方浩线性代数讲义
线性代数讲义(第四章)
得基础解系：p1=(1,4,0)T, p2=(1,0,4)T，故关于2的 全部特征向量为： x=k1(1,4,0)T +k2 (1,0,4)T = (k1+k2,4k1,4k2)T，k1, k2不全为零。
例 4 证明：若是方阵A的特征值，则 (1) n 为方阵An 的特征值 (n为正整数)； (2) 当方阵A可逆时，1为方阵A1 的特征值。 证：(1) 设x为A关于特征值的特征向量，则Ax=x； A2x=A(Ax)= A(x)=Ax=2x 设An1 x =n1x，则 Anx=A(An1 x)=A(n1x)=n1Ax=nx 故n 是矩阵An 的特征值。
关于1的特征向量为：x=(k,0,k)T ， k 0 。 当=2时，
2 1 1 4 1 1 4 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 4 4 1 1 0 0 0 1 3
记 a1 c1 j x1 j， a 2 c2 j x2 j
j 1 j 1
m1
m2
则
a1 a 2 0
下说明a1=a2=0，假设存在某个ai 0，不妨设a10, 则a20，由命题1知，ai是i 对应的特征向量， 又由定理4.2知，a1, a2 线性无关。
与 a1 a 2 0 矛盾 , 故a1=a2=0，即
由于A=2I，故对任意xR3, x 0, 都有Ax=2Ix=2x， 由定义4.1知：2是A的特征值，任一3维非零向量都 是A关于特征值2的特征向量。
由定义4.1，若为n阶方阵A的特征值，则存在 n维非零向量a，使得Aa=a，即(IA)a =0，a满 足(IA)x=0，即a为齐次线性方程组(IA)x=0的解 向量，从而齐次线性方程组(IA)x=0有非零解； 反之，若齐次线性方程组(IA)x=0有非零解a，则 Aa=a，故为方阵A的特征值。 故为n阶方阵A的特征值的充要条件是齐次线性方 程组(IA)x=0有非零解。 而(IA)x=0有非零解的充要条件为：r(IA)<n， 即|IA|=0。
线性代数讲义(基础版)
1 2 3 1
2 0 2 1 a2
4 2 0 2 a3 a3 a3 − x a3 a4 a4 a4 a4 − x
a1 − x
例2 求 D=
a2 − x a2 a2
a0 1
例3 求 Dn +1 = 1
1 a1
1 a2
1 (ai ≠ 0) an
1
a1 + x a2 a3 a4 0 0 x −x 例 3 求 D4 = 0 −x x 0 0 0 −x x a1
n
6
线性代数基础班 09
合肥工业大学考研辅导中心（共创考研）
7
例1． 设
⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 1 0⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
， 求A
n
例2． 设
⎛3 1 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 3 0⎟ ， ⎜0 0 2⎟ ⎝ ⎠
求 A
n
例3． 设
α = (1 2 3)T β = αT β
，
线性代数基础班 09
合肥工业大学考研辅导中心（共创考研）
1
第四篇：线性代数
第一章 行列式
考试要求 1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质。 2． 会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。
一、内容提要
1．行列式的定义
n 2 个数 ai j (i, j = 1,2,
a11 a 21 a n1 a12 a 22 an2
练习 求 Dn =
b1 a2
b2 an −1 bn −1
bn
an
1
练习
−1 −1 x −1 −1
1 x +1 1 1
x −1 −1 −1 −1
3
1 1 x +1
线性代数讲义(二版)6章
第 6 章 二次型（一） 引言● 起源：解析几何中对二次曲线和二次曲面的研究● 例：平面解析几何：以原点为中心的有心二次曲线d cy bxy ax =++222经适当旋转变换⎩⎨⎧'+'='-'=θθθθcos sin sin cos y x y y x x （即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x θθθθcos sin sin cos 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''y x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x θθθθcos sin sin cos ）消去交叉项，化为标准方程22y B x A '+'＝D● 判别曲线的几何形状和性质● 其它应用：物理学、工程技术、经济管理（二） 内容● 二次型及其标准形；● 化二次型为标准形；● 正定二次型及其性质。
（三） 基本要求● 熟悉二次型及矩阵表示，掌握用正交变换法化二次型为标准形。
● 了解惯性定理、二次型的秩和二次型的正定性及其判别法。
（四）重点和难点●重点：利用正交变换把二次型化为标准形。
●难点：利用正交变换把二次型化为标准形。
6.1 二次型及其矩阵表示(一) 二次型【定义6.1】n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式()n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122,,,+++=＋2222x a ＋…＋n n x x a 222＋……＋2n nn x a (6.1)称为n 元二次型，简称二次型。
