一般力系的简化
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第1讲 平面一般力系简化
主矢和主矩必同时为零。所以，平面一般力系平衡的充要条件
为：力系的主矢及力系对任一点的主矩均为零，即： F =0 MO =0
根据平面任意力系的平衡条件： F 0 M O 0 F ( Fx ) ( Fy ) 0 Fx 0， Fy 0 上式可写为： Fix 0 Fiy 0 M O ( Fi ) 0
要使MB=0，只有使F '的作用线通过A、B连线或者F ’=0 ；
∑Fx=0： 即∑Fx=F 'cosφ=0，只有当cosφ≠0时，才能肯定 F '=0。 因此必须φ≠90°，即A、B连线不能垂直于 x 轴(如右图)。
· · · · · ·
｛F1，F2 ，· · ·Fn｝
平面汇交力系和平面力偶系是平
面一般力系的特例。平面一般力系是 工程中最常见的力系。
一、力的平移定理
作用在刚体上的力F，可以平移到同一刚体上的任一点O， 但必须同时增加一附加力偶，附加力偶的力偶矩 M 等于原力F
对新作用点O之矩。这就是力的平移定理。
即F'为原力系的合力，其作用线通过简化中心。
3、F' ≠0， MO ≠0
当平面一般力系的主矢及对简化中心的主矩都不
等于零时，根据力的平移定理的逆过程，可以将F' 和MO合成为一个合力。 将作用线通过O点的力F'及矩为MO的力偶合成为一个作用线通过A点的一个 力，此力即为原力系的合力。如图所示，且有 F = F' =ΣFi 合力的大小、方向与原力系的主矢相同，合力F 是在主矢F'的哪一侧，则要 根据主矩的正负号来确定 。合力F'的作用线到简化中心O的距离为：
都不会变化。所以说主矢与
简化中心的选择无关。
力系的简化
力系向一点简化后的主矢和主矩在坐标轴上的投影
n
n
n
FR ( Fix )i ( Fiy ) j ( Fiz )k
i 1
i 1
i 1
Fx i Fy j Fz k
Z
MO Fz
FR
Mz
Fx M x O
Fy
My
MO Mxi M y j Mzk
Y
X
空间力系向一点简化的意义
1、 FR 0; M O 0
力系平衡
平衡条件对O 点成立，则对任意点成立。
首先，力系第一不变量，FR 0 对任意点成立；其次，主矢对任意两定点 之矩的关系
MO M A OA FR
于是
MA 0
其中 FR 0; M O 0
2、 FR 0; M O 0 力系简化为一个合力偶，力偶矩为Mo 可以证明上述结果与简化中心无关
O
Fi
ri r2
ri
r2 r1
r1
C
rC FR
F2 F1
证明：如图，依条件有
FR Fi 0 MC ri Fi 0
ri rC ri
力系对O点之矩
Fi
ri r2
ri
r2
r1
r1
C
O
rC
FR
MO ri Fi (ri rC ) Fi
边长为d的正方形作用五个力，方向如图 已知 S1 S2 S3 S ， S4 S5 2S 求：力系的最简形式
z
S4
S1
O
d
x
S5
S3
y
S2
解：将各力向坐标轴上分解，有
平面一般力系向一点的简化
理论力学
平面力系\平面一般力系向一点简化
平面一般力系向一点的简化
如果作用于物体上各力的作用线都在同一平面内，但各力的作 用线不汇交于一点，也不都组成力偶，则这种力系称为平面一般力 系。平面一般力系是工程中最常见的力系。
例如图示屋架，受到屋面自重和积雪等重力荷载W、风力F以 及支座反力FAx、FAy、FB的作用，这些力的作用线在同一平面内， 组成一个平面一般力系。
MO MOi F 3m W1 1.5m W2 1m 450 kN m
负号表示主矩MO顺时针转向。
目录
平面力系\平面一般力系向一点简化
根据力的平移定理，本问题 中主矢F'R与主矩MO还可进一步 简化为一个合力FR，其大小、方 向与主矢F'R相同。设合力FR的 作用线与x轴的交点B到O点的距 离为d1，由合力矩定理，有
目录
平面力系\平面一般力系向一点简化
将式 FR F F 向坐标轴投影，得
FRx X FRy Y
即主矢在某轴上的投影等于力系中各力在同轴上投影的代数和。
求得主矢在坐标轴上的投影后，可得主矢的大小及方向分别为
FR
X
2
Y
2
tan Y
X
式中： ——F‘R与x轴正向的夹角。
