武汉大学硕士2014级数值分析期末考题
武 汉 大 学
2014~2015学年第一学期硕士研究生期末考试试题 科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：
一、（12分）已知方程0410=-+x e x 在]4.0,0[内有唯一根。
（1）迭代格式A ：)104ln(1n n x x -=+；迭代格式B ：)4(10
11n x n e x -=+ 试分析这两个迭代格式的收敛性；
（2）写出求解此方程的牛顿迭代格式。
二、（12分）用Doolittle 分解法求线性方程组Ax b =的解，并求行列式A 。
其中
244378112A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 386018b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
三、（14分）设方程组
11223300a c x d c b a x d a c x d 轾轾轾犏犏犏犏犏犏=犏犏犏犏犏犏臌臌臌
, 且0abc ¹ （1） 分别写出Jacobi 迭代格式及Gauss-Seidel 迭代格式；
（2） 导出Gauss-Seidel 迭代格式收敛的充分必要条件。
四、（12分）已知 )(x f y = 的数据如下：
求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H 及其余项。
五、（12
求常数a , b , 使 3
220[]min i i i i ax bx y =+-=å
六、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分
1
20()x I a bx e dx =+-ò
取得最小值。
七、（14分）设)(x f 在],[b a 上二阶导数连续。
将],[b a n 等分，分点为
b x x x a n =<<<= 10，步长n a b h -=
（1）证明中矩形公式 11()()2i i x i i x x x f x dx hf --+»ò
………………（*） 的误差为： 311()[,]24i i i i R h f x x h h -ⅱ=
? （2）公式（*）是否为高斯型求积公式？ （3）写出求 ⎰b a
dx x f )( 的复化中矩形公式及其误差。
八、（12分）对于下面求解常微分方程初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==0
0)(),(y x y y x f dx dy 的改进欧拉法：
112121()2(,)(,)n n n n n n h y y k k k f x y k f x h y hk +ìïï=++ïïïï=íïïï=++ïïïî
（1）确定此方法的绝对稳定域；
（2）用此方法求解如下初值问题：
22(0)1
y x y y ì¢ï=+ïíï=ïî ]1,0[∈x 。
（取步长5.0=h ）。
数值分析复习题及答案
数值分析复习题一、选择题1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有〔 〕和〔 〕位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和42. 求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，那么A ＝〔 〕A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足〔 〕A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，那么它具有〔 〕敛速。
A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程〔 〕.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+= C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-二、填空1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，那么所得的近似值x=.2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===-- 那么二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 那么2||||X = ，=∞||||X 。
4．求方程 21.250x x --= 的近似根，用迭代公式x =01x =， 那么 1______x =。
5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =⎧⎨=⎩近似解的梯形公式是 1______k y +≈。
武汉大学《概率论与数理统计》期末考试历年真题及参考答案
6、解：首先确定 f (x, y)
1[
1 x dy]dx
6,0 x 1, x2
y x；
0 x2
E(X)=
1[
0
x x2
x
6dy]dx
1 2
；E(X
2
)=
1[
0
x x2
x2
6dy]dx
3 10
；E(Y)=
1[
0
y
y y 6dx]dy
2 5
E(Y 2 )=
1[
0
y
y
(
1 2
x)(
1 2
y)
f
(x,
y), 所以X ,Y不独立；
（3）1[ 1h(x y) f (x, y)dy]dx 1[ x1 h(z)(x x z)dz]dx
00
0x
0 [ z1 h(z)(2x z)dx]dz 1 1 h(z)(2x z)dx]dz
1 0
0z
0 h(z)(z2 z 1)dz 1 h(z)(1 z2 z)dz
Z 0 1234
P
1 131 1
(Z) 16 4 8 4 16
武汉大学2011-2012 第一学期《概率论与数理统 计》期末试题及参考答案
一、解：(1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.5+0.4-0.5×0.4=0.7
(2)P((A-B)|(A+B))=P((A-B)∩(A+B))/P(A+B)=[P(A)-P(A)P(B)]/P(A+B)=0.3/0.7=3/7 二、解：
y
2
6dx]dy
3 14
；E(XY)=
数值分析试题及答案解析
数值分析试题及答案解析数值分析试题一、填空题（2 0×2′）1.-=?-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 2位有效数字。
2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。
3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足|?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。
7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是ρ(B)<1 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。
12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。
武汉大学数值分析期末考试(05-11年)
