2019-2020山东淄博市高二上学期期中考试数学试卷及答案
a1
1，
a1
2a2
3a3
nan
n
3
1
an1
,
n
N
*
．
（1）求数列an 的通项公式；
（2）求数列 n2an 的前 n 项和 Tn ；
（3）若对任意的 n N * ，都有 an n 1 成立，求实数 的取值范围．
23．已知椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1a b 0 过点 A0, 1 ，且离心率为
三、填空题
14．关于 x 的不等式 x2 px 2 0 的解集为 q,1 ，则 p q _____________.
15．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1 ， F2 在 x 轴上，离心率
为 2 ，过 F1 作直线 l 交 C 于 A, B 两点，且 ABF2 的周长为16 ，那么 C 的方程为 2
A．直线
B．圆 C．椭圆 D．抛物线
二、多选题
11．下列表达式的最小值为 2 的有( )
A．当 ab 1 时， a b
B．当 ab 1 时， b a ab
C． a2 2a 3
D．
a2 2
1 a2 2
12．“存在正整数 n ，使不等式 (n 3) lg a (n 5) lg a a(0 a 1) 都成立”的一个充分
同学的说法是否正确，并说明理由.
19．某企业用 180 万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来 100 万元 的收入，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用 10 万元，且从第二年开 始，每年比上一年所需的维护费用要增加 10 万元
（1）求该设备给企业带来的总利润 y （万元）与使用年数 x x N* 的函数关系；
1
，
n 1
可得
n
2
时，
an n
1
递增，
当
n
1
或
2
时，
an n
1
取得最小值
1 2
，
则 1 ． 2
23、（1）由题意，椭圆
C
:
x a
2 2
y2 b2
1a
b 0 过点
A 0,
1
，即
1 b2
1，解得 b 1，
由离心率为 c 3 ，又由 a2 b2 c2 ，解得 a 2 ，所求椭圆方程为： x2 y2 1 .
FP
FP cos 2 2 FP sin 2 2 FP
PC FP
2
2 PC 2 FP
2 4 4t2 2t 2 2
4，
故 FP FP cos 2 为定值 4 .
22、（1）数列{an}中，
a1
1，
a1
2a2
3a3
nan
n
3
1
an1
,
n
N
*
．
可得
n
1 时， a1
2 3
__________．
16．设单调递增的等差数列an
n N*
的前 n 项和是 Sn ，若
S3 3
和
S5 5
是方程
x2
16x
60
0
的两根，则数列
Sn n
的前
n
项和的最小值为________.
17．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，过 F1 且垂直
3
1 4n1 1 4
3n 4 n1
，
化为 Tn
1 3n
1 4n1
3
；
（3）对任意的 n N * ，都有 an n 1 成立，
即为 an 的最小值， n 1
由
n
1
可得
an n 1
1 2
，
an n 1
3 4n2
n n 1
,
an1
n2 an
n
3 4n1
1n
2
n n 1
3 4 n2
4n n2
a2 ，即 a2
3 2
，
n
2
时，
a1
2a2
3a3
n
1
an1
n 3
an
，
又
a1
2a2
3a3
nan
n
3
1
an1
，
两式相减可得 nan
n
3
1
an1
n 3
an
，
化为 n 1 an1 4nan , n 2 ，
可得 nan
2a2
4n2
3 4n2 ，即 an
3 4n2 n
,n
2，
1, n 1
综上可得
C．若 a b ， c d ，则 a c b d
B．若 a b ，则 ac2 bc2 D．若 a b ， c d ，则 a b
cd
3．在等比数列
an
中，已知 a4
3a3
，则
a2 a1
a4 a2
a6 a3
a2n an
(
)
A． 3n 3 2
B． 3n 3 2
C． 3n 3 2
且被 5 除余 1 的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列an ，则此数列的项数为（ ）
A．134
B．135
C．136
D．137
7．已知双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的焦点与椭圆
x2 9
y2 5
1的焦点重合，且双
曲线 C 的渐近线与圆 (x 2)2 y 2 3 相切，则双曲线 C 的离心率为( )
a2
4
（2）当直线 MN 斜率不存在时，设直线方程为 x t ，则 M t , s , N t , s ，
则
k1
1 s t
,
k2
1 s t
，所以 k1
k2
1 s t
1 s t
2 t
2 ，解得 t
1，
当直线 MN 斜率存在时，设直线方程为 y kx b ，
联立方程组
x2 4y2 y kx b
得 m2 1 ,得 m > 1 或 m 1.
因此满足条件 q的实数 m 的取值范围是 ( 1) (1, ) .
（2）甲同学的判断正确,乙同学的判断不正确.
由（1）得 p : m (2, 4) , q; m ( 1) (1, )
因为 p q ,
所以 p 是 q的充分条件, 因为 q p , 所以 p 不是 q的必要条件.
足 bn n
an1
1( 8 )n 11
，则数列
bn
的最大项为 (
)
A．第 5 项
B．第 6 项
C．第 7 项
D．第 8 项
10．.如图，已知 F1, F2 是椭圆 T
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的左、右焦点， P
是椭圆 T
上
任意一点，过 F2 作 F1PF2 的外角的角平分线的垂线，垂足为 Q ,则点 Q 的轨迹为
2019-2020 山东淄博市高二上学期期中考试数学试卷及答案
一、单选题
1．命题“ x 0, x 1 2 ”的否定是( ) x
A． x0
0,
x0
1 x0
2
B． x0
0, x0
1 x0
2
C．
x0
0,
x0
1 x0
2
D． x0
0, x0
1 x0
2
2．下列命题中正确的是（
）
A．若 ab 0 ， a b ，则 1 1 ab
16 8 18、解：（1）若曲线 x2 y2 1 表示双曲线,
m2 m4 则 (m 2)(m 4) 0 ,得 2 m 4 ;
因此满足条件 p 的实数 m 的取值范围是 (2, 4) .
若曲线
x2 m2 1
y2 3m2 1
1
表示焦点在
y
轴上的椭圆,
m2 1 0
需 3m2 1 0
,
3m2 1 m2 1
（2）试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？
20．已知等比数列an 的公比 q = 2 ，且 a2 , a3 1, a4 成等差数列.
（1）求 a1 及 an ；
（2）设 bn
an
log2
1 an1 log2
an2
，求数列
bn
的前 n 项和 Sn .
21．已知抛物线 y2 2 px p 0 上一点 M
由
x ty 1 y2 4x ，消去
x
得：
y2
4ty
4
0
，则
y1 y1
y2 4t y2 4
，
x1 x2 t y1 y2 2 4t2 2 ，C 2t2 1, 2t .
设直线 AB 中垂线 m 的方程为： y 2t t x 2t 2 1 ，
令 y 0 ，得： x 2t2 3 ，则点 P 2t2 3, 0 ， PC 4 4t2 ， FP 2t2 2 .
条件是( )
A． 0 a 2 3
B． 2 a 1 3
C． 1 a 5
3
6
D． 2 a 5
3
6
13．已知抛物线 y2 4x 上一点 P 到准线的距离为 d1 ，到直线 l : 4x 3y 11 0 的距 离为 d2 ，则 d1 d2 的取值可以为( )
A．3
B．4
C． 5
D． 10
D． 3n1 3 2
山东省淄博市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷(理科)(II)卷
山东省淄博市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是（）A . 简单随机抽样B . 系统抽样C . 分层抽样D . 先从老年人中剔除一人，然后分层抽样2. （2分）容量为20的样本数据，分组后的频数如下表，则样本数据落在区间[10，40)的频率为（）分组[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]频数234542A . 0.35B . 0.45C . 0.55D . 0.653. （2分） (2016高二上·孝感期中) 在[﹣1，2]内，任取一个数，使“﹣2＜x＜”的概率是（）A .B .C .D .4. （2分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（）A . 19B . 20C . 21.5D . 235. （2分）在某次测量中得到的A样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A . 众数B . 平均数C . 中位数D . 标准差6. （2分） (2016高二上·商丘期中) 已知条件p：x2﹣3x﹣4≤0；条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A . [﹣1，1]B . [﹣4，4]C . （﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D . （﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）7. （2分）有下列关于三角函数的命题P1：∀x∈R，x≠kπ+（k∈Z），若tanx＞0，则sin2x＞0；P2：函数y=sin（x﹣）与函数y=cosx的图象相同；P3：∃x0∈R，2cosx0=3；P4：函数y=|cosx|（x∈R）的最小正周期为2π，其中真命题是（）A . P1 ， P4B . P2 ， P4C . P2 ， P3D . P1 ， P28. （2分）若=（1，λ，2），=（2，﹣1，1），与的夹角为60°，则λ的值为（）A . 17或﹣1B . ﹣17或1C . -1D . 19. （2分）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等边三角形D . 不确定10. （2分）一个年级有12个班,每个班有50名同学,随机编号1,2，…，50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是（）A . 抽签法B . 有放回抽样C . 随机抽样D . 系统抽样11. （2分） (2018高二上·万州月考) 如图，正方体中，为中点，为线段上的动点（不与重合），以下四个命题：（）平面．（）平面；（）的面积与的面积相等；（）三棱锥的体积有最大值，其中真命题的个数为（）．A .B .C .D .12. （2分）如图，已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·江西模拟) 已知命题：“ ”，则：________．14. （1分） (2017高一下·济南期末) 已知sin（ +x）= ，则sin2x的值为________．15. （1分） (2016高一下·兰州期中) “丁香”和“小花”是好朋友，她们相约本周末去爬歌乐山，并约定周日早上8：00至8：30之间（假定她们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在歌乐山健身步道起点处会合，若“丁香”先到，则她最多等待“小花”15分钟．若“小花”先到，则她最多等待“丁香”10分钟，若在等待时间内对方到达，则她俩就一起快乐地爬山，否则超过等待时间后她们均不再等候对方而孤独爬山，则“丁香”和“小花”快乐地一起爬歌乐山的概率是________（用数字作答）16. （1分） (2016高二下·普宁期中) 有下列说法：①函数y=﹣cos2x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是{α|α= ，k∈Z}；③在同一直角坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点；④函数f（x）=4sin（2x+ ）（x∈R）可以改写为y=4cos（2x﹣）；⑤函数y=sin（x﹣）在[0，π]上是减函数．其中，正确的说法是________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2019高一下·湖州月考) 已知，，且与的夹角为 .（1）求，，；（2）证明：与垂直.18. （5分） (2016高二上·定兴期中) 某学校制定学校发展规划时，对现有教师进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如表：学历35岁以下35至50岁50岁以上本科803020研究生x20y（Ⅰ）用分层抽样的方法在35至50岁年龄段的教师中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有l人的学历为研究生的概率；（Ⅱ）在该校教师中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取l人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x、y的值．19. （10分） (2018高二下·长春月考) 已知：实数满足，其中，：实数满足（1）当，且为真时，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.20. （10分） (2017高二下·新乡期末) 如图，在四面体P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，PC⊥底面ABCD，AB⊥BP，BC= ．（1）求证：PA⊥BD；（2）已知E是PA上一点，且BE∥平面PCD．若PC=2，求点E到平面ABCD的距离．21. （5分）求证：一元二次方程的两根都大于是的一个充分不必要条件．22. （5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E 是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、。
2019-2020学年山东省高二上学期期中数学试题及答案
2019-2020学年山东省高二上学期期中数学试题及答案一、单选题1．若a b c >>，则下列不等式正确的是（ ） A ．sin sin a b > B ．22log log a b < C ．1122a b<D ．1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】根据函数性质逐个选项证明或举反例即可. 【详解】 对A,当2,33a b ππ==时sin sin a b =,故A 错误.对B,当,0a b <时不满足对数函数定义域,故B 错误. 对C, 当,0a b <时1122,a b均不存在,故C 错误.对D,由指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数可知a b c >>时1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立.故D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了不等式的性质,主要注意举不满足函数定义域或单调性等的反例即可.属于基础题型. 2．下列命题中,正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若ac bc >，则a b <C ．若,a b c d >>，则a c b d ->-D ．若22a bc c <，则a b <【答案】D【解析】运用不等式的性质,结合取特殊值法,对四个选项逐一判断即可选出正确答案. 【详解】选项A:当0,0a b c d >>>>时,ac bd >成立,例如：21,12>->-,显然22->-不成立；选项B:当0c <时，能从ac bc >推出a b <.例如：(2)2(3)2-⨯>-⨯,显然23-<-不成立； 选项C:例如 32,21>>,显然11>不成立；选项D:式子22a bc c <成立,显然0c ≠,所以20c >,根据不等式的性质:不等式两边同乘一个正数,所得的不等式与原不等式同向,显然有a b <成立. 故选：D 【点睛】本题考查了不等式的性质,考查了取特殊值法,属于基础题.3．已知条件:(1)(3)0p x x -+<，条件2:56q x x -≤，则p ⌝是q 的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】A【解析】试题分析：:31或p x x <->，:23或q x x ≤≥，:31p x ⌝-≤≤，所以p ⌝是q 的充分非必要条件．故选A ． 【考点】充分必要条件．4．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ） A．B． C ．(25)， D．(2【答案】B 【解析】【详解】由题意得，双曲线的离心率222222(1)1()1(1)c a a e a a a++===++， 因为1a 是减函数，所以当1a >时，101a <<，所以225e <<，所e << B.【考点】双曲线的几何性质. 【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质及其应用，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，函数的单调性及函数的最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算、转化与化归思想的应用，本题的解得中把双曲线的离心率转化为1a的函数，利用函数的单调性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档题.5．在正项等比数列{}n a 中，若13213,,22a a a 成等差数列，则2018201920162017a a a a -=-（） A ．3或-1 B ．9或1C ．3D ．9【答案】D【解析】利用13213,,22a a a 成等差数列求出等比数列{}n a 的公比,再化简2018201920162017a a a a--求解即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为0q >,因为13213,,22a a a 成等差数列, 故223121113232230(3)(1)0a a a a q a a q q q q q =+⇒=+⇒--=⇒-+=. 因为0q >故3q =.故()2201620172201620179a a q q a a -==-故选：D 【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求法,属于基础题型.6．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右顶点分别是,A B ，左，右焦点分别是12,F F ，若1121||,||,||AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为 （A ）14（B）5（C ）12（D2【答案】：B【解析】：1121||,||2,||AF a c F F c F B a c =-==+由1121||,||,||AF F F F B 成等比数列得2(2)()()c a c a c =-+即225a c e =⇒=【考点定位】本题主要考查椭圆的定义和离心率的概念．