【趣味数学】高中数学校本课程：第15课时 排列组合中的趣题―摸球游戏
《摸球游戏》(课件)-2023-2024学年五年级上册数学北师大版
从下面五个箱子里，分别摸出
一个球，结果是哪个？连一连。
8白2红
可能是白球
10红
一定是白球
5白5红
不可能是白球
很可能是白球
2白8红
白球的可能性很小
10白
有一些白球、红球和黄球
任意摸一个，一定是红球！
我该怎么放呢？
任意摸一个，不可能是红球！
我该怎么放呢？
任意摸一个，可能是红球！
可能性是 3/7。（
）
(3) 0乘任何数得0的可能性为 0。
1
（
）
（4）一粒有数字1~6的色子，任意投掷，出现数字1的可能性为
。
（
）
填一填
从1~10共10张数字卡片中，任意抽取一张：
抽出2的倍数的可能性为（
）；
抽出3的倍数的可能性为（
）；
抽出质数的可能性为（
）；
抽出合数的可能性为（
）；
平分秋色
我该怎么放呢？
任意摸一个，红球的可能性最大！
我该怎么放呢？
你能根据这些城市的地理位置，用“一定”“很少
“不可能”说一说它们冬天下雪的情况吗？
武汉
海南
哈尔滨
很少
不可能
一定
下面的城市下雪吗？请用“一定会”
“不可能”说一说。
海南
不可能下雪
下雪的可能性为0
哈尔滨
一定会下雪
下雪的可能性为1
2个红球
2个白球
试一试
不可能摸到白球 摸到白球的可能性是0
一定能摸到白球 摸到白球的可能性是1
想一想
1个白球
摸到白球的可能性是
1个红球
1个白球
校本课程 趣味数学教案 周 受 萍
闽侯一中校本选修课程课程名称：趣味数学数学组周受萍《趣味数学》校本课程纲要一、课程开发原则与开发背景1、开发原则：《趣味数学》课程就是要把“数学有趣，数学有用，数学不难”的理念放在第一位，故名“趣味数学”。
本课程让学生在趣味化、生活化的数学教学活动中，自主地建构数学知识，创设轻松、活泼的教学氛围，使教学活动源于学生生活，源于学生好奇之事，引导学生积极运用自己有的生活经验去探索、去发现、去体验，让他们亲身感悟数学知识。
根据自己对中学数学节本的了解，设计出有趣的数学课程，对学生进行无痕的引导，降低学生接受的难度。
通过学生的探究和发现感受到有趣有用的数学。
同时体会我们中国古代光辉的数学成就，有信心学好数学。
游戏是学生很好的学习方式和途径，而数学语言却以简练和逻辑为特点。
为了把抽象的数学符号变为生动活泼的形象符号，让学生更乐于接受，更容易掌握，《趣味数学》将寓教于乐的传统教学理念移植到单调枯燥的数学教学中，让学生在潜移默化地掌握操作学习法、阅读学习法、迁移类推学习法、发现学习法、尝试学习法等众多学习方法，让学生通过饶有兴趣的认知方式轻松掌握所学的知识。
2、开发背景：“数学是思维的体操”。
作为一门研究数量关系与空间形式的科学，数学不仅具有高度的抽象性、严密的逻辑性，而且具有广泛的应用性。
数学以高度智力训练价值以及学科本身所具有的特点，为培养发展学生的创造性思维品质提供了极大的空间。
数学是学习现代科学技术必不可少的基础和工具，是基础教育的重要组成部分，通过数学思维训练，不仅使学生能够掌握渊博的数学知识，也使那些数学尖子有发挥自己特长的用武之地，更重要的是可以训练他们的思维，增强分析问题和解决问题的能力，促使学生发展，形式健全人格，具有终身持续发展能力的力量源泉。
开展教学思维训练活动，对于扩大学生的视野，拓宽知识，培养兴趣爱好，发展教学才能，提供了最佳的舞台，未来的数学家、科学家、诺贝尔奖金的获得者就在他们当中诞生。
《摸球游戏》可能性PPT下载
课堂导入-新知探究-课堂练习-课堂总结-课堂作业
1.通过试验操作活动，进一步认识客观事件发生的 可能性大小。
2.能用分数表示可能性的大小。 3.体会事物之间的联系和相对性。
红球多还是黄球 多？
不打开盒子看，如何知道盒子里红球多还是黄球 多？
小组活动：
1.组内商量摸球的规则。
2.组内做摸球游戏，并记录每次摸球的 颜色，填入表中。 3.汇总组内摸球的结果，记录红球、 黄球各自的摸出次数。 4.根据小组记录的结果，猜一猜盒子里哪种 颜色的球可能多？哪种颜色的球可能少？
练习巩固
1、盒子中有9个红球和1个白球，从盒子中任意摸出一个球 摸出红球的可能性是（ ） 摸出白球的可能性是（ ） 摸出绿球的可能性是（ ）
练习巩固
2.下面是参加学校乒乓球决赛的两名同学小明、小强的资料。
小明
小强
双方交战记录 4胜3负 3胜4负
在校队练习成绩10胜5负 14胜6负
（1）你认为本次决赛中，谁获胜的可能大些？与同学说说你的理由。
