广东省高一下学期期末考试数学试题(含答案)
广东省高一下学期期末考试理科数学试题主要考查正弦函数的、余弦函数的周期性、奇偶性、图象的对称性，以及方程的根的存在性，正弦函数、余弦函数的图象特征，解题时需把函数化为一个三角函数形式，然后才可利用正弦函数、余弦函数的性质得出结论．三.解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本题满分10分) 已知向量b a ,满足|a |=1，|b |=2，a 与b 的夹角为120°．（1）求b a •及|b a +|；（2）设向量b a +与b a -的夹角为θ，求cosθ的值．【答案】（1）－1，3；（2）217-． 【解析】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）1. 下列各角中，与60°角终边相同的角是（ ） A ．﹣60° B ．600°C ．1020°D ．﹣660°【答案】D 【解析】考点：角的概念，终边相同的角． 2. 若tan α＜0，则（ ）A ．sin α＜0B ．cos α＜0C ．sin αcosα＜0D ．sin α﹣cos α＜0【答案】C 【解析】试题分析：若tanα＜0，则sinα与cosα必定异号，∴sinαcosα必定小于0．故选C ．考点：三角函数的定义，三角函数的符号．3.一个扇形的弧长与面积都等于6，这个扇形中心角的弧度数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】试题分析：设扇形的半径为r ，中心角为α，根据扇形面积公式12S lr =得1662r =⨯⨯，2r =， ∴r=2，又扇形弧长公式l r α=，∴3lrα==． 故选C ．考点：扇形面积公式；弧长公式． 4. 设α角属于第二象限，且|cos2α|=﹣cos 2α，则2α角属于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】C 【解析】考点：三角函数值的符号5. 下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）A ．a =（0，0），b =（2，3）B ．a =（1，﹣3），b =（2，﹣6）C ．a =（4，6），b =（6，9）D ．a =（2，3）， b =（﹣4，6） 【答案】D 【解析】试题分析：A.0×3﹣2×0=0； ∴a ，b 共线，不能作为基底； B.1×（﹣6）﹣2×（﹣3）=0； ∴a ，b 共线，不能作为基底； C.4×9﹣6×6=0；∴a ，b 共线，不能作为基底； D.2×6﹣（﹣4）×3=24≠0；∴a ，b 不共线，可以作为基底，即该选项正确． 故选D ．考点：平面向量的基本定理及其意义6. 下面的函数中，周期为π的偶函数是（ ）A ．y=sin2xB ．y=cos 2xC ．y=cos2xD ．y=sin 2x【答案】C 【解析】考点：三角函数的奇偶性与周期．7. 已知△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且a=4，b=43，A=30°，则B 等于（ ） A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120° 【答案】D【解析】试题分析：：△ABC 中，a=4，b=43，A=30°，由正弦定理可得sin sin a bA B=，得sin 3sin 2b A B a ==． 再由b ＞a ，大边对大角可得B ＞A ，∴B=60°或120°， 故选D ．考点：正弦定理．8. 已知向量)1,3(=a ，),12(k k b -=，b a ⊥，则k 的值是（ ） A ．﹣1 B ．73 C ．53- D ．53【答案】B 【解析】试题分析：∵)1,3(=a ，),12(k k b -=，b a ⊥， ∴3×（2k ﹣1）+k =7k ﹣3=0 解得37k =． 故选B考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系． 9. 已知5cos 5sin 3cos 2sin -=+-αααα，那么tanα的值为（ ）A ． ﹣2B ．2C ．1623D ．1623-【答案】D【点评】同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义． 10. 为了得到函数x y 3sin 2=的图象，可以将函数)23sin(2π+=x y 的图象（ ）而得到。
A ．向右平移6π个单位 B ． 向右平移2π个单位C ．向左平移6π个单位 D ． 向左平移2π个单位【答案】A 【解析】 试题分析：2sin(3)2sin 3()26y x x ππ=+=+，因此把它的图象向右平移6π个单位，可得2sin 3y x =的图象，故选A ．考点：三角函数的图象变换．11. 函数y=Asin （ωx+φ）在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式可为（ ）A ．y=2sin （2x+32π） B ．y=2sin （2x+3π） C ．y=2sin （32π-x ） D ．y=2sin （2x ﹣3π）【答案】A 【解析】【名师点睛】在已知()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象要确定其解析式时，主要考虑“五点法”中的五点，可方便简捷确定其解析式．由最值确定振幅A ，由“五点法”中的某两点确定周期T ，从而写出ω值．可利用“五点法”的某一点确定ϕ（如果是解答题，可通过解三角方程，结合ϕ的范围确定其值）． 12. 若x 是三角形的最小内角，则函数y=sinx+cosx ﹣sinxcosx 的最小值是（ ） A ．212- B ．212+C ．1D ．2【答案】A 【解析】试题分析：令sin cos x x t +=，则21sin cos 2t x x -=，∴2211(1)122t y t t -=-=--+．∵x 是三角形的最小内角，∴(0,]3x π∈，∵sin cos )4t x x x π=+=+∈，∴当t =时，y 12．故选A ．考点：三角函数的化简求值；三角函数的最值．【名师点睛】三角函数的最值问题，有两种基本类型，（1）把函数化这()sin()f x A x k ωϕ=++这种形式，利用正弦函数的性质求最值；（2）用换元法，设sin (cos ,tan )x t x t x t ===，如果题中同时出现sin cos x x±与sin cos x x ，则设sin cos t x x =+，则21sin cos 2t x x -=，把三角函数化为一般的二次函数、分式函数等。
换元时要注意新“元”的取值范围，否则易出错． 二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分） 13. sin75°cos30°﹣sin30°cos75°= ． 【答案】 【解析】试题分析：sin75°cos30°﹣sin30°cos75°=sin(7530)sin 452︒-︒=︒=． 考点：两角和与差的正弦函数．14. 已知向量a =（1，﹣2），b =（﹣2，2）则向量a 在向量b 方向上的投影为 ．【答案】2- 【解析】试题分析：所求投影为(1,2)(2,2)(2,2)2a b b⋅-⋅-===--．考点：平面向量数量积的几何意义． 15. 函数y=3sin （6π﹣2x ）的单调递增区间是 ． 【答案】 【解析】考点：三角函数的单调性． 16. 关于下列命题：①函数f （x ）=|2cos 2x ﹣1|的最小正周期是π；②函数y=cos2（4π﹣x ）是偶函数； ③函数y=4sin （2x ﹣3π）图象的一个对称中心是（6π，0）；④关于x 的方程sinx+3cosx=a （0≤x≤2π）有两相异实根，则实数a 的取值范围是（1，2）．则所有正确命题的题号为： ． 【答案】③ 【解析】即实数a 的取值范围是[3,2)，故排除④， 故答案为③．考点：命题真假的判断，三角函数的图象与性质． 【名师点睛】本题考查命题真假的判断，∴3a b +=；（2）同理可求得7a b -=；2222()()123a b a b a b +⋅-=-=-=-，∴()()21cos 737a b a b a b a bθ+⋅--===-⨯+-．考点：平面向量数量积的运算．18. (本题满分12分) 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究。
他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子的发芽数，得到如下资料： 日期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日 温差x /C 01011 13 12 8 发芽数y /颗 2325302616该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为 得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？（附：^1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，^^a yb x =-，其中x ，y 为样本平均值）【答案】（1）325-=∧x y；（2）可靠． 【解析】由公式，得^1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑==⨯-⨯⨯-12234342712397752，..............5分a ＝y －b x ＝122527⨯-=－3. ..............6分所以y 关于x 的线性回归方程为325-=∧x y...............7分 (2)当10=x 时,2322,2231025-=-⨯=∧y 2<; ..............9分当8=x 时,21617,173825<-=-⨯=∧y ..............11分 所以,(1)中所得到的线性回归方程是可靠的. ..............12分 考点：线性回归方程．【名师点睛】1．求线性回归方程的步骤：①反数据制成表，从表中计算出2,,,ii ix y x x y ∑∑，②计算回归系数,b a ，③写出回归方程y bx a =+．2．已知回归方程后，将数值代入可求得预测值；若回归方程中有参数，可根据回归直线一定过中心点(,)x y 求得参数．19. (本题满分12分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且0sin 3cos =--+c b C a C a . （1）求角A 的大小；（2）若a=2，△ABC 的面积为3，求b 和c 的值． 【答案】（1）3π=A ；（2）2b c ==．【解析】∵sinC≠0 ∴sinA ﹣cosA=1..............3分即1)cos 21sin 23(2=-A A ,1)6sin(2=-πA 又π<<A 0 , 6566πππ<-<-A ,66ππ=-∴A ..............5分 ∴3π=A ..............6分.（2）由..............8分由余弦定理可得，a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2﹣2bc ﹣2bccosA 即4=（b+c ）2﹣3bc=（b+c ）2﹣12 ∴b+c=4..............10分 由⎩⎨⎧=+=44c b bc 解得：b=c=2 ..............12分考点：解三角形．20. (本题满分12分)某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n 人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人到前排就坐，其中高二代表队抽到6人． （1）求n 的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a 和b 至少有一人上台抽奖的概率．（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个之间的均匀随机数x ，y ，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．（注：不等式012≤--y x 表示的区域是直线012=--y x 的左上方）【答案】（1）160；（2）35；（3）34． 【解析】试题分析：（1）由分层抽样的定义知，第一层次样本容量是总体容量成正比，由此可求得n 值；（2）从高二队6人中抽2人，可把6人编号，写出任取2人的所有可能情况，然后再在其中找含有a 或b 的情况，由概率公式可计算出概率；（3）由于随机数在区间上，因此以有序数对(,)x y 作为点的坐标构成总体空间，求出其面积，其中满足不等式012≤--y x 的在直线210x y --=左上方，总体空间中在直线210x y --=左上方部分的面积也可计算出来，由几何概型概率公式可求得概率．由条件得到的区域为图中的阴影部分 ..............9分由2x ﹣y ﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1 ∴在x ，y ∈时满足2x ﹣y ﹣1≤0的区域的面积为=..............11分∴该代表中奖的概率为=． ..............12分 考点：分层抽样，古典概型，几何概型．21. (本题满分12分)已知向量 a=（cos α，sin α），b =（cos β，sin β），|b a -｜＝255．（Ⅰ）求cos （α－β）的值；（Ⅱ）若０＜α＜2π，－2π＜β＜０，且sin β＝－513，求sin α的值．【答案】（Ⅰ）35；（Ⅱ）3365．【解析】即 ()422cos 5αβ--=．..............5分()3cos 5αβ∴-=． ..............6分 （Ⅱ）∵0,022ππαβ<<-<<， ∴ 0.αβπ<-< ..............7分∵ ()3cos 5αβ-=，∴541)(1)sin(53cos 22=-=--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛βαβα ........8分∵ 5sin 13β=-，∴131211cos 135sin 22=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ββ ...9分∴ ()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=-+=-+-⎡⎤⎣⎦412353351351365⎛⎫=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭. .............12分 考点：向量模的坐标运算，两角和与差的正弦、余弦公式．【名师点睛】在解决三角函数求值问题时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地应用拆角、拼角技巧，有利于快速、准确地解题，如()()()ααββαββββα=+-=-+=--，2()()ααβαβ=++-，2()()βαβαβ=+--等．22. (本题满分12分)已知函数f （x ）=sinx 2π（x ∈R ）．任取t ∈R ，若函数f （x ）在区间上的最大值为M （t ），最小值为m （t ），记g （t ）=M （t ）﹣m （t ）． （Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期及其图象的对称轴方程; （Ⅱ）当t ∈时，求函数g （t ）的解析式.【答案】（Ⅰ）最小正周期是4，对称轴方程为x=2k+1，k ∈Z ；（Ⅱ）31sin ,[2,)223()1cos ,[,1)22cos sin ,[1,0]22t t g t t t t t t ππππ⎧+∈--⎪⎪⎪=+∈--⎨⎪⎪-∈-⎪⎩【解析】（Ⅱ）当t ∈时， ①若t ∈上， M （t ）=f （t ）=sin2t π，m （t ）=f （﹣1）=﹣1，g （t ）=M （t ）﹣m （t ）=1+sin 2t π．..............6分②若t ∈上，考点：函数()sin()f x A x ωϕ=+的性质，三角函数的最值．。
【新结构】2023-2024学年广东省东莞市高一下学期期末教学质量检查数学试题+答案解析
【新结构】2023-2024学年广东省东莞市高一下学期期末教学质量检查数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则()A.2B.C.D.2.为了解学生每日参加体育锻炼的情况，学校用比例分配的分层随机抽样方法从高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级的学生有36人，则抽取的样本容量为()A.90B.100C.120D.1603.棱长为a的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积为()A. B. C. D.4.若，则()A. B.2 C. D.5.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是()A.若，，则B.若，，且，则C.若，，则D.若，，则6.已知向量，，且，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则()A. B.6 C. D.37.已知三棱锥，平面ABC ，，，则异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为()A. B. C. D.8.一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件“第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与M 相互独立的是()A.第一次朝上面的数字是偶数B.第一次朝上面的数字是1C.两次朝上面的数字之和是8D.两次朝上面的数字之和是7二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知某地一周每天的最高温度单位：分别为：31、27、26、28、27、30、27，则下列关于这组数据的结论中正确的是()A.众数是27 B.极差是4C.中位数是28D.平均数是2810.已知的半径为2，为其内接三角形，则下列结论中正确的是()A.若，则B.若，则周长的最大值为C.若，则D.若，则面积的最大值为11.如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别为AB，的中点，平面经过点C，E，F，且与交于点G，则下列结论正确的是()A.平面B.平面平面C. D.二面角的正切值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
