2016年陕西省咸阳市西北农林科大附中高二上学期数学期中试卷和解析
陕西高二高中数学期中考试带答案解析
陕西高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是（）.和..和.2.已知点在椭圆上，则（）.点不在椭圆上. 点不在椭圆上.点在椭圆上.无法判断点、、是否在椭圆上3.平行六面体中，，则（）.1 .. .4.已知向量则与的夹角为（）．0°．45°．90°．180°5.已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的个数是（）①PA⊥AD②平面ABC⊥平面PBC③直线BC∥平面PAE④直线PD与平面ABC所成角为．1个.2个.3个.4个6.如图是抛物线形拱桥，当水面在图中位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水下降1米后，水面宽为() A．米B．米C．米D．米7.给出下列命题：①直线的方向向量为，直线的方向向量为则②直线的方向向量为，平面的法向量为，则.③平面的法向量分别为，则.④平面经过三点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，向量是平面的法向量，则u＋t＝1.其中真命题的序号是（）A．②③B．①④C．③④D．①②8.若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则的值为（）A．B．C．D．9.如图，正方体的棱长为1，O是底面的中心，则点O到平面的距离为()....10.若双曲线()的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个, 则双曲线离心率的取值范围是 ( ).. . .11.对于抛物线C：，我们称满足的点在抛物线的内部.若点在抛物线内部，则直线与曲线C （）. 恰有一个公共点. 恰有2个公共点. 可能有一个公共点，也可能有两个公共点. 没有公共点12.已知、是椭圆()的两个焦点, 是椭圆上任意一点,从任一焦点引的外角平分线的垂线,垂足为, 则点的轨迹 ( ). 圆. 椭圆. 双曲线. 抛物线二、填空题1.为过抛物线焦点的一条弦，设，以下结论正确的是_______①且；②的最小值为；③以为直径的圆与轴相切；2.已知椭圆（>0,>0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若BF⊥BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为3.已知，，，若共同作用于一物体上，使物体从点M（1，-2，1）移动到N（3，1，2），则合力所作的功是4.以下关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为非零常数，若||－|| = k，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若= (+), 则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x2－5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线 =1与椭圆=1有相同的焦点。
陕西高二高中数学期中考试带答案解析
陕西高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.计算的值为（）A．B．C．D．2.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．25种C．20种D．32种3.可导函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.如图，由函数的图象，直线及x轴所围成的阴影部分面积等于（）A．B．C．D．5.曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A．B．C．和D．和6.曲线y＝x2－2x在点处的切线的倾斜角为()．A．－135°B．45°C．－45°D．135°7.若有4名学生通过了插班考试，现插入A、B、C三个班中，并且每个班至少插入1人的不同插法有（）A.24种B.28种C.36种D.32种8.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t称后的位移为，那么速度为零的时刻是（）A．0秒B．1秒末C．2秒末D．1秒末和2秒末9.已知函数f(x)在定义域R内是增函数，且f(x)＜0，则g（x）=x2 f(x)的单调情况一定是（）A．在（-∞，0）上递增B．在（-∞，0）上递减C．在R上递减D．在R上递增10.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()．A．－1＜a＜2B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2D．a＜－3或a＞6二、填空题1.复数与复数相等，则实数的值为________2.曲线上一点处的切线方程是3.从4台甲型笔记本电脑和5台乙型笔记本电脑中任意选择3台，其中至少要有甲型与乙型笔记本电脑各1台，则不同取法共有 ________种4.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点有_______个5.设函数y=f（x）的定义域为，若对给定的正数K，定义则当函数时，三、解答题1.已知向量，，函数（1）求函数的解析式及其单调递增区间；（2）在中，角为钝角，若，，．求的面积。
陕西省西北大学附中2016-2017学年高二上学期期中考试数学理试卷 含解析
2016—2017学年陕西省西北大学附中高二（上）期中数学试卷(理科）一．选择题（每小题3分，共12个小题)．1．设命题p：∃x0＞0，cosx0+sinx0＞1，则￢p为（）A．∀x＞0，cosx+sinx＞1 B．∃x0≤0，cosx0+sinx0≤1C．∀x＞0，cosx+sinx≤1 D．∃x0＞0，cosx0+sinx0≤12．已知空间向量a=（0,1,1），b=（1,0，1），则向量a与b的夹角为（）A．60°B．120°C．30°D．150°3．点P（x，2,1）到Q（1，1，2），R(2，1，1）的距离相等，则x的值为（）A．B．1 C．D．24．在y=2x2上有一点P,它到A(1，3）的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是（)A．（﹣2，1）B．（1，2）C．（2，1）D．(﹣1，2）5．下列命题正确的是（）A．已知实数a,b，则“a＞b”是“a2＞b2"的必要不充分条件B．“存在x0∈R，使得”的否定是“对任意x∈R，均有x2﹣1＞0”C．函数的零点在区间内D．设m,n是两条直线，α，β是空间中两个平面，若m⊂α,n⊂β，m⊥n，则α⊥β6．点M（3,﹣2，1）关于面yoz对称的点的坐标是（）A．(﹣3，﹣2,1） B．（﹣3，2，﹣1）C．（﹣3,2,1）D．（﹣3，﹣2，﹣1）7．若=（2x，1,3），=（1，﹣2y，9)，如果与为共线向量，则（）A．x=1，y=1 B．x=，y=﹣ C．x=，y=﹣ D．x=﹣，y=8．在空间坐标中,点B是A(1,2，3）在yOz坐标平面内的射影,O为坐标原点，则｜OB|等于(）A． B． C．D．9．已知向量,，且与互相垂直，则k=（）A．B．C．D．10．两个正数a，b的等差中项是，一个等比中项是,且a＞b,则抛物线y2=的焦点坐标是（）A．（）B．C．D．11．已知条件p:k=;条件q:直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则￢p是￢q的（）A．充分必要条件 B．必要不充分条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件12．如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，若，则x+y+z的值为（)A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3二．填空题（每小题4分，共4个小题）．13．（4分）命题“x∈R，若x2＞0，则x＞0"的逆命题、否命题和逆否命题中,正确命题的个数是．14．(4分)已知=(cosα，1，sinα），=(sinα，1,cosα），则向量+与﹣的夹角是．15．（4分）已知圆C：（x﹣1）2+(y﹣1）2=2经过椭圆Γ:（a＞b＞0）的右焦点F 和上顶点B,则椭圆Γ的离心率为．16．(4分）如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E为PB的中点，cos＜，＞=，若以DA，DC,DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为．三．解答题．（本大题共5小题．请将过程详写在答题卡上．）17．（9分）求满足下列条件的椭圆方程：（1）长轴在x轴上,长轴长等于12，离心率等于；（2）椭圆经过点（﹣6,0）和(0，8)；（3）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4．18．（9分）已知p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R；q：a≥1．如果命题“p ∨q为真,p∧q为假”，求实数a的取值范围．19．（9分）求证：以A（﹣4，﹣1，﹣9），B（﹣10,1，﹣6），C（﹣2，﹣4,﹣3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．20．（10分)如图所示，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且BE⊥B1C．（1）求CE的长；(2）求证：A1C⊥平面BED;（3）求A1B与平面BDE夹角的正弦值．21．(11分）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D(2,0）．（1)求该椭圆的标准方程;(2)设点,若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．[附加题]（共2小题，每小题4分，满分8分）22．（4分)设命题p：，命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0,若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．23．（4分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1,F2，椭圆上一点M(），=0，满足．则椭圆的方程是．［附加题］24．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD及其三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（Ⅱ)不论点E在何位置,是否都有BD⊥AE？试证明你的结论；（Ⅲ）若点E为PC的中点，求二面角D﹣AE﹣B的大小．2016-2017学年陕西省西北大学附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（每小题3分,共12个小题）．1．设命题p:∃x0＞0,cosx0+sinx0＞1，则￢p为（）A．∀x＞0,cosx+sinx＞1 B．∃x0≤0,cosx0+sinx0≤1C．∀x＞0，cosx+sinx≤1 D．∃x0＞0,cosx0+sinx0≤1【考点】命题的否定．【专题】计算题；简易逻辑．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0＞0，cosx0+sinx0＞1，则￢p为:∀x＞0,cosx+sinx≤1．故选:C．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．2．已知空间向量a=(0,1，1），b=（1,0,1），则向量a与b的夹角为()A．60°B．120°C．30°D．150°【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【专题】对应思想;定义法；空间向量及应用．【分析】根据两向量的夹角余弦公式,即可求出两向量的夹角．【解答】解：∵a=（0，1，1）,b=（1，0，1),∴•=1，∵|｜=,｜｜=，∴cos＜,＞===，向量a与b的夹角为60°．故选：A．【点评】本题考查了求空间两向量的夹角大小的应用问题，是基础题目．3．点P（x，2，1）到Q（1，1,2），R（2，1，1)的距离相等，则x的值为（）A．B．1 C．D．2【考点】空间两点间的距离公式．【专题】计算题．【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．【解答】解:因为点P（x,2，1）到Q(1，1，2），R(2，1,1）的距离相等，所以：（x﹣1)2+(2﹣1)2+（1﹣2）2=（x﹣2)2+（2﹣1）2+（1﹣1）2．