2020年浙江省宁波市高一(下)期中数学试卷解析版
17. 若关于 x 的不等式 0＜（x-2a）（3x+4a）＜2x2 正整数解只能为 5，则整数 a 的值为 ______．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74.0 分） 18. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S5=30，S10=110．
21. 如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”．已知函数
的定义域为{x|ax2+bx+a+1≥0，且 x≥0}．
（Ⅰ）若 a=-1，b=2，求 f（x）的定义域； （Ⅱ）当 a=1 时，若 f（x）为“同域函数”，求实数 b 的值； （Ⅲ）若存在实数 a＜0 且 a≠-1，使得 f（x）为“同域函数”，求实数 b 的取度分别为北纬 30°和南纬 60°，即
，可求
得
；
步骤二：经测量计算，∠CAB=α，∠CBA=β，计算|AC|；
步骤三：利用以上测量及计算结果，计算|OC|．
请你用解三角形的相关知识，求出步骤二、三中的|AC|及|OC|的值（结果均用 α，β
，R 表示）．
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5. 设{an}为等比数列，给出四个数列：①{2an}；②{an2}；③ ；④{log2|an|}，其
中一定为等比数列的是（ ）
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ②④
6. 设实数 x，y 满足
，则 x+2y 的最小值为（ ）
A. 1.5
B. 2
C. 5
D. 6
7. 等比数列的前 n 项、前 2n 项、前 3n 项的积分别为 A，B，C，则（ ）
B. 6
C. 9
D. 12
3. 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 a=1，A=30°，B=45°，则 b 的值为（ ）
A.
B.
C.
D. 2
4. 已知实数 A，G 分别为正实数 a，b 的等差中项和等比中项，则（ ）
A. A≥G
B. A≤G
C. A=G
D. A+G≤0
22. 已知数列{an}满足 a1=6，a2=12，a3=72，bn=an+1+2an（n∈N*），且{bn}是等比数列 （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式
（Ⅱ）（i）求证：
为等比数列
（ⅱ）求证：对于任意 n∈N*，都有
成立．
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1.【答案】D
答案和解析
【解析】解：当 x=1，y=2 时，3+4-6=1＞0， 即点 D（1，2）位于不等式对应的平面区域内， 故选：D． 将点的坐标代入不等式进行验证即可． 本题主要考查点与平面区域的关系，利用代入法是解决本题的关键．
9. 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b=c，a2=b2+c2-2b2sinA ，则 A=（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 记 max{a，b，c}以为实数 a，b，c 中的最大值．若实数 x，y，z 满足 ，则 max{|x|，|y|，|z|}的最大值为（ ）
A.
A. A×B=C2
B. B2=A×C
C. 2B=A+C
D. B3=A3×C
8. 已知 a，b，c，d 是四个互不相等的正实数，满足 a+b＞c+d，且|a-b|＜|c-d|，则下
列选项正确的是（ ）
A. a2+b2 ＞c2 +d2
B. |a2-b2|＜|c2-d2|
C. + ＜ +
D. | - |＜| - |
B. 1
C.
D.
二、填空题（本大题共 7 小题，共 36.0 分） 11. 等比数列{an}满足 a1=1，a2=2，则公比 q=______；通项公式 an=______．
12. 若正实数 x，y 满足 x+y=1，则 xy 的最大值等于______：
的最小值为______．
13. 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 ，a=1，
∴由正弦定理：
2.【答案】C
【解析】解：∵实数列 1，x，y，z，5 成等差数列，∴x+z=2y=1+5=6．y=3． 则 x+y+z=6+3=9． 故选：C． 利用等差数列都性质即可得出． 本题考查了等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a=1，A=30°， B=45°，
期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分）
1. 下列点中，在不等式 3x+2y-6＞0 表示的平面区域内的是（ ）
A. （0，0）
B. （1，0）
C. （1，1）
D. （1，2）
2. 已知实数列 1，x，y，z，5 成等差数列，则 x+y+z=（ ）
A. 3
（1）求 Sn；
（2）记
，求 Tn．
19. 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 c（acosB-bcosA）=3b2． （Ⅰ）求证：a=2b；
（Ⅱ）若 ，求 cosB 的值．
20. 2018 年 5 月 21 日 5 点 28 分，在我国西昌卫星发射中心，由中国航天科技集团有 限公司抓总研制的嫦娥四号中继星“鹊桥”搭乘长征四号丙运载火箭升空，这标志 着我国在月球探测领域取得新的突破． 早在 1671 年，两位法国天文学家就已经成功测量出了地球与月球之间的距离，接 下来，让我们重走这两位科学家的测量过程． 如图，设 O 为地球球心，C 为月球表面上一点，A，B 为地球上位于同一子午线（ 经线）上的两点，地球半径记为 R．
，则
sinA=______；b=______． 14. 已知{an}，{bn}是公差分别为 d1，d2 的等差数列，且 An=an+bn，Bn=anbn．若 A1=1，
A2=3，则 A3=______；若{Bn}为等差数列，则 d1d2=______．
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15. 已知 A（1，2），B（-2，1），O 为坐标原点，若直线 l：ax+by=2 与△ABO 所围成 区域（包含边界）没有公共点，则 a-b 的取值范围为______．
浙江省2020学年高一数学下学期期中联考试题(含解析)
，为了获得函数
的图象，只需将
的图象
（
）
A.
向左平移
个单位长度
B.向右平移
个单位长度
C.向左平移
个单位长度
D.向右平移
个单位长度
【答案】D
【分析】
【剖析】
由题意联合函数的分析式可得函数图像的平移变换方法
.
【详解】注意到
，
故获得函数
的图象，只需将
的图象向右平移
个单位长度.
应选：D.
【点睛】此题主要考察三角函数的平移变换，属于基础题.
角用已知角配凑成β=（α+β）﹣α，是解题的重点，属于较难题．
17.若两个非零向量，知足，则向量与的夹角余弦值为_______.
- 8 -
【答案】
【分析】
【剖析】
由题意联合平行四边形的性质和向量的夹角公式整理计算可得两向量夹角的余弦值.
【详解】不如设，则，，
由平行四边形的性质有：，
即：.
据此可得：，
余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
-12-
sinα、cos（α+β）
值，再利用两角和差
正弦公式求
得β＝
[（α+β）﹣α]的值．
【详解】∵α、β
为锐角，cosα
，∴sinα
，
sin（α+β）
sinα，∴α+β为钝角，
【
，
∴cos（α+β）
∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα
?
?
．
故答案为.
浙江省宁波市北仑中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题【含答案】
浙江省宁波市北仑中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（1班）一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )A ．i∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈S D.∈S2i 2.z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3.设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则¬ p 为( )A ．∀n ∈N ，n 2>2nB ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n4. 设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 下列判断正确的是( )A ．x 2≠y 2⇔x ≠y 或x ≠－yB ．命题“若a 、b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是“若a ＋b 不是偶数，则a 、b 都不是偶数”C ．若“p 或q ”为假命题，则“非p 且非q ”是真命题D ．已知a 、b 、c 是实数，关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集是空集，必有a ＞0且Δ＜06. F 1、F 2是椭圆＋＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2x 29y 27的面积为( )A ．7 B. C. D.72747527. 过双曲线x 2－＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样y 22的直线l 有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条8. 已知椭圆＋＝1(a >b >0)与双曲线－＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和x 2a 2y 2b 2x 2m 2y 2n 2(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A. B. C. D.332214129.设椭圆方程为x 2＋＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于点A ，B ，O 是坐标原点，点y 24P 满足＝(＋)，当l 绕点M 旋转时，则点p 的轨迹方程是（ ）OP → 12OA → OB → A ．4x 2＋y 2－y ＝0 B. x 2＋4y 2－y ＝0 C. 2x 2＋y 2－y ＝0 D. x 2＋2y 2－y ＝010．已知F 是双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2 C．(1,1+ D．(2,1非选择题部分（共110分）二.填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.已知复数z 满足|z |＝，z 2的虚部是2则，复数z 的共轭复数的模是2____，z =_____12.已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立，若命题q为真命题则m 的取值范围是：____,p ∧q 为假命题，则m 的取值范围是_____13.化简=________ii i i 711)84()84()12(222012-+---++点集D ＝{z ||z ＋1＋i|＝1，z ∈C }，则|z |的最小值_____和最大值________314. 若点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则⋅的最大值为__________，此时点P 的坐标为__________.15. 已知椭圆,点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点)0(1:2222>>=+b a by a x C P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为______16.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>1a =时，直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，则m 的值___17. 设点，动点在椭圆上且满足，则的范围_____)29,0(P B A ,191822=+y x λ=λ三.解答题（本大题共5小题，共74分。
浙江省宁波市高一下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．已知i 为虚数单位，复数，则z 的虚部为（ ） ()()3i 2i z =-+A ．i B ．1C ．7D ．7i 【答案】B【分析】由复数代数形式的乘法运算再结合复数虚部的概念，即可求解. 【详解】∵∴z 的虚部为1. ()()3i 2i 7i z =-+=+故选：B ．2．设平面向量，，若，则（ ） (1,2)a = (,3)b x =- //a bx =A ． B ．C ．D ．66-32-23-【答案】B【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解.【详解】解：因为，，，所以，解得，//a b (1,2)a = (,3)b x =- ()132x ⨯-=⨯32x =-故选：B.3．已知，则（ ）()()()sin cos 5sin sin 22αππαπαπα++-=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭tan α=A ． B ．C ．D ．344332-32【答案】D【分析】先通过诱导公式化简得到，再由商数关系求即可.sin cos 5cos sin αααα--=-tan α【详解】，可得，即()()()sin cos sin cos 5cos sin sin sin 22αππαααπαααπα++---==-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭()sin cos 5cos sin αααα--=-，故. 4sin 6cos αα=3tan 2α=故选：D.4．直线与函数的图象的交点中，相邻两点的距离为，则3y =()tan (0)f x x ωω=>4π12f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．B ．CD 【答案】D【分析】由题意可得的最小正周期，由求得后代入即可得解.()f x 4T π=T πω=ω【详解】由已知可得，的最小正周期， ()()tan 0f x x ωω=>4T π=所以，所以，44Tππωπ===()tan 4f x x =所以tan 123f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】本题考查了正切函数最小正周期的应用，考查了特殊角三角函数值的求解，属于基础题. 5．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则：a b αβ①若，，且，则；②若，，且，则； a α⊥b β⊥αβ∥a b A a α⊥b β∥αβ∥a b ⊥r r③若，，，则； ④若，，且，则；αβ∥a α⊂b β⊂a b A a α⊥b β⊥αβ⊥a b ⊥r r其中真命题的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】根据空间直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直的判定定理和性质定理，逐项判断，即可得出结论．【详解】由且，可得，b β⊥αβ∥b α⊥而垂直同一个平面的两条直线相互平行，即，故①正确；a b A 由于，，所以，又因为，所以，故②正确； αβ∥a α⊥a β⊥b β∥a b ⊥r r若，，，则直线与平行或异面，故③错误； αβ∥a α⊂b β⊂a b 设，在平面内作直线， l αβ= βc l ⊥因为，则，又，所以，αβ⊥c α⊥a α⊥a c A 又因为，所以，从而有，故④正确；,b c ββ⊥⊂b c ⊥b a ⊥因此，真命题的个数是， 3故选：B ．6．如图，为水平放置的的直观图，其中，，则在原平面图A B C '''A ABC A 2A B ''=A C B C ''''==形中有（ ）ABC AA ．B ．C ．D ．AC BC =2AB =BC =ABC S =A 【答案】C【分析】在直观图中，求出的长，得出原图形中的长，从而可得原图形中各线段,O C O A '''',OC OA 长，再计算后判断各选项．【详解】设，，在和中分别应用余弦定理得：O C x ''=O A y ''=O A C '''A O C B '''△，解得舍去）， 222210(2)(2)10x y x y y ⎧+=⎪⎨+++=⎪⎩2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩4x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩则在原图形，，显然，OB OC ⊥OC =4,4OA AB ==AC BC >，BC ===．11422ABC S OC AB =⋅=⨯=△故选：C ．7．在中，角，，所对的边分别为，，，，ABC A A B C a b c 23B π=b =222b c a +-=．若的平分线与交于点，则（ ） BAC ∠BC E AE =A BC ．D ．3【答案】A【解析】根据，由余弦定理可得，再根据，得到角C ，然后利用正222b c a +-=6A π=23B π=弦定理解得边c ，然后根据为的平分线，在中，利用正弦定理求解.AE BAC ∠AEB △【详解】因为，222b c a +-=所以，222cos 2b c a A bc +-==因为， ()0,A π∈所以，6A π=又， 23B π=Q ，6C π∴=. sin6c π∴=122c =又为的平分线，AE BAC ∠，4AEB π∴∠=，sin sin c AE AEB B∴=∠22sin sin sin 3sin 4c AE B AEB ππ∴=⋅=⋅==∠故选：A8．已知为单位向量，且，若非零向量满足，则的最大值12,e e 1222e e +≤ a 12a e a e ⋅≤⋅()122a ee a⋅+是（ ） A B C D 【答案】D【解析】设，，由，计算可得，设()11,0e = ()2cos ,sin e αα= 1222e e +≤ 1cos 4α≤-，，由，计算可得，可推出()cos ,sin a r r ββ= 0r >12a e a e ⋅≤⋅()cos cos βαβ≤-时，等号成立，计算可得()22πk k βα=+∈Z ()()1222cos cos a e e aβαβ⋅+=+- ()3cos αβ≤-，结合，可求出3cos β=21cos cos 22cos 14αββ==-≤-cos β≤≤的最大值. ()122a e e a⋅+【详解】由题意，可设，，则，()11,0e = ()2cos ,sin e αα=()12212cos ,2sin e e αα+=+ 由，可得，整理得，1222e e +≤ ()2212cos +4sin 4αα+≤1cos 4α≤-设，，()cos ,sin a r r ββ=0r >由，可得， 12a e a e ⋅≤⋅()()()()cos ,sin 1,0cos ,sin cos ,sin r r r r ββββαα⋅≤⋅即，所以，cos cos cos sin sin r r r ββαβα≤+()cos cos βαβ≤-当时，或， ()cos cos βαβ=-()2πk k βαβ=-+∈Z ()2πk k βαβ=-++∈Z 即或，()22πk k βα=+∈Z ()2πk k α=∈Z 因为，所以不符合题意，1cos 4α≤-()2πk k α=∈Z 故时，.()cos cos βαβ=-()22πk k βα=+∈Z 而， ()()1222cos cos cos sin sin 2cos cos a e e r r r r aββαβαβαβ⋅+++==+- 因为，所以， ()cos cos βαβ≤-()122a e e a⋅+ ()3cos αβ≤-当时，等号成立，此时，()22πk k βα=+∈Z ()()3cos 3cos 2π3cos k αβββ-=-=因为，所以，即， ()21cos cos 22πcos 22cos 14k αβββ=-==-≤-23cos 8β≤cos β≤≤所以. ()122a e e a ⋅+ ()3cos 3cos αββ≤-=≤故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量与三角函数的综合问题，解题的关键是设出题中向量的坐标，利用平面向量的坐标运算及三角函数的运算性质，将所求不等式转化为三角函数关系式，进而求出最大值.