广东高一高中数学期末考试带答案解析
广东高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列选项中元素的全体可以组成集合的是（）A．2013年1月风度中学高一级高个子学生B．校园中长的高大的树木C．2013年1月风度中学高一级在校学生D．学校篮球水平较高的学生2.下列图形中，表示的是（）3.设集合，，则（）A．B．C．D．4.如果直线与直线平行，那么系数等于（）.A．6B．－3C．－D．5.下列函数中，在区间上是增函数的是（）A．B．C．D．6.下列表示中,正确的是 ( )A．B．C．D．7.函数的零点所在区间为（）A．（1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）8.直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则（）A．B．C．D．9.已知函数，则（）A．－2B．10C．2D．－1010.已知幂函数的图象过点，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题1.设U={三角形}，M={直角三角形}，N={等腰三角形}，则M N=2.的定义域是3.已知直线过点A(1，2),B(2，3),则直线的斜率为4.已知奇函数在R上单调递减，则f(-1) f(3)(用＜、﹦、＞填空）三、解答题1.(本题12分)设全集，设集合，，求：(1) (2)2.（本题12分）解不等式．3.(本题14分) 已知集合A={}，集合B={1,2}，且,求的取值的集合.4.（本题14分）过点向直线作垂线，垂足为.求直线的方程.5.（本题14分）已知函数。
（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）用定义判断的奇偶性；6.（本题14分）设函数的定义域为,（Ⅰ）若,求的取值范围；（Ⅱ）求的最大值与最小值，并求出最值时对应的的值．广东高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.下列选项中元素的全体可以组成集合的是（）A．2013年1月风度中学高一级高个子学生B．校园中长的高大的树木C．2013年1月风度中学高一级在校学生D．学校篮球水平较高的学生【答案】C【解析】高个子、高大、水平较高都是模糊的概念，不是确切的标准，所以不能构成集合，只有C中的元素是确定的，所以能构成集合.【考点】本小题主要考查集合的概念的应用.点评：集合元素具有确定性、互异性和无序性三个特点，缺一不可.2.下列图形中，表示的是（）【答案】C【解析】表示集合是集合的子集，所以应该选C.【考点】本小题主要考查韦恩图的识别和集合关系的应用.点评：韦恩图在集合的运算中应用很广，要灵活应用.3.设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】本小题是求两个集合的交集，借助于数轴可知.【考点】本小题主要考查集合的运算.点评：集合的运算一般要借助数轴辅助进行.4.如果直线与直线平行，那么系数等于（）.A．6B．－3C．－D．【答案】A【解析】两直线平行，则两直线的斜率相等，所以【考点】本小题主要考查两直线平行的应用，考查学生的运算求解能力.点评：两直线平行，则斜率相等，要注意排除掉两直线重合的情况.5.下列函数中，在区间上是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据基本初等函数的单调性知，在上单调递减；在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减.【考点】本小题主要考查基本初等函数的单调性.点评：考查函数的单调性，要记住基本初等函数的单调性，结合图象解决问题.6.下列表示中,正确的是 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】空集是不含任何元素的集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.【考点】本小题主要考查空集的性质和集合中符号的应用.点评：表示元素和集合之间的关系，表示集合与集合之间的关系，不要混用符号.7.函数的零点所在区间为（）A．（1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【答案】C【解析】依次将区间端点代入函数，可知，根据函数的零点存在定理可知该函数的零点在区间（1，2）中.【考点】本小题主要考查函数的零点存在定理的应用.点评：函数的零点存在定理可以包保证在该区间内有零点，但是有几个零点不确定.8.直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，得令，得【考点】本小题主要考查函数的截距的求法，考查学生的运算求解能力.点评：要分清直线的截距和距离不是一回事，距离大于零，而解决可正可负也可以为零.9.已知函数，则（）A．－2B．10C．2D．－10【答案】B【解析】【考点】本小题主要考查分段函数的求值，考查学生的运算求解你能力.点评：分段函数不论分成几段，仍是一个函数，求值时代入相应的函数解析式求值即可.10.已知幂函数的图象过点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设幂函数，因为图象过点，所以【考点】本小题主要考查幂函数解析式的求解和幂函数的求值，考查学生的运算求解能力.点评：幂函数是形式定义，所以可以设函数为，然后代入求解即可.二、填空题1.设U={三角形}，M={直角三角形}，N={等腰三角形}，则M N=【答案】{等腰直角三角形}【解析】本题是求既是直角三角形又是等腰三角形的三角形的集合，所以是{等腰直角三角形}.【考点】本小题主要考查集合的运算.点评：结合实际意义求解即可.2.的定义域是【答案】【解析】要使函数有意义，需要使，所以定义域为.【考点】本小题主要考查对数函数定义域的求解.点评：函数的定义域和值域必须写成集合或区间的形式，其余的形式不对.3.已知直线过点A(1，2),B(2，3),则直线的斜率为【答案】1【解析】根据两点间的斜率公式可知，该直线的斜率为【考点】本小题主要考查两点间斜率公式的应用，考查学生的运算求解能力.点评：两点间斜率公式应用非常广泛，应用时注意斜率是否存在.4.已知奇函数在R上单调递减，则f(-1) f(3)(用＜、﹦、＞填空）【答案】＞【解析】因为奇函数在R上单调递减，且所以【考点】本小题主要考查利用函数的单调性比较函数值的大小，考查学生的应用能力.点评：函数的单调性和奇偶性是函数中比较重要的两条性质，经常结合考查，要牢固掌握，灵活应用.三、解答题1.(本题12分)设全集，设集合，，求：(1) (2)【答案】（1）={x｜x-1或x>5}（2）={x｜x-1或x3}【解析】（1）因为集合，全集，所以={x｜x-1或x>5}. ……6分（2）,所以={x｜x-1或x3}. ……12分【考点】本小题主要考查集合的运算，考查学生的运算求解能力.点评：解决集合的运算要弄清全集是什么，必要时要借助数轴辅助解决.2.（本题12分）解不等式．【答案】【解析】原不等式可化为：．……4分单调递增，∴．……10分∴原不等式解集为……12分【考点】本小题主要考查指数不等式的求解，考查学生的转化能力和运算求解能力.点评：解不等式时，最后要把解写出集合或区间的形式.3.(本题14分) 已知集合A={}，集合B={1,2}，且,求的取值的集合.【答案】【解析】因为,所以；……2分当A=时，显然; ……5分当A={1}时，；……8分当A={2}时，；……11分所以. ……12分【考点】本小题主要考查集合关系的应用，考查学生分类讨论思想的应用.点评：当时，不要漏掉A=的情况.4.（本题14分）过点向直线作垂线，垂足为.求直线的方程.【答案】【解析】由题意可知所在的直线的斜率为=，……4分设直线的斜率为，……8分∴直线的方程为:, ……12分即. ……14分【考点】本小题主要考查两直线垂直的斜率关系的应用和直线方程的求解，考查学生的运算求解能力.点评：两直线垂直，则斜率乘积等于-1，另外求直线方程时，如果不加以说明，通常要将结果写出一般式.5.（本题14分）已知函数。
广东高一高中数学期末考试带答案解析
广东高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合，，则=（）A．B．C．D．2.下列哪组中的函数与是同一函数（）A．，B．，C．，D．，3.若，则（）A．B．C．D．4.函数的图象可能是（）5.函数的值域是（）A．B．C．D．6.函数的单调递增区间是（）A．（-,2]B．（0,2]C．[）D．[2,4）7.若,则不等式的解集是（）A．B．C．D．8.已知函数为R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．9.已知函数的定义域是一切实数,则的取值范围是（）A．B．C．D．10.计算：的值为（）A．1B．2C．3D．411.已知函数，方程恰有两个解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12.定义在上的函数若同时满足：①存在，使得对任意的，都有；②的图像存在对称中心.则称为“函数”.已知函数和，则以下结论一定正确的是（）A．和都是函数B．是函数，不是函数C．不是函数，是函数D．和都不是函数二、填空题1.已知幂函数的图象经过点,那么_____________.2.已知函数，则的值是 .3.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 .4.设有限集合，则叫做集合的和，记作.若集合，集合的含有个元素的全体子集分别记为，则.三、解答题1.已知集合A=，集合B=,集C=，U=R.（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围.2.定义在R上的函数，当，且对任意，有. （1）求的值；（2）求证：对任意，都有；（3）若在R上为增函数，解不等式.3.已知函数，，求函数的值域.4.设函数，，为常数.（1）用表示的最小值，求的解析式；（2）在（1）中，是否存在最小的整数，使得对于任意均成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.5.设，且，定义在区间内的函数是奇函数.（1）求的值；（2）求的取值范围；（3）用定义讨论并证明函数的单调性.6.已知两条直线和（其中），若直线与函数的图象从左到右相交于点，直线与函数的图象从左到右相交于点.记线段和在轴上的投影长度分别为.令.（1）求的表达式；（2）当变化时，求出的最小值，并指出取得最小值时对应的的值.广东高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.设集合，，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，故，故选C.【考点】集合的运算.2.下列哪组中的函数与是同一函数（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】A、与的定义域不同，故不是同一函数；B、与的定义域不同，故不是同一函数；C、与的对应关系相同，定义域为，故是同一函数；D、与的定义域不同，故不是同一函数；故选C.【考点】函数的定义.【方法点睛】此题是个基础题.本题考查函数的三要素：定义域、值域、对应关系，相同的函数必然具有相同的定义域、值域、对应关系.要使数与的同一函数，必须满足定义域和对应法则完全相同即可，注意分析各个选项中的个函数的定义域和对应法则是否相同，通常的先后顺序为先比较定义域是否相同，其次看对应关系或值域.3.若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，则，即，故选D.【考点】比较大小.4.函数的图象可能是（）【答案】D【解析】若，则，则A、B不正确，若，则，则C不正确，故D正确，故选D.【考点】指数函数的图象变换.5.函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，，故，故选B.【考点】函数的值域.6.函数的单调递增区间是（）A．（-,2]B．（0,2]C．[）D．[2,4）【答案】D【解析】由得，设，则为减函数，要求的单调递增区间，即求函数在上的递减区间，∵函数的递减区间为，∴函数的单调增区间为，故选D.【考点】复合函数的单调性.7.若,则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得，解得，故选C.【考点】不等式的解法.8.已知函数为R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】若函数在上为减函数，则，即，解得，故选D.【考点】函数单调性的性质.9.已知函数的定义域是一切实数,则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵函数的定义域是一切实数，∴对一切恒成立，当时，上式变为，恒成立，当时，必有，解之可得，综上.故选D.【考点】一元二次不等式的应用.10.计算：的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】原式，故选A.【考点】对数的运算.11.已知函数，方程恰有两个解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，，分别画出这两个函数的图象，如图所示.观察图象可知，当实数的取值范围是时，直线与函数的图象有且只有两个交点，即方程恰有两个解，故选A.【考点】函数的零点.【思路点晴】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.设，，分别画出这两个函数的图象，欲使恰有两个解，结合图可求得实数的取值范围.12.定义在上的函数若同时满足：①存在，使得对任意的，都有；②的图像存在对称中心.则称为“函数”.已知函数和，则以下结论一定正确的是（）A．和都是函数B．是函数，不是函数C．不是函数，是函数D．和都不是函数【答案】B【解析】①存在，使得对任意的，都有⇔函数在上是“有界函数”.对于函数，定义域为，∵，∴，∴，∴满足①，又，∴函数是奇函数，关于原点中心对称.∴是“函数”.，定义域为，令，则，∵，∴不满足①，因此，不是“函数”.故选：B.【考点】命题真假的判断与应用.【方法点晴】本题考查了函数的有界性、奇偶性、新定义函数、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.在该题中主要抓住对任意的，都有以及的图象存在对称中心.二、填空题1.已知幂函数的图象经过点,那么_____________.【答案】【解析】设幂函数为，因为幂函数图象过点，所以，解得，所以幂函数的解析式为，则，故答案为：.【考点】幂函数的概念.2.已知函数，则的值是 .【答案】【解析】由，则，故答案为.【考点】函数的值.3.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】当时，，为增函数，当时，，解得，故答案为.【考点】指数函数的单调性.4.设有限集合，则叫做集合的和，记作.若集合，集合的含有个元素的全体子集分别记为，则.【答案】【解析】根据题意：∵，则叫做集合的和，记作，而集合，∴其元素为，，，，故含有个元素的全体子集分别为：，，，，则，答案为：.【考点】子集与真子集.【方法点晴】通过对新定义的一种运算，计算求和，属于创新题型，本题为基础题，考查计算能力，推理能力.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，在该题中首先根据已知则集合，则叫做集合的和，记作，分别求出所有的元素，然后根据题意找到个元素的子集，最后求和即可.三、解答题1.已知集合A=，集合B=,集C=，U=R.（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）求出结合、的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可；（2）由知，，建立不等式关系进行求解即可.试题解析：（1），，（2）【考点】（1）集合的包含关系判断及应用；（2）交、并、补集的混合运算.2.定义在R上的函数，当，且对任意，有. （1）求的值；（2）求证：对任意，都有；（3）若在R上为增函数，解不等式.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）令，得，结合于是可求得的值；（2）易证，再用反证法证得即可；（3）令，由及，可求得；再利用单调性的定义判断函数在上的单调性，即可求得不等式的解集.试题解析：（1）令，则，∵，∴；（2）证明：∵对任意的，有，假设存在，使，则对于任意的，，这与已知时，矛盾，∴对任意的，都有；（3），∵若在上为增函数∴可化为∴，即，解集为.【考点】抽象函数及其应用.【一题多解】本题考查抽象函数及其性质，着重考查赋值法的应用，突出考查反证法与函数单调性的判断与证明，属于中档题.对于（2）还可采用证明：当时，，∴，∵，∴，又有，；且，所以对任意，都有.3.已知函数，，求函数的值域.【答案】.【解析】先求出函数的定义域，然后将函数化为关于的二次函数，进行配方找出对称轴，而，利用对称轴与区间的位置关系求出最值，即可求出值域.试题解析：首先求函数的定义域，有，则，所以，函数的定义域为.又令，由知：∴，该函数在上递增∴当，即时；当，即时故函数的值域为.【考点】（1）对数函数的性质；（2）函数的值域.4.设函数，，为常数.（1）用表示的最小值，求的解析式；（2）在（1）中，是否存在最小的整数，使得对于任意均成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由函数的解析式可得函数开口方向及对称轴，分类讨论给定区间与对称轴的关系，分析函数的单调性后，可得最值；（2）若恒成立，则不小于的最大值，分析函数的单调性求其最值可得答案.试题解析：（1）对称轴①当时，在上是增函数，当时有最小值②当时，在上是减函数，时有最小值③当时，在上是不单调，时有最小值（2）存在，由题知在是增函数，在是减函数时，，恒成立，为整数，的最小值为.【考点】（1）函数解析式的求解及常用方法；（2）函数恒成立问题.【方法点睛】本题考查的知识点是函数的恒成立问题，函数解析式的求法，其中（1）中分类讨论思想，（2）中的转化思想是高中数学中最重要的数学思想，一定要熟练掌握，解答本题的关键是确定函数的开口方向和对称轴，然后根据对称轴与所给区间的的关系进一步确定函数的最值，二次函数的最大值或最小值只能在端点或二次函数的对称轴处取得；函数恒成立问题转化为或即可.5.设，且，定义在区间内的函数是奇函数.（1）求的值；（2）求的取值范围；（3）用定义讨论并证明函数的单调性.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】（1）由函数在区间是奇函数，知，上恒成立，用待定系数法求得；（2）同时函数要有意义，即，上恒成立，可解得结果；（3）用定义法求解，先任意取两个变量且界定大小，再作差变形看符号.试题解析：（1）是奇函数等价于：对任意的，都有，即，即对任意恒成立，∴又，∴（2）由，即得，此式对任意恒成立则有，∴，得的取值范围是.（3）任取，令，则由，得：∴，，即所以则∴在内是单调减函数.【考点】（1）函数的单调性；（2）函数的奇偶性.【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性，要注意定义域优先考虑原则，还考查了用定义法证明函数的单调性，要注意作差时的变形要到位，要用上两个变量的大小关系.函数为奇函数即对于定义域内任意实数恒成立，当和对数函数相结合是，一定要考虑真数部分大于，利用定义法证明函数单调性的步骤为1、取值；2、作差；3、化简；4、下结论.6.已知两条直线和（其中），若直线与函数的图象从左到右相交于点，直线与函数的图象从左到右相交于点.记线段和在轴上的投影长度分别为.令.（1）求的表达式；（2）当变化时，求出的最小值，并指出取得最小值时对应的的值.【答案】（1）；（2）时，有最小值为.【解析】（1）用表示出，，，四点的横坐标，计算的值；（2）使用对勾函数的性质解出的最小值.试题解析：（1）设，则，，，则∴（2），令，则考察函数在的单调性知，当时单调减，当单调增∴当时，有最小值,此时，即时有最小值为.【考点】对数函数的图象和性质.。
