复合函数求导法则的教学设计
简单复合函数的求导法则
f ( x)
f (u ) ( x )
对 ( x )求导
注意：不要写成 f ( x )！
复合函数的导数
新授课
2 2 y u , u 3 x 2 f ( x ) ( 3 x 2 ) u , ux , f ( x ) 若 ， ，求 y
复合函数的导数
新授课 一般地，设函数 u ( x ) 在点 x 处有导数 ux ( x ) ，函 数 y f (u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 y u f ( u ) ，则复合 函数 y f ( ( x )) 在点 x 处也有导数，且
y x yu u x
解析
复合函数求导法则的注意问题： （1）首先要弄清复合关系，特别要注意中间变量； （2）尽可能地将函数化简，然后再求导； （3）要注意复合函数求导法则与四则运算的综合 运用； （4）复合函数求导法则，常被称为“链条法则”，
一环套一环，缺一不可。
例3
动手做一做
1. 求下列函数的导数：
y 50(5 x 2)
S f (t ) ( 2t 1)
t
的新函数：
2
由于 f (t ) f ( 2t 1) ( 4t 2 4t 1) 所以由导数的运算法则可得：
f (t )
(8t 4) 4 ( 2t 1)
∵ f (r ) 2r , r (t ) 2 ∴ f (t ) 2 ( 2t 1) 2 f (2t 1) (t )
3 ( 3 x 1 ) f (u ) ( x) 3 2 u 2 3x 1
例2
1
解： 令 u ( x) 2 x 1 ，则函数是由 f (u ) u 3与
高中数学复合函数求导教案
高中数学复合函数求导教案一、复合函数的定义1. 复合函数是指一个函数由两个或两个以上的函数组合而成的函数。
2. 复合函数的表示：如果函数 f 和函数 g 都是数学上的函数，则复合函数 f(g(x)) 表示先对x 进行函数 g 的运算，然后再对结果进行函数 f 的运算。
这里 g(x) 是函数 g 的输出，f(g(x)) 是复合函数的输出。
二、复合函数的求导法则1. 复合函数的导数公式：设函数 y = f(u)，u = g(x) 为复合函数，则 y 的导数为：dy/dx = dy/du * du/dx2. 具体步骤：a. 先对内函数 u 进行求导，求得 dy/dub. 再对外函数 y 进行求导，求得 du/dxc. 最后将两者相乘即可得到最终导数 dy/dx三、实例演练例题：已知函数 y = (2x + 1)^2，求 dy/dx1. 设 u = 2x + 1，则 y = u^22. 求内函数 u 的导数：du/dx = 23. 求外函数 y 的导数：dy/du = 2u4. 根据公式，dy/dx = dy/du * du/dx = 2u * 2 = 4u5. 将 u = 2x + 1 代入，得到 dy/dx = 4(2x + 1)四、练习题1. 已知函数 y = sin(x^2)，求 dy/dx2. 已知函数 y = ln(3x + 2)，求 dy/dx3. 已知函数 y = e^(2x - 1)，求 dy/dx五、作业1. 完成练习题中的题目，写出解题思路和计算过程2. 自行设计一个复合函数，并求其导数3. 查阅相关资料，了解复合函数的应用领域及意义六、总结1. 复合函数求导是高中数学中的重要内容，掌握其求导法则可以帮助我们解决更复杂的问题。
2. 通过练习和实践，加深对复合函数求导的理解和掌握，提高数学解题能力。
大学复合函数求导教案
课时：2课时教学目标：1. 理解复合函数的概念和性质。
2. 掌握复合函数求导的基本方法，包括链式法则和换元法。
3. 能够熟练运用复合函数求导方法解决实际问题。
教学重点：1. 复合函数求导的基本方法。
2. 链式法则和换元法的应用。
教学难点：1. 链式法则和换元法的应用。
2. 复合函数求导的步骤。
教学准备：1. 多媒体课件2. 练习题教学过程：第一课时一、导入1. 复习一元函数的概念和性质。
2. 引入复合函数的概念，举例说明。
二、新授课1. 复合函数的定义：由两个函数复合而成的函数称为复合函数。
2. 复合函数的性质：复合函数具有连续性、可导性等性质。
3. 复合函数求导的基本方法：a. 链式法则：设y=f(u)，u=g(x)，则y对x的导数为y' = f'(u)g'(x)。
b. 换元法：设y=f(u)，u=g(x)，则y对x的导数为y' = f'(g(x))g'(x)。
三、例题讲解1. 例1：求函数y=ln(x^2)的导数。
2. 例2：求函数y=sin(2x)的导数。
四、课堂练习1. 练习1：求函数y=ln(x^2+1)的导数。
2. 练习2：求函数y=sin(x^2)的导数。
第二课时一、复习1. 回顾复合函数的定义和性质。
2. 回顾复合函数求导的基本方法。
