福建省泉州市高二上学期期中数学试卷
福建省泉州市高二上学期期中数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）若α，β为锐角，tan（α+β）=3，，则α的值为（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）函数f（x）=tan（ωx﹣）（ω＞0）与函数g（x）=sin（﹣2x）的最小正周期相同则ω=（）
A . ±1
B . 1
C . ±2
D . 2
3. （2分） sin sin +sin sin =（）
A . 0
B .
C .
D . 1
4. （2分） (2016高一下·成都期中) 在△ABC中，已知A，B，C成等差数列，且b= ，则
=（）
A . 2
B .
C .
D .
5. （2分）等差数列的公差d≠0，，前n项和为Sn ，则对正整数m，下列四个结论中：
（1）Sm，S2m－Sm ， S3m－S2m成等差数列，也可能成等比数列；
（2）Sm，S2m－Sm ， S3m－S2m成等差数列，但不可能成等比数列；
（3）Sm ， S2m ， S3m可能成等比数列，但不可能成等差数列；
（4）Sm ， S2m ， S3m不可能成等比数列，也不可能成等差数列；
正确的是（）
A . （1）（3）.
B . （1）（4）.
C . （2）（3）.
D . （2）（4）.
6. （2分） (2017高二下·福州期中) 已知等比数列{an}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则an=（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2017高二上·大连期末) 对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2﹣36[x]+45＜0成立的x的范围是（）
A . （）
B . [2，8]
C . [2，8）
D . [2，7]
8. （2分）(2013·新课标Ⅱ卷理) 已知集合M={x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（）
A . {0，1，2}
B . {﹣1，0，1，2}
C . {﹣1，0，2，3}
D . {0，1，2，3}
9. （2分）公比不为1的等比数列的前n项和为，且成等差数列，若＝1，则＝（）
A . －5
B . 0
C . 5
D . 7
10. （2分）(2017·蚌埠模拟) 若实数x，y满足，则的取值范围是（）
A . [ ，4]
B . [ ，4）
C . [2，4]
D . （2，4]
11. （2分）已知数列{an}中，a1=3，an+1=2an+1，则a3=（）
A . 3
B . 7
C . 15
D . 18
12. （2分） (2016高二下·衡阳期中) 设a＞1，b＞2，且ab=2a+b，则a+b的最小值为（）
A . 2
B . 2 +1
C . 2 +2
D . 2 +3
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）若直线l1：2x﹣5y+20=0和直线l2：mx﹣2y﹣10=0与坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数m的值等于________．
14. （1分）已知函数y=x﹣4+ （x＞﹣1），当x=a时，y取得最小值b，则a+b=________．
15. （1分） (2018高二上·南京月考) 已知中，是角的对边，则其中真命题的序号是________.
①若，则在上是增函数；②若，则是直角三角形；③ 的最小值为；④若，则；⑤若，则 .
16. （1分） (2017高一下·芜湖期末) 不等式≥1的解集________．
三、解答题 (共6题；共50分)
17. （10分）已知f（α）=
（1）求的值；
（2）若圆C的圆心在x轴上，圆心到直线l：y=tanα•x的距离为且直线l被圆所截弦长为，求圆C的方程．
18. （10分）(2018·大新模拟) 已知数列为单调递增数列，，其前项和为，且满足
.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列，其前项和为，若成立，求的最小值.
19. （10分） (2017高一上·沛县月考) 设不等式的解集为 .
（1）求集合；
（2）设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.
20. （10分）已知函数f（x0=sin cos + cos2 ﹣
（1）
将f（x）化为含Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的形式，写出f（x）的最小正周期及其对称中心；
（2）
如果三角形ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对角为x，试求x的范围及此时函数f（3x）的值域．
21. （5分） (2017高二下·菏泽开学考) 在△ABC中，角A，B，C所列边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若，试判断bc取得最大值时△ABC形状．
22. （5分） (2019高三上·汕头期末) 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，
.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和 .
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、20-1、
20-2、
21-1、
22-1、。
福建省泉州市惠安惠安一中、安溪一中、养正中学、泉州实验中2023-2024学年高二上学期期中数学试题
福建省泉州市惠安惠安一中、安溪一中、养正中学、泉州实验中2023-2024学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．175π3B ．5．已知直线1:221l x y +-=m n +的值为（）A ．10-B ．6．如图，在正四棱柱ABCD 1AA ，1CC ，1DD 上，2AA =A ．4637．若直线:l kx y -+范围是（）A ．13,24⎛⎤ ⎥⎝⎦8．已知点()3,0A ，O 的两点，且对任意的点A ．824+二、多选题9．已知直线12l l l ，，则123k k k ，，的大小关系可能是（A ．123k k k <<B ．321k k k <<C ．312k k k <<D ．231k k k <<10．已知圆1C ：2x +确的是（）A ．若点()1,1在圆B ．若2m =，则圆C ．若圆1C ，2CD ．过点()3,2P三、填空题四、解答题MQ平面PCB(1)求证：//(2)求直线BC与平面MCN20．如图，一个湖的边界是圆心为（AB是圆O的直径）.规划在公路段直线型道路PB，QA，规划要求：线段O的半径.已知点A，B到直线AC=，126BD=（单位，百米）(1)若P点选在D点的左侧(2)在规划要求下，求PQ21．如图，在三棱台ABCCC⊥平面ABC，点侧棱1AA B B⊥平面(1)证明：平面11(2)若平面ABE与平面ACE所成的锐角的余弦值为22．在平面直角坐标系xOy中，已知点点是Q，过点P的直线l与圆(1)设直线QA，QB的斜率分别是(2)设AB的中点为M，点N。
2023-2024学年泉州市安溪县高二数学上学期期中考试卷附答案解析
2023-2024学年泉州市安溪县高二数学上学期期中考试卷2023.11（试卷满分150分，考试用时120分钟）本试卷主要考试内容：人教A 版选择性必修第一册第一章至第二章.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在空间直角坐标系中，向量()1,2,1a =- ，()1,0,2b = ，则a b -=（）A ．()2,2,3-B ．()2,2,3--C ．()0,2,1D ．()0,2,1--2．在正方体1111ABCD A B C D -中，与向量1AD uuu r相反的向量是（）A ．1CB B ．1BC C ．1B AD ．1AB 3．若直线l 经过(3A ，(2,33B 两点，则l 的倾斜角为（）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π34．已知直线1l：330x y -+=与2l ：30x y C -+=10，则C =（）A ．13B ．13或7-C ．7D ．7或13-5．已知()2,4,6m =是平面α的一个法向量，()1,,n a b =是平面β的一个法向量，且平面//α平面β，则向量()1,01a =- ,在n 上的投影向量为（）A ．17nB ．17n -C ．27nD ．27n - 6．已知圆M ：()2211x y ++=与圆N ：()()22231x y -+-=关于直线l 对称，则l 的方程为（）A ．210x y --=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．230x y +-=7．在三棱锥O ABC -中，M 为OA 的中点，点N 在线段BC 上，若1123MN OA aOB OC=-++，则=a （）A ．12B ．1C ．13D ．238．已知圆M ：((229x ay a+=，点()2,0A -，()2,0B ，在圆M 上存在点P ，使得π2APB ∠=，则a 的取值范围为（）A ．[]1,25B ．[]1,5C ．125,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．25222⎢⎣⎦二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知直线1l：220x y ++=，2l ：40ax y +-=，则下列结论正确的是（）A ．1l 的斜率为12-B ．1l 在y 轴上的截距为-2C ．若12l l ∥，则12a =D ．若12l l ⊥，则2a =10．若{},,a b c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A ．2a b c ++ ，a b + ，a c+ B ．a b c ++r r r ，a b + ，a c+ C ．b ，a b - ，b c+ D ．a ，a b - ，a b+ 11．在菱形纸片ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，O 是菱形ABCD 的中心，2AB =，2π3ABC ∠=，将菱形纸片ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，以O 为原点，OB ，OC ，OD 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则（）A ．310,,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．31,022F ⎫⎪⎪⎝⎭C ．113,22EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．3cos 4EOF ∠=-12．已知曲线C ：()704y kx y kx ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，圆M ：()()22211x y -+-=，则（）A ．当0k <或3512k >时，曲线C 与圆M 没有公共点B ．当34k =时，曲线C 与圆M 有1个公共点C ．当304k <<时，曲线C 与圆M 有2个公共点D ．当3443k <<时，曲线C 与圆M 有4个公共点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在空间直角坐标系Oxyz 中，点()2,2,2A -关于Oxz 平面的对称点的坐标为14．圆M ：()()22121x y -++=与圆N ：()()22229x y -+-=的公切线条数为.15．已知直线l ：0x y m -+=与圆M ：()()22326x y -+-=交于P ，Q 两点，且MPQ 为正三角形，则m =16．中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种被称为“羡除”的几何体，该几何体是三个面均为梯形，其他两个面为三角形的五面体.如图，现有一羡除ABCDEF ，平面ABCD ⊥平面CDEF ，24CD AB ==，6EF =，四边形ABCD ，CDEF 均为等腰梯形，π3ADC DEF ∠=∠=，M ，N ，P 分别为DE ，EF ，BC的中点，则二面角P MN C --的平面角的余弦值为四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知平行四边形ABCD 的三个顶点分别为()2,1A ，()3,2B ，()6,3C .(1)求直线AB 的方程；(2)求平行四边形ABCD 的面积.18．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，13AB AD AA ===，111cos cos cos 3BAD BAA DAA ∠=∠=∠=，E为线段1AC 上更靠近A 的三等分点(1)用向量AB ，1AA，AD 表示向量AE ；(2)求AE；(3)求AE AC ⋅ .19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，111π2A C B ∠=，111112A C B C BB ===，P ，Q ，R 分别是BC ，11A B ，1AA 的中点.(1)证明：//PQ 平面11ACC A .(2)求1C 到平面PRQ 的距离.20．已知圆M ：()()223316x y -++=，直线l ：()()1430m x m y m +++-=.(1)证明：l 过定点.(2)求l 被圆M 截得的最短弦长.21．已知A 为圆O ：224x y +=上一动点，点()8,0B，Q 为AB 的中点.(1)求Q 的轨迹方程；(2)若P 为圆O 上一动点，在直线l ：60x y +-=上存在点M ，使得MP MQ+最小，求MP MQ+的最小值.22．如图，在圆锥OP 中，AB 是底面圆的直径，C ，D 是圆O 上的两点，24PA AB CD ===，//AB CD ，E 为母线PB 上的一点.(1)证明：平面POD ⊥平面ACE .(2)若直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值为34，求PE PB .1．D【分析】根据空间向量的坐标运算求解.【详解】由题意可得：()()()1,2,11,0,20,2,1-=--=--r ra b .故选：D.2．A【分析】根据正方体的特征及相反向量的概念判定即可.【详解】如图所示，可知1C B 是1AD uuu r 的相反向量.故选：A3．C【分析】利用直线斜率的计算公式求出直线的斜率，即可求得答案.【详解】由题意直线l 经过(3A ，(2,33B 两点，得l 的斜率为333320=-由于直线的倾斜角范围为[)0,π，所以l 的倾斜角为π3，故选：C 4．B【分析】应用平行线间距离公式计算即可.【详解】因为12l l ∥2231031C -=+，得13C =或7-.故选：B.5．B【分析】先判断m n∥，求得2a =，3b =，可得()1,2,3n = ，再根据投影向量公式求解即可.【详解】因为()2,4,6m =是平面α的一个法向量，()1,,n a b =是平面β的一个法向量，且平面//α平面β，所以得m n ∥，则1246a b==，得2a =，3b =，所以()1,2,3n =所以a在n 上的投影向量为11+021*******n n a n n nn⋅⋅==-，故选：B.6．C【分析】根据两点的坐标，求其中点坐标以及斜率，根据对称轴与两对称点连接线段的关系，可得答案.【详解】由题意得()0,1M -，()2,3N ，则MN 的中点的坐标为()1,1，直线MN 的斜率31220MN k +==-.由圆M 与圆N 关于l 对称，得l 的斜率112l MN k k -==-.因为MN 的中点在l 上，所以()1112y x -=--，即230x y +-=.故选：C.7．D【分析】根据向量的线性运算即可求解.【详解】设()01CN CB λλ=≤≤，则1122MN ON OM OC CN OA OC CB OAλ=-=+-=+- ()()11122OC OB OC OA OA OB OCλλλ=+--=-++-，所以11,3,a λλ⎧-=⎪⎨⎪=⎩,解得23a λ==．故选：D8．C【分析】根据题意，构造圆O ：224x y +=，由条件可得圆O 与圆M 相切或相交，列出不等式，即可得到结果.【详解】如图，构造圆O ：224x y +=，当圆O 与圆M 有且仅有一个公共点P 时，π2APB ∠=，即圆O 与圆M 的关系可以为相切或相交，所以32320a a a ⎧-≤++⎪⎨≥⎪⎩，解得12522a ≤≤.故选：C9．AC【分析】将直线一般式方程化为斜截式，确定直线的斜率和截距，可判断A ，B ；根据直线的平行的条件可判断C ；根据两直线垂直的条件可判断D.【详解】由题意得1l 的斜截式方程为112y x =--，则1l 的斜率为12-，1l 在y 轴上的截距为-1，A 正确，B 错误；若12l l ∥，则2l 的斜率12a -=-，得12a =，C 正确；若12l l ⊥，则1()12a -⨯-=-，得2a =-，D 错误，故选：AC 10．BC【分析】根据向量共面定理逐项判断；【详解】因为()()2a b c a b a c++=+++ ，所以2a b c ++ ，a b + ，a c +共面，A 错误.假设存在m ，n ，使得()()a b c m a b n a c++=+++ ，则有：1,1,1,m n n m +===矛盾，m ，n 无解，所以a b c ++r r r ，a b + ，a c +不共面，B 正确.假设存在m ，n ，使得()()b m a b n b c=-++ ，则有：0,0,0m n b === ，与基底要求矛盾，无解，所以b，a b - ，b c +不共面，C 正确.因为()()1122a a b a b=-++，所以a ，a b - ，a b + 共面，D 错误.故选：BC.11．ACD【分析】根据空间直角坐标系，写出对应点坐标可判定A 、B 、C ，由空间向量的数量积公式求夹角可判定D .【详解】由题意可知：23,2AC BD ==，所以()()()()31130,3,0,0,3,0,1,0,0,0,0,10,,,,,02222A C B D E F ⎛⎫⎛⎫-⇒- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则310,22OE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，1322OF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，113,22EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，易知EOF ∠为钝角，所以3cos cos ,4OE OF EOF OE OF OE OF ⋅∠=-=-=-.