2022-2023学年广东省广州省时中学高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省广州省时中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．已知复数z =1−2i1+i（i 是虚数单位），则z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知平面向量a →与b →为单位向量，它们的夹角为π3，则|2a →+b →|＝（ ） A ．√2B ．√3C ．√5D ．√73．已知函数f(x)={1x，x ＞0x +2，x ≤0，则方程f （x ）﹣3|x |＝0的解的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．函数y ＝sin （x +π3）sin （x +π2）的最小正周期是（ ） A ．π4B ．π2C ．πD ．2π5．下列不等式恒成立的是（ ） A ．ba +a b≥2B ．ab ≥(a+b2)2C ．a +b ≥2√|ab|D ．a 2+b 2≥﹣2ab6．已知a ，b 是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ∥α，β∥α，则a ∥β B ．若α⊥β，a ⊥β，则a ∥α C ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD ．若a ∥α，b ⊥α，则a ⊥b7．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h ．将地球看作是一个球心为O ，半径为r 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星．若该观测点的纬度值为a ，观测该卫星的仰角为β，则下列关系一定成立的是（ ） A ．r+ℎcosβ=r cos(α+β)B ．ℎcosβ=r cos(α+β)C ．r+ℎsinβ=r sin(α+β)D ．ℎsinβ=rsin(α+β)8．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的边长为2，M 是BB 1的中点，点P 在正方体内部或表面上，且MP ∥平面AB 1D 1，则动点P 的轨迹所形成的区域面积是（ ） A ．√3B ．2√3C ．3√3D ．4√3二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19（单位℃）．则（ ） A ．该组数据的平均数为1157B ．该组数据的中位数为13C ．该组数据的第70百分位数为16D ．该组数据的极差为1510．把函数f （x ）＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数g （x ）的图象，下列关于函数g （x ）的说法正确的是（ ） A ．最小正周期为πB ．在区间[−π3，π6]上的最大值为√32 C ．图象的一个对称中心为(−π3，0) D ．图象的一条对称轴为直线x =π1211．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b （b +c ），则下列结论正确的有（ ） A ．A ＝2BB ．B 的取值范围为(0，π4)C ．a b的取值范围为(√2，√3)D ．1tanB−1tanA+2sinA 的取值范围为(5√33，6) 12．如图是一个正方体的侧面展开图，A ，C ，E ，F 是顶点，B ，D 是所在棱的中点，则在这个正方体中，下列结论正确的是（ ）A ．BF 与AE 异面B ．BF ∥平面ACDC ．平面CDF ⊥平面ABDD ．DE 与平面ABD 所成的角的正弦值是23三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上．13．已知树人中学高一年级总共有学生n 人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取n 10名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多10人，则n ＝ ．14．在直角三角形ABC 中，已知AC ＝2，BC =2√3，∠C ＝90°，以AC 为旋转轴将△ABC 旋转一周，AB 、BC 边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为 ．15．已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为8π，则此正四棱台的侧棱长为 ．16．如图是正八边形ABCDEFGH ，其中O 是该正八边形的中心，P 是正八边形ABCDEFGH 八条边上的动点．若OA ＝2，则该八边形的面积为 ，OP →⋅AB →的最小值为 ．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效17．（10分）已知函数f （x ）＝sin （﹣2x ）+cos （﹣2x ），x ∈R ． （1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数f （x ）在[0，π2]上的最小值及相应自变量的值．18．（12分）5月11日是世界防治肥胖日．我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题．目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex ，缩写BMI ）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．我国成人的BMI 数值标准为：BMI ＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI ＜24为正常；24≤BMI ＜28为偏胖；BMI ≥28为肥胖．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的BMI 值并将女员工的BMI 值绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）求图中a 的值，并估计样本中女员工BMI 值的70%分位数；（2）已知样本中男员工BMI 值的平均数为22，试估计该公司员工BMI 值的平均数．19．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足2b cos C ＝2a ﹣c ． （1）求角B ；（2）如图，若△ABC 外接圆半径为2√63，D 为AC 的中点，且BD ＝2，求△ABC 的周长．20．（12分）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v =v 0ln Mm计算火箭的最大速度v （单位：m /s ）．其中v 0（单位m /s ）是喷流相对速度，m （单位：kg ）是火箭（除推进剂外）的质量，M （单位：kg ）是推进剂与火箭质量的总和，Mm 称为“总质比”，已知A 型火箭的喷流相对速度为2000m /s ．参考数据：ln 230≈5.4，1.648＜e 0.5＜1.649．（1）当总质比为230时，利用给出的参考数据求A 型火箭的最大速度；（2）经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度增加500m /s ，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T ，求不小于T 的最小整数？21．（12分）如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，P A ＝PD ＝PB ，BC ＝CD ＝1，AB ＝2，∠BCD =π3，直线P A 与底面ABCD 所成角为π4．（1）若E 为PD 上一点且PE ＝2ED ，证明：PB ∥平面ACE ； （2）求二面角P ﹣AD ﹣B 的余弦值．22．（12分）设a为正数，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1且f（x）＝f(2−x)．a（1）若f（1）＝1，求f（x）；（2）设g（x）＝log2（x﹣2√x+2），若对任意实数t，总存在x1，x2∈[t﹣1，t+1]，使得f（x1）﹣f（x2）≥g（x3）﹣g（x4）对所有x3，x4∈[14，4]都成立，求a的取值范围．2022-2023学年广东省广州省时中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．已知复数z =1−2i1+i （i 是虚数单位），则z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：因为z =1−2i 1+i =(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−1−3i 2=−12−32i ，则z =−12+32i ， 因此，z 对应的点(−12，32)在第二象限． 故选：B ．2．已知平面向量a →与b →为单位向量，它们的夹角为π3，则|2a →+b →|＝（ ）A ．√2B ．√3C ．√5D ．√7解：∵a →⋅b →=|a →|⋅|b →|cos ＜a →，b →＞=cosπ3=12， ∴|2a →+b →|=√|2a →+b →|2=√4|a →|2+4a →⋅b →+|b →|2=√4+2+1=√7． 故选：D ．3．已知函数f(x)={1x，x ＞0x +2，x ≤0，则方程f （x ）﹣3|x |＝0的解的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3解：令f （x ）﹣3|x |＝0，得f （x ）＝3|x |，则方程f （x ）﹣3|x |＝0的解的个数即函数y ＝f （x ）与函数y ＝3|x |的图象的交点的个数． 作出函数y ＝f （x ）与函数y ＝3|x |的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2， 故方程的解的个数为2个． 故选：C ．4．函数y ＝sin （x +π3）sin （x +π2）的最小正周期是（ ）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π解：∵函数y ＝sin （x +π3）sin （x +π2）＝（12sin x +√32cos x ）•cos x =12sin x cos x +√32cos 2x=14sin2x +√32•1+cos2x2=12sin （2x +π3）+√34， ∴函数的最小正周期是 2π2=π，故选：C ．5．下列不等式恒成立的是（ ） A ．ba +a b≥2 B ．ab ≥(a+b 2)2C ．a +b ≥2√|ab|D ．a 2+b 2≥﹣2ab解：对于A ：a ，b 异号是显然不成立，∴A 不正确； 对于B ：a ，b 异号是显然不成立，∴B 不正确； 对于C ：a ，b 均小于0时，显然不成立，∴C 不正确；对于D ：∵（a +b ）2≥0 （a ，b ∈R ），∴a 2+b 2≥﹣2ab （a ，b ∈R ），∴D 正确； 故选：D ．6．已知a ，b 是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ∥α，β∥α，则a ∥β B ．若α⊥β，a ⊥β，则a ∥α C ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD ．若a ∥α，b ⊥α，则a ⊥b解：对于A ：若a ∥α，β∥α，则a ∥β或a ⊂β，故A 错误； 对于B ：若α⊥β，a ⊥β，则a ∥α或a ⊂α，故B 错误； 对于C ：若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交；故C 错误；对于D ：若a ∥α，则过a 作平面δ，δ∩α＝m ，则a ∥m ，由b ⊥α，则b ⊥m ，则a ⊥b ，故D 正确． 故选：D ．7．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h ．将地球看作是一个球心为O ，半径为r 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星．若该观测点的纬度值为a ，观测该卫星的仰角为β，则下列关系一定成立的是（ ） A ．r+ℎcosβ=r cos(α+β)B ．ℎcosβ=r cos(α+β)C ．r+ℎsinβ=r sin(α+β)D ．ℎsinβ=rsin(α+β)解：如图所示，∠B =π2−α−β，由正弦定理可得OAsinB=OBsin∠OAB ，即r sin(π2−α−β)=r+ℎsin(π2+β)，化简得rcos(α+β)=r+ℎcosβ，故选：A ．8．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的边长为2，M 是BB 1的中点，点P 在正方体内部或表面上，且MP ∥平面AB 1D 1，则动点P 的轨迹所形成的区域面积是（ ） A ．√3B ．2√3C ．3√3D ．4√3解：如图所示，E ，F ，G ，H ，N 分别为B 1C 1，C 1D 1，DD 1，DA ，AB 的中点， 则EF ∥B 1D 1∥NH ，MN ∥B 1A ∥FG ， ∴平面MEFGHN ∥平面AB 1D 1，∴动点P 的轨迹是六边形MEFGHN 及其内部． ∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的边长为2， ∴EF ＝FG ＝GH ＝HN ＝NM ＝ME =√2， 即六边形EFGHNM 是边长为√2的正六边形， 则其面积S =6×12×√2×√2×√32=3√3． 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19（单位℃）．则（ ） A ．该组数据的平均数为1157B ．该组数据的中位数为13C ．该组数据的第70百分位数为16D ．该组数据的极差为15解：将23，25，13，10，13，12，19从小到大排列为10，12，13，13，19，23，25， 对于A ，该组数据的中位数为23+25+13+10+13+12+197=1157，故A 正确；对于B ，该组数据的中位数为13，故B 正确；对于C ，由7×70%＝4.9，则该组数据的第70百分位数为从小到大排列的第5个数，是19，故C 错误； 对于D ，该组数据的极差为25﹣10＝15，故D 正确． 故选：ABD ．10．把函数f （x ）＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数g （x ）的图象，下列关于函数g （x ）的说法正确的是（ ） A ．最小正周期为πB ．在区间[−π3，π6]上的最大值为√32 C ．图象的一个对称中心为(−π3，0)D ．图象的一条对称轴为直线x =π12解：f （x ）＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数g （x ）＝sin （2x +π3）的图象； 所以函数的最小正周期为π， 当x =π12时，函数取得最大值1． 故选：AD ．11．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b （b +c ），则下列结论正确的有（ ） A ．A ＝2BB ．B 的取值范围为(0，π4)C ．a b 的取值范围为(√2，√3)D ．1tanB−1tanA+2sinA 的取值范围为(5√33，6)解：因为a 2＝b （b +c ），又由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， 即b （b +c ）＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，所以bc ＝c 2﹣2bc cos A ，所以b ＝c ﹣2b cos A ，即c ﹣b ＝2b cos A ， 由正弦定理可得sin C ﹣sin B ＝2sin B cos A ， 又sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ，∴sin A cos B +cos A sin B ﹣sin B ＝2sin B cos A ，即sin A cos B ﹣sin B ＝sin B cos A ， ∴sin A cos B ﹣cos A sin B ＝sin （A ﹣B ）＝sin B ， ∵A ，B ，C 为锐角，∴A ﹣B ＝B ，即A ＝2B ，故选项A 正确； ∵{0＜2B ＜π20＜π−3B ＜π2，∴π6＜B ＜π4，π3＜A ＜π2，故选项B 错误；∵a b=sinA sinB=2sinBcosB sinB=2cosB ∈(√2，√3)，故选项C 正确；∵1tanB −1tanA +2sinA =sin(A−B)sinBsinA+2sinA =sin(2B−B)sinBsinA+2sinA =1sinA+2sinA ，又π3＜A ＜π2，∴√32＜sinA ＜1， 令t ＝sin A （√32＜t ＜1），则f(t)=1t +2t(√32＜t ＜1)，由对勾函数性质可知，f(t)=1t +2t 在t ∈(√32，1)上单调递增， 又f(√32)=1√322×√32=5√33，f(1)=11+2×1=3， ∴1tanB−1tanA+2sinA =1sinA+2sinA ∈(5√33，3)，故选项D 错误． 