2.4z变换的基本性质和定理
第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
2.2 z变换
定义： X ( z ) = ΖT [ x (n) ]
注意符号：时域小写 x 变换域大写 X
＝ ∑ x(n)z − n
n =−∞ ∞
∞
=
n =−∞
∑ x(n)r
− n − jω n
e
复变量： z = re jω ，复平面上的点 r = z 幅度，到原点的距离 ω 数字角频率, 与水平轴之间的夹角
重叠区域。一般缩小，个别扩大
十一、时域乘积定理 x(n) ⋅ h(n) ←⎯ → X ( z) ∗ H ( z) Rx − Rh− < z < Rx + Rh + 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ X (ν )H ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠ 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ H (ν )X ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠
Rx − < z < Rx +
Rx − < z < Rx +
2.4 z变换的基本性质和定理
若
ZT x(n) ←⎯→ X ( z)
Rx − < z < Rx +
五、共轭序列 x *(n) ←⎯ → X * ( z *)
Rx − < z < Rx +
六、翻摺序列
⎛1⎞ → X ⎜ ⎟, x(− n) ←⎯ ⎝z⎠ 1 1 < z < Rx + Rx −
实用公式——根据极点的阶，用相应的公式求留数
若zr 是X ( z )z n -1 的多重极点（l 阶极点），则该点处的留数
n -1 ⎤ X z Res ⎡ ( )z ⎣ ⎦ z = zr
1 d l −1 ⎡ l = ⋅ l −1 ( z − zr ) X ( z )z n -1 ⎤ ⎦ z = zr ( l－1)! dz ⎣
K2.04 z变换性质—z域尺度特性、微分
a k 1 (k
1)
1 z1 a
,
| z | 1 a
利用齐次(k
1)
a z1 a
,
| z | 1 a
5
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z变换性质－ z域尺度特性、微分 例4：求 f(k)= kε(k) 的z变换F(z)。
1 (e jk 2
e jk )
0.5z z e j
0.5z z e j
4
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z变换性质－ z域尺度特性、微分
例3：求 ak (k 1) 的 z 变换。
解：
ak1 (k 1) z1z 1 , | z | a
z 1
kf (k) F (z) z (z 1)2
6
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z变换性质－ z域尺度特性、微分
知识点K2.04
z变换性质－ z域尺度特性、微分
主要内容：
z变换的z域尺度特性、微分的性质
基本要求：
熟练运用z变换的性质
1
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z变换性质－ z域尺度特性、微分 K2.04 z变换的性质-z域尺度特性、微分 1、z域尺度变换：序列乘 ak , a 0
设 f (k) F(z), | z | ,且有常数a 则 ak f (k) F ( z ), | a | | z || a |
第二节Z变换的性质
收敛域不变：∣Z∣>a Z k F ( Z ) ,Z f ( k ) a 例4：已知 (a为实数）的单边Z变换为 Z a
a
k 2 k 2 求： f1 (k ) a , f 2 (k ) a 的单边Z变换 2 解：F1 ( Z ) Z 2 F ( Z ) f (2) f (1) Z 1 a Z , Z a
例2：求单边余弦cos(βk)ε(k)和单边正弦sin (βk)ε(k)的Z变换 1 1 解： cos(k ) (e jk e jk ), sin(k ) (e jk e jk )
2 2j Z [cos(k ) (k )] 1 1 Z [e jk (k )] Z [e jk (k )] 2 2
五：序列乘k(Z域微分） 注意：f(k)为离散的，而Z域为连续的; 若： f (k ) F (Z ), Z 则：kf (k ) Z d F ( Z )
dZ k m f (k ) [ Z d m ] F (Z ) dZ
例9：求序列 k 2 (k ), k (k 1) (k ), k (k 1) (k )的Z变换 2 Z 2 d Z Z ( Z 1) 2 ( k ) , Z 1 k (k ) Z [ ] ,Z 2 解：（1） Z 1 dZ ( Z 1) ( Z 1)3 （2）利用左移特性：
ba (k 1)a k (k ), a b
