三角形的证明专题总结
三角形全等的证明总结
证明全等三角形的一般方法一、当已知两个三角形中有两边对应相等时，找夹角相等（SAS）或第三边相等（SSS）。
例1.如图1，已知：AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，且B、C、D在同一条直线上。
求证：AD＝BEAEB C D图1二、当已知两个三角形中有两角对应相等时，找夹边对应相等（ASA）或找任一等角的对边对应相等（AAS）例2. 如图2，已知点A、B、C、D在同一直线上，AC＝BD，AM∥CN，BM∥DN。
求证：AM＝CNM NA CB D图2三、当已知两个三角形中，有一边和一角对应相等时，可找另一角对应相等（AAS，ASA）或找夹等角的另一边对应相等（SAS）例3. 如图3，已知：∠CAB＝∠DBA，AC＝BD，AC交BD于点O。
求证：△CAB≌DBAD COA B图3四、已知两直角三角形中，当有一边对应相等时，可找另一边对应相等或一锐角对应相等例4.如图4，已知AB＝AC，AD＝AG，AE⊥BG交BG的延长线于E，AF⊥CD交CD的延长线于F。
求证：AE＝AFAF ED GB C图4五、当已知图形中无现存的全等三角形时，可通过添作辅助线构成证题所需的三角形例5.如图5，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是中线，AE⊥BD于F，交BC于E。
求证：∠ADB＝∠CDEA图5D CB A F E DC B A 常用证题技巧一、倍长中线（线段）造全等遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形， 例1、已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.二、截长补短 1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC三、借助角平分线造全等2、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. 求证：BE=CF四、借旋转造全等三角形例1 正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.五、涉高可用求面积法14．矩形ABCD 的边AD 上有一点P ，PQ ⊥AC 于点Q ，PH ⊥BD 于点H ，AB=6，C D B A ED G FCB AAD=8，则PQ+PH 的______________值；六、巧用角平分线定理及逆定理证题17.如图10，BD=CD ，BF ⊥AC ，CE ⊥AB.求证：点D 在∠BAC 的平分线上.18. 已知，如图11，在△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，点F 在AC 上，BD=DF.求证：(1)CF=EB ；七、巧用线段垂直平分线证题：例2. 如图，在△ABC 中，BC=8cm, AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E, △BCE 的周长等于18cm, 则AC 的长等于（ ）例5.如图，△ABC 中，AB 与AC 的垂直平分线相交于F,且分别交AB 于D ，交AC 于E 。
证明全等三角形黄金总结(初中几何)
证明全等三角形黄金总结全等三角形是初中几何的重点学习内容，学习好初中几何有利于将来学习高中立体几何，更有助于日常的几何关系处理。
这里，结合本人经验，给亲爱的初中同学总结了一下比较典型的证明方法，希望可以帮到学子学习上更上一层楼。
全等三角形指两个三角形的三条边及三个角都对应相等，全等三角形共有5种基本的判定方式：1. SSS（只要两个三角形对应的三条边长度一样，即可证明两个三角形全等，简称：边边边）举例：如下图，AC=BD，AD=BC，求证△ACD与△BDC全等。
证明：AC=BD，AD=BC，CD=CD（SSS）.∴△ACD≌△BDC.2. SAS（只要两个三角形的两条边对应相等，且两条边的夹角也相等，即可证明两个三角形全等，简称：边角边）举例：如下图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证△ACB≌△ADB全等。
证明：∵AB平分∠CAD.∴∠CAB=∠BAD.∵AC=AD，∠CAB=∠BAD，AB=AB（SAS）.∴△ACB≌△ADB.3. ASA（只要两个三角形的两个角对应相等，且两个角夹的边也对应相等，即可证明两个三角形全等。
简称：角边角）举例：如下图，AB=AC，∠B=∠C，求证△ABE≌△ACD.证明：∵∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C（ASA）.∴△ABE≌△ACD.4. AAS（只要两个三角形的两个角对应相等，且其中一个相等的角的侧边也对应相等，即可证明两个三角形全等。
简称：角角边）。
注意：不要与ASA（角边角）搞混。
举例：如下图，AB=DE，∠A=∠E，求证△ABC≌△EDC。
证明：∵∠A=∠E，∠ACB=∠DCE，AB=DE （AAS）.∴△ABC≌△EDC.5. HL（只要两个直角三角形的一条斜边和一条直角边对应相等，即可证明两个三角形全等。
简称：斜边、直角边）（Rt：直角三角形）举例：如下图，Rt△ADC与Rt△BCD，AC=BD，求证△ADC≌t△BCD.证明：AC=BD，CD=CD（HL）.∴△ADC≌t△BCD.注意事项：SSS、SAS、ASA、AAS可用于任意三角形；HL只限于直角三角形.注意SSA、AAA不能判定全等三角形.几何题要多加练习，熟练掌握以上5种方法即可破解大部分初中几何难题。
三角形内角和证明方法8种
三角形内角和证明方法8种三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条边和三个内角组成。
三角形内角和的性质是我们在研究三角形时经常会遇到的一个重要问题。
在这篇文章中，我们将探讨三角形内角和的证明方法，总结出8种常见的证明方法。
1. 直角三角形内角和为180度的证明，对于直角三角形，我们可以利用直角的性质，即两个直角相加为180度，从而得出直角三角形的内角和为180度的结论。
2. 三角形内角和为180度的证明，通过利用三角形的补角性质，即一个角的补角加上它本身为180度，可以证明三角形的内角和为180度。
3. 外角和等于两个不相邻内角和的证明，利用外角和等于其对应内角的性质，可以得出外角和等于两个不相邻内角和的结论。
4. 三角形内角和与外角和的关系证明，通过利用三角形内角和与外角和的关系，可以得出三角形内角和与外角和的关系式。
5. 三角形内角和与外接圆的关系证明，通过利用三角形内角和与外接圆的关系，可以得出三角形内角和与外接圆的关系式。