解得x=1．故选B．【点评】本题考查空间两点间的距离公式的应用，考查计算能力．4．在y=2x2上有一点P，它到A（1，3）的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（1,2）C．（2，1）D．（﹣1，2)【考点】抛物线的应用．【专题】计算题．【分析】把抛物线y=2x2中,准线方程为L：y=﹣=﹣．过点A作准线的垂线,垂足为B,设线段AB与抛物线及x轴分别交于点M、点N，AN=3且点M的横坐标与点A的横坐标相同均为1．点M的坐标为（1，2)．在抛物线y=2x2上任取一点P，过P作准线的垂线，垂足为Q，过P作AB的垂线,垂足为H，|PA｜+｜PF｜＞｜AB|．抛物线上任意一点P到A的距离与它到焦点的距离之和最小为｜AB|．此时点P与点M重合，其坐标为P（1，2）．【解答】解：把抛物线的解析式y=2x2变为x2=y，与标准形式x2=2py 对照，知：2p=．∴p=．∴抛物线x2=y的准线方程为L：y=﹣=﹣．由抛物线定义知:抛物线上任意一点到准线距离等于到焦点距离．∴点P到焦点的距离等于点P到准线的距离．分析点A与已知抛物线y=2x2的位置关系：在y=2x2中，当x=1时，y=2，而点A（1,3）在抛物线内．过点A作准线的垂线,垂足为B，设线段AB与抛物线及x轴分别交于点M、点N，∵AB⊥准线y=﹣，而点A的纵坐标为3，∴AN=3且点M的横坐标与点A的横坐标相同均为1．把x=1代入y=2x2得y=2，∴点M的纵坐标为2．∴点M的坐标为(1,2）．下面分析“距离之和最小”问题:在抛物线y=2x2上任取一点P,过P作准线的垂线，垂足为Q，过P作AB的垂线，垂足为H，在Rt△PAH中，斜边大于直角边，则|PA|＞｜AH｜．在矩形PQBH中，｜PQ|=|HB｜,∴｜PA|+｜PF|（这里设抛物线的焦点为F）=｜PA|+｜PQ｜＞|AH｜+｜HB|=|AB｜．即:抛物线上任意一点P到A的距离与它到焦点的距离之和最小为|AB|．此时点P与点M重合，其坐标为P(1,2）．故选：B．【点评】本题主要考查了抛物线的应用．作为选择题，可以用数形结合的方法，对明显不符合的选项进行排除，可不用按部就班的计算出每一步骤，节省时间．5．下列命题正确的是（）A．已知实数a，b，则“a＞b"是“a2＞b2"的必要不充分条件B．“存在x0∈R，使得”的否定是“对任意x∈R,均有x2﹣1＞0”C．函数的零点在区间内D．设m,n是两条直线,α，β是空间中两个平面，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；对应思想；综合法．【分析】由充分必要条件的判定方法判断A;写出特称命题的否定判断B；由函数零点判定定理判断C；利用空间中的线面关系判断D．【解答】解：已知实数a，b,由a＞b，不一定有a2＞b2，反之由a2＞b2，不一定有a＞b，则“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件,故A错误；“存在x0∈R，使得”的否定是“对任意x∈R，均有x2﹣1≥0"，故B错误；∵函数与y=均为实数集上的增函数，∴函数为实数集上的真数，又，，∴函数的零点在区间内，故C正确；设m，n是两条直线，α，β是空间中两个平面，若m⊂α,n⊂β，m⊥n，则α与β相交或α∥β，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判定方法，考查了函数零点判定定理，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．6．（2014•海淀区校级模拟）点M（3，﹣2,1）关于面yoz对称的点的坐标是（）A．（﹣3，﹣2,1）B．（﹣3，2，﹣1) C．（﹣3，2，1） D．（﹣3，﹣2，﹣1)【考点】空间中的点的坐标．【专题】计算题．【分析】根据空间直角坐标系，点点对称性，直接求解对称点的坐标即可．【解答】解：根据点的对称性，点M（3，﹣2，1)关于平面yOz的对称点是：（﹣3，﹣2，1）；故选A．【点评】本题是基础题，考查空间直角坐标系,对称点的坐标的求法，考查空间想象能力,计算能力．7．（2012秋•顺德区期末)若=（2x，1，3）,=（1，﹣2y，9），如果与为共线向量,则（）A．x=1，y=1 B．x=，y=﹣ C．x=,y=﹣D．x=﹣，y=【考点】共线向量与共面向量．【专题】计算题．【分析】利用共线向量的条件,推出比例关系求出x，y的值．【解答】解：∵=（2x，1，3）与=（1，﹣2y，9）共线,故有==．∴x=,y=﹣．故选C．【点评】本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．8．（2015秋•邵阳校级期末）在空间坐标中，点B是A（1，2,3）在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则｜OB|等于（)A． B． C．D．【考点】空间直角坐标系;空间两点间的距离公式．【专题】计算题．【分析】根据点B是A（1,2，3）在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，得到点B的坐标，点B是A在yoz 上的射影，所以A与B的纵标和竖标相同，横标为0，得到B的坐标，根据两点之间的距离公式得到结果．【解答】解：∵点B是A（1，2，3)在yOz坐标平面内的射影∴B点的坐标是（0，2,3）∴｜OB｜等于，故选B．【点评】本题考查空间直角坐标系,考查空间中两点间的距离公式，是一个基础题，解题的关键是，一个点在一个坐标平面上的射影的坐标同这个点的坐标的关系．9．（2015秋•福建期末）已知向量，，且与互相垂直，则k=（）A．B．C．D．【考点】空间向量的数量积运算．【专题】转化思想；定义法；空间向量及应用．【分析】根据与互相垂直，（k+）•=0，列出方程求出k的值．【解答】解：∵向量，，∴k+=（k﹣1，k，1）；又与互相垂直,∴（k+）•=0，即（k﹣1）×1+k=0，解得k=．故选:B．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与数量积的应用问题，是基础题目．10．（2013•黄州区校级模拟）两个正数a，b的等差中项是,一个等比中项是，且a＞b，则抛物线y2=的焦点坐标是（）A．（）B．C．D．【考点】数列与解析几何的综合．【专题】计算题．【分析】根据题意,由等差中项、等比中项的性质，可得a+b=9，ab=20，解可得a、b的值,代入抛物线方程，抛物线的焦点坐标公式,计算可得答案．【解答】解：根据题意,可得a+b=9,ab=20,又由a＞b,解可得，a=5，b=4，代入抛物线方程得:y2=，则其焦点坐标是为，故选C．【点评】本题考查数列与解析几何的综合、等差数列等比数列、抛物线的焦点坐标的计算，注意结合题意,准确求得a、b的值．11．（2016•延安校级二模）已知条件p：k=;条件q:直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则￢p是￢q的（）A．充分必要条件 B．必要不充分条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；转化思想；直线与圆；简易逻辑．【分析】条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，可得：=1，解得k．即可判断出p是q的充分不必要条件．进而得出答案．【解答】解：条件q:直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,可得:=1,解得k=．∴p是q的充分不必要条件．则￢p是￢q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（2012秋•湖州期末)如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，若,则x+y+z的值为（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【考点】向量的加法及其几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得=，再由，求出x、y、z的值，从而求得x+y+z的值．【解答】解：由题意可得==,又∵，故有x=1，y=﹣1，z=1．故x+y+z=1，故选B．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．二．填空题（每小题4分，共4个小题）．13．（4分）（2016秋•碑林区校级期中)命题“x∈R，若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是2．【考点】命题的真假判断与应用;四种命题．【专题】探究型；定义法;简易逻辑．【分析】分别判断原命题和逆命题的真假,进而根据互为逆否的两个命题真假性相同，得到答案．【解答】解：命题“x∈R，若x2＞0，则x＞0”为假命题,故其逆否命题也为假命题；其逆命题为：“x∈R，若x＞0，则x2＞0"为真命题，故其否命题也为真命题，故答案为：2．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，不等式的基本性质等知识点,难度中档．14．（4分）（2015秋•高安市校级期末）已知=（cosα,1，sinα）,=（sinα,1，cosα)，则向量+与﹣的夹角是90°．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】空间向量及应用．【分析】由题意可得向量的模长相等，进而可得∴(+)•（﹣）==0,可得结论．【解答】解：∵=（cosα，1，sinα）,=（sinα,1,cosα），∴｜｜=｜|=,∴(+）•（﹣）==0∴+与﹣垂直,∴向量+与﹣的夹角为:90°故答案为：90°【点评】本题考查向量的数量积与夹角，涉及向量的模长公式,属基础题．15．(4分)（2015•咸阳一模）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2经过椭圆Γ：（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B,则椭圆Γ的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由椭圆方程求出F、B的坐标，把坐标代入圆的方程求出b、c，由a2=b2+c2求出a，再求出椭圆C的离心率．【解答】解：由题意得，椭圆的右焦点F为（c，0)、上顶点B为（0,b)，因为圆（x﹣1）2+（y﹣1)2=2经过右焦点F和上顶点B，所以,解得b=c=2,则a2=b2+c2=8，解得a=，所以椭圆C的离心率e===，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，以及a、b、c的关系，属于基础题．16．(4分)（2015秋•辽宁校级期末）如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2，E为PB的中点,cos＜，＞=,若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为（1，1，1）．【考点】空间直角坐标系．【专题】空间角．【分析】设PD=a（a＞0），确定，的坐标,利用数量积公式，即可确定E的坐标．【解答】解：设PD=a（a＞0），则A（2，0，0)，B（2，2，0），P（0，0，a），E（1，1，)，∴=（0，0，a），=（﹣1，1，），∵cos＜，＞=，∴=a•,∴a=2．∴E的坐标为（1,1，1）．故答案为：（1，1，1）【点评】本题考查空间直角坐标系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．三．解答题．（本大题共5小题．请将过程详写在答题卡上．）17．（9分)（2012秋•西安期末)求满足下列条件的椭圆方程：（1)长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；（2）椭圆经过点(﹣6，0）和（0，8);（3）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0）,运用离心率公式和a，b,c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程;（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1,（m，n＞0），由题意代入点（﹣6,0)和（0，8），解方程即可得到椭圆方程；（3）讨论椭圆的焦点的位置,由题意可得a﹣c=4，a+c=10，解方程可得a，c，再由a，b，c 的关系解得b,即可得到椭圆方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得,2a=12,e=,即有a=6，=,即有c=4，b===2，即有椭圆方程为+=1；（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1,（m，n＞0），由题意代入点（﹣6，0）和（0，8)，可得36m+0=1，且0+64n=1，解得m=，n=，即有椭圆方程为+=1；(3）当焦点在x轴上时,可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0)，由题意可得a﹣c=4，a+c=10，解得a=7,c=3，b==2,即有椭圆方程为+=1;同理，当焦点在y轴上时，可得椭圆方程为+=1．