考查学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于难题．二、多选题9．下列两个向量，不能作为基底向量的是（ ）A ．B ． 12(0,0),(1,2)e e ==12(2,1),(1,2)e e =-=C ．D ．12(1,2),(1,2)e e =--=12(1,1),(1,2)e e ==【答案】AC【分析】根据两个向量不平行能作为基底确定正确选项.【详解】A 选项，零向量和任意向量平行，所以不能作为基底. 12,e eB 选项，不平行，可以作为基底.12,e eC 选项，，所以平行，不能作为基底. 12e e =-12,e e D 选项，不平行，可以作为基底.12,e e故选：AC10．如图所示，点是函数的图象与轴的交点，点,M N ()()ππ2cos 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭x P在之间的图象上运动，若，且当的面积最大时，，则（ ）,M N ()1,0M -MPN △PM PN ⊥A ． ()0f =B ．0ωϕ+=C ．的单调增区间为 ()f x []()18,18Z k k k -++∈D ．的图象关于直线对称 ()f x 5x =【答案】ABD【分析】通过给出的的最大面积，和已知点，求出函数的表达式，即可得MPN △PM PN ⊥()1,0M -出结论.【详解】由题意，在中，()()ππ2cos 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭当点位于曲线最高点（此时）时,面积最大, 且, ()00,P x y 2y =MPN △PM PN ⊥∴为等腰直角三角形, MPN △设的中点为, MN Q 则且, 即,PQ MN ⊥012PQ y MN ==0122y MN ==∴,4MN =又, , 0ω>1242MN πω=⨯=∴, π4ω=∴,()π2cos 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵,()1,0M -则, 即,()π2cos 104ϕ⎡⎤-⨯+=⎢⎥⎣⎦π(1)π,Z π42k k ϕ-⨯+=+∈解得，3ππ,Z 4k k ϕ=+∈∵, 所以, 所以.ππ22ϕ-<<π4ϕ=-()ππ2cos 44f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴A 正确.()π2cos 040f =⎛⎫-= ⎪⎝⎭，B 正确.ππ044ωϕ+=-=令, 解得, ππ[2ππ,2π],Z 44x k k k -∈-∈[]83,81,Z x k k k ∈-+∈故是的单调递增区间，C 错误. []83,81,Z k k k -+∈()f x 令, 解得, πππ,Z 44x k k -=∈41,Z x k k =+∈令得, 故的图象关于直线对称，D 正确. 1k =5x =()f x 5x =故选：ABD.11．在三角形中，下列说法正确的有（ ） ABC A ．若，则三角形有两解 30,4,5A b a =︒==ABC B ．若，则一定是钝角三角形0tan tan 1A B <⋅<ABC A C ．若，则一定是等边三角形 cos()cos()cos()1A B B C C A ---=ABC A D ．若，则一定是等腰三角形 cos cos a b c B c A -=⋅-⋅ABC A 【答案】BC【分析】题目考察解三角形的综合应用，A 选项是多解问题，B 选项是切化弦，然后用和差角公式；C 选项考察角的余弦小于等于1的应用；D 选项是解三角形的边角转化，逐一计算即可 【详解】选项A 中，因为，所以由正弦定理得，因为， 30,4,5A b a =︒==sin 2sin 5b A B a ==b a <所以只有一个解，故A 错误．B ∠选项B 中，由，得，0tan tan 1A B <⋅<sin sin 01cos cos A BA B<<所以，即，所以， cos cos sin sin 0A B A B ->()cos 0A B +>2A B π+<所以，故一定是钝角三角形，故B 正确．2C A B ππ=-->ABC A 选项C 中，因为， ()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=所以， ()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=所以，故C 正确． 60A B C ===︒选项D 中，因为， cos cos a b c B c A -=⋅-⋅所以， sin sin sin cos sin cos A B C B C A -=-所以，sin sin cos sin sin cos A C B B C A -=-因为，， ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+所以， sin cos sin cos B C A C =所以或， cos 0C =sin sin A B =所以或，所以的形状是等腰或直角三角形．D 错误2C π=A B =ABC A 故选：BC【点睛】题目比较综合，考察到了较多是知识点： （1）正弦定理判断三角形的多解问题 （2）切化弦的应 （3）两角和的余弦公式 （4）余弦一定小于等于1（5）利用正弦定理的边角互换，化简判断三角形形状12．如图，在棱长为2的正方体中，M ，N ，P 分别是，，的中点，1111ABCD A B C D -1AA 1CC '11C D Q 是线段上的动点，则( )11D AA ．存在点Q ，使B ，N ，P ，Q 四点共面 B ．存在点Q ，使平面MBN//PQC ．过Q ，M ，N 三点的平面截正方体所得截面面积的取值范围为1111ABCD A B C D -⎡⎣D ．经过C ，M ，B ，N 四点的球的表面积为 9π2【答案】AB【分析】作出过的截面判断选项A ；取中点为，证明其满足选项B ；当在运,,B N P 11A D Q Q 11A D 动时，确定截面的形状，引入参数(如)计算出面积后可得取值范围，判断选项C ，过与1A Q x =MN 底面平行的平面截正方体得出的下半部分为长方体，其外接球也是过C ，M ，B ，N 四点的球，由此求得球半径，得表面积，判断选项D ．【详解】选项A ，连接，，正方体中易知，11,A B A P 1CD 11//CD A B 分别是中点，则，所以，即四点共面，当与重合,P N 111,C D C C 1//PN CD 1//PN A B 1,,,A P N B Q 1A 时满足B ，N ，P ，Q 四点共面，A 正确；选项B ，如图，取中点为，连接，11A D Q 11,,PQ QM A C 因为分别是中点，则与平行且相等，是平行四边形， ,M N 11,AA CC 1A M 1C N 11A C NM 所以，又是中点，所以，所以，11//MN A C P 11C D 11//PQ A C //PQ MN 平面，平面，所以平面，B 正确；MN ⊂BMN PQ ⊄BMN //PQ BMN选项C ，正方体中，分别是中点，则，,M N 11,AA CC 11////MN A C AC 在上，如图，作交于，连接，延长交延长线于点，连接延长Q 11A D 11//QE A C 11C D E EN DC K QM 交延长线于点，连接交于点，交于点，为所过三点的截DA T TK AB G BC F QENFGM ,,M N Q 面，由正方体的对称性可知梯形与梯形全等，QENM FGMN 由面面平行的性质定理，，从而有，由正方体性质， //TK QE //TK AC 设，，则，，1D Q x =02x ≤≤11D E D Q x ==12C E x =-是中点，，则，所以，同理N 1CC 1//C N CK 12CK C E x ==-2CF CK x ==-，2,AG x BG BF x =-==，QE =MN =EN ==梯形是等腰梯形，高为， QENM h =截面面积12()2S QE MN h =⨯+=设，，，()f x [0,2]x ∈32()41284(1)(2)0f x x x x x '=-+=-+≥在上递增，，，()f x [0,2]max ()(2)32f x f ==min ()(0)24f x f ==所以，C 错；S ∈选项D ，取中点，中点，连接，则是正四棱柱（也是长方1BB U 1DD V ,,,MV MU NV NU MUNV ABCD -体），它的外接球就是过，半径为，表面,,,B C M N 3=32R =积为，D 错．249S R ππ==故选：AB ．三、填空题 13．复数（为虚数单位）的共轭复数是______． 112ii+-i 【答案】1355i --【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，由此可得出复数的共轭复数. 112i i +-112ii+-【详解】， ()()()()2112113213121212555i i i i i i i i i +++++===-+--+Q因此，复数的共轭复数为，故答案为. 112ii +-1355i --1355i --【点睛】本题考查复数的除法运算以及共轭复数，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.14．已知，则的取值范围是___________.((),cos ,sin a b θθ==2a b + 【答案】[]0,4【分析】将向量进行线性运算后，按照向量的求模公式，结合辅助角公式求最值即可. 【详解】2a b +(1,2(cos ,sin )θθ=+(12cos 2sin )θθ=++=====因为，1sin(16πθ-≤+≤所以，04≤≤=故答案为：.[]0,415．如图，，分别是正方形的边，的中点，把，，折起构E F ABCD AB AD AEF △CBE △CFD △成一个三棱锥（，，重合于点），则三棱锥的外接球与内切球的半径之P CEF -A B D P P CEF -比是______.【答案】【分析】根据两两垂直可知，三棱锥的外接球也是以为长，宽，高,,PC PE PF P CEF -,,PC PE PF 的长方体的外接球，即可求出其外接球半径，再根据等积法可求出其内切球的半径，从而得解．【详解】因为两两垂直，所以三棱锥的外接球也是以为长，宽，高,,PC PE PF P CEF -,,PC PE PF 的长方体的外接球，设其外接球半径为，正方形边长为，所以，， R 22PC =1PE PF ==即2R =R =因为三棱锥的表面积即为正方形的面积，，设其内切球的半径为，P CEF -S 22=4S =⨯r 所以，，即．1111111232323P CEF V PE PF PC -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=141333P CEF V Sr r -===14r =因此，Rr==故答案为：【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球和内切球的半径的求法，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．16．在锐角中，角A、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c，的面积，若ABC ABC )222S ab c =+-，则c 的最小值是________.()24tan bc a b B -=【分析】由面积公式和余弦定理得到，化简得到，由基本不等式求出π6C=tan 1242tan B c B =+最小值.【详解】由面积公式得，)2221sin 2ab C a b c =+-即，所以， 222sin 2a b c C ab +-=sin C C=tan C =因为，所以，π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π6C =变形得到()24tan bc a b B -=πsintan tan sin tan tan 62424sin 24sin 24B B a B A B B c b B B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+=+=+=，tan 1242tan B B =+因为，所以，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan 0B >由基本不等式得tan 1242tan B c B =++≥当且仅当，即 tan 1242tan B B =tan B =四、解答题17．当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条m ()()225632i z m m m m =-++-+件：(1)与原点重合； (2)位于直线上； 2y x =(3)位于第一象限或者第三象限. 【答案】(1) 2m =(2)或 2m =5m =(3)或. 1m <3m >【分析】（1）（2）（3）根据复数的几何意义，结合表示的点所处位置，列出相应的方程或不等式，即可求得答案.【详解】（1）由题意得复数z 满足时，表示的点与原点重合,22560320m m m m ⎧-+=⎨-+=⎩解得.2m =（2）当时，表示复数的点位于直线()2232256m m m m -+=-+()()225632i z m m m m =-++-+上，2y x =解得或.2m =5m =（3）方法一：由题意可得或，22560320m m m m ⎧-+>⎨-+>⎩22560320m m m m ⎧-+<⎨-+<⎩解，得或，解，解集为，22560320m m m m ⎧-+>⎨-+>⎩1m <3m >22560320m m m m ⎧-+<⎨-+<⎩∅故或.1m <3m >方法二：由题意得或.()()2256320,1m m m m m -+-+>∴<3m >18．已知向量在同一平面上，且.,,a b c(2,1)a =- （1）若，且，求向量的坐标﹔// a c 25c = c（2）若，且与垂直，求的值.()3,2b = ka b - 2a b + k【答案】（1）或；（2）.(c =-r c =- 223k =-【解析】（1）由条件设，求出，即可得出答案.(2),c a λλλ-== 25=λ(2)由条件可得，，则，由此可得答案. ()23,2ka b k k -=---()24,5a b += ()()20ka b a b -⋅+= 【详解】（1），设//a c(2),c a λλλ-==.25c =25=，λ∴=λ∴=±或.(c =-rc =- （2），()23,2ka b k k -=---()24,5a b += ，，即()()2ka b a b -⊥+ ()()20ka b a b ∴-⋅+=423()20)(5k k -+--=即则 322,k -=223k =-19．已知向量，，函数．()sin ,2cos a x x =- (),cos b x x = ()1f x a b =⋅+(1)求的单调递减区间；()f x (2)把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到()f x 12π12函数的图象，求在上的值域．()g x ()g x ,128ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】(1)()5,Z 36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，(2) []1,2-【分析】（1）先求出的解析式，利用整体代入法求的单调递减区间； ()f x ()f x （2）先根据图象变换求出的解析式，再求在上的值域．()g x ()g x ,128ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】（1）因为向量，，函数．()sin ,2cos a x x =- (),cos b x x = ()1f x a b =⋅+所以. 2()1cos 2cos 12cos 22sin 26f x a b x x x x x x π⎛⎫=⋅+=-+=-=- ⎪⎝⎭ 要求的单调递减区间，只需, ()f x ()3222,Z 262k x k k πππππ+≤-≤+∈解得：， ()52,Z 36k x k k ππππ+≤≤+∈即的单调递减区间为.()f x ()5,Z 36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，（2）把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图()f x 122sin 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭象，再向左平移个单位长度，得到的图象，即.12x 2sin 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()2sin 46g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为，所以.,128x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦24,663x πππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦因为在上单增，在上单减，且时最小，2sin y t =,62t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,23t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦6t π=-1212y ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭；时，.2t π=212y =⨯=所以，即在上的值域为.[]2sin 1,2y t =∈-()2sin 46g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,128ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]1,2-20．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是111ABC A B C -1,2,1,,AB BC AA AC BC E F ⊥===的中点．11,A C BC （1）求证: 平面平面； ABE ⊥11B BCC （2）求证: 平面； 1C F ∥ABE （3）求三棱锥体积．E ABC -【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3 【详解】试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式.（1）在三棱柱中，底面ABC ，所以AB ，111ABC A B C -1BB ⊥1BB ⊥又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面，因为AB 平面，所以平面平面. 11B BCC ⊂ABE ABE ⊥11B BCC （2）取AB 中点G ，连结EG ，FG ，因为E ，F 分别是、的中点，所以FG ∥AC ，且FG=AC ， 11A C BC 12因为AC ∥，且AC=，所以FG ∥，且FG=，11A C 11A C 1EC 1EC所以四边形为平行四边形，所以EG ， 1FGEC 1//C F 又因为EG 平面ABE ，平面ABE ， ⊂1C F ⊄所以平面.1//C F ABE（3）因为=AC=2，BC=1，AB ⊥BC ，所以， 1AA =所以三棱锥的体积为：=E ABC -113ABC V S AA ∆=⋅111232⨯⨯【解析】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．21．已知、、分别是三个内角、、的对边，且. a b c ABC A A B C cos sin 0a B B b c --=(1)求；A (2)若锐角的取值范围. ABC Ab 【答案】(1) π3A =(2)【分析】（1）利用正弦定理可得出，再利用两角和的正弦公sin cos sin sin sin 0A B A B B C +--=式以及辅助角公式可得出，结合角的取值范围可求得角的值；1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭A A （2）法一：由三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可得出，再由4bc =2224b c a +-=，可求得的取值范围；cos 0B >cos 0C >b法二：由三角形的面积公式可求得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得出4bc =22b =根据为锐角三角形求出的取值范围，再利用正切函数的基本性质可求得的取值范围. ABC A C b【详解】（1）解：因为， cos sin 0a B B b c --=由正弦定理可得①， sin cos sin sin sin 0A B A B B C --=又因为，πC A B =--所以. ()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+代入①，即.sin sin cos sin 0A B B A B --=)1cos sin 0A A B --=因为，则，则，()0,πB ∈sin 0B >1cos 0A A --=π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭即，1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为，则，则，所以.