人教高中数学等差数列ppt完美课件
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人教版高中数学选择性必修第二册4.2.1(第1课时)等差数列的概念及通项公式【课件】
类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规
律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和
数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用.
下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手.
新知导入
请看下面几个问题中的数列.
1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的
这个数列不能称为等差数列．
新知讲解
等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项.
根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b.
（1）条件：如果a，A，b成等差数列
（2）结论：A叫做a与b的等差中项
（3）满足的关系式是 2A=a+b
合作探究
是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为
9，18，27，36，45，54，63，72，81. ①
2. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38，40，42，44，46，48. ②
3. 测量某地垂直地面方向海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面
20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为
1 − ( ∈ ) 当x=n时的函数值，即 = () .
如图4.2-1， 在平面直角坐标系中画出
= + −
的图象，
就得到一条斜率为d，截距为1 − 的直线.
合作探究
在这条直线上描出点
, ， , ， ⋯ ， , ， ⋯ ，
就得到了等差数列{ }的图象.
an＝a1＋(n－1)d (n∈N*)
合作探究
律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和
数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用.
下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手.
新知导入
请看下面几个问题中的数列.
1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的
这个数列不能称为等差数列．
新知讲解
等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项.
根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b.
（1）条件：如果a，A，b成等差数列
（2）结论：A叫做a与b的等差中项
（3）满足的关系式是 2A=a+b
合作探究
是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为
9，18，27，36，45，54，63，72，81. ①
2. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38，40，42，44，46，48. ②
3. 测量某地垂直地面方向海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面
20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为
1 − ( ∈ ) 当x=n时的函数值，即 = () .
如图4.2-1， 在平面直角坐标系中画出
= + −
的图象，
就得到一条斜率为d，截距为1 − 的直线.
合作探究
在这条直线上描出点
, ， , ， ⋯ ， , ， ⋯ ，
就得到了等差数列{ }的图象.
an＝a1＋(n－1)d (n∈N*)
合作探究
高中数学人教版必修5课件：2.2.1等差数列(共21张PPT)
1、理解等差数列的概念及分类； 2、掌握等差中项； 3、探索并掌握等差数列的通项公式并能解决
一些简单问题； 4、通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、
推理的能力，渗透由特殊到一半的思想。 • 重点：等差数列的概念及通项公式。 • 难点：概括通项同事推导过程中的数学思
想方法。
研究发现我国儿童年龄在2-12周
岁之间，其标准的身高、体重大
致成规律性变化：
你能预测12岁儿童
相差7
的身高和体重吗？
年龄 2 3 4 5 6 … 11 12
身高 84 91 98 105 112 … 147 154 （cm）
体重 12 14 16 18 20 … 30 32 （kg）
相差2 （1）84，91，98，105，112，…，147，154； （2）12，14，16，18，20，…，30，32.
• 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常 用字母d表示。
• 即：an-an-1=d
观察：以下数列有什么共同特点？ 相差7
相差2(1) 84，91，98，105，112，…，147，154. (2) 12，14，16，18，20，…，30，32 相差4 (3) 1996，2000，2004，2008，2012，2016
1896年，雅典举行第一届现代奥运会，到2012年 的伦敦奥运会已经是第30届奥运会。 相差4
（3）1896，1900，1904，…，2008，2012，（2016 ）
你能预测出第31届 奥运会的时间吗？
1、等差数列的定义：
• 如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的差等于同一个常数，这个数列就 叫做等差数列。
2.2 等差数列
Yesterday once more
一些简单问题； 4、通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、
推理的能力，渗透由特殊到一半的思想。 • 重点：等差数列的概念及通项公式。 • 难点：概括通项同事推导过程中的数学思
想方法。
研究发现我国儿童年龄在2-12周
岁之间，其标准的身高、体重大
致成规律性变化：
你能预测12岁儿童
相差7
的身高和体重吗？
年龄 2 3 4 5 6 … 11 12
身高 84 91 98 105 112 … 147 154 （cm）
体重 12 14 16 18 20 … 30 32 （kg）
相差2 （1）84，91，98，105，112，…，147，154； （2）12，14，16，18，20，…，30，32.