即有椭圆方程为+=1或+=1．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的方程的正确设法，以及椭圆性质的运用,属于基础题．18．（9分）（2016春•孝感期中)已知p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R；q：a≥1．如果命题“p∨q为真，p∧q为假"，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由p真，可知，解得a，由p∨q为真，p∧q为假，可得：p和q中一个为真、一个为假．即可解出．【解答】解：由p真，可知，解得a＞2，由p∨q为真，p∧q为假,可得：p和q中一个为真、一个为假．若p真q假时a不存在,若p假q真时1≤a≤2．综上,实数a的取值范围是1≤a≤2．【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（9分）（2016秋•碑林区校级期中）求证：以A（﹣4，﹣1，﹣9），B（﹣10，1,﹣6），C(﹣2，﹣4，﹣3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．【考点】向量的模．【专题】计算题；证明题．【分析】先利用空间两点的距离公式分别求出AB,AC，BC的长，然后利用勾股定理进行判定是否为直角三角形，以及长度是否有相等,从而判定是否是等腰直角三角形．【解答】证明：，，，∵d2（A，B）+d2（A，C）=d2（B，C）且d（A，B）=d(A，C）．∴△ABC为等腰直角三角形．【点评】本题主要考查了两点的距离公式和勾股定理的应用，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题．20．(10分）（2016春•连云港期中)如图所示，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且BE⊥B1C．（1)求CE的长；（2）求证：A1C⊥平面BED；(3）求A1B与平面BDE夹角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离;空间角．【分析】（1）建立空间直角坐标系,求出、，利用•=0，即可求得结论；（2）证明⊥且⊥，可得A1C⊥DB，A1C⊥BE，从而可得A1C⊥平面BED；(3）由（2）知=（﹣2，2，﹣4)是平面BDE的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求A1B与平面BDE夹角的正弦值．【解答】（1）解：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．∴D（0，0，0)，A（2，0,0），B(2，2，0),C（0，2,0）,A1(2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4),D1(0，0，4）．设E点坐标为（0，2，t），则=（﹣2，0,t），=（﹣2，0，﹣4)．∵BE⊥B1C，∴•=4+0﹣4t=0．∴t=1，故CE=1．（2）证明：由(1）得，E(0，2,1），=（﹣2，0，1），又=（﹣2，2，﹣4），=（2，2，0）∴•=4+0﹣4=0，且•=﹣4+4+0=0．∴⊥且⊥，即A1C⊥DB，A1C⊥BE，又∵DB∩BE=B，∴A1C⊥平面BDE，即A1C⊥平面BED．（3）解:由（2)知=（﹣2，2，﹣4）是平面BDE的一个法向量．又=（0,2，﹣4），∴cos＜，＞==．∴A1B与平面BDE夹角的正弦值为．【点评】本题考查线线垂直，线面垂直，考查线面角,考查空间向量的运用,考查学生的计算能力，属于中档题．21．（11分）（2015秋•莆田校级期末）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D（2，0）．(1)求该椭圆的标准方程;（2）设点，若P是椭圆上的动点,求线段PA的中点M的轨迹方程．【考点】轨迹方程；椭圆的标准方程．【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设椭圆方程为,根据题意可得a=2且c=，从而b==1，得到椭圆的标准方程；(2)设点P（x0，y0）,线段PA的中点为M(x,y)，根据中点坐标公式将x0、y0表示成关于x、y的式子，将P（x0,y0）关于x、y的坐标形式代入已知椭圆的方程，化简整理即可得到线段PA的中点M的轨迹方程．【解答】解:（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程是∵椭圆经过点D(2，0)，左焦点为，∴a=2,，可得b==1因此,椭圆的标准方程为．(2）设点P的坐标是(x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），由根据中点坐标公式,可得,整理得，∵点P（x0，y0）在椭圆上，∴可得，化简整理得，由此可得线段PA中点M的轨迹方程是．【点评】本题给出椭圆满足的条件，求椭圆方程并求与之有关的一个轨迹方程，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和轨迹方程的求法等知识点，属于中档题．［附加题］（共2小题，每小题4分，满分8分）22．（4分)（2015•邢台模拟）设命题p：，命题q：x2﹣（2a+1)x+a（a+1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是［0，］．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】探究型．【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用p是q的充分不必要条件,确定实数a的取值范围．【解答】解：由，得（2x﹣1）(x﹣1）＜0，解得，所以p：．由x2﹣(2a+1)x+a（a+1）≤0得［x﹣（a+1）］（x﹣a）≤0，即a≤x≤a+1，即q:a≤x≤a+1, 要使p是q的充分不必要条件,则，解得所以a的取值范围是[0，],故答案为：［0，］．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用分数不等式和一元二次不等式的解法求出对应的解是解决本题的关键．23．（4分)（2016秋•碑林区校级期中)已知椭圆=1（a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2，椭圆上一点M（），=0,满足．则椭圆的方程是+y2=1．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用数量积运算性质、点与椭圆的位置关系转化为点的坐标满足椭圆方程即可得出．【解答】解:设F1（﹣c，0），F2(c，0)，∴=，=．∵=0,∴﹣c2+=0,∴c2=3．∴a2﹣b2=3，①又点M在椭圆上，∴ +=1 ②由①代入②得： +=1，整理为：a4﹣6a2+8=0，解得a2=2,或4，∵a2＞3，∴a2=4，b2=1．∴椭圆方程为+y2=1．故答案为： +y2=1．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算性质、点与椭圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力,属于中档题．［附加题]24．(12分）(2016秋•碑林区校级期中）已知四棱锥P﹣ABCD及其三视图如下图所示,E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积；(Ⅱ）不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？试证明你的结论；（Ⅲ)若点E为PC的中点，求二面角D﹣AE﹣B的大小．【考点】二面角的平面角及求法;棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）由三视图知PC⊥面ABCD，ABCD为正方形，且PC=2，AB=BC=1，由此能求出四棱锥P﹣ABCD的体积．（II)不论点E在何位置，都有BD⊥AE．由已知得PC⊥BD，从而BD⊥面ACE，由此能证明BD⊥AE．(III)连接AC，交BD于O．由对称性，二面角D﹣AE﹣B是二面角O﹣AE﹣B的2倍,设θ为二面角O﹣AE﹣B的平面角．注意到B在面ACE上的射影为O，由，能求出二面角D﹣AE﹣B的大小．【解答】解：（I）由三视图知PC⊥面ABCD，ABCD为正方形，且PC=2，AB=BC=1,∴．(4分）（II)不论点E在何位置，都有BD⊥AE．证明如下：∵PC⊥面ABCD，BD⊂面ABCD,∴PC⊥BD而BD⊥AC，AC∩AE=A,∴BD⊥面ACE，而AE⊂面ACE，∴BD⊥AE．(7分)（III）连接AC，交BD于O．由对称性,二面角D﹣AE﹣B是二面角O﹣AE﹣B的2倍，设θ为二面角O﹣AE﹣B的平面角．注意到B在面ACE上的射影为O，，，∴，∴θ=60°∴二面角D﹣AE﹣B是120°．（12分）【点评】本试题主要考查了立体几何中的线面的垂直,以及二面角的求解的综合运用．。
陕西省咸阳市高二上学期期中数学试卷(理科)
陕西省咸阳市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·南昌期中) 函数f（x）=2﹣log2x的零点是（）A . （1，0）B . 1C . （4，0）D . 42. （2分） (2016高二上·红桥期中) 设O是空间一点，a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）A . 当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥αB . 当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥βC . 当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD . 当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c3. （2分） (2016高二上·长春期中) 在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件4. （2分） (2016高二上·长春期中) 椭圆 + =1的长轴垂直x于轴，则m的取值范围是（）A . m＞0B . 0＜m＜1C . m＞1D . m＞0且m≠15. （2分） (2016高二上·长春期中) 若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A . 2B . 3C . 6D . 86. （2分） (2016高二上·长春期中) 以椭圆 =1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是（）A .B .C . 或D . 以上都不对7. （2分） (2016高二上·长春期中) 命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件；命题q：函数y= 的定义域是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），则（）A . “p或q”为假B . “p且q”为真C . p真q假D . p假q真8. （2分） (2016高二下·孝感期末) 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2+y2﹣2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（）A . y=3x2或y=﹣3x2B . y=3x2C . y2=﹣9x或y=3x2D . y=﹣3x2或y2=9x9. （2分） (2016高二上·长春期中) 若A（x，5﹣x，2x﹣1），B（1，x+2，2﹣x），当| |取最小值时，x的值等于（）A . 19B .C .D .10. （2分） (2016高二上·长春期中) 若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（）A . 2B . ﹣2C .D .11. （2分）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A .B . 3C .D .12. （2分） (2016高二上·长春期中) 双曲线mx2﹣y2=1（m＞0）的右顶点为A，若该双曲线右支上存在两点B，C使得△ABC为等腰直角三角形，则实数m的值可能为（）A .B . 