1、摸球要摸到足够多次数，摸了一次 要放回摇匀再摸。 2、根据摸出哪种颜色的球摸出次数多， 那种颜色的球数量一定多。
知识讲解
盒子里有两种不同颜色的球，笑笑摸了30次，摸球的情况 如下表。
颜色 次数
红色 9
蓝色 21
根据表中的数据推测，盒子里 蓝 色的球可 能多， 红 色的球可能少。
这里的“30次”不能保证是足够 多数，就用“可能”来表述的， 而不是“一定”。
摸球后记下颜色，为什么要再把球放回去？
每次摸球后不放回去的话，球的总数和摸 出那种颜色的球就都少一个，摸出红、黄两 种颜色的球的可能性也变了，这样确定不了 原来哪种颜色的球多。
高中数学 第15课时 排列组合中的趣题 摸球游戏教学案 新人教版必修1
1 15课时 排列组合中的趣题―摸球游戏教学要求：培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系．教学过程一、游戏引入大约十年前，在北京西直门立交桥附近，曾有一个摆摊摸球的人。
当时围观的人们觉得很新鲜，曾有很多人参与摸球。
现在看来，这不过是一个小型的赌博游戏罢了。
这个游戏的规则很简单：他先摆出了12个台球一般大小的小球，其中有6个红色球和6个白色球。
当着观众的面，他把所有12个色球装进一个普通的布袋中，然后怂恿大家来摸。
怎么个摸法呢?就是从这个装12个球的布袋中，随便摸出6个球来， 看看其中有几个是红球，有几个是白球。
当然，摸球者只能把手伸进袋口中把球一个一个地“掏出来”，而不能打开袋口看着摸。
大家想一想共有多少种摸法？哪一种的概率大呢？二、学习例题寻找方法例1某乒乓球队有8男7女共15名队员，现进行混合双打练习，两边都必须是1男1女，共有多少种不同的搭配方法？分析：每一种搭配都需要2男2女，先把4名队员选出来有2728c c 种选法，然后考虑4人的排法，故乘以44p例2 高二（1）班要从7名运动员中选出4名组成 4×100米接力队，参加校运会，其中甲、乙二人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？分析：分三类，第一类，没有甲乙，有45c 种选法；第二类，有甲没乙或有乙没甲有235c 种选法；第三类，既有甲也有乙，有25c 种选法例3 体育课上，赵红老师安排4名男生和3名女生站队，练习第三套中学生广播体操。
若满足下列条件，分别有多少种站法？（1）3名女生要求站在一起；（2）3名女生要求互不相邻；（3）梁伟不站在排头，黄金叶不站在排尾；分析:排队在现实生活中是很常见的现象，结合实例，使得学生感悟更深。
三、全课总结回到课前那个游戏，根据排列组合知识从12个球中摸出6个球，总的方法数有：924612 c 种，其中“6红”或者“6白”的情况都紧有唯一的一种，按概率论计算有1/924的出现概率四、 作业：若你家里来客人，鞋架上有5双大小形状不同的拖鞋，从中选择4只，问：恰有2双的选法？。
《摸球游戏》数学教案设计
《摸球游戏》數學教案設計标题：《摸球游戏》數學教案设计一、教学目标：1. 学生能理解概率的基本概念，掌握计算简单概率的方法。
2. 通过参与摸球游戏，提高学生的实践操作能力和观察能力。
3. 培养学生分析问题和解决问题的能力，激发他们对数学的兴趣。
二、教学内容：本节课主要讲解概率的概念，并通过摸球游戏让学生直观感受和理解概率。
首先，教师要介绍概率的定义和计算方法，然后引导学生进行摸球游戏，最后通过数据分析来验证概率的实际应用。
三、教学过程：1. 导入新课：教师可以先提出一些生活中的实例，如抛硬币、抽签等，让学生初步了解随机事件发生的可能性，引出概率的概念。
2. 讲解新课：(1) 教师讲解概率的定义和计算方法，包括等可能结果数、满足条件的结果数等概念。
(2) 教师举例说明如何计算简单的概率，例如在一个装有5个红球和5个蓝球的袋子里摸出一个红球的概率是多少。
3. 实践活动：组织学生进行摸球游戏。
每个小组准备一个袋子，里面装有不同的颜色的球，学生轮流从袋子里摸球，记录每次摸到的球的颜色，然后统计摸到各种颜色球的次数。
4. 分析讨论：各小组分享自己的摸球数据，大家一起分析并计算各种颜色球被摸到的概率，对比理论概率和实际概率，找出其中的规律。
5. 总结归纳：教师引导学生总结本次课程的内容，强调概率在生活中的应用，以及如何用数学知识解决实际问题。
四、教学评价：1. 过程性评价：观察学生在摸球游戏中的表现，看他们是否能正确理解概率的概念，能否正确计算概率。