• 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常 用字母d表示。
• 即：an-an-1=d
观察：以下数列有什么共同特点？ 相差7
相差2(1) 84，91，98，105，112，…，147，154. (2) 12，14，16，18，20，…，30，32 相差4 (3) 1996，2000，2004，2008，2012，2016
1896年，雅典举行第一届现代奥运会，到2012年 的伦敦奥运会已经是第30届奥运会。 相差4
（3）1896，1900，1904，…，2008，2012，（2016 ）
你能预测出第31届 奥运会的时间吗？
1、等差数列的定义：
• 如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的差等于同一个常数，这个数列就 叫做等差数列。
2.2 等差数列
Yesterday once more
人教版高中数学必修5《等差数列》PPT课件
an=a1+(n-1)d
等差数列的通项公式中包含四个量： an、a1、n、d
这四个量只需知道其中的三个就可以求出第四个.
例2.在等差数列{an}中， a5=10， （1）若a12=31，求a25 ； （2）若d=2，求a10； 解：（1）依题意得
a1+4d=10 a1+11d=31 解得 a1= - 2 , d = 3 ∴ a25=a1+24d = -2+24×3=70
解：a8=a1+7d=-1+7×4=27
（2）已知a1=15，an=3，d= -3，求n； 解：∵3=15-3(n-1) ∴n=5
（3）已知a1=8，a6=23，求d； 解：∵a6=a1+5d，即23=8+5d ∴ d=3
（4）已知d=2，a7=9，求a1； 解：∵a7=a1+6d 即9=a1+6×2 ∴a1=-3
拓展：在等差数列{an}中， 若a5=10，a12=31，求a25 。 解：设等差数列{an}的公差为d，则依题意有
d a12 a5 3110 3 12 5 7
∴ a25=a5+20d = 10+20×3=70
练习：在下列两个数中间再插入两个数，使这四个数组成 一个等差数列，（1）-1，5； （2）-12，0.
观察并发现：下面数列有什么共同特点？
(1)0,5，10，15，20，25，…
（2）鞋的尺寸，按照国家统一规定，有： 22，22.5，23，23.5，24，24.5，25，25.5，26，… （3）21，19，17，15，…… （4）3，3，3，3，……
(1)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 (2)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0.5 (3)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2 (4)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0
等差数列的通项公式中包含四个量： an、a1、n、d
这四个量只需知道其中的三个就可以求出第四个.
例2.在等差数列{an}中， a5=10， （1）若a12=31，求a25 ； （2）若d=2，求a10； 解：（1）依题意得
a1+4d=10 a1+11d=31 解得 a1= - 2 , d = 3 ∴ a25=a1+24d = -2+24×3=70
解：a8=a1+7d=-1+7×4=27
（2）已知a1=15，an=3，d= -3，求n； 解：∵3=15-3(n-1) ∴n=5
（3）已知a1=8，a6=23，求d； 解：∵a6=a1+5d，即23=8+5d ∴ d=3
（4）已知d=2，a7=9，求a1； 解：∵a7=a1+6d 即9=a1+6×2 ∴a1=-3
拓展：在等差数列{an}中， 若a5=10，a12=31，求a25 。 解：设等差数列{an}的公差为d，则依题意有
d a12 a5 3110 3 12 5 7
∴ a25=a5+20d = 10+20×3=70
练习：在下列两个数中间再插入两个数，使这四个数组成 一个等差数列，（1）-1，5； （2）-12，0.
观察并发现：下面数列有什么共同特点？
(1)0,5，10，15，20，25，…
（2）鞋的尺寸，按照国家统一规定，有： 22，22.5，23，23.5，24，24.5，25，25.5，26，… （3）21，19，17，15，…… （4）3，3，3，3，……
(1)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 (2)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0.5 (3)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2 (4)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0
人教A版高中数学必修5课件：2.2等差数列定义及通项公式(共37张PPT)
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
[答案] B
4．首项是 18，公差为 3 的等差数列的第________项开
始大于 100.
[解析] 由题意 an＝18＋3(n－1)＝3n＋15，
由
3n＋15>100
得
1 n>283.
∵n∈N*，
∴n＝29，即从 29 项开始大于 100.