属基础题7．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是 ( )A ．116B ．103C ．56D ．53【答案】D【解析】由题意可得中间部分的为20个面包，设最小的一份为1a ，公差为d ，可得到1a 和d 的方程，即可求解. 【详解】由题意可得中间的那份为20个面包， 设最小的一份为1a ，公差为d ， 由题意可得11111[20(3)(4)]()7a d a d a a d ++++⨯=++，解得153a =，故选D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其应用，其中根据题意设最小的一份为1a ，公差为d ，列出关于1a 和d 的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．焦点在x 轴上的椭圆方程为()222210x ya b a b +=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C【解析】试题分析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积相等得112(22)223b c b a c ⨯⨯=⨯+⨯得，2a c =，即12c e a ==，故选C.【考点】椭圆的标准方程与几何性质. 9．已知函数()2222,2{log,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤-成立，则实数m 的取值范围为 （ ）A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：2154m m ≤-，解得：114m ≤≤，即实数m 的取值范围为1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦.本题选择B 选项.点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．10．椭圆2211615x y +=上有n 个不同的点123,,,,n P P P P ，椭圆右焦点F ，数列{}n P F 是公差大于12018的等差数列，则n 的最大值为（ ） A ．2017 B ．2018 C ．4036 D ．4037【答案】C【解析】由已知求出c ，可得椭圆上点到点F 距离的最大最小值，由等差数列的通项公式求得公差，再由公差大于12018求得n 的最大值．【详解】由已知椭圆方程可得：a 2=16，b 2=15，则c=1． ∴|P 1F|=a ﹣c=3，当n 最大时，|P n F|=a+c=5． 设公差为d ，则5=3+（n ﹣1）d ，∴d=21n -， 由2112018n >-，可得n ＜4037， ∴n 的最大值为4036． 故答案为：C 【点睛】（1）本题主要考查椭圆的简单几何性质，考查等差数列的通项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题解题的关键是分析得到当n 最大时，|P n F|=a+c=5．二、多选题11．下面命题正确的是（ ） A ．“1a >”是“11a<”的 充 分不 必 要条件B ．命题“若1x <,则21x <”的 否 定 是“ 存 在1x <,则21x ≥”.C ．设,x y R ∈,则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件D ．设,a b ∈R ,则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要 不 充 分 条件 【答案】ABD【解析】选项A:先判断由1a >,能不能推出11a <,再判断由11a<,能不能推出1a >,最后判断本选项是否正确； 选项B: 根据命题的否定的定义进行判断即可.选项C:先判断由2x ≥且2y ≥能不能推出224x y +≥,然后再判断由224x y +≥能不能推出2x ≥且2y ≥,最后判断本选项是否正确；选项D:先判断由0a ≠能不能推出0ab ≠,再判断由0ab ≠能不能推出0a ≠,最后判断本选项是否正确. 【详解】 选项A:根据反比例函数的性质可知：由1a >,能推出11a<,但是由11a <,不能推出1a >,例如当0a <时,符合11a <,但是不符合1a >,所以本选项是正确的；选项B: 根据命题的否定的定义可知：命题“若1x <,则21x <”的 否 定 是“ 存 在1x <,则21x ≥”.所以本选项是正确的； 选项C:根据不等式的性质可知：由2x ≥且2y ≥能推出224x y +≥,本选项是不正确的；选项D: 因为b 可以等于零,所以由0a ≠不能推出0ab ≠,再判断由0ab ≠能不能推出0a ≠,最后判断本选项是否正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查了充分性和必要性的判断,考查了命题的否定,属于基础题.12．在0,0a b >>的条件下，下列四个结论正确的是（ ）A ．22a b ab a b +≥+B ．2a b +≤C ．22a b a b b a+≤+D ．设,,a b c 都是正数，则三个数111,,a b c b c a +++至少有一个不小于2 【答案】ABD【解析】运用比较法、结合不等式的性质、反证法、基本不等式对四个选项逐一判断即可. 【详解】 选项A:222()4()22022()2()220,0a b ab a b ab a b a b ab a b aba b a b a b a b a b a b++--++-==∴-≥∴≥+++>+>+,故本选项是正确的； 选项B:因为0,0a b >>,22222222()()02244a b a b a b ab a b ++++--=-=≥,所以2a b +≤因此本选项是正确的；选项C:222233222()()()()()a b a b ab a b a b a b a b a b b a a b b a ab ab ab+---+-+-+-+===-,因为0,0a b >>,所以22222()()()0a b b a b a a b a b a b b a ab b a+-+-+=-≤⇒+≥+,因此本选项是不正确的；选项D:根据本选项特征,用反证法来解答.假设三个数111,,a b c b c a +++至少有一个不小于2不成立,则三个数111,,a b c b c a+++都小于2,所以这三个数的和小于6,而111111()()()6a b c a b c b c a a b c +++++=+++++≥=（当且仅当1a b c ===时取等号）,显然与这三个数的和小于6矛盾,故假设不成立,即三个数111,,a b c b c a +++至少有一个不小于2,故本选项是正确的. 故选：ABD 【点睛】本题考查了不等式的性质、做差比较法、反证法、基本不等式的应用,属于基础题.13．设[]x 为不超过x 的最大整数，n a 为[][)()0,x x x n ⎡⎤∈⎣⎦能取到所有值的个数，n S 是数列12n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭前n 项的和，则下列结论正确的有（ ） A ．34a = B ．190是数列{}n a 中的项 C ．1056S = D ．当7n =时，21n a n+取最小值【答案】ACD【解析】先根据n a 的定义可求得123,,a a a ,再确定n a 的递推公式,从而求得n a 的通项公式求解即可. 【详解】当1n =时,[)0,1x ∈,[]0x =,[]0x x =,故 []0x x ⎡⎤=⎣⎦,即11a =, 当2n =时,[)0,2x ∈,[]{}0,1x =,[]{}[)01,2x x ∈⋃,故[]{}0,1x x ⎡⎤=⎣⎦,即22a =,当3n =时,[)0,3x ∈, []{}0,1,2x =, []{}[)[)01,24,6x x ∈⋃⋃,故[]{}0,1,4,5x x ⎡⎤=⎣⎦,即34a =,以此类推,当2n ≥,[)0,x n ∈时, []{}0,1,2,...x n =,[]{}[)[))201,24,6(1),(1)x x n n n ⎡∈⋃⋃⋃--⎣,故[]x x ⎡⎤⎣⎦可以取的个数为221123...12n n n -++++++-=,即22,22n n n a n -+=≥ 当1n =时也满足上式,故22,2n n n a n N +-+=∈. 对A, 2333242a -+==,故A 正确.对B,令22219037802n n n a n n -+==⇒--=无整数解.故B 错误.对C,12112()2(1)(2)12n a n n n n n ==-+++++. 故11111122(...)1)2334122n n n S n =-+-++-=-+++.故10251126S =-=.故C 正确.对D,2122112222n a n n n +=+-≥.当且仅当()226,72n n n⋅⇒=时取等号. 因为n N +∈,当6n =时,21166n a n+=+, 当7n =时,21167n a n +=+, 故当7n =时,21n a n +取最小值,故D正确.故选：ACD 【点睛】本题主要考查了数列中的新定义问题,需要根据题意求解通项公式进行分析,主要考查递推公式推导通项公式的方法等.属于难题.三、填空题14．已知12,F F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥．若12PF F ∆的面积为9，则b =_____．【答案】3【解析】由定义得|PF 1|+|PF 2|=2a ，由12PF PF ⊥得|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2， 由面积得12|PF 1||PF 2|＝9，由此能得到b的值. 【详解】 ∵F 1、F 2是椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点，P为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥,∴|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，12|PF 1||PF 2|＝9，∴（|PF 1|+|PF 2|）2=4c 2+2|PF 1||PF 2|=4a 2，∴36=4（a 2-c 2）=4b 2，∴b=3．故答案为3． 【点睛】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识，重点是三个方程的应用，属于基础题.15．已知命题p ：∃x ∈[0，]，cos2x ＋cosx －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是________． 【答案】[－1，2]【解析】根据三角函数的二倍角公式将条件转化为一元二次函数再求解. 【详解】令m ＝cos2x ＋cosx ＝2cos 2x ＋cosx －1＝2(cosx ＋14)2－98，由于x ∈[0，2π]，所以cosx ∈[0，1]．于是m ∈[－1，2]，因此实数m 的取值范围是[－1，2]． 【点睛】解决与特称命题有关的参数取值范围问题，可用分离参数法，将问题转化为求相应函数在某区间上的值域、范围. 16．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中252,16a a ==，则2662n n nS S ++的最小值是______. 【答案】17【解析】求得等比数列的通项公式,再求出前n 项和n S ,代入2662n n nS S ++利用基本不等式求解即可. 【详解】由252,16a a ==易得公比2q ==.故211a a q ==.故()1122112n nn S -==--.2221nn S =-.故22662121666421117222n n n n n n n n S S ++-+-+==++≥=. 当且仅当64228,32n nn n =⇒==时等号成立.故2662n n nS S ++的最小值是17.故答案为：17 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式求解以及等比数列的求和,同时也考查了基本不等式的运用,属于中等题型.17．下列命题：①设,a b 是非零实数，若a b <，则22ab a b <；②若0a b <<，则11a b>； ③函数y=的最小值是2；④若x 、y 是正数，且+=1，则xy 有最小值16；⑤已知两个正实数x ，y 满足+=1，则x+y 的最小值是42.其中正确命题的序号是________________． 【答案】②④【解析】试题分析：①若10a =-，1b =-，则2210100ab a b =->=-，故不正确；②若0a b <<，由同号不等式取倒数法则，知11a b >，故正确；③函数2222312222x y x x x +==++≥++等号成立的前提条件是2212=2x x++，即22=1x +，21x =-不成立，所以函数2232x y x +=+的最小值不是2，故不正确；④因为,x y 是正数，且141x y +=，所以241124xy ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，即16xy ≥，故正确；⑤因为正实数x ，y 满足+=1，所以2122x y x x ==+--，则2212322322x y x x x x +=++=-++≥+--，当且仅当22=2x x --时等号成立，即，22x =故x+y 的最小值是223，故不正确.【考点】基本不等式及其应用；函数的单调性、最值；不等式的定义及性质.四、解答题18．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-． （1）求数列{}n a 的通项公式．（2）若数列{}n n a b +的首项为1，公比为q 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）32n a n =-+；（2）见解析【解析】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．利用通项公式即可得出．（Ⅱ）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列，可得n b ．再利用等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可得出．试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵27382329a a a a +=-⎧⎨+=-⎩，∴1127232929a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得113a d =-⎧⎨=-⎩，∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+．（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列得1n n n a b q -+=，即132n n n b q --++=，∴132n n b n q -=-+， ∴()()21147321n n S n q q q -⎡⎤=++++-+++++⎣⎦()()213112n n n q q q --=+++++．∴当1q =时，()231322n n n n nS n -+=+=； 当1q ≠时，()31121nn n n q S q--=+-．19．2019年滕州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元.每生产x （百辆）新能源汽车，需另投入成本()C x 万元，且210100,040()100005014500,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩.由市场调研知，每辆车售价5万元，且生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2019年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售-成本）（2）2019年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）2104002500,040()100002000,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）2019年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元【解析】（1）根据年利润＝销售额﹣投入的总成本﹣固定成本，分0＜x ＜40和当x ≥40两种情况得到L 与x 的分段函数关系式；（2）当0＜x ＜40时根据二次函数求最大值的方法来求L 的最大值，当x ≥40时，利用基本不等式来求L 的最大值，最后综合即可． 【详解】（1）当040x <<时，22()5100101002500104002500L x x x x x x =⨯---=-+-；当40x 时，1000010000()5100501450025002000L x x x x x x⎛⎫=⨯--+-=-+ ⎪⎝⎭； 所以2104002500,040()100002000,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当040x <<时，2()10(20)1500L x x =--+， 当20x时，max ()1500L x =；当40x 时，1000010000()200020002L x x x x x ⎛⎫=-+≤-⋅ ⎪⎝⎭20002001800=-=.（当且仅当10000x x=即100x =时，“=”成立） 因为18001500>所以，当100x =时，即2019年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元. 【点睛】本题考查函数的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．20．（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分） 如图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且（1）若，求椭圆的标准方程（2）若求椭圆的离心率【答案】（1）；（2）【解析】试题解析：（1）本题中已知椭圆上的一点到两焦点的距离，因此由椭圆定义可得长轴长，即参数的值，而由，应用勾股定理可得焦距，即的值，因此方程易得；（2）要求椭圆的离心率，就是要找到关于的一个等式，题中涉及到焦点距离，因此我们仍然应用椭圆定义，设，则，，于是有，这样在中求得，在中可建立关于的等式，从而求得离心率.（1）由椭圆的定义，设椭圆的半焦距为c，由已知，因此即从而故所求椭圆的标准方程为.（2）解法一：如图（21）图，设点P在椭圆上，且，则求得由,得,从而由椭圆的定义，,从而由，有又由，知，因此于是解得.解法二：如图由椭圆的定义，,从而由，有又由，知，因此,,从而由,知，因此【考点】考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.，直线和椭圆相交问题，考查运算求解能力．21．命题p：实数x满足22430x ax a-+<（其中0a>）,命题q：实数x满足1232xxx⎧-≤⎪⎨+≥⎪-⎩.