故选：AC ．12．如图是一个正方体的侧面展开图，A ，C ，E ，F 是顶点，B ，D 是所在棱的中点，则在这个正方体中，下列结论正确的是（ ）A ．BF 与AE 异面B ．BF ∥平面ACDC ．平面CDF ⊥平面ABDD ．DE 与平面ABD 所成的角的正弦值是23解：由展开图还原正方体如下图所示，其中B ，D 分别为NP ，AM 中点，对于A ，∵AE ∩平面EFPN ＝E ，BF ⊂平面EFPN ，E ∉BF ，∴AE与BF为异面直线，A正确；对于B，连接BD，DG，∵B，D分别为AM，NP中点，∴BD∥AP，BD＝AP，又AP∥FG，AP＝FG，∴BD∥FG，BD＝FG，∴四边形BDGF为平行四边形，∴BF∥DG，又BF⊄平面ACD，DG⊂平面ACD，∴BF∥平面ACD，B正确；对于C，假设平面CDF⊥平面ABD成立，∵AG⊥平面ABD，AG⊄平面ABD，∴AG∥平面CDF，∵AG⊂平面AGCM，平面AGCM∩平面CDF＝CD，∴AG∥CD，显然不成立，∴假设错误，平面CDF与平面ABD不垂直，C错误；对于D，连接DN，直线DE与平面ABD所成角即为直线DE与平面AMNP所成角，∵EN⊥平面AMNP，∴∠EDN即为直线DE与平面AMNP所成角，设正方体棱长为2，∵DE=√EN2+DN2=√EN2+MN2+(12AM)2=√4+4+1=3，∴sin ∠EDN =NE DE =23，即直线DE 与平面ABD 所成角的正弦值为23，D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上．13．已知树人中学高一年级总共有学生n 人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取n 10名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多10人，则n ＝ 1000 ．解：树人中学高一年级总共有学生n 人，其中男生550人，按男生、女生进行分层， 并按比例分配抽取n 10名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多10人， 按比例分配抽取n 10名学生参加湿地保护知识竞赛，则参赛学生中男生人数为550×110=55人， 参赛学生中女生人数为55﹣10＝45人， ∴n ＝（55+45）×10＝1000． 故答案为：1000．14．在直角三角形ABC 中，已知AC ＝2，BC =2√3，∠C ＝90°，以AC 为旋转轴将△ABC 旋转一周，AB 、BC 边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为 8 ．解：如图，圆锥任意两条母线为AB ，AD ，则截面为等腰△ABD ，∴截面面积为S △ABD =12×AB ×AD ×sin ∠BAD ， 由图可知当截面为圆锥轴截面时，∠BAD 最大，最大为120°， ∴∠BAD ∈（0°，120°），∴sin ∠BAD 最大值为1， ∵AB ＝AD =√AC 2+BC 2=√4+12=4为定值， ∴当sin ∠BAD 最大时截面面积最大， ∴截面面积最大为12×42×1=8．故答案为：8．15．已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为8π，则此正四棱台的侧棱长为 √2 ．解：设上下底面互相平行的两对角线分别为DC ，AB ，则由球O 的表面积为8π，可得球O 的半径R =√2，又正四棱台的上下底面边长分别是1和2，故DC =√2，AB ＝2√2，所以球O 的球心正好在AB 中点，故OA ＝OB ＝OC ＝OD =√2，所以△ODC 是正三角形，故∠ODC ＝∠DOC ＝60°，所以△ODA 是正三角形， 故此正四棱台的侧棱长AD ＝OA =√2．故答案为：√2．16．如图是正八边形ABCDEFGH ，其中O 是该正八边形的中心，P 是正八边形ABCDEFGH 八条边上的动点．若OA ＝2，则该八边形的面积为 8√2 ，OP →⋅AB →的最小值为 ﹣2√2 ．解：在正八边形ABCDEFGH 中， OB =OA =2，∠AOB =π4所以正八边形ABCDEFGH 的面积为8S △AOB =8×12×2×2sin π4=8√2； 因为AB 2=OA 2+OB 2−2OA ⋅OBcos π4=8−4√2，所以AB =√8−4√2，又cos 3π4=2cos 23π8−1=−√22，所以cos 3π8=√2−√22，所以OA →⋅AB →=2×√8−4√2×cos(π−3π8)=2√2−4，因为OP →⋅AB →=(OA →+AP →)⋅AB →=OA →⋅AB →+AP →⋅AB →，因为OP →⋅AB →=(OA →+AP →)⋅AB →=OOA →⋅AB →+AP →⋅AB →，又OA →⋅AB →为定值，所以OP →⋅AB →取最小值时，即AP →⋅AB →取最小值， 又设〈AP →，AB →〉=θ，所以AP →⋅AB →=|AB →|⋅|AP →|cosθ，所以AP →⋅AB →取最小值时，即|AP →|cosθ取最小值， 又|AP →|cosθ表示向量AP →在向量AB →上的投影，故|AP →|cosθ取最小值时，点P 不可能在路径BCDE 上（在此路径上θ为锐角），所以点P 在路径EFGHAB 上， 延长BA 与GH ，延长线交于M 点，则AMH 为等腰直角三角形，且MA =MH =√2√2−2， 所以BM =√2√2−2+√8−4√2，所以当点P 在GH 上时，向量AP 1→在向量AB →上的投影最小，即|AP →|cosθ最小， 即|AP →|cosθ=−|AM →|=−√2√2−2，所以(AP →⋅AB →)min =√8−4√2(−√2√2−2)=4−4√2， 所以(OP →⋅AB →)min =2√2−4+4−4√2=−2√2． 故答案为：8√2；−2√2．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效17．（10分）已知函数f （x ）＝sin （﹣2x ）+cos （﹣2x ），x ∈R ． （1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数f （x ）在[0，π2]上的最小值及相应自变量的值．解：（1）因为f(x)=cos2x−sin2x=√2cos(2x+π4 )，由题意得：T=2π|ω|−2π2=π，即最小正周期为π；由2kπ⩽2x+π4⩽π+2kπ，k∈Z，解得：−π8+kπ⩽x⩽3π8+kπ，k∈Z，故函数f（x）的单调递减区间为[−π8+kπ，3π8+kπ](k∈Z)；（2）由x∈[0，π2]得2x+π4∈[π4，5π4]，∴cos(2x+π4)∈[−1，√22]，∴f（x）在区间[0，π2]上的最小值为−√2，当cos(2x+π4)=−1，即2x+π4=π，所以x=3π8时f(x)min=−√2．18．（12分）5月11日是世界防治肥胖日．我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题．目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．我国成人的BMI数值标准为：BMI ＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的BMI值并将女员工的BMI值绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）求图中a的值，并估计样本中女员工BMI值的70%分位数；（2）已知样本中男员工BMI值的平均数为22，试估计该公司员工BMI值的平均数．解：（1）由题意，2×（0.08+0.13+a+0.06+0.07+0.02+0.01+0.03）＝1，解得a＝0.10，因为2×（0.08+0.13+0.10）＝0.62＜0.7，2×（0.08+0.13+0.10+0.06）＝0.74＞0.7， 故70%分位数在[22，24）之间， 设为x ，则0.62+0.06×（x ﹣22）＝0.7， 解得x =703．故估计样本中女员工BMI 值的中位数为703；（2）由题意，样本中女员工BMI 值的平均数为：2×（17×0.08+19×0.13+21×0.10+23×0.06+25×0.07+27×0.02+29×0.01+31×0.03）＝21.64， 故估计该公司员工BMI 值的平均数x =1100×（22×60+21.64×40）＝21.856． 19．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足2b cos C ＝2a ﹣c ． （1）求角B ；（2）如图，若△ABC 外接圆半径为2√63，D 为AC 的中点，且BD ＝2，求△ABC 的周长．解：（1）因为2b cos C ＝2a ﹣c ，由余弦定理可得2b •a 2+b 2−c 22ab=2a ﹣c ，整理可得：a 2+c 2﹣b 2＝ac ，再由余弦定理可得a 2+c 2﹣b 2＝2ac cos B ， 可得cos B =12，B ∈（0，π）， 可得B =π3；（2）设△ABC 外接圆半径为2√63，设外接圆的半径为r ，由正弦定理可得：bsinB=2r ， 由（1）可得AC ＝b ＝2×2√63×√32=2√2， D 为AC 的中点，可得AD ＝CD =12AC =√2，在△ABC 中，由余弦定理可得cos B =a 2+c 2−b 22ac =12，可得a 2+c 2﹣b 2＝ac ，可得（a +c ）2＝b 2+3ac ＝8+3ac ，① 而BD ＝2，在△ADC 中，由余弦定理可得cos ∠ADC =AD 2+BD 2−AB 22AD⋅BD =2+4−AB 22×√2×2=6−AB 24√2，在△BCD中，由余弦定理可得cos∠BDC=DC2+BD2−BC22DC⋅BD=22×2×2=242，又因为∠ADC，∠BDC互为补角，所以cos∠ADC+cos∠BDC＝0，所以6﹣AB2+6﹣BC2＝0，即a2+c2＝12，所以（a+c）2＝12+2ac②，由①②可得a+c＝2√5，所以△ABC的周长为a+b+c＝2√5+2√2．20．（12分）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=v0ln Mm计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中v0（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s．参考数据：ln230≈5.4，1.648＜e0.5＜1.649．（1）当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度增加500m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？解：（1）v=v0ln Mm=2000×ln230≈2000×5.4＝10800m/s；（2）v1=v0ln Mm=2000lnMm．v2=32v0lnM3m=3000lnM3m，要使火箭的最大速度增加500m/s，则v2−v1=3000ln M3m−2000lnMm=500，即：6ln M3m−4lnMm=1，∴ln(M3m)6−ln(Mm)4=2lnM27m=1，即M27m =e12，∴Mm=27e12，∵1.648＜e0.5＜1.649．∴Mm =27e12∈（44.5，44.52）．不小于T 的最小整数为45．21．（12分）如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，P A ＝PD ＝PB ，BC ＝CD ＝1，AB ＝2，∠BCD =π3，直线P A 与底面ABCD 所成角为π4．（1）若E 为PD 上一点且PE ＝2ED ，证明：PB ∥平面ACE ； （2）求二面角P ﹣AD ﹣B 的余弦值．解：（1）证明：连接AC ，BD ，设AC ∩BD ＝M ，因为AB ∥CD ，CD ＝1，AB ＝2， 所以DM BM=12，又因为PE ＝2ED ， 所以DE PE=12，所以EM ∥PB ，又因为EM ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ， 所以PB ∥平面ACE ；（2）过P 作PF ⊥AB 于点F ，则PF ⊥底面ABCD ，过F 作FO ⊥AD 于点O ，连接PO ，因为P A ＝PD ，所以DF ＝AF ， 又因为OF ⊥AD ，所以O 是AD 中点， ∵BC ＝CD ＝1，∠BCD =π3， ∴△BCD 是等边三角形． ∴∠ABD ＝60°， 又AB ＝2，BD ＝1，∴AD =√AB 2+BD 2−2AB ⋅BD ⋅cos60°=√3， ∴AD 2+BD 2＝AB 2， ∴AD ⊥BD ， ∴OF ∥BD ， ∵O 是AD 中点， ∴F 是AB 的中点， ∴PO ⊥AD ，OF ⊥AD ，∴∠FOP 为二面角P ﹣AD ﹣B 的平面角， 在△POF 中，PO =√(√2)2−(√32)2=√52，OF =12BD =12，PF =√PA 2−(AB 2)2=√2−1=1， 所以cos ∠FOP =(√52)2+(12)2−122×52×12=√55．所以二面角P ﹣AD ﹣B 的余弦值为√55． 22．（12分）设a 为正数，函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （0）＝1且f （x ）＝f (2a −x)． （1）若f （1）＝1，求f （x ）；（2）设g （x ）＝log 2（x ﹣2√x +2），若对任意实数t ，总存在x 1，x 2∈[t ﹣1，t +1]，使得f （x 1）﹣f （x 2）≥g （x 3）﹣g （x 4）对所有x 3，x 4∈[14，4]都成立，求a 的取值范围． 解：（1）函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （0）＝1且f （x ）＝f (2a −x)， 可得c ＝1且−b 2a =1a ，即b ＝﹣2， 又f （1）＝1，可得a +b +c ＝1，解得a ＝2， 则f （x ）＝2x 2﹣2x +1；（2）g （x ）＝log 2（x ﹣2√x +2）＝log 2[（√x −1）2+1]，当x ∈[14，4]可得g （x ）的最小值为g （1）＝0，最大值为g （4）＝1，g（x3）﹣g（x4）的最大值为1﹣0＝1，所以对任意的实数t，总存在x1，x2∈[t﹣1，t+1]，使得f（x1）﹣f（x2）≥1．设f（x）＝ax2﹣2x+1在[t﹣1，t+1]上最大值为M（t），最小值为m（t），f（x）的对称轴为直线x=1a，令h（t）＝M（t）﹣m（t），则对任意的实数t，h（t）≥1．①当1a≤t﹣1时，f（x）在[t﹣1，t+1]上递增，可得M（t）＝f（t+1），m（t）＝f（t﹣1），则h（t）＝M（t）﹣m（t）＝4at﹣4，此时h（t）≥4a（1a +1）﹣4＝4a≥1，∴a≥14；②当t﹣1＜1a≤t时，M（t）＝f（t+1），m（t）＝f（1a）＝1−1a，h（t）＝M（t）﹣m（t）≥f（1a +1）﹣（1−1a）＝a（1a+1）2﹣2（1+1a）+1﹣（1−1a）＝a≥1，∴a≥1．③当t＜1a＜t+1时，M（t）＝f（t﹣1），m（t）＝f（1a）＝1−1a，h（t）＝M（t）﹣m（t）≥f（1a −1）﹣（1−1a）＝a（1a−1）2﹣2（1a−1）+1﹣（1−1a）＝a≥1，∴a≥1；④当1a≥t+1时，f（x）在[t﹣1，t+1]递减，可得M（t）＝f（t﹣1），m（t）＝f（t+1），则h（t）＝M（t）﹣m（t）＝﹣4at+4，此时h（t）≥﹣4a（1a −1）+4＝4a≥1，∴a≥14，综上，a的取值范围是[1，+∞）．。
广东高一高中数学期末考试带答案解析
广东高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合，则（）A．{1，2}B．{3，4}C．{1}D．{－2，－1，0，1，2}2.数列的第10项是（）A．B．C．D．3.若，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．4.在中，则的值是（）A．B．C．D．5.设，数列是以3为公比的等比数列，则（）A．80B．81C．54D．536.不在不等式表示的平面区域内的点是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，2）D．（2，0）7.直线和直线平行，则（）A．B．C．7或1D．8.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A．B．C．D．9.已知实数满足，则的取值范围是( )A．B．C．D．10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16，…这样的数成为正方形数。
下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A．289B．1024C．1225D．1378二、填空题1.等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。
若=1，则 _____2.已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为3.数列的通项公式是，若前n项和为则 _____4.若点在直线上，过点的直线与曲线只有一个公共点，则的最小值为__________5.（本小题满分12分）在中，（Ⅰ）求边长的长度；（Ⅱ）求的面积。
6.（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求（）的值；（Ⅲ）当时，求函数的值域。
三、解答题1.（本小题满分14分）（Ⅰ）已知，，求的最小值。
（Ⅱ）已知，求证：。
2.（本小题满分14分）设为等差数列，为数列的前项和，已知，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和。
