二次函数的存在性问题(面积的存在性问题)

二次函数的存在性问题(面积问题)[08湖北荆州]已知：如图，R t △AOB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的正半轴和y 轴的负半轴上，C 为OA 上一点且OC ＝OB ，抛物线y=(x －2)(x －m )－(p-2)(p-m)（m 、p 为常数且m+2≥2p>0）经过A 、C 两点．（1）用m 、p 分别表示OA 、OC 的长；（2）当m 、p 满足什么关系时，△AOB12220.(1)02)()(2)()0)(2)0,2220202,1(2),211(2)2211(2)221(2)12(2)122()2AOB AOB AO y x x m p p m x p x m p x p x m pm p m p p OA m p OC POC OB S OA OB S OA OB P m p P m Pm p m S =-----=---+=∴==+-+>>∴+->>∴=+-===∴==+-=-+++∴=-=+⨯-令得：（整理得：（当时，.B 最大 [08湖北荆州]如图，等腰直角三角形纸片ABC 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90º，直角边AC在x 轴上，B 点在第二象限，A （1，0），AB 交y 轴于E ，将纸片过E 点折叠使BE 与EA 所在直线重合，得到折痕EF （F 在x 轴上），再展开还原沿EF 剪开得到四边形BCFE ，然后把四边形BCFE 从E 点开始沿射线EA 平移，至B 点到达A 点停止.设平移时间为t （s ），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE 与△AEF 重叠的面积为S. （1）求折痕EF 的长； （2）是否存在某一时刻t 使平移中直角顶点C 经过抛物线243y x x =++的顶点？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）直接写出．．．．S 与t 的函数关系式及自变量t 25.145101ABCBE EA FE EARtAC BCCAB EF EA A OA OE AE EF ∴⊥=∴∠=︒∴=∴===∴=（）折叠后与所在直线重合又中（，），折痕∥BA 交Y 轴于P ，2（）存在.设CP 413POC C CP AC OA OC OP ==∴==则为等腰直角三角形，直角顶点在射线上移动，243(2)12123 1.214521cos 45(/2x x x y x y CP C BCFE EA BAC BCFE ++=+-∴--=-=--=-∴--∠=︒∴⨯︒=2抛物线:y=x 抛物线的顶点为（，）代入得点（，）在直线上即直角顶点在移动中经过此抛物线的顶点四边形沿射线移动速度为每秒一个单位长度，直角顶点向水平方向移动速度为长度单位秒）30212312()2C C t s ------=∴==直角顶点从（，）位置移动到（，）时，水平移动距离为（）（长度单位）直角顶点从开始到经过此抛物线顶点移动的时间22212(02)21(222(3)121(2232)41228(3242)4t t t t s t t t t t t ⎧-+≤≤⎪⎪≤≤⎪⎪=⎨-+-≤≤⎪⎪⎪-+≤≤⎪⎩[08湖北襄樊]如图,四边形OABC 是矩形,OA=4,OC=8,将矩形OABC 沿直线AC 折叠,使点B 落在D 处,AD 交OC 于E. (1) 求OE 的长;(2) 求过O 、D 、C 三点抛物线的解析式;(3) 若F 为过O 、D 、C 三点抛物线的顶点,一动点P 从A 点 出发,沿射线AB 以每秒一个单位长度的速度匀速运动, 当运动时间t(秒)为何值时,直线PF 把△FAC 分成面积 之比为1:3的两部分? 解：（1）∵四边形OABC 为矩形，∴∠CDE=∠AOE=90°，OA=BC=CD又∵∠CED=∠OEA ，∴△CDE ≌△AOE ∴OE=DE.222(),3 (3)OE OA AD DE OE ∴+=-=解得分（2） EC=8－3=5.如图4，过点D 作DG ⊥EC 于G ， ∴△DGE ∽△CDE∴129,.,55DE DG DE EG DG EG EC CD EC DE ==∴== ∴2412(,)55D ∵O 点为坐标原点，故设过O 、C 、D 三点抛物线的解析式为2y ax bx =+.∴ 解得∴255 (7324)y x x =-+（分）（3）因为抛物线的对称轴为x=4，∴54.2其顶点坐标为（，）设直线AC 的解析式为y=kx+b ，则 解得 ∴1 4..............................................92y x =-（分）设直线EP 交直线AC 于H 142m m -（，），过H 作HM ⊥OA 于M. ∴△AMH ∽△AOC.∴HM ：OC=AH ：AC.13311434FAH FHC S S HM OC AH AC ∆∆=∴∴==：：或：，AH ：HC=1：3或3：1：：：或：∴HM=2或6，即m=2或6121117.4.42719.4.42FH y x y FH y x y =-=-=-+=-18直线解析式为当时，x=1154直线的解析式为当时，x=71854117t ∴=∆当秒或秒时，直线FP 把FAC 分成面积比为1：3的两部分。

...............（12分） 26480242412().555a b a b +=+=3254.b =5a=，804k b b +==-，124k b ==-，[08年湖北省武汉]如图1，抛物线23y ax ax b =-+经过A （－1，0），C （3，2）两点，与y 轴交于点D ，与x 轴交于另一点B 。

