考研数学定积分的物理应用
考研数学之物理应用分析
Born To Win人生也许就是要学会愚忠。
选我所爱，爱我所选。
考研数学之物理应用分析数学一和数学二的学生对物理应用这一块掌握的比较薄弱。
物理应用不是数学一和数学二的常考点，但是一旦考了，学生往往都不会。
2015年数学二的考研真题出了一道与物理应用有关的大题。
这是个拉分题，很多同学都不会。
所以希望大家能够对物理应用有足够的重视，特别是那些立志上名校，希望数学给力的学生。
下面，跨考教育数学教研室的向喆老师就来和大家分享物理应用分析的学习方法。
一.明确知识框架有句古语：知己知彼，百战不殆。
物理应用可以说是比较难的知识点，所以大家就应该明了考研都考了那些物理应用。
首先，只有数学一和数学二才考物理应用。
然后，物理应用分布在导数应用，定积分应用，微分方程应用中，其中物理应用在定积分中考查的最多。
最后，有关的物理知识的储备。
比如说速率，做功，压强，压力等。
二.掌握学习方法大家在明白了物理应用的体系后，就应该掌握相应的学习方法。
首先是导数中的物理应用。
通过对历年真题的研究，我发现导数的物理应用主要体现在对导数物理意义的理解，即速率。
然后是定积分中的物理应用。
这是考查的重点。
主要包括：变力做功(变力对质点沿直线做功和克服重力做功);液体静压力;质心及形心。
这三个部分求解的核心思想是微元法：分割，近似，求和，取极限。
大家应该把定积分的定义即曲边梯形面积是怎么求得掌握。
接着，大家就应该把这三部分的微元法思想推一遍，从而熟练掌握本质的含义。
其中克服重力做功问题已经在真题中出现过。
最后是微分方程中的物理应用。
通过历年考题分析，我发现微分方程中的物理应用主要考察的是牛顿第二定律。
据此联系了位移与速率;重力，浮力及阻力与加速度关系。
总之，在学习这部分知识时候，应该有一些基本的思想。
比如说：微元法思想，牛顿第二定律，压强及压力，位移与速率等。
三.熟练掌握题型大家在明白了知识体系以及学习方法后就应该通过做题来巩固。
不过现在出现了一个问题：数学一和数学二的同学有很多都不是学物理的。
考研数学面试题目(3篇)
第1篇一、面试题目1. 请简述数学分析中极限的定义和性质。
解析：数学分析中，极限是指当自变量x趋向于某一点a时，函数f(x)的值趋向于某一点L。
具体来说，如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，则称函数f(x)当x趋向于a时极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
2. 请解释数学中的导数的概念及其几何意义。
解析：导数是描述函数在某一点处的局部变化率。
对于函数y=f(x)，在点x0处的导数表示为f'(x0)。
几何意义上，导数表示曲线在该点的切线斜率。
3. 请简述多元函数偏导数的概念及其几何意义。
解析：多元函数偏导数是指多元函数在某一点处，仅考虑一个变量变化时，函数的导数。
对于多元函数z=f(x,y)，在点(x0,y0)处的偏导数表示为f_x'(x0,y0)和f_y'(x0,y0)。
几何意义上，偏导数表示曲线在该点的切线斜率。
4. 请解释定积分的概念及其物理意义。
解析：定积分是指将一个函数在一个区间上的无穷小分割，然后求和并取极限的过程。
物理意义上，定积分可以表示曲线下方的面积、物理量在某段时间内的累积量等。
5. 请简述多元函数的积分概念及其物理意义。
解析：多元函数的积分是指将一个多元函数在一个区域上的无穷小分割，然后求和并取极限的过程。
物理意义上，多元函数的积分可以表示空间曲面的面积、物理量在某区域内的累积量等。
6. 请解释数学中的级数收敛的概念。
解析：级数收敛是指一个无穷级数的各项之和趋向于某个确定的值。
如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n>N时，级数的部分和S_n与该确定值L之差的绝对值小于ε，则称该级数收敛。
7. 请简述线性代数中矩阵的概念及其运算。
解析：矩阵是一种由数字组成的矩形阵列，表示线性变换、线性方程组等。
矩阵的运算包括加法、数乘、乘法等。
8. 请解释线性代数中行列式的概念及其性质。
考研数学第六讲定积分的应用
第六讲 定积分的应用一、基础知识几何应用（一）平面图形的面积 1．直角坐标情形由曲线)0)(()(≥=x f x f y 及直线 x a =与 x b = ( a b < ) 与 x 轴所围成的曲边梯形面积A 。
()baA f x dx =⎰ 其中：f x dx ()为面积元素。
由曲线y f x =()与y g x =()及直线x a =，x b =(a b <)且f x g x ()()≥所围成的图形面积A 。