6. 三角形内角和与内切圆的关系证明，通过利用三角形内角和与内切圆的关系，可以得出三角形内角和与内切圆的关系式。
7. 三角形内角和与外接矩形的关系证明，通过利用三角形内角和与外接矩形的关系，可以得出三角形内角和与外接矩形的关系式。
8. 三角形内角和与外接正方形的关系证明，通过利用三角形内角和与外接正方形的关系，可以得出三角形内角和与外接正方形的关系式。
通过以上8种证明方法，我们可以全面地了解三角形内角和的性质，并且在解决相关问题时能够灵活运用这些证明方法。
这些证明方法不仅有助于我们理解三角形内角和的性质，也有助于提高我们的数学推理能力。
希望这些证明方法能够对你有所帮助。
全等三角形证明判定方法分类总结【范本模板】
全等三角形（一）SSS【知识要点】1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质:（1）全等图形的形状和大小都相同,对应边相等，对应角相等 （2)全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形(1）表示方法:两个三角形全等用符号“≌”来表示,读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆（2)符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同,“="表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．(4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”． 【典型例题】例1．如图,ABC ∆≌ADC ∆，点B 与点D 是对应点，=∠BAC 且︒=∠20B ，1=∆ABC S ，求ACD D CAD ∠∠∠,,的度数ACD ∆的面积．例2．如图，ABC ∆≌DEF ∆，cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠,求EDF∠的度数及CF 的长．例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠例4．如图AB=DE,BC=EF ，AD=CF ，求证：（1）ABC ∆≌DEF ∆（2)AB//DE ，BC//EF例5．如图，在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证:（1)AB DE ⊥；(2）BD 平分ABC ∠【巩固练习】1．下面给出四个结论:①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同;②若两个图形的形状相同,则它们一定是全等图形;③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形;④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同,其中正确的是（ )A 、①④B 、①②C 、②③D 、③④2．如图，ABD ∆≌CDB ∆，且AB 和CD 是对应边，下面四个结论中 不正确的是（ ）A 、CDB ABD ∆∆和的面积相等 B 、CDB ABD ∆∆和的周长相等C 、CBD C ABD A ∠+∠=∠+∠ D 、AD//BC 且AD=BC3．如图，ABC ∆≌BAD ∆，A 和 B 以及C 和D 分别是对应点,如果︒=∠︒=∠35,60ABD C ，则BAD ∠的度数为( ）A 、︒85B 、︒35C 、︒60D 、︒804．如图，ABC ∆≌DEF ∆,AD=8，BE=2,则AE 等于（ ) A 、6 B 、5 C 、4 D 、35．如图，要使ACD ∆≌BCE ∆，则下列条件能满足的是( ） A 、AC=BC ，AD=CE,BD=BE B 、AD=BD,AC=CE ，BE=BD C 、DC=EC ，AC=BC ，BE=AD D 、AD=BE,AC=DC,BC=EC6．如图，ABE ∆≌DCF ∆，点A 和点D、点E 和点F 分别是对应点,则AB=，=∠A,AE= ,CE= ,AB//，若BC AE ⊥，则DF 与BC 的关系是 ．7．如图，ABC ∆≌AED ∆,若=∠︒=∠︒=∠︒=∠BAC C EAB B 则,45,30,40 ，=∠D ，=∠DAC ．8．如图，若AB=AC,BE=CD ，AE=AD ，则ABE ∆ ACD ∆，所以=∠AEB ，=∠BAE ，=∠BAD ．9．如图，ABC ∆≌DEF ∆,︒=∠90C ，则下列说法错误的是( ）D第3题图第4题图第5题图B第6题图第7题图第8题图第9题题图A 、互余与F C ∠∠B 、互补与FC ∠∠C 、互余与E A ∠∠D 互余与D B ∠∠ 10．如图，ACF ∆≌DBE ∆，cm CD cm AD ACF E 5.2,9,110,30==︒=∠︒=∠，求D ∠的度数及BC 的长．11．如图，在ABD ABC ∆∆与中，AC=BD ，AD=BC,求证：ABC ∆≌ABD ∆全等三角形（一)作业1．如图，ABC ∆≌CDA ∆,AC=7cm ，AB=5cm 。
三角形全等的证明专题
CE O D B A 21C ED B A 2143C O B A GA B F D EC三角形全等的证明专题线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？（1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．例1 已知：如图1，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．（2）条件不足，会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案． 例2 如图2，已知AB=AD ，∠1=∠2，要使△ABC ≌△ADE ， 还需添加的条件是（只需填一个）_____．（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例3 已知：如图3，AB=AC ，∠1=∠2．求证：AO 平分∠BAC ．分析：要证AO 平分∠BAC ，即证∠BAO=∠BCO ，要证∠BAO=∠BCO ，只需证∠BAO 和∠BCO 所在的两个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可．（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等， 一般需要作辅助线来构造全等三角形．