2. 结果性评价：通过摸球游戏的数据分析，看学生是否能正确理解和应用概率。
五、教学反思：在教学过程中，教师应注重培养学生的实践能力，鼓励他们积极参与活动，主动思考问题。
同时，也要关注每个学生的学习进度，及时给予指导和帮助。
摸球游戏(一)
盒子中有14个球，分别是8个白 球，4个黄球和2个红球。摸出1 个球，可能出现哪些结果？列 举出来。
可能摸到……
转动转盘，指针最有 可能指到什么颜色？ 想一想，转一转。
抽生死：
有一个国王很喜欢抽签，而且盒子里只有 “生”和“死”两张签。有一次，一个被人陷 害的好人被带到国王的面前，陷害他的人故意 把盒子里的两张签都写上“死”字，想让他无 论抽到哪一张都一定是“死”。聪明的你，能 不能帮这个好人想想办法，让他获救？
摸球游戏
猜一猜，我可能摸到球
还是
球？
（1）几人轮流摸球，摸出一个球记录一次是什么颜色， 然后把球放回盒内再摸。 （2）统计时，做好记录，填在下表。 （3）小组交流：为什么会出现这样的实验结（每次摸完放回口袋，搅动一 下，再摸第2次）共摸5次。
摸球问题 有型可循
㊀㊀㊀摸球问题㊀有型可循∗◉福建省石狮市第一中学㊀李桂娟在古典概率问题中,有一类物品抽取问题,其概率的计算较为困难,如抽签㊁随机取数㊁次品抽取等．但如果能建立某种模型,将要解决的概率问题通过适当的转化,让它适用于该模型,往往能使问题更清楚,更容易看出问题本质．引例㊀一个袋子内有６个大小一样的小球,其中４个是黑球,２个是白球．(１)从中任意取出３个球,求既有黑球又有白球的概率;(２)从中不放回地依次取出３个球,求第三次摸到白球的概率;(３)从中有放回地依次取出３个球,求第三次摸到白球的概率．分析:以上三个问题,分别代表了古典概型中摸球问题的常见三种类型．(１)一次性摸取．摸球的特点:一次性摸取,元素不重复,无顺序．解决的方法:组合的思想．(２)逐次㊁每次不放回摸取．摸球的特点:逐次㊁每次不放回摸取,元素不重复,但有顺序．解决的方法:排列的思想．(３)逐次㊁每次有放回摸取．摸球的特点:逐次㊁每次有放回摸取,元素重复,同一个球每次被摸到的概率都一样．解决方法:独立重复试验中某事件发生的概率不变．解:(１)从６个球中任意取出３个球的总数是C ３６．既有黑球又有白球,可能１黑２白,也可能２黑１白,取法总数是C １４C ２２＋C ２４C １２．由古典概型的概率计算公式可得所求概率P ＝C １４C ２２＋C ２４C １２C ３６＝１６２０＝４５．(２)问题等价于 从６个球选出３个球进行排列,求第三个球是白球的概率 ．６个球选出３个球排列的总数是A ３６,而第三个球是白球的取法总数是A ２５C １２．由古典概型的概率计算公式可得所求概率P ＝A ２５C １２A ３６＝５ˑ４ˑ２６ˑ５ˑ４＝１３．(３)有放回地摸取,每次摸球都是独立的,从而只考虑此第三次摸球即可,不需要考虑前面２次摸球的情况．由古典概型的概率计算公式可得所求概率P ＝C １２C １６＝２６＝１３．反思:需要指出的是,在计算古典概型的事件A的概率时,注意P (A )＝有序有序＝无序无序．为了方便起见,把上述的第一种类型(一次性摸取)和第二种类型(逐次㊁每次不放回摸取),统称为不放回摸球模型．第三种类型(逐次㊁每次有放回摸取),称为有放回摸球模型．模型的析出:不放回摸球模型 解决的方法:组合或排列的思想．有放回摸球模型 解决的方法:独立重复试验中某事件发生的概率不变．在不放回摸球模型和有放回摸球模型中,最后一次摸到白球的概率是一样的．能否得到一般性的结论变式１㊀一个袋子内有a ＋b 个大小一样的小球,其中a 个是黑球,b 个是白球．(１)从中不放回地依次取出k 个球(１ɤk ɤa ＋b ),最后一次摸到白球的概率为多少?(２)从中有放回地依次取出k 个球(１ɤk ɤa ＋b ),最后一次摸到白球的概率为多少?分析:变式１是引例的推广．解:(１)问题等价于 从a ＋b 个球中任意取出k 个球进行排列,求第k 个球是白球的概率 ,所求概率１３２０２２年９月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀新颖试题命题考试∗基金项目:本文系福建省２０１９年度泉州市基础教育课程教学研究课题高中数学题根教学实践研究 (编号:Q J Y K T ２０１９Ｇ１５４)的研究成果之一．Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀P＝A k－１a＋b－１C１bA k a＋b＝(a＋b－１)!