()0,πA ∈ππ5π666A -<-<ππ66A -=π3A =（2）解：法一：题意得，所以，1sin 2ABC S bc A ===A 4bc =在中，由余弦定理得：②，ABC A 22212cos 242b c a bc A bc +-==⨯=又因为是锐角三角形，所以， ABC A 222222cos 02cos 02a c b B aca b c C ab ⎧+-=>⎪⎪⎨+-⎪=>⎪⎩即③，且④， 2220a c b +->2220a b c +->由②③得，解得，解得. 22c >c>4bb<由②④得，即， 22b >b >综上，的取值范围是.b 法二：由题意得：， 1sin 2ABCS bc A ==△4bc =则，2π4sin 444sin 342sin sin C b B b b c c C C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⇒=====⎝⎭又因为是锐角三角形，则 ABC A π0ππ2,ππ62π23C C C⎧<<⎪⎪⎛⎫⇒∈⎨⎪⎝⎭⎪<+<⎪⎩则，则，故tan C10tan C <<()222,8b =2<<b 即的取值范围是.b22．如图所示，在平行四边形ABCD 中，，E 为边AB 的中点，将2AB BC ==π3DAB ∠=沿直线DE 翻折为，若F 为线段的中点．在翻折过程中，ADE V A DE 'A A C 'ADE V(1)求证：平面；//BF A DE ¢(2)若二面角，求与面所成角的正弦值. 60A DE C '--=︒A C 'A ED '【答案】(1)证明见解析【分析】（1）取的中点，通过证平面平面，可得面.CD G //A DE 'BFG //BF A DE '（2）利用二面角的平面角的定义先找出二面角的平面角即为，再利用面面垂直A DE C '--A OG ∠'的性质定理找到平面的垂线，从而作出与面所成的角，计算可得答案. A DE 'A C 'A ED '【详解】（1）证明：取的中点，连接，CD G FG BG ，为线段的中点，，F A C '//GF A D ∴'平面，平面，平面，FG ⊄ A DE 'A D '⊂A DE '//GF ∴A DE '又，，四边形为平行四边形，则 //DG BE DG BE =∴BEDG //.BG DE 平面，平面，可得平面，BG ⊄A DE 'DE ⊂A DE '//BG A DE '又，，平面， BG GF G = BG GF ⊂BFG 可得平面平面，平面， //A DE 'BFG BF ⊂BFG 则面.//BF A DE '（2）取中点，中点，连接，，， DC G DE O OG A O 'A G '由，为边的中点，2AB BC ==3DAB π∠=E AB得为等边三角形，从而， AE AD ==ADE V DE =60EDC ︒∠=又为的中点所以，又是等边三角形， DG =O DE OG DE ⊥A DE A '所以，所以为二面角的平面角，所以， A O DE '⊥A OG ∠'A DE C '--60A OG ︒∠'=过点作，过作交于，连接，E //EM OA 'A '//A M OE 'M CM是等边三角形，所以可求得，，所以，A DE ' △6A O '=OE =6EM =A M '=，，，，DE A O ⊥' DE OG ⊥//OG CE //EM A O '所以，，又，，面， DE EM ⊥DE EC ⊥EC EM E = EC EM ⊂EMC 所以面，又，所以面，DE ⊥EMC //A M DE 'A M '⊥EMC 平面，所以面面，A M '⊂ A DE 'A DE '⊥EMC 由，在中易求得，又， 6ME =CBE △12CE =60MEC A OG ︒∠=∠'=所以，，MC EM ⊥MC =面面，面，A DE ' EMC EM =MC ⊂EMC 所以面，所以为与平面所成的角， MC ⊥A DE 'MA C ∠'A C 'A DE '在中可求得 Rt A MC 'A A C '=sin MA C ∠'==与面 A C ∴'A ED '。
2020年浙江省宁波市慈溪市六校联考高一(下)期中数学试卷
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.不等式x2-2x-8≥0的解集为（）A. [-2，4]B. （-∞，-2]∪[4，+∞）C. [-4，2]D. （-∞，-4]∪[2，+∞）2.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a5=18，则S5等于（）A. 18B. 36C. 45D. 723.在正项等比数列{a n}中，a1=2，且a1•a5=64，则数列{a n}的前n项和是（）A. 2n-2B. 2n-1C. 2n+1-2D. 2n+1-14.已知数列{a n}是首项a1=4，公比q≠1的等比数列，且4a1，a5，-2a3成等差数列，则公比q等于（）A. B. -1 C. -2 D. 25.在△ABC中，内角A，B，C所对边为a，b，c，且，则∠A=( )A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°6.已知在△ABC中，sin A+sin B=（cos A+cos B）•sin C，则△ABC的形状是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形7.已知a＞b＞0，c＜0，下列不等关系中正确的是（）A. ac＞bcB. a c＞b cC. log a（a-c）＞log b（b-c）D. ＞8.在△ABC中，已知a=2，B=45°，b=1，则该三角形（）A. 无解B. 有一解C. 有两解D. 不能确定9.若正数x，y满足x2+2xy-1=0，则2x+y的最小值是（）A. B. C. D.10.函数f（x）=x2，定义数列{a n}如下：a n+1=f（a n），n∈N*，若给定a1的值，得到无穷数列{a n}满足：对任意正整数n，均有a n+1＞a n，则a1的取值范围是（）A. （-∞，-1）∪（1，+∞）B. （-∞，0）∪（1，+∞）C. （1，+∞）D. （-1，0）二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9=8π，则前9项的和S9=______，cos（a3+a7）的值为______．12.在△ABC中，，b=1，三角形的面积，则c=________，该三角形的外接圆半径R=________．13.设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2=3，S4=15，则公比q=______，S6=______．14.设数列{a n}满足a1=1，且=（n∈N+），则数列{a n}的通项公式a n=______，数列{}的前10项和为______．15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin B=，b=5，A=2B，则边长a的值是______．16.关于x的不等式x2-ax+a+3≥0在区间[-2，0]上恒成立，则实数a的取值范围是______．17.已知实数a，b满足a>|b|，且，则3a+2b的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，cos B=．（Ⅰ）若b=4，求sin A的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S=4，求b、c的值．19.已知a∈R，若关于x的不等式（1-a）x2-4x+6＞0的解集是（-3，1）．（1）解不等式2x2+（2-a）x-a＞0；（2）若ax2+bx+3≥0的解集为R，求实数b的取值范围．20.已知数列{a n}，n∈N*，且a1=2，a n+1=2a n-1．（1）证明数列{a n-1}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n=na n，若{b n}的前n项和为T n，求T n．21.△ABC内角A，B，C所对边为a，c，且2a sin A=（2b+c）sin B+（2c+b）sin C．（1）求角A的大小；（2）若a=，求△ABC周长l的取值范围．22.数列{a n}各项均为正数，其前n项和为S n，且满足．（Ⅰ）求证数列{}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n，并求使T n（m2-3m）对所有的n∈N*都成立的最大正整数m的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由题得（x-4）（x+2）≥0，∴x≥-4或x≤-2∴不等式的解集为（-∞，-2]∪[4，+∞）．故选：B．直接利用因式分解，结合二次函数的图象即可求解不等式得解．本题主要考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．2.【答案】C【解析】解：∵a1+a5=18，∴=45．故选：C．利用等差数列的前n项和直接求解．本题考查等差数列的前5项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】C【解析】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=2，且a1•a5=64，则∴22•q4=64，解得q=2，∴数列{a n}的前n项和==2n+1-2．故选：C．运用等比数列的通项公式，解方程求得公比q，再利用等比数列的前n项和公式求解．本题考查了等比数列的通项公式求和公式质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：∵数列{a n}是首项a1=4，公比q≠1的等比数列，且4a1，a5，-2a3成等差数列，∴2a5=4a1-2a3，∴2（4q4）=4×4-2（4q2），解得q=1（舍）或q=-1．故选：B．由等差数列性质得2a5=4a1-2a3，由此利用等比数列通项公式能求出公比．本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．5.【答案】B【解析】解：根据正弦定理，化简已知的等式得：a2=b2+bc+c2，即b2+c2-a2=-bc，根据余弦定理得：cos A==-，又由于A为三角形的内角，可得：A=120°．故选：B．利用正弦定理化简已知的等式，得到关于a，b及c的关系式，再利用余弦定理表示出cos A，把得出的关系式变形后代入求出cos A的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．此题考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：根据正弦定理，原式可变形为：c（cos A+cos B）=a+b，所以：c（+）=a+b，整理得：a2+b2=c2，可得：∠C=90°．故选：D．利用正弦定理可将已知中的等号两边的“边”转化为它所对角的正弦，再利用余弦定理化简，即得该三角形的形状．本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．7.【答案】D【解析】解：∵a＞b＞0，c＜0，-c＞0，∴a-c＞b-c＞0，ac＜bc，故a（b-c）＞b（a-c），故＞，故选：D．根据不等式的性质求出a（b-c）＞b（a-c）以及a-c＞b-c＞0，从而求出答案．本题考查了不等式的基本性质，考查转化思想，是一道基础题．8.【答案】A【解析】解：由正弦定理得：，可得：sin A=＞1．所以A无解，所以三角形无解．故选：A．由正弦定理求出sin A=即得解．本题主要考查正弦定理，考查三角形解的个数的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．9.【答案】D【解析】解：正数x，y满足x2+2xy-1=0，∴y=＞0，∴0＜x＜1，∴2x+y=2x+=2x+-x=x+≥2=，当且仅当x=时，即x=时取等号，故2x+y的最小值是，故选：D．正数x，y满足x2+2xy-1=0，可得y=，则2x+y=2x+，利用基本不等式求出最值本题考查了基本不等式的应用问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：函数f（x）=x2，定义数列{a n}如下：a n+1=f（a n），∴a n+1=f（a n）＞0，即从第二项开始数列为正数，∵a n+1＞a n，∴a n2＞a n，当n=2时，解得a2＞1，∴a2=a12＞1解得a1＜-1或a1＞1，故选：A．由题意可得，从第二项开始数列为正数，根据数列的特点可得a n2＞a n，当n=2时，解得a2＞1，即a2=a12＞1，解得即可本题考查了函数和数列的问题，关键是掌握数列的增减性，属于中档题11.【答案】24π【解析】解：∵a1+a5+a9=8π，∴3a5=8π，则a5=π，则S9==9a5=π×9=24π，则cos（a3+a7）=cos（2a5）=cos=cos=-cos=，故答案为：24π，．根据等差数列的性质进行求解即可．本题主要考查等差数列的通项公式和求和公式的应用，根据等差数列的性质进行转化是解决本题的关键．12.【答案】4【解析】解：∵A=，b=1，三角形的面积S=，∴由题得：=，解得：c=4．∴由余弦定理得：a2=1+16-2×=13，解得：a=，∵由正弦定理得：=2R，∴=，∴R=．故答案为：4，．由已知利用三角形的面积公式可求c的值，根据余弦定理可求a的值，根据正弦定理即可得解角形的外接圆半径R的值．本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力．13.【答案】2 63【解析】解：∵数列{a n}为正项等比数列，∴q＞0，∵S2，S4-S2，S6-S4成等比数列且公比为q2，∴，∴q=2．∴，得S6=63．故答案为：2，63．数列{a n}为正项等比数列，故q＞0，根据S n，S2n-S n，S3n-S2n成公比为q n的等比数列，可得q的值，再求S6．本题主要考查等比数列的性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是基础题．14.【答案】【解析】解：∵a1=1，且=，所以，，，（（n≥2）把它们左右两边全部相乘得，适合n=1，所以．所以==，所以数列{}的前10项和4（）=．故答案为：（1）．（2）先利用累乘法求出数列的通项，再利用裂项相消法求数列{}的前10项和．本题主要考查累乘法求数列的通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．15.【答案】8【解析】解：sin B=，cos B=，∠A=2∠B，sin A=sin2B=2sin B cosB=2×=．又b=5，由正弦定理可知：a===8．故答案为：8．利用二倍角公式求出A，然后利用正弦定理求出a即可．本题考查正弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．16.【答案】a≥-2【解析】解：由题得=因为-2≤x≤0，∴-3≤x-1≤-1所以=-[]+2当x=-1时得到等号．所以a≥-2．故答案为：a≥-2先分离参数得a≥，再利用基本不等式求右边式子的最大值得解．本题主要考查不等式的恒成立问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．17.【答案】【解析】【分析】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是对3a+2b的变形，属较难题．根据题意，将变形分析可得a-b＞0，据此有3a+2b==×[5（a+b）+（a-b）]×[]=×[6++]，由基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：由a>|b|，且==1，则a>0，a+b>0,a-b>0，则3a+2b==×[5（a+b）+（a-b）]×（）=×[6++]≥3+=3+,当且仅当，即，时上式取等，故答案为：3+．18.【答案】解：（I）∵（2分）由正弦定理得．∴．（5分）（II）∵，∴．∴c=5（7分）由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，∴（10分）【解析】本题考查的知识点是正弦定理与余弦定理，（1）由，我们易求出B的正弦值，再结合a=2，b=4，由正弦定理易求sin A的值；（2）由△ABC的面积S=4，我们可以求出c值，再由余弦定理可求出b值．在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式．而余弦定理在使用时一般要求两边有平方和的形式．19.【答案】解：（1）由题意知1-a＜0且-3，1是（1-a）x2-4x+6=0两个根，则，解得a=3，2x2+（2-a）x-a＞0；为2x2-x-3＞0解得．故不等式的解集为．（2）ax2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0，若此不等式的解集为\R，b2-4×3×3≤0解得-6≤b≤6实数b取值范围为[-6，6]【解析】（1）由题意，求得a=3不等式转化为2x2-x-3＞0，即可求解不等式的解集；（2）由不等式ax2+bx+3≥0，即为32+bx+3≥0，若此不等式的解集为R只需△≤0，可求解实数b取值范围．本题主要考查了一元二次不等式的解法和三个二次式的关系的应用，其中熟记一元二次不等式的解法和三个二次式的关系是解答一元二次不等式问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．20.【答案】解：（1）设c n=a n-1，c1=1，===2．所以数列{a n-1}是以1为首项，2为公比的等比数列，且c n=2n-1．所以a n=2n-1+1．（2）∵b n=na n=n•2n-1+n，∴T n=（1•20+1）+（2•21+2）+…+（n•2n-1+n）=（1•20+2•21+…+n•2n-1）+（1+2+…+n）令s n=（1•20+2•21+…+n•2n-1）①2s n=1•2+2•22+…+n•2n②，②-①得s n=n•2n-（20+…+2n-1）==（n-1）•2n+1∴T n=．【解析】（1）设c n=a n-1，c1=1，再利用等比数列定义证明数列{a n-1}是等比数列，再利用等比数列的通项求出a n．（2）结合（1）可求b n，利用错位相减法求T n．本题主要考查等比数列的性质的判定，考查错位相减和分组求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．21.【答案】解：（1）据题意，得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c，即a2=b2+c2+bc，由余弦定理，得a2=b2+c2-2bc cos A，得cos A=-，又∵A∈（0，π），∴A=．（2）周长l=a+b+c=+b+c，∵b+c，∴l＞2．根据正弦定理，得l=+2R（sin B+sin C）=+2（sin B+sin C），由（1）求解知A=，则B+C=，l=+2[sin B+sin（-B）]=2（sin B+cos B）=+2sin（B+），∴当B=时，取得最大值．∴2l≤．【解析】（1）据题意，得a2=b2+c2+bc，再利用余弦定理得A的值；（2）由题得l=+2（sin B+sin C），化简得l=+2sin（B+），再利用三角函数的图象和性质求出△ABC周长l的取值范围．本题主要考查正弦定理，余弦定理解三角形，考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．22.【答案】（Ⅰ）证明：∵，∴当n≥2时，，整理得，-=1（n≥2），（2分）又，（3分）∴数列{}为首项和公差都是1的等差数列．（4分）∴=n，又S n＞0，∴S n =（5分）∴n≥2时，a n=S n-S n-1=，又a1=S1=1适合此式∴数列{a n}的通项公式为a n =；（（7分）（Ⅱ）解：∵b n ===-（8分）∴T n =1-+-+…+-=1-=（10分）∴T n ≥，依题意有（m2-3m），解得-1＜m＜4，故所求最大正整数m的值为3 （12分）【解析】（Ⅰ）根据数列递推式，再写一式，两式相减，即可证得数列{}为等差数列，求出{S n}的通项，即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用裂项法求数列{b n}的前n项和，再求最值，利用T n（m2-3m），即可求得结论．本题考查等差数列的证明，考查数列的求和，考查解不等式，属于中档题．第11页，共11页。