(1)若1a=,且命题p q、均为真命题,求实数x的取值范围；(2)若q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.【答案】(1)()2,3;(2)(]1,2.【解析】(1)先解出不等式22430x ax a-+<的解集,再解出不等式1232xxx⎧-≤⎪⎨+≥⎪-⎩的解集,根据题意,可以求出实数x的取值范围；(2)根据q是p的充分不必要条件,可以根据集合的关系得到关于实数a的不等式组,解这个不等式组即可求出实数a的取值范围.【详解】解(1)由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<，又0a >， 所以3a x a <<,当1a =时,13x <<,即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.由12302x x x ⎧-≤⎪⎨+≥⎪-⎩，得1332x x x -≤≤⎧⎨≤->⎩或解得23x <≤,即q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤.p q 、均为真命题，所以实数x 的取值范围是2,3（）.(2)由（1）知:3p a x a <<,:23q x <≤,q 是p 充分不必要条件,∴0233a a <≤⎧⎨>⎩解得12a <≤，故实数a 的取值范围是(]1,2. 【点睛】本题考查了两个命题为真命题时求参数问题,考查了根据命题的充分不必要条件求参数问题,考查了数学运算和分析能力.22．在数列{}n a 中，112a =-，()1212,*n n a a n n n -=--≥∈N ，设n n b a n =+.（Ⅰ）证明：数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n nb 的前n 项和nT ；（Ⅲ）若12n n n c a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，n P 为数列221n n nn c c c c ⎧⎫++⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，求不超过2019P 的最大的整数.【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）222n nn T +=-（Ⅲ）2019.【解析】（Ⅰ）构造数列证明()11n n a na n -++-为常数即可.（Ⅱ）易得122nn n nnb n ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭,再利用错位相减求解即可.（Ⅲ）先求得n c n =,再利用错位相减求解数列221n n nn c c c c ⎧⎫++⎨⎬+⎩⎭的前n 项和即可. 【详解】解（Ⅰ）证明：由121n n a a n -=--两边加2n 得,()121n n a n a n -+=+-,所以()1112n n a n a n -+=+-,即112n n b b -=. 故数列{}n b 是公比为12的等比数列,其首项为11111122b a =+=-+=,所以12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（Ⅱ）122nn n nnb n ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.234112341222222n n nn nT --=++++++ ①2345111123412222222n n n n nT -+-=++++++ ②①-②得2341111111111222222222n n n n n n nT ++=++++⋯+-=--,所以222nnn T +=-. （Ⅲ）由（Ⅰ）得12nn a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,n c n ∴=. ()2222111111111n n n n c c n n c c n n n n n n ++++==+=+-++++. 11111112211n p n n n n n ∴=+-+++-=+--+.2019120202020p ∴=-. 所以不超过2019p 的最大整数是2019. 【点睛】本题主要考查了构造数列证明等比数列的方法,同时也考查了错位相减与裂项相消的问题,属于中等题型.23．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，焦距为斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C 、D 和点71,44Q ⎛⎫-⎪⎝⎭共线，求k .【答案】（Ⅰ）2213x y +=；（Ⅱ；（Ⅲ）1.【解析】（Ⅰ）根据题干可得,,a b c 的方程组，求解22,a b 的值，代入可得椭圆方程；（Ⅱ）设直线方程为y x m =+，联立，消y 整理得2246330x mx m ++-=，利用根与系数关系及弦长公式表示出||AB ，求其最值；（Ⅲ）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合C D Q 、、三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率k . 【详解】（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =又3c e a ==，所以a =2221b a c =-=，所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=；（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则()22236443348120mm m ∆=-⨯-=->，即24m <，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12AB x -，易得当20m =时，max||AB ，故AB ；（Ⅲ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ， 则221133xy += ①，222233xy += ②，又()2,0P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+， 由()122213y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以11117124747x y C x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,，同理可得22227124747x y D x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,． 故3371,44QC x y ⎛⎫- ⎪⎭=+⎝，4471,44QD x y ⎛⎫- ⎪⎭=+⎝， 因为,,Q C D 三点共线，所以3443717104444x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =． 【点睛】本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到,,a b c 三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式21AB x =-变形为||AB =，再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.。
山东省淄博市2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年度第一学期 部分学校高二教学质量检测试题数学注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡.上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡.上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“2,10x R x ax ∀∈++≥” 的否定是（ ） A. 2,10x R x ax ∃∈++≤ B. 2,10x R x ax ∃∈++< C. 2,10x R x ax ∀∈++≤ D. 2,10x R x ax ∀∈++<【答案】B 【解析】 分析】根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.【详解】命题“2,10x R x ax ∀∈++≥” 的否定是“2,10x R x ax ∃∈++<”.故选：B.【点睛】本题主要考查全称命题的否定，只需改量词否结论即可，属于基础题型.2.下列命题为真命题的是（ ） A. 若0a b >>，则22ac bc > B. 若0a b <<，则2a ab < C. 若0a b >>>D. 若0a b <<，则11a b<【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A 选项，若0c =，则22ac bc =，故A 错；B 选项，若0a b <<，根据不等式可乘性，可得2a ab >，故B 错；C 选项，若0a b >>>C 正确；D 选项，若0a b <<，则11a b>，故D 错； 故选：C.【点睛】本题主要考查命题真假的判定，熟记不等式的性质即可，属于基础题型.3.在三棱锥A BCD -中，E 是棱CD 的中点，且23BF BE =u u u r u u u r ，则AF =u u u r（ ）A. 133244AB AC AD +-u u ur u u u r u u u r B. 3344AB AC AD +-u u u r u u u r u u u rC. 533AB AC AD -++u u u r u u u r u u u rD. 111333AB AC AD ++u u ur u u u r u u u r【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理，结合向量的线性运算，即可得出结果.【详解】因为E 是棱CD 的中点，23BF BE =u u u r u u u r，所以()22213333AF AB BF AB BE AB AE AB AE AB =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ()1111133333AC AD AB AB AC AD =++=++u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：D.【点睛】本题主要考查用基底表示空间向量，熟记空间向量基本定理即可，属于常考题型. 4.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5312a a =，则84S S =（ ）A.54B.34 C.45D.43【答案】A 【解析】 【分析】先设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，求得212q =，再由等比数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 因为5312a a =，所以212q =， 因此818484414(1)1511(1)141a q S q q q a q S q q---===+=---. 故选：A.【点睛】本题主要考查等比数列前n 项和基本量的运算，熟记等比数列的求和公式即可，属于常考题型.5.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，则其离心率为（ ）A.B.C. 3D.【答案】A【解析】 【分析】根据题意，得到2b a =，推出2224c a a-=，进而可求出结果. 【详解】因为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，所以2b a =，即22222241b c a e a a-===-，所以e =故选：A.【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 6.方程为20mx ny +=和220()1mx ny mn +=≠的两条曲线在同一坐标系中可以是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分别讨论0mn >和0mn <两种情况，即可得到方程所表示的圆锥曲线.【详解】因为方程20mx ny +=可化为2nx y m=-； 若0mn >，则方程2nx y m =-表示开口向下的抛物线，220()1mx ny mn +=≠表示椭圆； 若0mn <，则方程2n x y m=-表示开口向上的抛物线，220()1mx ny mn +=≠表示双曲线；由题意，只有B 能符合要求. 故选：B.【点睛】本题主要考查方程所表示的圆锥曲线的判定，熟记圆锥曲线的标准方程即可，属于常考题型. 7.为落实“精准扶贫”任务，某扶贫干部帮助帮扶贫困村筹集资金16万元，购进了一条配件加工生产线.已知该生产线每年收入20万元，第一年生产成本为4万元，从第二年起，每年生产成本比前一年增加2万元.若该生产线()*n n N ∈年后年平均利润达到最大值(利润=收入-生产成本-筹集资金)，则n 等于（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】 【分析】先由题意，得到该生产线()*n n N ∈年后的利润，再表示出年平均利润，根据基本不等式，即可求出结果. 【详解】由题意，该生产线()*n n N ∈年后的利润为2(1)20421617162n n n n n n -⎡⎤-+⨯-=-+-⎢⎥⎣⎦，因此该生产线()*n n N ∈年后年平均利润为：217161617179n n n n n -+-⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当16n n=，即4n =时，取等号. 故选：B.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.8.如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，SA ⊥平面ABCD ，P 为底面ABCD 内的一动点，若1PB PS ⋅=u u u r u u u r，则动点P 的轨迹在（ ）A. 圆上B. 双曲线上C. 抛物线上D. 椭圆上【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到,,AS AB AD 两两垂直，以点A 为坐标原点，分别以,,AB AD AS 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设(,,0)P x y ，由题意，得到(,,0)PA x y =--u u u r ，(2,,0)PB x y =--u u u r ，再由1PB PS ⋅=u u u r u u u r得到1PB PA ⋅=u u u r u u u r，求出点P 的轨迹，即可得出结果.【详解】由题意，,,AS AB AD 两两垂直，以点A 为坐标原点，分别以,,AB AD AS 为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为底面ABCD 是边长为2的正方形，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，因为P 为底面ABCD 内的一动点，所以可设(,,0)P x y ，因此(,,0)PA x y =--u u u r ，(2,,0)PB x y =--u u u r，因为SA ⊥平面ABCD ，所以SA PB ⊥，因此0PB AS ⋅=u u u r u u u r，所以由1PB PS ⋅=u u u r u u u r得()1PB PS PB PA AS PB PA ⋅=⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即2(2)1x x y -+=，整理得：22(1)2x y -+=，表示圆， 因此，动点P 的轨迹在圆上. 故选：A.【点睛】本题主要考查立体几何中的轨迹问题，灵活运用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（ ）. A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二次函数的图象分析列式可得,【详解】设26y x x a =-+，其图像为开口向上，对称轴是3x =的抛物线，如图所示.若关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为3x =,则2226201610a a ⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩解得58a <≤，.又a ∈Z ，故a 可以为6，7，8. 故选ABC【点睛】本题考查了二次函数的图象,一元二次不等式,属于中档题.10.在递增的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若142332,12a a a a =+=，则下列说法正确的是（ ） A. 1q = B. 数列{}2n S +是等比数列C.8510S =D. 数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】BC【解析】 【分析】先设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题中条件求出2q =，再由等比数列的通项公式，与求和公式，逐项判断，即可得出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为142332,12a a a a =+=，所以23233212a a a a =⎧⎨+=⎩，解得：2348a a =⎧⎨=⎩或2384a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 递增，所以2348a a =⎧⎨=⎩，因此2q =，故A 错；所以212a a q==， 因此2nn a =，12(12)2212n n n S +⨯-==--，所以9822510S =-=，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列；故BC 正确又lg 2lg 2lg nn n a ==⋅，因此数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故D 错；故选：BC.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 11.下列命题为真命题的是（ ） A. 2,10x R x x ∃∈-+≤B. 当0ac >时，20x bx c ∃∈+-=R,ax C. x y x y -=-成立的充要条件是0xy ≥ D. “ 23x -<<”是“()()2224230x x xx -+--<”的必要不充分条件【答案】BD 【解析】 【分析】根据210x x -+>恒成立判定A 错；根据判别式判定B 正确；根据充分条件与必要条件的概念判定C 错，D 正确.