至于主矩可直接利用 M O M O1 M O 2 M O n M O F
（2）力系可简化为一个合力 当 FR 0, M O 0 时，力系与一个力等效，即力系可简化为一 个合力。合力等于主矢，合力的作用线通过简化中心。
当 FR 0, M O 0 时，根据力的平移定理逆过程，可将FR 和 MO简化为一个合力FR。合力的大小、方向与主矢相同，合力的作 用线不通过简化中心。
MO1=MO（F1）、MO2=MO（F2）、…、MOn=MO（Fn）
平面力系\平面一般力系向一点简化
平面一般力系向一点的简化
如果作用于物体上各力的作用线都在同一平面内，但各力的作 用线不汇交于一点，也不都组成力偶，则这种力系称为平面一般力 系。平面一般力系是工程中最常见的力系。
例如图示屋架，受到屋面自重和积雪等重力荷载W、风力F以 及支座反力FAx、FAy、FB的作用，这些力的作用线在同一平面内， 组成一个平面一般力系。
MO MOi F 3m W1 1.5m W2 1m 450 kN m
负号表示主矩MO顺时针转向。
目录
平面力系\平面一般力系向一点简化
根据力的平移定理，本问题 中主矢F'R与主矩MO还可进一步 简化为一个合力FR，其大小、方 向与主矢F'R相同。设合力FR的 作用线与x轴的交点B到O点的距 离为d1，由合力矩定理，有
目录
平面力系\平面一般力系向一点简化
将式 FR F F 向坐标轴投影，得
FRx X FRy Y
即主矢在某轴上的投影等于力系中各力在同轴上投影的代数和。
求得主矢在坐标轴上的投影后，可得主矢的大小及方向分别为
FR
X
2
Y
2
tan Y
X
式中： ——F‘R与x轴正向的夹角。
至于主矩可直接利用 M O M O1 M O 2 M O n M O F
（2）力系可简化为一个合力 当 FR 0, M O 0 时，力系与一个力等效，即力系可简化为一 个合力。合力等于主矢，合力的作用线通过简化中心。
当 FR 0, M O 0 时，根据力的平移定理逆过程，可将FR 和 MO简化为一个合力FR。合力的大小、方向与主矢相同，合力的作 用线不通过简化中心。
MO1=MO（F1）、MO2=MO（F2）、…、MOn=MO（Fn）
工程力学：第2章 力系的简化
F1sin45 F2sin45 0 FAsin30 F1cos45 cos30 F2 cos45 cos30 0 FAcos30 F1cos45 sin30 F2cos45 sin30 P 0
B FB1
相同的均质杆围成正方形，求绳EF的拉力。
要求：
用最少的方 程求出绳EF受 的力
FAy
FAx
A
E
P
FDy
FDx
D
G
P
B
F
P
C
FDy FDx
D
G
P
FDy FDx
D
FCy FCx
C
FBx FT
G
P
FBy
B
F
P
C
例3-3
q
FAx A
M B
2a
P
FAy
4a
FB
ll
30
F
M
3l P
q
例3-4
F
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ FR 0, MO 0 ,为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR 。
FAy
B FB1x
C
M
B
D
Cr
•
E
A
300 F E
FA
FT
C
F A1
FA
求：销钉A所受的力
M
B D
FD D C
第二章力系的简化
A
x
i j k
y
F
MA r F l 2l 0 对点A的力矩： F sin 0 F cos 2Fl cosi Fl cosj 2Fl sin k
15
三.力偶 1.力偶定义 两个等值、反向、不共线的平行力。记为 ( F , F ) 力偶不能合成为一个力，故也不能与 一个力平衡，因此力和力偶都是基本力学 F 量。 F M 静止时力偶 M 与F 平衡吗? 力偶只能使物体转动，用力偶矩衡量
22
2.主矢与主矩——原力系的特征量 1)定义
' 主矢：（各力的矢量和）FR Fi Fi' ，与简化中心无关
主矩： （各力对O点取矩的矢量和）
MO MO (Fi ) ，与简化中心有关
2)简化结果 一般力系向某一点简化，可以得到一个力和一 个力偶，该力作用在简化中心，其大小，方向与原 力系主矢相同；该力偶矩等于原力系对简化中心的 主矩。
F
三要素:
大小、力偶作用面方位、转向.