综上A 、C 、D 三项正确，B 项错误.故选：ACD 12．ACD【分析】由()704y kx y kx ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭得y kx =或74y kx =-，分类根据直线与圆的位置关系，判断交点个数即可.【详解】由()704y kx y kx ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，得y kx =或74y kx =-，设1l：y kx =，2l ：74y kx =-，则1l 过定点()0,0，2l 过定点70,4⎛⎫-⎪⎝⎭，圆M ：()()22211x y -+-=的圆心坐标为()2,1，半径为1，当1l与圆M 22111k k -=+，得0k =或43，当2l与圆M 2112411k k -=+，得34k =或3512．当0k <或3512k >时，1l 与圆M 相离，2l 与圆M 相离，则曲线C 与圆M 没有公共点．当304k <<时，1l 与圆M 相交，2l 与圆M 相离，则曲线C 与圆M 有2个公共点．当34k =时，1l 与圆M 相交，2l 与圆M 相切，则曲线C 与圆M 有3个公共点．当3443k <<时，1l 与圆M 相交，2l 与圆M 相交，则曲线C 与圆M 有4个公共点．故选：ACD13．()2,2,2【分析】根据平面对称的特征求解；【详解】()2,2,2A -关于Oxz 平面的对称点的特征为x z ，坐标不变，y 取相反数，故所求坐标为()2,2,2.故答案为：()2,2,2.14．4【分析】根据题意，利用圆与圆的位置关系的判定方法，得出两圆相外离，进而得到公切线的条数.【详解】由圆22:(1)(2)1M x y -++=，可得圆心()1,2M -，半径为11r =，又由圆22:(2)(2)9N x y -+-=，可得圆心()2,2N ，半径为23r =，可得17MN =124r r +=，所以12MN r r >+，所以两圆M 与N 相外离，所以圆M 与圆N 的公切线的条数为4.故答案为：4.15．2或4-【分析】根据圆的标准方程，明确圆心和半径，结合正三角形的性质求得其高，利用点到直线的距离公式，建立方程，可得答案.【详解】由题意得()3,2M ，圆M 6，正MPQ 332622=，则点M 到l 的距离为322.3232211m-+=+，得2m =或4-.故答案为：2或4-.16．1319713197197【分析】建立合适的空间直角坐标系利用空间向量求二面角即可.【详解】过A 作AO DC ⊥，垂足为O ，过O 作OQ EF ⊥，垂足为Q ，因为平面ABCD ⊥平面CDEF ，平面ABCD ⋂平面CDEF CD =，所以AO ⊥平面CDEF ，故可以O 为原点，OQ ，OC ，OA 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意可知：()(()())0,0,0,0,3,0,3,0,0,1,0,3,2,0O B C D E--，))33533,4,0,,0,3,1,0,0,,2222FM NP ⎛⎫⎛⎫⇒- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则35,,022MN ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，3322MP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面MNP 的法向量为(),,n x y z = ，则35023340n MN x y n MP x y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩ ，取5x =，则3y =13z =，得()5,3,13n =-.易得平面CDEF 的一个法向量为()0,0,1m = ，二面角P MN C --的平面角为锐角，所以二面角P MN C --的平面角的余弦值为13197197m n m n ⋅=.故答案为：13197197.17．(1)10x y --=(2)2【分析】（1）根据,A B 的坐标，结合两点式方程，可得答案；（2）利用两点间距离公式以及点到直线距离公式，结合平行四边形的面积公式，可得答案.【详解】（1）由()2,1A ，()3,2B ，则直线AB 的方程为122132y x --=--，即10x y --=.（2）由题意得()()2232212AB =-+-=因为C 到直线AB 631211--=+，所以平行四边形ABCD 222=.18．(1)1111333AB AD AA ++510【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解；（2）根据向量数量积的运算性质及数量积的定义运算即可；（3）根据向量的线性运算及向量的数量积的定义及运算性质求解.【详解】（1）如图，()1111111133333AE AC AB AD AA AB AD AA ==++=++ .（2）()()222111211122299A A E D AA ++=+++⋅+⋅+=⋅ 22211113332332332339333⎛⎫=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭()1271859=+=,5AE ∴=（3）()()113A AB AD AA AB A C DE A +++⋅=⋅ ()2211123AB AD AB AD AA AB AA AD =++⋅+⋅+⋅22113343333⎛⎫=++⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭1303=⨯10=.19．(1)证明见解析；(2)51414；【分析】（1）首先证明11B C ⊥平面11ACC A ，然后根据向量证明//PQ 平面11ACC A ；（2）求解平面PRQ 的法向量，解得()2,3,1n =，然后根据1C Q n n ⋅ 求解1C 到平面PRQ 的距离.【详解】（1）∵111C B CC ⊥，1111C B C A ⊥，1111CC C A C = ，∴11B C ⊥平面11ACC A ，以1C 为原点，11C A ，11C B ，1C C 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.()10,0,0C ，()10,2,0B ，()0,1,2P ，()1,1,0Q ，()1,0,2PQ =-，∴平面11ACC A 的一个法向量为()110,2,0C B =，∵110PQ C B ⋅=，∴11PQ C B ⊥ ，//PQ 平面11ACC A .（2）由（1）得()2,0,1R ，()2,1,1PR =--，()11,1,0C Q =，设平面PQR 的法向量为(),,n x y z =，则20,20,n PQ x z n PR x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩取1z =，则3y =，2x =，得()2,3,1n =，∴1C 到平面PRQ 的距离为151414C Q n n⋅=.20．(1)证明见解析(2)211【分析】（1）将直线l 整理得()()340+-++=m x y x y ，分析求解即可；（2）可知点()4,1P -在圆M 内，结合圆的性质可知：当直线MP l ⊥时，l 被圆M 截得的最短弦长，进而可求弦长.【详解】（1）对于直线l ：()()1430m x m y m +++-=，即()()340+-++=m x y x y ，令3040x y x y +-=⎧⎨+=⎩，解得41x y =⎧⎨=-⎩，所以l 过定点()4,1P -.（2）由题意可知：圆M 的圆心()3,3M -，半径4r =，因为()()22431354=-+-+==<PM r，可知点()4,1P -在圆M 内，由圆的性质可知：当直线MP l ⊥时，l 被圆M 截得的最短弦长，此时l 被圆M 截得的弦长为222211-=r PM.21．(1)()2241x y -+=(2)2103-【分析】（1）相关点法求轨迹方程即可;（2）先求对称点,再应用数形结合得出距离和最小值.【详解】（1）设()00,Q x y，()11,A x y，则118,2,2xxyy+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得101028,2,x xy y=-⎧⎨=⎩因为A在圆O上，所以22114x y+=，则()()22002824x y-+=，化简得()220041x y-+=，故Q的轨迹方程为()2241 x y-+=.（2）如图，设圆()2241x y-+=的圆心为()4,0N，设O关于l对称的点为(),O m n'，则60,221,n mnm⎧+-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得6,6,mn=⎧⎨=⎩，即()6,6O'.易得MO MO'=，则当O'，M，N三点共线时，||MO MN MO MN NO''+=+=最小，最小值为()22646210NO'=-+=因为3MP MQ MO MN+=+-，所以MP MQ+的最小值为32103NO'-=.22．(1)证明见解析(2)13【分析】（1）通过证明AC⊥平面POD，得证平面POD⊥平面ACE；（2）以O为原点，建立空间直角坐标系，设PE PBλ=，利用向量法求线面角的正弦值，解出λ即可.【详解】（1）证明：连接OC.∵//AO CD，AO CD OC==，∴四边形AOCD为菱形，∴AC OD⊥.∵PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PO AC⊥.∵PO OD O=，,PO OD⊂平面POD，∴AC⊥平面POD.∵AC ⊂平面ACE ，∴平面POD ⊥平面ACE .（2）解：以O 为原点，CD 的中垂线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,2,0A -，()0,2,0B ，)3,1,0C，)3,1,0D-，(0,0,3P ，()3,3,0AC =，)3,1,0AD =，(0,2,23AP = ，(0,2,3PB =- ，设PE PB λ=，∵直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值为34，∴1λ≠，即[)0,1λ∈.()0,2,23PE λλ=-，()0,22,33AE AP PE λλ=+=+，设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z =，则()()330,22330,nAC x y n AE y z λλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++-=⎪⎩取1y =，得3x =133z λ=-ACE 的一个法向量为13,1,33n λ⎛=- ⎪-⎝⎭ .设直线AD 与平面ACE 所成的角为θ，则223sin cos ,412433AD n AD n AD nθλλ⋅-====+⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，化简得2164333λ+=-3333λ=±-，即13λ=或3λ=（舍去）.所以13PE PB =.。
2023—2024学年福建省部分达标中学高二上学期期中质量监测数学试卷
2023—2024学年福建省部分达标中学高二上学期期中质量监测数学试卷一、单选题1. 直线的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2. 已知椭圆的一个焦点为，则（）A．1B．2C．3D．43. 已知数列满足，，则（）A．B．C．D．4. 若数列满足，，则（）A．511B．1023C．1025D．20475. 圆与圆的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离6. 我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，3，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方．记阶幻方的每列的数字之和为，如图，三阶幻方的，那么（）492A．41B．369C．1476D．33217. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A．B．C．D．8. 符合表示不超过实数的最大整数，如，，已知正项数列的前项和为，且，则（）A．22B．19C．18D．16二、多选题9. 已知直线，直线，则下列命题正确的有（）B．若直线的方向向量为，则A．直线恒过点C．若，则D．若，则10. 已知直线被椭圆截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有（）A．B．C．D．11. 无穷数列，它的前项和为，则下列说法正确的是（）A．若是等差数列，且，，则单调递增B．若是等比数列，且，，则单调递增C．若是等差数列，且，则是常数列D．若是等比数列，且，则是常数列12. 在平面直角坐标系中，曲线：到定点，的距离之积等于的点的轨迹．若是曲线上一点，则下列说法中正确的有（）A．曲线关于原点成中心对称B．的取值范围是C．曲线上有且仅有一点满足D．曲线上所有的点都在圆的内部或圆上三、填空题13. 若数列是等比数列，，，则 ______ ．14. 在数列中，已知，则该数列前2023项的和 __________ .15. 点A是圆上的一个动点，点，当点A在圆上运动时，线段的中点P的轨迹方程为 _______ .16. 如图，在平面直角坐标系中，已知个圆，，，与轴和直线均相切，且任意相邻的两个圆外切，其中圆，，则数列的通项公式为 ______ ．四、解答题17. 已知三角形ABC的三个顶点是A(1，1)，B(-1，3)，C(3，4).（1）求边BC的高所在直线l1的方程；（2）若直线l2过点C，且A､B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程.18. 在等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．19. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，点D为的中点，的外接圆为圆M．(1)求圆M的方程；(2)求直线被圆M所截得的弦长．20. 已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，若对于任意的，都有恒成立，求满足条件的最小正整数的值．21. 设椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，短轴长为，过且垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的弦长为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，，若，试求内切圆的面积．22. （本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A,B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A,B两点的直线为x轴，线段AB的的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A,B 两点的距离之和不超过km区域．（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；（Ⅱ）如图6所示，设线段P 1P 2,P 2P 3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．。
2023-2024学年福建省泉州高二上册期中质量监测数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年福建省泉州高二上册期中质量监测数学模拟试题一、单选题1．直线310x +=的倾斜角是（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．135°【正确答案】C【分析】根据直线方程求出斜率即可得到倾斜角.【详解】由题：直线310x +=的斜率为k =所以倾斜角为120°.故选：C此题考查根据直线方程求倾斜角，需要熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系，熟记常见特殊角的三角函数值.2．若直线2x +（a +2）y +4＝0与直线（a ﹣1）x +2y +2＝0平行，则实数a 的值为（）A ．﹣3B ．2C ．2或﹣3D ．23-【正确答案】A【分析】本题先根据两条直线平行建立关于实数a 的方程并求解，再排除重合现象即可得到答案.【详解】解：∵直线2(2)40x a y +++=与直线(1)220a x y -++=平行，∴(2)(1)22a a +-=⨯，解得：2a =或3a =-，当2a =时，直线2440x y ++=与直线220x y ++=重合，∴2a =舍去；当3a =-时，直线240x y -+=与直线4220x y -++=平行，∴3a =-成立.故选：A.本题考查借两条直线平行求参数，是基础题.3．三棱柱111ABC A B C -中,N 是1A B 的中点,若CA a =，CB b = ，1CC c = ,则CN =A ．()12a b c+- B ．()12a b c++ C ．12a b c++ D ．()12a b c++ 【正确答案】B【详解】若AB 中点为D ，()()11111122222CN CD DN CA CB CC a b c =+=++=++ .故选B.4．若直线30mx ny ++=在y 轴上的截距为1-，且它的倾斜角是直线23x y -=的倾斜角的2倍，则（）A ．4,3m n =-=-B ．4,3m n ==C ．4,3m n ==-D ．4,3m n =-=【正确答案】D【分析】根据直线30mx ny ++=在y 轴上的截距可求得n ，设直线30mx ny ++=的倾斜角为θ，求出tan 2θ即直线30mx ny ++=的斜率，即可求出m .【详解】令0x =，则31y n=-=-，所以3n =，设直线230x y --=的倾斜角为θ，则直线30mx ny ++=的倾斜角为2θ，因为直线23x y -=的斜率为12，所以1tan 2θ=，故22tan 14tan 211tan 314θθθ===--，则直线30mx ny ++=的斜率4tan 233m m n θ=-=-=，所以4m =-.故选：D.5．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1AA ，1BB 的中点，则1A 与面MBD 的距离是（）．