丰台区2019—2020学年度第一学期高三数学期末试题

丰台区2019—2020学年度第一学期期末练习高三数学 2020.01第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．若集合{|13}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则AB =（A ）{|13}x x -<<（B ）{|11}x x -<<（C ）{|12}x x <<（D ）{|23}x x <<2． 命题“000(0+)ln 1x x x ∃∈∞=-,，”的否定是（A ）000(0+)ln 1x x x ∃∈∞≠-,， （B ）000(0+)ln 1x x x ∃∉∞=-,， （C ）(0+)ln 1x x x ∀∈∞≠-,，（D ）(0+)ln 1x x x ∀∉∞=-,，3． 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）y x =- （B ）21y x =- （C ）cos y x =（D ）12y x =4．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(000),,，(001),,，(110),,，(101),,， 则此四面体在xOy 坐标平面上的正投影图形的面积为 （A ）14（B ）12（C ）34（D ）15．已知菱形ABCD 边长为1，=60BAD ∠︒，则=BD CD（A ）12（B ）12-（C ）2（D ）2-6．双曲线2241x y -=的离心率为（A （B ）2（C （D ）27．已知公差不为0的等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，满足3110S S -=，且124a a a ,,成等比数列，则3a = （A ）2 （B ）6（C ）56或（D ）128. 在261()x x-的展开式中，常数项是（A ）20-（B ） 15-（C ）15（D ）309. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵. 记鲑鱼的游速为v （单位：m /s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q . 科学研究发现v 与3log 100Q成正比. 当1m /s v =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900. 当2m /s v=时，其耗氧量的单位数为 （A ）1800（B ） 2700（C ）7290 （D ）810010. 在边长为2的等边三角形ABC 中，点D E ，分别是边AC AB ，上的点，满足DE ‖BC 且AD ACλ=((01))λ∈,，将△ADE 沿直线DE 折到△A DE '的位置. 在翻折过程中，下列结论成立的是（A ）在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足BF ‖平面A CD '（B ）存在1(0)2λ∈,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDE（C ）若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，4A B '=（D ）在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ的最大值为9第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 复数11i+的实部为 ．12. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦．如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成 种重卦．（用数字作答） 13. 已知a b c ,,分别为△ABC 内角A B C ,,的对边，22c ab =且1sin sin 2A C =，则cos A = ．14. 我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：①所有的奇数项满足2121n n a a -+<，所有的偶数项满足222n n a a +<； ②任意相邻的两项21n a -，2n a 满足21n a -<2n a . 根据上面的信息完成下面的问题：（i ）数列123456，，，，， “有趣数列”（填“是”或者“不是”）； （ⅱ）若2(1)nn a n n=+-，则数列{}n a “有趣数列”（填“是”或者“不是”）.15．已知抛物线24C y x =：的焦点为F ，则F 的坐标为 ；过点F 的直线交抛物线C 于A B ,两点，若4AF =，则△AOB 的面积为 ． 16．定义域为R 的函数()f x 同时满足以下两条性质：①存在0x ∈R ,使得0()0f x ≠； ②对于任意x ∈R ，有(1)2()f x f x +=.根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数. （i ）若()f x 是增函数，则()f x = ； （ⅱ）若()f x 不是单调函数，则()f x = .三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.（本小题共13分）已知函数2()sin cos f x x x x =.（Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间π[0]2,上的最大值.18.（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，π2BAC ∠=，11AA AB AC ===，1CC 的中点为H .（Ⅰ）求证：1AB A C ⊥； （Ⅱ）求二面角1A BC A --的余弦值；（Ⅲ）在棱11A B 上是否存在点N ，使得HN ‖平面1A BC ？若存在，求出111A N AB 的值；若不存在，请说明理由．19.（本小题共13分）目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境. 我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上万亩土地，并且严重污染环境. 垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失. 2020年5月1日起，北京市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类 .