16
F
2.力偶矩矢
A
rB A
F
F
B
h
rA
M
M
rB
O
定 义: 而
MO F ,F rA F rB F
F ' F
rA rB rB A
M0 F , F (rA rB ) F rBA F rAB F M
5
力矩的解析表达式：
由于F Fx i Fy j Fz k
M O (F ) r F x Fx i
r xi y j zk
工程力学基础第3章 力系的静力等效和简化
二、力系简化的最终结果 根据力系主矢和主矩的性质，力系可最终简化为下列四种情形 1 2 3 4 平衡力系 即与零力系等效。其条件为主矢F′R=0，主矩M 该力偶称为力系的合力偶。力系存在合力 该力称为力系的合力。
O=0 单一等效力偶 单一等效力 力螺旋 偶的条件为主矢F′R≠0，主矩MO≠0。 在最一般的情况下，力系的主矢和主矩不垂直
三、平面力系的简化结果
（1）沿直线路面行驶的汽车，若不考虑由于路面不平引起的
左右摇摆和侧滑，则由汽车所受的重力、空气阻力及地面对车 轮的约束力构成的空间力系将对称于汽车的纵向对称面。将该 力系向汽车的纵向对称面简化，就可得到一个平面一般力系， 如图3-11 （2）工厂车间里的桥式起重机，梁的自重、起重机小车的自 重和起吊物的重量均作用在梁的纵向对称面内。梁两端四个车 轮的约束力也对称于该平面，故该力系可简化为梁纵向对称面 内的一个平面力系，如图3-12所示。
图3-3
力的平移定理
可以把作用于刚体上点A的力F平行移动到任一
点O，同时附加一个力偶，其力偶矩矢M等于力F对点O的力矩
矢，即M=MO（F），则平移后得到的新力系与原力系等效， 如图3-4 力的平移定理可以直接用等效力系定理来证明。反之，作用于 同一刚体的同一平面内的一个力和一个力偶（即力偶矩矢和力 矢垂直时），可以用一个力等效代替。
（一般）力系，这是力系的最一般的形式。当力系中各力的作 用线位于同一平面内时，称为平面（一般）力系，这是工程实 际中常见的重要情形。有些空间力系通过等效转换的方法也可 以变为平面力系。如果力系中各力的作用线交于一点，则称为 汇交力系。如果力系全部由力偶组成，则称为力偶系。汇交力 系和力偶系也有空间和平面两种情形，汇交力系和力偶系是两
图3-4
材料力学 第2章 力系简化
而合力的作用点即平行力系的中心：
n
xC
lim
n
Fi xi
i 1 n
l
q( x) xdx
0 l
lim
n
i 1
Fi
0 q(x)dx
分布力对点A之矩
分布力包围的面积
结论：分布力的合力的大小等于分布力载荷图的面积，合
力的作用线通过载荷图的形心。
2.2 物体的重心、质心和形心
例2-5 如图所示，已知q、l, 求分布力对A点之矩。
2.2 物体的重心、质心和形心
xC
ΣFi xi ΣFi
，yC
ΣFi yi ΣFi
，zC
ΣFi zi ΣFi
3、平行力系中心的性质
平行力系的中心位置只与各平行力的大小和作用点的 位置有关，与平行力的方向无关。
2.2 物体的重心、质心和形心
二、物体的重心、质心和形心
1、重心
n个小体积ΔVi
坐标xi、yi、zi
（2）实验测定方法 悬挂法
称重法
l
A
C
B
xC G
FNB
二力平衡 两次悬挂
2.2 物体的重心、质心和形心
三、分布力
工程上存在大量分布力的情况，通常需要确定这些分布力
的合力的大小及其合力作用线的位置。对于图示的线分布力，
可以视为由无穷个集中力所构成的平行力系，
其合力的大小：FR
l
q ( x)dx
0
FP1 450kN，FP2 200kN
F1 300kN ，F2 70kN
求：
（1）力系向点 O 简化的结果；
（2）力系简化的最终结果。
2.1 力系简化
解：（1）确定简化中心为O点
1-2力系简化
应用时常使用投影式
M x ( R) m x ( Fi ) M y ( R) m y ( Fi ) M ( R) m z ( Fi ) z
19
力系简化
五、平面力系简化
主矢 R F 1 F2 F3 Fi
主 矩 M O m1 m2 m3 mO ( F1 ) mO ( F2 ) mO ( Fi ) ( 代 数 和)
① R MO
② R // M O
③主矢与主矩既不平行也不垂直。 R’
O1 O MO O1 O
MO
R’
13
力系简化
对第一种情况，可进一步简化，如图
R
O 等效 MO O R d MO R R R O 等效 O d O
MO R d
d MO R MO R'
合力 : R Fi
2、若 R 0, M O 0 ，则该力系可合成一个合力偶，其矩等于原
力系对于简化中心的主矩MO 。此时主矩与简化中心的位置无关
3、若
R' 0, MO 0 ，则该力系合成为一个合力，主矢就是原力
