三者容斥问题3个公式
三者容斥问题公式
三者容斥问题公式三者容斥问题是一种涉及三个集合的计数问题，它的基本思想是利用包含与排除原理，也叫容斥原理，来避免重复计数或漏算。
三者容斥问题有一个基本公式：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|C∩A|+|A∩B∩C|这个公式的含义是，要求出三个集合的并集的元素个数，可以先分别求出每个集合的元素个数，然后减去两两相交的部分，因为这些部分被重复计算了，最后加上三个集合都相交的部分，因为这部分被多次减去了。
三者容斥问题的推导为了理解这个公式是如何推导出来的，我们可以用维恩图来进行说明。
如下图所示，我们用三个圆形来表示三个集合A、B、C，它们之间有七个不同的区域，分别用1、2、3、4、5、6、7来标记。
如果我们要求出三个集合的并集A∪B∪C，那么就相当于求出这七个区域的总和。
我们可以用下面的方法来计算：首先，我们可以求出每个集合自身的元素个数，即|A|=1+4+5+7，|B|=2+4+6+7，|C|=3+5+6+7。
如果我们把这三个数相加，就得到了1+4+5+7+2+4+6+7+3+5+6+7=63。
但是这个数显然大于A∪B∪C的元素个数，因为有些区域被重复计算了。
其次，我们可以看到两两相交的部分被重复计算了两次，即A∩B=4+7，B∩C=6+7，C∩A=5+7。
如果我们把这三个数相减，就可以消除重复计算的部分。
即63−4−7−6−7−5−7=27。
但是这个数又小于A∪B∪C的元素个数，因为有一个区域被多次减去了。
最后，我们可以看到三个集合都相交的部分被多次减去了，即A∩B∩C=7。
如果我们把这个数再加回来，就可以得到正确的结果。
即27+7=34。
综上所述，我们就得到了三者容斥问题的公式：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|C∩A|+|A∩B∩C|三者容斥问题的应用三者容斥问题在实际生活中有很多应用场景，例如：统计某高校做有关碎片化学习的问卷调查结果²。
三者容斥问题3个公式
一、容斥问题的3个公式容斥原理是指一种计数方法。
先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
1.两个集合的容斥原理：n(A∪B)=n(A)+n(B) -n(A∩B)2.三个集合的容斥原理：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|3.n个集合的容斥原理：要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。
二、容斥问题的应用：对于容斥问题，解题关键做到不重不漏，各个集合相加，理清各集合间的关系，扣掉重复补上遗漏的。
用于理解的主要方法是画文氏图，但考试中应尽量避免画图，这样速度偏慢些。
【例1】：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向135人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，既看过甲、乙片为30人，既看过乙、丙片为31人，既看过甲、丙片为32人，其中有24人三部电影都看过，问多少人一部也没有看过呢?【解析】：既看过甲、乙片为30人是包含只看过甲乙还有甲乙丙三人两个部分，以M、N、W为既看过甲、乙片的人，N既看过乙、丙片的人，既看过甲、丙片的人，X为三部都看过的人数，这里面W、N、X都是有包含三者这个区域，根据把重复数的次数变为1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则，则公式转化为I=A+B+C-(M+N+W)+X+Y，135=89+47+63-(30+31+32)+ 24+Y，Y=5人。
结论：三者容斥问题，画图之后可知，三个圆相交的地方有1层、2层、3层三种情况，当将三个集合相加的时候，2层和3层区域分别多计算一次和两次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故三者容斥问题的公式为：A∪B∪C=A+B+C -A∩B-B∩C-C∩A+A∩B ∩C。
三个对象的容斥原理公式
三个对象的容斥原理公式我们来看一下三个对象的容斥原理公式是怎样的。
对于三个集合A、B、C，容斥原理公式可以表示为：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|其中，|X|表示集合X的元素个数，∪表示并集，∩表示交集。
