最新31一阶微分方程初值问题数值解32猪的最佳销售时机汇总
合集下载
常微分方程初值问题的数值解法
3 要求 Ri y( xi 1 ) yi 1 O(h ) ，则必须有：
1 1 2 1 , 2 p 2
这里有 3 个未知 数， 2 个方程。
存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库 塔格式。注意到，p 1, 1 2 1 就是改进的欧拉法。
Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开
K 2 f ( xi ph, yi phK1 ) f ( xi , yi ) phf x ( xi , yi ) phK1 f y ( xi , yi ) O( h2 )
y( xi ) phy( xi ) O(h2 )
d f ( x, y) dx 首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的算法格式有 2阶 dy 精度，即在 yi y( xi ) 的前提假设下，使得 f x ( x, y) f y ( x, y) dx Ri y( xi 1 ) yi 1 O(h3 ) f x ( x, y) f y ( x, y) f ( x, y) y( x )
y( x0 ) y0 yk 1 yk h f ( xk , yk 1 )
, k 0,1,...
隐式欧拉法的求解: 利用迭代的思路进行.
yi 1 yi hf ( xi , yi 1 )
变换为
y
( k 1) i 1
yi hf ( xi , y )
y i 1 K1 K2
1 1 y i h K 1 K 2 2 2 f ( xi , yi ) f ( xi h, yi hK 1 )
步长一定是一个h 吗？
§2 Runge-Kutta Method
1 1 2 1 , 2 p 2
这里有 3 个未知 数， 2 个方程。
存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库 塔格式。注意到，p 1, 1 2 1 就是改进的欧拉法。
Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开
K 2 f ( xi ph, yi phK1 ) f ( xi , yi ) phf x ( xi , yi ) phK1 f y ( xi , yi ) O( h2 )
y( xi ) phy( xi ) O(h2 )
d f ( x, y) dx 首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的算法格式有 2阶 dy 精度，即在 yi y( xi ) 的前提假设下，使得 f x ( x, y) f y ( x, y) dx Ri y( xi 1 ) yi 1 O(h3 ) f x ( x, y) f y ( x, y) f ( x, y) y( x )
y( x0 ) y0 yk 1 yk h f ( xk , yk 1 )
, k 0,1,...
隐式欧拉法的求解: 利用迭代的思路进行.
yi 1 yi hf ( xi , yi 1 )
变换为
y
( k 1) i 1
yi hf ( xi , y )
y i 1 K1 K2
1 1 y i h K 1 K 2 2 2 f ( xi , yi ) f ( xi h, yi hK 1 )
步长一定是一个h 吗？
§2 Runge-Kutta Method
一阶常微分方程初值问题
y = 1.7178 x = 0.9000
y = 1.7848 x = 1.0000
§2 Euler方法
➢Euler方法的导出
f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) f ''( x0 ) / (2!)( x x0 )2 ...
将 y( xn1) 在点 xn处进行Taylor展开
称上述公式为向前Euler 公式。
若将 y( xn ) 在点 xn1 处进行Taylor展开
y( xn )
y( xn1)
hy( xn1)
h2 y(n )
2!
略去h2项：y( xn1) y( xn ) hf ( xn1, y( xn1))
然后用 yn代替 y( xn ) ，即得
可用拟合方法求该组数据 ( xi ,的yi近) 似曲线
欧拉(Euler)公式： (yn1-yn )/(xn1-xn )=f(xn,yn ), yn1 yn hf (xn ,yn ), (n 0,1, 2,L ).