2023-2024学年广东省湛江市高一(下)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年广东省湛江市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是()A. B. C. D.2.如图，下边长方体中由右边的平面图形围成的是()A.B.C.D.3.下列各组数的方差从小到大排序是()，6，6，6，6，6，6，6，6；，5，5，6，6，6，7，7，7；，4，5，5，6，7，7，8，8；，3，3，3，6，9，9，9，A. B. C. D.4.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为()A.7B.6C.5D.35.已知点O、N、P在所在平面内，且，，，则点O、N、P依次为的()A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心6.在等腰中，，AD平分且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为()A. B. C. D.7.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，则A 与B的关系是()A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等8.已知直线a，b与平面，，，能使的充分条件是()A.，B.，，C.，D.，二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是() A.B.若，则面积的最大值为C.不可能为锐角三角形D.若O为的外心，则10.已知a，，方程有一个虚根为，i为虚数单位，另一个虚根为z，则()A.该方程存在实数根B.C.D.11.已知一个不透明袋子中装有大小、质地完全一样的1个白球、1个红球、2个黑球，现从中依次不放回地随机抽取2个小球，事件“取到红球和黑球”，事件“第一次取到黑球”，事件“第二次取到黑球”，则下列结论正确的是()A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2022-2023学年广东省珠海市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省珠海市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若z （1﹣i ）＝1﹣5i ，则z =（ ） A ．﹣2﹣2iB ．﹣2+2iC ．3﹣2iD ．3+2i2．如图所示，△ABC 的直观图是边长为4的等边△A 'B 'C '，则在原图中，BC 边上的高为（ ）A ．4√6B ．2√6C ．2√3D ．√33．sin2023°cos17°+cos2023°cos73°＝（ ） A ．12B ．−12C ．−√32D ．√324．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值是（ ） A ．0B ．12C ．3√1010D ．√10105．已知α∈(0，π2)，1﹣cos2α﹣2sin2α＝0，则cos α＝（ ） A ．15B ．√55C ．45D ．2√556．在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ⊥AD ，向量BC →与AD →的夹角为2π3，若AB ＝6，BC ＝AD ＝3，则该四面体外接球的表面积为（ ） A ．18πB ．36πC ．54πD ．72π7．已知当x ＝θ时，函数f （x ）＝2cos x ﹣sin x 取得最大值，则cos2θ＝（ ） A ．15B ．−15C ．45D ．358．在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，P 是△ABC 的外接圆上的一点，若AP →=mAB →+nAC →，则m +n 的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．12D ．√3二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知复数1−i z=−i ，则下列命题正确的是（ ） A ．z ＝﹣1+iB ．|z|=√2C ．复数z 的虚部为iD ．复数z 的共轭复数在复平面上对应的点为（1，﹣1）10．下列说法正确的有（ ）A ．已知a →=(−1，2)，b →=(2，x)，若a →⊥b →，则x ＝1 B ．已知b →≠0→，若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →C ．若|a →|≠|b →|，则a →一定不与b →共线D ．若AB →=(3，1)，AC →=(m −1，m)，∠BAC 为钝角，则实数m 的范围是m ＜34 11．已知x ∈（0，π），sinx +cosx =−13，则下列结论正确的是（ ） A ．sin(x +π4)=−√23 B ．sin2x =−89C ．sinx −cosx =−√173D ．﹣1＜tan x ＜012．如图，矩形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且BC ＝2AB ＝2，BF ∩AE ＝O ，现将△ABE 沿AE 向上翻折，使B 点移到P 点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）A ．CF ⊥OPB ．存在点P ，使得PE ∥CFC ．存在点P ，使得PE ⊥EDD ．三棱锥P ﹣AED 的体积最大值为√26三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分. 13．已知复数z 满足3z +i ＝6﹣2i ，则|z 2|＝ ．14．已知a →⋅b →=16，e →是与b →方向相同的单位向量，若a →在b →上的投影向量为8e →，则|b →|= ． 15．已知2cosα−1=2√3sinα，则cos(2α+2π3)= ．16．在△ABC 中，∠A ＝60°，BC =√3，O 为△ABC 的外心，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点，且OD →2+OE →2+OF →2=34，则OA →⋅OB →+OB →⋅OC →+OC →⋅OA →= ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，其中a →=(1，√3)．（1）若|c →|=1，且c →∥a →，求c →坐标；（2）若b →为单位向量，且(a →+b →)⊥(2a →−5b →)，求a →与b →的夹角．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，AB ＝P A ＝2，且直线PD 与底面ABCD 所成的角为π4．（1）求证：平面PBD ⊥平面P AC ； （2）求点C 到平面PBD 的距离．19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设b +c ＝2a （cos B +cos C ）． （1）求角A ；（2）若BD →=2DC →，且AD ＝2，求△ABC 面积的最大值． 20．（12分）已知函数f(x)=sin 2x −√3cosxcos(π2+x)． （1）设θ∈[0，π），函数f(x +θ)−12是奇函数，求θ的值；（2）若f （x ）在区间[−π3，m]上恰有三条对称轴，求实数m 的取值范围．21．（12分）中国剪纸是一种民间艺术．具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，现有一张矩形卡片ABCD ，对角线长为t （t 为常数），从△ABD 中裁出一个内接正方形纸片EFGH ，使得点E ，H 分别AB ，AD 上，设∠DBA =α(0＜α＜π2)，矩形纸片ABCD 的面积为S 1，正方形纸片EFGH 的面积为S 2．（1）当α=π3时，求正方形纸片EFGH 的边长（结果用t 表示）； （2）当α变化时，求S 2S 1的最大值及对应的α值．22．（12分）几何体E ﹣ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角，BC ＝CD ＝2，∠BCD ＝120°，M 为线段AE的中点．（1）求证：DM ∥平面BEC ；（2）线段EB 上是否存在一点N ，使得D ，M ，N ，C 四点共面？若存在，请求出BN BE的值；若不存在，并说明理由．2022-2023学年广东省珠海市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若z （1﹣i ）＝1﹣5i ，则z =（ ） A ．﹣2﹣2iB ．﹣2+2iC ．3﹣2iD ．3+2i解：z （1﹣i ）＝1﹣5i ，则z =1−5i 1−i =(1−5i)(1+i)(1−i)(1+i)=3﹣2i ，故z =3+2i ． 故选：D ．2．如图所示，△ABC 的直观图是边长为4的等边△A 'B 'C '，则在原图中，BC 边上的高为（ ）A ．4√6B ．2√6C ．2√3D ．√3解：在直观图中，因为边长为4的等边△A 'B 'C '，所以B ′C ′上的高h ＝2√3， O ′A ′=ℎsin45°=2√6，则BC 上高AO ＝4√6， 故选：A ．3．sin2023°cos17°+cos2023°cos73°＝（ ） A ．12B ．−12C ．−√32D ．√32解：sin2023°cos17°+cos2023°cos73°=−sin43°cos17°−cos43°sin17°=−sin60°=−√32． 故选：C ．4．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值是（ ） A ．0B ．12C ．3√1010D ．√1010解：如图，取A 1B 1的中点F ，连接EF ，AF ，CF ，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为C 1D 1，A 1B 1的中点， 所以AD ∥A 1D 1∥EF ，AD ＝A 1D 1＝EF ，则四边形ADEF 为平行四边形， 所以AF ∥DE ，所以∠F AC （或其补角）为异面直线DE 与AC 所成角， 设正方体的棱长为2， 则AC =√AB 2+BC 2=2√2，AF =√AA 12+A 1F 2=√5， CF =√CC 12+B 1C 12+B 1F 2=3，在△F AC 中，由余弦定理得：cos ∠F AC =AF 2+AC 2−CF 22AF⋅AC =5+8−92×5×22=√1010，故异面直线DE 与AC 所成角的余弦值是√1010． 故选：D ．5．已知α∈(0，π2)，1﹣cos2α﹣2sin2α＝0，则cos α＝（ ） A ．15B ．√55C ．45D ．2√55解：因为α∈(0，π2)， 所以sin α＞0，cos α＞0， 因为1﹣cos2α﹣2sin2α＝0， 所以2sin 2α﹣4sin αcos α＝0， 可得sin α＝2cos α，所以sin 2α+cos 2α＝4cos 2α+cos 2α＝1，可得cos 2α=15， 所以cos α=√55．故选：B ．6．在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ⊥AD ，向量BC →与AD →的夹角为2π3，若AB ＝6，BC ＝AD ＝3，则该四面体外接球的表面积为（ ） A ．18πB ．36πC ．54πD ．72π解：将四面体ABCD 补成如图所示的直三棱柱ADE ﹣BFC ，因为向量BC →与AD →的夹角为2π3，所以∠EAD =2π3， 则DE 2＝AD 2+AE 2﹣2AD •AE •cos ∠EAD ＝27，△ADE 外接圆的半径r =DE2sin∠EAD=3，该四面体外接球的半径R =√32+32=3√2，所以该四面体外接球的表面积为4π×(3√2)2=72π． 故选：D ．7．已知当x ＝θ时，函数f （x ）＝2cos x ﹣sin x 取得最大值，则cos2θ＝（ ） A ．15B ．−15C ．45D ．35解：f （x ）＝2cos x ﹣sin x =√5（√5cos x 5sin x ）=√5cos （x +φ），其中sin φ=5，cos φ=5， 当x ＝θ时，f （x ）取得最大值，即θ+φ＝2k π，k ∈Z ， ∴φ＝﹣θ+2k π，k ∈Z ， ∴cos （﹣θ+2k π）=2√5，k ∈Z ， 即cos θ=2√5， ∴cos2θ＝2cos 2θ﹣1＝2×45−1=35． 故选：D ．8．在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，P 是△ABC 的外接圆上的一点，若AP →=mAB →+nAC →，则m +n 的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．12D ．√3解；由余弦定理得：BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AB •AC •cos ∠BAC ＝1+4﹣2×1×2×cos60°＝3，∴BC =√3， 所以AB 2+BC 2＝AC 2，所以AB ⊥BC ，以AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 易得A （1，0），C （﹣1，0），B （12，√32），设P 的坐标为（cos θ，sin θ）， 所以AB →=(−12，√32)，AC →=（﹣2，0），AP →=（cos θ﹣1，sin θ），又AP →=mAB →+nAC →，所以（cos θ﹣1，sin θ）＝m （−12，√32）+n （﹣2，0）＝（−m2−2n ，√32m ）， 所以m =2√33sinθ，n =−cosθ2+12−√36sinθ， 所以m +n =√32sinθ−12cosθ+12=sin （θ−π6）+12 ≤32， 当且仅当sin （θ−π6）＝1时，等号成立． 故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知复数1−i z=−i ，则下列命题正确的是（ ） A ．z ＝﹣1+iB ．|z|=√2C ．复数z 的虚部为iD ．复数z 的共轭复数在复平面上对应的点为（1，﹣1）解：1−iz=−i ，则z =1−i−i =1+i ，故A 错误；|z|=√12+12=√2，故B 正确； 复数z 的虚部为1，故C 错误；z =1−i ，故复数z 的共轭复数在复平面上对应的点为（1，﹣1），故D 正确． 故选：BD ．10．下列说法正确的有（ ）A ．已知a →=(−1，2)，b →=(2，x)，若a →⊥b →，则x ＝1 B ．已知b →≠0→，若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →C ．若|a →|≠|b →|，则a →一定不与b →共线D ．若AB →=(3，1)，AC →=(m −1，m)，∠BAC 为钝角，则实数m 的范围是m ＜34 解：a →=(−1，2)，b →=(2，x)，a →⊥b →，则﹣2+2x ＝0，解得x ＝1，故A 正确；b →≠0→，若a →∥b →，b →∥c →，则由平行的传递性可知，a →∥c →，故B 正确； 若|a →|≠|b →|，则a →可能与b →共线，故C 错误； 当m =−12时，AC →=(−32，−12)，AC →=−12AB →，则∠BAC 为平角，所以当∠BAC 为钝角时，实数m 的范围不是m ＜34，故D 错误． 故选：AB ．11．已知x ∈（0，π），sinx +cosx =−13，则下列结论正确的是（ ） A ．sin(x +π4)=−√23B ．sin2x =−89C ．sinx −cosx =−√173D ．﹣1＜tan x ＜0解：因为x ∈（0，π），sinx +cosx =−13，所以√2sin （x +π4）=−13，即sin （x +π4）=−√26，A 错误； 两边平方得1+2sin x cos x =19，即sin2x =−89，B 正确； 所以sin x ＞0，cos x ＜0，sin x ﹣cos x ＞0， 所以（sin x ﹣cos x ）2＝1﹣2sin x cos x ＝1+89=179， 所以sin x ﹣cos x =√173，C 错误； 所以sin x =√17−16，cos x =−√17+16，tan x =1−171+17=√17−94，所以﹣1＜tan x ＜0，D 正确．故选：BD ．12．如图，矩形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且BC ＝2AB ＝2，BF ∩AE ＝O ，现将△ABE 沿AE 向上翻折，使B 点移到P 点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）A ．CF ⊥OPB ．存在点P ，使得PE ∥CFC ．存在点P ，使得PE ⊥EDD ．三棱锥P ﹣AED 的体积最大值为√26解：依题意，AF ∥EC ，AF ＝EC ，则四边形AECF 为平行四边形，有CF ∥AE ， 而AF ＝AB ＝BE ，∠BAF ＝∠ABE ＝90°，即有∠ABO ＝∠BAO ＝45°，因此BF ⊥AE ， 即OP ⊥AE ，因此CF ⊥OP ，A 正确；因为PE ∩AE ＝E ，CF ∥AE ，因此PE ，CF 不平行，即不存在点P ，使得PE ∥CF ，B 错误； 连接PF ，当PF ＝1时，因为PO =FO =√22，即PO 2+FO 2＝1＝PF 2，则PO ⊥FO ，而FO ⊥AE ，PO ∩AE ＝O ，PO ，AE ⊂平面P AE ，因此FO ⊥平面P AE ，又O ，F 分别为AE ，AD 的中点，即ED ∥FO ，于是ED ⊥平面P AE ，而PE ⊂平面P AE ，则PE ⊥ED ，C 正确；在翻折过程中，令PO 与平面AED 所成角为θ，则点P 到平面AED 的距离ℎ=POsinθ=√22sinθ，又△AED 的面积S △AED =12AD ⋅AB =1，因此三棱锥P ﹣AED 的体积V P−AED =13S △AED ⋅ℎ=√26sinθ≤√26，当且仅当θ＝90°，即PO ⊥平面AED 时取等号，所以三棱锥P ﹣AED 的体积最大值为√26，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分. 13．已知复数z 满足3z +i ＝6﹣2i ，则|z 2|＝ 5 ． 解：3z +i ＝6﹣2i ， 则3z ＝6﹣3i ， 故z ＝2﹣i ，故|z 2|＝|z |2＝22+（﹣1）2＝5． 故答案为：5．14．已知a →⋅b →=16，e →是与b →方向相同的单位向量，若a →在b →上的投影向量为8e →，则|b →|= 2 ． 解：设a →与b →的夹角为θ，因为a →•b →=16，所以|a →||b →|cos θ＝16，又因为a →在b →上的投影向量为8e →．所以|a →|cos θ＝8，所以|b →|＝2．故答案为：2．15．已知2cosα−1=2√3sinα，则cos(2α+2π3)= −78 ． 解：∵2cosα−1=2√3sinα，∴2cos α﹣2√3sin α＝1，∴4（12cos α−√32sin α）＝1，∴4cos （α+π3）＝1，∴cos （α+π3）=14，∴cos(2α+2π3)=2cos 2（α+π3）﹣1＝2×116−1=−78．故答案为：−78．16．