二、例题讲解1. 例3：求函数y=ln(e^x)的导数。
2. 例4：求函数y=sin(2ln(x))的导数。
三、课堂练习1. 练习3：求函数y=ln(x^2-1)的导数。
2. 练习4：求函数y=sin(2x^2)的导数。
四、总结1. 总结复合函数求导的基本方法。
2. 强调链式法则和换元法的应用。
五、布置作业1. 完成课后练习题。
2. 复习本节课所学内容。
教学反思：1. 本节课通过讲解和例题分析，使学生掌握了复合函数求导的基本方法。
2. 在课堂练习环节，学生能够运用所学知识解决实际问题。
3. 需要进一步加强对学生解题思路的引导，提高学生的解题能力。
复合函数求导法-教案
2.2.2 复合函数求导法教学要求：理解并熟练掌握复合函数求导法，会用反函数求导数 教学内容：一、复习提问：1、导数的基本公式2、导数的四则运算法则上一节介绍了函数的定义、导数的四则运算法则、基本初等函数求导公式，并能求出了一些简单函数的导数。
但是求常见的初等函数的导数时，往往需要借助于求导法则，本节就将介绍这些求导法则。
二、复合函数的求导法则1、比如求函数x y 2sin =的导数。
错误解答：x y 2cos ='正确解答：()()()x x x x x x y 2cos 2sin cos 2cos sin 22sin 22=-='='='对比一下，答案错误的原因是把x 2当成了自变量。
我们先把复合函数x y 2sin =进行分解为x u u y 2,sin ==。
x u dxdu du dy dx dy y 2cos 22cos =⋅=⋅==' 1、 求复合函数的导数可分两步： 第一步（关键步骤）：先将复合函数分为若干个简单函数，辨明各函数的中间变量和自变量。
第二步：逐一分步求导。
复合函数求导法则: 设函数()y f u =在点u 处可导，()u x ϕ=在点x 处可导，则复合函数[()]y f u ϕ=在点x 处可导，且有()()dy f u x dx ϕ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅ 证明 设变量x 有改变量x ∆，相应地，变量u 有改变量u ∆，从而y 有改变量y ∆. 由于u 可导，所以0lim 0=∆→∆u x ，)(lim lim00x u u y x y x x ∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆ x uu y x u ∆∆⋅∆∆=→∆→∆00lim lim x u u y '⋅'= 即 x u x u y y '⋅'='.现在利用复合函数求导法则求x y 2sin =的导数：u y sin =，x u 2=（中间变量为u ,自变量为x ），即（对u 求导)(对x 求导) （回代）(sin )(2)2cos 2cos2u x y u x u x '''=⋅==如果复合函数的复合层次较多，法则4可以推广到有限多个复合步骤构成的复合函数求导。
大学复合函数求导公式教案
课时安排：2课时教学目标：1. 让学生理解复合函数的概念，掌握复合函数求导的方法。
2. 使学生能够熟练运用复合函数求导公式，解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。
教学重点：1. 复合函数的概念。
2. 复合函数求导公式。
教学难点：1. 复合函数求导公式的推导过程。
2. 复合函数求导公式的应用。
教学准备：1. 复习导数的基本概念。
2. 复习函数的复合。
3. 准备相关例题和习题。
教学过程：第一课时一、导入1. 复习导数的基本概念，如导数的定义、导数的性质等。
2. 引入复合函数的概念，让学生理解复合函数的含义。
二、新课讲解1. 复合函数的概念：- 定义：由两个或两个以上的函数复合而成的函数称为复合函数。
- 举例：y = f(u)，u = g(x)，则y = f(g(x))为复合函数。
2. 复合函数求导公式：- 设y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数为y' = f'(u) g'(x)。
- 举例：求y = ln(x^2)的导数。
解：令u = x^2，则y = ln(u)，根据复合函数求导公式，有y' = (1/u) 2x = 2x/x^2 = 2/x。
三、例题讲解1. 例题1：求y = sin(2x)的导数。
解：令u = 2x，则y = sin(u)，根据复合函数求导公式，有y' = cos(u) 2 = 2cos(2x)。
2. 例题2：求y = e^(3x^2)的导数。
解：令u = 3x^2，则y = e^u，根据复合函数求导公式，有y' = e^u 6x = 6xe^(3x^2)。
四、课堂小结1. 复合函数的概念。
2. 复合函数求导公式。
第二课时一、复习1. 回顾复合函数的概念。
