三角形的证明(三)
三角形的重心定理及其证明
三角形的重心定理及其证明积石中学王有华同学们在学习几何时，常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理？下面给出三种证明方法，你阅读后想一想，哪一种证明方法最好.已知：（如图）设ABC 中，L 、M 、N 分别是BC 、CA 、AB 的中点.求证：AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1. 证明1（平面几何法）：（如图1）假设中线AL 与BM 交于G ，而且假设C 与G 的连线与AB 边交于N ，首先来证明N 是AB 的中点.现在，延长GL ，并在延长线上取点D ，使GL=LD 。
因为四边形BDCG 的对角线互相平分，所以BDCG 是平行四边形.从而，B G ∥DC ，即GM ∥DC.但M 是AC 的中点，因此，G 是AD 的中点.另一方面，GC ∥BD ，即NG ∥BD.但G 是AD 的中点，因此N 是AB 的中点.另外，G 是AD 的中点，因此AG ﹕GL=2﹕1.同理可证： BG ﹕GM=2﹕1， CG ﹕GN=2﹕1.这个点G 被叫做ABC 的重心.证明2（向量法）：（如图2）在ABC 中，设AB 边上的中B C线为CN ，AC 边上的中线为BM ，其交点为G ，边BC 的中点为L ，连接AG 和GL ，因为B 、G 、M 三点共线，且M 是AC 的中点，所以向量BG ∥BM ，所以，存在实数1λ ，使得 1BG BM λ=，即 1()AG AB AM AB λ-=-所以，11(1)AG AM AB λλ=+-=111(1)2AC AB λλ+- 同理，因为C 、G 、N 三点共线，且N 是AB 的中点. 所以存在实数2λ，使得 22(1)AG AN AC λλ=+-= 221(1)2AB AC λλ+- 所以 111(1)2AC AB λλ+- = 221(1)2AB AC λλ+- 又因为 AB 、 AC 不共线，所以1221112112λλλλ=-=-⎧⎨⎩ 所以 1223λλ== ，所以 1133AG AB AC =+ . 因为L 是BC 的中点，所以GL GA AC CL =++ =111()332AB AC AC CB -+++ =121()332AB AC AB AC -++- =1166AB AC +，即2AG GL =，所以A 、G 、L 三点共线.故AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1C证明3（向量法）（如图3）在ABC 中，BC 的中点L 对应于1()2OL OB OC =+， 中线AL 上的任意一点G ，有(1)OG OA OL λλ=+- 1122OA OB OC λλλ--=++.同理，AB 的中线CN 上的任意点G ′，1122OG OC OA OB μμμ--'=++，求中线AL 和CN 的交点，就是要找一个λ和一个μ，使OG OG '=.因此，我们令12μλ-=，1122λμ--=，12λμ-=.解之得13λμ==.所以111333OG OG OA OB OC '==++.由对称性可知，第三条中线也经过点G . 故AL 、CN 、BM 相交于一点G ，且易证AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1.。
直角三角形的证明方法
直角三角形的证明方法
证明直角三角形
直角三角形是几何学上常见的几何概念，被广泛应用于数学计算、建筑施工等
方面，经常会被人们当作判断两条直线是否相交的依据。
那么我们如何证明一个三角形是直角三角形呢？
一、直角三角形的定义
1.直角三角形又称正角三角形，是由三条线段组成的三角形，其中有一个内角
等于90°，其余两个内角小于90°。
2.直角三角形满足勾股定理：对角线长平方等于其他两边长度的平方之和，即：a2+b2=c2。
二、垂直定理证明直角三角形
1.垂直定理：在平面内，两条平行直线上的任意一点的垂线段，与两条平行直
线相联合，则构成的四边形中有两个内角乃是直角。
2.当直角三角形的两条直角直线垂直且相交时，相交点即为这两条直线相联合
时所构成的四边形的一角。
而另一角正是符合垂直定理的另一个直角，因此该三角形乃是直角三角形。
三、正弦定理证明直角三角形
1.正弦定理：任一三角形的内角的正弦与两边的比值是一定的，其锐角的正弦
与两条腰的比值等于1。
2.当直角三角形的一个内角等于90°，其余两个内角小于90°时，其锐角的
正弦与两边的比值就是1，满足正弦定理，该三角形乃是直角三角形。
总之，通过垂直定理和正弦定理可以证明三角形是直角三角形，从而使用这些
理论和定理，我们便可以判断两条直线是否相交，或绘制一个准确的直角三角形。
三角形内角和三种证明
三角形内角和三种证明
三角形内角和是指三角形内部所有角的度数之和。
