§2.2 冲激响应和阶跃响应

§2.2 冲激响应和阶跃响应
• 冲激响应 • 阶跃响应
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一、冲激响应
1．定义
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲 所引起的零状态响应称为单位冲 由单位冲激函数 所引起的零状态响应称为 激响应，简称冲激响应 记为h(t)。 冲激响应， 激响应，简称冲激响应，记为 。 h(t)=T[{0},δ(t)]
n λit h(t) = ∑Ci e ε (t) i=1
②与n, m相对大小有关 相对大小有关 h •当n > m时， (t )不含 (t )及其各阶导数； δ 及其各阶导数；
h •当n = m时， (t )中应包含 (t )； δ h •当n < m时， (t )应包含 (t )及其各阶导数。 δ 及其各阶导数。
= bmδ (m) (t) + bm−1δ (m−1) (t) +⋯+ b1δ (1) (t) + b0δ (t)
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• h(t)解答的形式
时都为零， 由于δ(t)及其导数在 t≥0+ 时都为零，因而方程式右端 的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解 的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解 的形式相同。 的形式相同。 ①与特征根有关 例:当特征根均为单根时
∫－∞ ,对因果系统：∫0
t
−
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aδ”(t) + bδ’(t)+ cδ(t) + r1(t) + 5[aδ’(t) + bδ(t) + r2(t) ] + 6[aδ(t) + r3(t) ] = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) 整理得 aδ”(t)+ (b+5a)δ’(t)+(c +5b+6a)δ(t) + r1(t)+5 r2(t)+6 r3(t) = δ”(t) + 2δ’(t) + 3δ(t) 利用δ(t) 系数匹配，得 a =1 ，b = - 3，c = 12 系数匹配， 利用 ， （2） ） 所以 h(t) = δ(t) + r3(t) h’(t) = δ’(t) - 3δ(t) + p2(t) （3） ） h”(t) = δ”(t) - 3 δ’(t) + 12δ(t)+ r1(t) （4） ） 对式(3)从 到 积分得 对式 从0-到0+积分得 h(0+) – h(0-) = – 3 对式(4)从 到 积分得 对式 从0-到0+积分得 h’(0+) – h’(0-) =12 h(0+) = – 3， h’(0+) =12 故 ，
dm f (t) dt m
+ bm−1
d
响应及其各 阶导数(最 阶导数 最 高阶为n次 高阶为 次)
令 f(t)=δ(t) 则 y(t)=h(t)
h(n) (t) + an−1h(n−1) (t) +⋯+ a1h(1) (t) + a0h(t)
激励及其各 阶导数(最 阶导数 最 高阶为m次 高阶为 次)
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对t>0时，有 时
h”(t) + 6h’(t) + 5h(t) = 0
微分方程的特征根为– ， 微分方程的特征根为 2， – 3。故系统的冲激响应为 。 h(t)= C1e–2t + C2e–3t ， t>0 代入初始条件 h(0+) = – 3， h’(0+) =12 ， 求得C ， 求得 1=3，C2= – 6, 所以 h(t)= 3e–2t – 6e–3t , t > 0 结合式(2)得 结合式 得 h(t)= δ(t) + (3e–2t – 6e–3t)ε(t)
求特征根 冲激响应
λ2 + 4λ + 3 = 0 ⇒λ1 = −1, λ2 = −3
n = 2, m = 1, n > m h(t )中不包含冲激项
带ε(t)
h(t) = (C1e + C2e
−t
−3t
)ε(t)
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求0+值确定系数
d2 h(t ) = aδ ′(t ) + bδ (t ) + r (t ) 1 2 dt d h(t ) = aδ (t ) + r2 (t ) dt h(t ) = r3(t )
1 −t −3t h1(t) = e − e ε (t) 2
(
)
则由系统的线性时不变特性
h(t) = dh1(t) 1 + 2h1(t) = e−t + e−3t ε (t) dt 2
(
)
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冲激响应求解举例 冲激响应求解举例2 举例
例2 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t) 求其冲激响应h(t)。 求其冲激响应 。 根据h(t)的定义 有 解 根据 的定义 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1) h’(0-) = h(0-) = 0 先求h’(0+)和h(0+)。 先求 和 。 由方程可知， h(t) 中含δ(t) 由方程可知， 中含 故令 h”(t) = aδ”(t) + bδ’(t) + cδ(t)+ r1(t) h’(t) = aδ’(t) + bδ(t) + r2(t) h(t) = aδ(t) + r3(t) [ri(t) 为不含 为不含δ(t) 的某函数 的某函数] 代入式(1)， 代入式 ，有 第 8页 ■
的冲激响应。 的冲激响应。
h1(t) = C1e−t + C2e−3t ε (t)
(
dt 2
d h1(t) +4 + 3h1(t) = δ (t) dt
)
h1' (0+ ) = 1
h1(0+ ) = 0
将边界条件代入h 式 将边界条件代入 1(t)式，解得 C1=1/2， C2=-1/2， ， - ，
δ (t )
h(t )
T {0}
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2．系统冲激响应的求解
•冲激响应的数学模型
对于LTI系统,可以用一n阶微分方程 阶微分方程表示 对于LTI系统,可以用一 阶微分方程表示 LTI系统
dn y(t) dt n bm + an−1 dn−1 y(t) dt n−1 +⋯+ a1 d y(t) + a0 y(t) = dt d f (t) + b0 f (t) dt
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二．阶跃响应
g(t)= T [{0},ε(t) ] {0}, {0} 线性时不变系统满足微 积分特性 线性时不变系统满足微、积分特性
ε (t) = ∫ δ (t) dt
−∞ t
g(t) = ∫ h(τ ) dτ
−∞
t
d g(t) , h(t) = dt
t
阶 响 是 激 应 积 ， 意 分 ： 跃 应 冲 响 的 分 注 积 限
设
∴ h(0+ ) = 1 , h' (0+ ) = −2 代入h(t)，确定系数 1,C2，得 代入 ，确定系数C
1 −t −3t h(t) = (e + e )ε (t) 2
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解法二：线性时不变性质法
求系统 dt 2 解： 设h (t)满足简单方程 1 满足简单方程
d2 h1(t) d2 y(t) +4 d y(t) d f (t) + 3y(t) = + 2 f (t) dt dt
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举例
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冲激响应求解举例 冲激响应求解举例
求系统 dt 2 解：将f(t)→δ(t)， → ，
d2 y(t) +4 d y(t) d f (t) + 3y(t) = + 2 f (t) dt dt
的冲激响应。 的冲激响应。
y(t)→h(t) →
d2 h(t ) d h(t ) dδ (t ) +4 + 3h(t ) = + 2δ (t ) 2 dt dt dt