A ．66a B ．36a C ．34a D ．63a 【正确答案】A【分析】以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则可得到点1,,,A M B D 的坐标以及,BD BM的坐标，再求出平面BDM 的法向量，最后用点到面的距离公式可求得答案.【详解】如图，以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,),(0,0,),(,0,0),(0,,0),2aA a MB a D a 所以(,,0),(,0,),2a BD a a BM a =-=- 设平面BDM 的法向量(,,)n x y z = ，则00n BD n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即002ax ay aax z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩设1x =，则112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以1(1,1,2),(0,0,)2a n MA ==|2|6266a d ⨯=则点1A 到平面MBD 的距离为66a .故选:A6．直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，11AC 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与NA 所成的角的余弦值为（）A．10-B．6C．10D．2【正确答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出BM 与NA 所成的角的余弦值.【详解】依题意可知1,,CA CB CC 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，设11BC CA CC ===，则()()1111,0,0,,0,1,0,1,0,,,1222A N B M ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111,0,1,,,1222AN BM ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设直线BM 与NA 所成角为θ，则34cos 10AN BMAN BMθ⋅===⋅.故选：C7．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a R ∈，b ∈R且0ab ≠，则2211a b +的最小值为（）A ．72B ．4C ．1D ．5【正确答案】C由题意可知两圆外切，可得出2249a b +=，然后将代数式2211a b +与2249a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b+的最小值.【详解】圆222240x y ax a +++-=的标准方程为()224x a y ++=，圆心为()1,0C a -，半径为12r =，圆2224140x y by b +--+=的标准方程为()2221x y b +-=，圆心为()20,2C b ，半径为21r =.由于圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，则这两圆外切，所以，1212C C r r =+3=，所以，2249a b +=，所以，222222222211411141551999a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫+=+=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当222a b =时，等号成立，因此，2211a b +的最小值为1.故选：C.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.8．已知圆221:(2)(3)1C x y -+-=和圆222:(3)(4)9C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为（）A ．4-B 1-C ．6-D 【正确答案】A【分析】求出圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标A ，以及半径，然后求解圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出||||PM PN +的最小值.【详解】圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标()2,3A -，半径为1，圆2C 的圆心坐标为(3,4)，半径为3，∴若M '与M 关于x 轴对称，则PM PM '=，即||||||||PM PN PM PN '+=+，由图易知，当,,P N M '三点共线时||||PM PN '+取得最小值，∴||||PM PN +的最小值为圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，∴2||3144AC --=-=-.故选：A.二、多选题9．已知直线l 1：3x ﹣y ﹣1＝0，l 2：x ＋2y ﹣5＝0，l 3：x ﹣ay ﹣3＝0不能围成三角形，则实数a 的取值可能为（）A ．1B ．13C ．﹣2D ．﹣1【正确答案】BCD【分析】根据三条直线中有两条直线的斜率相等时，或者三条直线交于一点时，不能构成三角形进行求解即可.【详解】因为直线l 1的斜率为3，直线l 2的斜率为12-，所以直线12,l l 一定相交，交点坐标是方程组3125x y x y -=⎧⎨+=⎩的解，解得交点坐标为.(1,2)当0a =时，直线3l 与横轴垂直，方程为：3x =不经过点(1,2)，所以三条直线能构成三角形；当0a ≠时，直线3l 的斜率为.1a当直线l 1与直线l 3的斜率相等时，即1133a a =⇒=，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；当直线l 2与直线l 3的斜率相等时，即1122a a =-⇒=-，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；当直线l 3过直线12,l l 交点(1,2)时，三条直线不能构成三角形，即有12301a a --=⇒=-，故选：BCD本题考查了三条直线不构成三角形求参数取值范围问题，考查了直线平行与相交的判断，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.10．已知椭圆2212:1,,259x y C F F +=分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A ．离心率45e =B ．12F PF △的周长为15C ．若1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为9D ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925-【正确答案】ACD【分析】求出椭圆的离心率可以判断A ；根据椭圆的定义可判断B ；根据椭圆的定义和勾股定理可以求出三角形的面积，进而判断C ；设出点P 的坐标，得到斜率，进而结合点P 的坐标满足椭圆方程求出答案，进而判断D.【详解】由221259x y +=，可知5,3,4a b c ===，对于A ：45ce a ==，故A 正确；对于B ：记12||,||PF m PF n ==，则10m n +=，12F PF △的周长为1212|||210818PF PF F F m n c ++=++=+=，故B 错误；对于C ：12||,||PF m PF n ==，()()2222210118642m n mn m n m n m n +=⎧⎡⎤⇒=+-+=⎨⎣⎦+=⎩，所以12192F PF Smn ==，故C 正确；对于D ：设()()()(),5,5,0,5,0P x y x A B ≠±-，则221259x y +=，,55PA PB y y k k x x ==+-，于是22229125955252525PA PBx y y y k k x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---，故D 正确.故选：ACD.11．已知直线l 的方向向量()101n =-，，，()3A =-2,1,为直线l 上一点，若点P (-1，0，-2)为直线外一点，则P 到直线l 上任意一点Q 的距离可能为（）A ．2BCD ．1【正确答案】AB首先求得(3,1,1)AP =-- ，再求得n AP ⋅ 的值，设出n 与AP的夹角为,[0,]θθπ∈，利用向量数量积求得cos θ的值，进而求得sin θ的值，利用sin d AP θ=求得点P 到直线l 的距离d ，利用P 到直线l 上任意一点Q 的距离要大于等于d ，从而求得结果.【详解】由题设条件可知，(3,1,1)AP =--，所以1(3)0(1)(1)14n AP ⋅=⨯-+⨯-+-⨯=-，设n 与AP的夹角为,[0,]θθπ∈，则cos n APn APθ⋅==-⋅所以sin θ==所以点P 到直线l的距离为sin d AP θ= P 到直线l 上任意一点Q故选：AB.该题考查的是有关空间距离问题，涉及到的知识点有利用向量解决点到直线的距离问题，属于简单题目.12．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==．下列说法正确的是（）A ．四棱锥11B A ACC -为“阳马”B ．四面体11AC CB 为“鳖臑”C ．四棱锥11B A ACC -体积最大为23D ．过A 点分别作1AE A B ⊥于点E ，1AF AC ⊥于点F ，则1EF A B ⊥【正确答案】ABD【分析】根据“阳马”和“鳖臑”的定义，可判断A ，B 的正误；当且仅当AC BC =时，四棱锥11B A ACC -体积有最大值，求值可判断C 的正误；根据题意可证1A B ⊥平面AEF ，进而判断D 的正误.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，侧棱1AA ⊥平面ABC ，A 选项，∴1AA BC ⊥，又AC BC ⊥，且1AA AC A = ，则BC ⊥平面11A ACC ，∴四棱锥11B A ACC -为“阳马”，对；B 选项，由AC BC ⊥，即11AC BC ⊥，又111AC C C ⊥且1BC C C C ⋂=，∴11A C ⊥平面11BB C C ，∴111A C BC ⊥，则11A BC 为直角三角形，又由BC ⊥平面11AAC C ，得1A BC 为直角三角形，由“堑堵”的定义可得11A C C 为直角三角形，1CC B 为直角三角形．∴四面体11AC CB 为“鳖臑”，对；C 选项，在底面有2242AC BC AC BC =+≥⋅，即2AC BC ⋅≤，当且仅当AC BC ==1111111243333B A ACC A ACC V S BC AA AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤，错；D 选项，因为BC ⊥平面11AAC C ，则BC AF ⊥，1AF AC ⊥且1AC BC C = ，则AF ⊥平面1A BC ，∴1AF A B ⊥，又1AE A B ⊥且AF AE A ⋂=，则1A B ⊥平面AEF ，所以则1A B EF ⊥，对；故选：ABD ．三、填空题13．与x 轴相切，且圆心坐标为()1,2--的圆的标准方程为_______________【正确答案】()()22124x y +++=【分析】根据圆的圆心坐标结合与y 轴相切可得到该圆的半径可得答案.【详解】∵圆心坐标为()1,2--，又与y 轴相切，∴圆的半径为2，∴圆的标准方程为()()22124x y +++=.故答案为.()()22124x y +++=14．设点P 在直线x ＋3y ＝0上，且P 到原点的距离与P 到直线x ＋3y ＝2的距离相等，则点P 的坐标为__________．【正确答案】31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】∵点P 在直线30x y +=上∴设点P 的坐标为(3,)a a -∵点P 到原点的距离与点P 到直线的32x y +=的距离相等=∴15a =±∴点P 坐标为31(,)55-或31(,55-故31(,)55-或31(,)55-四、双空题15．已知两点(3,0)A ，(0,4)B ，动点(,)P x y 在线段AB 上运动，则12y x +-的范围是_____，22(1)x y ++的范围是_____.【正确答案】5,[1,)2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎝⎦256,1725⎡⎤⎢⎥⎣⎦根据,A B 坐标画出线段AB ，可知12y x +-的几何意义为(),x y 与()2,1C -连线斜率，22(1)x y ++的几何意义为(),x y 与()1,0D -距离的平方，即可由斜率公式及距离公式求解.【详解】根据题意画出线段AB 如下图所示：直线AB 的方程为43120x y +-=，12y x +-的几何意义为(),x y 与()2,1C -连线斜率，51,2AC BC k k ==-，所以15,[1,)22y x +⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥-⎝⎦；22(1)x y ++的几何意义为(),x y 与()1,0D -距离的平方，由点到距离公式可知165DF ==，4,DA DB =所以22256(1),1725x y ⎡∈⎤++⎢⎥⎣⎦，故5,[1,)2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦；256,1725⎡⎤⎢⎥⎣⎦.本题考查了斜率公式及距离公式几何意义的简单应用，注意本题求的是距离平方形式，属于中档题.五、填空题16．在三棱锥-P ABC 中，PA AB ⊥，PA ＝4，AB ＝3，二面角P AB C --的大小为30 ，在侧面△PAB 内（含边界）有一动点M ，满足M 到PA 的距离与M 到平面ABC 的距离相等，则M 的轨迹的长度为_________．【分析】过M 作MN PA ⊥于N ，MO ⊥平面ABC 于O ，过O 作OQ AB ⊥于Q ，连接MQ ，则MQO ∠为二面角P AB C --的平面角，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，求出直线AM 、直线PB 的方程可得直线AM 与PB 的交点坐标可得答案.【详解】如图，过M 作MN PA ⊥于N ，MO ⊥平面ABC 于O ，过O 作OQ AB ⊥于Q ，连接MQ ，则MQO ∠为二面角P AB C --的平面角，由30∠= MQO ，得MQ ＝2MO ．又MO ＝MN ，所以MQ ＝2MN ，在△PAB 中，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则直线AM 的方程为y ＝2x ，直线PB 的方程为43120x y +-=，所以直线AM 与PB 的交点坐标为612,55R ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以M 的轨迹为线段AR 5=．六、解答题17．在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．①与直线4350x y -+=垂直；②直线的一个方向向量为(4,3)a =- ；③与直线3420x y ++=平行．已知直线l 过点(1,2)P -，_________________．(1)求直线l 的一般方程；(2)若直线l 与圆225x y +=相交于P ，Q ，求弦长PQ ．【正确答案】(1)3450x y ++=(2)4【分析】（1）根据直线与直线的平行或垂直关系于斜率的关系求解；（2）利用直线被圆截得的弦长公式求解.【详解】（1）选①：因为直线4350x y -+=的斜率为143k =，因为直线4350x y -+=与直线l 垂直，所以直线l 的斜率为34k =-，依题意，直线l 的方程为32(1),4y x +=--即3450x y ++=.选②：因为直线的一个方向向量为(4,3),a =- 所以直线l 的向量为34k =-，依题意，直线l 的方程为32(1),4y x +=--即3450x y ++=.选③：因为3420x y ++=的斜率为34k =-，又因为直线l 与3420x y ++=平行，所以直线l 的斜率为34k =-，依题意，直线l 的方程为32(1),4y x +=--即3450x y ++=.（2）圆225x y +=的圆心(0,0)O 到直线3450x y ++=的距离为1d ==,所以4PQ ==.18．已知：ABC 中，顶点()A 2,2，边AB 上的中线CD 所在直线的方程是x y 0+=，边AC 上的高BE 所在直线的方程是x 3y 40++=．()1求点B 、C 的坐标；()2求ABC 的外接圆的方程．【正确答案】（1）(4,0)(1,1)B C --，（2）或229117044x y x y ++--=【详解】（1）由题意可设1122(,),(,)B x y C x y ,则的中点.因为的中点必在直线CD 上,代入有①又因为B 在直线BE 上，所以代入有11340x y ++=②由①②联立解得(4,0)B -.则,因为C 在直线CD 上，代入有③又因为直线,所以有,则有④根据③④有(1,1)C -.（2）因为三角形外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点，所以找到三角形两边的垂直平分线求得的交点就是外接圆的圆心，该点到各顶点的距离就是半径.根据两点,可得斜率为,所以中垂线斜率为,中点为,则中垂线为⑤同理可得直线的中垂线为⑥,由⑤⑥可得圆心，半径为，所以外接圆为法二：（2）设ABC 外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，其中2240D E F +->．因为三角形的三个顶点都在圆上，所以根据（1），将三点坐标代入有：()22222220440110D E F D F D E F ++++=--+⎧⎪⎪⎨=++-+=⎪⎪⎩解得941147D E F ==-=⎧⎪⎪⎪⎨-⎪⎪⎪⎩∴ABC 外接圆的方程为229117044x y x y ++--=．19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD的中点．(1)求证：1BD ∥平面EAC ；(2)求直线1AB 与平面EAC 所成角的正弦值．【正确答案】(1)证明见解析【分析】小问1：连接BD ，交AC 于O ，连接OE ，推导出1//OE BD ，由此能证明1//BD 平面EAC .