为了方便计算和分析，人们一般都将三角形内角和定义为180度。
三角形内角和有三种不同的证明方法。
第一种证明方法是基于平行线相交定理。
这个定理告诉我们，如果一条直线与两条平行线相交，那么相交两侧的对应角相等。
我们可以将三角形的一条边延长，再在延长线上画一条平行线，使其与另一边相交。
这样，我们就得到了两个相等的内角，它们的和是180度。
我们再用同样的方法证明另外两个内角的和也是180度，这样就得到了整个三角形内角和为180度的结论。
第二种证明方法是基于三角形的外角和定理。
这个定理告诉我们，三角形的一个外角等于其对应内角的补角。
也就是说，三角形的三个外角的和等于360度。
然后我们就可以用180度减去一个内角的补角，得到了这个内角的度数。
我们对三个内角分别做这样的计算，再把它们相加，就得到了三角形内角和为180度的结论。
第三种证明方法是基于等腰三角形的性质。
如果一个三角形两边相等，那么它的两个内角也相等。
我们可以把一个三角形分成两个等腰三角形，然后分别计算它们的内角和。
由于它们的内角相等，所以它们的和也相等。
最后把这两个和相加，就得到了整个三角形内角和为180度的结论。
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(完整版)全等三角形证明方法(最新整理)
全等三角形的证明方法一、三角形全等的判定：（1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)；（2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) ；（3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) ；（4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) ；（5）直角三角形全等的判定：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).二、全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；（2）全等三角形的周长相等、面积相等；（3）全等三角形的对应边上的高对应相等；（4）全等三角形的对应角的角平分线相等；（5）全等三角形的对应边上的中线相等；三、找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。
①积极发现隐含条件：公共角对顶角公共边②观察发现等角等边:等边对等角同角的余角相等同角的补角相等等角对等边等角的余角相等等角的补角相等③推理发现等边等角:图1:平行转化图2 :等角转化图3:中点转化图4 :等量和转化图5:等量差转化图6:角平分线性质转化图7:三线合一转化图8:等积转化图9:中垂线转化图10:全等转化图11:等段转化四、构造辅助线的常用方法：1、关于角平分线的辅助线:当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。
角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。
关于角平分线常用的辅助线方法：（1）截取构造全等:如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
全等三角形的判定方法五种的证明
全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等三角形（即三角形的所有对应边和角都相等）在几何学中具有重要意义，因为它们有着很多共性特征和性质。
在实际问题中，我们常常需要判定两个三角形是否全等，以便解决一些几何问题。
下面我们将介绍五种判定方法，并给出它们的证明。
一、SSS法则（边边边全等）首先我们来介绍SSS法则，即如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，AC=DF，BC=EF。
我们要证明三角形ABC全等于三角形DEF。
【证明过程】由已知条件可知，三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等。
所以可以得到以下对应关系：AB=DEAC=DFBC=EF三角形的两边之和大于第三边，所以我们有以下结论：AB+AC>BCDE+DF>EF由于AB=DE，AC=DF，BC=EF，所以根据上述两个不等式可得：AB+AC>BCAB+AC>BC所以三角形ABC与三角形DEF全等。
由于∠C=∠F，所以我们有以下结论：∠A+∠C+∠B=180°∠A+∠F+∠E=180°由于∠C=∠F，所以可以将两个等式相减，得到：∠B-∠E=0∠B=∠E四、HL法则（斜边-直角-斜边全等）由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以可以使用AA法则证明三角形ABC 与三角形DEF全等。