系的合力，这说明该力系的合力作用线通过简化中心O点。 （此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）。
28
力系简化
作业：P66 3-8 、 9、10
30
力系简化
31
L L
合力R恰好等于分布图形的面积（规律!）
②、由合力矩定理
x
等 效
M A ( R) M A (q( x )) M A (q( x ))
R AC x dR x q0 xdx / L q0 L2 3
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化中心的主矩。 主矢为
Fi FR
i 1
n
与简化中心无关 (力系第一不变量)
主矢唯一；主矢是自由矢 主矩为
M O M O (Fi ) (一般) 与简化中心有关
i 1
n
主矩与矩心位置有关;主矩是定位矢
主矢量和主矩的计算 ●主矢量F'R的计算
x Fxi FR y Fyi FR
定理：作用在刚体上某点的力 F ，可以平行移动
到刚体上任意一点，但必须同时附加一个力偶，其 力偶 矩等于原来的力 F 对平移点之矩。
F A B
加平衡力系 (F'， F")
F A B F"
F'
A
将力偶(F，F") 用M代替
F' M B
F'= F(大小相等，方向相同)
M=MB(F )
M=F· d
可见，一个力可以分解为一个与其等值平行 的力和一个位于平移平面内的力偶；反之，一个 力偶和一个位于该力偶作用面内的力，也可以用 一个位于力偶作用面内的力来等效替换。
F2
60° B F3
FR
FRx FRy
2
y A 2m
2
0.974kN
x FR , i cos FR 0.614 FR
F1
F'R
3m C
F4 30° x
, i 526' FR
y FR , j cos FR 0.789 FR
MO F1 Od
F'R FR
3m C
F4 30° x
距离为：
MO d 0.51m FR
例
100mm
y
4 2 1 Fx F1 5 F2 2 F3 5 100 3 2 2 F F F F y 1 5 2 2 3 5 100
300mm
M1
平面力偶系
力偶的作用效应
M2 Mn
平面力偶系可以合成为一个力偶（合力偶）
此合力偶之矩等于原力偶系中各力偶之矩的代 数和
M M i M1 M 2
i 1
n
Mn
平面力偶系的平衡
平面力偶系平衡的充分必要条件为:
M Mi 0
i 1
n
例1 已知： 结构受力如图所示，图中M， r均为已知，且l=2r。试画出AB和BDC杆的 受力图；求A、C处的约束力。
d
A
F
B
MO(F)=±Fd=±2Δ OAB ●力矩的性质： O d A F
1 当力F的大小等于零，或者力的作用线通过矩 心（即力臂d=0）时，力对矩心的力矩等于零；
2 当力F沿其作用线滑动时，并不改变力对指定 点的矩； 3 同一个力对不同点的矩一般不同。
2 力偶及其性质 平面力偶系的合成与平衡
一 力偶及力偶矩矢 B F' 力偶的定义
F1
F2
A
FR
Fn
M M B (FR ) M B (Fi )
i 1
n
FR′ A B M
即：平面一般力系的合力对力系所在平面内任意点 之矩等于力系中所有各力对同一点之矩的代数和。这 称为平面一般力系的合力矩定理
例1 槽形杆用螺钉固定于点O，如图示。在杆端 点A作用一力P，其大小P=400N，试求力P对点O之 矩。
●平面一般力系平衡方程的其它形式
Fx 0 M A Fi 0 M B Fi 0 M A Fi 0 M B Fi 0 M C Fi 0
二矩式
适用条件：A、B两 矩心的连线不能与所 选投影轴（x轴）垂直
如：
C
F
C
F
C
M
F'
(a)
(b)
(c)
4 平面一般力系向作用面内一点简化
设在某一刚体上作用着平面一般力系F1、F2 、…Fn，如图所示。显然无法象平面汇交力系那 样，用力的平行四边形法则来合成它。
F1
F2
Fn
简化中心
F1 F2
F'1
M1
O
F'n Fn
(a) (b) Mn
F'2 M2
F'R O MO
FR
,i cos FR
2
x FR
Fxi Fyi
2
,j cos FR
y FR
FR
FR
●主矩ＭO的计算
MO M MO Fi
二、简化结果分析 1 F'R= 0, MO≠0 原力系合成为力偶。
这时力系主矩MO 与简化中心位置无关。
B r A D l M C
受力分析:
F'B
B FA A FB B
45°
M D C FC
结论： 1 AB杆为二力杆; 2 BDC杆的Ｃ、B 二处分别受有一 个方向虽 然未知、 但可以判断出的力。
3 力的平移定理
?问题的产生
平 面 一 般 力 系
F1
FR12 F2 F'3 O2
O1
F3
?
