高一数学等差数列PPT教学课件 (2)
高中数学课件-第2讲 等差数列
第2讲 等差数列1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 考试要求项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.01聚焦必备知识知识梳理1.等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于__________________，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的_________，符号表示为a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数).(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝________，其中A 叫做a与b 的等差中项.2.等差数列的有关公式(1)通项公式：a n＝______________________________.(2)前n项和公式：S n＝__________________＝______________.4.等差数列与函数的关系(1)等差数列{a n}的通项公式可写成a n＝_____________，当d≠0时，它是关于n的_______________，它的图象是直线y＝dx＋(a1－d)上横坐标为正整数的均匀分布的一系列____________的点.拓展1.数列{a n }为等差数列的充要条件是a n ＝kn ＋b (k ，b ∈R ).2.若数列{a n }的前n 项和为S n ，则“数列{a n }为等差数列”的充要条件是“S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )”.3.在等差数列{a n }中，若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d>0，则S n 存在最小值.常用结论1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(2)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( )(3)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是∀n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )夯基诊断√×√√2.回源教材(1)已知在等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝20，a 7＝12，则a 4＝________.答案：6由a4＋a 8＝2a 6＝20，故a 6＝10，故d ＝a 7－a 6＝2，所以a 4＝a 6－2d ＝6.(2)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝2，S 20＝8，则S 30＝_______.答案：18由于S10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，所以2×(8－2)＝2＋S 30－8，解得S 30＝18.(3)等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6＝3(a5＋3)，a4＝－1，则其公差d＝____________.答案：－202突破核心命题例1 (1)(2023全国甲卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 2＋a 6＝10，a 4a 8＝45，则S 5＝( )A.25B.22C.20D.15考 点 一等差数列基本量的运算C(2)(2024·重庆一诊)设等差数列{a n}的前n项和为S n，5S9＝9a9－36，B则a4＝( )A.－2B.－1C.1D.21.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，n ，d ，a n ，S n ，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).2.确定等差数列通项公式的关键是求出两个最基本的量，即首项a 1和公差d .反思感悟训练1 (1)(2024·北京通州区期末)在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，则a n ＝( )A.5n －16B.5n －11C.3n －8D.3n －5A(2)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一B百寸)( )A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸2等差数列的判定与证明判断数列{a n }是等差数列的常用方法(1)定义法.(2)等差中项法.(3)通项公式法.(4)前n 项和公式法.反思感悟训练2 已知在数列{a n}中，a1＝1，a n＝2a n－1＋1(n≥2，n∈N*)，记b n＝log2(a n＋1).(1)判断{b n}是否为等差数列，并说明理由；(2)求数列{a n}的通项公式.例3 (2024·湖北联考)已知{a n }是各项均为正数的等差数列，S n 为其前n 项和，且a 6＋2a 7＋a 10＝20，则当a 7·a 8取最大值时，S 10＝( )A.10B.20C.25D.50考 点 二等差数列性质的应用考向 1项的性质D例4 (2024·广州天河区期末)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板( )A.1125块B.1134块C.1143块D.1152块2和的性质BB 记从中间向外每环扇面形石板数为{a n}，则{a n}是等差数列，且公差d＝9，a1＝9.设每层有k环，则n＝3k，S n＝3402，{a n}是等差数列，则S k，S2k－S k，S3k－S2k也成等差数列，所以2(S2k－S k)＝S k＋(S3k－S2k)，所以S n＝3(S2k－S k)＝3402，则S2k－S k＝1134.3前n项和的最值例5 等差数列{a n}中，设S n为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n 为多少时，S n 最大？1.项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则(1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1).(2)S 2n －1＝(2n －1)a n .(3)依次k 项和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列.反思感悟3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)邻项变号法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值.