2018-2019学年江西省宜丰中学高一上学期期末考试数学试卷(理)试卷

2018-2019学年江西省宜丰中学高一上学期期末考试数学试卷（理）试卷注意事项：1.请将第Ⅰ卷的答案涂写在答题卡上；2.本卷共12小题,每题5分,共60分。

在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的；3.交卷时,只交答题纸。

一、选择题（每题5分,共60分）1.集合}22{<<-=x x A ,}31{<≤-=x x B ,那么=⋃B A ( )A. }32{<<-x xB. }21{<≤x xC. }12{≤<-x xD. }32{<<x x2.下列四组函数中,表示同一函数的是( )A. f (x )＝|x |,g (x )＝2xB. f (x )＝lg x 2,g (x )＝2lg xC. f (x )＝1－1－2x x ,g (x )＝x ＋1D. f (x )＝1＋x ·1－x ,g (x )＝1－2x3.设f(x)是定义在R 上的周期为3的函数,当x ∈[－2,1)时,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f (52)＝( )A. 0B. 1C. 12D. －14.函数f(x)＝ln x ＋x 3－9的零点所在的区间为( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4) 5.若tanα<0,且sinα>cosα,则α在 ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6.函数()4f x cosx sinx ＝3＋ 的最小值和最大值分别为( )A. 7,7－B. 3,4－C. 43－，D. 55－，7.已知432a =,254b =,1325c =,则( )A. b a c <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<8.为了得到函数y ＝2sin(x 3＋π6)(x ∈R )的图像,只需把函数y ＝2sin x (x ∈R )的图像上所有的点( )A. 向左平移π6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)B. 向右平移π6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)C. 向左平移π6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D. 向右平移π6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)9.已知,,A B C 是平面上不共线的三点, O 是三角形ABC 的重心,动点P 满足111()3222OP O B A O OC ++=,则点P 一定为三角形ABC 的( )A. AB 边中线的中点B. AB 边中线的三等分点（非重心）C. 重心D. AB 边的中点10.定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f =+2,且在[]2,-3-上是减函数.若B A 、是锐角三角形的两内角,则有( )A. (sin )(cos )f f αβ> B . (sin )(sin )f f αβ<C. (sin )(cos )f f αβ<D. (cos )(cos )f f αβ<11.已知函数f(x)＝A cos (ωx ＋φ－π2)(ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示,则当y ＝f(x ＋π6)取得最小值时,x 的取值集合为( )A. {|,}6x x k k Z ππ=-∈ B. {|,}3x x k k Z ππ=-∈C. {|2,}6x x k k Z ππ=-∈ D. {|2,}3x x k k Z ππ=-∈12.已知函数⎩⎨⎧≥-<+--=)0)(1()0(2)(2x x f x a x x x f ,且函数x x f y -=)(恰有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是( )A. ),0(+∞B. )0,1[-C. ),1[+∞-D. ),2[+∞-二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,满分20分.） 13.已知函数2()mf x x-=是定义在区间2[3,]m m m ---上的奇函数,则()f m =_______.14.设A 、B 是非空集合,定义A×B={x|x ∈A ∪B 且x ∉A∩B}.已知A={x|y=22x x -}, B={y|y=2x ,x>0},则A×B 等于 ____________.15.若扇形的面积是1 cm 2,它的周长是4 cm,则扇形圆心角的弧度数为_________. 16.定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件时,称f(x)为“友谊函数”.(1)对任意的x ∈[0,1],总有f(x)≥0； (2)f(1)＝1；(3)若x 1≥0,x 2≥0且x 1＋x 2≤1,有f(x 1＋x 2)≥f(x 1)＋f(x 2)成立. 