小问2：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线1AB 与平面EAC 所成角的大小．【详解】（1）证明：连接BD ，交AC 于O ，连接OE ，∵在正方体1111ABCD A B C D -中，ABCD 是正方形，∴O 是BD 中点，∵E 为棱1DD 的中点，∴1//OE BD ，∵1BD ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，∴1//BD 平面EAC .（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则()2,0,0A ，()12,2,2B ，()0,2,0C ，()0,0,1E ，()10,2,2AB = ，()2,0,1AE =- ，()2,2,0AC =- ，设平面EAC 的法向量(),,n x y z =，则20220n AE x z n AC x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩ ，取1x =，得()1,1,2n = ，设直线1AB 与平面EAC 所成角的大小为θ，则11sin AB n AB nθ⋅===⋅ ，∴直线1AB 与平面EAC所成角的正弦值为2．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆E 上.（1）若122F F =P 的坐标为3,2，求椭圆E 的方程；（2）若点P 横坐标为2a ，点M 为1PF 中点，且2OP F M ⊥，求椭圆E 的离心率.【正确答案】（1）22164x y +=（2）2113e =-【分析】（1）由题意2c =P 点坐标代入方程，可求解出a ，可得椭圆方程；（2）将P 点横坐标代入椭圆方程可得P 的坐标，可得1PF 的中点M 的坐标，再由20OP F M ⋅= ，可得a ，c 的关系式，从而求解离心率．【详解】解：（1）设椭圆E 焦距为2c ，则12222c F F ==，所以2222c a b =-=.①又点P 3,2在椭圆E ：22221x y a b +=上，所以22321a b +=.②联立①②解得2264a b ⎧=⎨=⎩或2211a b ⎧=⎨=-⎩（舍去）.所以椭圆E 的方程为22164x y +=；（2）设椭圆E 焦距为2c ，则()1,0F c -，()2,0F c ，2a x =代入22221x y a b +=得2234b y =，不妨设点P 在x 轴上方，故点P 坐标为322a b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又点M 为1PF 中点，故点M 坐标为23,44a c b ⎛⎫- ⎝⎭，所以26344a c b F M ⎛-= ⎝⎭ ，322a b OP ⎛= ⎝⎭，由2OP F M ⊥得20OP F M ⋅= ，即604242a c a -⋅+=，化简得22630a acb -+=，将222b ac =-代入得223640c ac a +-=，即23640c c a a ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，所以23640e e +⋅-=，解得13e =-±，因为()0,1e ∈，所以椭圆E 的离心率为13e =-.本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆离心率的求法，属于中档题．21．如图1，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，BD DC ⊥，点E 是BC 边的中点，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE 得到如图2所示的几何体.（1）求证：AB ⊥平面ADC ；（2）若1AD =，二面角C AB D --，求二面角B AD E --的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析；（2）12（1）先由已知条件得到DC ⊥平面ABD ，所以有DC AB ⊥，又因为AD AB ⊥即可证明AB ⊥平面ADC ；（2）由（1）可知二面角C AB D --的平面角为CAD ∠，且DC AD ⊥，所以有CD AD =，从而求出CD ，因为ABD DCB ，所以由AB CD AD BD=可以解出AB 的值，然后建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出面ABD 和面ADE 的法向量，则两平面法向量的余弦值的绝对值即为二面角的余弦值.【详解】（1）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，又BD DC ⊥，所以DC ⊥平面ABD ，因为AB ⊂平面ABD ，所以DC AB ⊥，又因为折叠前后均有AD AB ⊥，DC AD D ⋂=，所以AB ⊥平面ADC ；（2）由（1）可知AB ⊥平面ADC ，所以二面角C AB D --的平面角为CAD ∠，又DC ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以DC AD ⊥，依题意tan CAD ∠因为1AD =，所以CD =AB x =()0x >，则BD =由题意知ABD DCB ，所以AB CD AD BD =，即1x =解得x =AB，BD =，3BC ==，如图所示，建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D，)B，()C ，36,022E ⎫⎪⎪⎝⎭，A ⎝⎭，所以36,022DE ⎫=⎪⎪⎝⎭，DA =⎝⎭ ，由（1）知平面ABD 的法向量()0,1,0n = ，设平面ADE 的法向量(),,m x y z = ，由00m DE m DA ⎧⋅=⎨⋅=⎩得0220x y +=⎪⎪=，令x =，得y =，z =所以m = ，所以1cos ,2n m n m n m ⋅==- ，由图知二面角B AD E --的平面角为锐角，所以二面角B AD E --的余弦值为12.本题主要考查了证明线面垂直，考查了利用空间向量求二面角的平面角，属于中档题.22．某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米．在建筑物底面中心O的东北方向A 处，有一360︒全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度．(1)在西辅道上距离建筑物1米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度．【正确答案】(1)不在(2)17.5米【分析】（1）以O 为原点，正东方向为x 轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线AB 方程，判断直线AB 与圆O 的位置关系即可；（2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点A 的直线l 与圆O 相切时的直线方程即可.【详解】（1）以O 为原点，正东方向为x 轴正方向建立如图所示的直角坐标系则(0,0),(20,20)O A ，观景直道所在直线的方程为10y =-依题意得：游客所在点为(5,0)B -则直线AB 的方程为520205y x +=+，化简得45200x y -+=，所以圆心O 到直线AB 的距离4d =<，故直线AB 与圆O 相交，所以游客不在该摄像头监控范围内.（2）由图易知：过点A 的直线l 与圆O 相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，所以设直线l 过A 且恰与圆O 相切，①若直线l 垂直于x 轴，则l 不可能与圆O 相切；②若直线l 不垂直于x 轴，设:20(20)l y k x -=-，整理得20200kx y k --+=所以圆心O 到直线l 的距离为4d ==，解得34k =或43k =，所以直线l 的方程为320(20)4y x -=-或420(20)3y x -=-，即34200x y -+=或43200x y --=，设这两条直线与10y =-交于D ，E由1034200y x y =-⎧⎨-+=⎩，解得20x =-，由1043200y x y =-⎧⎨--=⎩，解得 2.5x =-，所以17.5DE =，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为17.5米.。
2023-2024学年泉州七中高二数学上学期期中考试卷附答案解析
2023-2024学年泉州七中高二数学上学期期中考试卷（试卷满分150分．考试用时120分钟）2023.11第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线20x y --=的倾斜角是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°2．已知向量()3,1,2a =- ，()1,3,2b =--r ，()6,2,c λ=r ，若a ，b ，c三向量共面，则实数λ=（）A ．32B ．2C ．52D ．33．圆C ：()()22341x y ++-=关于直线y x =对称的圆的方程为（）．A ．()()22431x y -++=B ．()()224349x y -+-=C ．()()22431x y ++-=D ．()()224349x y +++=4．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2a =3b =，45A =︒，则角B 的大小为A ．60︒B ．120︒C ．60︒或120︒D ．15︒或75︒5．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA1D1D 内一点，若EF ∥平面BB1D1D ，则EF 长度的范围为A ．[2,3]B ．[2,5]C ．[2,6]D ．[2,7]6．设点(),P x y 是曲线()241y x =---上的任意一点，则24y x --的取值范围是（）A ．1205⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．21255⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[]0,2D ．2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．过直线4x y +=上一动点M ，向圆22:4O x y +=引两条切线，A 、B 为切点，则圆22:(3)(3)1C x y ++-=的动点P 到直线AB 距离的最大值为（）A ．251+B ．6C ．8D ．2618．椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F ，2F ，斜率为1的直线l 过左焦点1F ，交C于A ，B 两点，且2ABF △的内切圆的面积是π，若椭圆C 的离心率的取值范围为2242⎡⎢⎣⎦，则线段AB 的长度的取值范围是（）A ．2242⎢⎣⎦B ．[]1,2C ．[]4,8D ．42,82⎡⎣二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．直线y ＝ax ＋1a 可能是（）A．B ．C ．D．10．已知直线()():110l a x y a +++=∈R 与圆22:1C x y +=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 必过定点B ．l 与C 可能相离C ．l 与C 可能相切D ．当1a =时，l 被C 截得的弦长为2511．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30︒21米，则该正四棱锥的（）A ．底面边长为6米B ．侧棱与底面所成角的正弦值为77C ．侧面积为243D ．体积为312．已知椭圆22:1259x y C +=，1F ，2F 分别为它的左右焦点，,A B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上异于,A B 的一个动点，下列结论中正确的有（）A ．存在P 使得12π2F PF ∠=B ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925-C ．119PF <<D ．若12PF F α∠=，21PF F β∠=，则1tantan 229αβ=第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．某圆柱的侧面展开图是面积为24π的正方形，则该圆柱底面的半径为．14．点P 在椭圆上，且在第一象限，过右焦点2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，若3OA b=，则该椭圆的离心率为．15．已知圆22:4O x y +=与圆22:330C x y x +--=相交于A ，B 两点，则sin AOB ∠=.16．已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||23MA NB MN ==l 的方程为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知圆22:1O x y +=和点()1,4M --.(1)过点M 向圆O 引切线，求切线的方程；(2)求以点M 为圆心，且被直线212y x =-截得的弦长为8的圆M 的方程；18．在平面直角坐标系xOy ，已知△ABC 的三个顶点()()(),,2,1,2,3A m n B C -．(1)求BC 边所在直线的一般式方程；(2)BC 边上中线AD 的方程为x －2y ＋t ＝0（t ∈R ），且△ABC 的面积为4，求点A 的坐标．19．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin 1sin sin sin a Ba Ab Bc C =+-．(1)求角C 的大小；(2)若3c =2b a +的最大值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为12(3,0),(3,0)F F 且经过点(3,2)P .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，求AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）21．如图，在三棱锥-P ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，16AC =，10PA PC ==，O 为AC 中点，H 为PBC 内的动点（含边界）.（1）求点O 到平面PBC 的距离；（2）若//OH 平面PAB ，求直线PH 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围.22．P 为圆()22:236A x y ++=上一动点，点B 的坐标为()2,0，线段PB 的垂直平分线交直线AP 于点Q ．(1)求点Q 的轨迹方程C ；(2)在（1）中曲线C 与x 轴的两个交点分别为1A 和2A ，M 、N 为曲线C 上异于1A 、2A 的两点，直线MN不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点M 关于原点O 的对称点为S ，若直线1A S与直线2A N相交于点T ，直线OT 与直线MN 相交于点R ，证明：在曲线C 上存在定点E ，使得RBE 的面积为定值，并求该定值．1．B【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角．【详解】直线20x y --=的斜率为1，倾斜角为45°，故选：B ．2．B【分析】根据共面向量定理列等式，解方程即可.【详解】∵a ，b ，c 三向量共面，∴存在实数m ，n ，使得c ma nb =+，即()()()6,2,3,,2,3,2m m m n n n λ=-+--，∴363222m n n m m n λ-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得52m =，32n =，2λ=．故选：B.3．A【分析】根据两圆心的中点在直线y x =上，过两圆心的直线与已知直线垂直列方程组可得所求圆心坐标，然后可得.【详解】解：()()22341x y ++-=表示以()3,4-为圆心，以1为半径的圆．设()3,4-关于直线y x =对称的点为(),a b ，则有34022413a b b a -+⎧-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得：4a =，3b =-，所以C ：()()22341x y ++-=关于直线y x =对称的圆的方程为()()22431x y -++=．故选：A ．4．C【详解】由正弦定理可得23sin 32,sin sin sin 2a b b AB A B a =∴===，0,60B B π<<∴= 或120B =故选C5．C【分析】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，根据线面垂直关系和勾股定理可知222EF AE AF =+；由,//EF FG 平面11BDD B 可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得G 为AD 中点，从而得到AF 最小值为,F G 重合，最大值为,F H 重合，计算可得结果.【详解】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，则FG ⊥底面ABCD2222222221EF EG FG AE AG FG AE AF AF ∴=+=++=+=+//EF 平面11BDD B ，//FG 平面11BDD B ，EF FG F⋂=∴平面//EFG 平面11BDD B ，又GE Ì平面EFG//GE ∴平面11BDD B 又平面ABCD ⋂平面11BDD B BD=，GE Ì平面ABCD//GE BD∴E 为AB 中点G ∴为AD 中点，则H 为11A D 中点即F 在线段GH 上min 1AF AG ∴==，max 145AF AH ==+=min 112EF ∴=+=，max 156EF =+=则线段EF 长度的取值范围为：2,6本题正确选项：C【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.6．B【分析】点(),P x y 是曲线()241y x =---上的任意一点，故点P 满足方程()2214(0)x y y -+=≤，24y x --可表示点(),P x y 与点()4,2Q 连线斜率，由几何意义易得结论.