生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源. 如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75％，节省造纸能源消耗40％～50％.现调查了北京市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：（Ⅰ）从A ，B ，C ，D ，E 这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；（Ⅱ）从A ，B ，C ，D ，E 这5个小区中任取2个小区，记X 为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X 的分布列及期望．20.（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设S 为椭圆右顶点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（异于S ），直线PS ，QS 分别交直线4x =于A ，B 两点. 求证：A ，B 两点的纵坐标之积为定值.21.（本小题共14分）已知函数321(1)()32a f x x x ax +=-+.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0(0))f ,处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）对于任意1x ，2[02]x ∈,，都有122()()3f x f x -≤，求实数a 的取值范围.22.（本小题共13分）已知*2n n ∈≥N ，，给定n n ⨯个整点()x y ,,其中1x y n x y ≤≤∈*N ,,,.（Ⅰ）当2n =时,从上面的22⨯个整点中任取两个不同的整点1122()()x y x y ,,,，求12x x +的所有可能值；（Ⅱ）从上面n n ⨯个整点中任取m 个不同的整点，512n m ≥-.（i ）证明：存在互不相同的四个整点),(),,(),,(),,(22221111y x y x y x y x ''''，满足11y y '=, 2212y y y y '=≠,； （ii ）证明：存在互不相同的四个整点),(),,(),,(),,(22221111y x y x y x y x ''，满足 2211x x x x '+='+,.21y y ≠丰台区2019~2020学年度第一学期期末练习高三数学 参考答案及评分参考2020．01 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．12 12．15 13．7814．是；是 15．(10),；316．2x ；2sin 2xx π(答案不唯一) 注：第14、15、16题第一空3分，第二空2分.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17.（本小题共13分）解：（Ⅰ）2ππππ()sincos3333f =⋅211()222=+2=. ……………….4分（Ⅱ）2()sin cos f x x x x =⋅+1cos 21sin 222x x +=πsin(2)32x =++.因为π[0]2x ∈,，所以ππ4π2[]333x +∈,. 当ππ232x +=，即π12x =时，()f x 取得最大值12+. ……………….13分18.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥.因为π2BAC ∠=，所以AC AB ⊥. 又因为1ACAA A =，所以AB ⊥平面1A AC .因为1A C ⊂平面1A AC ，所以1AB A C ⊥. ……………….4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系A xyz -． 因为11AA AB AC ===，所以(000)A ，，，(100)B ，，，(010)C ，，，1(001)A ，，. 因为1AA ⊥平面ABC ，所以1(001)AA =,,即为平面ABC 的一个法向量. 设平面1A BC 的一个法向量为()x y z =,,n ，1(101)A B =-,,，1(011)AC =-,,， 则1100.A B A C ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩,n n 即00.x z y z -=-=⎧⎨⎩,令1z =，则11x y ==,.于是(111)=,,n .所以111cos 3AA AA AA ⋅==⋅,nn n.由题知二面角1A BC A --3. ……………….10分（Ⅲ）假设棱11A B 上存在点()N x y z ,,，使得HN ‖平面1A BC .由111(01)A N A B λλ=≤≤，又11(100)A B=,,，故1(0)0A N λ=,,.因为1(011)C ，，，H 为1CC 的中点，所以1(01)2H ，，.所以111(1)2HN HA A N λ=+=,-,.若HN ‖平面1A BC ，则1102HN λ⋅==-+n ，解得1[01]2λ=∈,.又因为HN ⊄平面1A BC .所以在棱11A B 上存在点N ，使得HN ‖平面1A BC ，且11112A N AB =.……………….14分19．（本小题共13分）解：（Ⅰ）记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件A . 由题意，有B ，C 两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨， 所以2()5P A =. ……………….4分（Ⅱ）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有B ，C ，共2个小区. X 的所有可能取值为0，1，2. 23253(0)10C P X C ===；11322563(1)105C C P X C ⋅====；22251(2)10C P X C ===.所以X 的分布列为:()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．