()()[()()]=-=-⎰⎰⎰b b baaaA f x dx g x dx f x g x dx2．极坐标情形设平面图形是由曲线 )(θϕ=r 及射线αθ=，βθ=所围成的曲边扇形。
取极角θ为积分变量，则 βθα≤≤,在平面图形中任意截取一典型的面积元素A ∆，它是极角变化区间为],[θθθd +的窄曲边扇形。
曲边梯形的面积元素 θθϕd dA 2])([21= ⎰=βαθθϕd A )(212（二）旋转体的体积计算由曲线y f x =()直线x a =，x b =及x 轴所围成的曲边梯形，绕x 轴旋转一周而生成的立体的体积。
取x 为积分变量，则],[b a x ∈，对于区间],[b a 上的任一区间],[dx x x +，它所对应的窄曲边梯形绕x 轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以)(x f 为底半径，dx 为高的圆柱体体积。
即：体积元素为 []dx x f dV 2)(π=所求的旋转体的体积为 []dx x f V ba⎰=2)(π（三）平面曲线的弧长 1.直角坐标情形设函数)(x f 在区间],[b a 上具有一阶连续的导数，计算曲线)(x f y =的长度s 。
取x 为积分变量，则],[b a x ∈,在],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，弧长元素为[]dx x f ds 2)(1'+= 弧长为 []⎰'+=badx x f s 2)(12.参数方程的情形若曲线由参数方程)()()(βαφϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x 给出，弧微分[][]dt t t dy dx ds 2222)()()()(φϕ'+'=+=则 [][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()(3.极坐标情形若曲线由极坐标方程)()(βθαθ≤≤=r r 给出，将极坐标方程化成参数方程，曲线的参数方程为x r y r ==⎧⎨⎩≤≤()cos ()sin ()θθθθαθβ，弧长元素为θθθθθθθd r r d r r d r r dy dx ds 22222222)()cos sin ()()sin cos ()()('+=+'+-'=+= 从而有 ⎰'+=βαθd r r s 22（四）.曲率与曲率半径 曲率记作,k 0lims d k s dsαα∆→∆==∆, 222''''tan '''sec sec 1'd d y y y y dx dx y ααααα=⇒=⋅⇒==+, 2''1'y d dx y α=+,又,ds =故322''(1')y d k dsy α==+.曲率半径 3221(1')''y k y ρ+==. 曲率圆二、例题1．平面图形的面积与旋转体的体积例 1. 已知抛物线2,y px qx =+(其中0,0p q <>)在第一象限内与直线5x y +=相切,且抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为s .问: (1)p q 和为何值时,s 达到最大值? (2)求出此最大值.【答案】,3p q =4=-5,22532s =例2.设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-0,0,)(22x ex e x F x x ，S 表示夹在x 轴与曲线()y F x =之间的面积. 对任何)(x f0t >，)(1t S 表示矩形t x t -≤≤，0()y F t ≤≤的面积. 求(I) 1()()S t S S t =-的表达式； (II) ()S t 的最小值.【答案】(I) t te t S 221)(--=，t ∈ (0 , +∞).(II) eS 11)21(-=. 例3.设曲线的极坐标方程为(0)a e a θρ=>,则该曲线上相应于θ从0到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积为41(1)4a e aπ-. 例 4.设1D 是由抛物线22y x =和直线x a =, 2x =及0y =所围成的平面区域; 2D 是由抛物线22y x =和直线x a =,0y =所围成的平面区域,其中02a <<.(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ;2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V . (2)问当a 为何值时,12V V +取得最大值?试求此最大值. 【答案】54(32)5a π- 4a π 1295π 例5.