2020高中数学 2.3.1直线与平面垂直的判定教材分析 新人教A版必修2
高中数学 2.3.1直线与平面垂直的判定教案 新人教A版必修2 教案
2.3.1直线与平面垂直的判定【教学目标】1.借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.【教学重难点】教学重点：运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
教学难点：运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
【教学过程】1. 从实际背景中感知直线与平面垂直的形象问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明．设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例：直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义．2.提炼直线与平面垂直的定义问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？设计意图：两直线垂直有相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题，让学生回忆直线与直线垂直的定义，旨在由此得到启发：用“平面化”的思想来思考问题，即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直？问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么设计意图：主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念．（学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化）思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？（对问（1），在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示；对问（2）可引导学生给出符号语言表述：若，则)设计意图：通过对问题（1）的辨析讨论，深化直线与平面垂直的概念．通过对问题（2）的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法．通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们无法去一一检验．这就有必要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方法．3.探究直线与平面垂直的判定定理创设情境猜想定理：某公司要安装一根8米高的旗杆，两位工人先从旗杆的顶点挂两条长10米的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点（和旗杆脚不在同一直线上）．如果这两点都和旗杆脚距离6米，那么表明旗杆就和地面垂直了，你知道这是为什么吗？设计意图：引导学生根据直观感知以及已有经验，进行合情推理，猜想判定定理．学生活动：（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）问题5：（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？（组织学生动手操作、探究、确认）设计意图：通过折纸让学生发现当且仅当折痕AD是BC边上的高时，且B、D、C不在同一直线上的翻折之后竖起的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌面垂直（如图2），其它位置都不能使AD与桌面垂直．问题6：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD 抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？对于两条相交直线必须在平面内这一点，教师可引导学生操作：将纸片绕直线AD（点D始终在桌面内）转动，使得直线CD、BD不在桌面所在平面内．问：直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗？（此处引导学生认识到直线CD、BD都必须是平面内的直线）设计意图：通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内，从而更凸现出直线与平面垂直判定定理的核心词：平面内两条相交直线．问题7：如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证，（如图4）你认为直线还垂直于平面吗？设计意图：让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的．根据试验，请你给出直线与平面垂直的判定方法．（学生叙写判定定理，给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化）问题8：（1）与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么?设计意图：通过和直线与平面垂直定义的比较，让学生体会“无限转化为有限”的数学思想，通过寻找定义与判定定理的共同点，感悟和体会“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”的数学思想.思考：现在，你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？如果安装完了，请你去检验旗杆与地面是否垂直，你有什么好方法？设计意图：用学到手的知识解释实际生活中的问题，增强学生用数学的意识，同时通过提出“为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？”（对该问题可引导学生用三角形纸片来验证），从而来深化对直线与平面垂直判定定理的理解．4.直线与平面垂直判定定理的应用如图５，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线．并说明这些直线有怎样的位置关系？思考：如图６，已知，则吗？请说明理由．（分别用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的定义证明；并让学生用语言叙述：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面）设计意图：这个例题给出了判断直线和平面垂直的一个常用的命题，这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系．练习：如图７，在三棱锥V-ABC中，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点．求证：AC⊥平面VKB思考：(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；(3)在⑵的条件下，有人说“VB⊥AC， VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，对吗？设计意图：例2重在对直线与平面垂直判定定理的应用．变式（1）在例2的基础上，应用了直线与平面垂直的意义；变式（2）是对例1判定方法的应用；变式（3）的判断在于进一步巩固直线与平面垂直的判定定理． 3个小题环环相扣，汇集了本节课的学习内容，突出了知识间内在联系和融会贯通．5.总结反思，当堂检测（1）本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？试用自己理解的语言叙述．（2）直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法？检测设计1．课本66P探究：如图2.3-7，直四棱柱A1B1C1D1-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A1C⊥B1D1．2．如图９，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，写出图中所有的直角三角形．【板书设计】一、直线与平面垂直的定义二、直线与平面垂直的判定定理三、例题例1变式1【作业布置】课本67P练习22.3.1直线与平面垂直的判定导学案课前预习学案一、预习目标：借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；二、预习内容：问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明．问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么直线与直线垂直是的定义________________________________________________________________思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？(3) 如何判定一条直线直线和平面垂直呢？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标：（1）探究出直线与平面垂直的判定定理（2）利用定理解决实际问题学习重点：运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
高中数学必修二2.3.1直线与平面垂直的判定教案新人教A版必修2
∴AC⊥平面 PBO.