(2.1)
例1 取h 0.1,利用Euler公式求解
y y 2x（, 0 x 1)
解：向前Euler公式： yn1 yn hf ( xn , yn )
yn1 0.1xn 0.9 yn 0.1
向后Euler公式： yn1 yn hf ( xn1, yn1)
yn1
1 1.1 (0.1xn1
yn
0.1)
y( x0 ) y0
常用的一些解析解法： 分离变量法、变量代换、 常数变易法、Lapalace变换等
Th9.1.1（解的存在唯一性）
微分方程中的初值问题理论
微分方程中的初值问题理论微分方程是数学领域中的重要分支，它描述了一种变量与其变化率之间的关系。
在实际问题中，经常会遇到需要确定微分方程的解的具体形式，并以给定的初值条件作为起点进行求解的情况，这就是初值问题。
初值问题理论是微分方程研究的基础之一，本文将介绍微分方程中初值问题的理论基础和解法。
一、初值问题的定义初值问题是指给定一个微分方程及其解空间上一点的值，通过求解微分方程，确定解空间上满足给定初值条件的特定解。
初值问题的一般形式可以表示为：̇= (, )= ₀= ₀其中，表示未知函数，是自变量，是因变量，表示关于和的函数关系。
是关于和的函数，是任意给定实数。
初值问题的目标是找到满足上述方程和初值条件的特定解。
二、初值问题的解法解决初值问题的方法有很多种，常见的有解析解法和数值解法。
1. 解析解法解析解法是通过一系列数学手段，直接求得微分方程的解的公式，从而得到满足初值条件的特定解。
这种方法适用于某些特定形式的微分方程，例如线性微分方程、可分离变量的微分方程等。
解析解法的优势在于可以得到精确的解析表达式，从而能够准确描述问题的性质和变化规律。
但是，对于一些复杂的非线性微分方程，往往无法找到解析解，这时需要采用数值解法。
2. 数值解法数值解法是通过近似计算，利用离散的数值方法求解微分方程并得到数值近似解。
这种方法的思路是将微分方程转化为差分方程，并利用离散的计算方法逼近微分方程的解。
数值解法的优势在于适用性广，能够处理各种类型的微分方程，并能够得到任意精度的解。
常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法、改进欧拉法等。
三、初值问题的存在唯一性定理对于一阶常微分方程，初值问题存在唯一性定理是指在一定条件下，初值问题的解是存在且唯一的。
存在性定理：设 (, ) 是微分方程 , µ区间上的解且在 µ上连续，则初值问题在 [a,b] 上存在解。
唯一性定理：设 (, ) 和 (, ) 是微分方程在一定区域上的两个解，如果对于 µ [a,b] 上的某个点 x₀， ̇ (x₀) = ̇ (x₀)，那么在整个区域上µ， (x) = (x)，这就是说，在初值问题存在的条件下，初值问题的解是唯一的。
一阶常微分方程的数值求解
刚性 梯形算法；低精度 当精度较低时，计算时 间比ode15s短
作业 利用Euler方法和R-K方法求解一个 常微分初值问题，并比较数值结 果，计算数值解和解析解的误差。
在 [ xk , xk 1 ] 内多取几个点，将它们的导数加权平均代 替 f ( x, y( x)) ，设法构造出精度更高的计算公式。
常用的是经典的 四阶R-K方法
y0 y( x0 ), xk 1 xk h yk 1 yk h (L1 2 L2 2 L3 L4 )/6
若 f 在 D {a x b,| y | } 内连续，且满足 Lip 条件：
dy f ( x , y) , y( x0 ) y0 , x [a, b] dx
L 0, s.t.| f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) || y1 y2 | , 则上述问题的连续可
Matlab函数数值求解
[T,Y] = solver(odefun,tspan,y0)
其中 y0 为初值条件，tspan为求解区间；Matlab在数值求解 时自动对求解区间进行分割，T (向量) 中返回的是分割点的 值(自变量)，Y (向量) 中返回的是解函数在这些分割点上的函 数值。
solver 为Matlab的ODE求解器（可以是 ode45、ode23、
其中
L1 L2 L3 L4
f ( xk , yk ) f ( xk h / 2, yk hL1 / 2) f ( xk h / 2, yk hL2 / 2) f ( xk h, yk hL3 )
例3：利用四阶R-K方法求解例1与例2，并与Euler方法的 数值解进行比较。
y( xk 1 ) y( xk ) y( xk 1 ) y( xk ) dy O ( h) dx x h h k
作业 利用Euler方法和R-K方法求解一个 常微分初值问题，并比较数值结 果，计算数值解和解析解的误差。
在 [ xk , xk 1 ] 内多取几个点，将它们的导数加权平均代 替 f ( x, y( x)) ，设法构造出精度更高的计算公式。
常用的是经典的 四阶R-K方法
y0 y( x0 ), xk 1 xk h yk 1 yk h (L1 2 L2 2 L3 L4 )/6
若 f 在 D {a x b,| y | } 内连续，且满足 Lip 条件：
dy f ( x , y) , y( x0 ) y0 , x [a, b] dx
L 0, s.t.| f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) || y1 y2 | , 则上述问题的连续可
Matlab函数数值求解
[T,Y] = solver(odefun,tspan,y0)
其中 y0 为初值条件，tspan为求解区间；Matlab在数值求解 时自动对求解区间进行分割，T (向量) 中返回的是分割点的 值(自变量)，Y (向量) 中返回的是解函数在这些分割点上的函 数值。
solver 为Matlab的ODE求解器（可以是 ode45、ode23、
其中
L1 L2 L3 L4
f ( xk , yk ) f ( xk h / 2, yk hL1 / 2) f ( xk h / 2, yk hL2 / 2) f ( xk h, yk hL3 )
例3：利用四阶R-K方法求解例1与例2，并与Euler方法的 数值解进行比较。
y( xk 1 ) y( xk ) y( xk 1 ) y( xk ) dy O ( h) dx x h h k
一阶微分方程的解法及应用
方法 2 化为微分形式
x
( 6x3 3xy2 ) dx (3x2 y 2y3) dy 0
P 6xy Q
y
x
故这是一个全微分方程 .