我们介绍了五种全等三角形的判定方法以及它们的证明。
这些方法在解决几何问题中起着至关重要的作用，希望大家能够掌握并灵活运用这些方法。
如果遇到类似的题目，可以根据不同情况灵活选择合适的方法来判定三角形的全等关系。
通过不断练习和思考，相信大家能够在几何学习中取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例：全等三角形是指具有完全相同的三边和三角形的一种特殊情况。
在几何学中，全等三角形之间具有一些特殊的性质和关系。
正确判断两个三角形是否全等是解决几何问题的关键。
如何证明三角形的等边性质
如何证明三角形的等边性质三角形的等边性质是指三个边长相等的三角形。
在几何学中，证明一个三角形是等边的方法有很多，下面将介绍其中几种常见的证明方法。
方法一：利用等腰三角形性质等腰三角形是指两边相等的三角形。
如果能证明一个三角形是等腰的，并且另外两个边也相等，那么这个三角形就是等边的。
假设有一个三角形ABC，首先可以假设AB=AC，然后证明BC=AB或BC=AC。
可以通过构造垂直平分线来证明。
由于AB=AC，所以点D为线段BC的垂直平分线上的点，且BD=DC。
根据勾股定理，有BD²=AB²-AD²，DC²=AC²-AD²。
由于AB=AC，所以BD²=DC²，可得BD=DC。
因此，BC=BD+DC=2BD=2DC=AB=AC，所以三角形ABC是等边的。
方法二：利用三角形内角和的性质三角形内角和是指三个内角的度数和等于180°。
如果能证明一个三角形的三个内角的度数相等，那么这个三角形就是等边的。
假设有一个三角形ABC，首先可以通过角平分线构造内角平分线，将三角形分成两个等腰三角形。
假设角BAC的内角平分线与BC相交于点D。
由于AD是角BAC的内角平分线，所以∠BAD=∠DAC。
由于∠BAC=180°-∠BAD-∠DAC，所以∠BAC=180°-2∠BAD。
同理可得∠BCA=180°-2∠DAC。
将两个等式相加可得∠BAC+∠BCA=180°-2∠BAD+180°-2∠DAC，即∠BAC+∠BCA=360°-2(∠BAD+∠DAC)=360°-2×180°=0°。
因为角的度数不可能小于0°，所以∠BAC+∠BCA=0°，即∠BAC=0°，∠BCA=0°。
因此，三角形ABC 的三个内角的度数均为60°，证明了三角形ABC为等边三角形。
三角形五种证明方法
三角形五种证明方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊三角形的五种证明方法，这可超级有意思啦！
先来说说第一种，那就是通过两个三角形的三条边对应相等来证明它们全等。
就好像盖房子，每一块砖都严丝合缝，那这房子肯定牢固啊！比如说，有两个三角形，它们的三条边都一模一样，那它们不就是全等的嘛！
接下来第二种，是两角及其夹边对应相等。
这就好比是两个人有相同的眼睛和鼻子，而且这中间的部分也一样，那肯定能认出是同一个人呀，三角形也同理！假设两个三角形，它们有两个角和这两个角中间的边都对应相等，这不就是全等啦。
然后是第三种，两角及其中一角的对边相等。
哎呀，这就好像你知道了一个人的某些特征和某样独属于他的东西，那就能确定是他啦！像在三角形里，有两个角相等，还有一个角所对的边也相等，那它们肯定全等咯！
再讲讲第四种，这是通过斜边和一条直角边对应相等来判定直角三角形全等。
这就像是两个大力士比赛，他们的关键力量部位如果一样强，那谁强谁弱就明显啦！对于直角三角形，如果斜边和一条直角边相等，那它们肯定全等呀！
最后一种，是通过三边对应平行且相等来证明。
这就如同两个队伍排列得一模一样，那它们肯定是同一个队伍嘛！当两个三角形的三边都对应平行且相等，那它们就是全等的啦！
总之啊，这五种证明方法各有各的奇妙之处，就像五条不同的路都能通向三角形全等这个终点！是不是很有趣啊！大家可得好好记住哦！。
三角形四心定理以及相关证明
三角形四心定理以及相关证明三角形的四心分别是外心、内心、重心和垂心。
这些点在三角形中具有重要的几何意义，被广泛应用于三角形的各种问题中。
首先介绍外心。
一个三角形的外接圆是唯一确定的，它通过三个顶点。
外接圆的圆心称为该三角形的外心。
外心到三个顶点的距离相等，且这个距离等于外接圆的半径。
因此，如果我们知道了一个三角形的外接圆，就可以很容易地找到它的外心。
接下来是内心。
一个三角形有唯一确定的内切圆，它切于三条边上，并且与每条边都有唯一公切线。
内切圆的圆心称为该三角形的内心。
内切圆半径等于该点到各边距离之和除以3（即其到各边距离之和）。
由于内切圆与每条边都有唯一公切线，因此内心到每条边上垂线长度相等。
重心是指一个三角形所有高线交点所在位置，也就是三条中线交点所在位置。
