何体的体积是.【答案】36+128π【解析】由三视图还原可知该几何体是一个组合体,下面是一个圆柱,上面是一个三棱柱,故所求体积为V=×3×4×6+16π×8=36+128π.27.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是三分之一个圆锥，其体积为.【考点】三视图及几何体的体积.28.某几何体的三视图(图中单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是()A．36 cm3B．48 cm3C．60 cm3D．72 cm3【答案】B【解析】由三视图可知几何体上方是一长方体，下方是一放倒的直四棱柱，且四棱柱底面是等腰梯形，上底长为2 cm，下底长为6 cm，高为2 cm，故几何体的体积是2×2×4＋×(2＋6)×2×4＝48(cm3)，故选B.29.如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图、侧(左)视图与俯视图．已知CF＝2AD，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图是直角梯形，有关数据如图所示．求该几何体的体积．【答案】3【解析】解：取CF中点P，过P作PQ∥CB交BE于Q，连接PD，QD，则AD∥CP，且AD＝CP.所以四边形ACPD为平行四边形，所以AC∥PD.所以平面PDQ∥平面ABC.该几何体可分割成三棱柱PDQ－CAB和四棱锥D－PQEF，所以V＝V－CAB＋V D－PQEFPDQ＝×22sin 60°×2＋××＝3.30.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A．6＋8B．12＋7C．12＋8D．18＋2【答案】C【解析】该空间几何体是一个三棱柱．底面为等腰三角形且底面三角形的高是1，底边长是2 ，两个底面三角形的面积之和是2，侧面积是(2＋2＋2)×3＝12＋6，故其表面积是12＋8.31. 已知四棱锥P-ABCD 的三视图如右图所示，则四棱锥P-ABCD 的四个侧面中的最大面积是( )．A ．6B ．8C ．2D ．3【答案】A【解析】四棱锥如图所示：PM ＝3，S △PDC ＝×4×＝2，S △PBC ＝S △PAD ＝×2×3＝3，S △PAB ＝×4×3＝6，所以四棱锥P-ABCD 的四个侧面中的最大面积是6.32. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )．【答案】B【解析】分别从三视图中去验证、排除．由正视图可知，A 不正确；由俯视图可知，C ，D 不正确，所以选B.33. 一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h________.【答案】【解析】依题意可得四棱锥的体积为.所以可得.解得.故填.本小题的是常见的立几中的三视图的题型，这类题型关键是要能还原几何体的直观图形.所以培养空间的思想很重要.【考点】1.三视图的识别.2.空间几何体的直观图.34.图中的网格纸是边长为的小正方形，在其上用粗线画出了一四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图知，该几何体是一个四棱锥，且其底面为一个矩形，底面积，高为，故该几何体的体积，故选C.【考点】1.三视图；2.锥体的体积35.已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆直径为2，则该几何体的体积____________【答案】24-【解析】由三视图可知，该几何体是有长方体里面挖了一个半圆柱体，可知，长方体的长为4，宽为3，高为2，那么圆柱体的高位3，底面的半径为1，则可知该几何体的体积为，故答案为．【考点】由三视图求面积、体积．36.把边长为的正方形沿对角线折起，连结，得到三棱锥，其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形（如图所示），则其侧视图的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在三棱锥中，在平面上的射影为的中点，∵正方形边长为，∴，∴侧视图的面积为.【考点】1.三视图；2.三角形的面积.37.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（）A．外接球的半径为B．体积为C．表面积为D．外接球的表面积为【答案】D．【解析】由题意设外接球半径为，则，A错误；外接球的表面积为，D正确；此几何体的体积为，故B错误；此几何体的表面积为，C错误．【考点】三视图及球的表面积公式.38.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．4B．8C．D．【答案】B【解析】有三视图可以看出，该几何体是一个三棱锥，它的体积为．【考点】三视图，几何体的体积．39.如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）A．B．C．4D．2【答案】A【解析】由题意易知，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形.其侧视图为矩形，矩形的高为2，宽为底面正三角形的高.易知边长为2的正三角形的高为.所以面积为.【考点】三视图40.如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm),则此几何体的表面积是( )A．B．21C．D．24【答案】A【解析】还原几何体，得棱长为2的正方体和高为1的正四棱锥构成的简单组合体，如图所示，=，选A.【考点】1、几何体的表面积；2、三视图.41.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】易知该三视图的直观图是倒立的半个三棱锥，其表面积由底面半圆，侧面三角形和侧面扇形，所以，故选A.【考点】1.立体几何三视图；2.表面积和体积的求法.42.一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．200＋9πB．200＋18πC．140＋9πD．140＋18π【答案】A【解析】通过观察三视图，易知该几何体是由半个圆柱和长方体组成的，则半个圆柱体积；长方体的体积为,所以该几何体的最终体积，故选A.【考点】1.三视图的应用；2.简单几何体体积的求解.43.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )A．B．C．D．