【详解】曲线()241y x =--()1,0为圆心，2为半径的下半圆，如图所示：24y x --可表示点(),P x y 与点()4,2Q 连线斜率k当直线PQ 与圆相切时：设直线方程为()24y k x -=-，即420kx y k --+=圆心到直线距离24221k k d k-+=+，解得125k =或0k =，又0y ≤，所以125k =，当直线经过点()1,0A -时，2245y x -=-，综上21255k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：B.7．A【分析】根据题意设点()P a b ，在直线4x y +=上，可得点A 、B 在以OP 为直径的圆上，求出该圆的方程，联立圆O 的方程得出直线AB 的方程，进而可得直线AB 恒过定点(11)N ，，将问题转化为求点C 、N 之间的距离，结合圆C 的方程和两点坐标求距离公式计算即可得出结果.【详解】由题意知，设点()P a b ，在直线4x y +=上，则4a b +=，过点P 作圆的两条切线，切点分别为A 、B ，则PA OA PB OB ⊥⊥，，所以点A 、B 在以OP 为直径的圆上，且该圆的方程为：22221()()()224a b x y a b -+-=+，又圆O 的方程为224x y +=，这两个圆的方程相减，得公共弦AB 的方程为4ax by +=，即40ax by +-=，因为4a b +=，所以4b a =-，所以()440a x y y -+-=，当x y =且440y -=即1x y ==时该方程恒成立，所以直线AB 恒过定点(11)N ，，所以点M 到直线AB 距离的最大值即为点C 、N 之间的距离加上圆C 的半径，又(33)C -，，1C r =，所以25CN =，即点M 到直线AB 距离的最大值为251+.故选：A8．C【分析】由题可求得2121222ABF AF F BF F c S S S AB =+=，2222ABF EAB EBF EAF S S S S a =++= ，即可得出2aAB c =，再根据离心率范围即可求出【详解】解：设2ABF △的内切圆的圆心为E ，半径为r ，则2r ππ=，解得1r =，21212112121121211sin sin 22ABF AF F BF F S S S AF F F AF F BF F F BF F =+=⋅⋅⋅∠+⋅⋅⋅∠111122sin 452sin135222c AF c BF c AB =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= ，又22222111222ABF EAB EBF EAF S S S S AB r BF r AF r =++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ()22114222AB BF AF a a =++=⨯=,222c a =，22aAB c ∴=，2242c e a ⎡=∈⎢⎣⎦ ，，2,22a c ∴∈，则[]224,8a c ∈，即线段AB 的长度的取值范围是[]4,8，故选：C9．AB【分析】分类讨论0a >和a<0时，直线的位置．【详解】因为a≠0，所以C 错；当a ＞0时，1a ＞0，不过第四象限，故A 对；当a ＜0时，1a ＜0，不过第一象限，故D 错，B 对．故选：AB 10．AC【分析】将直线方程化为10ax x y +++=，由010x x y =⎧⎨++=⎩,得01x y =⎧⎨=-⎩，从而判断A ；由直线l 过定点(0,1)-，而点(0,1)-在圆22:1C x y +=上，判断B,C ；根据直线与圆相交时的弦长公式计算出弦长从而判断D.【详解】解：对于A ，由()110a x y +++=可得10ax x y +++=，由010x x y =⎧⎨++=⎩,得01x y =⎧⎨=-⎩，所以直线l 过定点(0,1)-，故A 正确；对于B ，因为直线l 过定点(0,1)-，而点(0,1)-在圆22:1C x y +=上，所以直线l 与C 不可能相离，故B错误；对于C ，因为直线l 过定点(0,1)-，而点(0,1)-在圆22:1C x y +=上，所以直线l 与C 可能相切，故C 正确；对于D ，当1a =时，直线l 的方程为：210x y ++=，设圆心C 到直线l 的距离为d ，则555d ==，所以l 被C 截得的弦长为：221245221255R d -=-==，故D 错误.故选：AC.11．ABCD【分析】设O 为正方形ABCD 的中心，H 为AB 的中点，设底面边长为2a ，利用线面角的定义得出30SHO ∠=︒，根据已知条件得到各边的长，进而求出正四棱锥的侧面积，侧棱与底面的夹角，体积即可判断各选项.【详解】如图，在正四棱锥P ABCD -中，设底面边长为2a ．设O 为正方形ABCD 的中心，H 为CD 的中点，则PH CD ⊥，OH CD ⊥，∴PHO ∠为二面角P CD O --的平面角，又正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30︒，因为30PHO ∠=︒，∴323,,33OH DH a OP a PH a ====．在PCH △中，2223213a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3a =，即底面边长为6米，故A 正确，∴3PO =23PH =21PC =又侧棱PC 与底面所成的角为PCO ∠，37sin 721POPCO PC∠==,故B 正确，正四棱锥的侧面积1623432S =⨯⨯=C 正确，正四棱锥的体积136333V =⨯=D 正确，故选：ABCD.12．ACD【分析】当点P 在上下顶点时，12F PF ∠最大，结合余弦定理即可判断A 选项；根据题意，计算直线PA 与直线PB 斜率乘积即可判断B 选项；根据椭圆上任意一点到一个焦点的最小距离a c -，最大距离a c +，即可判断C 选项；利用正弦定理和三角恒等变换，把,αβ用,22αβ表示，进而得到1tan tan 221e e αβ-=+，即可判断D 选项.【详解】椭圆22:1259x y C +=，设12,F F 分别为它的左右焦点，,A B 分别为它的左右顶点，,D E 分别为它的上下顶点，如图:所以222225,9,4a b c a b ===-=，()5,0A -，()5,0B ，()()124,0,4,0F F -.对于A ：当点P 在上下顶点时，12F PF ∠最大，因为222125587cos 25525F DF +-∠==-⨯⨯，所以12F DF ∠为钝角，因此存在P 使得12π2F PF ∠=，故A 正确；对于B ：设(),(5)P x y x ≠±，在221259x y +=上，于是有229(1)(5)25x y x =-≠±，所以22222299(1)(25)92525(5)5525252525PA PB x x y y y k k x x x x x x ---⋅=====-≠±+----，则直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925-，故B 错误；对于C ：由点P 是椭圆上异于,A B 的一个动点得，所以点P 到做焦点1F 的最小距离大于1a c -=，最大距离小于9a c +=，可得119PF <<，故C 正确；对于D ：设离心率为e ，则45c e a ==，由正弦定理可得21122sin sin sin[π()]sin()PF PF F F cαβαβαβ===-++，即122sin 2sin ,sin()sin()c c PF PF βααβαβ==++，又122PF PF a +=，而2sin 2sin 2sin()sin()c c a βααβαβ+=++，即sin sin 1sin()a c e αβαβ+==+，因为sin sin sin()sin()2sin()cos()222222αβαβαβαβαβαβαβ+-+-+-+=++-=，sin()sin(22sin()cos(222αβαβαβαβ++++=⨯=，所以2sin()cos()sin sin 122sin()2sin()cos()22e αβαβαβαβαβαβ+-+==+++，即cos()12cos()2e αβαβ-=+，化简得coscossinsin1tantan1222222cos cos sin sin 1tan tan222222e αβαβαβαβαβαβ++==--，即1tan tan 221e e αβ-=+，所以4115tan tan 422915αβ-==+，故D 正确.故选：ACD.13．1【分析】根据圆柱的侧面展开图可知底面圆的周长等于正方形的边长，即可求出底面圆的半径.【详解】因为圆柱的侧面展开图是面积为24π的正方形，所以正方形的变长为2π，设底面圆的半径为r ，则底面圆的周长2π2πr =，得1r =.故答案为:1.14．63163【分析】延长2F A，交1PF 于点Q ，根据PA 是12F PF ∠的外角平分线，得到2||=AQ AF ，2||PQ PF =，再利用椭圆的定义求解.【详解】延长2F A，交1PF 于点Q ，∵PA 是12F PF ∠的外角平分线，2||AQ AF ∴=，2||PQ PF =，又O 是12F F 的中点，1QF AO∴∥，且12||23QF OA b==.又1112||2QF PF PQ PF PF a=+=+=，223a b ∴=，222233()a b a c ∴==-，则62a c =，∴离心率为63c a =.故答案为：6315．158【分析】由题知直线AB 的方程为310x y --=，进而根据几何法得弦15AB =，再在AOB 中，利用余弦定理并结合同角三角函数关系求解即可.【详解】解：因为圆22:4O x y +=与圆22:330C x y x y +-+-=相交于A ，B 两点，所以直线AB 的方程为：()()22223340xy x y x y -+-+--+=，即310x y --=，所以圆心()0,0O 到弦AB 的距离为12d =，所以弦222215AB d =-=，所以在AOB 中，2OA OB ==，由余弦定理得44157cos 2228AOB +-∠==-⨯⨯，所以sin AOB ∠=249151cos 1648AOB -∠=-=故答案为：15816．220x +-=【分析】令AB 的中点为E ，设()11,A x y ，()22,B x y，利用点差法得到12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，求出M 、N 的坐标，再根据MN 求出k 、m ，即可得解；【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法令AB 的中点为E ，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，求出M 、N 的坐标，再根据MN求出k 、m ，即可得解；解：令AB 的中点为E ，因为MA NB=，所以ME NE=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211163x y +=，2222631x y +=，所以2222121206633x x y y -+-=，即()()()()12121212063x x x x y y y y -++-+=所以()()()()1212121212y y y y x x x x +-=--+，即12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，令0x =得y m =，令0y =得m x k =-，即,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,N m ，所以,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1222mk m k ⨯=--，解得2k =或22k =（舍去），又23MN =，即()2223MN m m=+=2m =或2m =-（舍去），所以直线2:22AB y x =-+，即220x +-=；故答案为：2220x -=[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法解：由题意知，点E 既为线段AB 的中点又是线段MN 的中点，设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，则,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,N m ，,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为23MN =，所以3OE 联立直线AB 与椭圆方程得22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消掉y 得222(12)4260k x mkx m +++-=其中2221224=4-4(12)260,12mkmk k m x x k ∆+-+=-+（）（）>，∴AB 中点E 的横坐标2212E mk x k =-+,又,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴22=122E mk x k m k=-+-∵0k <，0m >，∴2k ,又22+322O m m k E -=（）（），解得m=2所以直线2:22AB y x =-+，即220x +-=17．(1)=1x -或158170x y --=(2)()()221436x y +++=【分析】(1)分斜率不存在和斜率存在两种情况求解；（2）根据垂径定理和弦长公式求解即可.【详解】（1）（1）当切线的斜率不存在，直线方程为=1x -，为圆O 的切线；当切线的斜率存在时，设直线方程为()41y k x +=+，即40kx y k -+-=，∴圆心O 2411k k -=+，解得158k =，∴直线方程为158170x y --=综上切线的方程为=1x -或158170x y --=.（2）点()1,4M --到直线2120x y --=的距离为241255d -+-==∵圆被直线212y x =-截得的弦长为8，∴()222546r =+=，∴圆M 的方程为()()221436x y +++=.18．(1)240x y +-=;(2)()2,1-或()2,3.【分析】（1）利用两点的斜率公式求出直线BC 的斜率，即可求直线BC 的点斜式方程，转化为一般式方程即可；（2）根据,B C 的坐标可求()0,2D 及BC，从而可求t ，把点A 代入AD 的方程可得240m n -+=①.利用点到直线的距离公式可得点A 到直线BC 的距离，根据三角形面积列式可得244m n +-=②.联立①②即可求解.【详解】（1）由()()2,1,2,3B C -，可得直线BC 的斜率()131222k -==--，故直线BC 的方程为()1322y x -=-+，化为一般式方程为：240x y +-=；（2）由()()2,1,2,3B C -，可得BC 的中点D 的坐标为()0,2，16425BC=+=又由AD 的方程为x －2y ＋t ＝0，则有40t -+=,解得4t =.故AD 的方程为x －2y ＋4＝0.由(),A m n ，可得240m n -+=①.因为BC 所在的直线方程为240x y +-=，所以点A 到直线BC 的距离245m n d +-=因为ABC 的面积为4，所以12442BC d m n ⨯⨯=+-=②.联立①②可得21m n =-⎧⎨=⎩或23m n =⎧⎨=⎩.故点A 的坐标为()2,1-或()2,3.19．(1)π3C =(2)27【分析】（1）由sin 1sin sin sin a Ba Ab Bc C =+-，利用正弦定理得到222ab a b c =+-，再利用余弦定理求解；（2）由正弦定理得到2π2sin 2sin ,2sin 3b B A a A ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，从而2π22sin 4sin 3b a A A⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，再利用三角恒等变换，结合三角函数的性质求解.【详解】（1）解：因为sin 1sin sin sin a Ba Ab Bc C =+-，由正弦定理得2221aba b c =+-，即222ab a b c =+-，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，因为()0,πC ∈，所以π3C =；（2）由正弦定理得2sin sin sin a b cA B C ===，则2π2sin 2sin ,2sin 3b B A a A⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以2π22sin 4sin 3b a A A ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，()35sin 3cos 27sin ,tan 5A A A ϕϕ==+=，因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()max sin 1A ϕ+=，所以27b a +≤2b a +的最大值为2720．(1)22196x y +=362【分析】（1）根据椭圆的定义可得3a =，进而可求其方程，（2）根据弦长公式和点到直线的距离可表达三角形的面积，结合不等式即可求解最大值.【详解】（1）由椭圆的定义，可知2122(23)42426a PF PF =+=+=+=解得3a =，又222(3)6b a =-=.∴椭圆C 的标准方程为22196x y +=.（2）设直线l 的方程为y x m =+，联立椭圆方程，得22563180x mx m ++-=，2236603600m m =-+>△，得1515m -<设()()1122,,,A x y B x y ，则212126318,55m m x x x x -+=-⋅=，()21212||24AB x x x x ∴=+-⋅22236127243215255m m m -=-⋅-点(0,0)O 到直线:0l x y m +-=的距离2d ()22211436||151522552AOB S AB d m m m∴=⋅=⨯-=-⋅△22261561536522m m ⎛⎫-+≤== ⎪⎝⎭.当且仅当2215,(1515)m m m -=-<<，即21530,22m m ==±时取等号；AOB ∴ 面积的最大值为362.21．（1）123417；（2）3317,517⎡⎢⎣⎦.【分析】（1）先证得,,OB OC OP 两两垂直，然后建系如图，求得平面PBC 的法向量1n u r，进而可求得O到平面PBC 的距离；（2）求得平面PAB 的法向量2n u u r，设(),,H x y z ，由2100OH n PH n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得3,4,34H x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而可得3,4,34PH x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ （04x ≤≤），()30,0,1n = 是平面ABC 的一个法向量，进而由3sin cos n PH θ=<⋅> 结合换元法可求得结果.