2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学高一下学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．直线y＝﹣x+1的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．若a＜b＜0，则下列不等式中错误的是（）A．B．C．|a|＞|b|D．a2＞b23．不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10B．﹣10C．14D．﹣144．若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣1B．|a|≤1C．|a|＜1D．a≥15．已知不等式mx2+4mx﹣4＜0对任意实数x恒成立．则m取值范围是（）A．（﹣1，0）B．[﹣1，0]C．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）D．（﹣1，0]6．已知正数x，y，且x+4y＝1，则xy的最大值为（）A．B．C．D．7．△ABC的三个内角为A，B，C，若＝tan，则sin B•sin C的最大值为（）A．B．1C．D．28．等差数列{a n}的公差d≠0，a n∈R，前n项和为S n，则对正整数m，下列四个结论中：（1）S m，S2m﹣S m，S3m﹣S2m成等差数列，也可能成等比数列；（2）S m，S2m﹣S m，S3m﹣S2m成等差数列，但不可能成等比数列；（3）S m，S2m，S3m可能成等比数列，但不可能成等差数列；（4）S m，S2m，S3m不可能成等比数列，也不可能成等差数列；正确的是（）A．（1）（3）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（2）（4）9．在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x+1）2+（y﹣6）2＝25，圆C2：（x﹣17）2+（y﹣30）2＝r2，若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1一次交于点A，B，满足|PA|＝2|AB|，则半径r的取值范围是（）A．[5，55]B．[5，50]C．[10，50]D．[10，55]10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为a，则的最大值是（）A．8B．4C．3D．6二、填空题．11．经过P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接，B（2，1）的线段总有公共点，则直线l的斜率和倾斜角α的取值范围分别为，．12．设直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，当m＝时，l1∥l2，当m ＝时，l1⊥l2．13．数列{a n}中，前n项和为S n．若a1＝2，a2＝3，（n∈N*，n≥3），则a2020＝；S20＝．14．在数列{a n}中，a1＝，a n+1﹣a n＝，则该数列的通项公式a n＝；数列{a n}中最小的项的值为．15．过直线x﹣2y+4＝0和x+y﹣2＝0的交点，且过点（2，﹣1）的直线l的方程为．16．已知数列{a n}的通项公式为a n＝，前n项和为S n．若对于任意正整数n，不等式S2n﹣S n＞恒成立，则常数m所能取得的最大整数为．17．在平面直角坐标系xOy中，若动点P（a，b）到两直线l1：y＝x和l2＝﹣x+1的距离之和为，则a2+b2的最大值是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若b＝2，c＝2，求△ABC的面积；（2）若sin A，sin B，sin C成等比数列，试判断△ABC的形状．19．已知数列{a n}的首项a1＝1，且满足（a n+1﹣1）a n+a n+1＝0（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n＝，求数列{c n}的前n项和S n．20．已知直线l：2x﹣3y+1＝0，点A（﹣1，﹣2）．（1）求点A关于直线l的对称点B的坐标；（2）直线l关于点A对称的直线m的方程；（3）以A为圆心，3为半径长作圆，直线n过点M（2，2），且被圆A截得的弦长为2，求直线n的方程．21．如图，在等腰直角三角形△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2，点M在线段PQ上．（1）若OM＝，求PM的长；（2）若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．22．已知△ABC中，|AB|＝|AC|＝1，，P1为AB边上的一点，BP1≠AB．从P1向BC作垂线，垂足是Q1；从Q1向CA作垂线，垂足是R1；从R1向AB作垂线，垂足是P2，再由P2开始重复上述作法，依次得Q2、R2、P3；Q3、R3、P4……（Ⅰ）令BP n为x n，用x n表示x n+1；（Ⅱ）若P0为AB边上的一点且|BP0|＝，是否存在正整数m，对于任意P1使得点P0与P m之间的距离小于0.001？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（共10小题）.1．直线y＝﹣x+1的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】求出直线的斜率，然后求出直线的倾斜角即可．解：因为直线y＝﹣x+1的斜率为k＝﹣，所以直线的倾斜角为α，tanα＝﹣，所以α＝120°．故选：C．2．若a＜b＜0，则下列不等式中错误的是（）A．B．C．|a|＞|b|D．a2＞b2【分析】利用不等式的基本性质即可得出．解：∵a＜b＜0，∴＞，|a|＞|b|，a2＞ab＞b2．对于B：a＜b＜6时，可得＜，故选：B．3．不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10B．﹣10C．14D．﹣14【分析】不等式ax2+bx+2＞0的解集是，说明方程ax2+bx+2＝0的解为，把解代入方程求出a、b即可．解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是即方程ax2+bx+5＝0的解为则a＝﹣12，b＝﹣6，故选：D．4．若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣1B．|a|≤1C．|a|＜1D．a≥1【分析】先分类讨论去掉绝对值，分别研究在每一段上恒成立，最后求它们的公共部分．解：当x＞0时，x≥ax恒成立，即a≤1当x＝0时，0≥a×6恒成立，即a∈R若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，所以﹣1≤a≤1，故选：B．5．已知不等式mx2+4mx﹣4＜0对任意实数x恒成立．则m取值范围是（）A．（﹣1，0）B．[﹣1，0]C．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）D．（﹣1，0]【分析】由不等式mx2+4mx﹣4＜0对任意实数x恒成立，知m＝0或，由此能求出m的取值范围．解：∵不等式mx2+4mx﹣4＜5对任意实数x恒成立，∴m＝0或，故选：D．6．已知正数x，y，且x+4y＝1，则xy的最大值为（）A．B．C．D．【分析】利用基本不等式先求出xy的范围，从而得到其最大值．解：∵x，y是满x+4y＝1的正数∴x+4y＝1≥6 即xy≤，故选：C．7．△ABC的三个内角为A，B，C，若＝tan，则sin B•sin C的最大值为（）A．B．1C．D．2【分析】由＝tan，可得cos A＝0，A＝．于是sin B•sin C＝，即可得出．解：∵＝tan，∴cos A＝0，∵A∈（0，π），∴A＝．故选：C．8．等差数列{a n}的公差d≠0，a n∈R，前n项和为S n，则对正整数m，下列四个结论中：（1）S m，S2m﹣S m，S3m﹣S2m成等差数列，也可能成等比数列；（2）S m，S2m﹣S m，S3m﹣S2m成等差数列，但不可能成等比数列；（3）S m，S2m，S3m可能成等比数列，但不可能成等差数列；（4）S m，S2m，S3m不可能成等比数列，也不可能成等差数列；正确的是（）A．（1）（3）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（2）（4）【分析】由等差数列的性质可得S m，S2m﹣S m，S3m﹣S2m成等差数列，可知（2）正确；只有当d＝0时，才有S m，S2m，S3m成等比数列，故（4）正确，可得答案．解：由等差数列的性质可得S m，S2m﹣S m，S3m﹣S2m成等差数列，若也成等比数列，则必须有数列为常数列，与d≠0矛盾，只有当d＝0时，才有S m，S2m，S7m成等比数列，故（4）正确故选：D．9．在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x+1）2+（y﹣6）2＝25，圆C2：（x﹣17）2+（y ﹣30）2＝r2，若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1一次交于点A，B，满足|PA|＝2|AB|，则半径r的取值范围是（）A．[5，55]B．[5，50]C．[10，50]D．[10，55]【分析】求出两个圆的圆心距，画出示意图，利用已知条件判断半径r的取值范围即可．解：圆C1：（x+1）2+（y﹣6）2＝25，圆心（﹣1，6）；半径为：5．圆C2：（x﹣17）2+（y﹣30）2＝r6．圆心（17，30）；半径为：r．如图：PA＝2AB，可得AB的最大值为直径，∴r∈[5，55]．故选：A．10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为a，则的最大值是（）A．8B．4C．3D．6【分析】利用三角形的面积公式、余弦定理，化简，再利用辅助角公式，即可求得结论．解：＝，这个形式很容易联想到余弦定理：cos A＝①而条件中的“高”容易联想到面积，a•a＝bc sin A，b2+c2＝2bc（cos A+sin A），故选：B．二、填空题．11．经过P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接，B（2，1）的线段总有公共点，则直线l的斜率和倾斜角α的取值范围分别为，．【分析】分别求出直线PA的斜率和倾斜角，直线PB的斜率和倾斜角，从而得出结论．解：经过P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接，B（2，7）的线段总有公共点，直线PA的斜率为＝，倾斜角为，PB的斜率为＝1，倾斜角为，故答案为：[，8]；[，]．12．设直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，当m＝﹣1时，l1∥l2，当m ＝时，l1⊥l2．【分析】利用直线平行、垂直的性质求解．解：∵直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+6y+2m＝0，l1∥l2，解得m＝﹣1；l3⊥l2，解得m＝；故答案为：﹣1，．13．数列{a n}中，前n项和为S n．若a1＝2，a2＝3，（n∈N*，n≥3），则a2020＝；S20＝29．【分析】由题设条件写出数列{a n}的前几项，找到数列{a n}的项的规律，即可解决问题．解：∵a1＝2，a7＝3，（n∈N*，n≥3），∴a8＝，a4＝＝，a5＝＝，a6＝＝，a7＝＝2，a8＝＝3，…∴a2020＝a336×6+4＝a4＝，S20＝3（a4+a2+…+a6）+a1+a2＝3（2+3++++）+2+6＝29．故答案为：；29．14．在数列{a n}中，a1＝，a n+1﹣a n＝，则该数列的通项公式a n＝；数列{a n}中最小的项的值为．【分析】，然后利用累加法得到结果；得到通项公式之后，分离常数，进而得到数列最小项．解：（1），所以，…，因为，（2）．所以当n为1时，a n取得最小值为故答案为，15．过直线x﹣2y+4＝0和x+y﹣2＝0的交点，且过点（2，﹣1）的直线l的方程为3x+2y ﹣4＝0．【分析】先联立直线方程，求出直线x﹣2y+4＝0和x+y﹣2＝0的交点坐标，从而求出直线l的方程．解：联立方程，解得，所以直线x﹣2y+4＝0和x+y﹣2＝0的交点坐标为（7，2），故直线l的方程为：y＝﹣x+2，即3x+2y﹣7＝0，故答案为：3x+2y﹣4＝0．16．已知数列{a n}的通项公式为a n＝，前n项和为S n．若对于任意正整数n，不等式S2n﹣S n＞恒成立，则常数m所能取得的最大整数为5．【分析】由已知条件，推导出S2n﹣S n＝++…+，设b n＝S2n﹣S n，推导出b n+1﹣b n＝+﹣＞0，得到{b n}的最小值是b1，由此能求出结果．解：∵数列{a n}的通项公式为a n＝，前n项和为S n．S n＝a1+a2+a3+…+a n，∴S2n﹣S n＝a n+6+a n+2+…+a2n＝++…+，则b n+1﹣b n＝（++…+++）﹣（++…+）∴{b n}是递增数列∵不等式S2n﹣S n＞恒成立，∴b1＞．∴，解得m＜．故答案为：5．17．在平面直角坐标系xOy中，若动点P（a，b）到两直线l1：y＝x和l2＝﹣x+1的距离之和为，则a2+b2的最大值是．【分析】根据题意，设动点P（a，b）到两直线l1：y＝x和l2：y＝﹣x+1的距离为d1，d2，利用点到直线的距离公式可得：|a﹣b|+|a+b﹣1|＝4．通过分类讨论可知：点（a，b）是一个正方形的4条边，结合a2+b2的几何意义分析可得答案．解：根据题意，设动点P（a，b）到两直线l1：y＝x和l2：y＝﹣x+1的距离为d7，d2，则d1＝，d2＝，变形可得：|a﹣b|+|a+b﹣1|＝4，①当时，①式变形为b＝﹣；当时，①式变形为a＝﹣；a2+b2的几何意义为正方形边上任意一点与原点距离的平方，则当P在A点时，a2+b2的最大值，且其最大值为+＝；故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若b＝2，c＝2，求△ABC的面积；（2）若sin A，sin B，sin C成等比数列，试判断△ABC的形状．【分析】（1）根据A、B、C成等差数列，结合A+B+C＝π算出B＝，再由正弦定理得sin C＝＝．根据b＞c得C为锐角，得到C＝，从而A＝π﹣B﹣C＝，△ABC是直角三角形，由此不难求出它的面积；（2）根据正弦定理，结合题意得b2＝ac，根据B＝利用余弦定理，得b2＝a2+c2﹣ac，从而得到a2+c2﹣ac＝ac，整理得得（a﹣c）2＝0，由此即可得到△ABC为等边三角形．解：∵A、B、C成等差数列，可得2B＝A+C．∴结合A+B+C＝π，可得B＝．∴由正弦定理，得sin C＝＝＝．因此，△ABC的面积为S＝＝×＝．∴由正弦定理，得b2＝ac∴a2+c4﹣ac＝ac，整理得（a﹣c）2＝0，可得a＝c∵B＝，∴A＝C＝，可得△ABC为等边三角形．19．已知数列{a n}的首项a1＝1，且满足（a n+1﹣1）a n+a n+1＝0（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n＝，求数列{c n}的前n项和S n．【分析】（1）由满足（a n+1﹣1）a n+a n+1＝0（n∈N*）．整理得﹣＝1，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）由（1）知：c n＝＝n•3n，再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．解：（1）由满足（a n+1﹣1）a n+a n+1＝0（n∈N*）．整理得﹣＝1，∴＝1+（n﹣1）＝n，（2）由（1）知：c n＝＝n•3n，∴3S n＝32+8×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，∴S n＝×3n+1+．20．已知直线l：2x﹣3y+1＝0，点A（﹣1，﹣2）．（1）求点A关于直线l的对称点B的坐标；（2）直线l关于点A对称的直线m的方程；（3）以A为圆心，3为半径长作圆，直线n过点M（2，2），且被圆A截得的弦长为2，求直线n的方程．【分析】（1）根据斜率，中点关系，得出求解即可．（2）利用直线关于点的对称的直线上的点的关系求解．（3）直线n斜率不存在时不符合题意；用点斜式设出直线n的方程，由弦长为2，半径为3，可得弦心距为，即圆心（﹣1，﹣2）到直线n的距离为，由此利用点到直线的距离公式求得k的值，可得直线n的方程．解：（1）设点A关于直线l的对称点B的坐标为（x0，y0），∵直线l：2x﹣3y+1＝6，解得x0＝﹣，y0＝；（2）设直线l关于点A（﹣2，﹣2）对称的直线m上的点的坐标为N（x，y）．∴N′（﹣2﹣x，﹣4﹣y）在直线l：2x﹣3y+1＝3上，（3）当直线n的斜率不存在时，n的方程为x＝2，此时直线与圆A相切，与题意不符；由弦长为2，半径为3，可得弦心距d＝＝，9k2+16﹣24k＝2+5k2，7k8﹣24k+14＝0直线n的方程为y＝（x﹣2）+2．21．如图，在等腰直角三角形△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2，点M在线段PQ上．（1）若OM＝，求PM的长；（2）若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．【分析】（1）在△OPQ中，由余弦定理得，OM2＝OP2+MP2﹣2•OP•MP cos45°，解得MP即可．（2）∠POM＝α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理求出OM，同理求出ON，推出三角形的面积，利用两角和与差的三角函数化简面积的表达式，通过α的范围求出面积的最大值．解：（1）在△OPQ中，∠OPQ＝45°，OM＝，OP＝2，由余弦定理得，OM2＝OP2+MP5﹣2•OP•MP cos45°，（2）设∠POM＝α，0°≤α≤60°，所以，同理…8′＝＝＝＝ (14)所以当α＝30°时，sin（2α+30°）的最大值为1，即∠POM＝30°时，△OMN的面积的最小值为8﹣6． (16)22．已知△ABC中，|AB|＝|AC|＝1，，P1为AB边上的一点，BP1≠AB．从P1向BC作垂线，垂足是Q1；从Q1向CA作垂线，垂足是R1；从R1向AB作垂线，垂足是P2，再由P2开始重复上述作法，依次得Q2、R2、P3；Q3、R3、P4……（Ⅰ）令BP n为x n，用x n表示x n+1；（Ⅱ）若P0为AB边上的一点且|BP0|＝，是否存在正整数m，对于任意P1使得点P0与P m之间的距离小于0.001？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）由平面向量数量积的运算可得∠BAC＝60°，即△ABC是边长为1的正三角形；由BP n＝x n，可推出BQ n和CQ n的长，同理可用含x n的式子表示出CR n和AR n，以及AP n+1和BP n+1，从而得解．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，可构造以x1﹣为首项，﹣为公比的等比数列{x n﹣}，从而得其通项公式；由P0P m＝|BP m﹣BP0|可推出P0P m＝|x1﹣|•，再利用放缩法和试验法即可得解．解：（Ⅰ）由|AB|＝|AC|＝1，得：∠BAC＝60°，所以△ABC是边长为1的正三角形，同理可得，，，故．所以数列{x n﹣}是以x1﹣为首项，﹣为公比的等比数列，所以P0P m＝|BP m﹣BP2|＝|x m﹣|＝|x1﹣|•≤|1﹣|•＝•＜0.001，当m＝4时，，所以m≥4，故m的最小值为4．。
2020年浙江省宁波市鄞州中学高一下学期期中数学试题(附带详细解析)
解：因为 且 ，
由正弦定理 可得： ，
则 ，
又 为锐角三角形，
则 ，解得： ，
即 ，
即 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查了正弦定理及正弦的二倍角公式，重点考查了三角函数的值域的求法，属中档题.
9．B
【解析】
试题分析：令 ，则 ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，即 是以 为首项， 为公差的等差数列， 是以 为首项， 为公差的等差数列∴ ， ， ．
19．过点 作直线l分别交x轴的正半轴，y轴的正半轴于A，B两点.
（1）当 取最小值时，求出最小值及直线l的方程；
（2）当 取最小值时，求出最小值及直线l的方程.
20．（1）解关于x不等式 .
（2）若对于 ，不等式 恒成立，求x的取值范围.
21．已知数列 中, .
（1）求证： 是等比数列,并求 的通项公式 ；
A．若 ,则 有一解B．若 ,则 有两解
C．若 ,则 有两解D．若 ,则 有两解
6．已知数列 满足 ，那么 等于（）
A． B． C． D．
7．若关于 的不等式 有实数解，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．在锐角 中，角 所对的边长分别为 ，若 且 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
（2）数列 满足 ,数列 的前 项和为 ,若不等式 对一切 恒成立,求 的取值范围.
22．己知数列 是各项均不为0的等差数列， 为其前n项和，且满足 ， ，数列 的前n项和为 .
（1）求数列 的通项公式及数列 的前n项和 .
（2）是否存在正整数 ，使得 ， ， 成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由.