【详解】A 选项，因为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭恒成立，故A 错； B 选项，因为0ac >，所以240b ac +>，因此方程20ax bx c +-=必有实根，故B 正确； C 选项，若x y x y -=-，则222222x y xy x y xy =+-+-，即xy xy =，所以0xy ≥； 若0xy ≥，则xy xy =，则222222x y xy x y xy =+-+-，所以x y x y -=-，不能推出x y x y -=-，因此x y x y -=-成立的充要条件不是0xy ≥，故C 错；D 选项，因为()22 24130x x x -+=-+>，所以由()()2224230x x xx -+--<得2230x x --<，解得：13x -<<；因为()1,3-是()2,3-的真子集，所以“ 23x -<<”是“()()2224230x x xx -+--<”的必要不充分条件，故D 正确. 故选：BD.【点睛】本题主要考查命题真假的判定，熟记特称命题的判定方法，以及充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB ===，点P 为线段1A C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A. 当112AC A P =u u u r u u u r时，1,,B P D 三点共线 B. 当1AP AC ⊥u u u r u u u r 时，1AP D P ⊥u u u r u u u u r C. 当113AC A P =u u u r u u u r时，1//D P 平面1BDCD. 当115AC A P =u u u r u u u r时，1A C ⊥平面1D AP 【答案】ACD 【解析】 【分析】在长方体1111ABCD A B C D -中，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，以及1(11)AC =--u u u r ，1(1,0,1)D A =-u u u u r；根据空间向量的方法，逐项判断，即可得出结果. 【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为1AB ===，所以11AD AA ==， 则(1,0,0)A ，1(1,0,1)A，C ，1(0,0,1)D ，(0,0,0)D，B，则1(11)AC =--u u u r ，1(1,0,1)D A =-u u u u r；A 选项，当112AC A P =u u u r u u u r时，P 为1A C 中点，根据长方体结构特征，P 为体对角线的中点，因此P 也为1B D 中点，所以1,,B P D 三点共线；故A 正确；B 选项，当1AP AC ⊥u u u r u u u r 时，1AP A C ⊥，由题意可得，1AC ==，2AC ==，所以由1111122A AC S AA AC AC AP =⋅=⋅V ，解得：AP =，所以15A P =，即点P 为靠近点1A 的五等分点，所以4455P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则14155D P ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭u u u u r，1455AP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，所以1434102525255D P AP ⋅=-+-=-≠u u u u r u u u r ，所以AP u u u r 与1D P u u u u r 不垂直，故B 错误；C 选项，当113AC A P =u u u r u u u r时，则11111,,3333A P AC ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ， 设平面1BDC 的法向量为(,,)n x y z =r，由100n DC z n DB x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u u v v u u u vv ，令1y =，可得：(n =r，又111121,333D P A P A D ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r u u u r u u u u r ，所以10D P n ⋅=u u u u r r ，因此1D P n ⊥u u u u r r，所以1//D P 平面1BDC ；D 选项，当115AC A P =u u u r u u u r时，11111555A P AC ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r，所以11114155D P A P A D ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r u u u r u u u u r ， 所以110AC D P ⋅=u u u r u u u u r ，110AC D A ⋅=u u u r u u u u r ，因此11AC D P ⊥，11AC D A ⊥，根据线面垂直定理，可得1A C ⊥平面1D AP .故选：ACD.【点睛】本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，建立适当的坐标系，根据空间向量的方法判断即可，属于常考题型.第Ⅰ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若01a <<，则关于x 的不等式()10a x x a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭->的解集是__________． 【答案】1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】 先由题意，得到1a a<，直接解不等式，即可得出结果. 【详解】因为01a <<，所以1a a <， 因此由()10a x x a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭->可得()10x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得：1a x a<<， 即不等式的解集为：1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查解一元二次不等式，熟记不等式的解法即可，属于基础题型.14.由9个正数组成的3行3列方阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭中，每行中三个数成等比数列，且111213a a a ，212223a a a ，313233a a a 成等差数列.若12322,4a a ==，则22a =__________．【解析】【分析】先由题意，得到3111213128a a a a ==，321222322a a a a =，33132333264a a a a ==，再由111213a a a ，212223a a a ，313233a a a 成等差数列，即可求出结果.【详解】由题意，3111213128a a a a ==，321222322a a a a =，33132333264a a a a ==，又111213a a a ，212223a a a ，313233a a a 成等差数列，所以333221232272a a a =+=，解得：22a =【点睛】本题主要考查等差中项与等比中项的应用，熟记等差中项与等比中项的概念即可，属于常考题型. 15.若+,x y R ∈，若1111x y+=+，则x y +的最小值为__________． 【答案】3【解析】【分析】根据题意，得到[]11(1)1(1)11x y x y x y x y ⎛⎫+=++-=+++-⎪+⎝⎭，展开后，用基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为+,x y R ∈，1111x y+=+， 所以[]111(1)1(1)111111x y x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫++=++-=+++-=+++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭13≥=， 当且仅当11x y y x +=+，即12x y =⎧⎨=⎩时，取等号. 故答案为：3.【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.16.已知直线l : 4360x y -+=，抛物线2:4C y x =图象上的一动点P 到直线l 与到y 轴距离之和的最小值为__________，P 到直线l 距离的最小值为__________．【答案】 (1). 1 (2).34【解析】【分析】 先设抛物线2:4C y x =上的点到直线 4360x y -+=的距离为1 d ，到准线的距离为2 d ，到 y 轴的距离为3 d ，根据抛物线的性质，得到13121 11d d d d d PF +=+-=+-，结合图像，即可得出1 d PF +的最小值是焦点 F 到直线4360x y -+=的距离，根据点到直线距离公式，即可求出最小值；再设平行于直线l 且与抛物线2:4C y x =相切的直线方程为：430x y m -+=，根据判别式等于零，求出直线方程，两平行线间的距离即是动点到直线的距离的最小值. 【详解】设抛物线2:4C y x =上的点到直线 4360x y -+=的距离为1 d ，到准线的距离为2 d ，到 y 轴的距离为3 d ，由抛物线方程可得：焦点坐标为(1,0)F ，准线方程为：1x =-，则32 1d d =-，2 PF d =，因此1312111d d d d d PF +=+-=+-， 如图所示，1 d PF +的最小值是焦点 F 到直线 4360x y -+=的距离，即2=； 所以131 1d d d PF +=+-的最小值为： 211-=；设平行于直线l 且与抛物线2:4C y x =相切的直线方程为：430x y m -+=， 由2430 4x y m y x-+=⎧⎨=⎩得：230y y m -+=， 因为直线430x y m -+=与抛物线2:4C y x =线切， 所以2(3)40m ∆=--=，解得：94m =， 因此9 4304x y -+=，所以两平行线间的距离为：34=， 即P 到直线l 距离的最小值为34. 故答案为：(1). 1；(2). 34.【点睛】本题主要考查抛物线上的点到到直线的距离的最值问题，熟记抛物线的简单性质，以及点到直线距离公式即可，属于常考题型.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知为等差数列{}n a ，{1}n b -是首项为5公比为q 的等比数列，且满足117a b +=，232,35a q a b =+=. ()1求数列{}{}n n a b ，的通项公式;()2设n n n n c a b a =⋅-，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】()143,51n n n a n b =-=+ ()2()1155n n S n +⋅=-+【解析】【分析】()1先设{}n a 的公差为d ，根据题意，列出方程组求解，得出公差与公比，即可得出结果；()2根据()1结果，得到()435nn c n =-⋅，再由错位相减法，即可得出结果. 【详解】()1设{}n a 的公差为d ，所以115n n b q --=，151n n b q -=+，所以16b =，因为117a b +=，所以11a =，由己知得112+1535d q d q +=⎧⎨++=⎩，解得45d q =⎧⎨=⎩， 故43,51n n n a n b =-=+.()2设()()()()435143435n n n n n n c a b a n n n =⋅-=-+--=-⋅，所以()231.5 5.59.5...435nn S n =++++-⋅， ()23415 1.5 5.59.5...435n n S n +=++++-⋅，所以()234145 4.5 4.5 4.5... 4.5435n n n S n +-=+++++--⋅， 整理得：()1155n n S n +⋅=-+.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列基本量的运算，以及数列的求和，熟记等差数列与等比数列的通项公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥平面ABCD ，1PA =，M 为的侧棱PD 的中点.()1证明:平面MAC ⊥平面PCD ；()2求直线PB 与平面PCD 所成的角的大小.【答案】()1证明见解析 ()26π 【解析】【分析】 ()1根据题意，以A 点为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以AP 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，根据向量的方法证明AM ⊥平面PCD ，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论成立；()2根据()1的坐标系，设直线PB 与平面PCD 所成的角的大小θ，由()1得到110,,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭uuu r 为平面PCD 的一个法向量，根据sin AM PB AM PBθ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，即可求出结果. 【详解】()1因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，以A 点为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以AP 所在的直线为z 轴，建立如图所示的直角坐标系.由已知可得()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0A B C ，()(),0,1,00,0,1.D P因为M 为PD 中点，且1PA AD ==，所以AM PD ⊥，110,,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，110,,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭uuu r ，111,,22CM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r 所以11110,,1,,02222AM CM ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r 所以AM CM ⊥，所以AM ⊥平面PCD ，因为AM ⊂平面MAC ，所以平面MAC ⊥平面PCD .()2设直线PB 与平面PCD 所成的角的大小θ，由()1可知110,,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭uuu r 为平面PCD 的一个法向量，因为()1,0,1PB =-u u u r ， 所以11sin 2AM PB AM PBθ⋅===⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u r ， 所以6πθ=，即直线PB 与平面PCD 所成的角的大小为6π. 【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，以及求直线与平面所成的角，熟记空间向量的方法证明和求解即可，属于常考题型. 19.已知双曲线()222:0C x y a a -=>与椭圆22184x y +=有相同的焦点. ()1求双曲线C 的方程；()2以()1,2P 为中点作双曲线C 的一条弦AB ，求弦AB 所在直线的方程.【答案】()1222x y -= ()2230x y -+=【解析】【分析】()1根据椭圆的方程和题意，得到双曲线C 的焦点坐标，求出2c =，再由等轴双曲线的性质，以及222c a b =+，即可求出结果；的()2先讨论AB 所在直线斜率不存在时，根据题意，可直接排除；再讨论AB 所在直线斜率存在时，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理，以及中点坐标公式，即可求出结果.【详解】()1由已知椭圆22184x y += 得双曲线C 的焦点为()()122,0,2,0F F -，即2c =，由等轴双曲线的性质a b =及222c a b =+，则a =所求双曲线C 的方程为222x y -=()2当AB 所在直线斜率不存在时，由对称性可知，中点不可为()1,2P ，故此时不满足题意;当AB 所在直线斜率存在时，设AB 所在直线的方程为y kx m =+，联立方程组222y kx m x y =+⎧⎨-=⎩得()()2221220k x kmx m ---+= 122221km x x k +==- ① 点()1,2P 在AB 所在的直线y kx m =+上，即2k m =+ ②. 联立①②两式，解得13,22k m ==， 经检验，直线方程230x y -+=即为所求.【点睛】本题主要考查求双曲线的标准方程，以及双曲线的中点弦所在直线方程，熟记椭圆与双曲线的简单性质即可，属于常考题型.20.已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面,,ABC AC BC AC ⊥=， C M AB ⊥于点M ，点N 在棱1CC 上，满足()101CN CC λλ=<<.()1若23λ=，求证://CM 平面1B AN ; ()2设平面1B AN 与平面1B MC 所成的锐二面角的大小为θ，若11A B B C ⊥，试判断命题“()0,1,4πλθ∃∈=”的真假，并说明理由.【答案】()1证明见解析 ()2假命题，理由见解析【解析】【分析】()1根据题意，设BC a =，以点M 为坐标原点，以BA 所在的直线为x 轴，过M 和1BB 平行的直线为y 轴，以MC 所在的直线为z 建立空间直角坐标系，求平面1B AN 的一个法向量m u r ，只需证明0m MC ⋅=u r u u u u r，即可得出结论成立； ()2根据()1中建立的坐标系，分别求出平面1B AN 与平面1B MC 的法向量，表示出两向量的夹角，根据题意，即可求出结果.