2. 回顾复合函数求导公式。
二、新课讲解1. 复合函数求导公式的推导过程：- 设y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数为y' = f'(u) g'(x)。
1.2.2(2)复合函数的求导法则教学设计
情境一：复习 ：1.基本初等函数有哪些？2.求下列函数的导数：（1）()324y x x =-（2）sin x y x=（3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+（5）()ln 2y x =+ 问题1：函数（4）利用基本初等函数求导公式如何求导?问题2：函数(5)能用学过的公式求导吗?问题3：函数()ln 2y x =+有什么结构特点？情境二：分清以上函数的结构特点之后，你能尝试给出复合函数的概念吗？复合函数的概念：一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
情境三：复合函数的求导法则是什么？一般分几个步骤进行？求复合函数的导数需要注意哪些方面？复合函数的导数：复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．即：若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦注意：①中间变量的选择应是基本初等函数结构 ②关键是正确分清函数的复合层次③一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地求导 ④要善于把一部分表达式作为一个整体 ⑤最后要把中间变量换成自变量的函数（即代回）【典例分析】例1（课本例4）求下列函数的导数：（1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）．例2求2sin(tan )y x =的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。
变式训练：求下列函数的导数（1）cos 3x y = （2）y 3）x x y 44cos sin += 解（3）时注意方法的灵活性，多样性。
复合函数求导教案大学生
教学对象：大学生教学目标：1. 理解复合函数的概念，掌握复合函数求导的基本方法。
2. 能够运用链式法则和乘积法则求复合函数的导数。
3. 通过实例分析，提高学生运用复合函数求导解决实际问题的能力。
教学重点：1. 复合函数的定义和链式法则。
2. 乘积法则在复合函数求导中的应用。
教学难点：1. 复合函数求导过程中，正确运用链式法则和乘积法则。
2. 复合函数求导的复杂情况分析。
教学准备：1. 教师准备PPT，包括复合函数定义、链式法则、乘积法则等知识点。
2. 学生提前预习教材，了解复合函数的基本概念。
教学过程：一、导入1. 回顾导数的定义和基本求导法则。
2. 提出问题：如何求复合函数的导数？二、新课讲解1. 复合函数的定义：函数y=f(u)，其中u=g(x)称为复合函数。
2. 链式法则：设y=f(u)，u=g(x)，则y对x的导数为y' = f'(u) g'(x)。
3. 乘积法则：设y=f(x) g(x)，则y对x的导数为y' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)。
4. 复合函数求导实例分析：- 例1：求y=cos(2x)的导数。
- 例2：求y=sin(x^2)的导数。
- 例3：求y=e^sinx的导数。
三、课堂练习1. 学生独立完成以下练习题：- 求y=ln(3x)的导数。
- 求y=tan(x^2)的导数。
- 求y=e^(1/x)的导数。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、课堂小结1. 回顾复合函数求导的基本方法：链式法则和乘积法则。
2. 强调复合函数求导的关键在于正确运用法则。
五、作业布置1. 完成教材课后习题，巩固所学知识。
2. 分析以下问题，并尝试用所学方法求解：- 求y=cos(2sinx)的导数。
- 求y=e^(x^2)的导数。
教学反思：本节课通过讲解复合函数求导的基本方法，使学生掌握了链式法则和乘积法则在复合函数求导中的应用。
2.3 教学设计—— 复合函数的求导法则
教学活动
教学资源
覆盖目标
课程育人
10’
融入数学文化的知识，查阅历史上的第三次数学危机，了解在解决问题的时候不能犯“自我指谓”的错误。
师生共同分享各自查阅的有关资料，并介绍罗素的“理发师悖论”帮助学生理解“自我指谓”的问题。
多媒体课件
素质目标1
导入新课
10’
求复合函数 的导数
1.教师引导学生利用倍角公式转化问题；
单元教学设计
课题名称
学时数
课程类型