中线是连接一个顶点与对面中点之间连线所组成的直线段，而高线是连接一个顶点与对面边的垂线所组成的直线段。
重心到三个顶点的距离相等，且这个距离等于三条中线长度之和的一半。
最后是垂心。
垂心是指一个三角形三条高线交点所在位置。
高线是连接一个顶点与对面边的垂线所组成的直线段。
垂心到每条边上的垂足距离相等，且这个距离等于该点到三边距离之积与该三角形面积之比的2倍。
下面我们来证明三角形四心定理。
首先证明外心、内心、重心共线。
设ABC为任意一个三角形，O为其外接圆圆心，I为其内切圆圆心，G为其重心。
我们需要证明O、I、G 三点共线。
首先考虑O和G两点是否共线。
我们知道，G是通过连接每个顶点和对面中点所得到的中线交于一点而得到的。
而O则是通过连接每个顶点和外接圆圆心所得到的直径所得到的垂直平分线交于一点而得到的。
显然，在任意一个锐角或钝角三角形中，这两条直线不会相交，因此O和G两点不共线。
接下来考虑O、I、G三点的位置关系。
我们可以利用向量的方法来证明它们共线。
设D、E、F分别为三角形ABC上AB、BC、CA边上的垂足，M为BC中点，N为AC中点，P为AB中点。
三角形的外角性质及证明
三角形的外角性质及证明三角形是几何学中最基本的图形之一。
它具有丰富的性质和关系，其中之一就是外角性质。
本文将介绍三角形的外角性质，并给出相应的证明。
一、外角的定义首先，我们来定义三角形的外角。
在任意三角形ABC中，我们可以选择一条边AB，并将其延长到D点。
则角ADC和角B是三角形ABC的外角。
如下图所示：[插入示意图]二、外角性质三角形的外角具有一些特殊的性质。
我们来逐一介绍。
1. 性质一：一个三角形的外角等于其余两个内角之和。
证明：设三角形ABC的外角ADC和角B，内角分别为角A和角C。
根据角度的定义，可以得出：角ADC + 角A = 180°（内角和为180°）角ADC + 角C = 180°（内角和为180°）将上述两个等式相加，即可得到：2角ADC + (角A + 角C) = 2角ADC + 180° = 360°而两个外角之和为360°。
因此，得证角ADC = 角A + 角C，即一个三角形的外角等于其余两个内角之和。
2. 性质二：三角形的所有外角之和等于360°。
证明：在三角形ABC中，有三个外角，分别为角ADC、角B和角C。
根据性质一可知，角ADC = 角A + 角C。
将此等式代入外角之和的计算中，得：角ADC + 角B + 角C = (角A + 角C) + 角B + 角C= 角A + 2角C + 角B根据内角和为180°的性质，可知角A + 角B + 角C = 180°。
将此等式代入上述等式中，即可得到：角ADC + 角B + 角C = 180° + 2角C又根据角ADC + 角B + 角C = 360°的定义，可以得到：180° + 2角C = 360°解以上方程，得到2角C = 180°，即角C = 90°。
因此，角ADC + 角B + 角C = 180° + 2(90°) = 360°，三角形的所有外角之和为360°。
相似三角形判定三的证明过程
相似三角形判定三的证明过程嘿，咱今天就来唠唠相似三角形判定三的证明过程哈！这可是个相当有意思的事儿呢。
你想啊，三角形，那可是几何世界里的小精灵呀！而相似三角形呢，就像是它们之中有着特殊关系的小伙伴。
判定三说的是啥呢？就是如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那它们就是相似三角形啦。
那怎么证明呢？咱就一步步来瞅瞅。
咱先画两个三角形，一个叫三角形 ABC，另一个叫三角形 DEF。
让它们的两组对应边的比相等，比如说 AB 比 DE 等于 AC 比 DF，然后呢，角 A 和角 D 相等。
接下来，咱就开始捣鼓啦。
咱在AB 上取个点G，让AG 等于DE，然后在 AC 上取个点 H，让 AH 等于 DF。
这时候你看看，三角形 AGH 和三角形 DEF 是不是全等啦？因为它们的对应边都相等呀！那再看看三角形 ABC 和三角形 AGH 呢？它们有一个公共角 A 呀，而且 AG 比AB 等于 AH 比 AC，这不就符合相似三角形的判定条件了嘛，所以它们相似呀！你说这是不是挺神奇的？就这么画画、比比，就能证明出来啦。
这就好像是在玩一个解谜游戏，一点点地找到线索，最后解开谜题，那种成就感，啧啧，真爽！再想想，如果没有这个判定方法，那咱在研究几何问题的时候得有多麻烦呀。
有了它，就像是有了一把钥匙，能轻松地打开相似三角形的大门。
咱生活中不也有很多这样类似的情况嘛。
有时候一个小小的方法、技巧，就能让事情变得简单好多。
就像你知道怎么系鞋带的好方法，那系鞋带就不再是个麻烦事儿啦。
所以说呀，这个相似三角形判定三的证明过程可不仅仅是数学里的一个知识点，它还能让咱明白好多道理呢。
咱得好好琢磨琢磨，把它用到咱的生活里去，让咱的生活也变得像几何图形一样有条有理，丰富多彩呀！反正我觉得吧，这相似三角形判定三的证明过程真的挺好玩的，挺有用的。