x1 + 2 x 2 − 2 x3 = 1, x1 + x 2 + x3 = −1, 2 x + 2 x + x = 0. 2 3 1 2a a 0 二、 （8 分）若矩阵 A = 0 a 0 ，说明对任意实数 a ≠ 0 ，方程组 AX = b 都是 0 0 a
dy = f (t , y ) 的单步法： 八、 （14 分）对于下面求解常微分方程初值问题 dt y (t 0 ) = y 0
λ
y n +1 = y n + hk 2 k1 = f (t n , y n ) 1 1 k 2 = f (t n + h, y n + hk1 ) 2 2 （1） 验证它是二阶方法； （2） 确定此单步法的绝对稳定区域。
1 1 y n +1 = y n + h( 2 k1 + 2 k 2 ) k1 = f ( x n , y n ) k = f ( x + h, y + hk ) n n 1 2 （1） 验证它是二阶方法； （2） 确定此单步法的绝对稳定域。
武 汉 大 学
2006~2007 学年第一学期硕士研究生期末考试试题 （A 卷）
非病态的（范数用 ⋅ ∞ ） 四 、（15 分）已知 y = f ( x) 的数据如下 ： xi f ( xi ) f ′( xi )
0
0
1 2 1
2
6
求 f ( x) 的 Hermite 插值多项式 H 3 ( x) ，并给出截断误差 R ( x) = f ( x) − H 3 ( x) 。 五 、（10 分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度 x（℃）的试验数据为 xi yi 1 0．8 2 1．5 3 1．8 4 2．0
武汉大学硕士2014级数值分析期末考题
武 汉 大 学2014~2015学年第一学期硕士研究生期末考试试题 科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：一、（12分）已知方程0410=-+x e x 在]4.0,0[内有唯一根。
（1）迭代格式A ：)104ln(1n n x x -=+；迭代格式B ：)4(1011n x n e x -=+ 试分析这两个迭代格式的收敛性；（2）写出求解此方程的牛顿迭代格式。
二、（12分）用Doolittle 分解法求线性方程组Ax b =的解，并求行列式A 。
其中244378112A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 386018b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭三、（14分）设方程组11223300a c x d c b a x d a c x d , 且0abc（1） 分别写出Jacobi 迭代格式及Gauss-Seidel 迭代格式；（2） 导出Gauss-Seidel 迭代格式收敛的充分必要条件。
四、（12分）已知 )(x f y = 的数据如下：求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H 及其余项。
五、（12求常数a , b , 使3220[]min i i i i ax bx y六、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分120()x I a bx e dx取得最小值。
七、（14分）设)(x f 在],[b a 上二阶导数连续。
将],[b a n 等分，分点为b x x x a n =<<<= 10，步长na b h -= （1）证明中矩形公式11()()2i i x i i x x x f x dx hf ………………（*） 的误差为： 311()[,]24i i i i Rh f x x （2）公式（*）是否为高斯型求积公式？ （3）写出求 ⎰b adx x f )( 的复化中矩形公式及其误差。
八、（12分）对于下面求解常微分方程初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的改进欧拉法：112121()2(,)(,)n n n n n n h y y k k k f x y k f x h y hk （1）确定此方法的绝对稳定域；（2）用此方法求解如下初值问题：22(0)1y x y y ]1,0[∈x 。
武汉大学07数值分析研究生试卷(A)
武 汉 大 学2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题 科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（15分）给定方程 01)1()(=--=x e x x f(1) 分析该方程存在几个根；(2) 用迭代法求出这些根，精确至2位有效数；(3) 说明所用的迭代格式是收敛的.二、（15分）设线性方程组为0,,221122221211212111≠⎩⎨⎧=+=+a a b x a x a b x a x a(1)证明用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法解此方程组要么同时收敛,要么同时发散.(2) 当同时收敛时比较其收敛速度.三、（10分）设A 为非奇异矩阵，方程组b Ax =的系数矩阵A 有扰动A ∆，受扰动后的方程组为b x x A A =∆+∆+))((，若1||||||||1<∆⋅-A A ，试证：||||||||1||||||||||||||||11A A A A x x ∆⋅-∆⋅≤∆--四、（15求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ，并给出截断误差)()()(3x H x f x R -=。
五、（10分）已知数据设2)1()(-+=x b ax x f ，求常数a ,b , 使得 ∑==-302min ])([i i i y x f六、（15分）定义内积 ⎰-=11)()(),(dx x g x f g f 在},,1{2x x Span H =中求||)(x x f =的最佳平方逼近元素. 七、（10分）给定求积公式⎰-++-≈hh h Cf Bf h Af dx x f 22)()0()()(试确定C B A ,,,使此求积公式的代数精度尽可能高,并问是否是Gauss 型公式.八、（10分）给定微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=2)0(102y x y dxdy用一个二阶方法计算)(x y 在0.1 , 0.2 处的近似值. 取 1.0=h 计算结果保留5位有效数字。
武汉大学数值分析分章复习(数值积分)
（2）若使其具有最高的代数精度，试确定求积系数与求积结点？代数精度为多少？ 注：本题不用考虑 3、分别用梯形公式和二点 Gauss 公式计算积分 解：利用梯形公式，
e dx ，比较二者的精度
x 0
1
e dx 2 (e
x 0
1
1
0
e1 ) 1.8592
注：Gauss 公式部分不要 4、对于积分
2h
2 h
f ( x)dx Af (h) Bf (0) Cf (h)
8 16 h , B 4 h 3 3
解：解题过程与上题类同，所得结果 A C 代数精确度为 p 3
7、试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。
2
0
f ( x)dx 0 f (0) 1 f (1) 2 f (2)