【详解】()1因为, CM AB AC BC ⊥⊥，设BC a =，则,AC AB ==CM AB AC BC ⋅=⋅，所以3CM a =，1AA b =，以点M 为坐标原点，以BA 所在的直线为x 轴，过M 和1BB 平行的直线为y 轴，以MC 所在的直线为z 建立如图所示的空间直角坐标系，所以,0,03A a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,3Ca ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭1,,0B b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，10,C b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭1,,03A a b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,0,03B a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以()10,,0CC b =u u u u r，AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭uu u r，1,B C a b ⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u r 所以20,,03bCN ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r，所以2,,333AN AC a CN b a -⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭uu u r u u u r u u u r ，1(),,0AB b =u u u r，设(),,m x y z =u r 为平面1B AN 法向量，则10m AN m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u v v u u u v v即203330ax by az by ⎧-++=⎪⎨⎪+=⎩，取x =，则3,0y a z ==，所以),3,0m a =u r，而3MC a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，所以0m MC ⋅=u r uu u u r ，又因为直线CM 在平面1B AN 外，所以//CM 平面1B AN .()2由()1可知，11,,0,(),A B b B C b ⎫=-=-⎪⎪⎝⎭u u ur u u ur ，因为11A B B C ⊥，所以2121(),0,,0b a b a A B B C b ⎫⋅-=-=⎪⎪⎝⎭⋅=-u u u r u u u r .所以a b =，所以()0,,0CN a λ=u u u r，所以,AN AC CN a λ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，()1,,0AB a =u u u r ，设(),,m x y z =u r为平面1B AN 的法向量.则100m AN m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u v v，即23330ax by az by ⎧-++=⎪⎨⎪+=⎩，取x =()3,232y z λ==-，)232m λ⎫=-⎪⎪⎭u r ，因为CM ⊥平面11ABB A ，所以1CM A B ⊥，因为11A B B C ⊥，所以1,,0()A B a =-u u u r与1B MC 的法向量n r 平行，取)n =r ，设平面1B AN 与平面1B MC 所成锐二面角为θ， 所以m n cos m n θ⋅===⋅ur r u r r对于()0,1λ∀∈，若把cos θ看作λ的函数.则此函数在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递增的，在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭是单调递减的，cos θ≤<64ππθ≤<，所以不存在()0,1λ∈，使得4πθ=， 命题“()0,1,4M πθ∃∈=”是假命题.【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及由二面角的范围求其它量，灵活运用空间向量的方法证明和求解即可，属于常考题型.21.已知在数列{}n a 中，3a =，对于*n N ∀∈，1311n na a +=++ ()1求23,a a ，并证明2介于n a 和1n a +之间；()2若1124n n b a =+-，求数列{}n b 的通项公式，并证明1123n n a --≤. 【答案】()1274a =，32311a =，证明见解析 ()2()1534n n b -=-，证明见解析 【解析】【分析】 ()1根据题意，直接计算23,a a ；再由题意计算()()1220n n a a +--<，即可得出结论成立；()2根据()1242211n n n n n a a a a a +--+-=-=++，得到1111132424n n a a +⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭，推出{}n b 是以3-为公比的等比数列，求出()1534n n b -=-，再得到()142531n n a -=+⋅--，进而可得出结论成立. 详解】()1由题意，可得：274a =，32311a =， 由己知可得，对*,0n n N a ∀∈>，且2n a ≠(否则12a =与已知矛盾)， 所以()()()2122201n n n na a a a +----=<+ 所以2介于n a 和1n a +之间()2因为()1242211n n n n n a a a a a +--+-=-=++，所以11122n n n a a a ++=--- 即1113122n n a a +=-⋅---，所以1111132424n na a +⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭， 【因为1124n n b a =+-，13n n b b +=-，即13n nb b +=-， 所以{}n b 是以3-为公比的等比数列， 因为则154b =，所以()1534n n b -=-， 因此()142531n n a -=+⋅--，所以()142531n n a --=-- 所以()11442531531n n n a ---=≤⋅---因为131n -≥，所以11531 4.3n n --⋅-≥.所以1123n n a --≤. 【点睛】本题主要考查由递推关系求通项公式，熟记等比数列的定义，以及等比数列的通项公式即可，属于常考题型. 22.已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点⎭，离心率为12. ()1求椭圆C 的标准方程；()2过右焦点F 作一条不与坐标轴平行的直线l ，交椭圆C 于,A B 两点，求AOB V 面积的取值范围.【答案】() 122143x y += ()230,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】() 1根据题意，得到22222331412a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，求解，即可得出结果； ()2设直线:1,0l x my m =+≠，联立直线与椭圆方程，设()()1122,,,A x y B x y ，根据韦达定理，弦长公式，以及三角形面积公式，表示出三角形面积，进而可求出结果.【详解】() 1因为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点⎭，离心率为12， 得22222331412a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2,a b ==，则椭圆C 的标准方程为22143x y +=；()2设直线:1,0l x my m =+≠，联立方程得2213412x my x y =+⎧⎨+=⎩，得22(34)690m y my ++-=.设()()1122,,,A x y B x y ， 则122122634934my y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩得()2122121||34m AB y m +=-==+又0d =则()221211234311AOB m S m m +=⨯==+++V61=令()1,t =+∞，则613AOB S t t=+V ， 设13y t t=+，则2130y t '=->在(1,)+∞上恒成立， 即13y t t =+在(1,)+∞上单调递增，所以()134,t t +∈+∞则630,12AOB S ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭V ， 即AOB V 的面积的取值范围为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及椭圆中三角形的面积问题，熟记椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.。
最新版2019-2020年山东淄博市重点高中高二上学期期中模拟联考数学(文)试题及答案-精编试题
高二第一学期期中模拟考试数学试卷（文）一、选择题1．如果命题“p q 或”和命题“p q 且”都为真，则有A ．p q 真假B ．p q 假真C ．p q 真真D ．p q 假假2．若b a >，则下列不等式中恒成立的是A ．1>ba B ．b a lg lg > C ．b a 22> D ．22b a > 3．已知{}n a 是等差数列，且2581148a a a a +++=，则67a a +=A ．12B ．16C ．20D ．244. 已知命题p ：,20xx R ∀∈>，那么命题p ⌝为 A. ,20x x R ∃∈< B. ,20xx R ∀∈< C. ,20x x R ∃∈≤ D. ,20xx R ∀∈≤ 5.原点和点（1，1）在直线a y x =+两侧，则a 的取值范围是A ．20<<aB ．0<a 或2>aC ．0=a 或2=aD ．20≤≤a6.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若cos b C a >，则ABC ∆的形状是 A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形7．设123)(+-=a ax x f ，若存在)1,1(0-∈x ，使0)(0=x f ，则实数a 的取值范围是A ．511<<-aB ．1-<aC ．或1-<a 51>aD ．51>a 8. 一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西060，另一灯塔在船的南偏西075，则这艘船的速度是每小时A ．5海里B ．53海里C ．10海里D ．103海里9．数列{}n a 满足：12121,2,(3)n n a n a a a a n n N --===≥∈且，则2014a =A ．1B ．2C ．12D ．20142- 10．直角三角形的斜边长为m ，则其内切圆半径的最大值为A ．m 22B ．m 212-C ．m 2D ．m )12(-第Ⅱ卷（非选择题,共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2019-2020学年山东省淄博市高二(上)期中数学试卷试题及答案(解析版)
2019-2020学年山东省淄博市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求，第11～13题有多项符合题目要求）1．命题“∀x＜0，x+≤﹣2”的否定是（）A．B．C．D．2．下列命题中正确的是（）A．若ab＞0，a＞b，则＜B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若a＞b，c＜d，则＞3．在等比数列{a n}中，已知a4＝3a3，则++++＝（）A．B．C．D．4．已知log2x，log2y，2依次成等差数列．则在平面直角坐标系中，点M（x，y）的轨迹为（）A．B．C．D．5．设a＞1，则关于x的不等式的解集是（）A．B．（a，+∞）C．D．6．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年宙高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而四方称之为“中国剩余理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为（）A．134B．135C．136D．1377．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，且双曲线C的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝3相切，则双曲线C的离心率为（）A．1B．C．2D．38．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝3|OF|，△MFO的面积为16，则抛物线的方程为（）A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝20x9．在数列{a n}中，a1＝0，a n﹣a n﹣1+5＝2（n+2）（n∈N*，n≥2），若数列{b n}满足b n＝n （）n，则数列{b n}的最大项为（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项10．F1，F2是椭圆＝1（a＞b＞0）的两焦点，P是椭圆上任意一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线11．下列表达式的最小值为2的有（）A．当ab＝1时，a+b B．当ab＝1时，C．a2﹣2a+3D．12．“存在正整数n，使不等式（n+3）lga＞（n+5）lga a（0＜a＜1）都成立”的一个充分条件是（）A．B．C．D．13．已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x﹣3y+11＝0的距离为d2，则d1+d2的取值可以为（）A．3B．4C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）14．关于x的不等式x2+px﹣2＜0的解集为（q，1），则p+q＝．15．在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为．过F1的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为．16．设单调递增的等差数列的前n项和是S n，若和是方程x2+16x+60＝0的两根，则数列的前n项和的最小值为．17．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为16，则的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共82分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）18．已知p：曲线表示双曲线；q：曲线表示焦点在y轴上的椭圆（1）分别求出条件p，q中的实数m的取值范围；（2）甲同学认为“p是q的充分条件”，乙同学认为“p是q的必要条件”，请判断两位同学的说法是否正确，并说明理由．19．某企业用180万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用10万元，且从第二年开始，每年比上一年所需的维护费用要增加10万元（1）求该设备给企业带来的总利润y（万元）与使用年数x（x∈N*）的函数关系；（2）试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？20．已知等比数列{a n}的公比q＝2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n＝a n+，求数列{b n}的前n项和S n．21．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，2）到焦点F的距离|MF|＝，倾斜角为α的直线经过焦点F，且与抛物线交于两点A、B．（1）求抛物线的标准方程及准线方程；（2）若α为锐角，作线段AB的中垂线m交x轴于点P．证明：|FP|﹣|FP|•cos2α为定值，并求出该定值．22．已知数列{a n}中，a1＝1，a1+2a2+3a3++na n＝a n+1，（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{n2a n}的前n项和T n；（3）若对任意的n∈N*，都有a n≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围．23．已知椭圆C：（a＞b＞0）过点A（0，1），且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）过A作斜率分别为k1，k2的两条直线，分别交椭圆于点M，N，且k1+k2＝2，证明：直线MN过定点．2019-2020学年山东省淄博市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求，第11～13题有多项符合题目要求）1．命题“∀x＜0，x+≤﹣2”的否定是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定是“”．故选：D．2．下列命题中正确的是（）A．若ab＞0，a＞b，则＜B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若a＞b，c＜d，则＞【解答】解：∵ab＞0，a＞b，∴a•＞b•，∴，故A正确；取c＝0，可排除B，D；由a＞b，c＞d，可知a﹣d＞b﹣c，故C错误．故选：A．3．在等比数列{a n}中，已知a4＝3a3，则++++＝（）A．B．C．D．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a4＝3a3，∴q＝3，∴++++＝q+q2+q3++q n＝＝＝．故选：D．4．已知log2x，log2y，2依次成等差数列．则在平面直角坐标系中，点M（x，y）的轨迹为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知得：2log2y＝log2x+2（x＞0，y＞0），化简得：y2＝2x（x＞0，y＞0）其图象是抛物线在第一象限的图象．故选：C．5．设a＞1，则关于x的不等式的解集是（）A．B．（a，+∞）C．D．【解答】解：a＞1时，1﹣a＜0，且a＞，则关于x的不等式可化为（x﹣a）（x﹣）＞0，解得x＜或x＞a，所以不等式的解集为（﹣∞，）∪（a，+∞）．故选：D．6．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年宙高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而四方称之为“中国剩余理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为（）A．134B．135C．136D．137【解答】解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故a n＝15n﹣14．由a n＝15n﹣14≤2016，得n≤135，故此数列的项数为135．故选：B．7．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，且双曲线C的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝3相切，则双曲线C的离心率为（）A．1B．C．2D．3【解答】解：椭圆的焦点为I（±2，0），所以c＝2，所以a2+b2＝4．双曲线的渐近线方程为ay±bx＝0，由双曲线C的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝3相切，得，可得b＝a，带入a2+b2＝4得a＝1．离心率，故选：C．8．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝3|OF|，△MFO的面积为16，则抛物线的方程为（）A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝20x【解答】解：由题意，F（，0），准线方程为x＝﹣，∵|MF|＝3|OF|，∴|MF|＝2p．