这个公式的含义是，三个集合的并集的元素个数等于三个集合个别元素个数之和减去它们的交集个数，再加上它们的三个集合的交集个数。
在实际问题中，我们经常需要解决多集合之间的交集和并集问题。
而容斥原理可以帮助我们计算这些交集和并集的大小，从而得到最终的答案。
下面我们以一个具体的例子来说明容斥原理的应用。
假设有三个班级A、B、C，每个班级都有学生参加了数学竞赛和英语竞赛。
我们想要知道参加了数学竞赛或英语竞赛的学生总数。
我们可以分别计算出参加了数学竞赛的学生人数，记为|A|；参加了英语竞赛的学生人数，记为|B|；以及参加了数学竞赛和英语竞赛的学生人数，记为|C|。
然后，我们可以利用容斥原理公式计算出参加了数学竞赛或英语竞赛的学生总数。
根据公式，我们有：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|其中，|A∪B|表示参加了数学竞赛或英语竞赛的学生总数，|A∩B|表示参加了数学竞赛和英语竞赛的学生人数。
接下来，我们可以利用容斥原理公式进一步计算出参加了数学竞赛或英语竞赛的学生总数，并且还参加了体育比赛的学生人数。
我们可以定义集合D表示参加了体育比赛的学生，那么根据容斥原理公式，我们有：|A∪B∪D| = |A∪B| + |D| - |(A∪B)∩D|其中，|A∪B∪D|表示参加了数学竞赛或英语竞赛的学生总数，并且还参加了体育比赛的学生人数，|(A∪B)∩D|表示既参加了数学竞赛或英语竞赛，又参加了体育比赛的学生人数。
通过这样的计算，我们可以得到参加了数学竞赛或英语竞赛的学生总数，并且还参加了体育比赛的学生人数。
这个例子展示了容斥原理在计算交集和并集问题中的应用。
三容斥原理所有公式
三容斥原理所有公式三容斥原理是组合数学中常用的一种方法，用于解决集合的交集和并集问题。
它是一种基本的计数原理，可以帮助我们解决一些复杂的计数问题。
在这篇文档中，我们将介绍三容斥原理的所有公式，希望能帮助大家更好地理解和运用这一原理。
首先，让我们来了解一下三容斥原理的基本概念。
三容斥原理是指对于三个集合A、B、C，其元素的个数分别为|A|、|B|、|C|，则三个集合的交集元素个数为|A∩B∩C|，那么三个集合的并集元素个数为|A∪B∪C|，则有如下的公式：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。
这就是三容斥原理的基本公式，通过这个公式我们可以计算三个集合的并集元素个数，而不需要逐个遍历元素进行计数，大大简化了计数问题的复杂度。
除了三个集合的情况，三容斥原理也可以推广到更多集合的情况。
对于n个集合A1、A2、...An，其元素的个数分别为|A1|、|A2|、...|An|，则n个集合的并集元素个数为：|A1∪A2∪...∪An| = Σ|Ai| Σ|Ai∩Aj| + Σ|Ai∩Aj∩Ak| ... + (-1)^(n-1)|A1∩A2∩...∩An|。
其中Σ表示对所有可能的集合交集进行求和，(-1)^(n-1)表示交替加减，这就是n个集合的情况下的三容斥原理公式。
三容斥原理的应用非常广泛，可以用于解决各种组合计数问题，比如排列组合、概率统计等。
通过灵活运用三容斥原理，我们可以更加高效地解决一些复杂的计数问题，提高计算效率，减少出错概率。
总之，三容斥原理是一种非常重要的计数原理，通过掌握其基本公式和推广公式，我们可以更好地解决集合的交集和并集问题，为我们的计算工作提供便利。
希望本文介绍的三容斥原理的所有公式能够帮助大家更好地理解和运用这一原理，提高计数问题的解决能力。
三容斥原理所有公式
三容斥原理所有公式
三容斥原理是概率论中常用的计算两个事件交集的概率的方法。
它可以推广到多个事件的情况。
对于两个事件A和B的交集，可以使用以下公式计算其概率：P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A∪B)
其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的
概率，P(A∪B)表示事件A和B至少一个发生的概率。
推广到三个事件A、B和C的情况，可以使用以下公式计算它们的交集概率：
P(A∩B∩C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∪B) - P(A∪C) - P(B∪C) + P(A∪B∪C)