[答案] 29
5．若b＋1 c，c＋1 a，a＋1 b成等差数列，求证：a2，b2，c2 成等差数列．
又∵d 是整数，∴d＝－4.故选 C. [答案] C
二、填空题
5．若 x≠y，数列 x，a1，a2，y 和 x，b1，b2，b3，y 各
自成等差数列，则ab11－ －ab22＝________. [解析] 由于 a1－a2＝x－3 y，b1－b2＝x－4 y，则ab11－ －ab22＝43.
[答案]
(2)若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，证明该 数列为常数列．
[解] (1)由等方差数列的定义可知：a2n－a2n－1＝p(n≥2)． (2)解法一：∵{an}是等差数列，设公差为 d，则 an－an －1＝an＋1－an＝d(n≥2)．又{an}是等方差数列，∴a2n－a2n－1＝ a2n＋1－a2n(n≥2)，∴(an＋an－1)(an－an－1)＝(an＋1＋an)(an＋1－ an)，即 d(an＋an－1－an＋1－an)＝－2d2＝0，∴d＝0，即{an} 是常数列．
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
[答案] B
4．首项是 18，公差为 3 的等差数列的第________项开
始大于 100.
[解析] 由题意 an＝18＋3(n－1)＝3n＋15，
由
3n＋15>100
得
1 n>283.
∵n∈N*，
∴n＝29，即从 29 项开始大于 100.
[答案] 29
5．若b＋1 c，c＋1 a，a＋1 b成等差数列，求证：a2，b2，c2 成等差数列．
又∵d 是整数，∴d＝－4.故选 C. [答案] C
二、填空题
5．若 x≠y，数列 x，a1，a2，y 和 x，b1，b2，b3，y 各
自成等差数列，则ab11－ －ab22＝________. [解析] 由于 a1－a2＝x－3 y，b1－b2＝x－4 y，则ab11－ －ab22＝43.
[答案]
(2)若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，证明该 数列为常数列．
[解] (1)由等方差数列的定义可知：a2n－a2n－1＝p(n≥2)． (2)解法一：∵{an}是等差数列，设公差为 d，则 an－an －1＝an＋1－an＝d(n≥2)．又{an}是等方差数列，∴a2n－a2n－1＝ a2n＋1－a2n(n≥2)，∴(an＋an－1)(an－an－1)＝(an＋1＋an)(an＋1－ an)，即 d(an＋an－1－an＋1－an)＝－2d2＝0，∴d＝0，即{an} 是常数列．
4.2.1等差数列的概念 课件(共13张PPT)(2024)高二下学期数学人教A版选择性必修第二册
a, A, b 成等差数列
等差数列填空：
12，
，
，
，
0
探究新知
三.等差数列的通项公式
如果一个数列a1, a2, … , an, …是等差数列,它的公差是d, 那么
a2-a1=d
a2=a1+d
a3-a2=d
不
累
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d
完
a4-a3=d
加
…
…
全
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d
[练习1]等差数列{an }中, 若a1 5, 公差d 3, 则a11 ___ .
析 : a11 a1 10 d 5 10 3 35
[变式]等差数列{an }中, 若a4 14 , 公差d 3, 则a11 ___ .
析 : a4 a1 3d a1 9 14, a1 5.
不是
（6）, , , , …
不是
公差可为正、可为负也可为0
说明：判断数列是不是等差数列,
运用定义：看+ − 是否为
同一个常数.