ij a 称为二次型()n x x x f ,,,21 的系数。
ij a 为实数时，f 称为实二次型；为复数时，称为复二次型。
仅含有平方项的二次型称为标准形式的二次型，简称标准形。
约定：本章讨论实二次型。
(二) 二次型的矩阵表示令ji ij a a =，便有i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2，则()++++=n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121,,,+++++ n n x x a x a x x a 222222122122211n nn n n n n x a x x a x x a +++＝()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x 22112222121121211121,,,＝()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 2121222211121121,,, 令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nn n n n n x x x x a a a a a a a a a A 21212222111211, 则 ()n x x x f ,,,21 ＝Ax x T ，T A ＝A （6.2） 称为二次型()n x x x f ,,,21 的矩阵形式，称对称矩阵A 为f 的矩阵，称f 为A 的二次型，称A 的秩为f 的秩。
2015方浩线性代数讲义2-1
9
3 性质： ○ 1 1 1 ( kA) k A 1 1 1 n 1 1 n ( AB ) B A ,( A ) ( A ) 1 1 ( A ) A 1 1 | A | | A|
15
（四）矩阵的初等变换 （1）三种初等变换： 1 某一行（列）扩大 k 倍 ○ 2 互换两行（列） ○ 3 将第 i 行（列）的 k 倍加至第 j 行（列） ○ （2）三个初等矩阵： Ei k ，Eij k （对单位阵进行初等变换） E ij ，
16
Eij 1 Eij 1 1 性质： Ei k E i ； k E 1 k E k ij ij
* n 1 *
14
n
【注意】 1 逆，转置，伴随，n 次幂 （两两可交换） ○
A1 A2 B1 B2 A1 B1 A2 B2 A A B B A B A B 4 4 3 4 4 3 3 3 A B X Y AX BZ AY BW 2 ○ C D Z W CX DZ CY DW
O -1 B
13
（3）伴随矩阵
1 定义： A ○
*
a
ij
n
A Aji
*
*
n
A A AA A E
( kA) k A * * * n * * ( AB ) B A ,( A ) A 2 性质： ○ n 2 * * ( A ) A A * n 1 | A || A |
aij bij 0
（2） 数乘： kAmn Bmn kaij bij
2015方浩线性代数讲义4
4.多元函数可偏导，可微，连续之间关系
连续 可微 可偏导
一阶偏导连续
7
（二）偏导的计算 1.链式法则(显函数) u u( x , y ), v v ( x , y ) 可 导 , z f ( u, v ) 在 相应点有连续一阶偏导数, z z f u f v u v x u x v x y x x y z f u f v y u y v y
f ( x, y) (B)若 lim 2 存在, f ( x , y )在(0,0)可微 2 x 0 x y y 0
29
f ( x, y) (C) f ( x , y )在(0,0)可微,则lim 存 x 0 x y y 0
在
f ( x, y) (D) f ( x , y )在(0,0)可微,则lim 2 存在 2 x 0 x y y 0
42
【例 4.18】 设可微函数 f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处取极小值,则下列结论正确的是: （A) f ( x0 , y )在 y0 处导数大于零 (B) f ( x0 , y )在 y0 处导数等于零 (C) f ( x0 , y )在 y0 处导数小于零 (D) f ( x0 , y )在 y0 处导数不存在
16
2.条件极值 （1 ） f ( x , y ) 在条件 ( x , y )=0 条件下的极 值. ○ 1 构造 F ( x , y , ) f ( x , y ) ( x , y )
17
Fx' 0 ' 2 令 F 0 ,消去 解出驻点 ○ y ' F 0
g( t ) f [t , f ( t , t )],求 g(0).
2
考研线性代数精讲讲义
性质4ห้องสมุดไป่ตู้
某行 列 是两个元素之和, 则可拆成两个行列式之和.
a11 b1 a12 b2 a13 b3 a11 a12 a13 b1 b2 b3
a21
a22
a23 a21 a22 a23 a21 a22 a23 .
a31
a32
a33
a31 a32 a33 a31 a32 a33
性质5 某行列元素的k倍加到外一行(列)对应元素上,行列式的值不变.
线性代数的考试基本情况
▪一、满分34分；2个选择+1个填空+2个解答； ▪二、数一数二数三考试内容基本统一
（数一：向量空间） ▪三、一个核心——秩，一个方法——初等变换.
