中科院高等数学历年考研真题及答案
中国科学院研究生院高等数学3
(
)。
(a) 条件收敛 (b) 发散
(c) 绝对收敛 (d) 不能确定
(8) 设 为螺旋面
,
,
的一部分，
,
,则
的值为 (
)。
(a)
(b)
(c)
(d)
(9)
的值为 (
)。
(a)
(b)
(c)
(d)
(10) 一平面过点 (a)
且与直线
的交线的方向数是 (
(b)
(c)
垂直，则该平面与平面 )。
(d)
二、(本题满分 10 分) 证明极限
(1) 函数
, 正确结论是 (
)。
(a) 在
内有界
(b) 当
时 为无穷大
(c) 在
内无界
(d) 当
时 极限存在
(2) 函数 在
上是连续函数, 且
。
则
的最大取值区间是 (
)。
(a) (3) 微分方程
(a)
(b)
的一个特解是 ( (b)
(c) )。
(c)
(d) (d)
(4) 已知
是正整数,且
, 如果
则下面结论正确的一个是 (
三、（本题满分 10 分）求微分方程
四、(本题满分 10 分) 计算
和抛物线
围成的闭区域。
五、(本题满分 10 分) 将函数
六、(本题满分 10 分) 设函数
存在, 并求出极限值。
，其中
的通解。 是由抛物线
(
)展开成正弦级数。
,求
的值。
七、 (本题满分 10 分) 计算曲线积分
，其中 是由直线
和半圆周
中国科学院研究生院高等数学3
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝成绩进步，学习愉快！如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝成绩进步，学习愉快！中国科学院研究生院2012 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（甲）考生须知：1.本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。
2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、选择题(本题满分50 分，每小题5 分。
请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。
每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。
请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。
)(1)函数, 正确结论是( )。
(a)在内有界(b) 当时为无穷大(c) 在内无界(d) 当时极限存在(2)函数在上是连续函数, 且。
则的最大取值区间是( )。
(a) (b) (c) (d)(3)微分方程的一个特解是( )。
(a) (b) (c) (d)(4)已知是正整数,且, 如果则下面结论正确的一个是( )。
(a)(b) (c) (d) 的大小关系不确定(5)函数在其定义域内零点的个数是( )。
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 多于3科目名称：高等数学（甲）第1 页共3 页(6)若函数的导函数在上连续, 则( )。
(a) (b) (c) (d)(7)若幂级数在处条件收敛，则级数( )。
(a)条件收敛(b) 发散(c) 绝对收敛(d) 不能确定(8)设为螺旋面, , 的一部分，,, 则的值为( )。
(a) (b) (c) (d)(9)的值为( )。
(a) (b) (c) (d)(10)一平面过点且与直线垂直，则该平面与平面的交线的方向数是( )。
(a) (b) (c) (d)二、(本题满分10 分) 证明极限存在, 并求出极限值。
三、（本题满分10 分）求微分方程的通解。
四、(本题满分10 分) 计算，其中是由抛物线和抛物线围成的闭区域。
五、(本题满分10 分) 将函数 ( )展开成正弦级数。
中科大历年考研数学真题
直线 l1, l2 平行，且 π 与 l1 的距离是 91, 求 π 的方程。
3. 设 A : U → V 为数域 F 上的线性空间 U 到 V 上线性映射. 证明：
dim KerA + dim Im A = dim U
2 −1 1 4. 设 A = 2 2 −1 , 求方阵 P , 使得 P −1AP 为 A 的 Jordan 标准形。
··· ···
(α1, αn)
(α2, αn) ...
,
其中 (αi, αj) 是 V 的内积.
(αn, α1) (αn, α2) · · · (αn, αn)
求证:G 正定的充分必要条件是 α1, · · · , αn 线性无关。
5. 设 A 是无限维线性空间 V 的线性变换，B 是 A 在 ImA 上的限制变换. 求证：
.
a2x1 + x2 + x3 = 1
5.
使线性方程组
x1 + ax2 + x3 = a x1 + x2 + x3 =a2
有解的实数 a 的取值范围是
.
6.
已知实方阵 A 的伴随矩阵 A∗
2.
以曲线
y = x2 z=2
为准线，原点为顶点的锥面方程为
.
3. 以 xOy 平面上的权限 f (x, y) = 0 绕 x 轴旋转所得的旋转面的方程是
.如
果曲线方程是 x2 − y2 − 1 = 0, 由此得到的曲面类型是
.