探究新知
二.等差中项的定义
在如下的两个数之间, 插入一个数使这三个数成为一个等差数列:
(1) 2, ( 3 ), 4
(2) -1, ( 2 ), 5
新课导入
【情景2】 XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装
对应的尺码分别是： 34，36，38，40，42，44，46，48
新课导入
【情景3】 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得
高中数学人教A版必修5《等差数列》PPT课件
本节课主要学习：
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*） 一个公式：an=a1+（n-1）d 一种思想：方程思想 一个概念： A=a+b/2
方法二
由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
可得:
a2-a1=d
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
列。 这也是判断，证明一个数列是等差数列的一种方 法。 等差中项法
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
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5.证明数列为等差数列的方法： (1)定义法： an an1 d (n 2) (2)等差中项法：2an an1 an1(n 2)
解法一
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
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证明： 1 , 1 , 1 成等差数列 abc
2 11 b ac
bcba bcabac2
ac
a
c
(a b c)(1 1) 2 ac
(a b c) 2 2 b
2(a c) 2b 2 bb
4
4 an1
(n
1)记bn
1 an 2
（1）求证：数列bn 是等差数列；
（2）求数列an 的通项公式
构造法
解：（2）由（1）知，b n
1 2
(n 1)
1 2
n 2
bn
1 an 2
an
1 bn
2
2 n
2
求数列通项公式的方法：
（1）公式法；
（2）累加法；an1 an f (n)
（3）累乘法；an1 f (n)
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*） 一个公式：an=a1+（n-1）d 一种思想：方程思想 一个概念： A=a+b/2
方法二
由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
可得:
a2-a1=d
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
列。 这也是判断，证明一个数列是等差数列的一种方 法。 等差中项法
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
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5.证明数列为等差数列的方法： (1)定义法： an an1 d (n 2) (2)等差中项法：2an an1 an1(n 2)
解法一
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
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证明： 1 , 1 , 1 成等差数列 abc
2 11 b ac
bcba bcabac2
ac
a
c
(a b c)(1 1) 2 ac
(a b c) 2 2 b
2(a c) 2b 2 bb
4
4 an1
(n
1)记bn
1 an 2
（1）求证：数列bn 是等差数列；
（2）求数列an 的通项公式
构造法
解：（2）由（1）知，b n
1 2
(n 1)
1 2
n 2
bn
1 an 2
an
1 bn
2
2 n
2
求数列通项公式的方法：
（1）公式法；
（2）累加法；an1 an f (n)
（3）累乘法；an1 f (n)
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人教版·数学·必修5·第二章《数列》
2.2.1等差数列（1）
复习回顾
数列： 按照一定顺序排成的一列数称为数列。
实质： 数式：如果数列{an}的第n项an与项数n之间的 关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个 数列的通项公式.(反映项与序号之间的关系)
1、等差数列的定义
一般地，如果一个数列a1， a2， a3，…， an， …从第二项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数d，
a2–a1=a3-a2=···=an-an-1=···=d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等 差数列的公差。
等差数列定义的符号表示：
(1){an}是等差数列⇔an-an-1=d(n≥2，n ∈N*) (2){an}是等差数列⇔ an+1-an=d(n ∈N*)
又，当n=1时,等式成立 ∴ n∈N*时， an=a1+(n – 1)d
法二
∵{an}是等差数列，则有
an–an-1=d an-1–an-2=d an-2–an-3=d ……
累加法：
这一推导思想 在今后的数列 求和问题中也
a2–a1=d
有重要的应用
相加得：an – a1=(n–1)d
∴an=a1+(n–1)d
作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。可以是正
数，也可以是0和负数。
温馨提示:
（1）从第二项起：如果一个数列，不从第2项起，而是从 第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数， 那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是 一个等差数列。
（2）同一个常数:一个数列，从第2项起，每一项与它的 前一项的差，尽管等于一个常数，这个数列可不一定是等 差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不 是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十 分重要。
2.2.1等差数列（1）
复习回顾
数列： 按照一定顺序排成的一列数称为数列。
实质： 数式：如果数列{an}的第n项an与项数n之间的 关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个 数列的通项公式.(反映项与序号之间的关系)
1、等差数列的定义
一般地，如果一个数列a1， a2， a3，…， an， …从第二项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数d，
a2–a1=a3-a2=···=an-an-1=···=d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等 差数列的公差。
等差数列定义的符号表示：
(1){an}是等差数列⇔an-an-1=d(n≥2，n ∈N*) (2){an}是等差数列⇔ an+1-an=d(n ∈N*)
又，当n=1时,等式成立 ∴ n∈N*时， an=a1+(n – 1)d
法二
∵{an}是等差数列，则有
an–an-1=d an-1–an-2=d an-2–an-3=d ……
累加法：
这一推导思想 在今后的数列 求和问题中也
a2–a1=d
有重要的应用
相加得：an – a1=(n–1)d
∴an=a1+(n–1)d
作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。可以是正
数，也可以是0和负数。
温馨提示:
（1）从第二项起：如果一个数列，不从第2项起，而是从 第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数， 那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是 一个等差数列。
（2）同一个常数:一个数列，从第2项起，每一项与它的 前一项的差，尽管等于一个常数，这个数列可不一定是等 差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不 是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十 分重要。
高中数学选择性必修二(人教版)《4.2.1 等差数列的概念及通项公式》课件
解：法一：∵a5＝10，a12＝31， ∴aa11＋ ＋411dd＝＝1301，， ∴ad1＝＝3－，2. ∴an＝a1＋(n－1)d＝3n－5，∴a20＝3×20－5＝55. 法二：∵a12＝a5＋7d，即 31＝10＋7d，∴d＝3， ∴an＝a12＋(n－12)d＝3n－5， ∴a20＝a12＋8d＝31＋8×3＝55.