设曲线2(0,0)y ax a x =>≥与21y x =-交于点A ,过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面图形.问a 为何值时,该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?【答案】4a =是体积最大,其最大体积为:522161518755V π=⋅= 例6.过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1).求D 的面积A ;(2).求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V . 【答案】(1)112A e =- (2)2(5123)6V e e π=-+ 例7.（15-2） 设A>0，D 是由曲线段sin (0)2y A x x π=≤≤及直线0y =，2x π=所围成的平面区域，1V ，2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若12V V =，求A 的值.【答案】8π例8.(09-3-10 分)设曲线()y f x =，其中()y f x =是可导函数，且()0f x >，已知曲线()y f x =与直线0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形，绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是曲边梯形面积值的t π倍，求该曲线方程。
22考研复习全书选讲 第五讲 一元函数积分学(3)2021.4.30
2021年4月
第五讲 一元函数积分学(3)
定积分的应用
定积分应用的基本原理——微元法
在用定积分求面积、体积、平均值、表面积、弧长、功、引力、压力等问题时,常常要
利用微元法思想,其基本步骤如下:
（1）所求量 U 是与区间[a, b]以及定义在其上的函数 f (x)有关的量；
其中 (t)、 (t)在[, ]上具有一阶连续导数, 且 (t)、 (t)不同
时为零(极,坐则标曲方线程弧)设长曲为线S弧=由 极坐2(标t)方程2
(t)
r
dt
=
. r
(θ)
(
α
≤
θ
≤
β)
给
出, 其中 r (θ)在[, ]上具有一阶连续导数, 则曲线弧长为
S r2( ) r2( ) d .
直线 x=1 所成的旋转体体积 V1.(3) 求 D 绕 x 轴旋转一周所得
旋转体的体积 V2. (3) D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积
V2
1 (e x )2 dx
1 (ex)2 dx e2 .
0
6
V2 2
e y( y ln y)dy e2 .
0e
6
全书一，P123[例2]；全书二，P119[例2]；
0
2
a2( 1 cos )2 ( a sin )2 d
0
2 2a c osd
0
2
a8
si
2
n0
=
8a|
.
全书三，P114[例5]；
例 8(2010 数 3) 设位于曲线 y
1
( e x<+ )下方, x 轴上方的
【11.20补充专题讲义】2020考研数学-定积分及微分方程在物理中的应用-武忠祥
dT k(T 20) dt
(k 0)
解该方程得 T (t) 20 Cekt
又 T (0) 120, 则 C 100, T (t) 20 100ekt
T (30) 30, 则 ek30 1 , k ln10 .
10
30
代入 T (t0 ) 21, 得 t0 60,
的距离为 a . 已知引力系数为 k ，则质点和细杆之间引力的大小为（ ）.
0 km d x
（A） l (a x)2
l km d x
（B） 0 (a x)2
0 km d x
（C）
l 2
(a
x)2
（D） 2
l 2
km
d
x
0 (a x)2
【解】选（A）
【例 3】（2002 年 2）某闸门的形状与大小如图所示，闸门的上部为矩形 ABCD ，下部由二
.
【例 2】（2015 年 2）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率
与该时刻物体和介质的温度差成正比.现将一初始温度为120 C 的物体在 20 C 恒温介质中
冷却， 30 min 后物体温度降至 30 C ，若要将物体的温度继续降至 21 C, 还需冷却多长时
间？
【解】设 t 时刻物体的温度为 T (t)( C), 由题设知
2
将污泥从井底提升至井口共需时间 30 10 ，所以 3
w3
10 3(2000 20t) d t 57000.
0
因此，共需作功
w 12000 22500 57000 91500(J).