【解析】把原来的几何体补成以为长、宽、高的长方体，原几何体四棱锥与长方体是同一个外接球，，，.【考点】1.补体法；2.几何体与外接球之间的元素换算.44.一个几何体的三视图如图所示，其中府视图为正三角形，则侧视图的面积为（）A．8B．C．D．4【答案】B【解析】由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，高为4，底面是一个边长为2的正三角形．因此，侧视图是一个长为４，宽为的矩形，．【考点】三视图与几何体的关系、几何体的侧面积的求法能力．45.某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积为（）A．B．C．24D．【答案】A【解析】由三视图得,这是一个正四棱台,由条件，侧面积.【考点】1.三视图；2.正棱台侧面积的求法.46.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是底边长为6、腰长为5的等腰三角形，则这个几何体的全面积为（）A．B．C．D．【解析】由三视图知，该几何体是一个圆锥，且圆锥的底面直径为，母线长为，用表示圆锥的底面半径，表示圆锥的母线长，则，，故该圆锥的全面积为.【考点】三视图、圆锥的表面积47.一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为( )A．3πB．4πC．6πD．8π【答案】B【解析】此空间几何体是球体切去四分之一的体积，表面积是四分之三的球表面积加上切面面积，切面面积是两个半圆面面积.故这个几何体的表面积是.【考点】1、几何体的三视图; 2、球的表面积公式.48.右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为和，腰长为的等腰梯形，则该几何体的表面积是．【答案】【解析】从三视图可以看出：几何体是一个圆台，上底面是一个直径为4的圆，下底面是一个直径为2的圆，侧棱长为4．上底面积，下底面积，侧面是一个扇环形，面积为，所以表面积为．【考点】空间几何体的三视图、表面积的计算．49.某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为的圆（包括圆心），则该零件的体积是 ( )A．B．C．D．【解析】由题意易知该几何体为一半球内部挖去一圆锥所成，故体积为.故选C.【考点】1.体积； 2.三视图.50.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为和的正方形,高为,故,故选B．【考点】三视图与四棱台的体积51.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图,我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1,则底面外接圆半径，球心到底面的球心距,则球半径,则该球的表面积，故选B.【考点】由三视图求面积、体积．点评：本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据截面圆半径、球心距、球半径满足勾股定理计算球的半径，是解答本题的关键．52.如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图像是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是圆锥，顶点在下，底面圆在上，在匀速注水过程中水面高度随着时间的增大而增大，且刚开始时截面积较小，所以高度变化较快，随着水面的升高，截面圆面积增大，高度变化速度减缓，因此函数的瞬时变化率逐渐减小，导数减小，图像为B项【考点】函数导数的定义点评：本题通过高度的瞬时变化率的变化情况得到函数的导数的大小，从而通过做出的切线斜率的变化得出正确图像53.已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于三棱锥的俯视图为直角三角形，正视图为直角三角形，且斜边长为2，直角边长为，那么结合图像可知其侧视图为底面边长为1，高为的三角形，因此其面积为，故选B.【考点】三棱锥点评：解决的关键是根据三棱锥的三视图来得到底面积和高进而求解侧视图，属于基础题。
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例2.某四棱锥的三视图如图所示，则其棱长的最大值A .
A. 3 B. 2 C.2 D.1
第一步：构建长方体 第二步：立足俯视图描点 第三步：结合正、侧视图 拉伸相关点，定顶点. 第四步：连接顶点得几何体
第五步：反思检验判正误.
正视图 俯视图
左视图
2.组合体的还原
例3.由半球和四棱锥组成的几何体的
三视图如图所示，则其体积为 .
A. 1 + 1
33
C.1 + 2
36
B. 1 + 2
33
D.1 2
6
1
1 1
正视图
侧视图
俯视图
二、立体几何动态问题
例4.正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为 3，在正方体的表面 上与点A距离为2的点形成一条封闭的期限，该曲线
的长度是 D .
A.
B. 3 C.3
三视图是描述空间几何体的重要方法之一，也是高中数学 新课程新增内容之一，其目的是考查我们的识图能力、判断能 力、空间想象能力.
考纲要求
能画出简单几何体的三视图，会根据三视图还原出几何体 进而画出直观图，并准确判断其相应的位置关系，正确计算出 几何体的表面积、体积等相关量.
D'
F'
C'
A' D
E' F
3
3
பைடு நூலகம்
下方为直三棱柱，上方 为四棱锥的组合体.
一、三视图 1.简单几何体的还原
例1.三棱锥的三视图如图所示，则其体积为 A .
A. 1 B.1 C. 1 D.1
6
3
2
如何还原几何体？模型定点法----构建长方体
交线定点 三线交点即为顶点 由主视图得 由侧视图得
由俯视图得
正视图
1 1
俯视图
1
1
D. 5
2
2
例5.如图所示，在棱长为3 的正方体ABCD - A1B1C1D1中，
点P,Q, R分别是棱AB, AD, AA1上的点，AP AQ AR 1，
点S是此正方体的表面上一点，求四面体SPQR 的体积的
最大值 4
3
D1
C1
A1
D
RQ
A
P
B1
C
B
B' C
A
E
B
1.在正面画出正视图，同时画出投影线；
F'
2.在底面画出俯视图，同时画出投影线；
3.在侧面画出左视图，同时画出投影线； D
F
C
4.计算所有点处经过的投影线数量
E
A2 B2 C 3 D3 E 3 F 3
A'0 B'0 C '2 D'2 E '2 F '3
3 3
3 3
4
2 6
3
3 3
3