an＝_a_1＋__(_n_－__1_)_d__
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)等差数列{an}的单调性与公差 d 有关．
()
(2)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项． ( )
答案：(1)，首项 a1＝4，公差 d＝－2，则通项公式 an 等于
∵cos 1－cos 0≠cos 2－cos 1，∴该数列不是等差数列．C.∵(3m＋a)
－3m＝(3m＋2a)－(3m＋a)＝(3m＋3a)－(3m＋2a)＝a，∴该数列是等
差数列．D.∵(a＋1)－(a－1)＝(a＋3)－(a＋1)＝2，∴该数列是等差
数列． 答案：ACD
3. 已知 2m 与 n 的等差中项为 5，m 与 2n 的等差中项为 4，则 m 与 n
解：(1)依题意得，a10＝10，a20＝10＋10d＝40，所以 d＝3. (2)a30＝a20＋10d2＝10(1＋d＋d2) ＝10d＋122＋34(d≠0)， 当 d∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a30∈125，＋∞. (3)所给数列可推广为无穷数列{an}，其中 a1，a2，…，a10 是首项为 1， 公差为 1 的等差数列，当 n≥1 时，a10n，a10n＋1，…，a10(n＋1)是公差 为 dn 的等差数列．
2．[等差数列的函数特性]已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试 判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解：设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， 由已知aa11＋ ＋1651－ －11dd＝ ＝3231， 7， 解得ad1＝＝4－. 23， 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27， 令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N *，所以 153 是所给数
an＝_a_1＋__(_n_－__1_)_d__
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)等差数列{an}的单调性与公差 d 有关．
()
(2)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项． ( )
答案：(1)，首项 a1＝4，公差 d＝－2，则通项公式 an 等于
∵cos 1－cos 0≠cos 2－cos 1，∴该数列不是等差数列．C.∵(3m＋a)
－3m＝(3m＋2a)－(3m＋a)＝(3m＋3a)－(3m＋2a)＝a，∴该数列是等
差数列．D.∵(a＋1)－(a－1)＝(a＋3)－(a＋1)＝2，∴该数列是等差
数列． 答案：ACD
3. 已知 2m 与 n 的等差中项为 5，m 与 2n 的等差中项为 4，则 m 与 n
解：(1)依题意得，a10＝10，a20＝10＋10d＝40，所以 d＝3. (2)a30＝a20＋10d2＝10(1＋d＋d2) ＝10d＋122＋34(d≠0)， 当 d∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a30∈125，＋∞. (3)所给数列可推广为无穷数列{an}，其中 a1，a2，…，a10 是首项为 1， 公差为 1 的等差数列，当 n≥1 时，a10n，a10n＋1，…，a10(n＋1)是公差 为 dn 的等差数列．
2．[等差数列的函数特性]已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试 判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解：设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， 由已知aa11＋ ＋1651－ －11dd＝ ＝3231， 7， 解得ad1＝＝4－. 23， 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27， 令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N *，所以 153 是所给数
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-10n n(n -1) 4 54 ,
2
整理得 n2 6n 27 0 , 解得 n1 9, n2 3（舍去）, 因此，等差数列-10，- 6，- 2，2， 前9项的和是54 .
注：本题体现了方程的思想.