……………….13分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切，所以半径b 等于原点到直线的距离d，b d ==，即3=b .由离心率12e =，可知12c a =，且222a b c =+，得2a =.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………….4分（Ⅱ）由椭圆C 的方程可知(20)S ,.若直线l 的斜率不存在，则直线l 方程为1x =，所以33(1)(1)22P Q -,, ,.则直线PS 的方程为3260x y +-=，直线QS 的方程为3260x y +-=.令4=x ，得(43)A ,-，(43)B ,. 所以A B ，两点的纵坐标之积为9-.若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,由22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=，依题意0≥∆恒成立.设112212()()(0)P x y Q x y x x ≠,,,,，则2212122284123434k k x x x x k k-+==++,. 设(4)A A y ,(4)B B y ,， 由题意P S A ，，三点共线可知11422A y yx =--， 所以点A 的纵坐标为1122A y y x =-. 同理得点B 的纵坐标为2222B y y x =-. 所以12122222A B y y y y x x =⋅--.212121212222222222()142()44128434412284(43)9449x x x x k x x x x k k k kk k k k k-++=-++--++=--⨯++-=⨯=-综上，A B ，两点的纵坐标之积为定值.……………….13分21．（本小题共14分）解：（Ⅰ）当1a =时，因为321()3f x x x x =-+所以2()21f x x x '=-+，(0)1f '=. 又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0(0))f ,处的切线方程为y x =. ……………….4分 （Ⅱ）因为321(1)()32a f x x x ax +=-+，所以2()(1)0f x x a x a '=-++=. 令()0f x '=，解得x a =或1x =.若1a >，当()0f x '>即1x <或x a >时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<即1x a <<时，函数()f x 单调递减. 若1a =，则22()21(1)0f x x x x '=-+=-≥，当且仅当1x =时取等号，函数()f x 是增函数.若1a <，当()0f x '>即x a <或1x >时，函数()f x 单调递增.当()0f x '<即1a x <<时，函数()f x 单调递减.综上，1a >时，函数()f x 单调递增区间为(1)()a -∞∞,,,+，单调递减区间为(1)a ,；1a =时，函数()f x 单调递增区间为()-∞+∞,；1a <时，函数()f x 单调递增区间为()(1)a -∞∞,,,+，单调递减区间为(1)a ,. ……………….9分（Ⅲ） 令2()(1)0f x x a x a '=-++=，解得x a =或1x =.当0a ≤时，随x 变化，()()f x f x ', 变化情况如下表：由表可知(0)(1)f f >，此时2(2)(1)3f f ->，不符合题意.当01a <<时，随x 变化，()()f x f x ', 变化情况如下表：由表可得3211112(0)0()(1)(2)62263f f a a a f a f ==-+=-=,,, ，且(0)()f f a <，(1)(2)f f <，所以只需()(2)(1)(0)f a f f f ≤≥⎧⎨⎩，， 即32112623110.26a a a -+≤-≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得113a ≤<.当1a =时，2()21(1)0f x x x x '=-+=->在(02),恒成立，符合题意. 当12a <<时，只需(1)(2)()(0)f f f a f ≤≥⎧⎨⎩，， 即32112263110.62a a a -≤-+≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得513a <≤. 当2a ≥时，(1)(2)f f >，不符合题意.综上，实数a 的取值范围是15[]33,. ……………….14分22．（本小题共13分）解:（Ⅰ）当2n =时，4个整点分别为(11)(12)(21)(22),,,,,,,.所以12x x +的所有可能值234,,. ……………….3分（Ⅱ）（i ）假设不存在互不相同的四个整点11112222()()()()x y x y x y x y '''',,,,,,,， 满足112212y y y y y y ''==≠,,. 即在直线*(1,)N y i i n i =≤≤∈中至多有一条直线上取多于1个整点，其余每条直线上至多取一个整点， 此时符合条件的整点个数最多为121n n n -+=-.而52112n n -<-， 与已知512m n ≥-矛盾.故存在互不相同的四个整点11112222()()()()x y x y x y x y '''',,,,,,,，满足112212y y y y y y ''==≠,,. （ii ）设直线*(1,)N y i i n i =≤≤∈上有i a 个选定的点.若2i a ≥，设y i =上的这i a 个选定的点的横坐标为12i a x x x ⋅⋅⋅，，，，且满足12i a x x x <<⋅⋅⋅<. 由12132324341i i a a x x x x x x x x x x x x -+<+<+<+<+<⋅⋅⋅<+，知12i a x x x ⋅⋅⋅，，，中任意不同两项之和至少有23i a -个不同的值，这对于2i a <也成立. 由于1,2,3,,n ⋅⋅⋅中任意不同两项之和的不同的值恰有23n -个， 而()1232352323ni i a m n n n n =-=-≥--≥-∑,可知存在四个不同的点11112222()()()()x y x y x y x y '',,,,,,,， 满足112212x x x x y y ''+=+≠,,.21y y ≠ ……………….13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。