当a=b=1时，则 (k ) (k ) (k 1) (k ) 又因为： (k )
Z Z , a k (k ) Z 1 Z a Z Z Z 2 (k 1) (k ) (k ) (k ) ( ) , Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 2 (k 1)a k (k ) a k (k ) a k (k ) ( ) ,Z a Z a
z变换复移位定理
z变换复移位定理摘要：1.引言2.Z变换及其性质3.复移位定理4.Z变换复移位定理的应用5.结论正文：【引言】在信号处理、系统分析等领域，Z变换及其相关理论发挥着重要作用。
复移位定理是Z变换理论中的一个重要定理，它为我们分析信号和系统提供了便利。
本文将详细介绍Z变换、复移位定理及其应用，帮助读者更好地理解和掌握这一理论。
【Z变换及其性质】Z变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。
给定一个时域信号x(t)，其Z变换X(z)可以通过以下公式表示：X(z) = ∫(-∞,∞) x(t) * e^(-jωt) dt其中，ω为角频率，j为虚数单位。
Z变换具有许多有益的性质，如线性性质、时域性质、频域性质等。
这些性质为我们分析信号和系统提供了便利。
【复移位定理】复移位定理是Z变换理论中的一个重要定理。
它描述了将时域信号进行Z变换后，对变换结果进行复数域上的平移（即频域上的卷积）的操作。
复移位定理的数学表达式如下：X(z) * z^k = ∫(-∞,∞) x(t) * e^(-jωt) * z^k dt其中，z为复变量，k为实数。
复移位定理在信号处理、系统分析等领域具有广泛的应用。
【Z变换复移位定理的应用】在实际应用中，Z变换复移位定理可以帮助我们简化信号处理和系统分析的过程。
以下是一个具体例子：假设我们有一个线性时不变系统，其输入信号为x(t)，输出信号为y(t)。
我们可以通过分析系统的冲激响应h(t)来了解系统的性能。
利用Z变换和复移位定理，我们可以得到如下关系：H(z) = Y(z) / X(z)其中，H(z)为系统的传递函数，Y(z)为输出信号的Z变换，X(z)为输入信号的Z变换。
通过这一关系，我们可以轻松地求解系统的性能参数，如频率响应、群延迟等。
【结论】Z变换及其复移位定理在信号处理、系统分析等领域具有重要应用价值。
掌握这一理论，可以帮助我们更好地分析和设计信号处理系统。
第二章Z变换
20
❖ 例：已知x(n)=cos(ω0n)u(n)，求它的z变换。 解：
Z
[cos(
0
n
)u
(
n
)]＝
Z
e
j
0
n
e j0n 2
u(n)
1 2
e j0nu(n)
1 2
e j0nu(n)
因为已知
试利用部分分式法求Z反变换。
X (z)
z2
,
( z 2 )( z 0 .5 )
| z | 2
X (z)
z
z ( z 2 )( z 0 .5 )
X (z)
z
A1 A2
z ( z 2 )( z 0 .5 ) z 2 z 0 .5
A1
(
z
2)
X
(z) z z 2
z
z 0 . 5 z 2
1
２．１ ２．２ ２．３ ２．４
２．５
Ｚ变换的定义与收敛域 Ｚ反变换 Ｚ变换的基本性质和定理 序列的Ｚ变换与连续信号的拉普拉斯 变换、傅立叶变换的关系 离散系统的系统函数、系统的频率响 应
2
２．１ Ｚ变换的定义与收敛域
２．１．１ Ｚ变换的定义
对于一个序列x(n)，它的Z变换定义为
X(z) x(n)zn n
超前。
证：Z [ x ( n m ) ] x ( n m ) z n z m x ( k ) z k z m X ( z )
n
k
对双边序列，移位后收敛域不会发生变化；但是 单边序列在z=0或z=∞处收敛域可能有变化．
例如，Z[δ(n)=1]=1，在z平面处处收敛，但是
z变换复移位定理
z变换复移位定理摘要：一、引言二、Z变换的基本概念及性质1.Z变换的定义2.Z变换的性质3.Z变换与傅里叶变换的关系三、复移位定理的推导1.复移位定理的表述2.复移位定理的证明四、复移位定理的应用1.信号处理中的应用2.图像处理中的应用3.通信系统中的应用五、结论正文：一、引言在信号处理、图像处理以及通信系统中，Z变换和其相关定理发挥着重要作用。
其中，复移位定理更是具有广泛的应用价值。
本文将详细介绍复移位定理的推导、应用及其在实际场景中的体现。
二、Z变换的基本概念及性质1.Z变换的定义Z变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。
对于一个连续时间信号x(t)，其Z变换为：X(z) = ∑[x(n) * (1 / (z - n)]，n=-∞到∞2.Z变换的性质Z变换具有线性、时域卷积变为频域乘积、时域移位等性质。
此外，Z变换与傅里叶变换具有一定的关系，傅里叶变换可以看作是Z变换在单位圆上的特殊情形。
3.Z变换与傅里叶变换的关系当z=e^(jω)时，Z变换退化为傅里叶变换。
这意味着，傅里叶变换可以看作是Z变换在单位圆上的特殊情形。