∴M的横坐标为p﹣＝p，∴M的纵坐标为y＝±p，∵△MFO的面积为16，∴××p＝16，∴p＝8，∴抛物线的方程为y2＝16x．故选：C．9．在数列{a n}中，a1＝0，a n﹣a n﹣1+5＝2（n+2）（n∈N*，n≥2），若数列{b n}满足b n＝n （）n，则数列{b n}的最大项为（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项【解答】解：数列{a n}中，a1＝0，a n﹣a n﹣1+5＝2（n+2），得到：a n﹣a n﹣1＝2n﹣1，a n﹣1﹣a n﹣2＝2（n﹣1）﹣1，，a2﹣a1＝2×2﹣1，上边（n﹣1）个式子相加得：a n﹣a1＝2（2+3++n）﹣（n﹣1），解得：．当n＝1时，首项符合通项．故：．数列{b n}满足b n＝n（）n，则b n＝n（n+1）（）n﹣1，由于，故：，解得：，由于n是正整数，故n＝6．故选：B．10．F1，F2是椭圆＝1（a＞b＞0）的两焦点，P是椭圆上任意一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【解答】解：由题意，延长F2P，与F1Q的延长线交于M点，连接QO，∵PQ是∠F1PF2的外角平分线，且PQ⊥MF1∴△F1MP中，|PF1|＝|PM|且Q为MF1的中点由三角形中位线定理，得|OQ|＝|MF2|＝（|MP|+|PF2|）∵由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|＝2a，（2a是椭圆的长轴）可得|MP|+|PF2|＝2a，∴|OQ|＝（|MP|+|PF2|）＝a，可得动点Q的轨迹方程为x2+y2＝a2∴点Q的轨迹为以原点为圆心半径为a的圆．故选：A．11．下列表达式的最小值为2的有（）A．当ab＝1时，a+b B．当ab＝1时，C．a2﹣2a+3D．【解答】解：对选项A，当a，b均为负值时，a+b＜0，故最小值不为2；对选项B，因为ab＝1，所以a，b同号，所以，所以，当且仅，即a＝b＝±1时取等号，故最小值为2；对选项C，a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2，当a＝1时，取最小值2；对选项D，当且仅当，即a2+2＝1时，取等号，但等号显然不成立，故最小值不为2．故选：BC．12．“存在正整数n，使不等式（n+3）lga＞（n+5）lga a（0＜a＜1）都成立”的一个充分条件是（）A．B．C．D．【解答】解：由（n+3）lga＞（n+5）lga a（0＜a＜1），得（n+3）lga＞a（n+5）lga（0＜a＜1），∵0＜a＜1，∴lga＜0，∴（n+3）＜a（n+5），即，若存在正整数n，使，需，当n＝1时，取最小值，∴，又a＜1，∴a的取值范围为，易知选项BD是子集．故选：BD．13．已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x﹣3y+11＝0的距离为d2，则d1+d2的取值可以为（）A．3B．4C．D．【解答】解：抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离，所以过焦点F（1，0）作直线4x﹣3y+11＝0的垂线，则F到直线的距离为d1+d2的最小值，如图所示：所以，选项ABD均大于或等于3，故选：ABD．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）14．关于x的不等式x2+px﹣2＜0的解集为（q，1），则p+q＝﹣1．【解答】解：由题意知，方程x2+px﹣2＝0有一个根为1，代入方程求得p＝1；所以不等式为x2+x﹣2＜0，解得其解集为（﹣2，1）；所以q＝﹣2，所以p+q＝﹣1．故答案为：﹣1．15．在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为．过F1的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为+＝1．【解答】解：根据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1＝16；根据椭圆的性质，有4a＝16，即a＝4；椭圆的离心率为，即＝，则a＝c，将a＝c，代入可得，c＝2，则b2＝a2﹣c2＝8；则椭圆的方程为+＝1；故答案为：+＝1．16．设单调递增的等差数列的前n项和是S n，若和是方程x2+16x+60＝0的两根，则数列的前n项和的最小值为﹣56．【解答】解：设单调递增的等差数列{a n}的首项为a1，公差为d（d＞0），则，，故数列为单调递增的等差数列，由于方程x2+16x+60＝0的两根分别为﹣6，﹣10，所以，可得数列的首项为﹣14，公差为2，所以前n项和为n2﹣15n，当n＝7或8时取最小值﹣56．故答案为：﹣56．17．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为16，则的最大值为4．【解答】解：如图：由△PQF2的周长为16，所以△ABF2的周长为32，又AB是双曲线的通径，所以，因为，可得，所以b2＝a（8﹣a），可得a∈（0，8），则，当且仅当，即a＝2时等号成立，故答案为：4．三、解答题（本大题共6小题，共82分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）18．已知p：曲线表示双曲线；q：曲线表示焦点在y轴上的椭圆（1）分别求出条件p，q中的实数m的取值范围；（2）甲同学认为“p是q的充分条件”，乙同学认为“p是q的必要条件”，请判断两位同学的说法是否正确，并说明理由．【解答】解：（1）若曲线表示双曲线，则（m﹣2）（m﹣4）＜0，得2＜m＜4；因此满足条件p的实数m的取值范围是（2，4）．若曲线表示焦点在y轴上的椭圆，需，得m2＞1，得m＞1或m＜﹣1．因此满足条件q的实数m的取值范围是（﹣∞﹣1）∪（1，+∞）．（2）甲同学的判断正确，乙同学的判断不正确．因为p⇒q，所以p是q的充分条件，因为q推不出p，所以p不是q的必要条件．19．某企业用180万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用10万元，且从第二年开始，每年比上一年所需的维护费用要增加10万元（1）求该设备给企业带来的总利润y（万元）与使用年数x（x∈N*）的函数关系；（2）试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？【解答】解：（1）由题意知，x年总收入为100x万元，则x年维护总费用为10×（1+2+3++x）＝5x（x+1）万元，所以总利润为y＝100x﹣5x（x+1）﹣180，x∈N*；即y＝﹣5（x2﹣19x+36），x∈N*；（2）年平均利润为＝﹣5（x+）+95，∵x＞0，∴x+≥2＝12，当且仅当x＝，即x＝6时取“＝”；所以≤35，即这套设备使用6年，可使年平均利润最大，且年平均利润最大为35万元．20．已知等比数列{a n}的公比q＝2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n＝a n+，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由已知得a2＝2a1，a3+1＝4a1+1，a4＝8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，∴2（a3+1）＝a2+a4，∴2（4a1+1）＝2a1+8a1，解得a1＝1，故；（2）∵，∴S n＝b1+b2+b3++b n＝＝．21．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，2）到焦点F的距离|MF|＝，倾斜角为α的直线经过焦点F，且与抛物线交于两点A、B．（1）求抛物线的标准方程及准线方程；（2）若α为锐角，作线段AB的中垂线m交x轴于点P．证明：|FP|﹣|FP|•cos2α为定值，并求出该定值．【解答】解：（1）|MF|＝x0+＝x0，∴x0＝p，∴M（p，2）在抛物线上，∴2p2＝8（p＞0），解得p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝4x，准线l的方程为x＝﹣1；（2）证明：设A（x A，y A），B（x B，y B），直线AB的斜率为k＝tanα，则直线AB方程为y＝k（x﹣1）；将此式代入y2＝4x，得k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0，故x A+x B＝，x A x B＝1；记直线m与AB的交点为E（x E，y E），则x E＝＝，y E＝k（x E﹣1）＝，故直线m的方程为y﹣＝﹣（x﹣）；令y＝0，得P的横坐标x P＝+2＝3+，所以|FP|＝x P﹣1＝2+＝2+；所以|FP|﹣|FP|cos2α＝|FP|（1﹣cos2α）＝（2+）•2sin2α＝4（1+）•sin2α＝4为定值4．22．已知数列{a n}中，a1＝1，a1+2a2+3a3++na n＝a n+1，（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{n2a n}的前n项和T n；（3）若对任意的n∈N*，都有a n≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）数列{a n}中，a1＝1，a1+2a2+3a3++na n＝a n+1，（n∈N*）．可得n＝1时，a1＝a2，即a2＝，n≥2时，a1+2a2+3a3++（n﹣1）a n﹣1＝a n，又a1+2a2+3a3++na n＝a n+1，两式相减可得na n＝a n+1﹣a n，化为（n+1）a n+1＝4na n，n≥2，可得na n＝2a2•4n﹣2＝3•4n﹣2，即a n＝，n≥2，综上可得a n＝；（2）n2a n＝3n•4n﹣2，n≥2，则前n项和T n＝1+3（2•1+3•4+4•16++n•4n﹣2），4T n＝4+3（2•4+3•16+4•64++n•4n﹣1），相减可得﹣3T n＝﹣3+3（2+4+16++4n﹣2﹣n•4n﹣1）＝3•﹣3n•4n﹣1，化为T n＝；（3）对任意的n∈N*，都有a n≥（n+1）λ成立，即为λ≤的最小值，由n＝1可得＝，＝，•＝＞1，可得n≥2时，{}递增，当n＝1或2时，{}取得最小值，则λ≤．23．已知椭圆C：（a＞b＞0）过点A（0，1），且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）过A作斜率分别为k1，k2的两条直线，分别交椭圆于点M，N，且k1+k2＝2，证明：直线MN过定点．【解答】解：（1）椭圆C：（a＞b＞0）过点A（0，1），可得b＝1，且离心率为＝．a2﹣1＝c2，解得a＝2，所求椭圆方程为：（2）当直线MN斜率不存在时，设直线方程为x＝t，则M（t，s），N（t，﹣s），，则，∴t＝﹣1（7分）当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y＝kx+b，与椭圆方程联立：，得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），有（*）则将*式代入化简可得：，即（k﹣b﹣1）（b﹣1）＝0，∴k＝b+1直线MN：y＝（b+1）x+b＝b（x+1）+x，恒过定点（﹣1，﹣1）。
山东省淄博市2019-2020学年高二数学上学期期中试题及答案
C. a2-2a + 3
D. a2 2 1 a2 2
12.“存在正整数 n，使不等式 (n 3)lga > (n 5)lga（a 0 < a < 1）都成立”的一个充分条件
是
22
1
5
2
5
A. 0 < a < B. < a < 1 C. < a < D. < a <
33
3
6
3
6
13.已知拋物线 y2 4x 上一点 P 到准线的距离为 d1 ，到直线 l : 4x 3y 11 0 的距离为 d2 ，则 d1 d2 的取值可以为
理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题:将 1 至 2019 中能被 3 整除余 1 且
被 5 整除余 1 的 数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{ an }，则此数列{ an }的项数为
A. 134 B. 135 C. 136 D. 137
7.已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
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2019-2020学年山东省淄博市高二上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年山东省淄博市高二上学期期中数学试题一、单选题 1．命题“10,2x x x∀<+-…”的否定是( ) A ．00010,2x x x ∃>+-… B ．00010,2x x x ∃>+>- C ．00010,2x x x ∃<+-… D ．00010,2x x x ∃<+>- 【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可. 【详解】解：由题意,根据全称命题与存在性命题的关系, 可得命题“10,2x x x∀<+-…”的否定是“00010,2x x x ∃<+>-”.故选：D 【点睛】本题考查命题的否定,全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题. 2．下列命题中正确的是（ ） A ．若0ab >，a b >，则11a b< B ．若a b >，则22ac bc > C ．若a b >，c d >，则a c b d ->- D ．若a b >，c d <，则a b c d> 【答案】A【解析】根据不等式性质证明A 成立，举反例说明B,C,D 错误 【详解】因为0ab >，a b >，所以11,a b ab ab b a>>，A 正确 若,0a b c >=，则22ac bc =，所以B 错误； 若21>，21>，则2211-=-，所以C 错误； 若21>，21-<-，则11-=-，所以D 错误综上选A. 【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.3．在等比数列{}n a 中，已知433a a =，则6224123nna a a a a a a a ++++= ( ) A ．332n --B ．332n --C ．332n -D ．1332n +- 【答案】D【解析】由已知求得等比数列的公比,然后再由等比数列的前n 项和公式求得答案. 【详解】解：因为433a a =,所以433a q a ==. 令23n n nn na b q a ===, 则6224123nna a a a a a a a ++++123n b b b b =++++()131333132n n +--==-. 故选：D 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的性质,属于基础题.4．已知2log x ，2log y ,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M (x ，y )的轨迹为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】已知2log x ，2log y ,2成等差数列,得到222log 2y log x =+，化简得到()240,0y x x y =>>。
山东省淄博第一中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题【含答案】
使得
. .------14 分
28、【解答】解：（1）将 M（2，y0）代入 x2＝2py 得 y0＝ ，
又|MF|＝y0﹣（﹣ ）＝ + ＝ ，∴p＝1， ∴抛物线的方程为 x2＝2y，-------5 分
（2）直 l 的斜率显然存在，设直线 l：y＝kx+b，A（x1，y1）、B（x2， ）
由
|PO|＝|PF|，则△PFO 的外接圆方程是（ ）
A． x2 y2 + 2x 0
B． x2 y2 2 2x 0
C． x2 y2 2x 2 y 0
D． x2 y2 2 2x 2 2 y 0
二、多项选择题（每题 4 分，共 16 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要
所以 故 an＝2n．-----6 分
＝2n（首项符合通项）．
（Ⅱ）由于 an＝2n，所以 bn＝
＝
．
故 Tn＝b1+b2+…+bn＝
＝4n+1﹣ ．-----13 分
26、【解答】：（1）由 ＜1，得 x＞1 或 x＜0，即命题 p 是真命题是 x 的取值范围是 （﹣∞，0）∪（1，+∞），-----6 分 （2）由 x2﹣3ax+2a2＜0 得（x﹣a）（x﹣2a）＜0， 若 a＞0，则 a＜x＜2a， 若 a＜0，则 2a＜x＜a， 若 p 是 q 的必要不充分条件， 则 q 对应的集合是 p 对应集合的真子集，
得：x2﹣2kx﹣2b＝0
∴x1+x2＝2k，x1x2＝﹣2b
由，kOAkOB＝ • ＝
＝﹣ ＝﹣2，∴b＝4
∴直线方程为：y＝kx+4，所以直线恒过定点（0，4），
原点 O 到直线 l 的距离 d＝
2019年淄博市高二数学上期中模拟试题(附答案)