空间一般力系 力与力偶，如何合成
2 F'R≠0, MO= 0 原力系合成为一个力。作用于点O 的力F'R就是 原力系的合力。
3 F'R≠ 0, MO≠0 原力系简化成一个力偶和一个作用于点O 的力, 这时力系可进一步合成为一个力。
y
FR FRy FRx F'R MO x
O'(x,0)
d O
d
d
MO
FR
x d
MO cos F Ry
F1
3 4
200mm 1 1
F2
x
M FR
º
1 2
MO
F'R
F3
100 2N FR
, i 2 2 cos FR
, j 2 2 cos FR
M O M O (Fi ) F2 sin 45 0.2 F3 1 5 0.1 40 30N.m
M A Fi 0 或者: M B Fi 0
注意： AB与各Fi不平行。
两个独立方程！
图示F1，F2，F3------FN为一平面力系，若力系 平衡，则下列各组平衡方程中互相不独立的是 ( B )。
简单的力系
性质二：当力偶矩保持不变时，力偶可在其作 用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用
性质三：只要保持力偶矩不变，可同时相应地 改变力偶中力的大小和力偶臂的长度，而不影响 力偶对刚体的作用效应 F' d F 0.5F' 2d 0.5F M=Fd
此性质称为力偶等效性质
平面力偶系的合成与平衡
10cm C 12cm D
F2
30º
P
A
F1
d
O 6cm B
4 F'R= 0, MO=0
原力系平衡。
综上所述，平面一般力系简化的最终结果为： 1 一个力；
2 一个力偶；
3 平衡。
例2 在长方形平板的O、A、B、C 点上分别作用着 有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图）， 试求以上四个力构成的力系对点O 的简化结果，以及 该力系的最终合成结果。
3力偶作用面的方位。 力偶的正负号表示转向：一般以逆时针转 向为正，反之为负。
力偶矩与力对点之矩 力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶 矩,而与矩心无关 M(F,F') = +Fd F' F MO(F') +MO(F) O = -Fx + F'(x +d) d = +Fd x = M(F,F') 由此可见,同一平面内两力偶等效的充分与 必要条件是:两力偶之矩相等。
d
力偶: 大小相等, 方向相反,不共线的两 个力所组成的力系。
F A d (F, F' )
●力偶臂：d
●力偶作用面：力偶中两 力作用线所决定的平面
力 偶 实 例
F1
F2
力偶的要素 1 力偶中任一力的大小和力偶臂的乘积F.d； ●力偶的单位：Nm或kNm
2 在力偶作用面内，力偶的转向；
y F2 60° B F3
A
2m
解：取坐标系Oxy。 1 求向O点简化结果： (1)求主矢F Rx：
F1
F4 30° 3m
C x
O
x Fx F2 cos60 F3 F4 cos30 0.598kN FR
y Fy F1 F2 sin 60 F4 sin 30 FR 3 1 1 2 3 0.768kN 2 2
◐ 固定端约束 作为平面一般力系简化结果的一个应用，我们来 分析另一种常见约束------固定端约束的反力。
卡盘
遮雨蓬
简图：
FA MA A FAy MA FAx
固定端约束反力有三个分量：两个正交反力， 一个反力偶
◐ 沿直线分布的线荷载合力 集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小或 与整个构件的尺寸相比很小，可以认为集中作用在 一点上。例如，道路给轮子的力等。 几种分布荷载 (1)体分布荷载，如，构件的自重等； (2)面分布荷载，风压力、雪压力等； (3)线分布荷载，如沿构件的轴线分布。 荷载单位
(c)
(F'1， F'2 ，„ ， F'n）
Fi Fi FR
平面汇交力系 主矢量
(M1， M2 ，„ ， Mn）
平面力偶系