又 PB 平面 PBO，∴ PB⊥AC.
点评： 欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直，欲证线线垂直往往转化为线面垂直
.用
符号语言证明问题显得清晰、简洁 .
例 2 如图 9, 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，求直线 A1B 和平面 A1B1CD所成的角 .
3
图9 活动： 先让学生思考或讨论后再回答， 经教师提示、 点拨， 对回答正确的学生及时表扬， 对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路 . 解： 连接 BC1 交 B1C 于 点 O，连接 A1O. 设正方体的棱长为 a， 因为 A1B1⊥Ｂ1C1,A 1B1⊥Ｂ1B, 所以 A1B1⊥平面 BCC1B1. 所以 A1B1⊥BC1. 又因为 BC1⊥Ｂ1C，所以 BC1⊥平面 A1B1CD. 所以 A1O为斜线 A1B在平面 A1B1CD内的射影， ∠BA1O为直线 A1B 与平面 A1B1CD所成的角 .
面内任意一条不过点 B 的直线 B′C′也是垂直的 .
思路 2. ( 事例导入 )
如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线， 那么这条直线是否与这个平面垂直？举例
说明 .
如图 1，直线 AC1 与直线 BD、EF、GH等无数条直线垂直， 但直线 AC1 与平面 ABCD不垂直 .
图1
（二）推进新课、新知探究、提出问题
0°. 如图 6，l 是平面 α 的
一条斜线， 点 O是斜足， A 是 l 上任意一点， AB 是 α 的垂线， 点 B 是垂足， 所以直线 OB（记
作 l ′）是 l 在 α 内的射影，∠ AOB（记作 θ ）是 l 与 α 所成的角 .
直线和平面所成的角是一个非常重要的概念， 在实际中有着广泛的应用， 如发射炮弹时，
高中数学人教A版必修二课件： 2.3.1直线和平面垂直的判定
[规律方法 ]
(1)利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平
面垂直的步骤是： ①在这个平面内找两条直线， 使它和这条直线垂直； ②确定这个平面内的两条直线是相交的直线； ③根据判定定理得出结 论．
(2)解决线面垂直问题，常转化为证明线线垂直，而证明线线垂 直常见的方法有： ①利用勾股定理的逆定理，即在△ABC 中，若 AB2＋BC2＝AC2， 则∠B＝90° ，即 AB⊥BC； ②利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线．即在△ABC 中， AB＝AC，E 为 BC 边的中点，则 AE⊥BC； ③利用线面垂直的定义，即 a⊥α，b⊂α，则 a⊥b； ④利用平行转化，即 a∥b，b⊥c，则 a⊥c.
解析：斜线段 AB，设斜足为 B，A 在平面 α 上的射影为 H， ∴BH 为 AB 在平面 α 上的射影． ∴∠ABH 为斜线段 AB 与 α 所成的角． AH AB ∵sin∠ABH＝ AB ，又∵BH＝2， 3 ∴sin∠ABH＝ 2 ， ∵∠ABH 为锐角，∴∠ABH＝60° .