三、复移位定理的推导1.复移位定理的表述复移位定理是指，对于任意一个复数z，其Z变换后的复数部分与原信号的z变换的复数部分相差一个复数k，即：X(z) = k * X(z-1)2.复移位定理的证明根据Z变换的定义，我们有：X(z) = ∑[x(n) * (1 / (z - n)]，n=-∞到∞将z替换为z-1，得到：X(z-1) = ∑[x(n) * (1 / (z-1 - n)]，n=-∞到∞将两式相除，得到：X(z) / X(z-1) = ∑[x(n) * (1 / (z - n)) / (x(n) * (1 / (z-1 - n))]，n=-∞到∞化简后可得：X(z) = k * X(z-1)其中，k = ∑[1 / (z - n)]，n=-∞到∞四、复移位定理的应用1.信号处理中的应用复移位定理在信号处理中可用于信号的频域分析、滤波器设计等。
§2.4 Z变换的基本性质
X z
z z2 z z 1 z z 1 z z 0.5
ROC
z 2 z 1 z 1 z 0.5
X
2 1
n
无
有，1
n
n
1
无 有，0
0.5
n
第
九．有限项累加
z 则Z [ x( m )] X ( z ), z max[ Rx ,1] z 1 m 0
1 1 x ( n)h( n) x ( ) H ( ) 1d。 2j c n
2. 当围线取单位圆 1时， v 1 / v e j , 则 v 1 x(n)h (n) 2 n
X (e j ) H (e j )d。
x ( n) z
* * n *
n
*
n *
[ x(n)( z )
* n *
]
[ x( n)( z ) ] X ( z ) ，Rx z Rx ;
n
X
六．翻褶序列
如果 Z [ x( n)] X ( z ) , R z R 则 x x
n
19 页
Rx z Rx Rh z Rh
1 * 1 1 x ( n )h ( n ) c X (v ) H ( v * )v dv 2j
*
其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。 （证明从略）
X
第
几点说明
1.
20 页
当h( n)为实序列时，则
RX Z RX
RX z RX ， m为整数
收敛域：只会影响 0, z 处 z
第二章 Z变换1,2,3,4
x ( n) z n M
2
z z 因此，要满足此不等式， 必须在一定范围之内才行。 满足的范 围就是收敛域。 不同形式的序列，其收敛域形式也不同。下面讨论几种序列 的收敛域： 1．有限长序列 在有限区间（n1 n n2 ）之内序列才具有非零的有限值， 在此区间之外，序列值都是零。其 z 变换为：
c c
x ( n) x ( n)
2 j c 2 j c
1
1
X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z zk
k
X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z zm
m
16
以上两式的选择，需根据具体情况来考虑。 下面给出求 X ( z ) z n 1 在任一极点 z r 处的留数的方法。 （1）z r 是 X ( z ) z n 1 的单（一阶）极点，则有
n n n 1
正幂级数 有限长序列的变换 按照阿贝尔定理，必定存在收敛半径 Rx z 综合以上两项， 变换的收敛域为： 0 z Rx 6
如果 n2 0 ，则右端第二项不存在，收敛域应包括 z 0 ，即
0 z Rx
4．双边序列 x n 为任意值时， (n) 都有非零值的序列，可以看成是左边序列 与右边序列之和。
1
§2.2 z 变换的定义与收敛域 一、z 变换(ZT)的定义 若序列为x(n)，则幂级数
X ( z)
n
x ( n) z n
称为序列的 z 变换，其中 z 为变量，简便表示为： Z x ( n) X ( z )
二、z 变换的收敛域(ROC) 只有幂级数收敛， z 变换才存在。 收敛域：对任意给定序列 x(n) ，使其 z 变换收敛的所有值的 集合，称为~。 按照级数理论，z 变换式中级数收敛的必要且充分条件是满 足绝对可和的条件，即
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zm X (z)
两者交集 不变
线性性质 移位性质
an x(n)
X (z a) 上下限放大|a| 乘以指数序列
42
序列
nx(n) x* (n)
Z变换 z d X (z)
dz
X *(z*)
收敛域 不变 不变
说明 线性加权
共轭
x(n)
X (1 z)
上下限分别倒数
翻褶
Re[ x(n)] 0.5[X (z) X *(z*)]
45
)v 1dv
上下限对应相乘
序列相乘
x(n)为因果序列
且X(z)的极点落在单 位圆内部，最多在
z=1处有一极点
初值定理
终值定理
44
序列
Z变换
收敛域
说明
RxRh 1 RxRh 帕赛瓦定理
几条重要结论： 1、时域作卷积运算，z变换上相乘 2、实部z变换等于 0.5[X (z) X *(z*)] 3、序列在时域计算的能量等于在频域计算的能量
16
17
5、共轭序列 如果 则有：
证明：
18