(2)函数法，利用公差不为零的等差数列的前n项和S n＝An2＋Bn(A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.CC(3)(2024·河南名校第四次联考)在等差数列{a n }中，a 1－2a 2＝6，S 3＝－27，当S n 取得最小值时，n 的值为( )A.4或5 B.5或6C.4D.5A03限时规范训练(四十一)A 级 基础落实练1.(2024·河南名校联考)已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列，a 5＝10，且a 4·a 6＝96，则公差为( )A.－2B.2C.－2或2D.4B B 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 4·a 6＝(a 5－d )(a 5＋d )＝(10－d )(10＋d )＝96，∴d ＝2或d ＝－2，∵a n ＞0，∴d ＞0，∴d ＝2，故选B.2.(2023·咸阳质量检测)在等差数列{a n }中，若a 2＋2a 6＋a 10＝120，则a 3＋a 9＝( )A.30B.40C.60D.80C C 由等差数列的性质可得a 2＋2a 6＋a 10＝4a 6＝120，所以a 6＝30，所以a 3＋a 9＝2a6＝60，故选C.3.(2024·台州第一次质量评估)已知数列{a n }满足对于∀m ，n ∈N *，a m＋n ＝a m ＋a n .若a 2023＝2023，则a 1＝( )A.1B.2C.3D.2023A A 令m ＝1，则a n ＋1＝a 1＋a n ，故a n ＋1－a n ＝a 1，∵a 1为常数，故数列{a n }是等差数列，公差为a 1，∴a 2023＝a 1＋(2023－1)a 1＝2023a 1＝2023，则a 1＝1，故选A.4.天干地支纪年法，源于中国.中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，……，依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，……，依此类推.1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命，这一年是辛亥年，史称“辛亥革A命”.1949年新中国成立，请推算新中国成立的年份为( )A.己丑年B.己酉年C.丙寅年D.甲寅年A 根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1911年到1949年经过38年，且1911年为“辛亥”年，以1911年的天干和地支分别为首项，则38＝3×10＋8，则1949年的天干为己，38＝12×3＋2，则1949年的地支为丑，所以1949年为己丑年.5.(2024·济南莱芜一中阶段考)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝D16，S6＝8，则S12＝( )A.－50B.－60C.－70D.－80D 由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，且该数列的公差为(S6－S3)－S3＝－8－16＝－24，则S9－S6＝(S6－S3)－24＝－32，所以S12－S9＝(S9－S6)－24＝－56，因此S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝－80.6.(2023·合肥期末)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差不为0，若S 5＝S 10，则( )A.S 5＝0B.S 8＝0C.S 15＝0D.S 17＝0C C 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，d ≠0，由已知S 5＝S 10得a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝0，即5a 8＝0，所以a 8＝0，。
高中数学2.2等差数列优秀课件2公开课
作业： 同步解析与测评相关章节。
（n
2）
即 2an an1 an1 （n 2）
等差数列性质：假设数列{an}是公差为d 的等差数列，那么
(1) 若 m 、n 、p 、q N* 且
m n p q ，则 am an ap aq .
(2) {an} 是等差数列
an
an1
an1 2
(n
2)
2an an1 an1(n 2)
∴ a12=10 -1 = 9. (2) ∵a1+ a4+a7= a4+ a4+a4 =39 , ∴ a4= 13.
又 a2+ a5+a8= a5+ a5+a5 =33 , ∴ a5= 11. 又 a3+ a6+a9= a6+ a6+a6 = 3a6 , ∵ a6+a4= a5+ a5 ∴ a6= 2a5-a4= 9. ∴ a3+ a6+a9=3a6 = 27.
2、通项公式：
an a1 (n 1)d. 推广：an am (n m)d
当 m n 时，d an am . nm
想一想：如果在a与b中间插入一个数A，使a, A, b
成等差数列，那么A应满足什么条件？
由a，A，b成等差数列，得 A a b A， A a b .
2 反过来，如 果A a b ，那么2A a b,
2a1 ( p q 2)d
m n p q am an ap aq
例1.(1)等差数列{an}中, a7+a9=10, a4=1, 求a12 ;
(2)等差数列{an}中,a1+ a4+a7=39, a2+ a5+a8=33 , 求 a3+ a6+a9 . 解：(1) ∵a7+a9 = a4+a12=10 ,
高中数学等差数列讲课优秀课件
a 2 0 8 (2 0 1 ) ( 3 ) 4 9
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例2 请填写表格中的空白局部？
9
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9
3
知 “三〞 求 “一〞 思想
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1、等差数列-5，-9，-3 …的第几项 是-401？
分析：要判断-401是不是数列的项，关键 是求出通项公式，并判断是否存在 正整数n，使得 an 401 成立.
2 思想 ① 知“三〞求“一〞的思想. ② 建立方程思想.
3 方法 ① 不完全归纳法、观察法.
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①复习本节知识. ②必做题：课本45页，习题2.2[A]组3，4题. ③必做题：课本40页，习题2.2[A]组1题. ④预习下节内容.
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§ 2.2 等差数列
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例如1 20xx在北京举办第29届奥运会， 第27届，28届是哪一年？
2000,2004，20xx … 例如2 天气突然受冷空气影响每天下降
5度，假设现在温度为30度，得到一组数 列. 30,25,20,15 …
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示例3 请说出每一层三角形个数？
a2 a1 d 即 a2 a1 d.
a3 a2 d 即 a3a2da12d.
a4 a3 d
即 a4
……
a3
d
a1
3d .