答案：A
4．(导学号：71250308)在正方体 A1B1C1D1ABCD 中，E、F 分别 是棱 AB、BC 的中点，O 是底面 ABCD 的中心(如图)，则 EF 与平面 BB1O 的关系是________．
答案：垂直
一、直线和平面垂直的概念 对直线与平面垂直的定义的理解 1．直线与平面垂直，不是直线与平面位置关系的一种，而是直 线与平面相交的一个特例． 2．定义中的“任意一条直线”指的是所有直线，与“无数条直 线”不同，因为无数条直线并不能代表所有直线． 3 ．直线与平面垂直，则直线与该平面内的任何一条直线都垂 直．这也可作为我们判定两直线垂直的常用方法．
1．(导学号：71250305)直线 l⊥平面 α，直线 m⊂α，则 l 与 m 不 可能( ) B．相交 D．垂直
人教A版高中数学必修二2.3.1直线和平面垂直的判定课件
如果两条直线相交
b
α
直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂 直，则该直线与此平面垂直．
lm
ln mnO
m n
l
线不在多 相交则行
l
m
O
α
n
线线垂直
线面垂直
直线与平面垂直
思考：折痕AD垂直BC时，翻折后直线AD与 桌面所在的平面垂直吗？为什么？
A
A
B
D
B
D C C
例1.如图，点P是平行四边形ABCD所在平面 外一点,O是对角线AC与BD的交点,且PA=PC， PB=PD.求证：PO 平面ABCD.
直，我们说直线l与平面 互相垂直，记作 l ．
垂足
平面 的垂线
l
Pa
直线 l 的垂面
l
a
线线垂直
la
线面垂直
线面垂直的判定条件 如果直线 l与平面内的一条直线垂直，
则直线 l 和平面 互相垂直?
l
b
α
如果直线 l与平面内的两条直线垂直， 则直线 l 和平面 互相垂直?
如果两条直线平行
面图中有几个直角三角形? A
O
B
PA 平面ABC
BC
平面ABC
AC BC PA BC PA AC
A
C
BC 平面PAC
PC
平面PAC
BC
PC PBC是直角三角形.
故共有四个直角三角形
例5.在正方体中,求证: (1)BD ⊥ AC,
(2)BD ⊥ 平面ACB
D’
C’
A’
B’
D A
V
P
.K
A B
2.3.1_直线与平面垂直的判定_课件3(新人教版A必修2)
数学思想方法： 3．数学思想方法：转化的思想 空间问题 平面问题
P M N A C
B
第２个 垂线 空间角 平面的一条斜线和它在平 Ａ θ Ｏ 面内的射影所成的锐角， 面内的射影所成的锐角，叫做 α 这条直线和这个平面所成的角
斜线在平面上的射影
斜线
Ｐ
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 成的角是0 成的角是0 °的角
(1)四面体P ABC中有几个直角三角形 (1)四面体P-ABC中有几个直角三角形 四面体 (2)指出PB,PC与平面ABC所成的角 (2)指出PB,PC与平面ABC所成的角 指出PB,PC与平面ABC AC,PC与平面PAB所成的角 AC,PC与平面PAB所成的角 与平面PAB P
A
C B
知识小结
直线和平面所成角的范围是[0° 90° 直线和平面所成角的范围是[0°，90°] 两条异面直线所成的角,(0,900] 两条异面直线所成的角
例２ 分别指出对角线 1C 分别指出对角线A
与六个面所成的角. 与六个面所成的角
D1 A1
1
C1 B1 C
1
D A B
练习 在Rt△ABC中,∠B=90°,P为 Rt△ABC中,∠B=90°,P为 ABC所在平面外一点,PA⊥平面 所在平面外一点,PA⊥平面ABC △ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC
⊥ α ，求证 b ⊥ α .
b
n
证明： 证明：在平面 α 内作 a 两条相交直线m， ． 两条相交直线 ，n． 因为直线 a ⊥ α， 根据直线与平面垂直的定义知 α m a ⊥ m, a ⊥ n. 又因为 b // a 所以 b ⊥ m, b ⊥ n. 是两条相交直线， 又 m ⊂ α , n ⊂ α , m, n 是两条相交直线， 所以 b ⊥ α .