9．数列 满足 ，若 ，则 （）
2020-2021学年浙江省宁波市北仑中学1班学高一(下)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年浙江省宁波市北仑中学1班学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共16小题，共80.0分）1.(2x+1)7的展开式中x2的系数是()A. 21B. 42C. 84D. 1682.下列求导数运算正确的是()A. (1x)′=x−2 B. (2x)′=2x ln2C. (ln2x)′=12x D. (sinπ6)′=cosπ63.根据如下样本数据：得到经验回归方程为ŷ=b̂x+â，则()A. â<0，b̂<0B. â>0，b̂>0C. â<0，b̂>0D. â>0，b̂<04.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排，甲乙不相邻的排列方法有()A. 12种B. 48种C. 72种D. 120种5.目前国家为进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策．假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个小孩的家庭，如果已经知道这个家庭有女孩，那么在此条件下该家庭也有男孩的概率是()A. 37B. 12C. 34D. 676.济南市为实现“节能减排，绿色出行”，自2018年起大力推广新能源出租车、网约车．截止目前，全市出租车已有38%换装为新能源汽车，网约车中更是有51%的车辆为新能源汽车．某人从泉城广场通过手机软件打车功能，同时呼叫出租车与网约车，该软件平台向附近42辆出租车和21辆网约车推送接单信息(假设平台呼叫范围内新能源车比例与全市区域相同，每位司机接单机会相同)，该乘客被新能源汽车接单的概率约为()A. 42.3%B. 44.5%C. 46.7%D. 50%7.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家数p ，使得p +2是素数．素数对(p,p +2)称为孪生素数对．从8个数对(3,5)，(5,7)，(7,9)，(9,11)，(11,13)，(13,15)，(15,17)，(17,19)中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为X ，则E(X)=( )A. 38B. 12C. 32D. 38. 已知函数f(x)的定义域为R ，f′(x)>1，f(1)=−1，则f(x)>x −2的解集为( )A. (−∞,1)B. (1,+∞)C. (−∞,−1)D. (−1,+∞)9. m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC. 若m//α，n ⊥m ，则n ⊥αD. 若m ⊥α，m ⊥n ，则n//α10. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB 与CD 的位置关系为( )A. 平行B. 相交成60°角C. 异面成60°角D. 异面且垂直11. 如图所示，△ABC 中，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗=23EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD 与BE 相交于点M ，且BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y 的值为( )A. 1114B. 87C. 57D. 131412. 已知A ，B 是圆O ：x 2+y 2=1上的两个动点，|AB|=√3，OC⃗⃗⃗⃗⃗ =3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为线段AB 的中点，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 14B. 12C. 34D. 3213. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为√33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为4√3，则C 的方程为( )A. x 23+y 22=1 B. x 23+y 2=1C. x 212+y28=1 D. x 212+y24=1 14. 设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A. 3√34B. 9√38C. 6332D. 9415.直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90°，CA=CB=CC1=2，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则BM与AN所成的角的余弦值为()A. 110B. 25C. √3010D. √2216.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段B1C的中点，F是棱C1D1上的动点，若点P为线段BD1上的动点，则PE+PF的最小值为()A. 1+√22B. 3√22C. √62D. 5√26二、多选题（本大题共8小题，共40.0分）−x)6的展开式中，下列说法正确的是()17.在(1xA. 常数项是20B. 第4项的二项式系数最大C. 第3项是15x2D. 所有项的系数的和为018.目前有望战胜新冠病毒的有效策略之一就是疫苗的接种预防．装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数(简称：膨胀系数).某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X1服从正态分布N(4.4,0.09)，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X2服从正态分布N(4.7,0.01)，则下列选项正确的是()附：若随机变量X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.6827．A. 甲生产线硼硅玻璃膨胀系数范围在(4.1,4.7)的概率约为0.6827B. 甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中C. 若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃膨胀系数不能超过5.则乙生产线生产的硼硅玻璃符合标准的概率更大D. 乙生产线所产的砌硅玻璃膨胀系数小于4.5的概率与大于4.8的概率相等19.已知由样本数据(x i,y i)，i=1，2，3，4，5，6求得的经验回归方程为ŷ=2x+1，且x−=3.现发现一个样本数据(8,12)误差较大，去除该数据后重新求得的经验回归直线l的纵截距依然是1，则下列说法正确的是()A. 去除前变量x每增加1个单位，变量y一定增加2个单位B. 去除后剩余样本数据中x的平均数为2C. 去除后的经验回归方程为ŷ=2.5x+1D. 去除后相关系数r变大20.已知函数f(x)=lnx−ax，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2，则下列说法正确的是()A. x1lnx2=x2lnx1B. 2e<x1+x2<e2C. x1x2>e2D. 1lnx1+1lnx2>221.下列命题正确的是()A. 若两条平行直线中的一条直线与一个平面相交，则另一直线也与这个平面相交．B. 若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，则另一直线也与这个平面平行．C. 过空间任意一点，可作一个平面与异面直线a，b都平行．D. 若在空间内存在两条异面直线同时平行于平面α，β，则α//β．22.a，b，c分别为△ABC中三个内角A，B，C的对边，下列结论中正确的是()A. 若cosA=cosB，则△ABC为等腰三角形B. 若A>B，则sinA>sinBC. 若a=8，c=10，B=60°，则符合条件的△ABC有且仅有两个D. 若sin2A+sin2B<sin2C，则△ABC为钝角三角形23.如图，ABCD是棱长为a的正四面体，过△ACD的中心P作一个与直线AB，CD都平行的截面，则关于这个截面的说法中正确的是()A. 截面与侧面ABC的交线平行于侧面ABDB. 截面是一个三角形C. 截面是一个矩形D. 截面的面积为2a224. 若a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 均为单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =0，(a ⃗ −c ⃗ )⋅(b ⃗ −c ⃗ )≤0，则|a ⃗ +b ⃗ −c ⃗ |的值可能为( )A. √2−1B. 1C. √2D. 2三、单空题（本大题共7小题，共35.0分）25. 已知随机变量X 的分布如表，则D(X)=______．X 01Pa2a26. 为调查某企业年利润Y(单位：万元)和它的年研究费用x(单位：万元)的相关性，收集了5组成对数据(x,y)，如表所示： x 1 2 3 4 5 Y50607080100由上表中数据求得Y 关于x 的经验回归方程为y =12x +a ，据此计算出样本点(4,80)处的残差(残差=观测值−预测值)为______．27. 为庆祝中国共产党成立100周年，某学校举行文艺汇演．该校音乐组9名教师中3人只会器乐表演，5人只会声乐表演，1人既会器乐表演又会声乐表演，现从这9人中选出3人参加器乐表演，4人参加声乐表演，每人只能参加一种表演，共有______种不同的选法．(用数字作答) 28. 已知函数f(x)=e 2x ，g(x)=lnx+1x，若f(x)图象向下平移k(k >0)个单位后与g(x)的图象有交点，则k 的最小值为______．29. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a =2且(2+b)(sinA −sinB)=(c −b)sinC ，则△ABC 面积的最大值为 ． 30. 如图，在△ABC 中，点P 是AB 上的点，且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，且Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数t =______．31. 已知a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 是平面中的三个单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则|2c⃗ −a ⃗ |+|12c ⃗ −b ⃗ |的最小值是______．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分） 32. 过点M(1,1)作斜率为−1的直线与椭圆C ：x 2+y 2=1(a >b >0)相交于A ，B ，则五、解答题（本大题共12小题，共140.0分）33.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+1在x=1处有极值，其图象经过点(2,3)，且f′(0)=−1．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在x=−1处的切线方程．34.为了研究某种疾病的治愈率，某医院对100名患者中的一部分患者采用了外科疗法，另一部分患者采用了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图，如下：(1)根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的2×2列联表：(2)依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有关．(如需计算Χ2，结果精确到0.001)附：Χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d))(a+c)(b+d)Χ2独立性检验中常用小概率值和相应的临界值35.某商场举办店庆活动，消费者凭借购物发票进行现场抽奖．抽奖盒中装有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同抽奖规则为：抽奖者一次从中摸出2个小球，若摸到2个红球就中奖，否则均为不中奖．小球用后放回盒子，下一位抽奖者继续抽奖．(1)求每一位抽奖者中奖的概率；(2)现有甲，乙、丙三人依次抽奖，用X表示中奖的人数，求X的分布列及均值．36.已知函数f(x)=e x[ax2−(3a+1)x+3a+2]．(1)当a=2时，求函数f(x)的极值；(2)当a<1时，讨论函数f(x)的单调性．37.2021年新高考数学试卷中多选题规定：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明在做多选题的第11题、第12题时通常有两种策略：策略A：为避免有选错的得0分，在四个选项中只选出一个自已最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做．这种策略每个题耗时约3分钟．策略B：争取将该问题得5分，选出自己认为正确的全部选项．这种策略每个题耗时约6分钟．某次数学考试临近，小明通过前期大量模拟训练得出了其各种策略下11题和12题的作答情况如下：第11题：如果采用策略A，选对一个选项的概率为0.8，采用策略B，部分选对的概率为0.5，全部选对的概率为0.4；第12题：如果采用策略A，选对一个选项的概率为0.7，采用策略B，部分选对的概率为0.6，全部选对的概率为0.3．如果这两题总用时超过10分钟，其他题目会因为时间紧张少得2分．假设小明作答两题的结果互不影响．(1)若小明同学此次考试中决定11题采用策略B、12题采用策略A，设此次考试他11题和12题总得分为X，求X的分布列；(2)小明考前设计了以下两种方案：方案1：11题采用策略B，12题采用策略A；方案2：11题和12题均采用策略B．如果你是小明的指导老师，从整张试卷尽可能得分更高的角度出发，根据小明的实际情况，你赞成他的第几种方案，并说明理由．38. 已知函数f(x)=lnx −ax +1．(1)若f(x)≤0恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求证：当n ∈N +时，1+12+13+⋅⋅⋅+1n +e >ln(n +1)+(1+1n )n 成立．39. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.设(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ． (1)求A ；(2)若√2a +b =2c ，求sin C ．40. 如图：在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是平行四边形，A(4,0),C(1,√3)，点M 是OA 的中点，点P 在线段BC 上运动(包括端点) (1)求u =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值． (2)是否存在实数λ，使(λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．41.如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=π，OA⊥底面ABCD，OA=2，4M为OA的中点，N为BC的中点．(Ⅰ)证明：直线MN//平面OCD；(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小．42.四面体ABCD中，AC=8，BD=6，直线AC和BD所成的角为60°，平面α与四面体的棱AB，BC，CD，DA分别相交于点E，F，G，H，且四边形EFGH恰为平行四边形；(1)求证：直线AC//平面α；(2)当平面α变化时，求平行四边形EFGH的面积S的最大值．43. 如图，A ，B 是单位圆上的相异两定点(O 为圆心)，且∠AOB =θ(θ为锐角).点C 为单位圆上的动点，线段AC 交线段OB 于点M ．(1)求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (结果用θ表示)； (2)若θ=60°①求CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围； ②设OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<t <1)，记S△COM S△BMA=f(t)，求函数f(t)的值域．44. 已知椭圆T ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =35，过右焦点F 2且与x 轴垂直的直线被椭圆T 截得的线段长为325． (1)求椭圆T 的方程；(2)设A 为椭圆T 的左顶点，B ，C 是椭圆T 上的不同两点(与A 不重合)，直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1⋅k 2=−425，证明直线BC 过一个定点，并求出这个定点的坐标．答案和解析1.【答案】C【解析】解：(2x+1)7二项展开式的通项公式为T r+1=C7r⋅(2x)7−r⋅1r=C7r⋅27−r⋅x7−r，令7−r=2，解得r=5，所以x2的系数是C75⋅25=84．故选：C．利用二项展开式的通项公式求解即可．本题考查了二项式定理的应用，特定项的求解，二项展开式的通项公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：(1x )′=(x−1)′=−1x2，(ln2x)′=12x×2=1x，(sinπ6)′=0，故A、C、D错误．故选：B．利用基本初等函数的导数公式判断．本题考查基本初等函数的导数公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由表格可知，Y随着x的值增加而减小，故b̂<0，又当x=0时，Y应该大于6.5，故â>0．故选：D．通过表格中数据，分析Y随着x的值是增加还是减小，从而可判断b̂的情况，由x=0，即可判断â的情况．本题考查了线性回归方程的理解，解题的关键是正确理解b̂与â的含义，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①先将丙、丁、戊三人排好，有A33=6种排法，②排好后，有4个空位，将甲乙安排在空位中，有A24=12种排法，则甲乙不相邻的排列方法6×12=72种；故选：C．根据题意，利用插空法，先排除甲乙之外的3人，形成4个空，再把甲乙插入空位即可．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：随机选择一个有三个小孩的家庭，知道这个家庭有女孩，基本事件有：(女女女)，(女女男)，(女男女)，(男女女)，(女男男)，(男女男)，(男男女)，共7个，其中该家庭也有男孩包含的基本事件有：(女女男)，(女男女)，(男女女)，(女男男)，(男女男)，(男男女)，共6个，∴已经知道这个家庭有女孩的条件下该家庭也有男孩的概率是P=6．7故选：D．利用列举法能求出结果．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A≈0.423=42.3%．【解析】解：新能源汽车接单的概率约为0.38×42+0.51×2142+21故选：A．估计42辆出租车和21辆网约车中新能源汽车的数量，再计算概率．本题考查用样本估计总体，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：由题意可知，这8个数对中只有(3,5)，(5,7)，(11,13)，(17,19)是孪生素数对，则X 的可能取值为0，1，2，3， 故P(X =0)=C 43C 40C 83=114，P(X =1)=C 42C 41C 83=37， P(X =2)=C 41C 42C 83=37，P(X =3)=C 40C 43C 83=114，所以E(X)=0×114+1×37+2×37+3×114=32． 故选：C ．先求出随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，由数学期望的计算公式求解即可．本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：不等式f(x)>x −2等价于f(x)−x +2>0，构造函数F(x)=f(x)−x +2， 又F(1)=f(1)−1+2=0，不等式等价于F(x)>F(1)．因为F′(x)=f′(x)−1>0，所以F(x)在R 上单调递增，所以不等式的解为x >1． 故选：B ．构造函数F(x)=f(x)−x +2，将不等式转化为F(x)>F(1)，利用单调性解不等式． 本题考查利用导数判断函数的单调性，利用单调性解抽象不等式，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：由m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，知： 对于A ，若m//α，n//α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； 对于B ，若m ⊥α，n ⊂α，则由线面垂直的性质得m ⊥n ，故B 正确； 对于C ，若m//α，n ⊥m ，则n 与α相交、平行或n ⊂α，故C 错误； 对于D ，若m ⊥α，m ⊥n ，则n//α或n ⊂α，故D 错误． 故选：B ．对于A ，m 与n 相交、平行或异面；对于B ，由线面垂直的性质得m ⊥n ；对于C ，n 与α相交、平行或n ⊂α；对于D ，n//α或n ⊂α．本题考查命题真假的判断，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力等数学核心素养，是中档题．10.【答案】C【解析】解：如图，直线AB ，CD 异面． 因为CE//AB ，所以∠DCE 即为直线AB ，CD 所成的角， 因为△CDE 为等边三角形， 故∠DCE =60° 故选：C ．以CD 所在平面为底面，将正方体的平面展开图还原成直观图，因为CE//AB ，所以∠DCE 即为直线AB ，CD 所成的角，在△CDE 中求解即可．本题以图形的折叠为载体，考查平面图形向空间图形的转化，考查折叠问题、异面直线的判断及异面直线所成的角，考查空间想象能力和运算能力．11.【答案】C【解析】解：∵A ，M ，D 三点共线，可得：BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴x =12t ，y =1−t ，化为：2x +y =1．设BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =k(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 代入可得：BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=35k BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴x =35k ，y =25k ，可得：2y =3x ， 联立2x +y =1，2y =3x ， 解得x =27，y =37． ∴x +y =57． 故选：C ．A ，M ，D 三点共线，利用向量共线定理可得：BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合平面向量基本定理可得x =12t ，y =1−t ，消去t 化为：2x +y =1.设BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =k(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )，又AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，代入可得：BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =35k BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合平面向量基本定理可得：2y =3x ，解出x ，y ，即可得出．