9. 求下列方程的通解:
(1) xy y y ( ln x ln y )
(2) 2 x ln x dy y ( y2 ln x 1) dx 0 (3) y 3x2 y2 6x 3
2xy 2y (4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0
提示: (1) 原方程化为
令 u = x y , 得 d u u ln u (分离变量方程) dx x
(2) 将方程改写为
d y 1 y y3 (贝努里方程) 令 z y2 d x 2x ln x 2x
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .
判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则
① 为全微分方程 求解步骤:
1. 求原函数 u (x, y) 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件.
2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
6. 求解
(5x4 3xy2 y3) dx (3x2 y 3xy2 y2 ) dy 0
(3) y 3x2 y2 6x 3 2xy 2y
一阶微分方程初值问题的数值解 数值计算方法短学期
k
xk
y RK4法数值解 k 真解 y( xk )
0
0
2.000000 2.000000
1
1
6.201037 6.194631
2
2
14.862484 14.843922
3
3
33.721348 33.677172
4
4
75.439172 75.338963
k
xk
Euler法数值解 yk
真解 y( xk )
RK4代码
function [x,y]=RK4(fun,xspan,y0,h) % RK4 四阶Runge-Kutta法求解一阶微分方程初值问题的数值解 % [X,Y]=RK4(FUN,XSPAN,Y0,H) 四阶Runge-Kutta法求解微分方程FUN的数值解 % % 输入参数： % ---FUN：微分方程的函数描述 % ---XSPAN：求解区间[x0,xn] % ---Y0：初始条件 % ---H：迭代步长 % 输出参数： % ---X：返回的节点，即X=XSPAN(1):H:XSPAN(2) % ---Y：微分方程的数值解
一阶微分方程初值问题的数值解
拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理： 如果函数 f (x) 满足
a) 在闭区间[a,b]上连续， b) 在开区间(a,b)内可导，
则在(a,b)内至少存在一点 (a b) ，使得
f (b) f (a) f '( ).
ba
龙格库塔法基本思想
现在考虑一阶微分方程 y' f (x, y) ，根据拉格朗日中值
误差 y( xk ) yk 0.000000 -1.201037 3.441758 8.163956 18.489652
一阶常微分方程多点初值问题的可解性
（ ＋ ａ （） ｏ ０ ∑ ｋ ｔ ＝Ｃ ） ｘｋ
ｋ １ ＝ ．
（ ２ ）
解的存在性发展了上下解方法． 其中 Ｊ＝［ ］ Ｃ ∈ ０ ， Ｏ ，ｔ， ｋ ＝１ ， ， 为满足 ０ ｌ ， ｋａ （ ２ … ｍ） ＜ｔ ＜
￡ …＜ ＜ ，ｋ ０ 及 一＜萎０的 定 数 ，Ｊ — 为ＣｒｈｄＹ 数 ２ ＜ ａ＜ 以 １ 给 常 ，：× ａｔ。ｒ函 ・ ａ￣ ｏ
ｅｓ ）ｃｍ ／ｅｓ ）。 （＋ ］ｏ ０（一 ｓ ＝一 ｎ＇ｓ ） ｄ ｋ） ｉｄ ｔ
ｃ 。 ＝
故 （） （） ５ ６ 有唯一解为
（＝一 一ｎｋｓ ｌ ｋ／ｃ ＋ｎ （ ｏ ）ｃ＝ ｄ ｋ 。ｌ ） ｅ ｓ
ｃ ＝ ，
ｒ
ｅ＋＋。 一。ｋｓ （ （ｍ 一 薹／ｃ ｓ （ ｅ） ） ）ｃ ｏ ｄ ｓ 。 ｄ ｓ
１９ ， ｐａ运用 Ｌ ｒｙＳｈｕ ｅ 延拓定理在至 多线性增 长条 件下研 究了非线性二 阶常微分 ９２年 Ｇｕ ｔ ｅａ—ｃａ ｄｒ
方程三点边值 问题
Ｘ （ ＝ｆｔ （ ， ｔ￡ ｔ ） （ ， ）