你要是认真去学，肯定也会觉得特别有意思，说不定还会爱上几何呢！怎么样，是不是有点心动啦？赶紧去试试吧！。
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三角形的证明（三）
一、1.一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________.
2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.
3.如图1，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20 cm，则点M到AB的距离是_________.
图1 图2 图3 图4
4.如图2，等边△ABC中，F是AB中点，EF⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则AE=_________，
AE∶EC=_________.
5.如图3，△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AB于D，若AB=10 cm，AC=6 cm，则
△ACD的周长为_________.
6.如图4，∠C=90°，∠ABC=75°，∠CDB=30°，若BC=3 cm，则AD=_________ cm.
7.等腰直角三角形一条边长是1 cm，那么它斜边上的高是_________ cm.
8.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是______________，这个逆命题是____命题.
9.三角形三边分别为a、b、c，且a2－bc=a(b－c)，则这个三角形（按边分）一定是___三角形
二、10.等边三角形的高为23，则它的边长为（ ）A.4 B.3 C.2 D.5
11.等腰三角形的顶角是n°，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（ ）
A.290n B.90－2n C.2n D.90°－n°
12.下列由线段a、b、c组成的三角形，不是直角三角形的是（ ）
A.a=3，b=4，c=5 B.a=1，b=34，c=35 C.a=9，b=12，c=15 D.a=3，b=2，c=5
13.直角三角形的三边长为连续自然数，则它的面积为（ ）A.6 B.7.5 C.10 D.12
14.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是（ ）
A.5 cm B.6 cm C.5 cm D.8 cm
15.等腰△ABC中，AC=2BC，周长为60，则BC的长为（ ）
A.15 B.12 C.15或12 D.以上都不正确
16.直角三角形两直角边分别是5 cm、12 cm，其斜边上的高是（ ）
A.13 cm B.1330 cm C.1360 cm D.9 cm
17.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为30和20，则以斜边为边长的正
方形的面积为（ ）A.25 B.50 C.100 D.60
18.等腰三角形ABC中，∠A=120°，BC中点为D，过D作DE⊥AB于E，AE=4 cm，则AD
等于（ ） A.8 cm B.7 cm C.6 cm D.4 cm
19.已知：如图，AB=AC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形.
20.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=21∠BAC，过点D作DE⊥AB，DE恰
好是∠ADB的平分线，求证：CD=21DB.
21.如图，△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC.
22.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边△ABD，连结DC，以DC当边作
等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=2，求BE的长.
*23.①在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于N，交BC的延长线于M，∠A=30°，
求∠NMB的大小.
②如果将①中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小.
③你感到存在什么样的规律性？试证明.（请同学们自己画图）
④将①中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？