当 n2 时 ana2a ?1(21)d
当 n 3 时 a3a1(31)d
当 n4 时 a4a1(41)d
由此得： ana1(n1)d,n N *
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《等差数列》PPT课件
an 是等差数列，它的公差为d.所以有
= (a1 d ) d a1 2d
两边都等于a1 ，
a2 a1 d
a3 a2 d
a4 a3 d (a1 2d ) d 当 a1 n 3 d 1时，等式 a5 a4 d (a1 3d ) d a1 4d
2.2.0 引理：
1. 在现实生活中，我们经常这样数数， 从0开始，每隔5数一次，可以得到数 列：0, 5,____,____,____,____,….
2. 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥 运会上，女子举重被正式列为比赛项 目.该项目共设置了7个级别.其中较轻 的4个级别体重组成数列(单位：kg)： 48，53，58，63.
练习６
a4 6、等差数列{an }中，
则
3a1 , ak 9a1
k 13
小结：
1、等差数列的概念：
an an 1 d (n 2, n N ）
或
an 1 an d （n N ）
2、等差数列的通项公式：
an a1 (n 1)d
an , a1 , n ,d 这四个变量 ， 知道其中三
例后思考：
等差数列的通项公式
例后思考
an = a1+(n-1)d 中 ，
an , a1 , n ,d 这四个变 量 ， 知道其中三个量
就可以求余下的一个
量.
例题2
在等差数列
a
n
a5 10, a12 31 , 中，
求 首项 a1 与公差
解：
d
.
a5 a1 4d 10 a12 a1 11d 31
高一数学必修5等差数列前n项和性质及应用2PPT课件
例4.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分
别是Sn和Tn,且 Sn 7n1
求a5 和 an
b5
bn
.
Tn 4n 27
a 5 6 4 an 14n 6 b 5 6 3 bn 8n 23
2: 若数列{an}的前ｎ项和Sn满足 Sn=an2+bn,试判断{an}是否是等差数列。
3、设等差数列{an}的前ｎ项和为Sn， 已知a3=12, S12>0, S13<0。 (1)求公差d的取值范围; (2)指出S1 , S2, … , S12中哪个值最大，
1、 设Sn=an2+bn, 则有： 9250 0265a4a5b8b。
Sn
d 2
n2
(a1
d )n的二次函数配方法求得最值时的n的取值； 2
②是当ad100时，Sn有最大值，并利用aann1 00求得n值；
当ad100时，Sn有最小值，并利用aann1 00求得n值.
高 一 数 学 必 修5等差 数列前 n项和 性质及 应用2P PT课件
高 一 数 学 必 修5等差 数列前 n项和 性质及 应用2P PT课件
解之得：
a b
2 9
，∴Sn=3n2+n。
2、是。
简单提示：利用公式： a an 1 S S1 nSn1
(n1) (n2)
3、（1）
274d，3（2）S6最大。
4. 已知数列{an}是正数数列，且
Sn1 8(an2)2(nN) (1)求证{an}是等差数列 ；
(2)若bn=1 2an-30， 则 数 列 {bn}的 前 n项 和 有 最 什 么 值 ， 并 求 该 最 值 ； （ 3） 求 数 列 {bn}的 前 n项 和 Tn
等差数列(二)(2)数学课件PPT
课堂小结
• 1 等差等比综合问题处理时 应建立某种形式上的统一 .
• 2 .对有关概念性质应熟练掌 握并予以灵活应用.