1C . 2D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2014·上海理) 若抛物线y2=2px的焦点与椭圆 + =1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________．14. （1分）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a 到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=________15. （1分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交椭圆于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为________．16. （1分）(2018·衡水模拟) 已知抛物线与圆有公共点，若抛物线在点处的切线与圆也相切，则 ________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分）已知如图所示的非零向量，，请分别作出满足下列条件的向量．（1）=2+；（2）=﹣2．18. （5分）判函数f（x）=lg（sinx+ ）的奇偶性．19. （15分）(2020·泰州模拟) 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为A，过点A的直线与椭圆M交于x轴上方一点B，以为边作矩形，其中直线过原点O．当点B为椭圆M的上顶点时，的面积为b，且．（1）求椭圆M的标准方程；（2）求矩形面积S的最大值；（3）矩形能否为正方形？请说明理由．20. （10分） (2019高二下·湖州期末) 已知，为抛物线上的相异两点，且.（1）若直线过，求的值；（2）若直线的垂直平分线交x轴与点P，求面积的最大值.21. （10分）(2018·孝义模拟) 如图，三棱柱中，，平面 .（1）证明：；（2）若，，求二面角的余弦值.22. （10分） (2016高二上·长春期中) 已知点A（0，﹣2），椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
陕西省咸阳市西北农林科大附中2015-2016学年高二上学期第一次月考数学试卷Word版含解析
2015-2016学年陕西省咸阳市西北农林科大附中高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．数列，的一个通项公式是（）A．B．C．D．2．在△ABC中，A=30°，B=60°，C=90°，那么三边之比a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：13．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系为（）A．α＞β B．α=βC．α+β=90°D．α+β=180°4．在△ABC中，a2+b2﹣c2=ab，则cosC=（）A．B．C． D．5．在等差数列{a n}中，已知a6+a9+a13+a16=20，则S21等于（）A．100 B．105 C．200 D．06．在等比数列{a n}中，a3+a4=a1+a2，则公比为（）A．1 B．1或﹣1 C．或D．2或﹣27．在△ABC中，若a=3，cosA=，则△ABC的外接圆半径为（）A．2 B．4C．D．8．在△ABC中，已知sinB=2cosCsinA，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形9．在△ABC中，若∠B=30°，AB=2，AC=2，则△ABC的面积为（）A．B．2或C．2或D．210．在数列{x n}中，x1=8，x4=2，且满足x n+2+x n=2x n+1，n∈N+．则x10=（）A．﹣10 B．10 C．﹣20 D．20二、填空题（每小题5分，共20分）11．设一个等差数列，由三个数组成，三个数之和为9，三个数的平方和为35，则公差d=．12．已知数列{a n}的前n项和，则数列{a n}的通项公式为．13．海上有A、B两岛相距10海里，从A岛望B岛和C岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成30°视角，则B、C之间的距离是海里．14．在△ABC中，若a=b=1，，则∠C=．三、解答题（共30分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知等差数列{a n}满足a3•a7=﹣12，a4+a6=﹣4，求等差数列{a n}的通项公式．16．如图，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB=20m，求山高CD．17．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且a2+c2﹣b2+ac=0．（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC的面积．附加题：（本题20分）18．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135°D．150°19．已知数列{a n}中，a1=1，a n=3a n﹣1+4（n∈N*且n≥2），则数列{a n}通项公式a n=．20．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 （Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．2015-2016学年陕西省咸阳市西北农林科大附中高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．数列，的一个通项公式是（）A．B．C．D．【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】计算题．【分析】利用不完全归纳法来求，先把数列中的每一项变成相同形式，再找规律即可．【解答】解；∵数列，的第三项可写成，这样，每一项都是含根号的数，且每一个被开方数比前一项的被开方数多3，∴故选B【点评】本题考查了不完全归纳法求数列通项公式，做题时要认真观察，及时发现规律．2．在△ABC中，A=30°，B=60°，C=90°，那么三边之比a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】求出三角的正弦值，利用正弦定理求出三边的比．【解答】解：∴A=30°，B=60°C=90°，∴sinA=，sinB=，sinC=1，由正弦定理得：a：b：c=sinA：sinB：sinC=1：：2．故选：C．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系为（）A．α＞β B．α=βC．α+β=90°D．α+β=180°【考点】直线的倾斜角．【分析】画草图分析可知两点之间的仰角和俯角相等．【解答】解：从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角互为内错角，大小相等．仰角和俯角都是水平线与视线的夹角，故α=β．故选：B．【点评】本题考查仰角、俯角的概念，以及仰角与俯角的关系．4．在△ABC中，a2+b2﹣c2=ab，则cosC=（）A．B．C． D．【考点】余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】利用已知条件通过余弦定理即可求出cosC．【解答】解：由a2+b2﹣c2=ab，余弦定理得：cosC===．故选：A．【点评】本题主要考查余弦定理的应用．余弦定理在解三角形中应用很广泛，很好的建立了三角形的边角关系，应熟练掌握，属于基础题．5．在等差数列{a n}中，已知a6+a9+a13+a16=20，则S21等于（）A．100 B．105 C．200 D．0【考点】等差数列的前n项和．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意和等差数列的性质可得a1+a21，整体代入求和公式计算可得．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a6+a9+a13+a16=20，由等差数列的性质可得a1+a21=a6+a16=a9+a13，∴2（a1+a21）=20，解得a1+a21=10，∴S21=（a1+a21）=105，故选：B．【点评】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题．6．在等比数列{a n}中，a3+a4=a1+a2，则公比为（）A．1 B．1或﹣1 C．或D．2或﹣2【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式求解．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，a3+a4=a1+a2，∴q2（a1+a2）=a1+a2，∴q2=1，解得q=1或q=﹣1．故选：B．【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．7．在△ABC中，若a=3，cosA=，则△ABC的外接圆半径为（）A．2 B．4C．D．【考点】正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】利用正弦定理===2R（R为△ABC的外接圆半径）即可求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，若a=3，cosA=，∴由sin2A+cos2A=1得：sinA=；设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理===2R得：==2R，∴R=．故选D．【点评】本题考查正弦定理，考查三角函数间的关系，属于基础题．8．在△ABC中，已知sinB=2cosCsinA，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形．【分析】利用sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA，即可得出结论．【解答】解：∵A+B+C=180°，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA，∴sinCcosA﹣sinAcosC=0，即sin（C﹣A）=0，∴A=C 即为等腰三角形．故选：C．【点评】本题考查三角形形状的判断，考查和角的三角函数，比较基础．9．在△ABC中，若∠B=30°，AB=2，AC=2，则△ABC的面积为（）A．B．2或C．2或D．2【考点】三角形的面积公式．【专题】解三角形．【分析】利用正弦定理，求出C，从而可求A，利用△ABC的面积•AB•AC•sinA，即可得出结论【解答】解：∵△ABC中，B=30°，AB=2，AC=2，∴=，∴sinC=，∴C=60°或120°，∴A=90°或30°，∴△ABC的面积为•AB•AC•sinA=2或．故选：C．【点评】本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．10．在数列{x n}中，x1=8，x4=2，且满足x n+2+x n=2x n+1，n∈N+．则x10=（）A．﹣10 B．10 C．﹣20 D．20【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由数列递推式可知数列{x n}是等差数列，由已知求得公差，代入等差数列的通项公式得答案．【解答】解：由足x n+2+x n=2x n+1，n∈N+．可知数列{x n}是等差数列，又x1=8，x4=2，则公差d=．∴x10=x1+9d=8+9×（﹣2）=﹣10．故选：A．【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，是基础题．二、填空题（每小题5分，共20分）11．设一个等差数列，由三个数组成，三个数之和为9，三个数的平方和为35，则公差d=±2．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】先设出这三个数，根据三个数之和为9，根据等差中项的性质求得a2，进而利用三个数的平方和，利用d表示出三个数建立等式求得d．【解答】解：设这三个数为a1，a2和a3，a1+a2+a3=3a2=9，∴a2=3∵a12+a22+a32=（3﹣d）2+32+（3+d）2=9﹣6d+d2+9+9+6d+d2=27+2d2=35∴d2=4∴d=2或d=﹣2故答案为：±2【点评】本题主要考查了等差数列的性质．灵活利用等差数列的等差中项的性质．注意等差数列项的设法a+d，a，a﹣d．12．已知数列{a n}的前n项和，则数列{a n}的通项公式为．