第1章 行列式
▪主要内容
▪1.行列式的定义及性质； ▪2.行列式的展开公式
一、行列式的定义
▪1.排列和逆序
排列 由n个数1, 2, , n组成的一个有序数组称为一个n级排列, n级排列共有n!个.
.
x x n1
n1
1
2
x n 1 n
▪
第2章 矩阵及其运算
主要内容:
▪ 1.矩阵的基本运算
▪ 2.幂、转置、伴随、逆
▪ 3.初等变换与初等矩阵
▪ 4.秩
▪▪一、矩阵的定义及其基本运算
▪1.矩阵的定义
由m n个数,排成的m行n列的表格
a11 a12 a21 a22 an1 an2
a1n
a2
n
称为一个m
n的矩阵,
记为A.
ann
若m n,则称为n阶方阵；
若A与B都是m n的矩阵,则称A与B是同型矩阵；
若A与B是同型矩阵且对应元素aij bij ,则A B.
线性代数基础讲义
2015考研数学线性代数基础讲义第一章 行列式一．基本内容1．排列与逆序定义 ：由 n 个自然数1, 2,3,..., n 组成的无重复有序实数组 称为一个 n 级排列。
定义 ：在一个 n 级排列中，如果一个较大数排在一个较小数前面，我们就称这两个数构成一个逆序。
对于逆序，我们感兴趣的是一个 n 级排列中逆序的总数，称为 n 级排列的逆序数，记作。
2. 行列式的定义个数 （ ）排成的行列的方形表称为一个n 阶行列式。
它表示所有取自不同行不同列的个元素乘积的代数和。
3.行列式的性质（1）转置不改变行列式的值（2）行列式某行（列）元素的公因子可以提到行列式之外（3）行列式的分行（列）可加性（4）行列式两行（列）元素成比例，则行列式值为0（5）互换行列式的某两行（列）行列式的值改变符号（6）行列式某行（列）的倍加到另外一行（列），行列式值不变4.行列式的余子式、代数余子式划去元素 所在的行、列，剩下的元素按照原来的顺序排成的n-1阶行列式称为 的余子式，记为 ，称 为 的代数余子式。
5.行列式的展开（1）展开定理（2）行列式某一行（列）每个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于0 。
二.基本结论（1）（2）12,,n i i i 12,,n i i i ()12,,n i i i τ2n ij a ,1,2,,i j n =⋅⋅⋅1212121112121222(,,,)12,,,12(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑ij a ij a ij M (1)i j ij ij A M +=-ij a 1122i i i i in in D a A a A a A =++1,2,,i n =1122j j j j nj nj a A a A a A =++1,2,,j n =11220k i k i kn in a A a A a A ++=k i≠11220k i k i nk ni a A a A a A ++=k i ≠1122nn a a a =11112222******nn nn a a a a a a ==1112(1)2(1)2(1)111******n n n n n n n n n a a a a a a a a a ---===三. 基本题型与基本方法题型1：行列式的计算：行列式基本方法：利用性质及展开具体方法：方法一 ：三角法（利用性质将行列式化为三角型行列式）例方法二：降阶法（利用展开降阶）例第二章 矩阵第一节 矩阵及其运算一. 基本内容1．矩阵概念1）定义2）特殊矩阵：（1）零矩阵：（2）阶方阵：（3）行矩阵（向量）、列矩阵（向量）：（4）对角矩阵、单位矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵：（5）对称矩阵、反对称矩阵：2．矩阵的运算1）线性运算：加法与数乘2）乘法：（1）乘法法则：（2）运算律：3）方阵的运算（1）方阵的幂及其运算律：（2）方阵的行列式4）转置：性质5）伴随矩阵性质：二、基本结论1．伴随矩阵的相关结论2．分块矩阵的逆 4124120233200112D =0111111n n a a D a +=12344000000a x a a a x x D x x x x +-=--()111212122212n n ij m n m m mn a a a a a a A a a a a ⨯⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪== ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭第二节 可逆矩阵一、基本内容1．可逆的定义：2．阶矩阵可逆的充要条件：3．性质：二、基本题型与基本方法题型1：逆矩阵的计算与证明（具体矩阵、抽象矩阵）方法一：公式法求逆方法二：初等变换求逆：方法：例方法四：利用定义，求（证明）逆矩（抽象矩阵的情形中常见）例：n 阶矩阵满足 求第三节 矩阵的初等变换与秩一、基本内容1．初等变换的定义：2．初等矩阵（1）定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵（2）三种初等矩阵：（3）性质：初等矩阵都是可逆的，其逆仍是初等矩阵3．初等变换的本质（初等变换与初等矩阵的关系）4．矩阵等价1）定义：2）性质：5．矩阵的秩（1）定义：（2）性质：初等变换不改变矩阵的秩二、基本题型与基本方法题型：求矩阵的秩基本方法：初等变换法对矩阵作初等行变换，化为阶梯形，阶梯形中非零行的个数即为矩阵的秩。
2015方浩线性代数讲义8
3)参数式: x x0 lt , y y0 mt , z z0 nt .