例4 已知：如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB=90º， AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ．求证：∠ADC=∠BDF ．说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．O DA CB FC ED B A A O Q MC P B N C ED B A （5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．例5 要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离﹒请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案﹒(1)画出测量图案﹒(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒ 图5(3)计算A 、B 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）﹒分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1)题，测量图案如图5所示．第(2)题，测量步骤：先在陆地上找到一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB ，这时测得CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．第(3)题易证△AOB ≌△COD ，所以AB=CD ，测得CD 的长即可得AB 的长．解：(1)如图6示．(2)在陆地上找到可以直接到达A 、B 的一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC ＝OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD ＝OB ，这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．(3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ．又∠COD=∠AOB ，∴△COD ≌△AOB ．∴CD=AB=a ． （注意书写格式和书写过程，一定要严谨！）图6评注：本题的背景是学生熟悉的，提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力，培养了学生用数学的意识﹒练习1．已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，AB ∥FC ，DF 交AC 于点E ，DE=FE ．求证：AE=CE ．2．如图，在△ABC 中，点E 在BC 上，点D 在AE 上，已知∠ABD=∠ACD ，∠BDE=∠CDE ．求证：BD=CD ．3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法：如图所示，先在∠AOB 的两边上取OP=OQ ， 再取PM=QN ，连接PN 、QM ，得交点C ，则射线OC平分∠AOB ．你能说明道理吗？A D C PB H F EG AD C B A OD C B A F C G BE AF D C BE A D C B 4．如图，△ABC 中，AB=AC ，过点A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G ．试在图10中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．5．已知：如图，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ．请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明．所添条件为__________，你得到的一对全等三角形是△_____≌△_____．7．如图，在△ABD 和△ACD 中，AB=AC ，∠B=∠C ．求证：△ABD ≌△ACD ．8．如图14，直线AD 与BC 相交于点O ，且AC=BD ，AD=BC ．求证：CO=DO ．9．已知△ABC ，AB=AC ，E 、F 分别为AB 和AC 延长线上的点，且BE=CF ，EF 交BC 于G ．求证：EG=GF ．10．已知：如图16，AB=AE ，BC=ED ，点F 是CD 的中点，AF ⊥CD ．求证：∠B=∠E ．11．如图17，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）﹒(A )带①和②去 (B )带①去 (C )带②去 (D )带③去12．有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图中的阴影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，并说明其中的道理．。
《三角形的证明》全章复习与巩固--知识讲解(基础)
《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）知识梳理【要点】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE．求证：△ABC是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BD CD=⎧⎨=⎩ ∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋•江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，∴∠MBO=∠OBC ，∠NCO=∠OCB ，∴∠MBO=∠BOM ，∠NCO=∠CON ，∴BM=OM ，CN=ON ，∵△AMN 的周长为18，∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=18．【变式2】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 在BC 上，且AD=AE ，求证：BD=CE ．【答案】证明：∵AB=AC ，AD=AE ，∴∠B=∠C ，∠ADE=∠AED ，∵∠ADE=∠B+∠BAD ，∠AED=∠C+∠EAC ，∴∠BAD=∠CAE ，∵AB=AC ，AD=AE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴ BD=CE ．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，沿过B 点的一条直线BE 折叠这个三角形，使C 点与AB 边上的一点D 重合．（1）当∠A 满足什么条件时，点D 恰为AB 的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D 为AB 的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC 的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE ≌△BDE ，BC=BD ，当点D 恰为AB 的重点时，AB=2BD=2BC ，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED ⊥AB ，可证D 为AB 的中点；（2）在Rt △ADE 中，根据∠A 及ED 的值，可将AE 、AD 的值求出，又D 为AB 的中点，可得AB 的长度，在Rt △ABC 中，根据AB 、∠A 的值，可将AC 和BC 的值求出，代入S △ABC =AC ×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵C 点折叠后与AB 边上的一点D 重合，∴BE 平分∠CBD ，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB ，所以EB=EA ；∵ED 为△EAB 的高线，所以ED 也是等腰△EBA 的中线，∴D 为AB 中点．（2）∵DE=1，ED ⊥AB ，∠A=30°，∴AE=2．在Rt △ADE 中，根据勾股定理，得22213-=∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3． 在Rt △ABC 中，AC=22AB BC -=3，∴S △ABC =12×AC ×BC=332． 【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在课堂上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB 的两边上分别取点M ，N ，使OM=ON ，再过点M 作OB 的垂线，过点N 作OA 的垂线，垂足分别为C 、D ，两垂线交于点P ，那么射线OP 就是∠AOB 的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP 就是∠AOB 的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB 的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt △OCM 与Rt △ODN 中，依据ASA 得出OC=OD;在Rt △OCP 与Rt △ODP 中，因为OP=OP ，OC=OD 得出Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），所以∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ． ②可作出两个直角三角形，利用HL 定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt △OCM 和Rt △ODN 中，COM DON OCM ODN OM ON ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OCM ≌△ODN （AAS ），∴OC=OD ，在△OCP 与△ODP 中，∵,OC OD OP OP=⎧⎨=⎩∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt△OCE与Rt△ODE中，∵OC OD OE OE=⎧⎨=⎩，∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），∴∠EOC=∠EOD，∴OE为∠AOB的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋•麻城市校级期中）如图所示：在△ABC中，AB＞BC，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC的度数；（2）若△ABC的周长为41cm，边长为15cm，△BCE的周长．【思路点拨】（1）由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，继而求得∠A的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC的度数，则可求得答案；（2）由△BCE的周长=AC+BC，然后分别从腰等于15cm与底边等于15cm去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC；∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5. 如图，在△ABC中，∠BAC=80°，延长BC到D，使AC=CD，且∠ADB=20°，DE平分∠ADB交AC于F，交AB于E，连接CE，求∠CED的度数．【思路点拨】作EG⊥DA，EH⊥BD，EP⊥AC，根据角平分线的性质得到EG=EH，根据△EGA≌△EPA，得出∠ECB，就可以得到∠CED的度数．【答案与解析】证明：作EG⊥DA交DA的延长线于G，再作EH⊥BD，EP⊥AC，垂足分别为H，P，则EG=EH ∵∠ADC=20°，AC=CD，∴∠CAD=20°，而∠BAC=80°，∴∠GAE=180°﹣20°﹣80°=80°，∴Rt△EGA≌Rt△EPA，∴EG=EP∴EP=EH，∴∠ECB=∠ECA=12∠BCA=12×40°=20°∴∠CED=∠BCE﹣∠BDE=20°﹣10°=10°【总结升华】主要考查了角平分线的性质定理及逆定理、三角形全等的性质和判定；做题中两次用到角平分线的知识是正确解答本题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。
人教版八年级数学上册专题复习证明三角形全等的常见题型
证明三角形全等的常见题型全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。
而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。
在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。