【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1即可得出．【解答】解：当n=1时，a1=S1=1+3+1=5；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+3n+1﹣[（n﹣1）2+3（n﹣1）+1]=2n+2．∴数列{a n}的通项公式为．故答案为．【点评】本题考查了利用“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”求数列的通项公式，属于基础题．13．海上有A、B两岛相距10海里，从A岛望B岛和C岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成30°视角，则B、C之间的距离是5海里．【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题；解三角形．【分析】依题意，作出图形，利用正弦定理解决即可．【解答】解：依题意，作图如下：∵∠CAB=60°，∠ABC=30°，∴△ABC为直角三角形，∠C为直角，又|AB|=10海里，∴|BC|=|AB|sin60°=10×=5海里，故答案为：5．【点评】本题考查正弦定理的应用，考查作图与识图能力，属于中档题．14．在△ABC中，若a=b=1，，则∠C=．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题．【分析】运用余弦定理，可以计算出角C的余弦值，再结合∠C∈（0，π），可得∠C=．【解答】解：根据余弦定理得：又因为C∈（0，π），所以∠C=故答案为：【点评】本题考查了正、余弦定理在解三角形中的应用，属于简单题．三、解答题（共30分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知等差数列{a n}满足a3•a7=﹣12，a4+a6=﹣4，求等差数列{a n}的通项公式．【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】由已知得a3，a7是一元二次方程x2+4x﹣12=0的两个根，解方程x2+4x﹣12=0，得x1=﹣6，x2=2，从而得到a3=﹣6，a7=2或a3=2，a7=﹣6，由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：∵等差数列{a n}满足a3•a7=﹣12，a4+a6=a3+a7=﹣4，∴a3，a7是一元二次方程x2+4x﹣12=0，解方程x2+4x﹣12=0，得x1=﹣6，x2=2，当a3=﹣6，a7=2时，，解得a1=﹣10，d=2，a n=﹣10+（n﹣1）×2=2n﹣12；当a3=2，a7=﹣6时，，解得a1=6，d=﹣2，a n=6+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+8．【点评】本题考查等差数列的通项公式，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用，是基础题．16．如图，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB=20m，求山高CD．【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题；应用题．【分析】先根据三角形内角和求得∠BAC，进而根据正弦定理求得BC，最后在Rt△BCD 中，根据CD=BC•sin∠CBD求得答案．【解答】解：在△ABC中，∵∠ABC=30°，∠ACB=15°，∴∠BAC=135°．又AB=20，由正弦定理，得．∴在Rt△BCD中，．故山高为．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了考生综合运用所学知识的能力．17．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且a2+c2﹣b2+ac=0．（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】函数思想；综合法；解三角形．【分析】（1）变形已知式子代入cosB=结合角的范围可得；（2）由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，代入数据配方整体可得ac，代入面积公式可得．【解答】解：（1）∵a2+c2﹣b2+ac=0，∴a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，又B∈（0，π），∴B=；（2）由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，代入数据可得13=a2+c2+ac=（a+c）2﹣ac=16﹣ac，解得ac=3，∴【点评】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，属基础题．附加题：（本题20分）18．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135°D．150°【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】设长为7的边所对的角为θ，根据余弦定理可得cosθ的值，进而可得θ的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180°﹣θ，即可得答案．【解答】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°﹣θ，有余弦定理可得，cosθ==，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°﹣θ=120°，故选B．【点评】本题考查余弦定理的运用，解本题时注意与三角形内角和定理结合分析题意．19．已知数列{a n}中，a1=1，a n=3a n﹣1+4（n∈N*且n≥2），则数列{a n}通项公式a n=3n﹣2．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】a1=1，a n=3a n﹣1+4（n∈N*且n≥2），变形为a n+2=3（a n﹣1+2），利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a1=1，a n=3a n﹣1+4（n∈N*且n≥2），变形为a n+2=3（a n﹣1+2），∴数列{a n}是等比数列，首项为3，公比为3．∴a n+2=3n，解得a n=3n﹣2．故答案为：3n﹣2．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 （Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{a n}、{b n}的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ），，①S n=，②①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，===．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和．。
陕西高二高中数学期中考试带答案解析
陕西高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设数列则是这个数列的（ ） A ．第六项B ．第七项C ．第八项D ．第九项2.若为非零实数，且，则下列不等式成立的是（ ） A ．B ．C ．D ．3.已知等差数列的公差是2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于（ ）A ．-4B ．-6C ．-8D ．-104.在∆ABC 中，已知a=，b=，C=，则∆ABC 是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形5.如果函数f （x ）对任意a ，b 满足f （a ＋b ）＝f （a ）·f （b ），且f （1）＝2，则＋＋＋…＋＝（ ） A ．4 018B ．1 006C ．2 010D ．2 0146.在等差数列中，已知a 1－a 4－a 8－a 12+a 15=2，那么S 15=（ ）A ．-30B ．15C ．-60D ．-157.设是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a 1a 2a 3…a 30=，则a 3a 6a 9…a 30=（ ）A ．210B ．215C ．216D ．2208.已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是（ ）A ．2B ．2C ．4D ．59.在等差数列{a n }中，已知a 3+a 8>0，且S 9<0，则S 1、S 2、…S 9中最小的是（ ）A ．S 4B ．S 5C ．S 6D ．S 710.在三角形ABC 中，已知A ，b=1，其面积为，则为（ ）A ．B ．C ．D ．11.若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）A ．B ．或C ．D ．或12.若不等式在区间上有解，则a 的取值范围为（ ）A ．（,）B ．C ．D ．二、填空题1.在等比数列{b n }中，S 4=4，S 8=20，那么S 12= ．2.若满足约束条件则的最大值为 ．3.在△ABC 中，cosA ＝，sinB ＝，则cosC 的值为 ．4.如果数列{a n }的前n 项之和为S n =3＋2n ，那么= ．5.若正数满足，则的取值范围是 ．三、解答题1.解关于x 的不等式≤（其中a>0且a≠1）．2.已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8． （1）求{a n }的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n ．3.设某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x （单位：元）． （1）写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；（2）该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？（注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用/建筑总面积）4.已知，△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，m ＝（sin B ＋sin C,0），n ＝（0，sin A ）且 |m|2－|n|2＝sin Bsin C ． （1）求角A 的大小（2）求sin B ＋sin C 的取值范围．5.已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n 对任意n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列．（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）是否存在k ∈N *，使得（b k －a k ）∈（0,1）？请说明理由．陕西高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.设数列则是这个数列的（ ） A ．第六项B ．第七项C ．第八项D ．第九项【答案】B【解析】由数列前几项可知通项公式为时，为数列第七项【考点】数列通项公式 2.若为非零实数，且，则下列不等式成立的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】：∵实数a ，b 满足a ＜0＜b ，若 a=-3，b=1，则 A 、B 、D 都不成立，只有C 成立 【考点】不等关系与不等式3.已知等差数列的公差是2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于（ ） A ．-4 B ．-6 C ．-8D ．-10【答案】B【解析】若a 1，a 3，a 4成等比数列，所以【考点】等差数列等比数列4.在∆ABC 中，已知a=，b=，C=，则∆ABC 是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形【答案】B【解析】由余弦定理得，三角形为直角三角形 【考点】5.如果函数f （x ）对任意a ，b 满足f （a ＋b ）＝f （a ）·f （b ），且f （1）＝2，则＋＋＋…＋＝（ ） A ．4 018B ．1 006C ．2 010D ．2 014【答案】D【解析】f （a ＋b ）＝f （a ）·f （b ）中令，所以所求式子为【考点】赋值法求值6.在等差数列中，已知a 1－a 4－a 8－a 12+a 15=2，那么S 15=（ ） A ．