人教A版高中数学必修二《直线与平面垂直的判定》教学设计
课题：2.3.1 《直线与平面垂直的判定》教学设计一、教学目标教学目标知识目标借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义.能力目标 通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念.情感目标 让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣. 重难点重点 操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理.难点 操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理及初步应用.法制渗透 无 教学方法 启发式 教学工具 三角形纸片二、教学设计活动名称 师生互动活动意图活动1[复习旧知引入课题]1.空间中一条直线与平面有哪几种位置关系？答案：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交.2. 直线和平面相交时，有一种特殊的位置关系是什么？（垂直） 是否也可以像直线与平面平行那样，也有一个判定定理呢？ →引入课题：直线与平面垂直的判定（板书课题）1、答案让学生回答，教师引导和纠正.2、教师引导学生回忆，并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时，可互相交流．结合学生已有知识，启发学生思考，激发学生学习兴趣．活动2[探究和证明判定定理]1．知识探究（一）：直线与平面垂直的概念 （1）创设情境请同学们找出下图中线与面垂直的地方？（2）思考：如何定义一条直线与一个平面垂直？→通过动画的展示，让学生明白到底什么叫做直线与平面垂直.直线与平面垂直的定义：如果一条直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.记作 α⊥l .l a若a l a l ⊥⇒⊂⊥αα,（线面垂直⇒线线垂直）. （3）深入理解“线面垂直定义”教师引导学生去探索和发现直线与平面垂直的判定的证明方法。
让学生知道数学问题源于实际生活，培养学生证明直线与平面垂直的判定的方法，证明思路。
Pα①.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都垂直（ ）②.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直（ ） 答案：①√，②×2、知识探究（二）：直线与平面垂直的判定定理 （1）思考：是否把平面中的直线一一找出，才能证明直线与平面垂直,该怎样判定直线与平面垂直呢？ （2）探究活动：请同学们拿出一块三角形的纸片，做以下试验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD 、DC 与桌面接触）. ①折痕AD 与桌面垂直吗？ ②如何翻折才能保证折痕AD 与桌面所在平面肯定垂直 答案：当BC AD ⊥时AD 作为BC 边上的高时，AD ⊥α，这时AD ⊥ BC ，即AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，BD ∩CD=D.结论：AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，BD ∩CD=D ，有AD ⊥α. (3) 直线与平面垂直的判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.n m m n P l l m l n ααα⊂⎫⎪⊂⎪⎪⋂=⇒⊥⎬⎪⊥⎪⊥⎪⎭线线垂直⇒线面垂直活动名称师生互动 活动意图αPnml活动3[学以致用]例1.如图，已知a ∥b 、a ⊥α.求证：b ⊥α.分析已知条件 → 讨论如何利用直线与平面垂直的判定定理 → 示范格式 → 得出结论 证明：在平面α内作两条相交直线n m ,. 因为直线α⊥a ，根据直线与平面垂直的定义知n a m a ⊥⊥,.又因为b ∥a 所以.,n b m b ⊥⊥又因为n m ,是平面α内的两条相交直线， 所以α⊥b .结论：若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.例2.如图，已知OA 、OB 、OC 两两垂直.（1）求证：OA ⊥平面OBC （2）求证：OA ⊥BC.B分析已知条件 → 讨论如何利用直线与平面垂直的判定定理 → 示范格式答案：(1)OC OB OA ,, 两两垂直 OC OA OB OA ⊥⊥∴, 又O OC OB =⋂ ⊥∴OA 平面OBCBCOA OBCBC OBC OA ⊥∴⊂⊥ , )2(平面平面教师引导学生由已知条件，并结合判定定理去解决问题；并让抽学生解答, 教师应该关注并发现学生的做题步骤，对做得好的学生应该给予表扬．同时强调，立体几何是一门数与形结合的学科．教师引导学生发现答案，并让学生上黑板来板书解答过程。
2020高中数学 2.2.1直线与平面平行的判定教材分析 新人教A版必修2
2020高中数学 2.2.1直线与平面平行的判定教材分析新人教A版必
修2
一．地位与作用
本节是人教A版必修二第二章第二节第一课时，它充分体现了线线平行和线面平行之间的转化，既是后面学习面面平行的基础，又是连接线线平行和面面平行的纽带，在高中立体几何中占有很重要的地位,按照新课标的设计理念，本节的教学设计淡化了几何论证的要求，遵循直观感知——操作确认——思辨论证——度量计算的认识过程展开，让学生经历“将空间问题平面化”的“降维”过程，体现化归与转化的思想.培养学生空间想象能力，发展学生的合情推理能力及一定的推理论证能力，为学生后继学习做好准备.