【详解】（1）连接,OP OB ，因为PA PC =，且O 为AC 中点，则PO AC ⊥，又平面PAC ⊥平面ABC ，且其交线为AC ，则PO ⊥平面ABC ，又BA BC =，则OB AC ⊥，所以,,OB OC OP 两两垂直.故以O 为原点，以,,OB OC OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系（如图）.则()0,0,0O ，()0,8,0A -，()8,0,0B ，()0,8,0C ，()0,0,6P .所以()8,0,6PB =-，()0,8,6PC =-，设平面PBC 的法向量为()1111=,,n x y z，则1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即1111430430x z y z -=⎧⎨-=⎩，取14z =，得()1=3,3,4n ，又()8,0,0OB = ，所以，点O 到平面PBC 的距离1222124123417334OB n d n ⋅==++.（2）同理可求得平面PAB 的法向量()2=3,3,4n -，设(),,H x y z ，则(),,OH x y z =，(),,6PH x y z =-，因为//OH 平面PAB ，PH ⊂平面PBC ，所以21OH nPH n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3340334240x y zx y z-+=⎧⎨++-=⎩，从而4334yz x=⎧⎪⎨=-⎪⎩，即3,4,34H x x⎛⎫-⎪⎝⎭，又0830364xx≤≤⎧⎪⎨≤-≤⎪⎩，则04x≤≤，所以3,4,34PH x x⎛⎫=--⎪⎝⎭，又OP⊥平面ABC，所以()30,0,1n=是平面ABC的一个法向量.设直线PH与平面ABC所成的角为θ，则3222331344sin cos5332321163114425425xxn PHx xx xθ++ =<⋅>==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯++++-++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令14xt=+，则由04x≤≤得[]1,2t∈，所以22331sin5532323232125252525tt tt t θ==-+-+因为当[]1,2t∈时，23232171,1252525t t⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，所以3317sin,517θ⎡∈⎢⎣⎦.22．(1)22195x y+=(2)证明见解析，256【分析】（1）依题意可得BQ PQ=，即可得到64AQ BQ AB+=>=，根据椭圆的定义得到点Q的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，从求出a、c、b，即可得解；（2）设()11,M x y、()22,N x y，直线MN的方程为()0,0x my n m n=+≠≠，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，设()00,T x y，由T、S、1A三点共线及T、N、2A三点共线得到263x my n=+，从而得到直线OT 的方程，再联立直线OT 与直线MN 的方程，求出R 在定直线:3l x =-上，要使RBE 的面积为定值，此时点E 一定为过点B 且与直线l 平行的直线2x =与椭圆C 的交点，求出E 点坐标，即可求出三角形的面积.【详解】（1）解： 直线BP 的垂直平分线交直线AP 于点Q BQ PQ∴=，64AQ BQ AQ PQ AB ∴+=+=>=，∴由椭圆的定义可知，点Q 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，且26a =，24c =3a ∴=、2c =，则225b a c =-=，∴点Q 的轨迹方程为22195x y +=．（2）证明：设()11,M x y 、()22,N x y ，直线MN 的方程为()0,0x my n m n =+≠≠，与椭圆方程联立，得22195x my nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22259105450m y mny n +++-=，则()221805m 90n ∆=-+>由根与系数的关系得212254559n y y m -=+，1221059mny y m +=-+，由（1）知()13,0A -，()23,0A ，设()00,T x y，由T 、S 、1A三点共线得010133y y x x =+-，由T 、N 、2A 三点共线得020233y yx x =--，则000000233x x x y y y +-=+121233x x y y --=+121233my n my n y y +-+-=+12112(3)()m n y y =+-+12122(3)y y m n y y +=+-222(3)9mn m n n =---63mn =+.所以OT 的斜率0033y n k x m +==，则直线OT 的方程为33n y x m +=，联立直线OT 与直线MN 的方程，可得33n y x m x my n+⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得3x =-，因此R 在定直线:3l x =-上，使得RBE 的面积为定值的点E 一定为过点B 且与直线l 平行的直线2x =与椭圆C 的交点，由222195x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得253x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或253x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，此时E 的坐标为2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5或52,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以RBE 的面积15255236RBE S =⨯⨯=．。
福建省泉州市高二上学期期中数学试卷
福建省泉州市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2016高一下·大丰期中) 直线y=﹣ x+3的倾斜角的大小为________．2. （1分） (2018高三上·黑龙江期中) 已知正三角形的三个顶点都在半径为的球面上，球心到平面的距离为，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是________．3. （1分）若直线l经过两点A（1，2），B（3，4），则l的倾斜角为________4. （1分） (2018高二上·万州期末) 若的一个顶点是，的角平分线方程分别为，则边所在的直线方程为________5. （1分）经过点R（﹣2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是________6. （1分） (2017高一下·鸡西期末) 直线与直线的距离是________．7. （1分）已知球的直径PC=4，A，B在球面上，∠CPA=∠CPB=45°，AB=2，则棱锥P﹣ABC的体积为________．8. （1分） (2016高二上·杭州期中) 直线y=3x+3关于点M（3，2）对称的直线l的方程是________．9. （1分） (2015高一上·银川期末) 过l1：2x﹣3y+2=0与l2：3x﹣4y+2=0的交点且与直线4x+y﹣4=0平行的直线方程为________．10. （1分） (2016高二上·诸暨期中) 设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是________11. （1分）经过点M（3，5）的所有直线中距离原点最远的直线方程为________．12. （1分）(2016·天津文) 已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点（0，）圆C上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为，则圆C的方程为________．13. （1分）一个圆的圆心在抛物线y2=16x上，且该圆经过抛物线的顶点和焦点，若圆心在第一象限，则该圆的标准方程是________．14. （1分）一个半径为1cm的球与正四棱柱的六个面都相切，则该正四棱柱的体积为________ cm3 ．二、解答题 (共6题；共65分)15. （10分）(2018·延边模拟) 如图，在四棱锥中，面，，，，，，，为的中点.（1）求证：面；（2）求三棱锥的体积.16. （10分） (2015高二上·蚌埠期末) 已知圆C过坐标原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，圆心坐标为（t，t）（t＞0）．（1）若△AOB的面积为2，求圆C的方程；（2）直线2x+y﹣6=0与圆C交于点D、E，是否存在t使得|OD|=|OE|？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．17. （10分） (2016高一下·桃江开学考) 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（7，﹣1），C（﹣2，5），AB边上的中线所在直线为l．（1）求直线l的方程；（2）若点A关于直线l的对称点为D，求△BCD的面积．18. （10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥面ABCD，E为PD的中点，AD∥BC，AB⊥AD，AD=2AB=2BC．求证：（1）CE∥面PAB；（2）DC⊥面PAC．19. （10分） (2019高二上·长治月考) 已知直线及圆．（1）判断直线与圆的位置关系；（2）求过点的圆的切线方程．20. （15分） (2016高二下·静海开学考) 已知点P（x，y）在圆x2+y2﹣6x﹣6y+14=0上（1）求的最大值和最小值；（2）求x2+y2+2x+3的最大值与最小值；（3）求x+y的最大值与最小值．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共65分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、。
福建省泉州市安溪一中,养正中学,惠安一中,实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学
福建省泉州市安溪一中，养正中学，惠安一中，实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题一、单选题1．已知直线1:3150l x +=，若直线2l 与1l 垂直，则2l 的倾斜角为（）A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．π62．已知三棱锥D ABC -，点M ，N 分别为BC ，DA 的中点，且DA a = ，DB b = ，DC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN等于（）A ．()12b c a+- B ．()12a b c+- C ．()12a b c-- D ．()12c a b-- 3．已知直线1:210l x ay +-=与()2:2110l a x ay ---=平行，则a 的值是（）.A ．0B ．0或14C ．1或14D ．144．在三棱柱111ABC A B C -中，(0,1,1)AB =-，(1,4,0)AC = ，1(1,1,4)AA =- ，则这个三棱柱的高h =（）A ．1BC D 5．若点()1,1P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为（）A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --=6．P 为长方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上一点，平面//APC 平面11DA C ，若122AA AB AD ==，则DP 与面ABC 所成角的正切值为（）A ．2B C D7．已知M 在圆()()22:111C x y -+-=上，P 在直线:0l x y k -+=上，若CPM ∠最大为π6，则k =（）A ．B ．C ．D ．±8．在空间直角坐标系O xyz -中，棱长为2的正四面体ABCD 的顶点A ，B 分别在x 轴、y 轴上移动，则棱CD 的中点M 到O 的距离的取值范围为（）A ．122⎡-+⎢⎣⎦B ．1⎤+⎦C ．1⎤⎦D ．1122⎡-+⎢⎥⎣⎦二、多选题9．已知空间向量()1,2,2BA = ，()0,2,2BC =-，则（）A ．平面ABC 的一个法向量为()4,1,1--B ．17AC =C ．若向量()2,2,6BE =，则点E 不在平面ABC 内D ．向量122,333⎛⎫⎪⎝⎭，是与BA 平行的一个单位向量10．在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，P 为线段1AA 上靠近A 的三等分点，动点T 在底面1111D C B A （包含边界），且满足DT MP ⊥。
2023-2024学年福建省泉州市石狮市高二上册期中考试数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年福建省泉州市石狮市高二上册期中考试数学模拟试题一、单选题1．已知点(2,3,4)A -，则点A 关于原点的对称点的坐标为（）A ．(2,3,4)B ．(2,3,4)--C ．(2,3,4)--D ．(2,3,4)--【正确答案】D【分析】根据已知条件，结合点对称的性质，即可求解.【详解】因为点(2,3,4)A -，所以点A 关于原点的对称点的坐标为(2,3,4)--，故选：D2．直线20ax y -=的斜率与直线4210x y +-=的斜率互为倒数，则a 等于（）A ．2B ．12-C ．1D ．1-【正确答案】D【分析】由两直线的斜率列式求解，【详解】由题意得(2)12a⨯-=，得1a =-，故选：D3．若直线0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=，则a 的值为（）A ．1B ．-1C ．2D ．-2【正确答案】A【分析】将圆转化为标准形式，依据题意可知直线过圆心，代点计算即可.【详解】圆222410x y x y +-++=，即()()22124x y -++=，圆心坐标为()1,2-由题可知：直线过圆心，所以1201a a -+=⇒=故选：A4．双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上且120PF =，则2PF 等于（）A ．14B ．26C ．14或26D ．16或24【正确答案】C【分析】根据双曲线的方程可得,,a b c ，由212PF PF a -=即可求解.【详解】由双曲线的方程可得3,4,5a b c ===，故22PF c a ≥-=.因为1226P F F P a ==-，故2206PF -=，解得214PF =或26.故选:C.5．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=︒，且14AA =，则1AC 的长为（）AB ．CD 【正确答案】C【分析】以{}1,,AB AD AA 为基底表示出1AC，再利用空间向量的模和数量积运算即可求解.【详解】设=AB a ，AD b = ，1AA c = ，则0a b ⋅=，2b c ⋅= ，2a c ⋅= .所以11AC A A AB BC a b c =++=+-.故1A C =即1AC 故选：C.6．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线.15=表示的圆锥曲线的离心率e 等于（）A ．15B ．45C ．54D ．5【正确答案】B【分析】根据题意得到点(),x y 到定点()4,0的距离与到定直线254x =的距离比为45，即可得到45e =.15=，45=，表示点(),x y 到定点()4,0的距离与到定直线254x =的距离比为45，所以45e =.故选：B7．设1F ，2F 是椭圆22143x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且点P 到两个焦点的距离之差为1，则12PF F △的面积为（）A ．2B ．3C ．32D ．52【正确答案】C【分析】由题意结合椭圆的定义求出1253,22PF PF ==，又因为1222F F c ==，由余弦定理可求出12cos F PF ∠，再求出12sin F PF ∠，由三角形的面积公式即可得出答案.【详解】因为椭圆的方程为：22143x y +=，则2,1a b c ===，1F ，2F 是椭圆22143x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，因为点P 到两个焦点的距离之差为1，所以假设12PF PF >，则1212124PF PF PF PF a ⎧-=⎪⎨+==⎪⎩，解得：1253,22PF PF ==，又因为1222F F c ==，在12PF F △中，由余弦定理可得：22222212121212532322cos 5325222PF PF F F F PF PF PF ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⋅⨯⨯，所以124sin 5F PF ∠=，所以12PF F △的面积为.1212115343sin 222252S PF PF F PF =⋅∠=⨯⨯⨯=故选：C.8．已知过抛物线()2:20G y px p =>焦点F 的直线l 与抛物线G 交于M 、N 两点（M 在x 轴上方），满足MF FN=3，163MN =，则以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为A．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭B．2211633x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()(22316x y -+-=D ．