8 16 h , B 4 h 3 3
解：解题过程与上题类同，所得结果 A C 代数精确度为 p 3
8、求积公式
f ( x)dx 3 f ( 4 ) 3 f ( 2 ) 3 f ( 4 ) 具有多少次代数精确度
0
2 3
1
2
1
1
1
2
3
解：依次取 f ( x) 1, x, x , x 代入积分公式，得左端=右端 当取 f ( x ) x 时，左端 右端，故公式的代数精确度为 p 3
2
解：依次取 f ( x) 1, x, x , x , x 代入积分公式，令左端=右端，得
A B C 4 A C 0 16 2 2 A C 3 3 A C 0 4 A 4C 64 5
武汉大学数值分析期末考试题目和答案
（2 分）
（2 分） （1 分）
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 5 页）
八．证明题（本大题共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分） 1. 证：该问题的精确解为 y( x) y0e
六．试用 Doolittle 分解法求解方程组：
5 6 x1 1 0 2 4 1 3 1 9 x 1 9（ 10 分） 2 6 3 6 x3 3 0 20 x1 2 x2 3x3 24 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组 x1 8 x2 x3 12 的迭代格式，并 2 x 3x 15 x 30 2 3 1
故有 B 1.25 1 ，因而雅可比迭代法不收敛。 （2）对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为
0 0.5 0.5 B 0 0.5 0.5 0 0.5 0
其特征值为 1 0, 2 3 0.5 故有 B 0.5 1 ，因而雅可比迭代法收敛。
判断其是否收敛？（10 分）
y y 八．就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。 （10 分） y (0) y0
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 2 页）
步 6：若 k<N,置 k:=k+1, μ:=mk，转 3；否则输出计算失败 信息，停止 三． 解： （1）利用插值法加待定系数法： 设 p2 x 满足 p2 1 2, p2 2 4, p2 3 12, 则 p2 x 3x 7 x 6, （3 分）
武汉大学研究生课程数值分析期末考试
武汉大学研究生课程《数值分析》半开卷考试资料
姓名： 学号： 第 1 章 绪论 1.1 误差的基本概念 绝对误差：∆ ������ = ������ ∗ − ������ ; ∆f(x) = ������������(������) = ������ ′ (������)������������ ; 绝对误差：∆������ ������ = 有效数字：������ = (0. ������1 ������2 … ������������ × 10−������ ) × 10������ ,则有 n 位有效数字。 1 1 误差限：|∆ ������| = |������ ∗ − ������| ≤ × 10������−������ ; |∆������ ������| ≤ × 10−(������−1)
|������ ∗ −������������+1 | ������→∞ |������ ∗ −������������|������
= C (对于收敛的迭代格式，当|������′(������)| = 0，则是线性收敛)
������(������ )
������
若碰到求收敛阶：迭代公式是个方程，准确解带进去是个方程，两方程相减，然后适当变形利用微分中值定理。 3.3 Newton 法 (二阶收敛)：������������+1 = ������������ − ������′(������������ ) ; 假设������ ∗ 是 f(x) = 0 的单根, f(x)在������ ∗ 的邻域内具有连续的二阶导数且 f ′(������ ∗ ) ≠ 0 , 则牛顿公式具有局部收敛性；若 f′′(������ ∗ ) ≠ 0 且������0 ≠ ������ ∗ , 则序列{������������ }是平方收敛。 第 4 章 矩阵特征值特征向量 (略) Householder 变换（H=I-2wwT） 、 Givens 变换、幂法 第 5 章 插值与逼近 5.1 插值多项式的唯一性 Pn (x) = ������0 + ������1 ������ + ������2 ������ 2 + ⋯ + ������������ ������ ������ ; |������| = ∏(������������ − ������������ ) ≠ 0
武汉大学06-10年(缺08-09)研究生数值分析考试试卷
武 汉 大 学2006~2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（12分）设方程组b Ax =为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛37111221x x （1） 用Doolittle 分解法求解方程组； （2） 求矩阵A 的条件数∞)(A Cond二、（12分）设A 为n 阶对称正定矩阵，A 的n 个特征值为n λλλ≤≤≤ 21，为求解方程组b Ax =，建立迭代格式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+ω，求出常数ω的取值范围，使迭代格式收敛。
三、（12分）已知数据试用二次多项式c bx ax x p ++=2)(拟合这些数据。
四、（14分）已知 )(x f y = 的数据如下：（1）求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ；（2）为求⎰31)(dx x f 的值，采用算法：R dx x H dx x f +=⎰⎰31331)()(试导出截断误差R五、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分dx e b ax b a I x 210)(),(⎰-+=取得最小值。
六、（12）确定常数i A ，使求积公式)2()1()0()(32120f A f A f A dx x f ++≈⎰的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss 型公式。
七、（12分）设)(x ϕ导数连续，迭代格式)(1k k x x ϕ=+一阶局部收敛到点*x 。
对于常数λ，构造新的迭代格式：)(1111k k k x x x ϕλλλ+++=+问如何选取λ，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。
八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y t y y t f dt dy的单步法：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==+=+)21,21(),(12121hk y h t f k y t f k hk y y n n n n n n （1） 验证它是二阶方法；（2） 确定此单步法的绝对稳定区域。