(a＋b－k)!ˑb(a＋b)!(a＋b－k)!＝b a＋b．(２)有放回地摸取,每次摸球都是独立的,从而可得所求概率P＝C１bC１a＋b＝ba＋b．反思:在不放回摸球模型和有放回摸球模型中,第k次摸到白球的概率是一样的．但是思考的方式却不同．在有放回摸球模型中,每次摸到白球都是独立的,从而只考虑第k次即可,不需要考虑前面k－１次摸球的情况;在不放回摸球模型中,前一次摸球会影响后一次摸球,所以整个摸球过程要当成一个整体考虑．变式２㊀(高考题改编)已知６只动物中有１只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法:方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止．方案乙:先任取３只,将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这３只中的１只,然后再逐个化验这３只,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则表明患病动物为另外３只中的１只,然后再逐个化验另外３只,直到能确定患病动物为止．(１)用X表示依方案甲所需化验次数,求X的期望;(２)用Y表示依方案乙所需化验次数,求Y的期望．分析:这是一道以摸球为背景的概率问题．问题等价于:有６个大小一样的小球,其中５个是黑球,１个是白球．方案甲:依次不放回地摸球,直到能确定摸出白球为止．方案乙:从中任取３个球,若这三个球含白球,则继续从这３个球中依次不放回摸球,直到能确定摸出白球为止;若这三个球不含白球,则继续从另外含白球的３个球中依次不放回地摸球,直到能确定摸出白球为止．属于不放回摸球模型．解决的方法:组合或排列的思想．解:化验次数X的所有可能取值是１,２,３,４,５．(１)当X＝１时,表示第一次就抽到患病的,概率为P１＝C１１C１６＝１６;当X＝２时,表示第一次抽到不患病的,第二次抽到患病的,概率为P２＝C１５C１１A２６＝１６;同理可得P３＝A２５C１１A３６＝１６,P４＝A３５C１１A４６＝１６;当X＝５时,表示前四次都抽到不患病的,第五次不论是抽到不患病的还是抽到患病的,都能确定哪只是患病动物,化验结束,概率为P５＝A４５A４６＝１３．因此,方案甲所需化验次数X的数学期望E X＝１ˑ１６＋２ˑ１６＋３ˑ１６＋４ˑ１６＋５ˑ１３＝１０３．(２)化验次数Y的所有可能取值是２,３．当Y＝２时,有两类:第一类,第一次任取的３只是含患病的,则继续从这３只中逐个化验,第一次就抽到患病的;第二类,第一次任取的３只是不含患病的,则继续从另外含患病的３只中逐个化验,第一次就抽到患病的．这两类事件互斥,概率为P(Y＝２)＝C２５C１１C３６C１１C１３＋C３５C３６C１１C１３＝１３;同理,当Y＝３时,也有两类:第一类,第一次任取的３只是含患病的,则继续从这３只中逐个化验,第一次抽到不患病的,第二次不论是抽到不患病的还是抽到患病的,都能确定哪只是患病动物,化验结束;第二类,第一次任取的３只是不含患病的,则继续从另外含患病的３只中逐个化验,第一次就抽到不患病的,第二次不论是抽到不患病的还是抽到患病的,都能确定哪只是患病动物,化验结束．这两类事件互斥,概率为P(Y＝３)＝C２５C１１C３６C１２C１３＋C３５C３６C１２C１３＝２３．因此,方案乙所需化验次数Y的数学期望E Y＝２ˑ１３＋３ˑ２３＝８３．反思:本题也可以从对立事件的角度来求X＝５与Y＝３的概率．研究以摸球为背景的概率问题,我们可以在解题中以如下思路思考问题:不放回摸球模型解决的方法是利用组合或排列的思想;有放回摸球模型解决方法是利用独立重复试验中某事件发生的概率的不变性．善于利用对立事件,是探求解题捷径的重要手段之一．在摸球情景下,正确地求解概率问题,必须要具备一定的排列组合知识,熟悉并掌握必要的 概率模型 ,会灵活运用分类与讨论㊁化归与转化等数学思想．F２３命题考试新颖试题㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年９月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
抽屉原理例3摸球(抽取)游戏
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猜一猜： 2、一次摸出3个球，有几种情况？ 观察出现的情况，结果是（一定 ）摸 出2个同色的球。（选择“可能”或 “一定”填空）