则下列判断正确的是________. ①若f(x)为“友谊函数”,则f(0)＝0；②函数g(x)＝2x －1在区间[0,1]上是“友谊函数”； ③若f(x)为“友谊函数”,且0≤x 1<x 2≤1,则f(x 1)≤f(x 2).三、解答题（共6小题,17题10分,18—22题各12分,共70分；解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17.化简或求值：（10分） （1）已知tan 2α=.求2sin 2sin sin cos cos 2ααααα+-的值.（2）()281lg500lglg 6450lg 2lg552+-++18.已知ABC ∆的角AB C 、、所对的边分别是a b c 、、, 设向量(,),m a b =(sin ,cos ),n A B =(1,1).p = (1) 若//,m n 求角B 的大小; (2) 若4=⋅p m ,边长2=c ,角3C π=,求AB C ∆的面积.19. 已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-.（1）若02πα<<，且sin 2α=，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.20. 某企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以58万元的优惠价转让给企业乙，约定乙用经营该店的利润偿还转让费(不计息).已知经营该店的固定成本为6.8万元/月,该消费品的进价为16元/件，月销量q(万件)与售价p(元/件)的关系如图. （1）写出销量q 与售价p 的函数关系式; （2）当售价p 定为多少时，月利润最多？（3）企业乙最早可望在经营该专卖店几个月后还清转让费？21. 已知函数()f x 对任意实数,x y 都有()()()f xy f x f y =，且(1)1f -=, (27)9f =,当01x ≤<时,()[0,1]f x ∈. （1）判断()f x 的奇偶性;（2）判断()f x 在[0,)+∞上的单调性，并给出证明;（3）若0a ≥且(1)f a +≤a 的取值范围.22.已知函数1()()2xf x =, 函数12()log g x x =．(1)若2(2)g mx x m ++的定义域为R ，求实数m 的取值范围； (2)当[1,1]x ∈-时，求函数2[()]2()3y f x af x =-+的最小值()h a ；(3)是否存在非负实数,m n ,使得函数212log ()y f x 的定义域为[,]m n ，值域为[2,2]m n ，若存在，求出,m n 的值；若不存在，则说明理由．高一期末考试数学试卷（理）答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A A D CB D AC B A B C 11． B [解析] 由图像可知A ＝1，最小正周期T ＝4×(7π12－3)＝π，∴ω＝2ππ＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，∵函数f (x )的图像经过点(7π12，0)，∴0＝sin(2×7π12＋φ)．∵|φ|＜π2，∴φ＝－π6，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝sin(2x －π6)，∴y ＝f (x ＋π6)＝sin(2x ＋π6)．由题意，得2x ＋π6＝2k π－π2，k ∈Z ，∴x ＝k π－π3，k ∈Z ，∴y ＝f (x ＋π6)取得最小值时，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π－π3，k ∈Z .12.答案：C 【解析】222(1)1y x x a x a =--+=-+++，其顶点为(1,1)A a -+，点(0,1)C a +在函数图象上，而点(0,)B a 不在函数图象上.结合图形可知，当1a ≥-，函数x x f y -=)(恰二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13．解析：由已知必有23m m m -=+，即2230m m --=，∴3m =，或1m =-；当3m =时，函数即1()f x x -=，而[6,6]x ∈-，∴()f x 在0x =处无意义，故舍去；当1m =-时，函数即3()f x x =，此时[2,2]x ∈-，∴3()(1)(1)1f m f =-=-=-． 答案：1-14．[0,1)(2,)⋃+∞15． [解] 设扇形的半径为R ，弧长为l ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧12lR ＝1，2R ＋l ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，R ＝1.∴扇形圆心角的弧度数是lR＝2.16．答案：①②③ [解析] 对于①，因为f (x )为“友谊函数”，所以可取x 1＝x 2＝0，得f (0)≥f (0)＋f (0)，即f (0)≤0， 又f (0)≥0，所以f (0)＝0，故①正确．