()(22316x y -+=【正确答案】C【详解】如图，过点N 作NE MM '⊥于点E ，由抛物线的定义可知,MF MM NF NN '=='，解三角形EMN 得，3EMF π∠=，所以直线l的斜率为，由2)22p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2233504p x px -+=，所以1253p x x +=，12816,233p MN x x p p =++==∴=，所以半径为14N x +=，所以圆的标准方程为22(3)(16x y -+-=，故选C.本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、圆的标准方程，属难题；在解抛物线有关问题时，凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般要运用定义转化为到准线的距离处理；抛物线的焦点弦一直是高考的热点，对于焦点弦的性质应牢固掌握.二、多选题9．过点()1,4且与圆()2214x y ++=相切的直线的方程为（）A ．10x -=B ．40y -=C ．34130x y -+=D ．4380x y -+=【正确答案】AC【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】设切线为l ,圆心到切线的距离为d ,圆的半径为2r =若l 的斜率不存在,则直线方程为1x =,圆心到直线的距离1(1)2d r =--==,满足题意；若l 的斜率存在,设直线方程为4(1),y k x -=-,即40kx y k -+-=，因为直线与圆相切，所以2d r ===,解得34k =，所以切线方程为34130x y -+=.故选:AC.10．以下四个命题表述正确的是（），A ．直线()4120R mx y m +-=∈恒过定点()0,3B ．已知直线0x y m +-=与直线()320x m y +-=互相垂直，则2m =C ．圆22:28130C x y x y +--+=的圆心到直线4330x y -+=的距离为2D ．两圆22230x y x +--=与22240x y y ++-=的公共弦所在的直线方程为2210x y +-=【正确答案】ABD【分析】对于A ，求出直线过的定点即可判断；对于B ，根据直线垂直时斜率之积等于1-，求得m ，即可判断；对于C ，确定圆心坐标，根据点到直线的距离公式即可判断；对于D ，将两圆方程相减，即可求得公共弦方程，即可判断.【详解】对于A ︰直线()4120R mx y m +-=∈恒过定点()0,3，故A 正确；对于B ∶直线0x y m +-=的斜率为1-，因为直线0x y m +-=与直线()320x m y +-=互相垂直，所以直线()320x m y +-=的斜率为1，则320m -≠，故11,232m m-=∴=-，B 正确；对于C ∶圆22:28130C x y x y +--+=的圆心为(1,4)，到直线4330x y -+=的距离1d ==，C 错误；对于D ∶圆22230x y x +--=即22(1)4x y -+=，圆心为(1,0)，半径2R =，22240x y y ++-=即22(1)5x y ++=，圆心为(0,1)-，半径r ==22<<，故两圆相交，将两圆22230x y x +--=与22240x y y ++-=的方程相减，得2210x y +-=，即两圆公共弦所在的直线方程为2210x y +-=，故D 正确；故选︰ABD ．11．关于椭圆C ：22143y x +=，下列叙述正确的是（）A ．焦点在x 轴上B ．长轴长为4C ．离心率为12D ．过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】BC【分析】根据椭圆的标准方程，可判断A 项；求出a ，b ，c 的值，可判断B ，C 项；代入判断D 项.【详解】由已知，椭圆的焦点在y 轴上，a =2，b =c =1，则长轴长为2a =4，离心率为12c e a ==.将点代入椭圆方程左边得22312143⎛⎫ ⎪⎝⎭+≠，不满足，即点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭不在椭圆上.故选：BC.12．已知圆M ：22(1cos )(sin )1x y θθ--+-=，直线l ：0kx y k --=，下面命题中正确的是（）A ．对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；B ．对任意实数k 与θ，直线l 与圆M 都相离；C ．存在实数k 与θ，直线l 和圆M 相交；D ．对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切.【正确答案】ACD【分析】由题意求得圆M 与直线l 有公共点()1,0；求得圆心到直线l 的距离为d r ≤；即可得出答案.【详解】解：对于A ，圆M ：22(1cos )(sin )1x y θθ--+-=的圆心为()1cos ,sin θθ+，半径为=1r ；无论θ取何值，都有22(11cos )(sin )1θθ--+=，∴圆过定点()1,0；又直线l ：0kx y k --=可化为()10k x y --=，过定点()1,0；∴直线l 和圆M 有公共点()1,0，A 正确；对于B ，圆心M 到直线l 的距离为()sin 1d r θα==-≤=，其中tan k α=；∴d r ≤，故B 错误；根据B 的分析，可得C ､D 正确.故选：ACD三、填空题13．抛物线24y x =的准线方程为__________.【正确答案】=1x -【分析】抛物线22y px =的准线方程为2px =-，由此得到题目所求准线方程.【详解】抛物线24y x =的准线方程是=1x -.故答案为.=1x -14．已知两条平行直线1L ：x +2y +3=0，2L ：3x +by +c =0b +c =_____.【正确答案】0或30##30或0【分析】根据两直线平行求出b 的值，再根据两平行线间的距离列方程求出c 的值，即得．【详解】∵两条平行直线1L ：x +2y +3=0，2L ：3x +by +c =0，则3210b ⨯-⨯=，解得6b =；所以直线1L ：x +2y +3=0，即3690x y ++=，2L ：3x +6y +c =0；=解得6c =-或24．故0或30．15．已知椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E ：22(4)(3)1x y -+-=上任意一点，则1||MN MF -的最小值为___________．【正确答案】5【分析】首先根据椭圆的定义将1||MN MF -的最小值转化为2||4MN MF +-，再根据||||1MN ME - （当且仅当M 、N 、E 共线时取等号），最后根据22||ME MF EF + 求得1||MN MF -的最小值.【详解】解：如图，M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E ：22(4)(3)1x y -+-=上任意一点，则124,||||1MF MF MN ME +=- （当且仅当M 、N 、E 共线时取等号），∴()12222||||4||4||55MN MF MN MF MN MF ME MF EF -=--=+-≥+--，当且仅当M 、N 、E 、2F 共线时等号成立.∵2(1,0),(4,3)F E ，则2||EF ==∴1||MN MF -的最小值为5．故5．本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，主要根据椭圆的定义将目标等价转化为能够通过数形结合解题的类型，在平时备考中要注意多总结.四、双空题16．已知点M 为双曲线2222:1x y C a b-=0a >0b >在第一象限上一点，点F 为双曲线C 的右焦点，O 为坐标原点，4||4||7||MO MF OF ==，则双曲线C 的离心率为_________；若MF ，MO 分别交双曲线C 于P ，Q 两点，记直线PM 与PQ 的斜率分别为1k ，2k ，则122=k k________.【正确答案】430【分析】利用等腰三角形的性质和勾股定理，可以求出点M 的坐标，然后代入双曲线方程，利用222b c a =-，得出关于a 和c 的齐次方程，求出离心率的值；设P 和Q 的坐标，利用点差法和斜率公式，求得212222b k k a =，根据4e =，求出22b a的值，从而求出122k k 的值.【详解】设00(,)M x y ，447MO MF OF == ，||OF c = ，74MO c ∴=，74MF c =，MOF ∴△为等腰三角形，由等腰三角形性质可得(,)24c M ，把点M 坐标代入双曲线方程得，2222())241c a b -=，22222244516b c a c a b ∴-=，又222b c a =- ，222222224()4516()c a c a c a c a ∴--=-，4224465160c a c a ∴-+=，等式两边同除以4a 得，4242465160c c a a ⋅-⋅+=，即42465160e e -+=，解得216e =或214e =；又1e >Q ，214e =（舍去），216e ∴=，4e ∴=.设11(,)P x y ，00(,)M x y ，00(,)Q x y ∴--，P 和M 在双曲线上，把P 和M 代入双曲线方程得，22112222002211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得，22221010220x x y y a b---=，即2221022210y y b x x a -=-；10110PMy y k k x x -==- ，10210PQ y y k k x x +==+，222101010122221010102222y y y y y y b k k x x x x x x a -+-∴=⋅⋅=⋅=-+-，∵4e =，22222222116c a b b e a a a+∴===+=，2215b a ∴=，22210122221022221530y y b k k x x a -∴=⋅==⨯=-，即12230k k =.故4；30五、解答题17．在平面内，(3,0)A ，(1,0)B -，C 为动点，若5AC BC ⋅=，(1)求点C 的轨迹方程；(2)已知直线l 过点（1，2），求曲线C 截直线l 所得的弦长的最小值.【正确答案】(1)22(1)9x y -+=(2)【分析】(1)代入法即可求得轨迹方程为圆.(2)由直线l 过点(1,2)在圆内即可得到弦长最小值.【详解】（1）设(,)C x y ，(3,)AC x y =- ，(1,)BC x y =+，2(3)(1)5AC BC x x y ∴⋅=-++=，得22(1)9x y -+=.（2）22(11)29-+<，点（1，2）在圆内，当直线l 为如图所示位置时，当直线与点(1,2)与圆心连线垂直时，截得弦长CD最短，即，CD ==故最短弦长为518．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为线段1AA 的中点.(1)求点D 到平面1MCD 的距离；(2)求平面11ADD A 与平面1MCD 夹角的余弦值.【正确答案】(1)43；(2)23.【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）如图建立空间直角坐标系A xyz -．因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 是1AA 的中点，所以()()()()12,2,0,0,2,0,0,0,1,0,2,2C D M D ，由可得()()10,2,1,2,2,1MD MC ==- ，设平面1MCD 的法向量为(),,n x y z = ，则120220n MD y z n MC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，令1y =，则2z =-，2x =-，所以()2,1,2n =-- ，因为()10,0,2D D =- ，设点D 到平面1MCD 的距离为d ，则143D D n d n⋅== ，故点D 到平面1MCD 的距离为43；（2）由（1）可得平面1MCD 的法向量为()2,1,2n =-- ，显然平面11ADD A 的法向量可以为()1,0,0m = ，设平面11ADD A 与平面1MCD 夹角为θ，所以2cos 3n m n m θ⋅==⋅ ，所以平面11ADD A 与平面1MCD 夹角的余弦值为23.19．设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN ∠=∠．【正确答案】（1）112y x =+或112y x =--；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意可得直线l 的方程为=2x ，从而得出点M 的坐标为()2,2或()2,2-，利用两点式求得直线BM 的方程；（2）方法一：设直线l 的方程为2x ty =+，点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由斜率公式并结合韦达定理计算出直线BM 、BN 的斜率之和为零，从而得出所证结论成立.【详解】（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为=2x ，可得M 的坐标为()2,2或()2,2-．所以直线BM 的方程为112y x =+或112y x =--；（2）［方法一］：【通性通法】韦达定理＋斜率公式设l 的方程为2x ty =+，()11,M x y 、()22,N x y ，由2=+2=2x ty y x⎧⎨⎩，得2240y ty --=，可知122y y t +=，124y y =-．直线BM 、BN 的斜率之和为()()()()()()()()21122112121212122244222222BM BN x y x y ty y ty y y y k k x x x x x x +++++++=+==++++++()()()()()()1212121224244202222ty y y y t t x x x x ++⨯-+⨯===++++，所以0BM BN k k +=，可知BM 、BN 的倾斜角互补，所以ABM ABN ∠=∠.［方法2］：【最优解】斜率公式＋三点共线的坐标表示因为M ，N 在抛物线上，可设()2112,2M t t ，()2222,2N t t ，故()21122,2AM t t =- ，()22222,2AN t t =- ．而A ，M ，N 共线，故AM AN ∥，即()()2221122222220t t t t -⋅--⋅=，化简得()()1221410t t t t +-=．而M ，N 是不同的点，故12t t ≠，可得1210t t +=．这样()()()()121212222212121220222211BM BN t t t t t t k k t t t t +++=+==++++．故ABM ABN ∠=∠．【整体点评】（2）方法一：通过联立方程得出根与系数的关系，再直接使用斜率公式化简即可证出，是此题问题的通性通法；方法二：通过设点，根据三点共线的坐标表示寻找关系，再利用斜率公式化简证出，省略了联立过程，适当降低了运算量，是此类问题的最优解．20．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱PA ⊥平面ABCD ，点M 在棱DP 上，且2DM MP =，点N 是在棱PC 上的动点（不为端点）.(1)若N 是棱PC 中点，求证：//PB 平面AMN ；(2)若3AP AD ==，当点N 在何处时，直线PA 与平面AMN 所成角的正弦值取得最大值.【正确答案】(1)证明见解析55【分析】（1）结合三角形的重心、“对应边成比例，两直线平行”以及线面平行的判定定理证得//PB 平面AMN ；（2）建立空间直角坐标系，设=PN PC λ，求得直线PA 与平面AMN 所成角的正弦值，结合二次函数的性质求得其最大值.【详解】（1）设AC BD O = ，连接PO 交AN 于点G ，连接DG 并延长交PB 于点H ，连接MG ，在三角形PAC 中，,O N 分别是,AC PC 的中点，所以G 是三角形PAC 的重心，所以2PG GO=，在三角形PBD 中，O 是BD 的中点，2PG GO =，所以点G 为PBD △的重心，所以2DG GH =，且H 是PB 的中点，又∵2DM MP =，∴//MG PH 即//MG PB ，又MG ⊂平面AMN ，PB ⊄平面AMN ，所以//PB 平面AMN .（2）∵四边形ABCD 是正方形，且PA ⊥平面ABCD ，∴AB 、AD 、AP 两两垂直，以A 为坐标原点，AB方向为x 轴正方形建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，则点()0,0,0A ，()0,0,3P ，()3,3,0C ，()0,1,2M ，则()0,0,3AP = ，()0,1,2AM = ，()3,3,3PC =- ，设()01PN PC λλ=<<，则()3,3,3PN PC λλλλ==- ，∴()3,3,33AN AP PN λλλ=+=-+ ，设平面AMN 的法向量为(),,n x y z = ，则有()2033330n AM y z n AN x y z λλλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++-+=⎪⎩，化简得：213y z x z λ=-⎧⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩，取1z =则，13,2,1n λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，设直线PA 与平面AMN 所成角为θ，则21sin cos ,153AP n AP n AP nθλ⋅==⋅⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴当13λ=时sin θ的值最大，即当点N 在线段PC 靠点P 的三等分点处时，直线PA 与平面AMN 所成角的正弦值最大，521．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>过点()22,1，渐近线方程为12y x =±，直线l 是双曲线C 右支的一条切线，且与C 的渐近线交于A ，B 两点．(1)求双曲线C 的方程；(2)设点A ，B 的中点为M ，求点M 到y 轴的距离的最小值．【正确答案】(1)2214x y -=(2)2【分析】（1）由渐近线可得2b a=，再把点代入方程即可解得,a b ；（2）点M 到y 轴的距离的即为点M 的横坐标为M x ，联立方程利用韦达定理可求M x ，分析求解即可，但要注意讨论直线l 的斜率是否存在．【详解】（1）由题设可知2281112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩则C ：2214x y -=．