Fi FR
i 1
n
与简化中心无关 (力系第一不变量)
主矢唯一；主矢是自由矢 主矩为
M O M O (Fi ) (一般) 与简化中心有关
i 1
n
主矩与矩心位置有关;主矩是定位矢
主矢量和主矩的计算 ●主矢量F'R的计算
x Fxi FR y Fyi FR
定理：作用在刚体上某点的力 F ，可以平行移动
到刚体上任意一点，但必须同时附加一个力偶，其 力偶 矩等于原来的力 F 对平移点之矩。
F A B
加平衡力系 (F'， F")
F A B F"
F'
A
将力偶(F，F") 用M代替
F' M B
F'= F(大小相等，方向相同)
M=MB(F )
M=F· d
可见，一个力可以分解为一个与其等值平行 的力和一个位于平移平面内的力偶；反之，一个 力偶和一个位于该力偶作用面内的力，也可以用 一个位于力偶作用面内的力来等效替换。
F2
60° B F3
FR
FRx FRy
2
y A 2m
2
0.974kN
x FR , i cos FR 0.614 FR
F1
F'R
3m C
F4 30° x
, i 526' FR
y FR , j cos FR 0.789 FR
MO F1 Od
F'R FR
3m C
F4 30° x
距离为：
MO d 0.51m FR
例
100mm
y
4 2 1 Fx F1 5 F2 2 F3 5 100 3 2 2 F F F F y 1 5 2 2 3 5 100
300mm
M1
平面力偶系
力偶的作用效应
M2 Mn
平面力偶系可以合成为一个力偶（合力偶）
此合力偶之矩等于原力偶系中各力偶之矩的代 数和
M M i M1 M 2
i 1
n
Mn
平面力偶系的平衡
平面力偶系平衡的充分必要条件为:
M Mi 0
i 1
n
例1 已知： 结构受力如图所示，图中M， r均为已知，且l=2r。试画出AB和BDC杆的 受力图；求A、C处的约束力。
d
A
F
B
MO(F)=±Fd=±2Δ OAB ●力矩的性质： O d A F
1 当力F的大小等于零，或者力的作用线通过矩 心（即力臂d=0）时，力对矩心的力矩等于零；
2 当力F沿其作用线滑动时，并不改变力对指定 点的矩； 3 同一个力对不同点的矩一般不同。
2 力偶及其性质 平面力偶系的合成与平衡
一 力偶及力偶矩矢 B F' 力偶的定义
F1
F2
A
FR
Fn
M M B (FR ) M B (Fi )
i 1
n
FR′ A B M
即：平面一般力系的合力对力系所在平面内任意点 之矩等于力系中所有各力对同一点之矩的代数和。这 称为平面一般力系的合力矩定理
例1 槽形杆用螺钉固定于点O，如图示。在杆端 点A作用一力P，其大小P=400N，试求力P对点O之 矩。
●平面一般力系平衡方程的其它形式
Fx 0 M A Fi 0 M B Fi 0 M A Fi 0 M B Fi 0 M C Fi 0
二矩式
适用条件：A、B两 矩心的连线不能与所 选投影轴（x轴）垂直
如：
C
F
C
F
C
M
F'
(a)
(b)
(c)
4 平面一般力系向作用面内一点简化
设在某一刚体上作用着平面一般力系F1、F2 、…Fn，如图所示。显然无法象平面汇交力系那 样，用力的平行四边形法则来合成它。
F1
F2
Fn
简化中心
F1 F2
F'1
M1
O
F'n Fn
(a) (b) Mn
F'2 M2
F'R O MO
FR
,i cos FR
2
x FR
Fxi Fyi
2
,j cos FR
y FR
FR
FR
●主矩ＭO的计算
MO M MO Fi
二、简化结果分析 1 F'R= 0, MO≠0 原力系合成为力偶。
这时力系主矩MO 与简化中心位置无关。
B r A D l M C
受力分析:
F'B
B FA A FB B
45°
M D C FC
结论： 1 AB杆为二力杆; 2 BDC杆的Ｃ、B 二处分别受有一 个方向虽 然未知、 但可以判断出的力。
3 力的平移定理
?问题的产生
平 面 一 般 力 系
F1
FR12 F2 F'3 O2
O1
F3
?