对于②，显然g (x )＝2x －1在[0，1]上满足：(1)g (x )≥0； (2)g (1)＝1；(3)若x 1≥0，x 2≥0，且x 1＋x 2≤1，则有g (x 1＋x 2)－[g (x 1)＋g (x 2)]＝1221x x +-－[121x -＋(221x -)]＝(121x -)( 221x-)≥0，即g (x 1＋x 2)≥g (x 1)＋g (x 2)．故g (x )＝2x －1满足条件(1)(2)(3)， 所以g (x )＝2x －1在区间[0，1]上是“友谊函数”，故②正确． 对于③，因为0≤x 1＜x 2≤1，所以0＜x 2－x 1＜1， 所以f (x 2)＝f (x 2－x 1＋x 1)≥f (x 2－x 1)＋f (x 1)≥f (x 1)， 即f (x 1)≤f (x 2)，故③正确．三、解答题（共6小题，17题10分，18—22题各12分，共70分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17、解: (1)49(2) 52 18．解：(1)cos sin a B b A =在AB C ∆中，由正弦定理得：B sin A sin a b =,B sin B cos a a =∴ 即1tanB = 4B π=∴.(2)4=⋅p m 4=+∴b a , 又3C 2π==，c由余弦定理C cos 2-222ab b a c +=得ab 3-442=, 解得4=ab , 3232C sin 21S ABC =⨯==∴∆ab .19．试题解析： (1)因为0,2πα<<sin 2α=所以cos 2α=.所以11()22f α=+-= (2)因为2111cos2111()sin cos cos sin 2sin 2cos2sin(2)22222224x f x x x x x x x x π+=+-=+-=+=+,所以22T ππ==.由222,,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈.所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈.20. 解：(1)q=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤+-.2520,651;2016,741p p p p …………………………………4分 (2)设月利润为W(万元)，则W=(p －16)q －6.8=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<--+-≤≤--+-.2520,8.6)16)(651(;2016,8.6)16)(741(p p p p p p 当16≤p ≤20,W=－41 (p －22)2+2.2, 当p=20时，W max =1.2;当20<p ≤25,W=－51 (p －23)2+3, 当p=23时，W max =3．∴当售价定为23元/件时，月利润最多为3万元. …………………………………10分 (3) 设最早n 个月后还清转让费，则3n ≥58,n ≥20,∴企业乙最早可望20个月后还清转让费. …………………………12分21.解：111y f x f x f （）令＝－，则（－）=（）（－）， 11f f x f x ∴（－）＝，（－）=（），f x ∴（）为偶函数. 112221≤∴≤x （）设0x <x ，0<，x 1112222f x f x f f x =x x（）（）=（）（）x x ， 01[0,1)x f x ≤<∈时，（），121f∴<x （）x ，12f x f x ∴（）＜（），0f x ∞故（）在[，+）上是增函数.（3）∵279f （）＝，又3939333f f f f f f ⨯⨯⨯⨯（）=（）（）=（）（）（），39[3f ∴=（）]，∴3f （）113f a f a f +≤∴+≤（）（）（）,13a ∴+≤，又0a ≥，故02a ≤≤.22 . 解: (1)12()log g x x =,∴2212(2)log (2)y g mx x m mx x m =++=++，令22u mx x m =++ ,则12log y u =当120,2,log 2m u x y x ===的定义域为(0,)+∞，不成立；当0m ≠时，12log y u =的定义域为R20,1,440m m m >⎧∴∴>⎨∆=-<⎩综上所述1m >(2)2211[()]2()3()2()3,[1,1]22x xy f x af x a x =-+=-+∈- 2111()[,2],23,[,2]222x t t y t at t =∈=-+∈令，则 对称轴为min1113,()224t a a t h a y a =<===-当时,时，，2min 12()32a h a y a ≤≤==-当时,t=a 时 min 2()7-4a t h a y ===当a>2时，时， 2131,421()3,227-4a,a a h a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪⎪⎩综上所述a>2.22211221(3)log ()log (),2x y f x x ===假设存在非负实数m,n22202,2m mm n n n m n⎧==⎪⎧=⎨⎨=⎩⎪<⎩由题意知综上所述解得2120,2,(3)log ()m n y f x ===所以存在使得函数的定义域为[0,2],值域为[0,4].。