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8
请观察，摸出球的个数与 颜色种数有什么关系？
摸出球的个数比颜色种数多1。
能不能用抽屉原理来解决？
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例3：盒子里有同样大小的红球和 蓝球各4个。要想摸出的球一定有2 个同色的，最少要摸出几个球？ 想一想： 1、在这道题中，什么是“物体”？ 什么是“抽屉”？什么是“至少 数 ”？
13
练习：把红、黄、蓝三种颜色的球各10 个放到一个袋子里。最少取多少个球， 可以保证取到4个颜色相同的球？
物体：？个球 抽屉：3种颜色
至少数：4
（4-1）×3+1=10（个）
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14
例3：盒子里有同样大小的红球和蓝 球各4个。要想摸出的球一定有 2 个不同色的，最少要摸出几个球？
物体：？个球 至少数：2
物体：？个球 抽屉：3种颜色 至少数：2
（2-1）×3+1=4（个）
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12
例3：盒子里有同样大小的红球和 蓝球各4个。要想摸出的球一定有 32 个同色的，最少要摸出几个球？
物体：？个球 至少数：3
抽屉：2种颜色 3－１＝2 想（ ）÷２＝2……1 （3-1）×２+1=5（个）
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物体：15个球
抽屉：4个箱子
15÷4=3……3 3+1=4（个）
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3
3、把红、黄两种颜色的球各6个 放到一个袋子里，任意摸出5个， 至少有（ 3 ）个球颜色相同。
物体：5个球 抽屉：2种颜色
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15课时 排列组合中的趣题―
摸球游戏
教学要求：培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物
的内在的本质的联系．
教学过程
一、游戏引入
大约十年前，在北京西直门立交桥附近，曾有一个摆摊摸球的人。
当时围观的人们觉得很新鲜，曾有很多人参与摸球。
现在看来，这不过是一个小型的赌博游戏罢了。
这个游戏的规则很简单：他先摆出了12个台球一般大小的小球，其中有6个红色球和6个白色球。
当着观众的面，他把所有12个色球装进一个普通的布袋中，然后怂恿大家来摸。
怎么个摸法呢?就是从这个装12个球的布袋中，随便摸出6个球来， 看看其中有几个是红球，有几个是白球。
当然，摸球者只能把手伸进袋口中把球一个一个地“掏出来”，而不能打开袋口看着摸。
大家想一想共有多少种摸法？哪一种的概率大呢？
二、学习例题寻找方法
例1某乒乓球队有8男7女共15名队员，现进行混合双打练习，两边都必须是1男1女，共有多少种不同的搭配方法？
分析：每一种搭配都需要2男2女，先把4名队员选出来有2728c c 种选法，然后考虑4
人的排法，故乘以44p
例2 高二（1）班要从7名运动员中选出4名组成 4×100米接力队，参加校运会，其中甲、乙二人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？
分析：分三类，第一类，没有甲乙，有45c 种选法；第二类，有甲没乙或有乙没甲有235c 种
选法；第三类，既有甲也有乙，有25c 种选法
例3 体育课上，赵红老师安排4名男生和3名女生站队，练习第三
套中学生广播体操。
若满足下列条件，分别有多少种站法？
（1）3名女生要求站在一起；
（2）3名女生要求互不相邻；
（3）梁伟不站在排头，黄金叶不站在排尾；
分析:排队在现实生活中是很常见的现象，结合实例，使得学生感悟更深。
三、全课总结
回到课前那个游戏，根据排列组合知识从12个球中摸出6个球，总的方法数有：924
612 c 种，其中“6红”或者“6白”的情况都紧有唯一的一种，按概率论计算有1/924的出现概率
四、作业：
若你家里来客人，鞋架上有5双大小形状不同的拖鞋，从中选择4只，问：恰有2双的
选法？。