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等差数列前n项和公式的运算： 知三求二
na1
（n n 1) 2
d
n
an
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n（n 1)
Sn na1
2
d
Sn
（ n a1 2
an )
思考：
(1)两个求和公式有何异同点？
(2)在等差数列 an中，如果已知五个元素
中 a1, an , n, d, Sn 的任意三个, 请问: 能否求出其
(4)解：原式 [1 3 5 (2n 1)] (2 4 6 2n). 又解：原式 (1 2) (3 4) (5 6) [(2n 1) 2n].
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课堂练习： 课本P45 练习第1题
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怎样求一般等差数列的前n项和呢？
Sn a1 a2 an. Sn an an1 a1.
2Sn (a1 an ) (a2 an1) (an a1)
n(a1 an ).
a1 an a2 an1
Sn
n(a1 an ) . 2
an a1
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高斯出生于一个工匠家庭， 幼时家境贫困，但聪敏异常. 上小学四年级时，一次老师 布置了一道数学习题：“把 从1到100的自然数加起来， 和是多少？”年仅10岁的小 高斯略一思索就得到答案 5050，这使老师非常吃惊. 那么高斯是采用了什么方法 来巧妙地计算出来的呢？
高斯（1777---1855）， 德 国数学家、物理学家和天文学家. 他和牛顿、阿基米德，被誉为有 史以来的三大数学家.有“数学 王子”之称.
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等差数列的前n项和公式
公式1
Sn
n（a1 2
an )
公式2
an a1 (n 1)d
Sn
na1
n（n 1) 2
d
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公式记忆 —— 类比梯形面积公式记忆
Sn
（ n a1 an ) 2
a1
Sn
高斯算法用到了等差数列的什么性质？
m n p q am an ap aq .
情景2
如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、5、 6、7、8、9、10，求钢管总数．
即求：S=4+5+6+7+8+9+10.
高斯算法：
还有其它算 法吗？
S=（4+10) +（5+9）+（6+8）+7 = 14×3+7=49.
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等差数列前n项和公式的运算： 知三求二
课本44页：例2
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练习1、
等差数列10， 6， 2，2， 前多少项的和是54？
解：设该等差数列为an,其前n项和是Sn ,
则a1 10, d 6 (10) 4, Sn 54. 根据等差数列前项和公式，得
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
复习
1.等差数列的定义：
an是等差数列 an an1 d(n 2)
2.通项公式：
an a1 (n 1)d .
3.重要性质:
⑴an am (n m)d .
⑵m n p q am an a p aq .
情景1
高斯“神速求和”的故事:
S=4+5+6+7+8+9+10. S=10+9+8+7+6+5+4. 相加得，
倒序相加法
2S (410) (59) (68) (7 7) (86) (95) (10 4)
(4 10)Байду номын сангаас.
S (4 10) 7 49. 2
新课
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设等差数列an的前n项和为Sn,即Sn a1 a2 an .
求 S=1+2+3+······+100=？
高斯算法：
你知道高斯是怎 么计算的吗？
首项与末项的和：
1＋100＝101，
第2项与倒数第2项的和： 2＋99 =101，
第3项与倒数第3项的和： 3＋98 ＝101，
······ 第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，
于是所求的和是： 101100 5050. 2
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七 世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱 妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建 而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世 界七大奇迹之一.陵寝以宝石镶饰，图案 之细致令人叫绝.
传说陵寝中有一个三角形图案，以相 同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层 （见左图），奢靡之程度，可见一斑.
S10
10(a1 a10 ) 2
5(a1
a10 )
529 145.
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练习4在 、 等差数列an中，
ad1
1， 3.
10 9 S10 10a1 2 d 145.
又解：由aa18
a2 a9
a3 12， a10 75
a1
a10
a2
a9
a3
a8
87.
a1 a10 a2 a9 a3 a8，
整体运算 的思想!
3(a1 a10 ) 87即(a1 a10 ) 29.
课本46页习题2.3 A组 第2题
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练习3、数列an为等差数列，若a1 a2 a3 12,
a8 a9 a10 75, 求 S10.
解：
由aa18
a2 a9
a3 12， a10 75
aa11
d 4， 8d 25
余两个量 ?
结论：知 三 求 二
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举例
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例1、计算：
(1)1 2 3 (2)1 3 5
n；
n(n 1) 2
(2n 1)； n2
(3)2 4 6 2n； n(n 1)
(4)1 2 3 4 5 6 (2n 1) 2n.