在△ABC 中，∠A ＝60°，BC =√3，O 为△ABC 的外心，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点，且OD →2+OE →2+OF →2=34，则OA →⋅OB →+OB →⋅OC →+OC →⋅OA →= −32 ． 解：根据题意，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC =√3，O 为△ABC 的外心，则BC sinA =2OA ＝2OB ＝2OC ＝2，则有|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1， 又由D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点，则OD →=12（OA →+OB →），OE →=12（OB →+OC →），OF →=12（OA →+OC →）， 又由OD →2+OE →2+OF →2=34，则（OA →+OB →）2+（OB →+OC →）2+（OA →+OC →）2＝3，变形可得：2OA →2+2OB →2+2OC →2+2（OA →⋅OB →+OB →⋅OC →+OC →⋅OA →）＝6+2（OA →⋅OB →+OB →⋅OC →+OC →⋅OA →）＝3，则有OA →⋅OB →+OB →⋅OC →+OC →⋅OA →=−32．故答案为：−32．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，其中a →=(1，√3)．（1）若|c →|=1，且c →∥a →，求c →坐标；（2）若b →为单位向量，且(a →+b →)⊥(2a →−5b →)，求a →与b →的夹角．解：（1）设c →=(x ，y)，∵|c →|=1，且c →∥a →，∴{x 2+y 2=1√3x −y =0， 解得{x =12y =√32或{x =−12y =−√32， ∴c →=(12，√32)或（−12，−√32）； （2）∵(a →+b →)⊥(2a →−5b →)，∴(a →+b →)⋅(2a →−5b →)=0，∴2a →2−3a →⋅b →−5b →2=0，∵b →为单位向量，a →=(1，√3)，∴|b →|=1，|a →|=2，∴2×4−3a →⋅b →−5=0，a →⋅b →=1，∴cos ＜a →，b →＞=a →⋅b →|a →||b →|=11×2=12，∴＜a →，b →＞∈[0，π]，∴＜a →，b →＞=π3．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，AB ＝P A ＝2，且直线PD 与底面ABCD 所成的角为π4． （1）求证：平面PBD ⊥平面P AC ；（2）求点C 到平面PBD 的距离．解：（1）证明：∵P A ⊥平面ABCD ，故∠PDA 为直线PD 与平面ABCD 所成的角，因此∠PDA =π4，又P A ＝2，∴AD ＝2∵底面ABCD 为矩形，且AB ＝2，∴底面ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，又P A ⊥BD ，而AC ∩P A ＝A ，AC ，P A ⊂平面P AC ，∴BD ⊥平面P AC ，又BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面P AC ，（2）V P−BCD =13S △BCD ⋅PA =13×2×2=43，由于PB =PD =BD =√22+22=2√2，所以S △PBD =12×2√2×2√2sin60°=2√3， 设点C 到平面PBD 的距离为d ，则V C−PBD =13S △PBD ⋅d =2√33d∵V C ﹣PBD ＝V P ﹣BCD ，∴2√33d =43，解得：d =2√33 ∴设点C 到平面PBD 的距离为2√33． 19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设b +c ＝2a （cos B +cos C ）．（1）求角A ；（2）若BD →=2DC →，且AD ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：（1）因为b +c ＝2a （cos B +cos C ），由正弦定理得：sin B +sin C ＝2sin A （cos B +cos C ），∴sin （A +C ）+sin （A +B ）＝2sin A （cos B +cos C ），所以sin A cos C +cos A sin C +sin A cos B +cos A sin B ＝2sin A cos B +2sin A cos C ，整理得cos A sin C +cos A sin B ＝sin A cos B +sin A cos C ，即cos A sin C ﹣sin A cos C ＝sin A cos B ﹣cos A sin B ，∴sin （C ﹣A ）＝sin （A ﹣B ），又C ﹣A ∈（﹣π，π），A ﹣B ∈（﹣π，π），所以C ﹣A ＝A ﹣B 或者C ﹣A +A ﹣B ＝π（舍），所以C +B ＝2A ，又A +B +C ＝π，所以A =π3；（2）在△ABC 中，由余弦定理得：cosA =12=b 2+c 2−a 22bc ，① 又因为BD →=2DC →，所以BD =2a 3，CD =a 3，且∠ADB +∠ADC ＝π，即cos ∠ADB +cos ∠ADC ＝0，由余弦定理(2a 3)2+22−c 22⋅2a 3⋅2+(a 3)2+22−b 22⋅a 3⋅2=0，得a 2=3b 2+32c 2−18，② 将①②联立得：18−bc =2b 2+12c 2≥2bc ，即bc ≤6，（当且仅当b =√3，c =2√3时等号成立）， 所以S =12⋅bc ⋅sinA =√34bc ≤3√32． 20．（12分）已知函数f(x)=sin 2x −√3cosxcos(π2+x)．（1）设θ∈[0，π），函数f(x +θ)−12是奇函数，求θ的值；（2）若f （x ）在区间[−π3，m]上恰有三条对称轴，求实数m 的取值范围．解：（1）f(x)=1−cos2x 2+√32sin2x =sin(2x −π6)+12， ∴f(x +θ)=sin(2x +2θ−π6)+12，∵函数f(x +θ)−12是奇函数，即函数y ＝sin （2x +2θ−π6）为奇函数，∴2θ−π6=k π，k ∈Z ，∴θ=π12+kπ2，k ∈Z ，又∵θ∈[0，π），∴θ=π12或7π12；（2）∵x ∈[−π3，m]，∴2x −π6∈[−5π6，2m −π6]，且f （x ）在区间[−π3，m]上恰有三条对称轴， ∴3π2≤2m −π6＜5π2，解得5π6≤m ＜4π3，∴m 的取值范围为：[5π6，4π3)． 21．（12分）中国剪纸是一种民间艺术．具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，现有一张矩形卡片ABCD ，对角线长为t （t 为常数），从△ABD 中裁出一个内接正方形纸片EFGH ，使得点E ，H 分别AB ，AD 上，设∠DBA =α(0＜α＜π2)，矩形纸片ABCD 的面积为S 1，正方形纸片EFGH 的面积为S 2．（1）当α=π3时，求正方形纸片EFGH 的边长（结果用t 表示）；（2）当α变化时，求S 2S 1的最大值及对应的α值．解：（1）设正方形EFGH 的边长为a ，则∠AEH ＝α，AB ＝t cos α，则BE =a sinα，AE ＝a cos α，AB ＝AE +BE ，即tcosα=a sinα+acosα，整理得a =tcosα1sinα+cosα=tsinαcosα1+sinαcosα=tsin2α2+sin2α， 当α=π3时，a =tsin π32+sin π3=4√3−313t ； （2）S 2=(tsin2α2+sin2α)2，S 1=tsinα⋅tcosα=t 2sinαcosα=12t 2sin2α，因为α∈(0，π2)，则2α∈（0，π ），sin2α∈（0，1]，则S 1S 2=t 2sin2α2(tsin2α2+sin2α)2=(2+sin2α)22sin2α=12sin2α+2sin2α+2，令x ＝sin2α，y =x 2+2x +2 在（0，1]上单调递减，故(S 1S 2)min =12+2+2=92，故S 2S 1的最大值为29，此时sin2α＝1， 又α∈(0，π2)，所以α=π4．22．（12分）几何体E ﹣ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角，BC ＝CD ＝2，∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点．（1）求证：DM ∥平面BEC ；（2）线段EB 上是否存在一点N ，使得D ，M ，N ，C 四点共面？若存在，请求出BN BE 的值；若不存在，并说明理由．证明：（1）记F 为AB 的中点，连接DF ，MF ，如图1，因为F ，M 分别为AB ，AE 的中点，故MF ∥EB ，因为MF ⊄平面EBC ，EB ⊂平面EBC ，所以MF ∥平面EBC ，又因为△ADB 为正三角形，所以∠DBA ＝60°，DF ⊥AB ，又△BCD 为等腰三角形，∠BCD ＝120°，所以∠DBC ＝30°，所以∠ABC ＝90°，即BC ⊥AB ，所以DF ∥BC ，又DF ⊄平面EBC ，BC ⊂平面EBC ，所以DF ∥平面EBC ，又DM ∩MF ＝F ，DM ，MF ⊂平面DMF ，故平面DMF ∥平面EBC ，又因为DM ⊂平面EBC ，故DM ∥平面BEC ．解：（2）延长CD ，AB 相交于点P ，连接PM 交BE 于点N ，连接CN ，过点N 作NQ ∥AE 交AB 于点Q ，如图2，因为DM ∥平面ECB ，DM ⊂平面PDM ，平面PDM ∩平面ECB ＝CN ，所以DM ∥CN ，此时D ，M ，N ，C 四点共面，由（1）可知，BC ＝CD ＝2，∠PCB ＝60°，CB ⊥BP ，得∠CPB ＝30°，PC ＝4， 故PN PM =CP DP =46=23，又因为NQ ∥AE ，所以NQ AM =PN PM =23， 则有NQ AE =NQ 2AM =12×23=13，故BN BE =NQ AE =13．。
最新广东省广州市高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019 学年广东省广州市高一下学期期末数学试题一、单选题1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（）A.出租车车费与出租车行驶的里程B.商品房销售总价与商品房建筑面积C.铁块的体积与铁块的质量D.人的身高与体重【答案】D【解析】根据函数的概念来进行判断。
【详解】对于A选项，出租车车费实行分段收费，与出租车行驶里程成分段函数关系；对于 B 选项，商品房的销售总价等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积，商品房销售总价与商品房建筑面积之间是一次函数关系；对于C选项，铁块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积，铁块的体积与铁块的质量是一次函数关系；对于D选项，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高与体重之间没有必然联系，因人而异， D 选项中两个变量之间的关系不是函数关系。
故选：D。
【点睛】本题考查函数概念的理解，充分理解两个变量之间是“一对一”或“多对一”的形式，考查学生对这些概念的理解，属于基础题。
2.在某次测量中得到A样本数据如下：43,50,45,55,60 ,若B样本数据恰好是A样本每个数都增加5得到，则A、 B 两样本的下列数字特征对应相同的是（）A.众数B.中位数C.方差D.平均数【答案】C【解析】分别计算出A、 B 两个样本数据的众数、中位数、方差和平均数，再进行判断。
【详解】方差为39.44，第 1 页共 18 页[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]布直方图.已知高一年级共有学生 600名，据此估计，该模块测试成绩不少于 学生人数为（）【答案】B【解析】 试题分析：根据频率分布直方图，彳该模块测试成绩不少于60分的频率是1- （0.005+0.015 ） X 10=0.8 ••对应的学生人数是 600X 0.8=480【考点】频率分布直方图5.设 ， 是两个不同的平面，l , m 是两条不同的直线，且l , mB 样本的数据为：48、55、50、60、65,没有众数，中位数为 55,平均数为55.6, 方差为39.44,因此，两个样本数据的方差没变，故选： d 【点睛】本题考查样本的数据特征，考查对样本数据的众数、中位数、平均数以及方差概念的理 解，熟练利用相关公式计算这些数据，是解本题的关键，属于中等题。
广东高一高中数学期末考试带答案解析
广东高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.三个数，，的大小顺序是 ( )A．B．C．D．2.已知直线和平面，下列推论中错误的是（）A．B．C．D．3.已知，则（）A．B．C．D．4.已知点是圆上任意一点，点关于直线的对称点在圆上，则实数等于()A．B．C．D．5.长方体的三个相邻面的面积分别是，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A．B．C．D．6.已知直线，互相平行，则的值是（）A．B．C．或D．7.已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是（）A．B．C．D．8.已知是定义在上的偶函数，它在上是减函数，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．9.下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④10.设函数，对于给定的正数，定义函数若对于函数定义域内的任意，恒有，则（）A．的最大值为B．的最小值为C．的最大值为1D．的最小值为1二、填空题1.在直角坐标系中，直线的倾斜角．2.如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，则图中直角三角形有个.（要求：只需填直角三角形的个数，不需要具体指出三角形名称）.3.如图，在直四棱柱中，点分别在上，且，，点到的距离之比为3：2，则三棱锥和的体积比=" __" ___.4.在平面直角坐标系中，已知点，分别以的边向外作正方形与，则直线的一般式方程为 .三、解答题1.已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线.（1）求直线的方程；（2）求直线关于原点对称的直线方程.2.设全集为，集合，．（1）求如图阴影部分表示的集合；（2）已知，若，求实数的取值范围.3.如图，长方体中，，点为的中点．（1）求证：直线平面；（2）求证：平面平面；（3）求与平面所成的角大小.4.如图，已知圆，点.（1）求圆心在直线上，经过点，且与圆相外切的圆的方程；（2）若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程.5.已知:如图，等腰直角三角形的直角边，沿其中位线将平面折起，使平面⊥平面，得到四棱锥，设、、、的中点分别为、、、.（1）求证：、、、四点共面；（2）求证：平面平面；（3）求异面直线与所成的角.6.定义：对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.（1）已知二次函数，试判断是否为定义域上的“局部奇函数”？若是，求出满足的的值；若不是，请说明理由；（2）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；（3）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.广东高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.三个数，，的大小顺序是 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，，所以，故选C.【考点】1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性.2.已知直线和平面，下列推论中错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对A，根据线面垂直的性质可知，成立；对B，根据两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面可知，正确；对C，如下图（1），假设，设，则，由可知，而，由线面垂直的判定定理可知垂直于两交线与确定的平面，记该平面为，根据过空间一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知与重合，由，可得，这与假设矛盾，从而假设不正确，从而或，所以C正确，而D不正确，如下图（2），图中各组平面相互平行，而第一组，第二组相交，而第三组异面，故选D.【考点】空间中线与线的位置关系及线与面的位置关系.3.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B.【考点】对数的运算.4.已知点是圆上任意一点，点关于直线的对称点在圆上，则实数等于()A．B．C．D．【答案】B【解析】将圆化成标准方程，故圆心为，依意可知直线过点圆心，所以，故选B.【考点】1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系.5.长方体的三个相邻面的面积分别是，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设长方体的一个顶点上的三条棱长分别为，则；所以，于是，而它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的体对角线的长是=，所以球的半径是，这个球的表面积为，故选C.【考点】1.空间几何体的表面积；2.球的内接多面体的问题.6.已知直线，互相平行，则的值是（）A．B．C．或D．【答案】B【解析】依题意可得，整理得，解得或，当时，，即，两直线重合，不符合，舍去，经检验时符合要求，故选B.【考点】两直线平行的条件.7.已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】该几何体为三棱柱,底面为直角三角形(看俯视图),有两个侧面为正方形(看正视图和侧视图),还有一个侧面是长为宽为1的矩形,所以表面积，故选C.【考点】1.三视图；2.空间几何体的表面积.8.已知是定义在上的偶函数，它在上是减函数，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】是偶函数，，可转化成，在上是减函数，即，，故选C.【考点】1.偶函数的性质；2.函数的单调性；3.对数不等式的解法.9.下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】B【解析】对图①，构造所在的平面，即对角面,可以证明这个对角面与平面平行,由面面平行的的性质可得平面，对图④，通过证明，然后可得平面；对于②、③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行。