二．教学目标
1．知识与技能：
（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理；
（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；
2．过程与方法
（1）通过直观感知、动手操作、抽象概括的数学化过程，自主建构直线与平面平行的判定定理；
（2）经历运用判定定理的过程，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力；
（3）经历“空间转化为平面”“无限转化为有限”等转化过程，体现本节课的核心数学思想———化归与转化.
3．情感、态度与价值观
（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；
（2）通过创设情景，让学生亲身经历数学研究的过程，体现数学的理性之美；
（3）展现“线线——线面”的联系与转化，渗透唯物主义观点.
三．教学重点、难点
重点：直线与平面平行的判定定理及其应用.
难点：直线与平面平行的判定定理的建构过程.。
【人教A版】高中数学必修二第2章：2.3.1直线与平面垂直的判定(盐池高中)
垂足
平面 的垂线
l
直线 l 的垂面
P
对定义的认识
①“任何”表示所有.
②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在 垂直时，直线与平面的交点叫做垂足.
③
等价于对任意的直线
，都有
利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时 也得到了线面垂直的最基本的性质.
直线与平面垂直 除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？
解析：(1)如图 23，∵PO⊥平面 ABC， ∴PA 、PB、PC 在平面 ABC 上的射影分别是 OA、OB、OC. 又∵PA ＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC. ∴O 是△ ABC 的外心．
图 23
图 24
(2)如图 24，∵PO⊥平面 ABC，
∴PA 在平面 ABC 上的射影是 OA.
∵BC⊥PA ，∴BC⊥OA. 同理可证 AC⊥OB， ∴O是△ ABC 的垂心．故填垂心．
4－1.P 为△ABC 所在平面外一点，O 为 P 在平面 ABC 上的 射影．
(1)若 PA ＝PB＝PC，则 O 是△ABC 的_外__心__； (2)若 PA ⊥BC，PB⊥AC，则 O 是△ABC 的_垂__心__； (3)若 P 到△ABC 三边的距离相等，且 O 在△ABC 内部，则 O 是△ABC 的_内__心___； (4)若 PA 、PB、PC 两两互相垂直，则 O 是△ABC 的垂__心___．
斜线与平面所成的角θ的取值范围 是：______________
线面所成的角 关键：过斜线上一点作平面的垂线
斜线
斜足
A α
射影
P
线面所成角 （锐角∠PAO）
O
1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角
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2020高中数学 2.3.1直线与平面垂直的判定教材分析新人教A版必修
2
本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版A必修2第二章第三节.
《直线与平面垂直的判定》共两课时，本节课是第一课时，主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理。
这节课的内容以判定为主线展开，定义的描述在位置关系中起着重要的作用，具体表现在直线与直线垂直与直线与平面垂直关系的相互转化.
教学目标
知识与技能
1.掌握直线与平面垂直的概念并能用三种语言表示；
2.掌握直线与平面垂直的判定定理及语言表示；
3.会用线面垂直的定义和判定定理证明简单命题.
过程与方法
1.能从日常生活中的实际例子中抽象出直线与平面垂直问题，培养学生的观察与抽象能力；
2.培养学生的几何直观和空间想象能力；
3.通过转化的思想，培养学生思考问题、并能探究发现问题、解决问题能力；
4.通过对定理及定理应用的探求培养学生的逻辑推理能力和综合利用已有的知识解决问题的能力.
情感、态度与价值观
1.通过联系实际认识直线和平面垂直，让学生体会数学与现实生活的密切联系，感受数学的现实价值，培养学生良好的审美观点.
2.学生在参与数学探究活动中，挖掘观察、概括和抽象等潜能，培养自主探索、团队合作精神与意识.
教学重点、难点
重点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究及简单应用
难点：直线与平面垂直的判定定理的探究及初步运用.。