一、已知一边与其一邻角对应相等1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。
例1已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。
证明∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即BF=CE。
在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）。
∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。
2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。
例2已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。
求证：AE=CE。
证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。
在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。
例3（同例2）.证明∵ FC∥AB（已知），∴∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。
二、已知两边对应相等1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。
例4已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。
求证：△ABD≌△ACE.证明∵∠1=∠2（已知），∠ADB=180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴∠ADB = ∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）.2．证第三边对应相等，再用SSS证全等。
例5已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN，BM=DN。
高中数学三角形性质总结与证明
高中数学三角形性质总结与证明三角形是数学中重要的几何形状，它的性质和特点常常在解决几何问题中发挥重要作用。
在高中数学课程中，学生需要掌握并理解三角形的各种性质，并能够运用这些性质解决问题。
本文将对高中数学中常见的三角形性质进行总结，并对其中一些性质进行证明。
1. 三角形的内角和为180度三角形的内角和是一个基本性质，也是三角形独有的性质。
对于任意一个三角形ABC，它的三个内角分别为∠A、∠B和∠C。
我们可以通过如下证明来证明三角形的内角和为180度。
首先，我们可以在三角形ABC的任意一边BC上取一点D，连接AD。
然后，我们可以利用平行线的性质，得到∠BAD = ∠C。
接下来，我们可以利用三角形内角和的性质，得到∠BAD + ∠B + ∠C = 180度。
由于∠BAD = ∠C，所以可以得到2∠C + ∠B = 180度。
再通过等式两边同时除以2，就可以得到∠C + ∠B = 90度。
同理，我们可以得到∠A + ∠C = 90度和∠A + ∠B = 90度。
将这三个等式相加，就可以得到∠A + ∠B + ∠C = 180度，即三角形的内角和为180度。
2. 三角形的外角和为360度三角形的外角是指一个三角形的一个内角的补角。
对于任意一个三角形ABC，它的三个外角分别为∠D、∠E和∠F。
我们可以通过如下证明来证明三角形的外角和为360度。
首先，我们可以在三角形ABC的一条边上取一点P，然后以P为顶点，分别作∠APB、∠BPC和∠CPA的外角。
根据外角的定义，我们可以得到∠D = ∠APB、∠E = ∠BPC和∠F = ∠CPA。
根据三角形内角和的性质，我们知道∠APB +∠BPC + ∠CPA = 180度。
将这个等式两边同时减去∠D + ∠E + ∠F，就可以得到∠APB + ∠BPC + ∠CPA - (∠D + ∠E + ∠F) = 0。
化简后可得∠APB + ∠BPC +∠CPA - ∠D - ∠E - ∠F = 0。
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三角形的证明专题总结
1、如图，分别过点C 、B 作△ABC 中线AD 及延长线的垂线，垂足分别为点E 、F 。
求证：BF ＝CE.
2、如图，已知.ABD BAC ∠=∠
（1）要使OC ＝OD ，可以添加条件： ；（写出2个符合题意的条件即可） （2）请选择（1）中你所添加的一个条件，证明OC ＝OD.
3、如图，在△ABC 中，AB=AC=6，BC ＝8，AE 平BAC ∠交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE,则△BDE 的周长是？
4、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，FE 垂直平分AD 于点E ，交BC 的延长线与点F,求证：∠B=∠CAF.
5、如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，A 、C 、B 三点在一条直线上，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：①DN AC CN CM DCB ACE ==∆≅∆；③；②.其中正确的结论有（ ）
A 、3个
B 、2个
C 、1个
D 、0个
6、如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与AC 边的垂直平分线MN 交于点M ，过点M 作MD ⊥AB ，ME ⊥BC ，垂足分别为D 、E ，求证：AD ＝CE.
7、如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，求证：BD ＝
CE.
8、（1）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形.
（2）在△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系.
9、如图，已知AC平分∠BAD，∠1＝∠2，求证：AB＝AD.
10、等腰三角形的两角之差为30°，求该三角形各内角的度数. 11、已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则.
D E F
A B C∆
≅
∆
判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.。