-30 B ．15 C ．-60D ．-15【答案】A【解析】由等差数列性质可知，所以a 1－a 4－a 8－a 12+a 15=2转化为【考点】等差数列性质及求和 7.设是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a 1a 2a 3…a 30=，则a 3a 6a 9…a 30=（ ）A ．210B ．215C ．216D ．220【答案】D【解析】a 1a 2a 3…a 30=可转化为，所以a 3a 6a 9…a 30=【考点】等比数列的性质及通项公式8.已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是（ ）A ．2B ．2C ．4D ．5【答案】C【解析】＋＋2，当且仅当，即时等号成立，取得最值【考点】均值不等式求最值9.在等差数列{a n }中，已知a 3+a 8>0，且S 9<0，则S 1、S 2、…S 9中最小的是（ ） A ．S 4 B ．S 5 C ．S 6D ．S 7【答案】B 【解析】，数列为递减数列，前5项为负数，因此最小的是【考点】数列性质10.在三角形ABC 中，已知A ，b=1，其面积为，则为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【考点】正余弦定理解三角形11.若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）A ．B ．或C ．D ．或【答案】C【解析】由三个二次关系可知方程的解为且，设，所以，所以不等式为，解集为【考点】三个二次关系与一元二次不等式解法12.若不等式在区间上有解，则a 的取值范围为（ ） A ．（,）B ．C ．D ．【答案】A 【解析】，设在上是减函数，所以最小值为，所以【考点】不等式与函数问题二、填空题1.在等比数列{b n }中，S 4=4，S 8=20，那么S 12= ． 【答案】84【解析】由等比数列性质可知成等比数列，所以代入已知数据得【考点】等比数列性质 2.若满足约束条件则的最大值为 ． 【答案】9【解析】线性约束条件对应的可行域为直线围成的四边形区域，当过的交点时取得最大值9【考点】线性规划问题3.在△ABC 中，cosA ＝，sinB ＝，则cosC 的值为 ． 【答案】【解析】由cosA ＝，sinB ＝得【考点】三角函数基本公式4.如果数列{a n }的前n 项之和为S n =3＋2n ，那么= ．【答案】【解析】，时所以【考点】数列求通项求和5.若正数满足，则的取值范围是 ．【答案】【解析】【考点】不等式性质三、解答题1.解关于x 的不等式≤（其中a>0且a≠1）．【答案】当a>1时，x ∈（－∞，－3]∪（0,1]；当0<a<1时，x ∈[－3,0）∪[1，＋∞） 【解析】将不等式变形，借助于指数函数的单调性得到关于的不等式，解不等式即可，求解时分两种情况讨论试题解析：①当a>1时，有x －＋1≤－1， ∴x －＋2≤0，∴≤0．∴≤0，∴x≤－3或0<x≤1．（6分）②当0<a<1时，有x －＋1≥－1，∴≥0．∴－3≤x<0或x≥1．（8分）综上，当a>1时，x ∈（－∞，－3]∪（0,1]； 当0<a<1时，x ∈[－3,0）∪[1，＋∞）．（10分 【考点】1．不等式解法；2．分情况讨论2.已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8． （1）求{a n }的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n ． 【答案】（1）a n ＝2n －2．（2）T n ＝2n －1．【解析】（1）将已知条件转化为首项和公差表示，解方程组求得基本量，即可得到通项公式；（2）由b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，解方程组可得到等比数列{b n }的首项和公比，代入公式可求得前n 项和 试题解析：（1）设等差数列{a n }的公差为d ， 则由已知得∴a 1＝0，d ＝2．∴a n ＝a 1＋（n －1）d ＝2n －2．（2）设等比数列{b n }的公比为q ，则由已知得q ＋q 2＝a 4， ∵a 4＝6，∴q ＝2或q ＝－3．∵等比数列{b n }的各项均为正数，∴q ＝2． ∴{b n }的前n 项和T n ＝＝＝2n －1．【考点】1．等差数列；2．等比数列及求和3.设某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x （单位：元）． （1）写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；（2）该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？（注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用/建筑总面积） 【答案】（1）y ＝560＋48x ＋（x≥10，x ∈N *）．（2）当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元【解析】（1）由已知得，楼房每平方米的平均综合费为每平方米的平均建筑费用为560+48x 与平均地皮费用的和，由已知中某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋x 层，每层2000平方米的楼房，我们易得楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；（2）由（1）中的楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式，要求楼房每平方米的平均综合费用最小值，我们有两种思路，一是利用基本不等式，二是使用导数法，分析函数的单调性，再求最小值 试题解析：（1）依题意得y ＝（560＋48x ）＋＝560＋48x ＋（x≥10，x ∈N *）．（2）∵x>0，∴48x ＋≥2＝1440，当且仅当48x ＝，即x ＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1440＝2000（元）．答 当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元 【考点】1．函数模型的选择与应用；2．函数的最值4.已知，△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，m ＝（sin B ＋sin C,0），n ＝（0，sin A ）且 |m|2－|n|2＝sin Bsin C ． （1）求角A 的大小（2）求sin B ＋sin C 的取值范围． 【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用向量的模长公式，结合正弦定理、余弦定理，即可求角A 的大小；（2）由（1）知，，故，即可求sinB+sinC 的取值范围试题解析：（1）∵|m|2－|n|2＝（sin B ＋sin C ）2－sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＋2sin Bsin C 依题意有，sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＋2sin Bsin C ＝sin Bsin C ， ∴sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝－sin Bsin C ， 由正弦定理得：b 2＋c 2－a 2＝－bc ， ∴cos A ＝＝＝－，∵A ∈（0，π）所以A ＝．（2）由（1）知，A ＝，∴B ＋C ＝，∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ＝sin B ＋cos B ＝sin ．∵B ＋C ＝，∴0<B<， 则<B ＋<，则<sin≤1， 即sin B ＋sin C 的取值范围为．【考点】1．正余弦定理解三角形；2．向量的坐标运算5.已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n 对任意n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列．（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）是否存在k ∈N *，使得（b k －a k ）∈（0,1）？请说明理由．【答案】（1）a n ＝24－n （n ∈N *）， b n ＝n 2－7n ＋14（n ∈N *）．（2）不存在k ∈N *，使得（b k －a k ）∈（0,1） 【解析】（1）利用a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n 推出n-1时的表达式，然后作差求出数列{a n }的通项公式，利用数列{b n ＋1－b n }是等差数列利用累加法求出{b n }的通项公式；（2）化简通过k≥4时，单调递增，且f （4）=1，所以k≥4时，f （k ）≥1，结合f （1）=f （2）=f （3）=0，说明不存在k ∈N *，使得（b k －a k ）∈（0,1）．试题解析：（1）已知得a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n （n ∈N *），①当n≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8（n －1）．② 由①－②，得2n －1a n ＝8．∴a n ＝24－n ． 在①中，令n ＝1，得a 1＝8＝24－1， ∴a n ＝24－n （n ∈N *）．由题意知b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2， ∴b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2，∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－（－4）＝2． ∴b n ＋1－b n ＝－4＋（n －1）×2＝2n －6．∴b n ＝b 1＋（b 2－b 1）＋（b 3－b 2）＋…＋（b n －b n －1） ＝8＋（－4）＋（－2）＋…＋（2n －8） ＝n 2－7n ＋14（n ∈N *）．（2）∵b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ， 设f （k ）＝k 2－7k ＋14－24－k ， 当k≥4时，f （k ）＝（k －）2＋－24－k ，单调递增，且f （4）＝1．∴k≥4时，f （k ）＝k 2－7k ＋4－24－k ≥1．又f （1）＝f （2）＝f （3）＝0， ∴不存在k ∈N *，使得（b k －a k ）∈（0,1）． 【考点】1．数列递推式；2．等差数列的性质。
陕西省西北农林科技大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若数列{}n a 的通项公式是121)1(+⋅-=n a n n ,则10a = A 、211 B 、211-C 、201D 、201-【答案】A 【解析】试题分析：由通项公式可知()101011120121a =-=+ 考点：数列通项公式2.若数列{}n a 满足1331+=+n n a a ,则数列{}n a 是 A 、公差为1的等差数列 B 、公差为31的等差数列 C 、公差为31-的等差数列 D 、不是等差数列【答案】B 【解析】试题分析：1113313n n n n a a a a ++=+∴-=，所以数列{}n a 是等差数列，公差为13考点：等差数列3.不等式29610x x ++≤的解集是 A 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠31x x B 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-3131x x C 、φ D 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=31x x【答案】D 【解析】试题分析：()22196103103x x x x ++≤∴+≤∴=-，所以不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=31x x 考点：一元二次不等式解法4.已知△ABC 中,2=a ,3=b ,︒=60B ,那么角A 等于A 、︒135B 、︒90C 、︒45D 、︒30【答案】C 【解析】 试题分析：由sin sin a b A B =sin 45A a b A B A ==<∴<∴= 考点：正弦定理5.