3. 平面与直线的位置关系（平行、垂直、 夹角） 关键：平面的法线向量，直线的方向向量
（三）曲面与空间曲线 1. 旋转面 平面曲线绕平面上一条直线旋转： f y , z 0绕 z 轴旋转一周，旋转曲面方程 为 f x y ,z 0
， p, q 同号
， p, q 同号
（3)双曲面 ①单叶双曲面 ②双叶双曲面 （4）椭圆锥面
x2 y 2 z 2 1 a 2 b2 c2
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 a b c
x2 y 2 z 2 2 2 2 a b c
3. 空间曲线投影
4.多元微分在几何上的应用 I) 曲面的切平面与法线 曲面 F ( x, y, z ) 0,法向量: n { Fx , Fy , Fz }； 曲面 z f ( x , y ), 法向量: n { f x , f y , 1}.
2 2
方法： 曲线绕哪个轴旋转， 对应变量不变， 另外的变量将缺的变量补上改成正负二者 的完全平方根的形式
2. 常见二次曲面 （1)椭球面 （2)抛物面 ①椭圆抛物面 ②双曲抛物面
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 a b c
x2 y 2 z p q
x2 y 2 z p q
ax (abc) bx cx ay c) |
a,b,c共面 (abc)=0
二. 直线与平面 1．平面方程 一般式： Ax By Cz D 0. 截距式:
x y z 1. a b c
n { A, B, C }.
【例
x 1 y z 1 8.2】求直线 L : 绕 z 轴旋 0 1 2
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2015考研数学综合强化课
科目：线性代数
主讲老师：方浩
新浪微博：Professor_fang 1
(一)时间安排
○1行列式
○2矩阵
○3向量
○4线性方程组
○5特征值与特征向量○6二次型
2
（二）命题特点
○1重点突出（围绕方程组和相似问题展开）○2综合性强（行列式，秩，向量，方程）○3重理论，轻计算
○4应用性非常突出
3
（三）复习方法
○1紧跟强化课程（串讲，提炼，综合）○2真题即是考题
○3把握整体逻辑体系
○4重点知识重点把握
4
第一章行列式
核心考点：计算行列式(0-4分) （1）特殊行列式
（2）行列展开定理
（3）递推型行列式
5
6
（一）基本概念 （1）[行列式] 12)
1212
11121(212221212(1)
n n
n
n j j j n
j j nj j j j n n nn
a a a a a a a a a a a a τ=
-∑
二阶行列式：
a b
ad bc c d
=-.
7
（2）[余子式]
[余子式]：划去ij a 所在的第i 行、第j 列，剩下的1n -阶行列式称为ij a 的余子式，记为ij M [代数余子式]：(1)i j
ij ij A M +=-
8
（二）行列式的性质
（1）T
A A
（2）两行（列）互换，行列式变号
（3）某行（列）扩大K 倍，行列式扩大K 倍 （4）两行（列）成比例，行列式为0
（5）某行（列）能拆成两个行（列）向量之和，行列式可以拆成对应两个行列式之和
（6）将某行（列）的K 倍加到另一行（列），行列式值不变
9
（三） 特殊行列式 （1）[上（下）三角] 1112111
22221
221
2
n n ii
i
nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a a =
=∏
10
111121,112,1221222,11
,1
1
(1)2
12,1
1
00000
00(1)n n n n n n n n n nn
n n n n n n a a a a a a a a a a
a a
a a a a a ------=
=-
11
(2) [拉普拉斯展开式] 主对角：m m m n n n A O A C A B C B O B == 副对角：
()1mn m m m n n n O A C A A B B C B O ==-
推论：
n n n n A B A B =
12
(3) [范德蒙行列式] ()1
21
111
21
11n j i j i n n n n a a a a a a a a >---=-∏
13
（三）行列展开定理
11221122i i i i in in j j
j j nj nj
D a A a A a A D a A a A a A =+++=+++ [变型]
14
（四） 克拉默法则
对于方程组n A x b =
（1）
若0n A ≠，上述方程有唯一解 （2）
若0n A ≠，具体解为i i n D x A =，其中i D 为行列式n A 中的第i 列用向量b 替换得到。