2020-2021学年广东省东莞市高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年广东省东莞市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知i⋅z=2+i(i是虚数单位)，则复数z对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知向量e⃗1=(x,1)，e2⃗⃗⃗ =(x−2,3)共线，则x的值为()A. −1B. 0C. 1D. 23.如图是水平放置的△ABO的斜二测直观图△A′B′O′，D′是O′B′的中点，则△ABO中长度最长的线段为()A. OAB. OBC. ADD. AB4.已知一组数据为85，87，88，90，92，则这组数据的第60百分位数为()A. 87B. 87.5C. 89D. 915.已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为()A. 5√5π6B. 8√2π3C. 20√5π3D. 64√2π36.“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为OT，测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A和B，现测得∠OBA=105°，∠OAB=45°，AB=45m，在点B处测得塔顶T的仰角为30°，则塔高OT为()A. 15√6mB. 15√22mC. 45√6mD. 45√22m7.2021年3月，树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的饼状图(图1)和前200名中高一学生排名分布的频率条形图(图2).则下列命题错误的是()A. 成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30人B. 成绩第1～100名的100人中，高一人数不超过一半C. 成绩第1～50名的50人中，高三最多有32人D. 成绩第51～100名的50人中，高二人数比高一的多8.在四边形ABCD中，AB//CD，AB=2CD=4，AC=4，BD=5，则AD的长为()A. √10B. √11C. √13D. √15二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.袋子中有1个红球，1个黄球，1个蓝球，从中取两个球，每次取一个球，取球后不放回，设事件A={第一个球是红球}，B={第二个球是黄球}，则下列结论正确的是()A. A与B互为对立事件B. A与B互斥C. P(A)=P(B)D. P(A∪B)=1210.已知复数z(z≠0)，z−是z的共轭复数，则下列结论正确的是()A. 若z=z−，则z∈RB. 若|z|=1，则z⋅z−=1C. 若zz−∈R，则z∈R D. 若z2+z−2=0，则z=011.已知a⃗与b⃗ 均为单位向量，其夹角为θ，则下列结论正确的是()A. |a⃗+b⃗ |>1⇔θ∈[0,2π3) B. |a⃗+b⃗ |>1⇔θ∈(2π3,π]C. |a⃗−b⃗ |<1⇔θ∈[0,π3) D. |a⃗−b⃗ |<1⇔θ∈(π3,π]12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱BB1，B1C1，CC1的中点，则下列结论正确的是()A. A1C⊥平面D1MNB. 点P与点D到平面D1MN的距离相等C. 平面D 1MN 截正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1所得截面图形为等腰梯形D. 平面D 1MN 将正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1分割成的上、下两部分的体积之比为7：17三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如图，由A ，B 两个元件组成一个串联电路，元件A ，B 正常工作的概率分别为0.9和0.8，则电路正常工作的概率为______．14. 广场上的玩具石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的(如图).如果被截正方体的棱长为2√2，那么玩具石凳的表面积为______．15. 已知点A(1,0)，B(0,1)，C 为坐标平面内一点，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则满足条件的点C 的一个坐标为______．16. “牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体(如图1).如图2所示的“四脚帐篷”类似于“牟和方盖”的一部分，其中APC 与BPD 为相互垂直且全等的半圆面，它们的圆心为O ，半径为1.用平行于底面ABCD 的平面α去截“四脚帐篷”所得的截面图形为______；当平面α经过OP 的中点时，截面图形的面积为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设复数z=x+yi，z0=x0+y0i，记复数z与z0分别对应复平面内的点Z(x,y)和Z0(x0,y0).(1)根据复数及其运算的几何意义，求Z和Z0两点间的距离；(2)已知|z−z0|=r(r为正实数)表示动点Z的集合是以点Z0为圆心，r为半径的圆．那么满足条件1≤|z−(1+i)|≤3的点Z的集合是什么图形？并求出该图形的面积．18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.现有下列四个条件：①a=√3，②b=2，③√3(b−acosC)=asinC，④a2+c2−b2=−2√3ac．3(1)③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；(2)请在上述四个条件中选择使△ABC有解的三个条件，并求出△ABC的面积．19.如图，四棱锥P−ABCD中，ABCD为正方形，E为PC中点，平面PAD⊥平面ABCD，AB=4，PA=PD=2√2．(1)证明：PA//平面BDE；(2)证明：AB⊥PD；(3)求三棱锥C−BDE的体积．20. 如图，斜坐标系xOy 中，e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，且e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 的夹角为120°，定义向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x e 1⃗⃗⃗ +y e 2⃗⃗⃗ 在斜坐标系xOy 中的坐标为有序数对(x,y).在斜坐标系xOy 中完成下列问题： (1)若向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(2,3)，计算|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的大小；(2)若向量OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(x 1,y 1)，向量ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(x 2,y 2)，判断下列两个命题的真假，并说明理由．命题①：若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x 1y 2−x 2y 1=0； 命题②：若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x 1x 2+y 1y 2=0．21. 4月23日是世界读书日，树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名．经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间(单位：小时)的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间(单位：小时)的频率分布直方图：(以各组的区间中点值代表该组的各个值) 男生一周阅读时间频数分布表 小时频数 [0,2) 9 [2,4) 25 [4,6) 3 [6,8)3(1)从一周课外阅读时间为[4,6)的学生中按比例分配抽取6人，从这6人中任意抽取2人，求恰好一男一女的概率；(2)分别估计男生和女生一周课外阅读时间的平均数x −，y −； (3)估计总样本的平均数z −和方差s 2．参考数据和公式：男生和女生一周课外阅读时间方差的估计值分别为s 男2=2.4和s 女2=3.s 2=1100[∑(40i=1x i −x −)2+∑(40i=1x −−z −)2+∑(60i=1y i −y −)2+∑(60i=1y −−z −)2]，x i (0≤i ≤40)和y i (0≤i ≤60)分别表示男生和女生一周阅读时间的样本，其中i ∈Z ．22.如图1，“雪糕筒”为校园中常见的交通标识，其可以近似的看成一个圆锥．如图2，放置在水平地面上的某型号“雪糕筒”底面直径AB=20，母线PB=60，该“雪糕筒”绕点B被放倒后A、B、P′在同一条直线上．(1)求“雪糕筒”被放倒后最高点离水平地面的距离；(2)求直线PB与圆面O′所成的角的余弦值；(3)若放倒后的“雪糕简”绕点P′沿水平地面旋转一周，请说明旋转一周形成的曲面所围成的旋转体的特征(不用说明理由)．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为i⋅z=2+i，所以z=2+ii =i(2+i)i2=1−2i，所以z对应的点的坐标为(1,−2)，位于第四象限．故选：D．先利用复数的运算求出z，再利用复数的几何意义求出z对应的点，即可得到答案．本题考查了复数的除法运算以及复数的几何意义的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵向量e⃗1=(x,1)，e2⃗⃗⃗ =(x−2,3)共线，∴3x−1×(x−2)=0，即x=−1．故选：A．直接利用向量共线的坐标运算列式求解x值．本题考查向量共线的坐标运算，是基础题．3.【答案】D【解析】解：由斜二测直观图△A′B′O′可知，O′A′⊥O′B′，则AO⊥OB，所以△AOB为直角三角形，OA，OB为直角边，AB为斜边，又D为OB的中点，所以AB最长．故选：D．利用题中的直观图△A′B′O′，判断出△AOB为直角三角形，由此判断线段的长短即可．本题主要考查了平面图形的直观图的画法及应用，其中熟记斜二测画法的规则，画出平面图形的直观图是解答的关键，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：该组数据从小到大排列为85，87，88，90，92，计算5×60%=3，所以这组数据的第60百分位数为88+902=89．故选：C．根据一组数据的百分位数，计算即可．本题考查了百分位数的计算问题，是基础题．5.【答案】B【解析】解：圆柱的轴截面是边长为2的正方形，其外接圆的半径为√2，则圆柱的外接球的半径为√2，可得该圆柱的外接球的体积为V=43π×(√2)3=8√2π3．故选：B．求出圆柱轴截面外接圆的半径，即为圆柱外接球的半径，代入球的体积公式得答案．本题考查圆柱外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：在△BAO中，∠AOB=180°−45°−105°=30°，由正弦定理得：ABsin∠30∘=OBsin45∘，即4512=√22，解得BO=45√2，在Rt△OBT中，∵tan∠OBT=OTOB =√33，∴OT=OB⋅tan∠OBT=√33×45√2=15√6．故选：A．先在△BAO中利用正弦定理计算BO，再在△OBT中求出OT．本题考查了解三角形的实际应用，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：由前200名学生分布的饼状图和前200名中高一学生排名分布的频率条形图知：对于A，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多：200×45%−200×30%=30人，故A正确；对于B，成绩第1～100名的100人中，高一人数为：90×(0.2+0.3)=45人，不超过一半，故B正确；对于C，成绩第1～50名的50人中，高一学生有：90×0.2=18人，∴成绩第1～50名的50人中，高三最多有50−18=32人，故C正确；对于D，成绩第51～100名的50人中，高二人数不一定比高一的多，故D错误．故选：D．利用前200名学生分布的饼状图和前200名中高一学生排名分布的频率条形图的性质直接求解．本题考查命题真假的判断，考查饼状图和条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】B【解析】解：如图，过D作DE//AC交BA的延长线于E，则由题意可得四边形DEAC为平行四边形，所以DE=AC=4，EA=CD=12AB=2，EB=EA+AB=6，，在△DEB中，由余弦定理可得：cos∠E=DE2+BE2−DB22DE×BE =42+62−522×4×6=916，再在△ADE中，由余弦定理可得：AD2=DE2+AE2−2DE×AE×cos∠E=42+22−2×4×2×916=11，所以AD=√11，故选：B．过D作DE//AC交BA的延长线于E，则在△DEB中可以利用余弦定理求得cos∠E的值，再在△ADE 中，利用余弦定理可以得到AD 的长．本题考查四边形的应用，熟练掌握余弦定理并灵活运用是解题关键．9.【答案】CD【解析】解：因为事件A 和事件B 有可能同时发生，故A 与B 不是对立事件，故选项A 错误，选项B 错误；因为P(A)=13，P(B)=13×12+13×12=13，则P(A)=P(B)，故选项C 正确； 因为P(AB)=13×12=16，所以P(A ∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=13+13−16=12，故选项D 正确． 故选：CD ．利用互斥事件以及对立事件的定义判断选项A ，B ，分别求出P(A)，P(B)，即可判断选项C ，求出P(AB)，结合P(A ∪B)的计算公式，即可判断选项D ．本题考查了互斥事件以及对立事件的定义，事件概率公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．10.【答案】AB【解析】解：设z =a +bi(a,b 不同时为0)，则z −=a −bi ，对于A ，若z =z −，即a +bi =a −bi ，则b =0，故z ∈R ，故选项A 正确； 对于B ，若|z|=1，即a 2+b 2=1，则z ⋅z −=a 2+b 2=1，故选项B 正确； 对于C ，若zz−∈R ，即a+bia−bi=a 2−b 2+2abi a 2+b 2∈R ，所以ab =0，当a =0，b ≠0时，z ∉R ，故选项C 错误；对于D ，若z 2+z −2=0，即2a 2−2b 2=0，则a =±b ，故选项D 错误． 故选：AB ．先设出z =a +bi(a,b 不同时为0)，则z −=a −bi ，由共轭复数的定义、复数相等的定义、模的定义以及复数的运算，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了复数的综合应用，涉及了共轭复数的定义、复数相等的定义、模的定义以及复数的运算，属于基础题．11.【答案】AC【解析】解：根据题意，a ⃗ 与b ⃗ 均为单位向量，其夹角为θ，若|a ⃗ +b ⃗ |>1，即|a ⃗ +b ⃗ |2=a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ =2+2cosθ>1，变形可得cosθ>−12， 又由0≤θ≤π，则有θ∈[0,2π3)，故A 正确，B 错误；若|a ⃗ −b ⃗ |<1，即|a ⃗ −b ⃗ |2=a ⃗ 2+b ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =2−2cosθ<1，变形可得cosθ>12，又由0≤θ≤π，则有θ∈[0,π3)， 故C 正确，D 错误； 故选：AC ．根据题意，由向量模的计算公式可得|a ⃗ +b ⃗ |2=a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ =2+2cosθ>1以及|a ⃗ −b ⃗ |2=a ⃗ 2+b ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =2−2cosθ<1，变形可得cosθ的取值范围，进而可得θ的取值范围，即可得答案．本题考查向量数量积的性质以及计算，涉及向量模的计算，属于基础题．12.【答案】BCD【解析】解：设AB =1，建立空间直角坐标系如图所示：对于A ，A 1(1,0，1)，C(0,1，0)，所以A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−1)， M(1,1，12)，N(12,1，1)，D 1(0,0，1)，所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,0，12)，D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1，0)，设平面D 1MN 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−12x +12z =012x +y =0，令x =1，得y =−12，z =1，所以n ⃗ =(1,−12,1)， 因为A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与n ⃗ 不共线，所以因为GF//D 1C//A 1B ， 所以A 1C 与平面D 1MN 不垂直，选项A 错误；对于B ，P(0,1，12)，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)，点P 到平面D 1MN 的距离为d 1=|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√1+14+1=23，D(0,0，0)，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，12)，点D 到平面D 1MN 的距离为d 2=|DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=|1−12+12|√1+14+1=23，所以点P 与点D 到平面D 1MN 的距离相等，选项B 正确；对于C ，连接AD 1，AM ，则四边形AD 1MN 是平面D 1MN 截正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1所得截面图形，因为MN//AD 1，且MN ≠AD 1，所以四边形AD 1MN 是梯形， 又因为AM =D 1N ，所以梯形AD 1MN 是等腰梯形，选项C 正确； 对于D ，平面D 1MN 将正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1分割成的上、下两部分， 计算几何体B 1MN --A 1AD 1的体积为V 1=13×(12×12×12+√12×12×12⋅12×1×1+12×1×1)×1=724， 另一部分几何体的体积为V 2=13−724=1724，所以上、下两部分的体积之比为V 1：V 2=7：17，选项D 正确． 