2019年淄博市高二数学上期中模拟试题(附答案)一、选择题1．一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于112 22422226C C CC+的是 ( )A．P(0<X≤2)B．P(X≤1)C．P(X=1)D．P(X=2)2．设,m n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x mx n++=有实根的概率为（）A．1936B．1136C．712D．123．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献，哥德巴赫猜想是：“任一大于2的偶数都可以写成两个质数之和”，如32=13+19．在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率为（）A．111B．211C．355D．4555．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，86．将20名学生任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率为( )A ．192181020C C C B ．1921810202C C C C ．1921910202C C C D ．192191020C C C 7．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门. 8．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件． 其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k 的值可以为A ．6B ．10C ．8D ．410．某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( )A ．15 B ．24125 C ．48125D ．9612511．某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．6?i >B ．7?i >C ．6?i ≥D ．5?i ≥12．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A．4B．5C．6D．7二、填空题13．已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是______．b ，三内角A，B，14．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3C成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于______________；15．某校高一年级有600个学生，高二年级有550个学生，高三年级有650个学生，为调查学生的视力情况，用分层抽样的方法抽取一个样本，若在高二、高三共抽取了48个学生，则应在高一年级抽取学生______个16．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为98、63，则输出的a=_______．17．执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为________．18．某班按座位将学生分为两组，第一组18人，第二组27人，现采用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中安排两人去打扫卫生，则这两人来自同一组的概率为__________． 19．执行如图所示的程序框图，如果输出1320s =，则正整数M 为__________．20．在—次对人体脂肪百分比和年龄关系的研究中，研究人员获得如下一组样本数据： 年龄x21 24 3441 脂肪y9.5175.24.928.1由表中数据求得y 关于x 的线性回归方程为0.6ˆˆyx a =+，若年龄x 的值为50，则y 的估计值为 ．三、解答题21．为检验,A B 两条生产线的优品率，现从两条生产线上各抽取6件产品进行检测评分，用茎叶图的形式记录，并规定高于90分为优品.前5件的评分记录如下，第6件暂不公布.（1）求所抽取的A 生产线上的6个产品的总分小于B 生产线上的第6个产品的总分的概率；（2）已知,A B生产线的第6件产品的评分分别为90,97.①从A生产线的6件产品里面随机抽取2件，设非优品的件数为η，求η的分布列和数学期望；②以所抽取的样本优品率来估计B生产线的优品率，从B生产线上随机抽取3件产品，记优品的件数为X，求X的数学期望.22．国家公安机关为给居民带来全方位的安全感，大力开展智慧警务社区建设.智慧警务建设让警务更智慧，让民生更便利，让社区更安全.下表是某公安分局在建设智慧警务社区活动中所记录的七个月内的该管辖社区的违法事件统计数据：月份1234567违法案件数196101663421116根据以上数据，绘制了如图所示的散点图.（1）根据散点图判断，用y a bx=+与(0,01)xy c d b d=⋅<<<哪一个更适宜作为违法案件数y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果及表中所给数据，求y关于x的回归方程（保留两位有效数字），并预测第8个月该社区出现的违法案件数（取整数）.参考数据：y v71i iix y=∑71i iix v=∑721iix=∑ 2.5410 62.14 1.5494536.186140346.74其中i iv lgy=，7117iiv v==∑.参考公式：对一组数据()11,u v，()22,u v，…，(),n nu v，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：µ1221ni iiniiu v nuvu nuβ==-=-∑∑，µµv uαβ=-.23．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注： 参考数据：，，，≈2.646.参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：24．有编号为1210,,,A A A L 的10个零件，测量其直径（单位：cm ），得到下面数据： 编号1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A直径 1.51 1.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直径在区间[]1.48,1.52内的零件为一等品.（1）上述10个零件中，随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率. （2）从一等品零件中，随机抽取2个； ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2个零件直径相等的概率.25．某药厂为了了解某新药的销售情况，将今年2至6月份的销售额整理得到如下图表：（1）根据2至6月份的数据，求出每月的销售额y 关于月份x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+；（2）根据所求线性回归方程预测该药厂今年第三季度（7,8,9月份）这种新药的销售总额.（参考公式：^1221()ni ii nii x y nx yb xn x ==-=-∑∑，^^y x a b=-） 26．某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B 类工人）.现用分层抽样方法（按A 类，B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）.（1）A 类工人中和B 类工人中各抽查多少工人？（2）从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2. 表一 生产能力分组 [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 人数48x5 3表二 生产能力分组 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 人数6y3618①先确定,x y 再补全下列频率分布直方图（用阴影部分表示）.②就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）③分别估计A类工人生产能力的平均数和中位数（求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型，由古典概型公式分别求得P（X=1）和P（X=0），即可判断等式表示的意义．【详解】由题意可知112224222226261,0C C CP X P XC C⋅====：（）（），∴11222422225C C CC+表示选1个白球或者一个白球都没有取得即P（X≤1），故选B．【点睛】本题是一个古典概型问题，这种问题在高考时可以作为文科的一道解答题，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以用组合数表示出所有事件数．2．A解析：A【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是6×6=36种结果，方程x2+mx+n=0有实根要满足m2−4n⩾0，当m=2，n=1m=3，n=1，2m=4，n=1，2，3，4m=5，n=1，2，3，4，5，6，m=6，n=1，2，3，4，5，6综上可知共有1+2+4+6+6=19种结果∴方程x2+mx+n=0有实根的概率是19 36；本题选择A选项.3．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】解：对于A ，由图象可知当速度大于40km /h 时，乙车的燃油效率大于5km /L ， ∴当速度大于40km /h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误； 对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误； 对于C ，由图象可知当速度为80km /h 时，甲车的燃油效率为10km /L ，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故C 错误； 对于D ，由图象可知当速度小于80km /h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故D 正确 故选D ．考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.4．C解析：C 【解析】 【分析】利用列举法求得基本事件的总数，再得出选取两个不同的数且和等于30，所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，不超过32的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共有11个， 其中随机选取两个不同的数且和等于30的有30=7+23=11+19=13+17，共有3组， 所以所求概率为2113355C =， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.5．C解析：C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图6．A解析：A【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型，先求出事件发生的总个数，再求出满足要求的事件个数，再根据古典概型的概率公式即可得出结果.【详解】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是20名学生平均分成两组共有1020C种结果，而满足条件的事件是2名学生干部恰好被分在不同组内共有19218C C中结果，根据古典概型的概率公式得192181020C CPC.故选：A.【点睛】本题主要考查古典概型和组合问题，属于基础题.7．D解析：D【解析】【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可．【详解】由图可知，选项A、B、C都正确，对于D，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误．故选D．【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．8．A解析：A【解析】【分析】根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．9．C解析：C 【解析】 【分析】执行如图所示的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，根据选项即可得到答案. 【详解】由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知： 第一循环：134,2146n S =+==⨯+=； 第二循环：437,26719n S =+==⨯+=； 第三循环：7310,2191048n S =+==⨯+=， 要使的输出的结果为48，根据选项可知8k =，故选C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的计算与输出问题，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10．C解析：C 【解析】五所学生自由录取五名学生,共有55种不同的录取情况其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的情况的录取情况有：213554C C A 种，则：则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率：2135545485125C C A p == 本题选择C 选项.11．A解析：A 【解析】试题分析：根据程序框图可知，该程序执行的是2362222++++L ，所以判断框中应该填i>6?.考点：本小题主要考查程序框图的识别和应用，考查学生读图、识图的能力.点评：要分清是当型循环还是直到型循环，要特别注意退出循环的条件的应用，避免多执行或少执行一步.12．A解析：A 【解析】【分析】根据框图，模拟计算即可得出结果. 【详解】程序执行第一次，0021s =+=，1k =，第二次，1=1+23,2S k ==，第三次，33211,3S k =+==，第四次，11112100,4S k =+>=，跳出循环，输出4k =，故选A. 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.二、填空题13．【解析】数据4849525556的平均数为×（48+49+52+55+56）=52∴该组数据的方差为：s2=×（48–52）2+（49–52）2+（52–52）2+（55–52）2+（56–52）2 解析：0.1【解析】数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为15x =×（ 4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2， ∴该组数据的方差为：s 2=15×[（4.8–5.2）2+（4.9–5.2）2+（5.2–5.2）2+（5.5–5.2）2+（5.6–5.2）2]=0.1．故答案为0.1．14．1【解析】ABC 成等差数列所以解析：1 【解析】A ，B ，C 成等差数列，所以32213sin sin3b B R R B ππ=∴===⇒= 15．24【解析】【分析】设应在高一年级抽取学生数为n 首先求出高一年级人数占总人数的百分比然后通过分层抽样的性质由此能求出应在高一年级抽取学生数【详解】设应在高一年级抽取学生数为n 因为某校高一年级有600解析：24 【解析】 【分析】设应在高一年级抽取学生数为，首先求出高一年级人数占总人数的百分比，然后通过分层抽样的性质，由此能求出应在高一年级抽取学生数。
2019-2020学年人教A版山东省淄博市部分学校高二第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷一、选择题1．命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2+ax+1≤0 B．∃x∈R，x2+ax+1＜0C．∀x∈R，x2+ax+1≤0 D．∀x∈R，x2+ax+1＜02．下列命题为真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＜abC．若a＞b＞0，则D．若a＜b＜0，则3．在三棱锥A﹣BCD中，E是棱CD的中点，且，则＝（）A．B．C．D．4．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则＝（）A．B．C．D．5．若双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，则C的离心率为（）A．B．C．D．6．方程为mx2+ny＝0和mx2+ny2＝1（mn≠0）的两条曲线在同一坐标系中可以是（）A．B．C．D．7．为落实“精准扶贫”任务，某扶贫干部帮助帮扶贫困村筹集资金16万元，购进了一条配件加工生产线．已知该生产线每年收入20万元，第一年生产成本为4万元，从第二年起，每年生产成本比前一年增加2万元．若该生产线n（n∈N*）年后年平均利润达到最大值（利润＝收入﹣生产成本﹣筹集资金），则n等于（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SA⊥平面ABCD，P为底面ABCD内的一动点，若，则动点P的轨迹在（）A．圆上B．双曲线上C．抛物线上D．椭圆上二、多项选择题9．关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0（a∈Z）的解集中有且仅有3个整数，则a的取值可以是（）A．6 B．7 C．8 D．910．在递增的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（）A．q＝1B．数列{S n+2}是等比数列C．S8＝510D．数列{lga n}是公差为2的等差数列11．下列命题为真命题的是（）A．∃x∈R，x2﹣x+1≤0B．当ac＞0时，∃x∈R，ax2+bx﹣c＝0C．|x﹣y|＝|x|﹣|y|成立的充要条件是xy≥0D．“﹣2＜x＜3”是“（x2﹣2|x|+4）（x2﹣2x﹣3）＜0”的必要不充分条件12．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是（）A．当时，B1，P，D三点共线B．当时，C．当时，D1P∥平面BDC1D．当时，A1C⊥平面D1AP二、填空题（本题共4小题，每题5分，满分3分，将答案填在答题纸上）13．若0＜a＜1，则关于x的不等式（a﹣x）（x﹣）＞0的解集是．14．由9个正数组成的3行3列方阵中，每行中三个数成等比数列，且a11a12a13，a21a22a23，a31a32a33成等差数列．若a12＝2，a32＝4，则a22＝．15．若x，y∈R+，若＝1，则x+y的最小值为．16．已知直线l：4x﹣3y+6＝0，抛物线C：y2＝4x图象上的一动点P到直线l与到y轴距离之和的最小值为，P到直线l距离的最小值为．四、解答题17．已知为等差数列{a n}，{b n﹣1}是首项为5公比为q的等比数列，且满足a1+b1＝7，a2＝q，a3+b2＝35．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝a n•b n﹣a n，求数列{c n}的前n项和S n．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝1，M为侧棱PD的中点．（1）证明：平面MAC⊥平面PCD；（2）求直线PB与平面PCD所成的角的大小．19．已知双曲线C：x2﹣y2＝a2（a＞0）与椭圆有相同的焦点．（1）求双曲线C的方程；（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．20．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC，CM⊥AB于点M，点N 在棱CC1上，满足．（1）若λ＝，求证：CM∥平面B1AN；（2）设平面B1AN与平面B1MC所成的锐二面角的大小为θ，若A1B⊥B1C，试判断命题“∃λ∈（0，1），θ＝”的真假，并说明理由．21．已知在数列{a n}中，a＝3，对于∀n∈N*，．（1）求a2，a3，并证明2介于a n和a n+1之间；（2）若，求数列{b n}的通项公式，并证明．22．已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆过点，离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过右焦点F作一条不与坐标轴平行的直线l，交椭圆C于A，B两点，求△AOB面积的取值范围．参考答案一、选择题1．命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2+ax+1≤0 B．∃x∈R，x2+ax+1＜0C．∀x∈R，x2+ax+1≤0 D．∀x∈R，x2+ax+1＜0【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题为全称命题，则命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”的否定是：∃x∈R，x2+ax+1＜0，故选：B．