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥43430y x y x y , 所表示的平面区域的面积等于A 、23 B 、32 C 、34 D 、43【答案】C 【解析】试题分析：不等式对应的可行域为直线0,34,34y x y x y =+=+=围成的三角形，顶点为()44,0,,03⎛⎫⎪⎝⎭()1,1，所以面积为34 考点：不等式表示平面区域6.设{a n }是等差数列,若a 2＝3,a 7＝13,则数列{a n }前8项的和为 A 、128 B 、80 C 、64 D 、56 【解析】试题分析：⑴由0x >可结合不等式a b +≥求解函数的最小值，注意验证等号成立的条件是否满足；⑵将所求函数变形13(13)3y x x =⋅⋅-，结合不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭求解函数的最大值试题解析：⑴ .012;0>>xx ……………(2分) ∴121232123=⋅≥+=xx x x y .……………(4分) 当且仅当xx 123=,即2=x 时取”等号”. 故12min =y ……………(6分)⑵310<<x , 031>-∴x ……………(8分)121231331)31(331)31(2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅≤-⋅⋅=-=∴x x x x x x y ……………(10分)当且仅当x x 313-=,即61=x 时取等号. 121max =∴y ……………(12分) 考点：利用不等式性质求函数最值17.(本题10分)解关于x 的不等式:01222<--a ax x (R a ∈) 【答案】0>a 时解集是43aa x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，0=a 时解集是φ，0<a 时解集是34aa x x ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭【解析】试题分析：解一元二次不等式时要首先求得与不等式对应的方程的根，然后结合二次函数图像及性质可得到不等式的解集，本题求解时分情况讨论两根大小关系 试题解析：方程01222=--a ax x0)3)(4(=-+∴a x a x ,即方程两根为3,421ax a x =-= ……………(3分)⑴当0>a 时,12x x > 不等式的解集是;34⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x a x …… (5分) ⑵当0=a 时,21x x = 不等式的解集是φ; ……………(7分) ⑶当0<a 时,21x x <, 不等式的解集.43⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<a x ax ……………(10分)考点：一元二次不等式解法18..(本题10分)如图所示,甲船以每小时,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A 1处时,乙船位于甲船的南偏西75°方向的B 1处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A 2处时,乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B 2处,此时两船相距海里.问:乙船每小时航行多少海里？【答案】【解析】试题分析：连接12A B ，则∴△122A B A 是等边三角形，求出12A B ，在△121A B B 中使用余弦定理求出21B B 的长，除以航行时间得出速度 试题解析：如图，连接A 1B 2，由题意知，A 1B 1＝20，A 2B 2＝，A 1A 2＝2060×＝ (海里)．……………(2分) 又∵∠B 2A 2A 1＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∠B 1A 1B 2＝105-60°＝45°.………………………(4分) 在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得2221111211122cos 45BB A B A B A B A B =+-＝202＋)2－2×20×＝200，∴B 1B 2＝ (海里)．…………………………(8分)×60＝(海里/小时)．……………(10分) 考点：解三角形的实际应用；余弦定理 19.(本题13分)已知等差数列{a n }满足:a 3＝7,a 5＋a 7＝26,{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ； (2)令211n n b a =- (n ∈N +),求数列{b n }的前n 项和T n . 【答案】(1) a n ＝2n ＋1，S n ＝n(n ＋2) (2) n T =()41nn +.【解析】试题分析：（1）设数列{a n }的首项1a 及公差d ，将357,,a a a 用1a 及d 来表示，列出方程组，可解出1a 及d ，再由通项公式及前n 项公式求出n a 及n S ；（2）将n a 代入所给表达式可求出n b 的表达式，用裂项求和可求出n T .试题解析：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26， 所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2.………………………………………………………(4分) 由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝()12n n a a +， 所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n(n ＋2)．……………………(6分)(2)因为a n ＝2n ＋1，所以2n a －1＝4n(n ＋1)，因此b n ＝()141n n +＝11141n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.…………………………………………(8分)故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n()1111111111422314141nn n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 所以数列{b n }的前n 项和n T =()41nn +.…………………………(13分)考点：1.数列的求和；2.等差数列的通项公式附加题部分20.已知等比数列{a n }为递增数列,且a 52＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n =____________. 【答案】n n a 2= 【解析】试题分析：()2249510111,n n a a a qa q a q a q =∴=∴=∴= ()()22125215n n n n n a a a a q a q +++=∴+=()2215q q ∴+= 122q q ∴==或，由数列单调递增可知通项公式为2n n a = 考点：等差数列通项公式 21.对于实数c b a ,,有下列命题:①若b a >则bc ac <； ②若22bc ac >则b a >; ③若0<<b a ,则22b ab a >>; ④若,0>>>b a c 则bc ba c a ->-; ⑤若ba b a 11,>>,则.0,0<>b a 其中真命题的序号是__________. 【答案】②③④⑤【解析】试题分析：①中只有0c <时才成立；②中20c >，所以命题正确；③中令2,1a b =-=-代入验证可知不等式成立；④令3,2,1c a b ===代入不等式验证成立；⑤1111000b a ab a b a b ab->∴->∴>∴< 0,0a b ∴><，命题正确考点：不等式性质22.已知0>x ,0>y ,822=++xy y x ,则y x 2+的最小值是( ) A 、 3 B 、 112 C 、 92D 、 4 【答案】D 【解析】试题分析：()()()2221228282228024x y x y xy x y x y x y x y +⎛⎫++=∴=-+≤∴+++-≥ ⎪⎝⎭ 0,0x y >> ，所以解不等式得24x y +≥，最小值为4考点：不等式性质23.已知{a n }是各项为正数的等比数列,{}n b 是等差数列,且,111==b a,2332a b b =+ 7325=-b a⑴求{a n }和{}n b 的通项公式;⑵设n n n b a c ⋅=,+∈N n ,求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】⑴12n n a -=，21n b n =- ⑵()2323nn S n =-+考点：1.等差数列，等比数列通项公式；2.错位相减法求和：。
西北农林科大附中2015-2016学年高二上学期期中考试数学试卷 含答案
西北农林科技大学附中2015—2016学年第一学期期中考试试题高二数学命题人：刘凯华 审题人：秦志杰 考试时间:120分钟 满分：150分必答题部分 （本部分120分)一、选择题（请将唯一正确答案的编号填入答卷中,本题共10题,每题5分,共50分)1．若数列{}na 的通项公式是121)1(+⋅-=n an n,则10a =A 、211 B 、211- C 、201 D 、201-2．若数列{}na 满足1331+=+n n a a，则数列{}n a 是A 、公差为1的等差数列B 、公差为31的等差数列 C 、公差为31-的等差数列 D 、不是等差数列3．不等式1692++x x≤0的解集是A 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠31x x B 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-3131x x C 、φ D 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=31x x4．已知△ABC 中,2=a ,3=b ，︒=60B ,那么角A 等于A 、︒135 B 、︒90 C 、︒45 D 、︒305．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥43430y x y x y ,所表示的平面区域的面积等于A 、23 B 、32 C 、34 D 、436．设{a n ｝是等差数列，若a 2＝3,a 7＝13，则数列｛a n ｝前8项的和为 A 、128 B 、80 C 、64 D 、567．已知01x <<,则(1)x x -取最大值时x 的值为 A 、13 B 、 12C 、 14D 、238．已知,0<+b a 且,0>a 则 A 、22b ab a <-< B 、22a ab b<-<C 、ab b a-<<22D 、22a bab <<-9．在△ABC 中,C b a cos 2=，则这个三角形一定是A 、等腰三角形B 、直角三角形C 、等腰直角三角形D 、等腰或直角三角形10．在△ABC 中,AB ＝错误!,AC ＝1，B ＝30°,则△ABC 的面积为 A 、错误! B 、错误! C 、错误!或错误! D 、错误!或错误!二、填空题（本题5小题,每题5分，将答案写在指定位置） 11.等差数列{}na 中，73=a,625+=a a ，则{}n a 的通项公式为__________。