）＋ｅｔ， ０＜ｔ １ ） （ ） ＜
ｘｏ ＝０ （ ＝ 卵， ＜ｒ （） ，ｘ１ （） ０ ｌ ） ＜１ 的可解性． 本文试图利用 Ｌ ｒｙ ｃａｄｒ ｅａ— ｈｕ ｅ 延拓定理在至多线性增长条件下讨论问题 （ ，（ 解的存 Ｓ １ ２ ） ）
在性 ．
定理 １ 假设函数 ｆ： 一 酞 满足 Ｃ ｒｔＳｄ ｒ Ｊ× ａａｈｏ ｏｙ条件 ，ａ ｋ＜ ０（ １ ，… ， ， 惫一 ，２ ｍ）－１＜
∑ ａ ０＜ｔ ＜ｔ … ＜ｔ ＜Ｔ为给定的常数． ｍ ｋ １ ２＜ 若存在函数 ｐ ｒ∈Ｌ 【 Ｔ ， ， １ ， 】 使得对几乎所有 ０
一阶微分方程解法
= e∫
cot ydy
cot ydy [ ∫ sin 2 ye ∫ dy + c ]
13
ln sin y [ sin 2 y e ln sin y dy c ] =e + ∫
1 dy + c ] = sin y[ ∫ sin y sin y
2
= sin y[ cos y + c ]
将初始条件 x = 1, y = π/2 代入上式, 得 c = 1 故满足初始条件的特解为 x = siny(1-cosy) -
4
两边积分,得
即
p = c1
1 Q2 e 2
又将初始条件Q = 0 时, p = 100代入上式, 得 c 1=100 故需求函数为
p=
1 Q2 100e 2
二. 可化为变量可分离的方程 1. 齐次方程
y y ' = f ( ) 的一阶方程，称为齐次微分方程, 简称 形如 x
齐次方程.
y u= , 即 引入新的变换 x y = ux
1 x2
=
1 2 3 2 y + y 2 4
19
于是
u = ln x + c
将u =
y 代入上式, 并化简得方程的通解为 x
y = x (ln x + c )2
例6 求方程 x 解
dy = y(ln y ln x ) 的通解. dx
将方程恒等变形 为
dy y y = ln dx x x
y 令 u= , 即 x
dy du y = ux 则得 = x +u dx dx
= y 2 [ ∫ ( 2 y ) y 2 dy + c ]
= y 2 [ 1 4 1 y + c ] = y 2 + cy 2 2 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1）向前欧拉公式：
«Skip Record If...»«Skip Record If...»n=0,1,2…….（1）
被称作向前欧拉公式或显式欧拉公式。
（2）向后欧拉公式：
«Skip Record If...»（2）
被称作向后欧拉公式或隐式欧拉公式。
（3）梯形公式：：
«Skip Record If...»n=0,1,2,……(3)
解：首先应确定凶案的发生时间，若死亡时间在下午5点5分之前，则张某就不是嫌疑犯，否则不能将张某排除。
设T(t)表示t时刻尸体的温度，并记晚上8:20为t=0，则T(0)=32.6℃，T(1)=31.4℃。假设受害者死亡时体温是正常的，即T=37℃是要确定受害者死亡的时间，也就是求T(t)=37℃的时刻，进而确定张某是否是嫌疑犯。
（3-1）的解«Skip Record If...»存在并且唯一。
常微分方程的解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，实际问题中主要靠数值解法。所谓数值解法，就是寻求解y(x)在一系列离散节点«Skip Record If...»
上的近似值«Skip Record If...»相邻两个节点的距离«Skip Record If...»称为步长，节点为«Skip Record If...»初值问题（3-1）的数值解法都采用进步式，即只要给出用已知信息«Skip Record If...»就能给出计算«Skip Record If...»的递推公式。
被称作梯公式。
（4）改进的欧拉公式:
«Skip Record If...»«Skip Record If...»(4)
被称作改进的欧拉公式。
例1、求解初值问题«Skip Record If...»（3.3）
解（1）向前欧拉公式的方法具体形式为：«Skip Record If...»