其中，P(A∪B)表示事件A和B至少一个发生的概率，
P(A∪C)表示事件A和C至少一个发生的概率，P(B∪C)表示
事件B和C至少一个发生的概率，P(A∪B∪C)表示事件A、
B和C至少一个发生的概率。
这个公式可以继续推广到更多事件的情况。
每次多算了一个交集的概率，然后减去多算的所有交集的概率，再加上多算的所有三个事件的交集的概率，以此类推。
三容斥原理的应用非常广泛，可以用于计算概率、计算排列组合等问题。
在实际问题中，可以通过分析事件之间的关系，利用三容斥原理计算出所需的概率或数量。
容斥原理的三个公式
容斥原理的三个公式容斥原理是数学中一个挺有意思的概念，它有三个重要的公式，今天咱们就来好好聊聊这三个公式。
我先跟您说啊，这容斥原理在解决集合相关的问题时，那可真是大显身手。
就拿咱们生活中的例子来说吧，比如说学校组织活动，有参加书法比赛的同学，有参加绘画比赛的同学，还有既参加书法又参加绘画比赛的同学。
那怎么算总共有多少同学参加了这两类比赛呢？这时候容斥原理就派上用场啦！咱们先来说说容斥原理的第一个公式。
这个公式可以表述为：两个集合 A 和 B 的并集的元素个数，等于 A 的元素个数加上 B 的元素个数，再减去 A 和 B 的交集的元素个数。
简单来说就是：|A∪B| = |A| + |B| -|A∩B| 。
举个例子哈，一个班级里，喜欢语文的有 20 个同学，喜欢数学的有 30 个同学，既喜欢语文又喜欢数学的有 10 个同学。
那喜欢语文或者喜欢数学的同学一共有多少个呢？咱们就可以用这个公式来算。
|A|就是喜欢语文的 20 个同学，|B|就是喜欢数学的 30 个同学，|A∩B|就是既喜欢语文又喜欢数学的 10 个同学。
把数字带进去，那就是 |A∪B| = 20 + 30 - 10 = 40 个同学。
您瞧，是不是很清楚明了？再来说说第二个公式。
如果是三个集合 A、B、C ，那它们的并集的元素个数就是：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| +|A∩B∩C| 。
咱们还是拿例子来说事儿。
比如说在一个班级里，喜欢体育的有 25 个同学，喜欢音乐的有 15 个同学，喜欢美术的有 20 个同学，既喜欢体育又喜欢音乐的有8 个同学，既喜欢音乐又喜欢美术的有6 个同学，既喜欢体育又喜欢美术的有 9 个同学，三个都喜欢的有 3 个同学。
那喜欢体育或者音乐或者美术的同学一共有多少个呢？咱们就把数字往公式里带：|A|是 25 ，|B|是 15 ，|C|是 20 ，|A∩B|是 8 ，|B∩C|是 6 ，|C∩A|是 9 ，|A∩B∩C|是 3 。
三者容斥问题3个公式
[示例1]：一家调查公司对135名观看电影A，B和C的人进行了调查。
其中，有89人看过电影A，有47人看过电影B，有63人看过电影C，其中有30人看过电影电影A和B，有31个人看过电影B 和C，有32个人看过电影A和C，其中有24个人看过全部三部电影。
[分析]：30个人看过电影A和B，其中只有两个部分，即A，B和C。
M，N和W是看过电影A和B的人，N是看过电影A和B 的人。
已经看过电影A和C，而X是看过全部三部电影的人数。
W，N和X都包含三个区域。
根据重复次数，将公式转换为I = A + B + C-（M + N + W）+ X + Y，135 = 89 + 47 + 63-（30 + 31 + 32）+ 24+ Y，Y = 5个人。
结论：绘制后，可以看到三个圆圈相交的三种情况：一层，两层和三层。
当添加三组时，两层和三层的计算又进行了一次和两次，因此，如果要查找完整的组，则需要减去重叠区域。
因此，三层的公式为：A∪B∪C = A +。
我相信，通过上述解释，候选人可以基本掌握此类问题。
只要他们掌握应用公式方法解决问题的关键，文科候选人和科学与工程候选人都可以成功回答包容性问题。
第一个是不知道中有多少是3时，即说AnC中有AnBnC，而AnBnC 减少了三倍三，而a + b + c本身有三个AnBnC，所以最后一个区域应添加一个AnBnC。
第二个是您知道有多少人只是在阅读和阅读报纸，并且不包括所有三种书籍，因此A + B + C中有3个ANBNC，AnC中没有ANBNC，因此只需减去公式中的两个ANBNC。
用法是在15位知名人士，10张阅读报纸，10张阅读，10张写作，10张阅读和阅读报纸，10张写作和阅读报纸，10张阅读和写作以及12张阅读和写作报纸中。
这时，使用第一个，因为在彼此占据的人们中，仍然有人可以做这三件事。