4. 设 α1, α2α3α4 是线性空间 V 中 4 个线性无关的向量,
为 α1 = (1, 0, −1), α2 = (?, ?, ?), 求矩阵 A 以及使 A 对角化的矩阵 P 7. A 是复方阵，线性变换 T → AX + XA, 证明：如果 A 可对角化，那么 T 也可以对
中国科学院研究生院高等数学
科目名称：高等数学（丙） 第 1 页 共 3 页1 1⎨ 91 精品文档，欢迎下载！中国科学院研究生院2012 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（丙）考生须知：1. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。
2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、选择题 (本题满分 40 分，每小题 5 分。
请从每个题目所列的四个选项中选择一个适合放在空格中的项，并将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。
每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。
)1. 下列极限式正确的是（ ）。
（A ） lim(1+ x →∞ 1 )x = 1 x （B ）lim(1 + x →01 )x = 1 x （C ） lim(1+ x ) x = 1x →0（D ） lim(1+ x ) x= e x →∞2. 设函数 f ( x ) 在 x = 0 处可导且导函数连续， f (0) = 0 ， f '(0) = b 。
若函数⎧ f ( x ) + a tan x, x ≠ 0F ( x ) = ⎪x⎪⎩ A ,在 x = 0 处连续，那么常数 A=（）。
x = 0 (A) a + b(B) a - b(C) b - a(D) -a - b3. 设函数 f (x ) 可导，函数 y = f (x 2) 的自变量 x 在 x = -1 处取增量∆x = -0.1时， 相应的函数增量∆y 的线性主部为0.1 ，则 f '(1) 等于（）。
（A ）0.5（B ） -0.5(C) 1(D) -1x4. 设 f (x ) 在 (0, +∞) 内连续， 且f (x ) > 0 ， 则函数 (x ) = ⎰1 tf (t )dt x在 (1, +∞) 内（）。
⎰1f (t )dt(A) 单调递减（B ）单调递增（C ）先递增后递减（D ）先递减后递增∞2 n -15.幂级数∑ n x n =1 的收敛半径为（）。
中科院硕士研究生入学考试2006高等代数试题解答
中科院2006年硕士研究生入学考试《高等代数》试题1．（16分）已知,,αβγ为实数，求n nA αβγαβγα⨯⎛⎫ ⎪⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭的行列式的值．2．（16分）线性方程组111122*********,111,221,000n n n nn n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的系数矩阵为11121212221,11,21,n n n n n n a a a a a a A aa a ---⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 设()1,2,,j M j n =是在矩阵A 中化去第j 列所得到的1n -阶子式．求证：⑴()()112,,,1n n M M M ---是方程组的一个解；⑵如果A 的秩为1n -，那么方程组的解全是()()112,,,1n n M M M ---的倍数．3．（16分）若α为一实数，试计算1lim 1nn n nαα→+∞⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭． 4．（18分）设a 为实数，10010011a aA a ⨯⎛⎫⎪⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，求50A 的第一行元素之和．5．（18分）若向量()12,,,2s s ααα>线性无关，讨论122311,,,,s s s αααααααα-++++线性相关性．6．（18分）已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可以经过正交变换x x y P y z z '⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭化为椭圆柱面方程2244y z ''+=．求,a b 的值和正交矩阵P ． 7．（16分）设有实二次型()T f x x Ax =，其中Tx 是x 的转置，A 是33⨯实对称矩阵并满足以下方程：3261160A A A I -+-=．试计算()1max max Ax f x =．其中2222123xx x x =++，第一个极大值是满足以上方程的所有实对称矩阵A 来求．8．（16分）20062006A ⨯∈是给定的幂零阵（即：存在正整数p 使得0p A =而10p A-≠），试分析线性方程()20060Ax x =∈非零独立解个数的最大值和最小值．9．（16分）设f 是有限维向量空间V 上的线性变换，且nf 是V 上的恒等变换，这里n 是某个正整数．设(){}|W v V f v v =∈=。
中国科学院数学研究院数学分析试题及答案