取步长h=0.1，计算结果见表3－1。
解首先建立坐标系，兔子在O处，
狼在A处。由于狼要盯着兔子追，所以
狼行走的是一条曲线，且在同一时刻，
曲线上狼的位置与兔子的位置的连线为
曲线上该点处的切线。设狼的行走轨迹
是y=f(x)， 则有«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
又因狼的速度是兔子的两倍，所以
在相同时间内狼走的距离为兔子走的距离的两倍。假设在某一时刻，兔子跑到
31一阶微分方程初值问题数值解32猪的最佳销售时机
课题
第三章微分方程模型与一阶常微分方程初值问题数值解
§3.1一阶微分方程初值问题数值解§3.2猪的最佳销售时机
教学内容
1.常微分方程的两个模型
2.一阶常微分方程初值问题数值解法
3.猪的最佳销售时机问题的模型及实验
教学目标
1.了解一阶微分方程的初值问题的两个数值解法：欧拉方法、Runge-kutta(龙格－库塔)方法。
2.会利用变化率分析并建立微分方程模型。
3.会用软件Mathematica和MATLAB求解微分方程模型。
教学重点
1.掌握微分方程数值解法得基本思想.
2.了解欧拉方法、利用改进的欧拉公式解一阶微分方程的初值问题的数值解
教学难点
Runge-kutta(龙格－库塔)方法
双语教学内容、安排
Differential equation;微分方程
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
(0,h)处，而狼在(x,y)处，则有
«Skip Record If...»
整理得到下述模型
«Skip Record If...»
这属于可降阶的二阶微分方程，解得狼的行走轨迹
«Skip Record If...»
因«Skip Record If...»，所以狼追不上兔子。
2、尸体冷却模型
受害者的尸体于晚上7:30被发现，法医于晚上8:20赶到凶案现场，测得尸体温度为32.6℃；一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为31.4℃，室温在几个小时内始终保持21.1℃。此案最大的嫌疑犯张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5:00时打完电话后就离开了办公室”。从张某到受害者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题是，张某不在凶案现场的证言能否被采信，使他排除在嫌疑犯之外。
2、欧拉方法的递推公式：
它的基本思想是在«Skip Record If...»小区间«Skip Record If...»上用差商«Skip Record If...»代替导数«Skip Record If...»，而方程右端函数中的在小区间«Skip Record If...»的端点上取值，得到方程的近似表达式，称为欧拉公式。
人体体温受大脑神经中枢调节。人死亡后体温调节的功能消失，尸体的温度受外界环境温度的影响。假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化律与他同周围的温度差成正比。即
«Skip Record If...»k是常数，
分离变量积分得：«Skip Record If...»
由T(0)=21.1+a=32.6得a=11.5；由T(1)=21.1+ae-k=31.4得e-k＝115/103，即k=0.11，所以T(t)=21.1+11.5e-0.11t .
当T=37℃时，有t=-2.95小时＝-2小时57分，8小时20分－2小时57分＝5小时23分。即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被排除在嫌疑犯之外。
二、一阶微分方程初值问题数值解
1、导入课程：微分方程的定解问题中着重考虑的一阶方程的初值问题
«Skip Record If...»
函数«Skip Record If...»满足利普希茨条件：«Skip Record If...»
numerical value solution;数值解
教学手段、措施
板书、结合多媒体教学
作业、后记
P69,2
教学过程及教学设计
备注
§3.1一阶微分方程初值问题数值解
一、两个模型
1、饿狼追兔问题
现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处。假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全回到巢穴？
«Skip Record If...»«Skip Record If...»n=0,1,2…….（1）
被称作向前欧拉公式或显式欧拉公式。
（2）向后欧拉公式：
«Skip Record If...»（2）
被称作向后欧拉公式或隐式欧拉公式。
（3）梯形公式：：
«Skip Record If...»n=0,1,2,……(3)
解：首先应确定凶案的发生时间，若死亡时间在下午5点5分之前，则张某就不是嫌疑犯，否则不能将张某排除。
设T(t)表示t时刻尸体的温度，并记晚上8:20为t=0，则T(0)=32.6℃，T(1)=31.4℃。假设受害者死亡时体温是正常的，即T=37℃是要确定受害者死亡的时间，也就是求T(t)=37℃的时刻，进而确定张某是否是嫌疑犯。
（3-1）的解«Skip Record If...»存在并且唯一。
常微分方程的解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，实际问题中主要靠数值解法。所谓数值解法，就是寻求解y(x)在一系列离散节点«Skip Record If...»