复合函数的求导法则
2
理论课
教学内容及学情分析
本节课主要学习复合函数的求导，以及在复合函数求导的基础上，学习隐函数的导数。复习复合函数的分解是掌握复合函数求导的基础。
教学目标
知识目标
1.掌握复合函数的求导法则；
2.通过显函数和隐函数的对比，掌握隐函数的概念和隐函数的求导法则；
3.掌握对数求导法。
能力目标
1.会求复合函数的导数；
2.会求隐函数的导数；
3.对于幂指函数，能利用对数求导法求导；
4.会求任意一个初等函数的导数。
素质目标
1.培养学生的数学文化素养；
2.让学生体会由简到难、逐层深入的数学思想；
3.提高学生的分析推理能力，培养学生严谨的学习态度。
教学过程
教学环节
时间分配
5’
1.学生课后认真看书进一步理解求导法则；
2.布置课后作业，巩固求导法则的应用。
教学反思
隐函数求导的基础是复合函数求导，复合函数求导的基础是会复合函数的分解，因此一定要让学生先复习复合函数的分解。
2.学生动手练习，得到结果；
3.教师引导学生分析得到的结果所具有的特征。
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复合函数求导法则的教学设计
摘要：本文主要介绍了《复合函数求导法则》这节课的一种创新性讲法，利用这种新的教学设计方法，不仅便于理解、容易掌握，更加强了学员分析、解决问题的能力。
关键词：复合函数复合分解求导法则
复合函数求导法则是《高等数学》课程中的一个重要内容，是在学习了导数的概念，函数求导法则的基础上，对函数求导方法的进一步研究，并为后面学习导数的应用打下了坚实的基础。
通过对本节课的学习，不仅增强了学员对函数性质的理解，同时也加强了学员对现实生活中客观现象的认知能力。
下面我根据自己的实际教学效果，介绍本节课的教学设计如下：
一、教学目的
（一）教学目标
1.认知上：了解复合函数求导法则，通过对法则的学习，能够熟练求出复合函数的导数。
2.能力上：通过对复合函数求导法则的学习，培养学员分析归纳、抽象概括的能力以及联系与转化的思维方法。
3.情感上：通过对本节课的学习，激发学员学习数学的兴趣，并养成严谨的学习态度。
（二）教学重点和难点
本节课的教学重点是复合函数求导法则和计算，教学难点是三层复合函数求导的计算。
（三）教学方法
主要运用讲授法，并结合启发式教学法，引导学员从数学本身和军事现象入手，探讨复合函数求导数的方法。
充分贯彻“以学为主”，发挥学员的积极性。
二、教学创新
通过深入挖掘教材，我突破了传统的教学模式，并没有直接给出复合函数求导法则，而是通过对“为什么学？学什么？有什么用？”这三个问题进行回答，来展开教学。
（一）为什么学？
本节课，我首先从数学问题和军事问题入手，突出学习复合函数求导法则的必要性和迫切性，从而引出问题。
这么做的目的不仅考虑了数学的连贯性，并且在发挥素质教育功能的基础上，贯彻职业技术士官教改中的“为专业服务，注重应用和实践”的思想，同时回答了我们本节课“为什么要学习这个课题”。
这么设计即复合学员基础较差的实际特点，又符合学员从感性到理性，从具体到抽象的认知规律。
（二）学什么？如何计算？
对于课题，我重点从法则和计算这两个方面来进行研究。
对于法则，针对士官学员基础较差的实际特点，突出“淡化理论推导”的思想，我略去了对法则的严格证明过程，对法则的函数构成、可导条件、法则结论和应用关键进行了分析。
这部分体现了本节课学的是什么？而对于计算，我采用启发式教学法，结合例题，启发学员提炼出了复合函数求导的计算步骤，并且应用计算步骤，我们又具体求解了两层和三层复合函数的导数，这部分回答了如何运用复合函数求导法则进行计算。
（三）有什么用？
数学来源于实际，又服务于实际。
在数学教学中，只有联系了实际生活，才能体现出学习数学的价值，并且能激发学员对学习数学的兴趣。
本节课最后，我又应用法则和计算步骤，圆满的解决了课前提出了军事问题，不仅实现了首尾呼应，而且回答了学习本节课内容有什么用？
三、教学实施
下面我具体介绍下本节课的实际设计过程。
为了激发学员的学习兴趣，并考虑到数学的连贯性。
本节课我首先从数学实例和火炮身管受热膨胀这两个问题入手，突出了学习本节课内容的必要性和迫切性，从而引出本节课的课题——复合函数求导法则。
在给出求导法则之前，我首先引导学员回顾了复合函数的相关概念——复合和分解。
为了便于理解，此处我分别以我们小时候常玩的玩具俄罗斯套娃的装套娃过程形象的类比于复合函数的复合过程，而以套娃的拆分过程形象的类比于复合函数的分解过程。
其次，在复合函数的复合和分解的基础上，给出了复合函数求导法则。
并且对该法则，分别从函数构成、可导条件、法则结论和应用关键这四个方面来进行分析。
在例题的求解过程中，总结出了利用法则求导数的计算步骤。
最后，应用法则和计算步骤，圆满的解决了课前提出的火炮身管直径变化率
这一实际问题，从而实现了首尾呼应。