有15位知名人士，10个阅读报纸，10个阅读书籍和10个写作书籍，10个做两件事以及12个阅读书籍和阅读报纸。
三者容斥问题3个公式
三者容斥问题3个公式
三者容斥问题3个公式如下：
1、标准型：
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|。
2、非标准型：
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-只满足两个条件的-2×三个都满足的。
3、列方程组：
|A∪B∪C|=只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。
必须注意没有重复，没有遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
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三集合容斥原理按题型可以分为两种题型，一种为标准型公式，另一种为变异型公式，接下来，我们就着重看看三集合容斥原理的标准型公式。
集合Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，满足标准型公式：
三集合容斥原理标准型公式：Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ-Ⅰ·Ⅱ-Ⅰ·Ⅲ-Ⅱ·Ⅲ+Ⅰ·Ⅱ·Ⅲ=总个数-三者都不满足个数
通过观察公式，我们可以看到在公式中，出现了9个量，而这个式子的适用前提就是知8求1，即在题目中，若我们看到了8个已知量，要求1个未知量的时候，就要使用这个公式(注：而题目中有时候也是知7求1，其中的三者都不满足的个数可能为零)，具体题目如下：
(陕西2015)针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜
欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢黄山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有( )人。
A.20
B.18
C.17
D.15
E.14
F.13
G.12
H.10
解：通过观察，我们发现了八个已知量，还要我们求另一个未知量，故可以用上述公式，我们将数据逐个代入可得：
28+30+42-8-10-5+3=100-x，其中x为我们要求的量，求得x=20，答案选择A。
接着，我们来看一下三集合变异型的公式，如下图示：
从上式中，我们可以看出，要使用变异型公式，题目中必须要出现仅满足2个情况的个数，这就是与标准型公式最大的不同，下面我们就看看具体的题目：
(广东2015)某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个项目。
参加长跑的有49人，参加跳远的有36人，参加短跑的有28人，只参加其中两个项目的有13人，参加全部项目的有9人。
那么参加该次运动会的总人数为( )。
A.75
B.82
C.88
D.95
解：由于题目中出现“只参加其中两个项目的有13人”，故使用变异型公式，得到下面列式：49+36+28-1×13-2×9=x，通过尾数法(若题目中选项的尾数都不一样的话，就可以用尾数法快速得到答案)，判断出答案为82，选B。
但是，现在变异型公式也出现一些变形的形式，例如国考2015中的这道三集合容斥原理，就给我带来了一写在解题是需要着重注意的地方，下面我们仔细分析一下题目
(国家2015)某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。
调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网络获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷?( )
A.310
B.360
C.390
D.410
解：由于题目中出现了“使用其中两种的有24人”，故我们要使用的就是三集合的变异型公式，如下列式：179+146+246-1×24-2×
115=x-52，此时，我们分析一下可以看出，我们所求的x为收回的问卷数量，而题目所求为发出的问卷，明显所求非所问，但是题目中有个条件为“问卷回收率为90%”，故我们将所求的x÷90%即所求的答案，通过列式可得x=369，故发出的问卷为369÷90%=410，故选D。