上的近似值«Skip Record If...»相邻两个节点的距离«Skip Record If...»称为步长，节点为«Skip Record If...»初值问题（3-1）的数值解法都采用进步式，即只要给出用已知信息«Skip Record If...»就能给出计算«Skip Record If...»的递推公式。
被称作梯公式。
（4）改进的欧拉公式:
«Skip Record If...»«Skip Record If...»(4)
被称作改进的欧拉公式。
例1、求解初值问题«Skip Record If...»（3.3）
解（1）向前欧拉公式的方法具体形式为：«Skip Record If...»
取步长h=0.1，计算结果见表3－1。
解首先建立坐标系，兔子在O处，
狼在A处。由于狼要盯着兔子追，所以
狼行走的是一条曲线，且在同一时刻，
曲线上狼的位置与兔子的位置的连线为
曲线上该点处的切线。设狼的行走轨迹
是y=f(x)， 则有«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
又因狼的速度是兔子的两倍，所以
在相同时间内狼走的距离为兔子走的距离的两倍。假设在某一时刻，兔子跑到
31一阶微分方程初值问题数值解32猪的最佳销售时机
课题
第三章微分方程模型与一阶常微分方程初值问题数值解
§3.1一阶微分方程初值问题数值解§3.2猪的最佳销售时机
教学内容
1.常微分方程的两个模型
2.一阶常微分方程初值问题数值解法
3.猪的最佳销售时机问题的模型及实验
教学目标
1.了解一阶微分方程的初值问题的两个数值解法：欧拉方法、Runge-kutta(龙格－库塔)方法。
2.会利用变化率分析并建立微分方程模型。
3.会用软件Mathematica和MATLAB求解微分方程模型。
教学重点
1.掌握微分方程数值解法得基本思想.
2.了解欧拉方法、利用改进的欧拉公式解一阶微分方程的初值问题的数值解
教学难点
Runge-kutta(龙格－库塔)方法
双语教学内容、安排
Differential equation;微分方程
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
(0,h)处，而狼在(x,y)处，则有
«Skip Record If...»
整理得到下述模型
«Skip Record If...»
这属于可降阶的二阶微分方程，解得狼的行走轨迹
«Skip Record If...»
因«Skip Record If...»，所以狼追不上兔子。
2、尸体冷却模型
受害者的尸体于晚上7:30被发现，法医于晚上8:20赶到凶案现场，测得尸体温度为32.6℃；一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为31.4℃，室温在几个小时内始终保持21.1℃。此案最大的嫌疑犯张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5:00时打完电话后就离开了办公室”。从张某到受害者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题是，张某不在凶案现场的证言能否被采信，使他排除在嫌疑犯之外。
2、欧拉方法的递推公式：
它的基本思想是在«Skip Record If...»小区间«Skip Record If...»上用差商«Skip Record If...»代替导数«Skip Record If...»，而方程右端函数中的在小区间«Skip Record If...»的端点上取值，得到方程的近似表达式，称为欧拉公式。
人体体温受大脑神经中枢调节。人死亡后体温调节的功能消失，尸体的温度受外界环境温度的影响。假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化律与他同周围的温度差成正比。即
«Skip Record If...»k是常数，
分离变量积分得：«Skip Record If...»
由T(0)=21.1+a=32.6得a=11.5；由T(1)=21.1+ae-k=31.4得e-k＝115/103，即k=0.11，所以T(t)=21.1+11.5e-0.11t .
当T=37℃时，有t=-2.95小时＝-2小时57分，8小时20分－2小时57分＝5小时23分。即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被排除在嫌疑犯之外。
二、一阶微分方程初值问题数值解
1、导入课程：微分方程的定解问题中着重考虑的一阶方程的初值问题
«Skip Record If...»
函数«Skip Record If...»满足利普希茨条件：«Skip Record If...»
numerical value solution;数值解
教学手段、措施
板书、结合多媒体教学
作业、后记
P69,2
教学过程及教学设计
备注
§3.1一阶微分方程初值问题数值解
一、两个模型
1、饿狼追兔问题
现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处。假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全回到巢穴？