中国科学院数学与系统科学研究院20XX 年硕士研究生招生初试试题参考解答数学分析1、求a,b 使下列函数在x=0处可导:2,1,ax b y x +≥⎧=⎨+⎩当x 0;当x<0.解：由于函数在x=0处可导，从而连续，由(00),(00)1f b f +=-=，得到b=1;又由(0),(0)0f a f +-==，得到a=0.即得。
2、 1110,,.1n n n a ∞∞==>+∑∑n n 1已知级数发散求证级数也发散a a 证明: 用反证法。
由0n a >知，1n ∞=∑n 1级数a ，111n ∞=+∑na 均为正项级数。
假设级数111n ∞=+∑n a 收敛，则1lim 01n →∞=+n a ，于是有11lim lim lim 1111111n n n n n n a a a →∞→∞→∞===-+++n n 1a a ， 从而由正项级数的比较判别法知级数1n ∞=∑n1a 收敛，矛盾，从而得证。
3、 1(1).nx dx ≥-⎰m设m,n 0为整数,求积分x 的值解：1(1),nx dx -⎰m 设I(m,n)=x 则由分部积分法有11111n101I(m,n)=(1-x)(1)|(1)(1)0111m m m n n x x x d x n x dx m m m +++-=----+++⎰⎰(1,1)1nI m n m =+-+， 从而1(,)(1,1)(2,2)112n n n I m n I m n I m n m m m -=+-=+-+++11(,0)12n n I m n m m m n -==++++!1!!()!1(1)!!n m n m n m n m n m ==+++++，即得解。
4 、0().a aa dx f x dx -=⎰⎰xf(x)设a>0,f(x)是定义在[-a,a]上的连续的偶函数,则1+e 证明：由f(x)是定义在[-a,a]上的连续的偶函数知()()f x f x -=,从而令x t =-有 ()()()11a aat t t aa af t e f t dx dt dt e e -----=-=++⎰⎰⎰xf(x)1+e 从而1()1()()212aaaat t a a aae f t dx dx dt f x dx e ----=+=+⎰⎰⎰⎰x x f(x)f(x)1+e 1+e 0000011[()()][()()]()22aaaaa f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰， 得证。
中国科学院大学601高等数学(甲)历年考研真题及详解
目录
2016年中国科学院大学601高等数学（甲）考研真题（回忆版）及详解[视频讲解]
2015年中国科学院大学601高等数学（甲）考研真题及详解[视频讲解]
2014年中国科学院大学601高等数学（甲）考研真题及详解[视频讲解]
2013年中国科学院大学601高等数学（甲）考研真题及详解
2012年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2011年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2010年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2009年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2008年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2007年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2006年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2005年中国科学院高等数学（A）考研真题及详解
2004年中国科学院高等数学（A）考研真题及详解
2003年中国科学院高等数学（A）考研真题及详解。
中国科学院2012高等代数试题与答案+
中定义：
( A, B) tr( AT B) ， A, B R 22 其中， AT 表示矩阵 A 的转置， tr( X ) 表示矩阵 X 的迹。 1) 证明 ( A, B) 是线性空间 R 22 的内积； 1 1 2) 设 W 是由 A1 , 0 0 交基。
A−1αβ T A−1 。 1 + β T A−1α
仿照 ( I m + BA) −1 = I m − B ( I n + AB ) −1 A 的证明方法，把 A + αβ T
先化为 A + αβ T = A( I + A−1α ⋅ β T ) ，得到
( A + αβ T ) −1 = ( I + A−1α ⋅ β T ) −1 A−1 = [ I − A−1α (1 + β T ⋅ A−1α ) −1 β T ] A−1
⎟ ⎠
A−1α ⎞ ⎟ 1 + β T A−1α ⎟ ⎟ 1 ⎟ T −1 1+ β A α ⎠ − A−1α ⎞ ⎟ 1 + β T A−1α ⎟ ⎛ I 0 ⎞ = ⎟ ⎟ ⎜ 1 ⎝0 1⎠ ⎟ 1 + β T A−1α ⎠
证明
⎛ −1 A−1αβ T A−1 A − α⎞ ⎜ 1 + β T A−1α ⎜ ⋅ ⎟ 1⎠ ⎜ β T A−1 ⎜ T −1 ⎝ 1+ β A α
线性方程组可求出基础解系，得 W ⊥ 的一组基 X 1 , X 2 ，用施密特正交化方法把
X 1 , X 2 化为标准正交基即得。略。
8 ．证明 我们先证明若 T1 , T2 为非零线性变换，则存在向量 α ∈V ，使得
T1 (α ) ≠ 0 ， T2 (α ) ≠ 0 ： 因为 T1 , T2 非零， 故有向量 α1 , α 2 ， 使得 T1 (α1 ) ≠ 0 ， T2 (α 2 ) ≠ 0 ，