本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理、转化方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由题意得|OA|=1，|OB|=1，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 由余弦定理得cos <OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=12+12−(√3)22⋅1⋅1=−12，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1⋅1⋅cos <OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=−12， OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=14． 故选：A ．根据向量的运算几何意义用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，用向量数量积性质求解． 本题考查了向量运算的几何意义及运算规律，属于中档题．13.【答案】A【解析】 【分析】本题考查椭圆的定义与标准方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．利用△AF 1B 的周长为4√3，求出a =√3，根据离心率为√33，可得c =1，求出b ，即可得出椭圆的方程． 【解答】解：∵△AF 1B 的周长为4√3，且△AF 1B 的周长为|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=2a +2a =4a ， ∴4a =4√3， ∴a =√3， ∵离心率为√33，∴c a=√33，解得c =1，∴b =√a 2−c 2=√2， ∴椭圆C 的方程为x 23+y 22=1．故答案选：A ．14.【答案】D【解析】 【分析】本题考查抛物线中的面积问题，属于中档题．由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A ，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y 的一元二次方程，由根与系数关系得到A ，B 两点纵坐标的和与积，把△OAB 的面积表示为两个小三角形AOF 与BOF 的面积和得答案． 【解答】解：由y 2=2px ，得2p =3，p =32，则F(34,0)， ∴过A ，B 的直线方程为y =√33(x −34)，即x =√3y +34， 联立{y 2=3xx =√3y +34, 得4y 2−12√3y −9=0，Δ>0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则y 1+y 2=3√3，y 1y 2=−94，∴S △OAB =S △OAF +S △OFB =12×34|y 1−y 2| =38√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =38×√(3√3)2+9=94． 故选：D ．15.【答案】C【解析】解：如图所示，建立空间直角坐标系，可得A(2,0，0)，B(0,2，0)，M(1,1，2)，N(1,0，2)．∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，2)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,2)，∴cos <AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−1+4√5×√6=√3010， 故选：C ．如图所示，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出异面直线所成的角．本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了空间几何体中距离和的计算问题，解题的关键是把空间问题转化为平面问题解答，是难题．连接BC 1，得出点P 、E 、F 在平面BC 1D 1中，问题转化为在平面内直线BD 1上取一点P ，求点P 到定点E 的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，利用平面直角坐标系，求出点E 关于直线BD 1对称的点的坐标即可． 【解答】解：连接BC 1，则BC 1∩B 1C =E ，点P 、E 、F 在平面BC 1D 1中，且BC 1⊥C 1D 1，C 1D 1=1，BC 1=√2，如图1所示；在Rt △BC 1D 1中，以C 1D 1为x 轴，C 1B 为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2所示；则D 1(1,0)，B(0,√2)，E(0,√22)；设点E 关于直线BD 1的对称点为E′， ∵BD 1的方程为x +√2=1①， ∴k EE′=−√2=√22， ∴直线EE′的方程为y =√22x +√22②，由①②组成方程组，解得{x =13y =2√23， 直线EE′与BD 1的交点M(13,2√23)； 所以对称点E′(23,5√26)， ∴PE +PF =PE′+PF ≥E′F =5√26． 故选：D ．17.【答案】BD【解析】解：(1x −x)6的二项展开式的通项公式为T r+!=C6r⋅(1x)6−r⋅(−x)r=C6r⋅x2r−6⋅(−1)r，对于A，当2r−6=0，即r=3时，常数项为T4=C63⋅(−1)3=−20，故选项A错误；对于B，第4项的二项式系数为C63是最大的，故选项B正确；对于C，第3项是T3=C62⋅x−2⋅(−1)2=15x−2，故选项C错误；对于D，令x=1，则(1x−x)6=(1−1)6=0，故所有项的系数的和为0，故选项D正确．故选：BD．利用二项式展开式的通项公式，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了二项式定理的应用，主要考查了所有项系数之和，二项展开式的二项式系数，特定项的求解，二项展开式的通项公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．18.【答案】AC【解析】解：对于A，由题意可知，μ1=4.4，σ1=0.3，μ2=4.7，σ2=0.1，所以P(4.3<x1<4.7)=P(μ1−σ1<x1<μ1+σ1)≈0.6827<7，故选项A正确；对于B，由于σ1>σ2，则甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更不集中，故选项B错误；对于C，P(x1≤5)=P(x1≤μ1+2σ1)=12+P(μ1<x1≤μ1+σ1)+P(μ1+σ1<x1≤μ1+2σ1)=0.84135+P(μ1+σ1<x1≤μ1+2σ1)，P(x2≤5)=P(x2≤μ2+2σ2)=12+P(μ2<x2≤μ2+σ2)+P(μ2+σ2<x2≤μ2+3σ2)=0.84135+P(μ2+σ2<x2≤μ2+3σ2)，所以乙生产线生产的硼硅玻璃符合标准的概率更大，故选项C正确；对于D，P(x2<4.5)=P(x2<μ2−2σ2)，P(x2>4.8)=P(x2>μ2+2σ2)，则P(x2<4.5)≠P(x2>4.8)，故选项D错误．故选：AC ．利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，解题的关键是掌握正态分布曲线的对称性，对正态分布N (μ，σ 2)中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ 2而不是σ，属于中档题．19.【答案】BCD【解析】解：当x −=3时，y −=2×3+1=7，因为∑66i=1x −=18,∑66i=1y −=42，所以去掉样本数据(8,12)的新数据中， x −′=∑x i 6i=1−85=2,y −′=∑y i 6i=1−125=6，设去除该数据后重新求得的回归直线l 为y =ax +1， 又2a +1=6，解得a =2.5，故y ̂=2.5x +1，对于A ，去除前变量x 每增加1个单位，变量y 大于增加2个单位，故选项A 错误； 对于B ，去除后剩余样本数据中x 的平均数为2，故选项B 正确； 对于C ，去除后的经验回归方程为y ̂=2.5x +1，故选项C 正确； 对于D ，去除了误差较大的样本数据，相关系数r 变大，故选项D 正确． 故选：BCD ．先求出去掉样本数据(8,12)的新数据的样本中心，从而求出新数据的回归方程，然后对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了线性回归方程的求解与应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．20.【答案】ACD【解析】解：因为f(x)有两个零点x 1，x 2，不妨设x 1<x 2， 所以lnx −ax =0在(0,+∞)上有两个根， 即a =lnx x在(0,+∞)上有两个根，令y =a ，g(x)=lnx x(x >0)，则y =a 与g(x)=lnx x(x >0)有两个交点， g′(x)=1x⋅x−lnx x 2=1−lnx x 2，当x >e 时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 当0<x <e 时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 所以g(x)≤g(e)=1e ， 所以0<a <1e ，0<x 1<e ，x 2>e ， 对于A ：根据题意可得lnx 1−ax 1=0，lnx 2−ax 2=0， 所以lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2，所以lnx 1lnx 2=ax1ax 2，即x 1lnx 2=x 2lnx 1，故A 正确； 对于B ：当a →0+时，x 2→+∞，此时x 1+x 2>e 2，所以B 错误， 对于C ，lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2，令t =x2x 1>1，则x 2=tx 1，所以lnx 1lnx 2=x1x 2⇒lnx 1lnx1+lnt=1t ⇒lnx 1=lntt−1， 所以lnx 2=ln(tx 1)=lnt +lnx 1=lnt +lntt−1=tlnt t−1，则lnx 1+lnx 2=(t+1)lnt t−1，下面证明lnx 1+lnx 2>2，即证(t+1)lnt t−1>2，即证lnt >2(t−1)t+1，即证lnt −2(t−1)t+1>0，令ℎ(x)=lnx −2(x−1)x+1,ℎ′(x)=(x−1)2x(x+1)2⩾0，所以函数ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，当x >1时，ℎ(x)>ℎ(1)=0， 所以lnt −2(t−1)t+1>0，所以lnx 1+lnx 2>2⇒x 1x 2>e 2，故C 正确．对于D ：不妨设x 1<x 2，则lnx 1−ax 1=0，lnx 2−ax 2=0， 所以lnx 2−lnx 1=a(x 2−x 1)， 要证1lnx 1+1lnx 2>2，只需证1x 1+1x 2>2a ，只需证x 1+x 22x1x 2>a ， 只需证：x 1+x 22x1x 2>lnx 2−lnx 1x 2−x 1，只需证：x 22−x 122x1x 2>ln x2x1，只需证：ln x 2x 1<12(x 2x 1−x1x 2)，令t =x2x 1>1，即证lnt <12(t −1t )，设φ(t)=lnt −12(t −1t )， 则φ′(t)=2t−t 2−12t 2<0，所以φ(t)在(1,+∞)上单调递减， 则φ(t)<φ(1)=0，即1lnx 1+1lnx 2>2，故D 正确；故选：ACD ．函数f(x)有两个零点x 1，x 2，所以0<a <1e ，0<x 1<e ，x 2>e ，再依次判断各个选项即可．本题考查极值点偏移，考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、最值，利用导数证明不等式，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于难题．21.【答案】AD【解析】解：对于A ，若两条平行直线中的一条直线与一个平面相交，则由平行线的性质和直线与平面相交的定义得另一直线也与这个平面相交，故A 正确； 对于B ，若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行， 则另一直线也与这个平面平行或在这个平面内，故B 错误；对于C ，当点在两条异面直线的一条上时，没有平面与异面直线a ，b 都平行，故C 错误；对于D，若在空间内存在两条异面直线同时平行于平面α，β，则由面面平行的判定定理得α//β，故D正确．故选：AD．对于A，由平行线的性质和直线与平面相交的定义得另一直线也与这个平面相交；对于B，另一直线也与这个平面平行或在这个平面内；对于C，当点在两条异面直线的一条上时，没有平面与异面直线a，b都平行；对于D，由面面平行的判定定理得α//β．本题考查命题真假的判断，涉及空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间思维能力等数学核心素养，是中档题．22.【答案】ABD【解析】解：对于A，∵cosA=cosB，又∵A，B∈(0,π)，y=cosx在(0,π)单调递减，∴A=B，即这个三角形是等腰三角形，故正确；对于B，三角形ABC中，若A>B，则a>b，则2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB，故正确；对于C，由于a=8，c=10，B=60°，=84，利用余弦定理：b2=a2+c2−2accosB=64+100−2×8×10×12解得b=2√21，故△ABC有一解，故错误；对于D，若sin2A+sin2B<sin2C，根据正弦定理整理得：a2+b2<c2，<0，则△ABC是钝角三角形，故正确．所以cosC=a2+b2−c22ab故选：ABD．对于A，由已知利用余弦函数的单调性即可得解A=B，从而得解；对于B，由正弦定理即可检验得解；对于C，由余弦定理即可求解；对于D，利用正弦定理，余弦定理即可求解．本题考查三角形的形状判断，考查正弦定理，余弦定理及三角函数的性质，属于三角与向量的综合，属于中档题．23.【答案】ACD【解析】解：过P作HE//CD，过H，作HG//AB，交BC于G，过E，作EF//AB，交BD于F，连接GF，则平面EFGH就是所作的平面，此时，EFGH是矩形，所以C 正确；B不正确；截面与平面ABC的交线为GH，GH//EF，GH//侧面ABD，所以A正确；HE=23a，HG=13a，所以截面的面积为29a2，所以D正确；故选：ACD．画出截面图形，利用已知条件判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断，直线与平面的位置关系的应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．24.【答案】AB【解析】解：因为a⃗,b⃗ ,c⃗均为单位向量，且a⃗⋅b⃗ =0,(a⃗−c⃗ )⋅(b⃗ −c⃗ )≤0，所以a⃗⋅b⃗ −c⃗⋅(a⃗+b⃗ )+c⃗2≤0，所以c⃗⋅(a⃗+b⃗ )≥1，而|a⃗+b⃗ −c⃗|=√(a⃗+b⃗ −c⃗ )2=√a⃗2+b⃗ 2+c⃗2+2a⃗⋅b⃗ −2a⃗⋅c⃗−2b⃗ ⋅c⃗=√3−2c⃗⋅(a⃗+b⃗ )≤√3−2=1，所以选项C，D不正确．故选：AB．由a⃗，b⃗ ，c⃗均为单位向量，且a⃗⋅b⃗ =0，(a⃗−c⃗ )⋅(b⃗ −c⃗ )≤0，求得c⃗⋅(a⃗+b⃗ )≥1，再求|a⃗+b⃗ −c⃗|的最大值，即可得出结果．本题考查了平面向量的数量积与模长公式应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．25.【答案】29【解析】解：由随机变量X的分布列得：{0≤a≤10≤2a≤1a+2a=1，解得a=13，∴E(X)=0×13+1×23=23．D(X)=(0−23)2×13+(1−23)2×23=29．故答案为：29．利用随机变量的分布表列方程求出a ，再求出数学期望，由此能求出方差．本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．26.【答案】−4【解析】解：由表格中的数据可知，x −=1+2+3+4+55=3，y −=50+60+70+80+1005=72，所以12×3+a =72，解得a =36， 所以y =12x +36，当x =4时，y =4×12+36=84， 所以残差=观测值−预测值=80−84=−4． 故答案为：−4．先由表格中的数据，求出样本中心，代入回归方程，求出a 的值，然后求出x =4时，y 的值，由残差的计算公式求解即可．本题考查了线性回归方程的理解与应用，解题的关键是掌握线性回归方程必过样本中心，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．27.【答案】30【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①只会器乐表演的3人全部被选中，参加器乐表演，需要从剩下6人中选出4人参加声乐表演，有C 64=15种选法，②从只会器乐表演的3人选出2人，和既会器乐表演又会声乐表演的1人共同参加器乐表演，有C 32C 54=15种选法，则有15+15=30种选法， 故答案为：30．。
2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高一(下)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共32.0分）1.从装有4个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的事件是()A. 至少有一个红球和都是红球B. 至少有一个红球和都是白球C. 至少有一个红球和至少有一个白球D. 恰有一个红球和恰有两个白球2.如图，边长为2的正方形O′A′B′C′是水平放置的平行四边形OABC的直观图，则平行四边形OABC的面积为()A. 4√2B. 8√2C. 4D. 83.设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥α，n//α，则m⊥n；②若m⊥α，m⊥n，则n//α；③若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥α；④若m//α，n//β，m//n，则α//β．其中不正确的命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 44.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在如图两种分布形态中，a，b，c，d分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是()A. a 为中位数，b 为平均数，c 为平均数，d 为中位数B. a 为平均数，b 为中位数，c 为平均数，d 为中位数C. a 为中位数，b 为平均数，c 为中位数，d 为平均数D. a 为平均数，b 为中位数，c 为中位数，d 为平均数5. 已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为45，SA 与圆锥底面所成角为60°，若△SAB 的面积为12，则该圆锥的侧面积为( )A. 15πB. 20πC. 30πD. 40π6. “帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”.如图是一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为12，底面矩形的长与宽之比为2：1，则正脊与斜脊长度的比值为( )A. 43B. 2C. 4√55 D. √27. 若虚数z =x +yi ，x ，y ∈R ，且|z −1|=12，则yx 的取值范围为( )A. [−√33,√33] B. [−√33,0)∪(0,√33] C. [−√3,√3] D. [−√3,0)∪(0,√3]8. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示，若它的所有棱长都为√2，则BM 与FQ 所成角的余弦值为()A. 2√55B. √32C. 56D. 1二、多选题（本大题共2小题，共8.0分）9.已知如图为2020年1月10日到2月21日我国新型冠状肺炎累计确认人数及现有疑似人数趋势图，则下面结论正确的是()A. 截至2020年2月15日，我国新型冠状肺炎累计确诊人数已经超过61000人B. 从2月9日到2月21日，现有疑似人数超过累计确诊人数C. 从2月9日到2月21日，现有疑似人数下降幅度一直在增加D. 1月28日与2月3日相比较，累计确诊人数增加超过50%10.如图，长方体ABCB−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=BC=1，点E为AB的中点，过CE作长方体的截面α交棱C1D1于点F，则()A. 不存在点F，使得DF⊥αB. 当截面为平行四边形时，截面面积的最大值为√2C. 截面可能是六边形D. 随C1F的增大，直线AF与截面α所成角的大小先增大再减小三、单空题（本大题共7小题，共35.0分）11.已知复数z满足(1+2i)z=4+3i，则z的虚部是______．12.某社区有100户高收入家庭，110户中等收入家庭，90户低收入家庭，现按分层随机抽样抽取100户调查有关消费购买力的某项指标，则抽到低收入家庭的数量为______户．13.直线l与平面α成角为30°，l∩α=A，m⊂α，A∉m则m与l所成角的取值范围是______ ．14.圆台的上下底面半径和高的比为3：4：1，母线长为√2，则圆台的外接球表面积为______．15.已知某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数据的方差为_____________．16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P为线段D1B上的动点，M，N分别为棱=______．BC，AB的中点，若DP//平面B1MN，则D1PD1B17.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，PA=1，∠BPC=θ.若tanθ=√2，则△AEF面积的最大值______．四、解答题（本大题共5小题，共75.0分）18.实数m分别取什么数值时，复数z=(m2+5m+6)+(m2−2m−15)i．(1)为纯虚数；(2)与复数12+16i互为共轭复数；(3)对应点在第四象限．19.某校在数学文化节活动中推出了一款数学游戏“LUCKY5”，游戏规则如下，游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子，记第i次得到的点数为x i，若存在正整数n，使得x1+x2+⋯+x n=5，则称n为游戏参与者的幸运数字．(1)求游戏参与者的幸运数字为1的概率；(2)求游戏参与者的幸运数字为2的概率．20.某校对120名考生的数学竞赛成绩进行统计，分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)五组，得到如图所示频率分布直方图．(1)求图中a的值；(2)估计该校学生数学竞赛成绩的平均数；(3)估计该校学生数学竞赛成绩的第80百分位数落在哪一组．21.如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，AC⊥CB，O，M分别是BC，AB的中点，A1O⊥平面ABC，A1O=1，AC=2√3，BC=A1B1=2．(1)求证：A1M//平面BB1C1C；(2)求二面角B1−BC−A的大小．22.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B⊥B1C，A1B⊥AC1．