故选：BCD ．设AB =1，建立空间直角坐标系，利用向量表示直线的方向向量，求出平面D 1MN 的法向量，由此判断A 1C 与平面D 1MN 不垂直，得出选项A 错误；分别计算点P 到平面D 1MN 的距离和点D 到平面D 1MN 的距离，判断选项B 正确； 画出平面D 1MN 截正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1所得截面图形，判断四边形AD 1MN 是等腰梯形，得出选项C 正确；计算平面D 1MN 将正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1分割成的上、下两部分体积，求出体积比，判断选项D 正确．本题以命题的真假判断为载体，考查空间中的线面之间的关系和多面体的体积计算问题，是中档题．13.【答案】0.72【解析】解：根据题意，若电路正常工作，则元件A ，B 都正常工作， 则电路正常工作的概率P =0.9×0.8=0.72， 故答案为：0.72．根据题意，分析可得若电路正常工作，则元件A ，B 都正常工作，由相互独立事件概率的乘法公式计算可得答案．本题考查相互独立事件的概率计算，涉及电路知识，属于基础题．14.【答案】8√3+24【解析】解：根据题意可知，玩具石凳的表面由8个全等的以2为边长的等边三角形和以2为边长的全等的6个正方形构成，∴玩具石凳的表面积为：8×12×22sin60°+6×22=8√3+24． 故答案为：8√3+24．玩具石凳的表面由8个全等的以2为边长的等边三角形和以2为边长的全等的正方形构成，以此可解决此题．本题考查多面体表面积算法，考查数学运算能力及直观想象能力，属于中档题．15.【答案】(1,1)(答案不唯一，形如(x,x)的坐标均正确)【解析】解：设点C 的坐标为(x,y)， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y)， 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =1， 所以−(x −1)+y =1，整理得x −y =0，则满足条件的点C 的一个坐标为(1,1)(答案不唯一，形如(x,x)的坐标均正确)． 故答案为：(1,1)(答案不唯一，形如(x,x)的坐标均正确)．设出点C 的坐标为(x,y)，利用向量的坐标运算及数量积运算即可求解． 本题主要考查平面向量的数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．16.【答案】正方形 32【解析】解：由题意，图2所示的“四脚帐篷”类似于“牟和方盖”的一部分， 因为底面ABCD 为正方形，由平行截面的性质可知，用平行于底面ABCD 的平面α去截“四脚帐篷”所得的截面图形A′B′C′D′为正方形，当平面α经过OP 的中点时，因为OP =1，则OO′=12，OO′⊥O′B′， 又OB′=1，所以O′B′=√32，故A′B′=√32×√2=√3√2， 所以截面图形A′B′C′D′的面积为(√3√2)2=32． 故答案为：正方形；32．利用平行截面的性质可得截面图形的形状，利用O′为OP 的中点，求出截面图形的边长，由此求解面积即可．本题考查了数学文化以及空间几何体的理解与应用，空间几何体的截面问题，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为点Z(x,y)，Z 0(x 0,y 0)对应的复数分别为z =x +yi ，z 0=x 0+y 0i ， 所以点Z 和Z 0之间的距离|ZZ 0|=|ZZ 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|z 0−z|=|(x 0+y 0i)−(x +yi)| =|(x 0−x)+(y 0−y)i| =√(x 0−x)2+(y 0−y)2；(2)由题知方程|z −(1+i)|=1表示的动点Z 的集合是以点(1,1)为圆心、1为半径的圆， 方程|z −(1+i)|=3表示的动点Z 的集合是以点(1,1)为圆心、3为半径的圆， 故不等式1≤|z −(1+i)|≤3表示的动点Z 的集合是以点(1,1)为圆心、半径分别为1和3的两个圆所形成的圆环形图形(含边界)， 所以该圆环形图形的面积为S =π⋅32−π⋅12=8π．【解析】(1)分别求出点Z(x,y)，Z 0(x 0,y 0)对应的复数，然后求出ZZ 0对应的复数，由复数模的定义求解即可；(2)利用复数模的几何意义分析求解即可．本题考查了复数的几何意义的理解与应用，主要考查了复数模的定义以及复数模的几何意义，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由条件③及正弦定理得√3(sinB−sinAcosC)=sinAsinC，由B=π−(A+C)，得√3(sin(A+C)−sinAcosC)=sinAsinC，展开得√3(sinAcosC+ cosAsinC−sinAcosC)=sinAsinC，即√3cosAsinC=sinAsinC，因为sinC≠0，所以√3cosA=sinA，即tanA=√3，因为A∈(0,π)，所以A=π3，由条件④得，cosB=a2+c2−b22ac =−2√33ac2ac=−√33，因为B∈(0,π),−√33<−12，所以2π3<B<π，在△ABC中，A+B>π不符合题意，所以△ABC不能同时满足条件③④．(2)因为△ABC同时满足上述四个条件中的三个，不能同时满足③④，则满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④．若选择组合①②③：由asinA =bsinB，得√3√32=2sinB，解得sinB=1，因为B∈(0,π)，所以B=π2，即△ABC为直角三角形，解得c=1，所以△ABC的面积S=12×1×√3=√32，若选择组合①②④：由b2=a2+c2−2accosB，即c2+2c−1=0，解得c=√2−1，由cosB=−√33，且B∈(0,π)，得sinB=√63，所以△ABC的面积S=12acsinB=2−√22．【解析】(1)由条件③及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得tanA=√3，结合范围A∈(0,π)，可得A=π3；由条件④可得cos B的值，结合B∈(0,π),−√33<−12，可求2π<B<π，可得A+B>π不符合题意，可求△ABC不能同时满足条件③④．3(2)若选择组合①②③：由正弦定理可得sinB=1，结合范围B∈(0,π)，可求B，解得c的值，利用三角形的面积公式即可求解；若选择组合①②④：利用余弦定理可得c2+2c−1=0，解得c的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】(1)证明：连接AC交BD于点O，连接OE，因为四边形ABCD为正方形，所以点O为AC的中点，又E为PC的中点，所以OE//PA，又因为PA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PA//平面BDE．(2)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，因为PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD．(3)解：取AD中点F，连接PF，因为PA=PD，所以PF⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PF⊂平面PAD，所以PF⊥平面ABCD，由AB=AD=4，PA=PD=2√2，×BC×CD=8，得PF=√PA2−AF2=√(2√2)2−22=2，S△BCD=12PF=1，记点E到平面BCD的距离为h，因为E为PC的中点，所以ℎ=12所以V C−BDE =V E−BCD =13×S △BCD ×ℎ=13×8×1=83．【解析】(1)作出辅助线，由题意证得线线平行即可证得线面平行； (2)首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得题中的结论； (3)结合(2)的结论转化顶点即可求得三棱锥的体积．本题主要考查线面平行的判断，线线垂直的判定，三棱锥体积的求解，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．20.【答案】解：(1)由题知OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)=2e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ ，故|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√(2e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ )2=√4e 1⃗⃗⃗ 2+12e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +9e 2⃗⃗⃗ 2=√7． (2)由题知OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1e 1⃗⃗⃗ +y 1e 2⃗⃗⃗ ,ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2e 1⃗⃗⃗ +y 2e 2⃗⃗⃗ ， 命题①是真命题．a.当ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2e 1⃗⃗⃗ +y 2e 2⃗⃗⃗ =0⃗ 时，即x 2=y 2=0，显然x 1y 2−x 2y 1=0；b.当ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2e 1⃗⃗⃗ +y 2e 2⃗⃗⃗ ≠0⃗ 时，即x 2，y 2至少一个不为0，不妨设y 2≠0， 若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则存在λ∈R ，使得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故x 1e 1⃗⃗⃗ +y 1e 2⃗⃗⃗ =λ(x 2e 1⃗⃗⃗ +y 2e 2⃗⃗⃗ )， 即(x 1−λx 2)e 1⃗⃗⃗ +(y 1−λy 2)e 2⃗⃗⃗ =0⃗ ， 因为e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 不共线，所以{x 1−λx 2=0y 1−λy 2=0， 由λ=y 1y 2，代入x 1−λx 2=0得x 1−y1y 2x 2=0，即x 1y 2−x 2y 1=0．综上所述，命题“若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x 1y 2−x 2y 1=0”是真命题． 命题②是假命题． 解法1：若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1e 1⃗⃗⃗ +y 1e 2⃗⃗⃗ )⋅(x 2e 1⃗⃗⃗ +y 2e 2⃗⃗⃗ )=x 1x 2e 1⃗⃗⃗ 2+(x 1y 2+x 2y 1)e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +y 1y 2e 2⃗⃗⃗ 2=x 1x 2+y 1y 2−12(x 1y 2+x 2y 1)=0， 当x 1y 2+x 2y 1≠0时，结论x 1x 2+y 1y 2=0不成立， 所以，命题“若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x 1x 2+y 1y 2=0”是假命题． 解法2：令OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(1,2)，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(1,0)，则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ ,ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ ，因为OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ )⋅e 1⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ 2+2e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =0，所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时x 1x 2+y 1y 2=1≠0，(11分)所以，命题“若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x 1x 2+y 1y 2=0”是假命题．【解析】(1)直接利用向量的坐标运算的应用求出结果；(2)直接利用向量的数量积，向量的共线的应用，向量的垂直的应用判断命题的真假． 本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积，向量的共线的应用，向量的垂直的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．21.【答案】解：(1)一周课外阅读时间为[4,6)的学生中男生有3人，女生有18×2×60=15人，若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为a ，女生有5人，记为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，则样本空间Ω={ab 1,ab 2,ab 3,ab 4,ab 5,b 1b 2,b 1b 3,b 1b 4,b 1b 5,b 2b 3,b 2b 4,b 2b 5,b 3b 4,b 3b 5,b 4b 5}， 记事件A =“恰好一男一女”，则A ={ab 1,ab 2,ab 3,ab 4,ab 5}， 所以P(A)=515=13，所以从这6人中任意抽取2人恰好一男一女的概率为13． (2)估计男生一周课外阅读时间平均数x −=1×9+3×25+5×3+7×340=3，估计女生一周课外阅读时间的平均数y −=124×2×1+14×2×3+18×2×5+112×2×7=4．(3)估计总样本的平均数z −=3×40+4×60100=3.6，∵140∑(40i=1x i −x −)2=s 男2，160∑(60i=1y i −y −)2=s 女2∴∑(40i=1x i −x −)2=s 男2⋅40=2.4×40=96，∑(60i=1y i −y −)2=s 女2⋅60=3×60=180， ∴∑(40i=1x −−z −)2=40×(3−3.6)2=14.4，∑(60i=1y −−z −)2=60×(4−3.6)2=9.6，∴s 2=1100[96+14.4+9.6+180]=3，所以估计总样本的平均数和方差分别是3.6和3．【解析】(1)根据已知条件，可得[4,6)的学生中男生有3人，女生有15人，按比例抽取6人，则男生占1人，女生占5人，结合列举法，即可求解． (2)根据已知条件，结合平均值公式，即可求解．(3)根据已知条件，运用平均数公式和方差公式，即可求解．本题主要考查平均数和方差公式的应用，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．22.【答案】解：(1)由图可知，“雪糕筒”绕点B被放倒后A、B、P′在同一条直线上，所以轴截面A′P′B与地面垂直，故点A′为放倒后的最高点，在△A′P′B中，P′B=60，B′O′=10，所以P′O′=10√35，所以S△A′P′B=12BP′⋅ℎ=12A′B⋅P′O′，解得ℎ=10√353，即最高点A′离水平地面的距离为10√353；(2)由题知，轴截面PAB⊥圆面O，且轴截面PAB⊥水平地面，轴截面P′A′B⊥圆面O′，且轴截面P′A′B⊥水平地面，因为A、B、P′在同一条直线上，所以P，A，B，P′，A′五点共面，故平面PA′B⊥圆面O′，即直线PA在圆面O′内的射影为直线A′B所以∠PBA′为直线PB与圆面O′所成的角，在直角梯形PA′DO中，PO=10√35,OD=403,A′D=10√353，可得PA′=20√393，在△PA′B中，cos∠PBA′=PB2+A′B2−PA′22PB⋅A′B =1718，所以直线PB与圆面O′所成的角的余弦值为1718；(3)如图所示，放倒后的“雪糕筒”绕点P′沿水平地面旋转一周形成的曲面所围成的旋转体为半球，被平行于底面的平面截去平面上方的部分，留下截面与底面之间的部分，再挖去一个以截面圆为底面、球心为顶点的圆锥所剩下的部分．【解析】(1)首先确定点A′为放倒后的最高点，然后在△A′P′B中利用等面积法，求出最高点A′离水平地面的距离即可；(2)先判断P，A，B，P′，A′五点共面，由此得到直线PA在圆面O′内的射影为直线A′B，由线面角的定义可知∠PBA′为直线PB与圆面O′所成的角，在△PA′B中，由余弦定理求解即可；(3)通过旋转体的结构特征进行分析即可．本题考查了点到平面距离的求解以及线面角的求解，解题的关键是找到点到平面的距离对应的线段以及线面角，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．第21页，共21页。