最新高二数学《空间向量与立体几何》教案

CD
,使
名师精编
6、证明两个平面垂直
已知两个平面 , ,两个平面的法向量分别为 六、计算角与距离
1、求两异面直线所成的角
m , n ,则
已知两异面直线 a, b ， A, B a,C, D b ，则异面直线所成的角
mn
为： cos
AB CD AB CD
例 1（. 2008 安徽文） 如图，在四棱锥 O ABCD 中，底面 ABCD 四边长为 1 的 菱形， ABC
（ 1）若 a (a1, a2, a3) ， b (b1,b2, b3 ) ， 则 a b (a1 b1, a2 b2, a3 b3 ) ， a b ( a1 b1, a2 b2 ,a3 b3 ) ， a ( a1, a2, a3)(
a // b a1 b1, a2 b2, a3 b3 ( R) ，
2 、平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，
记作 n ，如果 n ，那么向量 n 叫做平面α的法向量。
注：①若 l
，则称直线 l 为平面 的法线；
②平面的法向量就是法线的方向向量。
③给定平面的法向量及平面上一点的坐标，可以确定一个平面。
3 、在空间求平面的法向量的方法：
（ 1 ）直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。
（ 2 ）待定系数法：建立空间直接坐标系
①设平面的法向量为 n ( x, y, z)
②在平面内找两个不共线的向量 a ( x1, y1, z1) 和 b (x2, y2, z2)
③建立方程组：
na 0 nb 0
④解方程组，取其中的一组解即可。
5、 空间向量数量积的性质：
优秀教案
① a e | a | cos a, e ．② a b a b 0 ．③ | a |2 a a ．
6 、运算律 ① a b b a ； ② ( a) b (b a) ； ③ a (b c) a b a c
四、直线的方向向量及平面的法向量
1 、直线的方向向量：我们把直线 l 上的向量 e 以及与 e 共线的向量叫做直线 l 的方向向量
2
则 | AB | AB
(x2 x1 ) 2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2 ，
或 dA,B
(x2 x1 )2 (y2 y1) 2 ( z2 z1 )2 ．
4、夹角： cos a b
a b ． 注：① a b
| a | |b|
② | a |2
aa
2
a。
a b 0(a, b 是两个非零向量） ；
1、设 a, b是空间两个非零向量，我们把数量 | a || b | cos a, b 叫作向量 a, b 的数量积，记作 a b，
即 a b ＝ | a || b | cos a,b
规定：长公式
|a| a a
x12 x22 x32
3、两点间的距离公式：若 A( x1, y1, z1) ， B ( x2 , y2, z2 ) ，
AB n
3 、证明两个平面平行
已知两个不重合平面 , ,法向量分别为 m, n , 则 ∥
m // n
4 、证明两直线垂直
已知直线 a,b 。 A, B a,C , D b ，则 a b AB CD 0
5 、证明直线和平面垂直
已知直线 a 和平面
，且 A 、 B a ,面 的法向量为 m ,则 a
AB / /m
R) ，
（ 2）若 A(x1, y1, z1) ， B (x2 , y2, z2 ) ，则 AB ( x2 x1, y2 y1, z2 z1) ．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
b1 a1
（ 3） a // b b a
b2 a2 ( R)
b3 a3
三、空间向量直角坐标的数量积
名师精编
空间向量解立体几何
一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示
空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量
a ，设 i , j , k （单位正交基底）为
z
坐标向量， 则存在唯一的有序实数组 (a1, a2 , a3) ，使 a ai1 a j2 ak 3 ，
有序实数组 (a1, a2 , a3) 叫作向量 a 在空间直角坐标系 O xyz 中的坐 标，记作 a ( a1, a2, a3 ) ．在空间直角坐标系 O xyz 中，对空间任一
2
22
设 AB 与 MD 所成的角为 ,
z
22
O
∵ AB (1,0,0), MD (
, , 1)
22
M
∴ c o s AB MD 1 ∴,
,
AB MD 2
3
A
∴ AB 与 MD 所成角的大小为 3
xB
D P
C
y
2、求直线和平面所成的角
已知 A,B 为直线 a 上任意两点， n 为平面 的法向量，则 a 和平面 所成的角 为:
（ 1）当 AB n
0, 时 2
AB n 2
（ 2）当 AB n
,时 2
AB n 2
例 2. 如图 3 ，在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，底面是等腰直角三角形，
ACB 90 ，侧棱 AA 1=2 ，
D， E 分别是 CC 1 与 A 1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是 ABD 所成角的大小。
,
4
OA 底面 ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中点。求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 ；
解： 作 AP CD 于点 P, 如图 ,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x, y, z 轴建立坐标系
2
22
A(0,0,0), B(1,0,0), P(0, ,0), D (
, ,0), O(0,0, 2), M (0, 0,1) ,
A
B
E C
D
五、证明
1 、证明两直线平行
已知两直线 a 和 b , A, B
2 、证明直线和平面平行
a, C , D
b ,则 a // b
存在唯一的实数 使 AB
（ 1 ）已知直线 a , A, B a, C, D, E 且三点不共线，则 a ∥ 存在有序实数对
AB CD CE
（ 2 ）已知直线 a , A, B a, 和平面 的法向量 n ,则 a ∥
A(x,y,z)
点 A ，存在唯一的有序实数组 ( x, y, z) ，使 OA xi yj zk ，有序
k
实数组 ( x, y, z) 叫作向量 A 在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标， 记作
O i
j
y
A( x, y, z) ， x 叫横坐标， y 叫纵坐标， z 叫竖坐标． x
二、空间向量的直角坐标运算律