(1)求证：A1C1=B1C1；(2)若B1C与AC1的所成角的余弦值为1，求BB1与平面A1B1C3所成角的正弦值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：对于A，至少有一个红球和都是红球能同时发生，不是互斥事件，故A错误；对于B，至少有一个红球和都是白球是对立事件，故B错误；对于C，至少有一个红球和至少有一个白球能同时发生，不是互斥事件，故C错误；对于D，恰有一个红球和恰有两个白球是互斥而不对立的事件，故D正确．故选：D．利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．本题考查互斥而不对立的事件的判断，考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，是基础题．2.【答案】B【解析】解：把直观图O′A′B′C′还原为原图形，如图所示，则OA=O′A′=2，OB=2O′B′=4√2，∴原平面四边形OABC的面积为2×4√2=8√2．故选：B．把直观图O′A′B′C′还原为原图形，求出平面四边形OABC的面积即可．本题考查了平面直观图的画法与应用问题，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，对于①，若m⊥α，n//α，则由线面垂直、线面平行的性质得m⊥n，故①正确；对于②，若m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α，故②错误；对于③，若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n与α相交、平行或n⊂α，故③错误；对于④，若m//α，n//β，m//n.则α与β相交、平行或异面，故④错误．故选：C ．对于①，由线面垂直、线面平行的性质得m ⊥n ；对于②，n//α或n ⊂α；对于③，n 与α相交、平行或n ⊂α；对于④，利用空间中线线、线面、面面平行的位置关系求解． 本题考查了命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：在频率分布直方图中， 中位数两侧小矩形的面积相等，平均数是每组频率的中间值乘频数再相加之和， 结合两个频率分布直方图得：a 为中位数，b 为平均数，c 为平均数，d 为中位数． 故选：A ．在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数是每组频率的中间值乘频数再相加之和，由此能求出结果．本题考查中位数、平均数的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查数据分析能力等数学核心素养，是基础题．5.【答案】B【解析】解：∵母线SA ，SB 所成的角的余弦值为45， ∴母线SA ，SB 所成的角的正弦值为√1−(45)2=35，∴S △SAB =12SA 2⋅sin∠ASB =12SA 2⋅35=12 ∴SA =2√10，∵SA 与圆锥底面所成角为60°，可得圆锥的底面半径为：2√10sin30°=√10， 则S 侧=12×2πr ×SA =π×√10×2√10=20π． 故选：B ．由cos∠ASB =45，可得sin∠ASB =35，再由△SAB 的面积求出SA ，由线面角为60°可求出圆锥的底面半径，代入圆锥侧面积公式求解．本题考查圆锥侧面积公式，涉及线面夹角，正弦定理求面积等知识点，是基础的计算题．6.【答案】A【解析】解：设正脊长为a ，斜脊长为b ，底面矩形的长与宽分别为2t 和t ，如图过S 作SO ⊥上底平面于O ，过O 作OE ⊥AE 于E ，作OF ⊥AF 于F ，连接SE 、SF ，由题意知tan∠SEO =tan∠SFO =12， SE 2=b 2−(2t−a 2)2，SF 2=b 2−(t 2)2，所以2t−a 2=t2，于是a =t ，b =√(t 2)2+(t 2)2+(t 4)2=3t 4，所以ab =t3t 4=43．故选：A ．寻找二面角的平面角，列方程确定正脊与斜脊长度的比值．本题考查二面角的正弦值的计算，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力等数学核心思想，是中档题．7.【答案】A【解析】解：|z −1|2=(x −1)2+y 2=14， 即(x −1)2+y 2=14，就是以(1,0)为圆心，以12为半径的圆， 设yx =k ，即y =kx ， ∵直线y =kx 与圆有公共点， ∴d =|k|√k 2+1≤12， 解得−√33≤k ≤√33．∴yx 的取值范围是：[−√33,√33].利用复数的运算法则和模的计算公式、直线与圆有公共点的充要条件即可得出．本题主要考查了复数求模，熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式、直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：可知二十四等边体即为正方体截去8个角得到，如图所示：由二十四等边体的所有棱长都为√2，可得正方体的棱长为2，由BM//CQ，可得∠CQF即为异面直线BM，FQ所成角．由BM=CQ=√BN2+NM2=√4+2=√6，FQ=√PG2+GQ2=√4+2=√6，CF=√2，则cos∠CQF=6+6−22√6×√6=56．故选：C．将二十四等边体补成边长为2的正方体，推得∠CQF即为异面直线BM，FQ所成角．由余弦定理计算可得所求值．本题考查异面直线所成的角，利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】ABD【解析】解：由折线图可知，截至2020年2月15日，我国新型冠状肺炎累计确诊人数已经超过61000人，故选项A正确；由折线图可知，从2月9日到2月21日，现有疑似人数超过累计确诊人数，故选项B 正确；由折线图可知，2月15日到2月21日降幅度在减小，故选项C错误；由折线图可知，1月28日累计确诊人数不超过10000人，2月3日累计确诊人数超过20000人，所以计确诊人数增加超过50%，故选项D正确．利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．10.【答案】AD【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系，设CF =t ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,0，1)， 设平面α的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， {CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =x +y =0CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =tx +z =0，令x =−1，m ⃗⃗⃗ =(−1,1，t)，对于A ，假设存在点F ，使得DF ⊥α，AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −2,−1,1)与m ⃗⃗⃗ =(−1,1，t)，共线，即(t −2,−1,1)=λ(−1,1，t)， 于是{ t −4=−λ−1=λ1=λt ，此方程组无解，所以A 对；对于B ，cos∠ECF =CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ |CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=t √2⋅√1+t 2，sin∠ECF =√1−cos 2∠ECF =√2+t 2√2⋅√1+t 2，S CEMF =2⋅S △CEF =2⋅12⋅CE ⋅CF ⋅sin∠ECF =√2⋅√1+t 2⋅√2+t 2√2⋅√1+t 2=√2+t 2，当t =1时，最大值为√3，所以B 错；对于C ，因为截面与每面至多有一条交线，截面不能与六个面同时相交，所以C 错； 对于D ，直线AF 与截面α所成角的正弦值为|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=3√(t−2)2+2⋅√t 2+2=3√((t−1)2+1)2+8，再由正弦函数的单调性知直线AF 与截面α所成角的大小先增大再减小，所以D 对； 故选：AD ．A 用向量共线条件，列方程组求解判断；B 求截面面积最大值判断；C 作截面判断；D 求直线与平面成角正弦值，再根据单调性判断．本题以命题真假判断为载体，考查了直线与平面成角问题，考查了平面与长方体截面问题，属于中档题．11.【答案】−1【解析】解：由(1+2i)z=4+3i，得z=4+3i1+2i =(4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=4−8i+3i−6i212+22=10−5i5=2−i，∴z的虚部是−1．故答案为：−1．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．12.【答案】30【解析】解：某社区有100户高收入家庭，110户中等收入家庭，90户低收入家庭，现按分层随机抽样抽取100户调查有关消费购买力的某项指标，则抽到低收入家庭的数量为：100×90100+110+90=30户．故答案为：30．利用分层抽样的定义直接求解．本题考查抽到的低收入家庭数量的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．13.【答案】[π6,π2 ]【解析】解：由于直线l与平面α所成角为30°，直线l与平面α所成角是直线l与平面α内所有直线成的角中最小的一个，而异面直线所成角的范围是(0,π2]，直线m在平面α内，且与直线l异面，故m与l所成角的取值范围是[π6,π2 ]故答案为：[π6,π2 ]．根据直线l与平面α所成角是直线l与平面α内所有直线成的角中最小的一个，直线l与平面α所成角的范围，即可求出结果．本题考查直线和平面所成的角的定义和范围，判断直线与平面所成角是直线与平面α内所有直线成的角中最小的一个，是解题的关键．14.【答案】100π【解析】解：设圆台的上底半径为3x，则下底半径是4x，高为x，作轴截面如图所示：又母线长为√2，∴x2+x2=2，解得x=1．∴圆台的上底面半径是3，下底面半径是4，高是1，设圆台外接球的半径为R，则R2−32=OO12，R2−42=OO22，又OO1−OO2=1，联立解得R2=25．∴圆台的外接球表面积为4πR2=100π．根据题意画出图形，结合图形求出圆台的上下底面半径，进一步求得圆台外接球的半径，则答案可求．本题考查圆台的表面积的求法，考查数形结合思想，是中档题．15.【答案】83【解析】解：某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数据的平均数为：8×5+59=5，∴此时这9个数据的方差为：S2=19[8×3+(5−5)2]=83．故答案为：83．先求出这9个数据的平均数为8×5+59=5，此时这9个数据的方差为S2=19[8×3+(5−5)2]，由此能求出结果．本题考查方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16.【答案】15【解析】解：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1边长为2，可得D(0,0，0)，D 1(0,0，2)，B(2,2，0)，B 1(2,2，2)，M(1,2，0)，N(2,1，0)， 设D 1PD1B=λ，可得D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λD 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ,2λ,−2λ)，可得P =(2λ,2λ,2−2λ)， 可得DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ,2λ,2−2λ)，设平面B 1MN 法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，可得{B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，可得{−x −2z =0−y −2z =0，令x =−2，可得n⃗ =(−2,−2,1)， 由于DP//平面B 1MN ，则DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，可得−4λ−4λ+2−2λ=0， 解得λ=15，即D 1PD1B =15．故答案为：15．由题意建立空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1边长为2，设D 1PD1B=λ，可得D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λD 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ,2λ,−2λ)，可得DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ,2λ,2−2λ)，设平面B 1MN 法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，由{B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，可得{−x −2z =0−y −2z =0，令x =−2，可得n ⃗ =(−2,−2,1)，由DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，解得λ的值，即可得解D 1PD 1B 的值．本题主要考查了空间向量的应用，考查了方程思想，空间立体感、数形结合思想和运算求解能力，属于中档题．17.【答案】√612【解析】解：因为PA ⊥底面ABC ，又AB ，AC ，BC ⊂底面ABC ， 所以PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥BC ，又因为∠ACB =90°，即BC ⊥AC ，又PA ∩AC =A ，PA ，AC ⊂平面PAC ， 所以BC ⊥平面PAC ，AF ⊂平面PAC ，所以AF ⊥BC ，又AF ⊥PC ，PC ∩BC =C ，PC ，BC ⊂平面PBC ， 则AF ⊥平面PBC ，又EF ⊂平面PBC ， 故AE ⊥EF ，所以三棱锥P −ABC 中，△PAC ，△PAB ，△PBC ，△ABC ，△AEF 均为直角三角形， 设BC =x ，PA =1，tanθ=BCDC =xPC =√2，所以PC =√2， AC =√PC 2−PA 2=√x 22−1， PB =√PC 2+BC 2=√x 22+x 2=√32x 2，AB =√AC 2+BC 2=√32x 2−1， 在Rt △PAC 中，AF =DA⋅AC PC=1×√x 22−1x √2，在Rt △PAB 中，AE =PA⋅AB PB=1×√32x 2−1√32x 2，在Rt △AEF 中，EF =√AE 2−AF 2=√32x 2−132x 2−12x 2−112x 2=√43x 2，所以S△AEF =12⋅AE ⋅EF =12×√2⋅√x 22−1x⋅√43x 2=√x 2−2√3x 2， 令f(x)=√x 2−2√3x 2，则f′(x)=12(x 2−2)−12⋅2x⋅√3x 2⋅√x 2−2⋅2√3x 3x 4(x >0)，令f′(x)=0，解得√3x 32√x 2−12√3x√x 2−2=0，解得x =2，因为f′(x)=0的解只有1个，则f(2)为S △AEF 的最大值， 所以△AEF 面积的最大值为f(2)=√4−24√3=√612． 故答案为：√612．利用线面垂直的判定定理和性质定理可证明，△PAC ，△PAB ，△PBC ，△ABC ，△AEF 均为直角三角形，设BC =x ，利用边角关系以及勾股定理求出所需长度，表示出△AEF 的面积，构造函数，利用导数求解最值即可．本题考查了空间几何体的几何性质的运用，考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵z=(m2+5m+6)+(m2−2m−15)i为纯虚数，∴{m2+5m+6=0m2−2m−15≠0，解得m=−2．故m=−2时，复数z=(m2+5m+6)+(m2−2m−15)i为纯虚数；(2)∵复数z=(m2+5m+6)+(m2−2m−15)i与复数12+16i互为共轭复数，∴{m2+5m+6=12m2−2m−15=−16，解得m=1．∴当m=1时，复数z=(m2+5m+6)+(m2−2m−15)i与复数12+16i互为共轭复数；(3)∵复数z=(m2+5m+6)+(m2−2m−15)i对应点在第四象限．∴{m2+5m+6>0m2−2m−15<0，解得−2<m<5．∴当m∈(−2,5)时，复数z=(m2+5m+6)+(m2−2m−15)i对应点在第四象限．【解析】(1)利用纯虚数的定义列方程组，能求出m的值；(2)利用共轭复数的定义列方程组，能求出m的值；(3)由复数z=(m2+5m+6)+(m2−2m−15)i对应点在第四象限，列出不等式组，能求出m的取值范围．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．19.【答案】解：(1)设事件A表示“游戏参与者的幸运数字为1”，由题意得x1=5，基本事件总数n=6，事件A包含的基本事件个数m=1，∴游戏参与者的幸运数字为1的概率P(A)=mn =16；(2)设事件B表示“游戏参与者的幸运数字为2”，则x1+x2=5，基本事件总数n′=6×6=36，事件B包含的基本事件有：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4个，∴游戏参与者的幸运数字为2的概率P(B)=436=19．【解析】(1)设事件A表示“游戏参与者的幸运数字为1”，基本事件总数n=6，事件A包含的基本事件个数m=1，由此能求出游戏参与者的幸运数字为1的概率；(2)设事件B表示“游戏参与者的幸运数字为2”，则x1+x2=5，基本事件总数n′= 6×6=36，事件B包含的基本事件有4个，由此能求出游戏参与者的幸运数字为2的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．20.【答案】解：(1)由频率分布直方图得：(a+0.02+0.035+0.025+a)×10=1，解得a=0.01．(2)估计该校学生数学竞赛成绩的平均数为：55×0.01×10+65×0.02×10+75×0.035×10+85×0.025×10+95×0.01×10=75.5．(3)∵[50,80)的频率为(0.01+0.02+0.035)×10=0.65<0.8，[50,90)的频率为(0.01+0.02+0.035+0.25)×10=0.9>0.8，∴估计该校学生数学竞赛成绩的第80百分位数落在[80,90)内．【解析】(1)由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，能求出a．(2)由频率分布直方图能估计该校学生数学竞赛成绩的平均数．(3)求出[50,80)的频率为0.65<0.8，[50,90)的频率为0.9>0.8，由此能估计该校学生数学竞赛成绩的第80百分位数落在[80,90)内．本题考查频率、平均数、80百分位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．21.【答案】(1)证明：因为ABC−A1B1C1是三棱台，所以AB//A1B1，因为AC=2√3，BC=2，AC⊥BC，所以AB=√AC2+BC2=4，又因为A1B1=2，M为AB中点，所以A1B1=MB，所以四边形A1B1BM为平行四边形，所以A1M//B1B，又因为B1B⊂平面BB1C1C，A1M⊄平面BB1C1C，所以A1M//平面BB1C1C；(2)解：连接OM、C1O，因为A1O⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，OM⊂平面ABC，所以A1O⊥BC，A1O⊥OM，于是∠A1OM=90°，因为O，M分别是BC，AB的中点，所以OM//AC，又因为AC⊥CB，所以BC⊥OM，所以BC⊥平面A1OM，因为AC//A1C1，且BC⊥AC，所以BC⊥A1C1，又因为A1O⊥BC，所以BC⊥平面A1C1O，又因为C1O⊂平面A1C1O，所以BC⊥C1O，所以四点A1、C1、O、M共面，∠C1OM为二面角B1−BC−A的平面角，AC=√3，A1O=1，C1O2=A1C12+A1O2，因为C1O=B1B=2，A1C1=12=√3，所以∠C1OA1=60°，所以∠C1A1O=90°，tan∠C1OA1=A1C1A1O∠C1OM=∠C1OA1+∠A1OM=60°+90°=150°，故二面角B1−BC−A的大小为150°．【解析】(1)只须证明A1M平行于平面平面BB1C1C内直线B1B即可；(2)寻找二面角B1−BC−A的平面角C1OM，转化为解直角三角形问题．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档问题．22.【答案】(1)证明：过C点作CM⊥AB于M，过C1点作C1N⊥A1B1于N，连接MN、MB1、AN，因为ABC−A1B1C1为直三棱柱，所以MN//B1B，平面ABC⊥平面AA1B1B，所以CM⊥平面AA1B1B，因为MB1⊂平面AA1B1B，所以A1B⊥平面CMB1，又因为MB1⊂平面CMB1，所以A1B⊥MB1，同理可证A1B⊥AN，于是AN//MB1，所以∠NAA 1=∠B 1MN ，∠AA 1N =∠MNB 1， 又因为A 1A =MN ，所以△AA 1N≌△MNB 1，所以A 1N =NB 1，又因为C 1N ⊥A 1B 1，所以 1C 1=B 1C 1； (2)解：建立如图所示的空间直角坐标系， 设AM =MB =a ，A 1A =ℎ，MC =b ，由(1)知∠BA 1B 1=∠ANM ，所以ℎ2a =aℎ，于是ℎ2=2a 2， B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,b ，ℎ)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b ，−ℎ)，所以B 1C 与AC 1的所成角的余弦值为|B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=222√a 2+b 2+ℎ2⋅√a 2+b 2+ℎ2=|b 2−3a 2|b 2+3a 2=13，解得2a 2=13b 2或2a 2=43b 2，因为BB 1与的方向向量为n⃗ =(0,0，1)， A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a,0，0)，NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,b ，ℎ)， 设平面A 1B 1C 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(u,v ，w)， {A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =2au =0NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =bv +ℎw =0，令v =−ℎ，m⃗⃗⃗ =(0,−ℎ,b)， 所以BB 1与平面A 1B 1C 所成角的正弦值为|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=1⋅√ℎ2+b2=√b 2+ℎ2=√b 2+2a 2=√32或√217． 故BB 1与平面A 1B 1C 所成角的正弦值为√32或√217．【解析】(1)只须证明C 1N 是A 1C 1的垂直平分线即可，(2)用向量数量积计算直线与平面成角的正弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．。
浙江省宁波市2020年高一下学期数学期中考试试卷(II)卷