空间一般力系 力与力偶，如何合成
2 F'R≠0, MO= 0 原力系合成为一个力。作用于点O 的力F'R就是 原力系的合力。
3 F'R≠ 0, MO≠0 原力系简化成一个力偶和一个作用于点O 的力, 这时力系可进一步合成为一个力。
y
FR FRy FRx F'R MO x
O'(x,0)
d O
d
d
MO
FR
x d
MO cos F Ry
F1
3 4
200mm 1 1
F2
x
M FR
º
1 2
MO
F'R
F3
100 2N FR
, i 2 2 cos FR
, j 2 2 cos FR
M O M O (Fi ) F2 sin 45 0.2 F3 1 5 0.1 40 30N.m
M A Fi 0 或者: M B Fi 0
注意： AB与各Fi不平行。
两个独立方程！
图示F1，F2，F3------FN为一平面力系，若力系 平衡，则下列各组平衡方程中互相不独立的是 ( B )。
简单的力系
性质二：当力偶矩保持不变时，力偶可在其作 用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用
性质三：只要保持力偶矩不变，可同时相应地 改变力偶中力的大小和力偶臂的长度，而不影响 力偶对刚体的作用效应 F' d F 0.5F' 2d 0.5F M=Fd
此性质称为力偶等效性质
平面力偶系的合成与平衡
10cm C 12cm D
F2
30º
P
A
F1
d
O 6cm B
4 F'R= 0, MO=0
原力系平衡。
综上所述，平面一般力系简化的最终结果为： 1 一个力；
2 一个力偶；
3 平衡。
例2 在长方形平板的O、A、B、C 点上分别作用着 有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图）， 试求以上四个力构成的力系对点O 的简化结果，以及 该力系的最终合成结果。
3力偶作用面的方位。 力偶的正负号表示转向：一般以逆时针转 向为正，反之为负。
力偶矩与力对点之矩 力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶 矩,而与矩心无关 M(F,F') = +Fd F' F MO(F') +MO(F) O = -Fx + F'(x +d) d = +Fd x = M(F,F') 由此可见,同一平面内两力偶等效的充分与 必要条件是:两力偶之矩相等。
d
力偶: 大小相等, 方向相反,不共线的两 个力所组成的力系。
F A d (F, F' )
●力偶臂：d
●力偶作用面：力偶中两 力作用线所决定的平面
力 偶 实 例
F1
F2
力偶的要素 1 力偶中任一力的大小和力偶臂的乘积F.d； ●力偶的单位：Nm或kNm
2 在力偶作用面内，力偶的转向；
y F2 60° B F3
A
2m
解：取坐标系Oxy。 1 求向O点简化结果： (1)求主矢F Rx：
F1
F4 30° 3m
C x
O
x Fx F2 cos60 F3 F4 cos30 0.598kN FR
y Fy F1 F2 sin 60 F4 sin 30 FR 3 1 1 2 3 0.768kN 2 2
◐ 固定端约束 作为平面一般力系简化结果的一个应用，我们来 分析另一种常见约束------固定端约束的反力。
卡盘
遮雨蓬
简图：
FA MA A FAy MA FAx
固定端约束反力有三个分量：两个正交反力， 一个反力偶
◐ 沿直线分布的线荷载合力 集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小或 与整个构件的尺寸相比很小，可以认为集中作用在 一点上。例如，道路给轮子的力等。 几种分布荷载 (1)体分布荷载，如，构件的自重等； (2)面分布荷载，风压力、雪压力等； (3)线分布荷载，如沿构件的轴线分布。 荷载单位
(c)
(F'1， F'2 ，„ ， F'n）
Fi Fi FR
平面汇交力系 主矢量
(M1， M2 ，„ ， Mn）
平面力偶系