6、翻褶序列 如果 则有：
证明： （见下页）
19
证明：
20
7、初值定理 证明： （怎样证明？）
显然： lim X (z) x(0)
z
21
8、终值定理
证明： （见下页，怎样证明？）
22
证明：
23
又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因 子(z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所 以可取z→1的极限。
5、共轭序列
6、翻褶序列
7、初值定理
8、终值定理
9、有限项累加特性
10、序列的卷积和（时域卷积和定理）
11、序列相乘
12、帕赛瓦定理
8
1、线性 如果
则有：
aX (z) bY(z),
max(Rx , Ry ) z min(Rx , Ry )
序列线性组合的z变换等于z变换的线性组合。 收敛域为两者重叠部分，如果在z变换的线性 组合中，存在零极点相消，则收敛域可能扩大。
5、共轭序列
6、翻褶序列
7、初值定理
8、终值定理
9、有限项累加特性
10、序列的卷积和（时域卷积和定理）
11、序列相乘
12、帕赛瓦定理
41
序列
Z变换
收敛域
说明
x(n)
X (z) Rx z Rx
h(n)
H (z) Rh z Rh
ax(n) by(n) aX (z) bY(z)
x(n m)
数字信号处理
第二章 z变换（2.4）
主 讲：熊美英 E-mail：wax8301@
九江学院电子工程学院
第二章 z变换
2.1 引言 2.2 z变换的定义及收敛域 2.3 z反变换 2.4 z变换的基本性质和定理 2.5 z变换与拉普拉斯变换、傅立叶变换的关系 2.6 序列的傅里叶变换 2.7 傅里叶变换的一些对称性质 2.8 离散系统的系统函数及频率响应
2
回顾：2.3 z反变换
求z反变换的方法： 1、围线积分法（留数法）； 2、部分分式展开法； 3、长除法。
3
1、围线积分法（留数法）
注意：应用第二式计算时，要求 X (z)zn1 的分母 多项式中z的阶次比分子多项式z的阶数高二阶或以上。
4
2、部分分式展开法
然后各部分查表作z反变换，再相加。
n
k
移位后的序列z变换等于原序列z变换× 收敛域规律？
13
[例2-11] ： 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。 解：
14
3、乘以指数序列（z域尺度变换） 如果 则有： 证明：根据z变换的定义证明
15
4、序列的线性加权（z域求导数） 如果 则有： 证明： （见下页，怎样证明？）从右至左证明。
9
[例2-10]：已知 解：
,求其z变换。
10
11
收敛域为两者重叠部分，如果在z变换的线性组 合中，存在零极点相消，则收敛域可能扩大。 参见[例2-11]： （见性质2）
12
2、序列的移位
如果
则有：
证明：根据z变换的定义证明
Z[x(n m)] x(n m)zn zm x(k)zk zm X (z)
6
3、长除法 将X(z）分解成简单分式和的形式，每部分对应
一个因果序列或一个反因果序列。 对因果序列，分子、分母多项式按降幂排列相除； 对反因果序列，分子、分母多项式按升幂排列相除。
7
2.4 z变换的基本性质和定理
1、线性
2、序列的移位
3、乘以指数序列（z域尺度变换）
4、序列的线性加权（z域求导数）
不变
实部z变换
j Im[x(n)] 0.5[X (z) X *(z*)]
不变
j倍虚部z变换
43
序列
n
x(m)
m0
x(n) h(n)
x(n)• h(n)
Z变换
z X (z) z 1
收敛域
说明
z max[Rx ,1] 有限项累加特性
X (z)H(z)
两者交集 序列的卷积和
1
2j
c
X
(v)H ( z v
24
9、有限项累加特性 证明： （见下页）
25
证明：
26
27
10、序列的卷积和（时域卷积和定理）
28
证明：
29
30
[例2-12]： 解： 先求X(z)、H(z)，然后相乘，再作反变换。
31
32
11、序列相乘（z域复卷积定理）
其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛
域内环原点的一条逆时针单封闭围线。（证明从略）
33
[例2-13]： 解：见下页。
34
解：
35
36
37
12、帕赛瓦定理
其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收 敛域内。 （证明从略）
38
*几点说明：
39
40
回顾：2.4 z变换的基本性质和定理
1、线性
2、序列的移位
3、乘以指数序列（z域尺度变换）
4、序列的线性加权（z域求导数）
x(n) z1[X (z)] z1[ X1(z)] z1[X 2 (z)] ... z1[X K (z)] x1(n) x2 (n) ... xK (n)
5
部分分式的系数Ak，Ck分别为（留数定理求出）：
Ck
(r
1 d rk
Байду номын сангаас
k
)!
dz
r
k
[(z
zi )r
x(z zk
)
z
zi
,
k 1,2r