课堂作业 • 苏大练习册p90 • 5, 7, 8
21.我要的未来，要靠我自己去拼。 93.同是风华正茂，怎甘他人之下。 80.快乐在满足中求，烦恼多从欲中来。 98.人有悲欢离合；月有阴晴圆缺；天有不测风云；人有祸福旦夕；凡事看开点，换一种角度去想就不一样，换一种心理态度去对待某些人和事。你回发现更多的好处，对自己或是他人更有益。 46.贫穷本身并不可怕，可怕的是贫穷的思想，以及认为自己命中注定贫穷。一旦有了贫穷的思想，就会丢失进取心，也就永远走不出失败的阴影。 35.你若光明，这世界就不会黑暗；你若心怀希望，这世界就不会彻底绝望；你如不屈服，这世界又能把你怎样。 71.越是看起来极简单的人，越是内心极丰盛的人。 95.不知道明天干什么的人是不幸的！ 52.人之所以异于禽者，唯志而已矣！ 28.别到处嚷嚷这个世界抛弃了你，世界原本就不属于你。 15.别太注重自己和他人的长相，能力没写在脸上。如果你不是靠脸吃饭，关注长相有个屁用！ 89.人是可以快乐地生活的，只是我们自己选择了复杂，选择了叹息！ 16.实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。 25.看一个人的心术，看他的眼神；看一个人的身价，看他的对手；看一个人的底牌，看他的朋友。 23.自己成功才能感悟生命壮观。 43.不是每一次努力都有收获，但是，每一次收获都必须努力。 83.天道酬勤。也许你付出了不一定得到回报，但不付出一定得不到回报。 75.成功之本取决于人的心理素质、人生态度和才能资质。除了这些还要具有高远的志向和实现目标的专心致志的毅力。特别是专注于一的精神，更有利于助人成功。 45.志之所趋，无远勿届，穷山复海不能限也；志之所向，无坚不摧。 91.任何为失败找借口的人虽然他的心灵上得到了安慰，但是他将永远的拥有失败。 79.当事情已经发生，不要抱怨，不要沮丧，笑一笑吧，一切都会过去的。 55.眉毛上的汗水和眉毛下的泪水，你必须选择一样！ 89.要别人相信自己，不是靠信誓旦旦，而是靠行动。 96.蔚蓝的天空虽然是美丽，经常风云莫测的人切是起落无从。但他往往会成为风云人物，因为他经得起大风大浪的考验。——方海权
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解：
p n q p n p q
q
an是等差数列，且p公 . 差是
如 果 p 0 ， 数 列 是 等 差 数 列 吗 ？
判断数列是 如果数列{an}的通项公式是
所以
由此得到：ana1(n1)d.（通项公式）
分析2：根据等差数列的定义：
a2a1d
（ 1）
a3a2d
（ 2）
a4a3d
（ 3）
anan1d
（n 1）
将上面n1个等式相加得：
ana1(n1)d，nN*
由此得到：ana1(n1)d.（通项公式）
观察：
a5a3(2)d
a 7 a 4 (3)d
a 1 0a 5 (5)d
一般地，有：
anam(n-m )d
例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第20项。 ⑵-401是不是等差数列
-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 解：⑴由
⑵由 得到数列的通项公式为
即为数列的第100项。
解1：由等差数列通项公式 得： an=a1+(n-1)d
解得：
{a14d10
a111d31
an=a1+(n-1)d
解2：由 a n a m ( n m ) d得：
a 1 2a57dd3 a 1a 5 4 d 2
解：用由{已an知}表条示件梯，子有自：上而下各级宽度所成的等差数列，
由等差数列通项公式，得：
因此：
an=a1+(n-1)d
想一想：
如果在a与b中间插应满足什么条件？
自变量
函数值 an = p n + q
an=d n +(a1-d)
显然有：p=公差d , q=a1-d
在等差数列中， aan n=dn+(a1-d)的图象
an关于n的函
10
数图象是共线 9
的一些孤立的 8
点。
7
6
5
4
注意：图象是
3
一些点！而且
2
这些点是孤立
1
的！
O 12 3456 7 n
小结
本节课学习的主要内容有：
等差数列（一）
请看教材P54 例1.
观察这些点的纵坐标所组 成的数列：
5，10，15，20
这个数列有什么特点？
请观察：
4，5，6，7，8，9，10. （1） 3，0，－3，-6， ···. （2）
请问：它们有什么共同特点？
共同特点:
从第2项起，每一项与它的前一 项的差等于同一个常数。
§3.2 等差数列
等差数列的 方法：
an= p n + q ,( p , q是常数）， 则数列{an}是等差数列。
⑴若p=0,则数列是公差为0的等差数列（常数数列）；
⑵若p≠0,则数列是一个公差d=p的等差数列， 此时an是关于n的一次函数，由此我们可以得 到如下关系：
y = a x+ b 而义且域函为数aN的n=*定a1+(n-1)d
等差数列：如果一个数列从第2项起，每 一项与它的前一项的差都等于同一个常数，
即anan 1d (n2)
或 a n 1 a ndn 1
那么这个数列就叫做等差数列。这个常 数叫做等差数列的公差。公差通常用 d 表示。.
思考：如果一个等差数列的首项是a1，公差是d，
那么这个数列的a2,a3,…,an怎么表示？ 分析1：根据等差数列的定义：
等差数列的定义； 等差数列的通项公式. 本节课的能力要求是：
(1)理解等差数列的概念； (2)掌握等差数列的通项公式； (3) 能用公式解决一些简单的问题.
作业
P114 : 1、2、3、4、5