2．下列命题为真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＜abC．若a＞b＞0，则D．若a＜b＜0，则【分析】利用不等式的基本性质可判断命题CD的真假，取特殊值可判断命题AB的真假．解：A．取c＝0，则ac2＞bc2不成立，故A错误；B．由a＜b＜0，取a＝﹣2，b＝﹣1，则a2＜ab不成立，故B错误；C．∵a＞b＞0，∴由不等式的基本性质知，故C正确；D．∵a＜b＜0，∴ab＞0，∴，∴，故D错误．故选：C．3．在三棱锥A﹣BCD中，E是棱CD的中点，且，则＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用空间向量的加减法运算，即可得答案．解：如图，∵E是棱CD的中点，且，∴＝，∴＝+＝++﹣＝﹣++．故选：D．4．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则＝（）A．B．C．D．【分析】结合已知及等比数列的通项公式可求公比q，然后结合等比数列的求和公式即可求解．解：由，可得q2＝，则＝＝1+q4＝．故选：A．5．若双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用双曲线的渐近线推出b，a关系，然后求解离心率即可．解：由已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，可得，，故选：B．6．方程为mx2+ny＝0和mx2+ny2＝1（mn≠0）的两条曲线在同一坐标系中可以是（）A．B．C．D．【分析】由mn≠0，分m、n同号或异号讨论，即可得到结论．解：方程mx2+ny＝0 即x2＝﹣y，表示抛物线，方程mx2+ny2＝1（mn≠0）表示椭圆或双曲线．当m和n同号时，抛物线开口向下，方程mx2+ny2＝1（mn≠0）表示椭圆，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线x2＝﹣y，开口向上，方程mx2+ny2＝1表示双曲线，注意B 满足，故选：B．7．为落实“精准扶贫”任务，某扶贫干部帮助帮扶贫困村筹集资金16万元，购进了一条配件加工生产线．已知该生产线每年收入20万元，第一年生产成本为4万元，从第二年起，每年生产成本比前一年增加2万元．若该生产线n（n∈N*）年后年平均利润达到最大值（利润＝收入﹣生产成本﹣筹集资金），则n等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由题意可知，生产成本是以4为首项，公差为2的等差数列，先求出生产成本之和，再结合题意列出年平均利润关于n的函数解析式，利用基本不等式即可求出函数的最大值，以及此时n的值．解：设年平均利润达为y，n年的生产成本之和为s，由题意可知，生产成本是以4为首项，公差为2的等差数列，∴，∴＝＝＝﹣（n+）+17，当且仅当n＝，即n＝4时，取等号，∴平均利润达到最大值时，n＝4，故选：B．8．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SA⊥平面ABCD，P为底面ABCD内的一动点，若，则动点P的轨迹在（）A．圆上B．双曲线上C．抛物线上D．椭圆上【分析】建立空间直角坐标系，设坐标，由数量积可得P的轨迹为圆．解：由题意建立空间直角坐标系，以AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，A为坐标原点，则B（2，0，0），S（0，0，c），设P（x，y，0）因为＝（2﹣x，﹣y，0）（﹣x，﹣y，c）＝x2﹣2x+y2+0＝（x﹣1）2+y2，由题意可得：（x﹣1）2+y2＝1，可得动点P的轨迹为：以（1，0）为圆心，以1为半径的圆．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0（a∈Z）的解集中有且仅有3个整数，则a的取值可以是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】设f（x）＝x2﹣6x+a，画出函数图象，利用数形结合的方法得出关于a的不等式组，从而求出a的值．解：设f（x）＝x2﹣6x+a，其图象是开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示；若关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则，即，解得5＜a≤8，又a∈Z，所以a＝6，7，8．故选：ABC．10．在递增的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（）A．q＝1B．数列{S n+2}是等比数列C．S8＝510D．数列{lga n}是公差为2的等差数列【分析】本题先根据题干条件判断并计算得到q和a1的值，则即可得到等比数列{a n}的通项公式和前n项和公式，则对选项进行逐个判断即可得到正确选项．解：由题意，根据等比中项的性质，可得a2a3＝a1a4＝32＞0，a2+a3＝12＞0，故a2＞0，a3＞0．根据根与系数的关系，可知a2，a3是一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根．解得a2＝4，a3＝8，或a2＝8，a3＝4．故必有公比q＞0，∴a1＝＞0．∵等比数列{a n}是递增数列，∴q＞1．∴a2＝4，a3＝8满足题意．∴q＝2，a1＝＝2．故选项A不正确．a n＝a1•q n﹣1＝2n．∵S n＝＝2n+1﹣2．∴S n+2＝2n+1＝4•2n﹣1．∴数列{S n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B正确．S8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C正确．∵lga n＝lg2n＝n．∴数列{lga n}是公差为1的等差数列．故选项D不正确．故选：BC．11．下列命题为真命题的是（）A．∃x∈R，x2﹣x+1≤0B．当ac＞0时，∃x∈R，ax2+bx﹣c＝0C．|x﹣y|＝|x|﹣|y|成立的充要条件是xy≥0D．“﹣2＜x＜3”是“（x2﹣2|x|+4）（x2﹣2x﹣3）＜0”的必要不充分条件【分析】A．∀x∈R，x2﹣x+1＝+＞0，即可判断出正误；B．当ac＞0时，由ax2+bx﹣c＝0，可得△＞0，即可判断出正误；．C．|x﹣y|＝|x|﹣|y|成立的充要条件是xy≥0，且|x|≥|y|，即可判断出正误；D．由x2﹣2|x|+4＝（|x|﹣1）2+3＞0恒成立，因此（x2﹣2|x|+4）（x2﹣2x﹣3）＜0⇔x2﹣2x﹣3＜0⇔﹣1＜x＜3，即可判断出正误．解：A．∀x∈R，x2﹣x+1＝+＞0，因此A不正确；B．当ac＞0时，由ax2+bx﹣c＝0，可得△＝b2+4ac＞0，因此∃x∈R，ax2+bx﹣c＝0，正确．C．|x﹣y|＝|x|﹣|y|成立的充要条件是xy≥0，且|x|≥|y|，因此不正确；D．由x2﹣2|x|+4＝（|x|﹣1）2+3＞0恒成立，因此（x2﹣2|x|+4）（x2﹣2x﹣3）＜0⇔x2﹣2x﹣3＜0⇔﹣1＜x＜3∴“﹣2＜x＜3”是“（x2﹣2|x|+4）（x2﹣2x﹣3）＜0”的必要不充分条件．因此正确．故选：BD．12．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是（）A．当时，B1，P，D三点共线B．当时，C．当时，D1P∥平面BDC1D．当时，A1C⊥平面D1AP【分析】建立空间直角坐标系，设＝k，＝（﹣1，，﹣1），可得：＝+＝（1﹣，，1﹣），A．当时，点P为对角线A1C的中点，即可判断出结论．B．当时，＝（﹣，，1﹣），∴•＝++﹣1＝0，解得k＝5．计算•＝0是否成立即可．C．当时，P（，，），＝（，，﹣），设平面BDC1的法向量为＝（x，y，z），利用•＝•＝0，可得．计算•＝0是否成立即可得出．D．当时，可得：P．可得：＝（﹣，，）．＝（1，0，﹣1），设平面D1AP的法向量为＝（a，b，c），利用•═•＝0，可得，判断∥是否成立即可判断出结论．解：建立空间直角坐标系，A1（1，0，1），D（0，0，0），C（0，，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），B（1，，0），C1（0，，1），设＝k，＝（﹣1，，﹣1），可得：＝+＝（1﹣，，1﹣），A．当时，点P为对角线A1C的中点，可得B1，P，D三点共线，正确．B．当时，＝（﹣，，1﹣），∴•＝++﹣1＝0，解得k＝5．则•＝（﹣，，）•（，，﹣）＝﹣+﹣≠0，因此不正确；C．当时，P（，，），＝（，，﹣），设平面BDC1的法向量为＝（x，y，z），＝（1，，0），＝（0，，1），∴•＝x+y＝0，•＝y+z＝0，取＝（，﹣1，）．则•＝﹣﹣＝0，∴D1P∥平面BDC1，正确．D．当时，可得：P．可得：＝（﹣，，）．＝（1，0，﹣1），设平面D1AP的法向量为＝（a，b，c），则•═﹣a+b+c ＝0，•＝a﹣c＝0，取＝（﹣1，，﹣1）．∴∥，∴A1C⊥平面D1AP，因此正确．综上可得：ACD正确．故选：ACD．二、填空题（本题共4小题，每题5分，满分3分，将答案填在答题纸上）13．若0＜a＜1，则关于x的不等式（a﹣x）（x﹣）＞0的解集是．【分析】已知0＜a＜1，可得＞1，判断a与的大小，再根据不等式的解法，进行求解解：因为0＜a＜1，可得＞1，∴a＜；∵（a﹣x）（x﹣）＞0⇒（x﹣a）（x﹣）＜0⇒a＜x＜；∴关于x的不等式（a﹣x）（x﹣）＞0的解集是（a，）；故答案为：（a，）14．由9个正数组成的3行3列方阵中，每行中三个数成等比数列，且a11a12a13，a21a22a23，a31a32a33成等差数列．若a12＝2，a32＝4，则a22＝．【分析】由题意设出一个满足条件的矩阵，结合a11a12a13，a21a22a23，a31a32a33成等差数列，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得所求值．解：由题意可设9个正数组成的矩阵为（q，m，n，分别为各行的公比），a11a12a13，a21a22a23，a31a32a33成等差数列，可得（aq）3+（cn）3＝2（bm）3，a12＝2，a32＝4，可得bm＝2，cn＝4，则23+43＝2×a223，解得a22＝．故答案为：．15．若x，y∈R+，若＝1，则x+y的最小值为 3 ．【分析】由已知可得，x+y+1＝（x+y+1）•（），展开后应用基本不等式即可解：由题意可得，x+y+1＝（x+y+1）（+）＝2+≥2+2＝4；当且仅当即则x＝1，y＝2时取等号∴x+y的最小值为4﹣1＝3．故答案为：316．已知直线l：4x﹣3y+6＝0，抛物线C：y2＝4x图象上的一动点P到直线l与到y轴距离之和的最小值为 1 ，P到直线l距离的最小值为．【分析】将点到y轴的距离转化为到准线的距离减准线到y轴的距离，再由由抛物线的性质到准线的距离等于到焦点的距离，用焦点到直线的距离求出最小距离；抛物线上的点到直线的距离转化为平行线间的距离，直线与抛物线相切时平行线间的距离最小，切线与抛物线联立用判别式等于0求出l的平行线，进而求出P到直线的最小值．解：由题意抛物线的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，由抛物线的性质，到准线的距离等于到焦点的距离，所以y2＝4x图象上的一动点P到直线l与到y轴距离之和的最小值时过焦点F做这些l的垂线与抛物线的交点P，所以最小值为焦点F到直线l的距离减准线到y轴的距离，而焦点到直线l的距离d＝＝2，所以P到直线l与到y轴距离之和的最小值为：2﹣1＝1；当与直线l的平行的直线与抛物线相切时，两条平行直线的距离最小，即切点P到直线l的距离最小，设直线l的平行线：4x﹣3y+c＝0，与抛物线联立：，整理得：y2﹣3y+c＝0，△＝9﹣4c＝0，所以c＝，所以P到直线l的最小距离为：＝，故答案分别为：1，，四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知为等差数列{a n}，{b n﹣1}是首项为5公比为q的等比数列，且满足a1+b1＝7，a2＝q，a3+b2＝35．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝a n•b n﹣a n，求数列{c n}的前n项和S n．【分析】（1）设{a n}的公差为d，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得首项、公差和公比，进而得到所求通项公式；（2）求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．解：（1）设{a n}的公差为d，所以，，所以b1＝6，因为a1+b1＝7，所以a1＝1，由己知得，解得，故．（2）设，所以S n＝1•5+5•52+9•53+…+（4n﹣3）•5n，5S n＝1•52+5•53+9•54+…+（4n﹣3）•5n+1，相减可得﹣4S n＝5+4（52+53+…+5n）﹣（4n﹣3）•5n+1＝5+4•﹣（4n﹣3）•5n+1，所以．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝1，M为侧棱PD的中点．（1）证明：平面MAC⊥平面PCD；（2）求直线PB与平面PCD所成的角的大小．【分析】（1）以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，以AP所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系，用向量法先证明AM垂直CM，证明AM⊥平面PCD，再证明结论；（2）由（1）可知为平面PCD的一个法向量，根据线面夹角的向量公式求出结论即可．解：（1）因为PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，以AP所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系．由已知可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1）．因为M为PD的中点，且PA＝AD＝1，所以AM⊥PD，，，所以，所以AM⊥CM，所以AM⊥平面PCD，因为AM⊂平面MAC，所以平面MAC⊥平面PCD；（2）设直线PB与平面PCD所成的角的大小θ，由（1）可知为平面PCD的一个法向量，因为，所以，所以，即直线PB与平面PCD所成的角的大小为．19．已知双曲线C：x2﹣y2＝a2（a＞0）与椭圆有相同的焦点．（1）求双曲线C的方程；（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．【分析】（1）由已知椭圆，得双曲线C的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），即c＝2，由等轴双曲线的性质a＝b及c2＝a2+b2，求出a，得到双曲线方程．（2）法一：当AB所在直线斜率不存在时，验证不满足题意；当AB所在直线斜率存在时，设AB所在直线的方程为y＝kx+m，联立方程组，利用韦达定理，转化求解直线方程x﹣2y+3＝0即为所求．法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），利用平方差法，求解直线的斜率，得到直线方程．解：（1）由已知椭圆得双曲线C的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），即c＝2，由等轴双曲线的性质a＝b及c2＝a2+b2，则所求双曲线C的方程为x2﹣y2＝2．（2）法一：当AB所在直线斜率不存在时，由对称性可知，中点不可为P（1，2），故此时不满足题意；当AB所在直线斜率存在时，设AB所在直线的方程为y＝kx+m，联立方程组，得（1﹣k2）x2﹣2kmx﹣（m2+2）＝0①点P（1，2）在AB所在的直线y＝kx+m上，即2＝k+m②．联立①②两式，解得，经检验，直线方程x﹣2y+3＝0即为所求．法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），，两式作差：所以，所以，直线AB的方程为，即x﹣2y+3＝0，经检验x﹣2y+3＝0为所求直线方程．20．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC，CM⊥AB于点M，点N 在棱CC1上，满足．（1）若λ＝，求证：CM∥平面B1AN；（2）设平面B1AN与平面B1MC所成的锐二面角的大小为θ，若A1B⊥B1C，试判断命题“∃λ∈（0，1），θ＝”的真假，并说明理由．【分析】（1）建立空间直角坐标系，设BC＝a，则，设AA1＝b，求出平面B1AN的法向量，根据法向量与向量的数量积为0，证明即可；（2）由A1B⊥B1C，求出a＝b，再求出平面B1AN的法向量，平面B1MC的法向量，利用夹角公式求出关于λ的函数，根据函数的大尿性判断即可．解：（1）因为CM⊥AB，AC⊥BC，设BC＝a，则，CM•AB＝AC•BC，所以，所以AM＝，设AA1＝b，以BA所在的直线为x轴，过M和BB1平行的直线为y轴，以MC所在的直线为z建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，，，，，所以，，，所以，所以，，设为平面B1AN的法向量，则，即，取，则y＝3a，z＝0，所以，而，所以，又因为直线CM在平面B1AN外，所以CM∥平面B1AN；（2）由（1）知，，，因为A1B⊥B1C，所以，所以a＝b，所以，所以，，设＝（x，y，z）为平面B1AN的法向量．则则，即，取，则，，因为CM⊥平面ABB1A1，所以CM⊥A1B，因为A1B⊥B1C，所以与B1MC的法向量平行，取，设平面B1AN与平面B1MC所成锐二面角为θ，所以对于∀λ∈（0，1），若把cosθ看作λ的函数．则此函数在上是单调递增的，在是单调递减的，所以，所以，所以不存在λ∈（0，1），使得，命题“”是假命题．21．已知在数列{a n}中，a＝3，对于∀n∈N*，．（1）求a2，a3，并证明2介于a n和a n+1之间；（2）若，求数列{b n}的通项公式，并证明．【分析】（1）运用代入法和化简可得所求；（2）运用等比数列的定义和通项公式，不等式的解法可得证明．解：（1），，由己知可得，对∀n∈N*，a n＞0，且a n≠2（否则a1＝2与已知矛盾），所以，所以2介于a n和a n+1之间；（2）因为，所以，即，所以，因为，b n+1＝﹣3b n，即，所以{b n}是以﹣3为公比的等比数列，因为则，所以，求b n的另外一种解法：因为，所以代入得，，化简得b n+1＝﹣3b n，所以，所以数列{b n}是等比数列，，所以，，所以，所以，因为3n﹣1≥1，所以5•3n﹣1﹣1≥4.3n﹣1．所以．22．已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆过点，离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过右焦点F作一条不与坐标轴平行的直线l，交椭圆C于A，B两点，求△AOB面积的取值范围．【分析】（1）根据椭圆的性质及过点，代入即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，点到直线的距离公式求得三角形面积的表达式，换元，利用函数的单调性，即可求得△AOB的面积的取值范围．解：（1）因为椭圆，过点，离心率为，得，解得，所以椭圆C的标准方程为；（2）设直线l：x＝my+1，m≠0，联立方程组，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以又，则＝令，则在（1，+∞）上单调递增，则，则，所以△AOB的面积的取值范围为．。