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2015-2016学年陕西省咸阳市西北农林科大附中高二（上）期中数学试卷一、选择题（请将唯一正确答案的编号填入答卷中，本题共10题，每题5分，共50分）1．（5分）若数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n•，则a10=（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5分）若数列{a n}满足3a n+1=3a n+1，则数列是（）A．公差为1的等差数列B．公差为的等差数列C．公差为﹣的等差数列D．不是等差数列3．（5分）不等式9x2+6x+1≤0的解集是（）A．{x|x≠﹣} B．{﹣}C．{x|≤x≤}D．R4．（5分）已知△ABC中，a=，b=，B=60°，那么角A等于（）A．135°B．90°C．45°D．30°5．（5分）不等式组，所表示的平面区域的面积等于（）A．B．C．D．6．（5分）设{a n}是等差数列，若a2=3，a7=13，则数列{a n}前8项的和为（）A．128 B．80 C．64 D．567．（5分）已知0＜x＜1，则x（1﹣x）取最大值时x的值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知a+b＜0，且a＞0，则（）A．a2＜﹣ab＜b2B．b2＜﹣ab＜a2C．a2＜b2＜﹣ab D．﹣ab＜b2＜a2 9．（5分）在△ABC中，已知a=2bcosC，那么这个三角形一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形10．（5分）△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．二、填空题（本题5小题，每题5分，将答案写在指定位置）11．（5分）等差数列{a n}中，a3=7，a5=a2+6，则{a n}的通项公式为．12．（5分）若关于x的不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），则实数a=．13．（5分）已知，则x2+y2的最小值是．14．（5分）若关于x的不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3的解集不是空集，则实数a的取值范围是．15．（5分）设x，y满足约束条件x，则目标函数z=3x﹣y的最大值为．三、解答题（本部分共4大题，共计45分）16．（12分）（Ⅰ）若x＞0，求f（x）=的最小值．（Ⅱ）已知0＜x＜，求f（x）=x（1﹣3x）的最大值．17．（10分）解关于x的不等式：12x2﹣ax﹣a2＜0（a∈R）18．（10分）如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10海里．问：乙船每小时航行多少海里？19．（13分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）令b n=﹣（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．四、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）20．（5分）已知等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．21．（5分）对于实数a、b、c，有下列命题①若a＞b，则ac＜bc；②若ac2＞bc2，则a＞b；③若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；④若c＞a＞b＞0，则；⑤若a＞b，，则a＞0，b＜0．其中正确的是．五、选择题（共1小题，每小题5分，满分5分）22．（5分）若x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．B．3 C．D．4六、解答题（共1小题，满分15分）23．（15分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．2015-2016学年陕西省咸阳市西北农林科大附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（请将唯一正确答案的编号填入答卷中，本题共10题，每题5分，共50分）1．（5分）若数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n•，则a10=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：令n=10，可得：a10=（﹣1）10•=．∴a10=．故选：A．2．（5分）若数列{a n}满足3a n+1=3a n+1，则数列是（）A．公差为1的等差数列B．公差为的等差数列C．公差为﹣的等差数列D．不是等差数列=3a n+1，【解答】解：∵3a n+1∴a n﹣a n=，+1∴数列{a n}是以公差为的等差数列．故选：B．3．（5分）不等式9x2+6x+1≤0的解集是（）A．{x|x≠﹣} B．{﹣}C．{x|≤x≤}D．R【解答】解：不等式9x2+6x+1≤0化为（3x+1）2≤0，解得x=﹣．∴不等式9x2+6x+1≤0的解集是{﹣}．故选：B．4．（5分）已知△ABC中，a=，b=，B=60°，那么角A等于（）A．135°B．90°C．45°D．30°【解答】解析：由正弦定理得：，∴A=45°或135°∵a＜b∴A＜B∴A=45°故选：C．5．（5分）不等式组，所表示的平面区域的面积等于（）A．B．C．D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，=S△OBA+S△OCA∴S四边形OBAC=．故选：C．6．（5分）设{a n}是等差数列，若a2=3，a7=13，则数列{a n}前8项的和为（）A．128 B．80 C．64 D．56【解答】解：解法1：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得，解得，故s8=8+=64．解法2：∵a2+a7=a1+a8=16，∴s8=×8=64．故选：C．7．（5分）已知0＜x＜1，则x（1﹣x）取最大值时x的值为（）A．B．C．D．【解答】解：x（1﹣x）=x﹣x2，对应的二次函数的开口向下，对称轴x=∈（0，1）．∴0＜x＜1，则x（1﹣x）取最大值时x的值为：．故选：B．8．（5分）已知a+b＜0，且a＞0，则（）A．a2＜﹣ab＜b2B．b2＜﹣ab＜a2C．a2＜b2＜﹣ab D．﹣ab＜b2＜a2【解答】解：因为a+b＜0，且a＞0，所以b＜0且|b|＞a＞0，所以a|b|＞a2，即a2＜﹣ab；|b|＞a⇒|b|b＜ab，⇒﹣ab＜b2，综上：a2＜﹣ab＜b2故选：A．9．（5分）在△ABC中，已知a=2bcosC，那么这个三角形一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【解答】解：∵a=2bcosC=2b×=∴a2=a2+b2﹣c2∴b2=c2因为b，c为三角形的边长∴b=c∴△ABC是等腰三角形．故选：C．10．（5分）△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．【解答】解：由AB=，AC=1，cosB=cos30°=，根据余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，即1=3+BC2﹣3BC，即（BC﹣1）（BC﹣2）=0，解得：BC=1或BC=2，当BC=1时，△ABC的面积S=AB•BCsinB=××1×=；当BC=2时，△ABC的面积S=AB•BCsinB=××2×=，所以△ABC的面积等于或．故选：D．二、填空题（本题5小题，每题5分，将答案写在指定位置）11．（5分）等差数列{a n}中，a3=7，a5=a2+6，则{a n}的通项公式为a n=2n+1．【解答】解：设等差数列{a n}公差为d，∵a3=7，a5=a2+6，∴，解得d=2，a1=3．∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．故答案为：a n=2n+1．12．（5分）若关于x的不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），则实数a=4．【解答】解：关于x的不等式即（x+1）（x﹣a）＞0．再由它的解集为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），可得﹣1和4是（x+1）（x﹣a）=0的两个实数根，故a=4，故答案为4．13．（5分）已知，则x2+y2的最小值是5．【解答】解：已知，如图画出可行域，得交点A（1，2），B（3，4），令z=x2+y2，z为以（0，0）为圆心的圆半径平方（也可以理解为可行域内点到（0，0）点距离平方），因此点A（1，2），使z最小代入得z=1+4=5则x2+y2的最小值是5．14．（5分）若关于x的不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3的解集不是空集，则实数a的取值范围是{a|a≤﹣6，或a≥2} ．【解答】解：∵不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3，∴x2﹣ax﹣a+3≤0；∴a2﹣4（﹣a+3）≥0，即a2+4a﹣12≥0；解得a≤﹣6，或a≥2，此时原不等式的解集不是空集，∴a的取值范围是{a|a≤﹣6，或a≥2}；故答案为：{a|a≤﹣6，或a≥2}．15．（5分）设x，y满足约束条件x，则目标函数z=3x﹣y的最大值为5．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=3x﹣y过点C（2，1）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值5．故填：5．三、解答题（本部分共4大题，共计45分）16．（12分）（Ⅰ）若x＞0，求f（x）=的最小值．（Ⅱ）已知0＜x＜，求f（x）=x（1﹣3x）的最大值．【解答】解：（1）若x＞0，则3x＞0，，∴f（x）=+3x≥2•=12，当且仅当：=3x，即x=2时，取“=”，因此，函数f（x）的最小值为12；（2）若，∵f（x）=x（1﹣3x）=•[3x•（1﹣3x）]≤•=，当且仅当：3x=1﹣3x，即x=时，取“=”，因此，函数f（x）的最大值为．17．（10分）解关于x的不等式：12x2﹣ax﹣a2＜0（a∈R）【解答】解：方程12x2﹣ax﹣a2=0，∴（4x+a）（3x﹣a）=0，即方程两根为…（3分）（1）当a＞0时，x2＞x1不等式的解集是；…（5分）（2）当a=0时，x1=x2不等式的解集是∅；…（7分）（3）当a＜0时，x1＜x2，不等式的解集．…（10分）18．（10分）如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10海里．问：乙船每小时航行多少海里？【解答】解：如图，连接A1B2，由题意知，A1B1=20，A2B2=10，A1A2=×30=10（海里）．又∵∠B2A2A1=180°﹣120°=60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2=10，∠B1A1B2=105﹣60°=45°．在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B22﹣2A1B1•A1B2cos 45°=202+（10）2﹣2×20×10×=200，∴B1B2=10（海里）．因此乙船的速度大小为×60=30（海里/小时）．19．（13分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）令b n=﹣（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，∴a1+2d=7，2a1+10d=26，解得a1=3，d=2．∴a n=a1+（n﹣1）d=2n+1，S n==n2+2n．（2）∵a n=2n+1，∴b n=﹣=﹣=﹣=﹣，因此T n=b1+b2+…+b n=﹣+…+=﹣=﹣．四、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）20．（5分）已知等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=2n．【解答】解：∵，∴，∴a1=q，∴，∵2（a n+a n+2）=5a n+1，∴，∴2（1+q2）=5q，解得q=2或q=（等比数列{a n}为递增数列，舍去）∴．故答案为：2n．21．（5分）对于实数a、b、c，有下列命题①若a＞b，则ac＜bc；②若ac2＞bc2，则a＞b；③若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；④若c＞a＞b＞0，则；⑤若a＞b，，则a＞0，b＜0．其中正确的是②③④⑤．【解答】解：当c=0时，若a＞b，则ac=bc，故①为假命题；若ac2＞bc2，则c≠0，c2＞0，故a＞b，故②为真命题；若a＜b＜0，则a2＞ab且ab＞b2，即a2＞ab＞b2，故③为真命题；若c＞a＞b＞0，则，则，则，故④为真命题；若a＞b，，即，故a•b＜0，则a＞0，b＜0，故⑤为真命题；故答案为：②③④⑤五、选择题（共1小题，每小题5分，满分5分）22．（5分）若x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．B．3 C．D．4【解答】解：考察基本不等式x+2y=8﹣x•（2y）≥8﹣（）2（当且仅当x=2y 时取等号）整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4（当且仅当x=2y时取等号），则x+2y的最小值是4，故选：D．六、解答题（共1小题，满分15分）23．（15分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，数列{b n}的公差为d，由题意，q＞0，由已知有，消去d整理得：q4﹣2q2﹣8=0．∵q＞0，解得q=2，∴d=2，∴数列{a n}的通项公式为，n∈N*；数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）有，设{c n}的前n项和为S n，则，，两式作差得：=2n+1﹣3﹣（2n﹣1）×2n=﹣（2n ﹣3）×2n﹣3．∴．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。