高中数学选修2-2课后限时训练17 反证法

高中数学选修2－2课后限时训练17反证法
题组1：基础夯实
一、选择题
1．实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，则正确的说法是()
A．a，b，c都是0
B．a，b，c都不为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c不可能均为正数
答案：D
2．用反证法证明“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是()
A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除D．a能被5整除
解析：由于反证法是否定命题的结论，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．“a，b 中至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．
答案：B
3．“实数a，b，c不全大于0”等价于()
A．a，b，c均不大于0
B．a，b，c中至少有一个大于0
C．a，b，c中至多有一个大于0
D．a，b，c中至少有一个不大于0
解析：“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于”．选项D正确．
答案：D
4．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：
①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为() A．①②③B．③①②
C．①③②D．②③①
解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.
答案：B
5．有下列叙述：
①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有()
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析：①错：应为a ≤b ；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．
答案：B
二、填空题
6．用反证法证明命题“如果a >b ，那么3a >3b ”时，假设的内容应是______________．
解析：“大于”的否定为“小于或等于”． 答案：3a ＝3b 或3a <3b 成立
7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．(填序号)
答案：③①②
8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．
解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．
答案：丙
三、解答题
9．(1)当x >1时，求证：x 2＋1x 2>x ＋1x
； (2)已知x ∈R ，a ＝x 2－x ＋1，b ＝4－x ，c ＝x 2－2x ，试证明a ，b ，c 中至少有一个不小于1.
证明：(1)x 2＋
1x 2－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝（x －1）2（x 2＋x ＋1）x 2，因为x >1，所以(x －1)2>0，x 2>0，x 2＋x ＋1>0，所以x 2＋1x 2>x ＋1x
. (2)假设a ，b ，c 都小于1，即a <1，b <1，c <1，则有a ＋b ＋c <3，①
而a ＋b ＋c ＝2x 2－4x ＋5＝2(x －1)2＋3≥3，②
①与②矛盾，
故a ，b ，c 中至少有一个不小于1.
10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．
求证：f (x )＝0无整数根．
证明：假设f (x )＝0有整数根n ，
则an 2＋bn ＋c ＝0，
由f (0)为奇数，即c 为奇数，
f (1)为奇数，即a ＋b ＋c 为奇数，所以a ＋b 为偶数，
又an 2＋bn ＝－c 为奇数，
所以n 与an ＋b 均为奇数，
又a ＋b 为偶数，
所以an －a 为奇数，即(n －1)a 为奇数，
所以n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾．
所以f (x )＝0无整数根．
题组2：能力提高
1．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则下列三个数a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16a
( ) A ．都大于6
B ．至少有一个不大于6
C ．都小于6
D ．至少有一个不小于6
解析：假设a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16a 都小于6，则a ＋4b ＋b ＋9c ＋c ＋16a
<18， 利用基本不等式可得a ＋4b ＋b ＋9c ＋c ＋16a ≥2b ·4b ＋2a ·16a ＋2 c ·9c
＝4＋8＋6＝18，当且仅当a ＝4，b ＝2，c ＝3时取等号． 这与假设矛盾，故假设不成立，故a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16a
这三个数中至少有一个不小于6. 答案：D
2．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是________________．
解析：若两方程均无实根，则
Δ1＝(a －1)2－4a 2＝(3a －1)(－a －1)＜0，
解得a ＜－1或a ＞13
. Δ2＝(2a )2＋8a ＝4a (a ＋2)＜0，解得－2＜a ＜0，
所以－2＜a ＜－1.
所以，若两个方程至少有一个方程有实根，
则有a ≤－2或a ≥－1.
答案：{}a |a ≤－2或a ≥－1
3．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y
总不成立． 证明：假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y
成立．于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ， 即x 2＋y 2＋xy ＝0，即(x ＋y 2)2＋34y 2＝0.
由y ≠0，得34
y 2＞0. 又(x ＋y 2)2≥0，所以(x ＋y 2)2＋34
y 2＞0. 与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立．。