浙江省宁波市2020年高一下学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·五指山期末) 已知a，b，c均为实数，下面命题正确的是（）A . ＞c⇒a＞bcB . ac2＞bc2⇒a＞bC . ＞⇒3a＜3bD . a＞b⇒|c|a＞|c|b2. （2分） (2019高一下·大庆月考) 在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于（）A .B .C .D .3. （2分）等比数列的前3项和为4，前9项和为28，则它的前6项和是（）A . −8B . 12C . −8或12D . 84. （2分）设，，且tanα=，则下列结论中正确的是（）A . 2α﹣β=B . 2α+β=C . α﹣β=D . α+β=5. （2分）在ABC中，tanA=,cosB=，则tanC的值是（）A . -1B . 1C .D . 26. （2分）已知等差数列的前n项和为,，，为等比数列，且，则的值为（）A . 64B . 128C . -64D . -1287. （2分）观察下列等式：13=1，23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2015”这个数，则n=（）A . 44B . 45C . 468. （2分）已知方程b2x2﹣a2[k（x﹣b）]2﹣a2b2=0（b＞a＞0）的根大于a，则实数k满足（）A . |k|B . |k|C . |k|D . |k|9. （2分）在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，若ccosC=bcosB，则△ABC的形状一定是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等腰或直角三角形D . 等边三角形10. （2分）设实数a、b、c满足a+b+c=1，则a、b、c中至少有一个数不小于（）A . 0B .C .D . 111. （2分） (2018高二上·济源月考) 数列的通项为，若要使此数列的前项和最大，则的值为（）A . 12B . 12或13C . 1312. （2分）(2017·镇海模拟) 已知函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{an}的前100项的和为（）A . ﹣200B . ﹣100C . 0D . ﹣50二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·如皋期末) 已知sin（α+β）= ，sin（α﹣β）= ，则的值为________．14. （1分） (2016高二上·乾安期中) 已知等差数列{an}的公差d=﹣2，a1+a4+a7+…+a97=50，那么a3+a6+a9+…+a99的值是________15. （1分） (2018高三上·大连期末) 等比数列的前项和记为，若，则________．16. （1分）(2020·银川模拟) 牛顿迭代法（Newton's method）又称牛顿–拉夫逊方法（Newton–Raphsonmethod），是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值，过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，直到的近似值足够小，即把作为的近似解.设构成数列 .对于下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确结论的序号为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高一上·长春期中) 已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，（1）当a=﹣1时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数．18. （10分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，f（1）=1，且若∀a、b∈[﹣1，1]，a+b≠0，恒有＞0，（1）证明：函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（2）解不等式；（3）若对∀x∈[﹣1，1]及∀a∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤m2﹣2am+1恒成立，求实数m的取值范围．19. （10分）设f（x）= ，而 =（2﹣4sin2 ，1）， =（cosωx，sin2ωx）（x∈R）．（1）若f（）最大，求ω能取到的最小正数值；（2）对（1）中的ω，若f（x）=（2+ ）sinx+1且x∈（0，），求tan ．20. （10分）(2017·息县模拟) 已知在数列{an}中，a1=4，an＞0，前n项和为Sn ，若．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列的前n项和为Tn，求Tn．21. （10分） (2017高一下·双鸭山期末) 已知公差不为的等差数列的前项和为，，且成等比数列。
2020年浙江省宁波市镇海中学高一(下)期中数学试卷
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.直线x-y-1=0的倾斜角大小（）A. B. C. D.2.在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a5=（）A. 45B. 90C. 180D. 3003.若a＜0＜b，则下列不等式恒成立的是（）A. B. |a|＞b C. a2＞b2 D.4.函数的值域为（）A. [2，+∞）B. （-∞，2]∪[2，+∞）C. （-∞，-2]D. R5.直线3x+4y+5=0被圆x2+y2=4截得的弦长为（）A. 1B. 2C.D.6.已知等差数列共有99项，其中奇数项之和为300，则偶数项之和为（）A. 300B. 298C. 296D. 2947.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（）A. B. -1 C. 1 D. 28.已知a＞b＞c，2a+b+c=0，则的取值范围是（）A. B. C. D.9.若圆C：（x-a）2+（y-a-1）2=a2与两条直线y=x和y=-x都有公共点，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.10.若函数f（x）=x|x-2a|-a有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A. （-∞，-1）∪（1，+∞）B. （-1，1）C. （-1，0）∪（0，1）D. （-∞，-1）∪（0，1）二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.倾斜角为120°，在y轴上的截距为1的直线l的方程为______；直线ax+y+1=0与直线l垂直，则a=______．12.直线l1：2mx+（m-2）y+4=0（m∈R）恒过定点______；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为______．13.若实数x，y满足约束条件，则点A（x，y）构成的区域面积为______；点B（x+y，x-y）构成的区域面积为______．14.已知，则=______；x+2y的最小值为______．15.已知数列{a n}满足，则a n=______．16.一条光线从点（﹣2，1）射出，经x轴反射后与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为____．17.已知首项为a1，公比为q的等比数列{a n}满足q4+a4+a3+a2+1=0，则首项a1的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知直线l经过点P（1，2）．（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若A（1，-1），B（3，1）两点到直线l的距离相等，求直线l的方程．19.已知x，y满足约束条件．（1）求目标函数z=x-3y的最值；（2）当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取得最大值5时，求a2+b2的最小值．20.已知过点P（0，1）的直线与圆C：x2+y2+6x-2y+6=0相交于A，B两点．（1）若|AB|=2，求直线AB的方程；（2）设线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程．21.已知等差数列{a n}满足a2=3，a5=9，数列{b n}满足b1=2，．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若c n=a n•（b n-1），求数列{c n}的前n项和S n．22.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，对于任意的n∈N*，都有．（1）求a1，a2；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）令问是否存在正数m，使得对一切正整数n都成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了斜率与倾斜角的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用斜率与倾斜角的关系即可得出．【解答】解：设直线x-y-1=0的倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ=，∴θ=．故选B．2.【答案】B【解析】解：∵在等差数列{a n}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，则5a5=450，解得a5=90，故选：B．利用等差数列的性质即可得出．本题考查了等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.【答案】A【解析】解：由题意，可知：对于A：∵a＜0＜b，∴＜0＜，故选项A正确；对于B：∵a＜0＜b，若a=-1，b=2，则|a|＜b，故选项B不正确；对于C：∵a＜0＜b，若a=-1，b=2，则a2＜b2，故选项C不正确；对于D：∵a＜0＜b，∴＜0＜，故选项D不正确．故选：A．本题可采用排除法，代特殊值法进行判断．本题主要考查不等式的基本性质，排除法、特殊值法的应用．本题属基础题．4.【答案】C【解析】解：由，知f（x）在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，0）上单调递减，∴f（x）max=f（-1）=-2，∴f（x）≤-2，∴f（x）的值域为（-∞，-2]．故选：C．根据双勾函数f（x）的单调性得到最值即可．本题考查了双勾函数的性质，属基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，圆x2+y2=4的圆心为（0，0），半径r=2，圆心到直线3x+4y+5=0的距离d==1，则弦长l=2×=2；故选：D．根据题意，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，由弦长公式计算可得答案．本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：∵等差数列共有99项，其中奇数项之和为300，∴（a1+a99）=300，解得a1+a99=12∴偶数项之和为：===294．故选：D．由等差数列共有99项，其中奇数项之和为300，解得a1+a99=12，从而偶数项之和为：=，由此能求出结果．本题考查等差数列的偶数项之和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.【答案】C【解析】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，，∴===1．故选：C．利用等差数列的通项公式得==，由此能求出结果．本题考查两个等差数列的前9项和与前13项和的比值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.【答案】A【解析】【分析】先将2a+b+c=0变形为b=-2a-c，再代入不等式a＞b，b＞c，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系，联立可求的取值范围．本题主要考查了不等式性质的应用，解决问题的关键是将2a+b+c=0变形为b=-2a-c，代入后消去b，进而求得a，c的关系，属于中档题．【解答】解：∵a＞b＞c，2a+b+c=0，∴a＞0，c＜0，∴b=-2a-c，且a＞0，c＜0，∵a＞b＞c，∴-2a-c＜a，即3a＞-c，解得：＞-3，将b=-2a-c，代入b＞c，可得：-2a-c＞c，可得：a＜-c，可得：＜-1，∴-3＜＜-1．故选A．9.【答案】B【解析】解：圆C的圆心为（a，a+1），半径R=|a|，（a≠0），若圆与两条直线y=x和y=-x都有公共点，则圆心到两条直线y=x和y=-x的距离小于等于半径．即，即，解得：．∴实数a的取值范围是．故选：B．由圆与直线y=x和y=-x都有公共点，得圆心到两条直线y=x和y=-x的距离小于等于半径，由此列关于a的不等式组求解．本题主要考查直线和圆的位置关系，考查数学转化思想方法，是基础题．10.【答案】A【解析】解：由f（x）=x|x-2a|-a=0得x|x-2a|=a，当x=0时，a=0，此时f（x）=x|x|只要一个零点，不满足条件．故x=0不是函数的零点，则由x|x-2a|=a得|x-2a|=，作出函数g（x）=|x-2a|和h（x）=，的图象如图：若a＞0，要使g（x）=h（x）有三个交点，则只需要当0＜x≤2a时g（x）=h（x）有2个交点，即-（x-2a）=有两个交点，则x2-2ax+a=0有两个根即可，则判别式△=4a2-4a＞0，得a2-a＞0，得a＞1或a＜0（舍），若a＜0，要使g（x）=h（x）有三个交点，则只需要当2a＜x≤0时g（x）=h（x）有2个交点，即x-2a=有两个交点，则x2-2ax-a=0有两个根即可，则判别式△=4a2+4a＞0，得a2+a＞0，得a＞0（舍）或a ＜-1，综上a＞1或a＜-1，故选：A．利用函数与方程之间的关系转化为|x-2a|=，利用作出两个函数的图象，利用数形结合进行转化求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数图象，利用数形结合进行转化求解是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．11.【答案】y=-x+1 -【解析】解：倾斜角为120°，在y轴上的截距为1的直线l的方程为：y=x tan120°+1，即y=-x+1．直线ax+y+1=0与直线l垂直，则-a×tan120°=-1，解得a=-．故答案为：y=-x+1，-．倾斜角为120°，在y轴上的截距为1的直线l的方程为：y=x tan120°+1．直线ax+y+1=0与直线l垂直，可得-a×tan120°=-1，解得a．本题考查了直线的斜截式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】（-1，2）x-2y=0【解析】解：由2mx+（m-2）y+4=0，得m（2x+y）-2y+4=0，联立，解得．∴直线l1过定点P（-1，2）；∵直线l2过原点，∴当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的斜率为k=，则直线l2的方程为y=，即x-2y=0．故答案为：（-1，2）；x-2y=0．直接由直线系方程求直线l1所过定点P；求出OP的斜率，利用两直线垂直与斜率的关系得到直线l2的斜率，则方程可求．本题考查恒过定点的直线问题，考查过定点的两条直线间距离的最值问题，是基础题．13.【答案】 2【解析】解：画出约束条件表示的平面区域，如图1所示；则点A（x，y）构成的区域为△PQR，且P（0，2），Q（0，），R（1，1），所以△PQR的面积为×（2-）×1=；设M（s，t），令，解得，由题意知，得．作出不等式组对应的平面区域，如图2所示；则对应直角梯形MNEF，则M（，），N（，-），E（2，-2），F（2，0）；则四边形MNEF的面积为S=×（+）×=2，故答案为：，2．画出约束条件表示的平面区域，得出点A（x，y）构成的区域为△PQR，求出它的面积；设M（s，t），令，由题意求得s、t的约束条件，再对应平面区域的面积．本题主要考查了二元一次不等式组表示平面区域的应用问题，也考查了数形结合应用问题，是中档题．14.【答案】2 6+4，【解析】解：已知，x＞0，y＞0，则：ln（x+y）=ln；即：x+y=，所以：则=2；2x+2y=xy；+=1，x+2y=（x+2y）（+）=6++≥6+4，当且仅当=，+=1时即：x=2+2，y=2+”时取等号；x+2y的最小值为6+4；故答案为：2；6+4；利用对数的运算和基本不等式求解即可．本题是应用题，考查的是基本不等式的应用，使用时要注意“一正，二定，三相等”．考查了灵活解决问题的能力，属于基础题15.【答案】【解析】解：数列{a n}满足，n≥2时，a1a2•……•a n-1=n，相除可得；a n=．n=1时，a1=2，对于上式也成立．∴a n=．故答案为：．数列{a n}满足，n≥2时，a1a2•……•a n-1=n，相除可得；a n．n=1时，a1=2，进行验证即可得出．本题考查了数列递推关系、数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】或【解析】解：由题意可知：点（-2，-1）在反射光线上．设反射光线所在的直线方程为：y+1=k（x+2），即kx-y+2k-1=0．由相切的性质可得：，化为：12k2-25k+12=0，解得k=或k=．故答案为：或．由题意可知：点（-2，-1）在反射光线上．设反射光线所在的直线方程为：y+1=k（x+2），利用直线与圆的相切的性质即可得出．本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】（-∞，-2]∪[2，+∞）【解析】解：∵q4+a4+a3+a2+1=0，∴a1（q3+q2+q）=-（q4+1），∴a1=-=-=-，令q+=t∈（-∞，-2]∪[2，+∞），可得：a1=-=-t+1+=f（t），f（t）在t∈（-∞，-2]上单调递减，∴f（t）≥f（-2）=2．f（t）在t∈[2，+∞）上单调递减，∴f（t）≤f（2）=-2．∴首项a1的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞），故答案为：（-∞，-2]∪[2，+∞）．由q4+a4+a3+a2+1=0，可得：a1（q3+q2+q）=-（q4+1），a1=-=-，令q+=t∈（-∞，-2]∪[2，+∞），可得：a1=-=-t+1+=f（t），利用函数的单调性即可得出．本题考查了等比数列的通项公式、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）若直线过原点，则设为y=kx，则k=2，此时直线方程为y=2x，当直线不过原点，设方程为+=1，即x+y=a，此时a=1+2=3，则方程为x+y=3，综上直线方程为y=2x或x+y=3．（2）若A，B两点在直线l同侧，则AB∥l，AB的斜率k===1，即l的斜率为1，则l的方程为y-2=x-1，即y=x+1，若A，B两点在直线的两侧，即l过A，B的中点C（2，0），则k==-2，则l的方程为y-0=-2（x-2），即y=-2x+4，综上l的方程为y=-2x+4或y=x+1．【解析】（1）讨论直线是否过原点，利用截距相等进行求解即可．（2）根据点到直线的距离相等，分直线平行和直线过A，B的中点两种情况进行求解即可．本题主要考查直线方程的求解，结合直线截距相等以及点到直线距离相等，进行分类讨论是解决本题的关键．19.【答案】解：（1）作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x-3y得y=x-，平移直线y=x-，由图象知当直线y=x-经过点A时，直线的截距最大，此时z最小，当直线经过点O时，直线的截距最小，此时z最大，由得，即A（1，2），则z的最小值为z=1-3×2=1-6=-5，z的最大值为z=0．（2）由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-x+，∵a＞0，b＞0，∴斜率k=-＜0，有得，即B（2，1），由图象知当y=-x+经过A或B时，目标函数的截距最大，此时z=5，即2a+b=5或a+2b=5，即2a+b-5=0或a+2b-5=0，则a2+b2的几何意义是O到直线的距离的平方，则d===，即a2+b2的最小值为d2=5．【解析】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强．（1）作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义利用平移法进行求解即可．（2）利用目标函数的几何意义，确定取得最大值时的最优解，结合点到直线的距离公式进行求解即可．20.【答案】解：（1）圆C：x2+y2+6x-2y+6=0化标准方程为（x+3）2+（y-1）2=4，∴圆心坐标为（-3，1），半径r=2．当|AB|=2，则圆心到直线的距离为．设直线AB的方程为y-1=k（x-0），即kx-y+1=0，∴，解得k=．∴AB的方程为或；（2）由圆的性质知：PM⊥CM，∴，设M（x，y），则=（x，y-1），，则=x（x+3）+（y-1）（y-1）=x2+y2+3x-2y+1=0．联立，解得x=-．∴点M的轨迹方程为：x2+y2+3x-2y+1=0（x＜）．【解析】（1）当|AB|=2时，圆心到直线的距离为，利用圆心到直线的距离，建立方程求k，则直线AB的方程可求；（2）利用，设M（x，y）则=x（x+3）+（y-1）（y-1）=x2+y2+3x-2y+1=0，再求出x的范围，点M的轨迹方程可求．本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：（1）等差数列{a n}满足a2=3，a5=9，则：d=，所以：a n=a2+2（n-2）=2n-1．数列{b n}满足b1=2，．则：b n+1=2b n-1，所以：b n+1-1=2（b n-1），故：（常数）．所以：数列{b n-1}是以2-1=1为首项，2为公比的等比数列，所以：，故：．（2）由于：a n=2n-1，，所以：c n=a n•（b n-1）=（2n-1）•2n-1，故：①，2②，①-②得：．【解析】（1）直接利用已知条件和构造新数列法求出数列的通项公式．（2）利用乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．22.【答案】解：（1）任意的n∈N*，都有．可得a13=S12=a12，可得a1=1；a13+a23=S22=（1+a2）2，解得a2=2；（2）a13+a23+a33+…+a n3=S n2，所以a13+a23+a33+…+a n3+a n+13=S n+12，两式相减得a n+13=S n+12-S n2=（S n+1-S n）（S n+1+S n），所以a n+12=S n+1+S n=2S n+1-a n+1，-----①因此a n2=2S n-a n，------------------②①②两式相减得，a n+12-a n2=2S n+1-2S n-a n+1+a n=a n+1+a n，（a n+1-a n）（a n+1+a n）=a n+1+a n，正项数列{a n}，可得a n+1-a n=1，所以数列{a n}为等差数列，首项为1，公差为1，所以a n=n；（3）S n=n（n+1），==，假设存在正数m，使得对一切正整数n都成立，可设T n=（1+b1）（1+b2）…（1+b n）=2•••…，设c n=，则=•=＞1，即{c n}递增，即有≥，由m≤恒成立，即有0＜m≤，则存在正数m∈（0，]，使得对一切正整数n 都成立，【解析】（1）可令n=1，2，假设可得所求值；（2）两次运用“两式相减”得到a n+13=2S n+1-a n+1，和a n+1-a n=1，进而得到等差数列，求出通项公式；（3）求得S n=n（n+1），==，假设存在正数m，使得对一切正整数n都成立，由不等式的放缩法和不等式恒成立问题解法，即可得到所求范围．本题主要考查数列通项公式的求解和数列不等式恒成立问题解法，涉及等差数列的定义以及不等式的放缩，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．。