【例 5】（2003 年 1）某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克 服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系
考研数学定积分物理应用公式
考研数学定积分物理应用公式？
答：考研数学定积分物理应用公式包括：
1. 变力做功：∫(从a到b) F(x) dx，其中F(x)是变力，a和b分别是初位置和末位置。
2. 质心公式：∫(从a到b) xρ(x) dx / ∫(从a到
b) ρ(x) dx，其中ρ(x)是线密度，用于求细棒的质量中心。
3. 引力公式：∫(从a到b) km1m2/r^2 dr，用于求两质点间的引力，其中k是引力常数，m1和m2是两质点的质量，r是两质点间的距离。
4. 压力公式：P = pA，其中p是压强，A是面积。
5. 液体静压力：∫(从h1到h2) ρgh dA，其中ρ是液体密度，g是重力加速度，h是液体深度，dA是水平面积微元。
6. 旋转体体积：∫(从a到b) π[f(x)]^2 dx，其中f(x)是旋转曲线的函数表达式。
7. 液体对侧壁的压力：∫(从a到b) 2πxlρg dx，其中l是液体高度，ρ是液体密度，g是重力加速度。
8. 物体在液体中所受的浮力：∫(从a到b) ρVg dx，其中ρ是液体密度，V是物体体积，g是重力加速度。
9. 物体绕定轴旋转的转动惯量：∫(从a到b) r^2 dm，其中r是物体上各点到转轴的距离，dm是物体上的质量微元。
10. 细棒对过端点且与棒垂直的轴的转动惯量：∫(从0到l) (1/3)ml^2 dx = (1/3)ml^2。
以上是考研数学定积分物理应用的一些常见公式。
希望这些信息对您有帮助，如果您还有其他问题，欢迎告诉我。
考研数学强化班讲义-微积分第4讲(学员版)定积分应用综合
（6） 旋转体的侧面积
直角坐标系中曲线 y = f (x), a ≤ x ≤ b 绕 x 轴旋转生成的旋转体
∫ 的侧面积为
A = 2π
b
f (x)
1 + [ f ′(x)]2 dx 。
a
参数方程下曲线 x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β 绕 x 轴旋转生成的
∫ 旋转体的侧面积为
∫ 绕 x 轴旋转生成的旋转体的体积（小圆台法）Vx
=
bπ
a
f 2 (x)dx 。
∫ 绕 y 轴旋转生成的旋转体的体积（薄壁筒法）Vy
=
b 2xπ
a
f (x)dx 。
（5）平面光滑曲线的弧长
直 角 坐 标 系 中 的 光 滑 曲 线 y = f (x), a ≤ x ≤ b 的 弧 长 为
∫ l = b 1+ [ f ′(x)]2 dx 。 a
设区域的边界由曲线 L :
⎧ x = x(t)
⎨ ⎩
y
=
y(t)
(α ≤ t ≤ β ) 确定, 其中
∫ x(t), y(t) 连续可导, y(t) ≥ 0 , 则区域的面积为 A = β y(t)x′(t)dt 。 α
（3） 极坐标系下区域的面积
设 区 域 D 为 D = {(x, y) x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ, α ≤ ϕ ≤ β , 0 ≤ ρ ≤ ρ(ϕ)} ，
D = {(x, y) a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g(x)}
∫ 的面积为 A = b [g(x) − f (x)]dx 。 a ∫b
注：若连续函数 f (x) 在区间[a, b] 上变号，则 A = f (x)dx 表示正负面 a 积的代数和，有时称为代数面积。 （2） 参数方程下区域的面积
考研复试数学面试题目(3篇)
第1篇一、数学分析1. 请解释实数的完备性及其意义。
2. 证明：若数列{an}单调有界，则{an}收敛。
3. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)。
4. 证明：若函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≤0，则f(x)在[a, b]上单调递减。
5. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)。
6. 证明：若函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≤0，则f(x)在[a, b]上单调递减。
7. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)。
8. 证明：若函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≤0，则f(x)在[a, b]上单调递减。
9. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)。
10. 证明：若函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)≤0，则f(x)在[a, b]上单调递减。
二、高等代数1. 请解释行列式的定义及其性质。
2. 证明：若矩阵A可逆，则|A|≠0。
3. 设矩阵A为n阶方阵，求证：A的行列式|A|等于其特征值的乘积。
4. 证明：若矩阵A为n阶方阵，且|A|=0，则A不可逆。
5. 设矩阵A为n阶方阵，求证：A的行列式|A|等于其特征值的乘积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
考研数学定积分的物理应用分析
在考研数学中,对于数学(一）和数学(二)的考生来说，考试大纲要求掌握一些定积分的物理应用,主要包括：做功、压力、引力、质心、形心等,这是因为数学（一)和数学(二）的大部分考生是理工科专业的学生，因此要求掌握一些物理应用是十分合理和自然的定积分在作用力做功计算中的应用
定积分在压力计算中的应用
从上面的分析和典型例题来看，求解定积分的物理应用问题时,首先要掌握相应的物理基本原理，这是最基本、同时也是最重要的前提条件，如果不理解其物理原理，则应用就无从谈起。