（2）设点M 的横坐标为0M x >当直线l 斜率不存在时，则直线l ：2x =易知点M 到y 轴的距离为2M x =﹔当直线l 斜率存在时，设l ：12y kx m k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222418440k x kmx m -+++=，()()222264164110k m k m ∆=--+=，整理得2241k m =+联立2204x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()22241840k x kmx m -++=，则122288841km km k x x k m m +=-=-=--，则12402M x x k x m +==->，即0km <则222216444M k x m m==+>，即2M x >∴此时点M 到y 轴的距离大于2；综上所述，点M 到y 轴的最小距离为2．22．已知抛物线T ：22y px =（p +∈N ）和椭圆C ：2215x y +=，过抛物线T 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆C 于M ，N 两点.(1)若F 恰是椭圆C 的焦点，求p 的值；(2)若MN 恰好被AB 平分，求OAB 面积的最大值【正确答案】(1)4(2)2．【分析】（1）求出椭圆焦点，得抛物线焦点，从而得p 的值；（2）设直线l 方程为2p x my =+，代入抛物线方程，结合韦达定理得中点坐标，根据椭圆的弦中点性质得出一个参数值，由中点在椭圆内部得出另一个参数的范围，然后求出三角形面积，得出最大值．【详解】（1）在椭圆中，2c ，所以22p =，4p =；（2）设直线l 方程为2p x my =+，代入抛物线方程得2220y mpy p --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点为00(,)G x y ，则122y y mp +=，212y y p =-，1202y y y mp +==，202p x m p =+，设3344(,),(,)M x y N x y ，则223322441515x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得34343434()()()()05x x x x y y y y +-++-=，所以0340342()2()05x x x y y y -+-=，3403405MN y y x k x x y -==--，1MN k m =-，所以21125p m p mp m+-⨯=-，解得218m =，点G 在椭圆内部，所以222()2()15p m p mp ++<，得26413p <，因为p +∈N ，所以1p =或2p =，21213228OAB p S y y p =⨯-=!，1p =时，8OAB S =!，2p =时，2OAB S =!，所以OAB面积的最大值为2．本题考查求抛物线的方程，考查直线与椭圆、抛物线相交问题，考查圆锥曲线中的面积问题．解题方法采用设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，代入曲线方程后应用韦达定理，求得弦中点坐标，弦长等，把这个结论代入其他条件可求得参数关系，参数值，参数范围等．即设参数，利用韦达定理把目标用参数表示，进而求最值，证明一些结论．本题考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，对学生的要求较高，属于难题．。
福建省高二上学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．数列2，－4，6，－8，…的通项公式可能是（ ） A ．B ．C ．D ．)(12nn a n =-)(112n n a n +=-)(12nn n a =-)(112n n n a +=-【答案】B【分析】根据题意，分析数列各项变化的规律，即可得答案． 【详解】根据题意，数列2，，6，，，4-8-⋯其中，，，， 11212a =⨯⨯=2(1)224a =-⨯⨯=-31236a =⨯⨯=2(1)248a =-⨯⨯=-其通项公式可以为， 1(1)2n n a n +=-⨯故选：．B 2．在等比数列中，，则 {}n a 24681,4a a a a +=+=2a =A ．2 B ．4C ．D ．1213【答案】D【分析】设等比数列{an }的公比为q ，由条件得q 4=4，解得q 2．进而得出结果．【详解】因为，解得. ()42468241,4a a a a a a q +=+=+=22q =因为，所以.选D. ()224211a a a q +=+=213a =【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．若直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ） ()1,0A (4,B -A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】C【分析】由斜率公式与斜率的定义求解即可【详解】因为直线经过，两点，()1,0A (4,B -所以直线的斜率为 AB k ==设直线的倾斜角为，则 AB θtan θ=又， 0180θ︒≤<︒所以，120θ=°所以直线的倾斜角为． AB 120︒故选：C4．已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为（ ） ()1,0A -()3,4B -A ． B ． ()()22128x y ++-=()()22128x y -++=C ． D ．()()221232x y ++-=()()221232x y -++=【答案】B【分析】利用中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出半径，即可得到圆的方程． 【详解】解：由题意可知，，的中点为， ()1,0A -()3,4B -()1,2-又圆的半径为12r AB ===故圆的方程为． ()()22128x y -++=故选：B ．5．某直线l 过点，且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（ ） (3,4)B -A ．B ．C ．或D ．或43-12-4312-43-12-【答案】D【分析】讨论在x 轴和y 轴上的截距均为0或均不为0，设直线方程并由点在直线上求参数，即可得直线方程，进而写出其斜率.【详解】当直线在x 轴和y 轴上的截距均为0时，设直线的方程为，代入点，则，解得，y kx =(3,4)B -43k =-43k =-当直线在x 轴和y 轴上的截距均不为0时， 设直线的方程为，代入点，则，解得，12x y m m +=(3,4)B -3412m m-+=52m =所以所求直线的方程为，即，1552x y+=250x y +-=综上，该直线的斜率是或．43-12-故选：D6．直线的一个方向向量为（ ） 230x y +-=A ． B ．C ．D ．()2,1()1,2()2,1-()1,2-【答案】D【分析】先求出直线的一个法向量，再求出它的一个方向向量. 【详解】直线的一个法向量为，230x y +-=()2,1设直线一个方向向量为，则有， (),a b 20a b +=故只有D 满足条件. 故选：D.7．对于任意的实数，直线恒过定点，则点的坐标为（ ） k 1y kx k =-+P P A ． B ．C ．D ．()1,1--()1,1-()1,1-()1,1【答案】D【分析】令参数的系数等于，即可得的值，即为定点的坐标. k 0,x y P 【详解】由可得， 1y kx k =-+()11y k x -=-令可得，此时， 10x -=1x =1y =所以直线恒过定点， 1y kx k =-+()1,1P 故选：D.8．点为圆上一动点，点到直线的最短距离为（ ） P 22(1)2x y -+=P 3y x =+A B ．1C D ．【答案】C【分析】首先判断直线与圆相离，则点到直线的最短距离为圆心到直线的距离再减去半P 3y x =+径，然后求出最短距离即可．【详解】解：圆的圆心为，半径到直线的距离22(1)2x y -+=(1,0)r =(2,0)30x y -+=为到直线的最短距离为圆心到直线d P 3y x =+的距离再减去半径．所以点到直线的最短距离为． P 20l x y -+=:=故选：C ．二、多选题9．下列方程表示的直线中，与直线垂直的是（ ） 210x y +-=A ． B ． 210x y -+=210x y -+=C ． D ．2410x y -+=4210x y -+=【答案】BC【分析】根据斜率确定正确选项. 【详解】直线的斜率为，210x y +-=2-直线、直线的斜率为，不符合题意. 210x y -+=4210x y -+=2直线、直线的斜率为，符合题意. 210x y -+=2410x y -+=12故选：BC10．下列说法正确的是（ ）A ．直线必过定点 ()2R y ax a a =-∈()2,0B ．直线在轴上的截距为1 13y x +=yC ．直线的倾斜角为10x +=120 D ．过点且垂直于直线的直线方程为 ()2,3-230x y -+=210x y ++=【答案】AD【分析】A 将方程化为点斜式即可知所过定点；B 令求截距；C 由方程确定斜率，根据斜率与0x =倾斜角的关系即可知倾斜角的大小；D 计算两直线斜率的乘积，并将点代入方程验证即可判断正误.【详解】A ：由直线方程有，故必过，正确； ()2y a x =-()2,0B ：令得，故在轴上的截距为－1，错误；0x =1y =-yC ：由直线方程知：斜率为，错误； 150︒D ：由，的斜率分别为，则有故相互垂直，将代入210x y ++=230x y -+=12,2-1212-⨯=-()2,3-方程，故正确. 2(2)310⨯-++=故选：AD11．(多选)若直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线l 的斜率为（ ） A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．2【答案】BD【分析】对进行分类讨论，结合截距相等求得，进而求得直线的斜率. a a l 【详解】时，，不符合题意. 0a =:2l y =时，直线过， 0a ≠l ()20,2,,0a a a +⎛⎫+ ⎪⎝⎭依题意，22aa a++=解得或.2a =-1a =当时，，直线的斜率为. 2a =-:2l y x =2当时，，直线的斜率为.1a =:3l y x =-+1-故选：BD12．设等差数列的前项和是，已知，，正确的选项有（ ） {}n a n n S 120S >130S <A ．， B ．与均为的最大值 C ． D ．10a >0d <5S 6S n S 670a a +>70a <【答案】ACD【解析】利用等差数列的性质，，可得 ，()()11267121212=22++=a a a a S 670a a +>可得 ，，再根据等差数列的单调性判断。
福建省泉州市高二上学期数学期中考试试卷
福建省泉州市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2018高一下·枣庄期末) 一个年级有20个班，每班都是50人，每个班的学生的学号都是1～50.学校为了了解这个年级的作业量，把每个班中学号为5，15，25，35，45的学生的作业留下，这里运用的是（）A . 系统抽样B . 分层抽样C . 简单随机抽样D . 随机数表法抽样2. （2分）如果事件A与B是互斥事件且事件A＋B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率是（）A . 0.4B . 0.6C . 0.8D . 0.23. （2分）某校高一、高二年级各有7个班参加歌咏比赛，他们的得分的茎叶图如图所示，对这组数据分析正确的是（）A . 高一的中位数大，高二的平均数大B . 高一的平均数大，高二的中位数大C . 高一的中位数、平均数都大D . 高二的中位数、平均数都大4. （2分） (2018高二下·四川期中) 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（）A .B .C .D .5. （2分）已知命题p：∃x0∈R，sinx0=；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0．则下列结论正确的是（）A . 命题是p∨q假命题B . 命题是p∧q真命题C . 命题是（¬p）∨（¬q）真命题D . 命题是（¬p）∧（¬q）真命题6. （2分）(2017·淄博模拟) 已知圆 C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0），若倾斜角为45°的直线l过抛物线y2=﹣12x 的焦点，且直线l被圆C截得的弦长为2 ，则a等于（）A . +1B .C . 2±D . ﹣17. （2分）(2017·葫芦岛模拟) 设命题p：实数x，y满足x2+y2＜4，命题q：实数x，y满足，则命题p是命题q的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分）双曲线的右焦点为，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若此圆在点处的切线的斜率为，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .二、多选题 (共2题；共6分)9. （3分） (2019高二上·思明期中) 下列说法中正确的是（）A . 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等.B . 若A、B为互斥事件，则A的对立事件与B的对立事件一定互斥.C . 某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，则每4人中必有1人抽中.D . 若回归直线的斜率，则变量与正相关.10. （3分） (2019高二上·思明期中) 有如下命题，其中真命题的标号为（）A . ，B . ，C . ，D . ，三、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2015高二上·大方期末) 某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1600辆、6000辆和2000辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车种抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取________．12. （1分）在区间[0，2]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x3+ax﹣b在区间[﹣1，1]上有且只有一个零点的概率是________13. （1分） (2016高一下·福建期中) 在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，已知所取的2瓶全在保质期内的概率为，则至少取到1瓶已过保质期的概率为________．14. （1分） (2016高二上·泉港期中) 命题“∀x∈R，|x﹣2|＜3”的否定是________．15. （1分）已知F1 ， F2是椭圆 =1的左右焦点，点A（1，），则∠F1AF2的角平分线l所在直线的斜率为________．′．16. （1分） (2016高二上·莆田期中) 抛物线y2=4x上一点A到点B（3，2）与焦点的距离之和最小，则点A的坐标为________．四、解答题 (共6题；共60分)17. （15分） (2016高一下·福州期中) 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取5次，记录如下：甲8889929091乙8488968993（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．（用样本数据特征来说明．）18. （5分） (2016高二上·河北期中) 设命题p：若实数x满足x2﹣4ax+3a2≤0，其中a＞0；命题q：实数x满足（1）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19. （10分） (2017高一上·咸阳期末) 已知点G（5，4），圆C1：（x﹣1）2+（y﹣4）2=25，过点G的动直线l与圆C1 ，相交于两点E、F，线段EF的中点为C．（Ⅰ）求点C的轨迹C2的方程；（Ⅱ）若过点A（1，0）的直线l1：kx﹣y﹣k=0，与C2相交于两点P、Q，线段PQ的中点为M，l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，求证：|AM|•|AN|为定值．20. （10分）(2017·桂林模拟) 某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等极如下表：质量指标值m m＜185185≤m＜205m≥205等级三等品二等品一等品从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：（Ⅰ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90%”的规定？（Ⅱ）在样本中，按产品等极用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（III）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似满足X～N（218，140}），则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？21. （10分） (2017高二下·河北期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：（x+1）2+y2= 的圆心为M，圆N：（x﹣1）2+y2= 的圆心为N，一动圆与圆M内切，与圆N外切．（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与曲线P交于A，B两点，若 =﹣2，求直线l的方程．22. （10分） (2018高二下·黑龙江月考) 已知是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足 .（1）求椭圆的标准方程；（2）圆是以为直径的圆，一直线与之相切，并与椭圆交于不同的两点、，当且满足时，求的面积的取值范围.参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、多选题 (共2题；共6分)9-1、10-1、三、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、四、解答题 (共6题；共60分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。