⑴求此抛物线的解析式；⑵若直线1(0)y kx k =-≠将四边形ABCD 面积二等分，求k 的值；⑶如图2，过点E （1，－1）作EF ⊥x 轴于点F ，将△AEF 绕平面内某点旋转180°后得△MNQ （点M ，N ，Q 分别与点A ，E ，F 对应），使点M ，N 在抛物线上，求点M ，N 的坐标．⑴213222y x x =-++；⑵43k =； ⑶M （3，2），N （1，3）[08湖南湘西]已知抛物线k x y ++-=2)2(32与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，C 点在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OC OB <）是方程016102=+-x x 的两个根. （1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）在平面直角坐标系内画出抛物线的大致图象并标明顶点坐标； （3）连AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与A 、B 不重合），过E 作EF ∥AC 交BC 于F ，连CE ，设m AE =，△CEF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围.（4）在（3）的基础上说明S 是否存在最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由.（1）方程2801610212===+-x x x x ，的两根为∴OB =2，OC =8 ∴B （2，0） C （0，8）∵函数2)2(322-=++-=x k x y 的对称轴为∴A （6-，0）即A （6-，0）B （2，0） C （0，8）（2）B 点在k x y ++-=2)2(32上∴k ++-=2)22(32∴332=k函数解析式为332)2(322++-=x y顶点坐标为)3322，-，大致图象及顶点坐标如右（3）∵AE =m ，AB =8， ∴m BE -=8∵OC =8，OA =6，据勾股定理得10=AC∵AC ∥EF ， ∴BE AB EF AC = 即m EF -=8810，4)8(5m EF -= 过F 作FG ⊥AB 于G∵54sin sin =∠=∠FEB CAB而EFFGFEB =∠sin ，∴m FG -=8∵S =S △CEB －S △FEB =m m FG BE OC BE 42121212+-=⨯⨯-⨯⨯∴S 与m 的函数关系式为m m S 4212+-=，m 的取值为80<<m（4）∵m m S 4212+-=中021<-，S 有最大值8)4(212+--=m S ， 当m =4时，S 有最大值为8E 点坐标为：E （2-，0）∵B （2，0）， E （2--，0）∴CE =CB ∴△BCE 为等腰三角形[08江苏淮安]如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数1)2(2--=x a y 图像的顶点为P ，与x 轴交点为A 、B ，与y 轴交点为C ，连结BP 并延长交y 轴于点D 。

（1）写出点P 的坐标；（2）连结AP ，如果△APB 为等腰直角三角形，求a 的值及点C 、D 的坐标；（3）在（2）的条件下，连结BC 、AC 、AD ，点E （0，b ）在线段CD （端点C 、D 除外）上，将△BCD 绕点E 逆时针方向旋转900，得到一个新三角形。

设该三角形与△ACD 重叠部分的面积为S ，根据不同情况，分别用含b 的代数式表示S ，选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b 为何值时，重叠部分的面积最大？写出最大值。

[08辽宁沈阳]如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB =矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ， 抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的 平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在， 请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）点E 在y 轴上,理由如下： 连接AO ，如图所示，在Rt ABO △中，1AB =，BO =2AO ∴=1sin 2AOB ∴∠=， 30AOB ∴∠= 由题意可知：60AOE ∠=306090BOE AOB AOE ∴∠=∠+∠=+= 点B 在x 轴上， ∴点E 在y 轴上． （2）过点D 作DM x ⊥轴于点M1OD =，30DOM ∠=∴在Rt DOM △中，12DM =，OM =点D 在第一象限， ∴点D 的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭， 由（1）知2EO AO ==，点E 在y 轴的正半轴上∴点E 的坐标为(02)， ∴点A 的坐标为( 抛物线2y ax bx c =++经过点E ， 2c ∴=由题意，将(A ，12D ⎫⎪⎪⎝⎭，代入22y ax bx =++中得 321312422a a ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩ 解得899a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴所求抛物线表达式为：2829y x x =--+ （3）存在符合条件的点P ，点Q ．理由如下：矩形ABOC 的面积3AB BO == ∴以O B P Q ，，，为顶点的平行四边形面积为 由题意可知OB 为此平行四边形一边， 又3OB = OB ∴边上的高为2依题意设点P 的坐标为(2)m ，点P 在抛物线2829y x x =-+上 28229m ∴--+= 解得，10m =，28m =- 1(02)P ∴，，228P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭以O B P Q ，，，为顶点的四边形是平行四边形，PQ OB ∴∥，PQ OB == ∴当点1P 的坐标为(02)，时，点Q 的坐标分别为1(Q ，2Q ；当点2P 的坐标为28⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭时，点Q 的坐标分别为328Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，428Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．x[08内蒙包头]已知直线1dM和点)2，(-+=kxy经过点)2N，交y轴于点H，交x轴于点F.1(，（1）求d的值；（2）将直线MN绕点M顺时针旋转45°得到直线ME，点)Q，在直线ME上，①证明ME∥x轴；②3(e试求过M、N、Q三点的抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，连接NQ，作△NMQ的高NB，点A为MN上的一个动点，若BA将△NMQ的面积分为1∶2两部分，且射线BA交过M、N、Q三点的抛物线于点C，试求点C的坐标.[08四川成都]如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B 在第一象限内，且AB 5，sin ∠5（1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O 、点A 分别变换为点Q （ -2k ,0）、点R （5k ，0）（k>1的常数），设过Q 、R 两点，且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ，其顶点为M ，记△QNM 的面积为QMN S ∆，△QNR 的面积QNR S ∆，求QMN S ∆∶QNR S ∆的值.解：（1）如图，过点B 作BD ⊥OA 于点D. 在Rt △ABD 中， ∵∣AB ∣=35,sin ∠OAB=55, ∴∣BD ∣=∣AB ∣·sin ∠OAB=35×55=3. 又由勾股定理，得 22A D AB B D=-22(35)36=-=∴∣OD ∣=∣OA ∣-∣AD ∣=10-6=4.∵点B 在第一象限，∴点B 的坐标为（4，3）。